E-Book ISBN Fecha de catalogación: 19/12/2014.

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1 E-Book ISBN Fech de ctlogció: 9//04.

2 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Los pofesoes de hoy tiee l difícil misió de eseñ tee cuiosidd, pes po uo mismo y pedele el miedo los polems, mucho más que eseñ uos cutos teoems o us cuts egls opetivs que el lumo, si h mteido su mete ágil y u sólid pepció ásic, podá lee si dificultd de culquie lio o mul el di que lo ecesite L Mtemtic e l escuel (966) del D. Luís Stlo. INTRODUCCIÓN Al peset est pime Seie Didáctic e l cáted de Álge y Geometí Alític se tuvieo e cuet los siguietes spectos: El lumo dee est y e codicioes de coside ls mtemátics como u cieci lógic. Los coteidos temáticos deeá se desolldos de me que se dpte l expeieci y mduez de u estudite del pime ño de l uivesidd. L icopoció de los medios p desoll ls hiliddes que pemitiá l estudite ccede co myo eficieci cusos más vzdos. Teiedo e cuet estos spectos, co est pesetció se itet eflej el coseso de que ls mtemátics dee tee sigificció y e cosecueci llev los estudites u lectu y povechmieto po sí mismos de lios y textos específicos l discipli. E el desollo de los cpítulos se icluye ls expliccioes teóics co ejemplos. Los tems desolldos coespode Lógic Poposiciol, Cojutos

3 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Numéicos, Cojutos Odedos y Picipio de Iducció Complet. Se coside e l pesetció de estos coteidos temáticos l vloció de l Mtemtic como discipli p esolve polems, e cosecueci se to solutmete ecesio log u decudo mejo del leguje mtemático y l esolució de polems dute el peiodo de fomció del estudite del Ciclo Básico. Asimismo el popósito de est pesetció es el de sevi de guí e el poceso de pedizje de lguos coteidos del pogm vigete de ls sigtus Álge y Geometí Alític y Mtemtic I coespodietes l ciclo ásico de ls ces de Igeieí Foestl, Licecitu de Ecologí y Cosevcio del Amiete e Igeieí e Idustis Foestles de l Fcultd de Ciecis Foestles de l Uivesidd Nciol de Stigo del Esteo. 005 Lic. Josef Sguedolce 3

4 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 INDICE I.- CALCULO PROPOSICIONAL 6 I..- Itoducció 7 I.. - Poposicioes y Fucioes poposicioles 8 I.3. -Poposicioes simples y poposicioes compuests 8 I.4. -Coectivos lógicos y opecioes lógics 9 I.5. -Fómuls poposicioles o fómuls lógics 0 I.5.. -L egció lógic 0 I Cojució lógic (o poducto o multiplicció lógic) I Disyució lógic (o dició lógic, o sum, o ltetiv lógic) I Codiciol (o implicció) 3 I Codició ecesi y suficiete 4 I Bicodiciol 5 I.6. - Fómuls equivletes 7 II.- Elemetos de l Teoí de Cojutos II.. - Esquems poposicioles (Fucioes o foms poposicioles) 3 II.. - Iguldd de Cojutos, Iclusió y peteeci 5 II.3. - Opecioes co foms (o fucioes) poposicioles. Cojutos de vedd II.4. - Fucioes poposicioles. Cutificdoes 8 III. - Cojutos Numéicos 30 III.. Los Númeos Ntules 3 III... Ccteístics del cojuto de Númeos Ntules 3 III... Ode e el cojuto de los Númeos Ntules 3 III..3. L dició y multiplicció e los úmeos Ntules 3 III..4. Aplicció e los Númeos Ntules: Picipio de Iducció Complet III..4.. Sumtoi 34 III..4.. Teoem de Iducció Complet 35 III.. Los Númeos Eteos 39 III...-Ccteizció del cojuto de los Númeos Eteos 39 III...- Ode e los úmeos Eteos

5 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III..3.- Ls opecioes dició y poducto e el cojuto de los úmeos Eteos III.3. Los Númeos Rcioles 4 III.3..- Ccteizció del cojuto de los Númeos Rcioles 4 III.3..- Relcioes de ode e los Rcioles 4 III Ls opecioes dició y poducto e el cojuto de los úmeos Rcioles III.4. Los Númeos Icioles 43 III.5. El cojuto de los Númeos Reles 43 III.5..- Ccteizció del cojuto de los úmeos Reles 43 III.5..- Ls opecioes dició y poducto e el cojuto de los úmeos eles. El cuepo de los úmeos eles III Itevlos 45 III.6.- Cojutos Odedos 48 III.6..- El cojuto de ls -upls odeds de úmeos eles 49 III.6..- Opecioes e IR 50 IV.- El cojuto de los Númeos Complejos 5 IV..- Cojugdo de u Complejo 55 IV..- L Uidd Imgii 56 IV...- Popieddes 56 IV.3.- Foms Biómics 57 IV.4.- Módulo de u Complejo 58 IV.4..- Popieddes del módulo 58 IV.5.- Fom pol de u úmeo complejo 58 IV.5..- Opecioes co úmeos complejos e fom pol 59 Guí Páctic 6 Biliogfí

6 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 I.- CALCULO PROPOSICIONAL 7 I..- Itoducció 7 I.. - Poposicioes y Fucioes poposicioles 8 I.3. -Poposicioes simples y poposicioes compuests 8 I.4. -Coectivos lógicos y opecioes lógics 9 I.5. -Fómuls poposicioles o fómuls lógics 0 I.5.. -L egció lógic 0 I Cojució lógic (o poducto o multiplicció lógic) I Disyució lógic (o dició lógic, o sum, o ltetiv lógic) I Codiciol (o implicció) 3 I Codició ecesi y suficiete 4 I Bicodiciol 5 I.6. - Fómuls equivletes 7 L úsqued de l vedd te d tto gusto como tes? Segumete, o es el coocimieto sio el pedizje, o es l posesió sio l dquisició, o es el est llí, sio el lleg hst hí, lo que pot l myo stisfcció. Si he cldo y gotdo lgo, lo dejo p et ot vez e l oscuidd. Así es ese home iscile t extño: cudo h completdo u estuctu o es p quedse hí cofotlemete sio p empez ot. Cl Fiedich Guss ( ) 6

7 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 I.- CALCULO PROPOSICIONAL I..- Itoducció L estuctu ctul de l mtemátic es fomlist, es deci deductiv, desempeñdo l xiomátic u ppel muy impotte. P l demostció mtemátic se dispoe úicmete de los coteidos de los xioms y de los ecusos de l lógic. L lógic es l cieci que estudi los métodos y picipios usdos p distigui el zomieto coecto del icoecto. E el siglo psdo, uevos potes dieo lug u desollo itesivo de l lógic, que sufió u tsfomció complet y doptó u cácte semejte l de u discipli mtemátic. Nció sí u uev lógic, llmd tmié lógic mtemátic, foml, deductiv o simólic L lógic foml, cosided como el estudio de opecioes co símolos popidos, dee uicse e el álge como u cpítulo especil; pece etoces como u pte de l mtemátic. Los cpítulos más impottes de est cieci so: el cálculo poposiciol, l teoí de l idetidd, teoí de ls clses y teoí de ls elcioes. A los efectos de este cuso, esult suficiete dedic uesto estudio l Clculo poposiciol que os pemitiá fmiliizos co el uso de ls poposicioes y de ls distits opecioes lógics que co ellos podemos efectu, como simismo su epesetció simólic. 7

8 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 I.. - Poposicioes y Fucioes poposicioles El pime cocepto que deemos fij pefectmete es el de: Poposició: es culquie expesió p l cul tiee setido iequívoco deci si es vedde o fls. Po ejemplo so poposicioes: - 3 es u úmeo eteo (veddeo) -,5 es u úmeo tul (flso) E cmio o so poposicioes, pues o podemos detemi si elmete so veddes o flss, ls siguietes expesioes: - X + = 5 - X es myo que Deotemos co lets miúsculs ls poposicioes (geelmete ls últims del lfeto); p, q,, etc. y co V y F los témios veddeo y flso espectivmete, que seá llmdos vloes de vedd de ls poposicioes. I.3. -Poposicioes simples y poposicioes compuests U poposició es simple cudo igu ot de sus ptes es su vez u poposició (mteiedo el sigificdo de los témios). Po ejemplo so poposicioes simples: p: Aleto escie q: El pizó es ectgul U poposició es compuest cudo lgu de sus ptes es su vez poposició, mteiedo el sigificdo de sus témios. Po ejemplo pti de ls poposicioes simples p y q podemos costui ls uevs poposicioes compuests: : Aleto o escie 8

9 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 s: Aleto escie y el pizó es ectgul t: Si Aleto escie, el pizó es ectgul De est fom oteemos ls poposicioes compuests comido poposicioes simples po medio de ls costtes lógics, que so pls o expesioes como o, y, o, si...etoces, si y sólo si. El sigificdo de ls costtes lógics es idepediete de ls poposicioes que comi. I.4. -Coectivos lógicos y opecioes lógics Los coectivos lógicos so los símolos co los que epesetmos ls distits costtes lógics. Cd u de ells os pemite defii u opeció lógic. P epeset ls distits opecioes lógics ete poposicioes doptemos los siguietes símolos: Opeció lógic Costte lógic Coectivo lógico - Negció lógic o ~ - Cojució o poducto lógico y - Disyució o dició lógic o - Implicció o codiciol si...etoces - Equivleci o icodiciol si y sólo si 9

10 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 I.5. -Fómuls poposicioles o fómuls lógics Comido poposicioes simples medite los coectivos lógicos otedemos fómuls poposicioles, cuyos vloes de vedd se defie medite tls de vedd. Dd u fómul poposiciol defiiemos como vile poposiciol cd u de ls poposicioes simples elciods tvés de los coectivos lógicos que iteviee e dich fómul poposiciol. Fómuls poposicioles o fómuls lógics so po ejemplo: ~ p; p q; p q; p q; p q (I) Si elizmos ciets comicioes, oteemos ots fómuls más complejs, po ejemplo: (p q) q; ( t) q; etc... E pime lug detemiemos los vloes de vedd de ls fómuls lógics dds e (I), costuyedo l tl de vedd. I.5.. -L egció lógic Dd u poposició, podemos otee su egció o efutció co yud de l pl o. Dos poposicioes, de ls cules l segud es l egció de l pime, se llm cotdictois o titétics. Se puede pescidi de l pl o, tepoiedo l poposició dd l expesió o es cieto que. Po ejemplo, se l poposició: p: es u úmeo positivo Su egció es: o es u úmeo positivo o tmié: o es cieto que es u úmeo positivo. 0

11 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 A l egció de l poposició p l simolizmos sí: ~ p. Segú que p se vedde o fls, ~ p seá espectivmete fls o vedde. Podemos esumi esto medite u cudo que se llm tl de vloes de vedd, o simplemete tl de vedd de l egció. p V F p F V Po ejemplo: si p epeset: = 9 (Fls) ~ p epeset: (Vedde) I Cojució lógic (o poducto o multiplicció lógic) Es l uió de dos o más poposicioes po l pl y. Se l epeset medite el símolo colocdo ete ls poposicioes que fimmos sucede simultáemete. Se po ejemplo: p: Hce clo q: Tego petito L cojució de ms poposicioes es l poposició: s: Hce clo y tego petito que se epeset sí: s = p q Si supoemos que p y q so veddes, l cojució es vedde; peo si l meos u de ls poposicioes simples que l compoe es fls, etoces l cojució es fls.

12 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 El siguiete cudo defie l cojució: p q pq V V V V F F F V F F F F Po ejemplo cojució y 8: 3 es fls pues u de ls compoetes es fls. I Disyució lógic (o dició lógic, o sum, o ltetiv lógic) Nos idic que po lo meos u de ls poposicioes simples elciods po l pl o dee se vedde. L epesetmos medite el símolo colocdo ete ls dos poposicioes compoetes, esto es: p q (que se lee: p o q ). P costui l tl de vedd de l disyució teemos pesete que sólo seá fls si ls dos compoetes so simultáemete flss. Hiedo l meos u de ls compoetes vedde, l disyució seá vedde, esto es: p q p q V V V V F V F V V F F F Co est cepció se coside l disyució desde el puto de vist lógico, y se llm disyució icluyete.

13 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 U segud cepció, l disyució excluyete, coside que u poposició p q que se lee o p o q es vedde si ls poposicioes compoetes sume difeetes vloes de vedd. L disyució excluyete de p y q viee defiid po l siguiete tl de vedd: p q p q V V F V F V F V V F F F I Codiciol (o implicció) Como e el cso de l disyució, hy difeecis ete los usos de l implicció e lógic y e el leguje cotidio. E el leguje odiio usmos l implicció e setido foml; tedemos ui dos poposicioes medite ls pls si..etoces sólo si hy u coexió ete sus foms y sus coteidos; si supoiedo veddeo el tecedete os vemos oligdos supoe veddeo el cosecuete; si podemos deduci el cosecuete pti del tecedete, soe l se de ciets leyes. Po ejemplo: Si Sóctes es u home, etoces Sóctes es motl. E cmio e lógic, se utiliz l implicció e setido mteil o implicció mteil, l que tiee setido ú cudo o exist igu especie de coexió ete sus dos miemos. El símolo pq deot l poposició: si p etoces q, y l llmemos codiciol, l poposició p se llm tecedete y l poposició q es el cosecuete del codiciol De est fom, tiee setido lógico euci: Si Sóctes es u home, etoces Sóctes es motl. 3

14 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Si x5 etoces Pís es l cpitl de Fci. L vedd o flsedd de u implicció mteil depede sólo de l vedd o flsedd del tecedete y cosecuete. L siguiete tl de vedd detemi los vloes de vedd de pq de cuedo los posiles vloes de vedd de p y q. p q p q V V V V F F F V V F F V Vemos ho el uso y l impotci de l oció del codiciol e mtemátic. Demost o po u codiciol p q sigific poe e evideci l imposiilidd de que siedo veddeo el tecedete p se flso el cosecuete q. Es impotte osev que p demost que u ddo codiciol p q es veddeo es suficiete eliz uo de estos pocedimietos: i) supoe V(p) V, veific que V(q) V ii) supoe V(q) F, po que V(p) F I Codició ecesi y suficiete E mtemátic pece codicioles que se pue. Tles codicioles so deomidos teoems. E u teoem p q, se llm; hipótesis p y tesis q. Po ejemplo se el teoem: 4

15 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Si x es u úmeo positivo, etoces x es u úmeo positivo ; tiee l fom de u codiciol, dode x es u úmeo positivo es l hipótesis y x es u úmeo positivo es l tesis. Podemos simismo fomul dicho teoem de ls siguietes foms: _ De: x es u úmeo positivo, le sigue: x es u úmeo positivo. _ L codició x es u úmeo positivo, es suficiete p que x se u úmeo positivo. _ P que x se u úmeo positivo, es suficiete que x se u úmeo positivo. _ L codició x es u úmeo positivo, es ecesi p que x se u úmeo positivo. _ P que x se u úmeo positivo, es ecesio que x se u úmeo positivo. p q: q es codició ecesi p l hipótesis. p es codició suficiete p l tesis. I Bicodiciol E lguos csos, como e el teio ejemplo, ocue que q es tmié codició suficiete p p, po lo que tmié es (V) el codiciol q p, es deci que p es demás codició ecesi p q. E ests situcioes decimos que p es codició ecesi y suficiete p q y que q es codició ecesi y suficiete p p. De est fom itoducimos el icodiciol p q. p q p q V V V V F F F V F F F V 5

16 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Osevmos que p q es u fom de expes dos codicioles simultáeos: p q y q p Ttemos de fij lgus puts que os pemit costui l tl de vedd p culquie fómul poposiciol, que podemos fom. Ests so: i) Recooce ls viles poposicioles que iteviee e l fómul poposiciol fomd; cd u de ells ecezá u colum de l tl. ii) E geel, si ls viles iteviietes so ls ltetivs posiles de vloes de vedd so. De est fom l tl de vedd costui tedá egloes. iii) Efectu l distiució decud de cd uo de los vloes que iteg l fómul poposiciol. Cd u de ess ptes ecezá u colum de l tl, l últim colum está ecezd po l fómul e su expesió complet. iv) El vlo de vedd que le coespode cd u de ls ptes de l fómul poposiciol depedeá de los vloes de vedd sigdos ls viles. Se po ejemplo l fómul poposiciol: (p q) q Costuymos su tl de vedd: p q p q (p q) q V V V V V F V F F V V V F F F V Osevemos: i) L tl de vedd posee cuto egloes, puesto que uest fómul poposiciol posee dos viles poposicioles, luego 4. 6

17 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 ii) Los vloes de vedd de l fómul poposiciol (p q) q so cuto. Si fijmos uest teció e u de ls fils, po ejemplo l segud, vemos que: los dos pimeos cudiculdos coespode u de ls ltetivs de vloes de vedd de ls viles p y q, e dode p es V y q es F; e el tece cudiculdo poemos el vlo de vedd de p q que esult: V; e el último cudiculdo del egló el vlo que tiee el codiciol (p q) q que es: F. De esto deducimos que l fómul es fls cudo l cojució p q es: V y l vile poposiciol q es: F. I.6. - Fómuls equivletes Se ls fómuls poposicioles: p q y (p q) (q p) Co ests dos fómuls poposicioles dds costuymos ot fómul poposiciol, est es: p q [(p q) (q p)]. Costuymos su tl de vedd: P q p q () p q q p (p q) (q p) () () () (3) V V V V V V V V F F F V F V F V F V F F V F F V V V V V Osevcioes: i) Los espectivos egloes de ls colums y sume los mismos vloes de vedd p tod sigció de vloes ddos ls viles poposicioles. 7

18 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 ii) Los egloes de l colum 3 sume el vlo de vedd V culesquie se los vloes ddos de ls viles. Ls fómuls poposicioles p q y (p q) (q p) so equivletes. Defiició: U fómul poposiciol es equivlete ot si ms sume los mismos vloes de vedd p tod sigció de vloes ddos ls viles. P idic que u fómul es equivlete ot, podemos el sigo ete ells, esto es: p q (p q) (q p) Coviee tee pesete los siguietes pes de fómuls poposicioles equivletes, que se llm Leyes Lógics: Ivolució: (p) p Idempoteci: p p p p p p Leyes comuttivs: p q q p p p q p Leyes socitivs: p (q ) (p q) p (q ) (p q) 8

19 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Leyes distiutivs: p (q ) (p q) (p ) p (q ) (p q) (p ) Leyes de Mog: (p q) p (q) (p q) p (q) L fómul poposiciol: (p q) [(p q) (q p)] l hemos oteido socido el icodiciol ls fómuls (p q) y (p q) (q p) espectivmete. E l osevció ii) que se deduce de l tl de vedd p dich fómul poposiciol podemos d l siguiete defiició. Defiició: U fómul poposiciol es tutologí si y solo si sume el vlo V culesquie se los vloes ddos ls viles poposicioles. Ptiedo de est defiició diemos que dos fómuls poposicioles so equivletes si y sólo si el icodiciol socido ells es u tutologí. Se ho l fómul poposiciol p (p). Costuymos su tl de vedd. p p p (p) V F F F V F Vemos que culesquie se l poposició quie epeset l vile poposiciol co vloes de vedd V o F l poposició p (p) es fls. Po lo que podemos euci ot defiició. 9

20 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Defiició: U fómul poposiciol es cotdictoi si y sólo si sume el vlo F p cd sigció de vloes ddos ls viles poposicioles. Po ejemplo l fómul p (p) es cotdictoi. Defiició: U fómul poposiciol es cotigete si y sólo si o es tutológic i cotdictoi. Impliccioes socids Se l fómul poposiciol p q que l llmemos codiciol diecto. A pti de este codiciol diecto podemos fom ots fómuls poposicioles, se: q p p q q p Ests impliccioes se llm ecípoco, cotio y cotecípoco, que juto l codiciol p q se deomi cojugds y culesquie de ells puede tomse como codiciol diecto. Podemos esquemtiz lo expuesto de l siguiete fom: 0

21 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Veifique que ls impliccioes cotecípocs so equivletes, esto es: (p q) (q p) (q p) (p q) Osevcioes: i) Si l implicció diect es V, tmié lo es l cotecípoc, y o podemos fim l vedd de l ecípoc o de l coti. ii) Si so veddeos u codiciol y su ecípoco o cotio, etoces so veddeos los cuto, y ls poposicioes tecedete y cosecuete so equivletes. Se peset dos métodos p demost l vedd del codiciol p q, se: i) Diecto V(p) F, p q es V V(p) V, hy que estlece que el V(q) V ii) Idiecto V(q) V, p q es V V(q) F, hy que estlece que el V(p) F

22 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 II.- Elemetos de l Teoí de Cojutos 3 II.. - Esquems poposicioles (Fucioes o foms poposicioles) 3 II.. - Iguldd de Cojutos, Iclusió y peteeci 5 II.3. - Opecioes co foms (o fucioes) poposicioles. Cojutos de vedd II.4. - Fucioes poposicioles. Cutificdoes 8 6 Ls mtemátics o se ocup de ojetos, sio de elcioes ete ojetos: de est me tiee l lietd de eemplz lguos ojetos po otos, siempe y cudo ls elcioes o se ltee. El coteido es p ellos ielevte; se itees úicmete e l fom. Hei Poicé

23 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 II.- Elemetos de l Teoí de Cojutos II.. - Esquems poposicioles (Fucioes o foms poposicioles) Se ls expesioes: x = 3 x es sodo x compuso sifoís Osevmos que ls misms o so poposicioes puesto que figu e cd u de ells u idetemid y po tto, o puede decise d especto l vedd o flsedd de cd u de ells. Ests expesioes se deomi esquems poposicioles (o fucioes o foms poposicioles), e l idetemid x, miets que l expesió: x vivió después que y es u esquem poposiciol e ls idetemids x, y. Pogmos: p(x): x = 3 q(x): x es sodo (x): x compuso sifoís s(x,y): x vivió después de y U esquem poposiciol se tsfom e poposició vedde o fls, sustituyedo ls idetemids po decuds especificcioes cocets. Po ejemplo: p(4): 4 = 3 p(): = 3 (Mozt): Mozt compuso sifoís s(newto, Glileo): Newto vivió después que Glileo s(glileo, Newto): Glileo vivió después que Newto Se tiee: 3

24 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 V[p(4)] V V[p()] F V[(Mozt)] V V[s(Newto, Glileo)] V V[s(Glileo, Newto)] F Aho ie, se po ejemplo el esquem poposiciol: p(x): x es uio Hemos dicho que l sustitui l idetemid x po u ome detemido, coviete l esquem poposiciol p(x) e u poposició vedde o fls, si sustituimos x po Luis, esult: p(luis): Luis es uio Peo si hcemos p(bs. As.): Bs. As es uio, osevmos que est últim expesió o esult u poposició, pues cece de setido. Esto os llev ecesimete l cocepto de cojuto uivesl o cojuto efeecil. P ello pevimete demos u ide ituitiv de Cojuto: como colecció o gupció de etes de tulez iti los que deomimos elemetos del cojuto e cuestió. Si A es u cojuto y h desig u elemeto de A, podemos h A, o ie h A. Defii o detemi u cojuto coceto es fij u citeio po el que esulte posile estlece exctmete cules so sus elemetos. Hitulmete se fij pevimete u cojuto U l que llmemos Uivesl o Refeecil. Ddo u efeecil U y u fució poposiciol p(x) co l popiedd: U p() es u poposició (V o F) etoces qued detemido u cojuto que desigmos co L de este modo: u L ( u L V[p(u)] V) () Est me de defii cojutos es po compesió. 4

25 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Si p(x) es u fució poposiciol e l idetemid x tl que: s U V[p(s)] V, etoces el cojuto defiido po (t U V[p(t)] V) es el cojuto vcío. II.. -Iguldd de Cojutos. Iclusió y peteeci Se A y B cojutos. Diemos que A es igul B y podemos A = B si y sólo si veific: x A x B Esto es: A = B (x A x B) E lug de l expesió () podemos: L = u/ (u U V [p (u)] V () L () se evi: L = u/ (u U p (u)) Luego el Refeecil está soeetedido U = u/ p (u) Alguos cojutos puede defiise po extesió listdo los símolos que epeset sus elemetos. Po ejemplo:t epeset u cojuto uitio., s epeset u cojuto que tiee dos elemetos y s tl que, s = s, Diemos que, s es u p, álogmete puede cosidese tes, cutes, quítupls, etc. Se A y B dos cojutos culesquie, diemos que el cojuto A está icluido e el cojuto B, o que el cojuto A es pte o sucojuto del cojuto B y podemos A B si y sólo si: x A x B Es deci: A B (x A x B) Algus cosidecioes que deemos tee e cuet: i) Se A u cojuto culquie, etoces A A 5

26 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 ii) Se A u cojuto culquie, etoces A, esto es: x x A Osevmos que el vlo de vedd del tecedete x es F, culquie se el vlo de vedd del cosecuete x A, el vlo de vedd que sume el codiciol es V. iii) Se A y B cojutos tles que A B y demás A B. E tl cso diemos que el cojuto A es pte popi del cojuto B. iv) Recodemos que ls fómuls poposicioles p q y (p q q p) so equivletes, esto es: p q (p q q p) y demás semos que: A = B (x A x B) Result: A = B [(x A x B) (x B x A)] O se: A = B (A B B A) II.3. -Opecioes co foms (o fucioes) poposicioles. Cojutos de vedd Se p(x) y q(x) dos foms poposicioles e l idetemid x, co P y Q sus espectivos cojutos de vedd y U el efeecil, podemos expes uevs foms poposicioles e l mism idetemid y ecot sus espectivos cojutos de vedd, se:.- L fom poposiciol p(x) esult se l egció de l fució poposiciol p(x). Podemos detemi el cojuto de vedd de l fució (o fom) poposiciol p(x), esto es: / p() es V / p() es F / P= P.- L fom poposiciol p(x) q(x) esult se l cojució de ls foms poposicioles p(x) y q(x). 6

27 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 El cojuto de vedd de l fom poposiciol p(x) q(x) viee ddo po: / p() q() es V / p() es V y q() es V / P Q PQ 3.- L fom poposiciol p(x) q(x) esult se l disyució de ls foms poposicioles p(x) y q(x). El cojuto de vedd de l fom poposiciol p(x) q(x) viee ddo po: / p() q() es V / p() es V o q() es V / P Q PQ De idétic me podemos fom ls dos últims foms poposicioles: p(x) q(x) p(x) q(x) ls que deomiemos codiciol y icodiciol de ls foms poposicioles dds espectivmete. Teiedo e cuet los cojutos de vedd y cosidedos p ls foms poposicioles p(x) y q(x), podemos otee los cojutos de vedd de ls uevs foms poposicioles, se: / p() q() es V / p() es F o q() es V / P Q P Q Cojuto de vedd de l fom poposiciol p(x) q(x) / p() q() es V / p() q() es V y / q() p() es V = / P Q y Q P (P Q) (Q P) Cojuto de vedd de l fom poposiciol p(x) q(x). 7

28 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 II.4. -Fucioes poposicioles. Cutificdoes Se l fució poposiciol: p(x): x + 4 < 0 U = IR Osevmos que el cojuto de vedd es P =,, 3, 4, 5 E este ejemplo l fució poposiciol x + 4 < 0 esultá vedde p lguos úmeos tules. E ots pls, existe lguos úmeos tules que hce de p(x) u eucido veddeo. Simólicmete se expes: x IN / p(x) El símolo (x) se llm cutificdo existecil fimtivo y se lee existe l meos u x. Vemos oto ejemplo: p(x): x < x + U = IN Si os popoemos ecot el cojuto de vedd eemplzé x po los úmeos tules comezdo po el y veé que: P x = ; < y p () es V P x = ; < 3 y p () es V Result que p todo x IN, l poposició es V. Simólicmete se expes: x IN: p(x) El símolo x lo llmo cutificdo uivesl fimtivo. Si se petede cutific l fució poposiciol: z + 4 < 0 de modo que est esulte fls, deeé estlece: z IN: z + 4 < 0 Si esto es flso, su egció es vedde: No es cieto que, p todo úmeo tul, z + 4 < 0 E símolos se expes: [ z IN: z + 4 < 0] 8

29 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Peo esto es equivlete deci: Existe lguos úmeos tules que o veific z + 4 < 0. Cos que es ciet: 6, 7, 8,... so tules que hce de p(z) u eucido flso. [ z IN: z + 4 < 0] z / (z + 4 < 0) Nos dice: L egció de u cutificdo uivesl es u cutificdo existecil especto de l fució poposiciol egd. Po lo dicho, ls fucioes poposicioles cutificds puede se veddes o flss, lo que sigific que dquiee el cácte de poposició. x: p(x) es V so veddes tods ls poposicioes que se otiee l eemplz l vile x po cd uo de los elemetos peteecietes l cojuto dode está defiid p(x) y x: p(x) es flso, si l meos u de ls poposicioes esult fls. x / p(x) es V es vedde po lo meos u de ls poposicioes que se cosigue l sustitui x po los elemetos del uiveso dode est defiid p(x), y fls sio se otiee igu poposició vedde. Equivlecis: x: p(x) [ x / p(x)] [ x: p(x)] x / p(x) x / p(x) [ x: p(x) ] [ x / p(x)] x: p(x) 9

30 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III. - Cojutos Numéicos 3 III.. Los Númeos Ntules 3 III... Ccteístics del cojuto de Númeos Ntules 3 III... Ode e el cojuto de los Númeos Ntules 3 III..3. L dició y multiplicció e los úmeos Ntules 3 III..4. Aplicció e los Númeos Ntules: Picipio de Iducció Complet III..4.. Sumtoi 34 III..4.. Teoem de Iducció Complet El g mtemático lemá Cl Fiedich Guss ( ), co su moumetl Disquisitios Aithmetice, pecido e 80, cudo teí 4 ños, fijó ls ses fudmetles de l mode teoí de Númeos. E lgú setido uo osev que l itmétic tes de Guss, más que u cieci, pece u suete de hechos isldos y e ecdóticos y que Guss l elev su vedde dimesió cietífic. Aitmétic Elemetl e l fomció Mtemátic. D. Ezo R. Getile, (98-99) 30

31 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III. - Cojutos Numéicos III.. Los Númeos Ntules Desigmos co IN l cojuto de los úmeos tules. Si coside su oige, el cojuto de los úmeos tules es pesetdo po: IN = {,, 3, 4,...} El cojuto sí odedo de todos los úmeos tules ecie el ome de sucesió fudmetl; est sucesió fom u cojuto ifiito deido que cd úmeo de ell tiee siempe u siguiete imedito o sucesivo. Po est zó l epeset l sucesió fudmetl hemos puesto putos suspesivos l deech del último úmeo epesetdo p idic que le sigue muchos úmeos. Si l epesetció teio se le geg el ceo, se tiee: IN 0 = {0,,, 3, 4,...} III... Ccteístics del cojuto de Númeos Ntules Es odedo Tiee pime elemeto y o tiee último elemeto Cd elemeto tiee u suceso Es disceto, esto quiee deci que ete dos úmeos tules existe u úmeo fiito de úmeos tules. 3

32 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III... Ode e el cojuto de los úmeos Ntules El ode e los tules se ecuet defiido po: < def > def ( > v = ) Not: El sigo se lee: meo que El sigo se lee : myo o igul que Ley de Ticotomí Ddos dos úmeos tules y se veific u y solo u de ls tes posiiliddes siguietes: ) e cuyo cso y ) e cuyo cso y c) e cuyo cso y Cd u de ests tes posiiliddes excluye ls ots dos. III..3. L dició y multiplicció e los Númeos Ntules E los tules está defiidos dos opecioes deotds po (+) y ( ) y deomids sum y poducto de tules. + : IN x IN IN : IN x IN IN (, ) + (, ) 3

33 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Popieddes de ls opecioes (+) y ( ) defiids e los Ntules + Ley de Ciee IN0 0, IN0 IN0, IN Ley Asocitiv,, c IN c c,, c IN c c 0 Ley comuttiv 0, IN, IN 0 Elemeto Neuto 0! 0 IN 0 / IN 0! IN / IN 0 Distiutividd de ( ) co especto (+),, c IN c c Ddos y e los tules, os pegutmos si existe lgú x IN, tl que se veifique: x + = Si y se d o fij e fom iti, l ecució o siempe dmite solució e los tules. Se po ejemplo l ecució: x + = que o tiee solució e los tules. E efecto si fue x 0 IN que stisfce, seí: x 0 x 0 > > que es cotdictoio Co lo que hemos veificdo que l ecució x + = o dmite solució e los tules. Coclusió: ls ecucioes de ls fom x + =, siedo y tules pefijdos, tiee solució (que demás es úic) e los tules e todos los csos excepto cudo. 33

34 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 O se, ecucioes del tipo x + = e que y so tules, dmite solució úic tul si se elige <. Llmemos difeeci de y, que se escie, l solució tul de l ecució x + =, supuesto que <. III..4. Aplicció e los Númeos Ntules: Picipio de Iducció Complet III..4.. Sumtoi Cocepto: L sumtoi pemite epeset l sum de u sucesió de témios e u fom muy eve. Po ejemplo, l sum de témios tles como u + u u puede epesetse co l otció: i ui, e dode el símolo es el sigo de sum y l let i, llmd ídice de sum, tom sucesivmete todos los vloes eteos positivos de iclusive. 4 i i = Popieddes de l sumtoi: i) i ( i i) = i i + i i ii) i ( i) = i i dode es u costte. iii)... i 34

35 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III..4.. Teoem de Iducció Complet Cocepto: el picipio de iducció complet popocio u método de demostció po ecueci. No es costuctivo e el setido de gee popieddes, peo hce posile l demostció de ésts cudo so eltivs l cojuto de los úmeos tules. Se P popiedd eltiv l cojuto de los úmeos tules, l vedd de P qued segud p todo IN, si se veific: i) P() es V ii) Si p(h) es V, etoces P(h+) es V Si S es u sucojuto de IN que stisfce: i) S ii) h S h + S Etoces S = IN Todo sucojuto de IN que icluy l y l siguiete de h siempe que icluy h, es igul IN. (S IN, S h S h + S) S = IN P demost este teoem es suficiete po que IN S y p esto st po que el sucojuto S = x IN / x S =. P ello supogmos que S. Como S IN / S de cuedo co el picipio de ue odeció (PBO: todo sucojuto o vcío de IN tiee pime elemeto )existe el elemeto míimo m S (). Po hipótesis, S y como los elemetos de S o peteece S, es m. Po ot pte, siedo m IN m, se tiee m > m- > 0. Como m- < m, po se m el míimo de S, esult que m- S. Aho ie, de cuedo co l hipótesis ii) m- S (m-) + S m S 35

36 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Este esultdo: m S es cotdictoio co (). Luego IN S, y como po hipótesis S IN, esult que S = IN. Picipio de Iducció Complet Hipótesis) Tesis) Osevció: P() es V h: P (h) P(h+) : P() es V L demostció de u popiedd eltiv IN po iducció complet, se eliz podo l vedd de ls dos poposicioes de l hipótesis del Teoem de Iducció Complet. Ej.: Po po iducció complet que l sum de los pimeos úmeos tules ( ) es Es deci IN se veific: ( ) S = = I) Deemos po que l popiedd se veific p =. Etoces qued: ( ) S = = II) Demostmos l vedd de l implicció de l hipótesis Hipótesis) S h = h = h. (h + ) 36

37 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Tesis) Demostció) Opedo qued; S ( h+)= h + ( h+) = (h + ). ( h + ) S ( h+) = h + ( h+) = h.( h+) + ( h+) S (h+) = h.(h+) +. (h+) = ( h+). ( h+) S (h+) = h +3h + = h +3h + Result etoces l fómul válid p todo que peteece l cojuto de los úmeos tules IN. 37

38 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III. - Cojutos Numéicos III.. Los Númeos Eteos 39 III...-Ccteizció del cojuto de los Númeos Eteos 39 III...- Ode e los úmeos Eteos 39 III..3.- Ls opecioes dició y poducto e el cojuto de los úmeos Eteos III.3. Los Númeos Rcioles 4 III.3..- Ccteizció del cojuto de los Númeos Rcioles 4 III.3..- Relcioes de ode e los Rcioles 4 III Ls opecioes dició y poducto e el cojuto de los úmeos Rcioles III.4. Los Númeos Icioles 43 III.5. El cojuto de los Númeos Reles 43 III.5..- Ccteizció del cojuto de los úmeos Reles 43 III.5..- Ls opecioes dició y poducto e el cojuto de los úmeos eles. El cuepo de los úmeos eles III Itevlos Dios ceó los úmeos tules el esto lo hizo el home. Leopold Koecke, (83-89) 38

39 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III.. Los Númeos Eteos P esolve l ecució teiomete plted (x + = ), es ecesio coside o defii oto cojuto: los úmeos eteos y lo desigmos co Z. Los úmeos eteos se ecuet fomdos po l uió de los úmeos tules, los eteos egtivos y el ceo, esto es: Z = {...,-3,-,-, 0,,, 3, } Z = IN 0 Z - E este cso se hce u logí de los tules co los eteos positivos desigdos como Z +. Los eteos egtivos desigdos como Z -, so los úmeos opuestos los eteos positivos. III...-Ccteizció del cojuto de los Númeos Eteos Es u cojuto ifiito Cd eteo tiee u úico teceso y u úico suceso Es disceto III...- Ode e los úmeos Eteos Se y peteecietes los eteos, se tiee: < k IN / k Se po ejemplo: A = 0 =6 k = 6 / = 6 Luego (0 6) 39

40 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año III..3.- Ls opecioes dició y poducto e el cojuto de los úmeos Eteos E los eteos está defiids dos opecioes deotds po (+) y ( ) y deomids sum y poducto de eteos. + : Z x Z Z : Z x Z Z (, ) + (, ) Popieddes de ls opecioes. + Ley de Ciee Z Z, Z Z, Ley Asocitiv c c Z c,, c c Z c,, Ley comuttiv Z, Z, Elemeto Neuto Z Z 0 0 / 0! Z Z /! Elemeto Opuesto,,, 0 /! Z Z Distiutividd de ( ) co especto (+) c c Z c,, E los úmeos eteos se plte ecucioes como l siguiete: x x : L divisió : solo es posile si es múltiplo de y 0; sólo e ess codicioes l ecució tiee solució e Z. Po ejemplo: 3 7 : 7 3 x x, o tiee solució e Z.

41 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III.3. Los Númeos Rcioles L ecució tes plted ( x x : ), o tiee solució e los úmeos eteos, suge etoces l ecesidd de coside uevos úmeos que de solució plteos del tipo meciodo. Se ce sí los úmeos cioles de l fom dode 0 y y so úmeos eteos, desigádose l cojuto como Q. Q =, / Z IN III.3..- Ccteizció del cojuto de los Númeos Rcioles No tiee pime i último elemeto Es u cojuto totlmete odedo Ete dos úmeos cioles existe ifiitos úmeos cioles, esto quiee deci que Q es u cojuto deso. Si c d c c d d III.3..- Relció de ode e los Rcioles Se y d c dos úmeos cioles:.. 3. c.d.c d c =.d =.c d c.d.c d Ode Esticto e Q Iguldd e Q Ode Amplio e Q 4

42 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 4 III Ls opecioes de dició y poducto e el cojuto de los Númeos Rcioles E los cioles está defiids dos opecioes deotds po (+) y ( ) y deomids sum y poducto de tules. +: Q x Q Q : Q x Q Q d c d d c d c def, d c d c d c def.., Dode po cuestioes páctics se empleá como: = ; = d c Popieddes de ls opecioes + Ley de Ciee Q Q, Q Q, Ley Asocitiv ) (,, Q ) (,, Q Ley Comuttiv, Q, Q Elemeto Neuto Q Q 0 0 / 0! Q Q /! Elemeto Iveso o Q Q ) ( / / 0 Q Q Distiutividd de ( ) co especto (+) 3 3 3,, Q

43 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III.4. Los Númeos Icioles E los cioles se puede eliz ls opecioes de sum y poducto, tmié l potecició, peo l dicció seá siempe posile?. Nos pegutmos etoces si: existe lgú xq/ x =? Si xq x ; dode Z y IN Es posile demost que este úmeo x o es ciol y peteece u uevo cojuto uméico distito de Q, l cul peteece 3,,, e, etc. Se dice etoces que Q o es u cuepo completo y que el uevo cojuto l que peteece x es el de los úmeos icioles y se desig como II. III.5. El cojuto de los Númeos Reles III.5..- Ccteizció del cojuto de los Númeos Reles Efectudo l uió de los cojutos de úmeos cioles y de icioles se otiee u uevo cojuto que se desig co IR y se deomi cojuto de los úmeos eles, el cul desempeñ u ppel impottísimo e tod l Mtemátic. IR = Q II III.5..- Ls opecioes de dició y poducto e el cojuto de los Númeos Reles. El cuepo de los Númeos Reles Hy dos opecioes ásics co los úmeos eles, llmdos sum y poducto que se simoliz co (+) y ( ). +: IR x IR IR : IR x IR IR (, ) + (, ) 43

44 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Popieddes del cuepo de los eles, (IR, +, )., IR + IR +,, c IR ( + ) + c = + ( + c), IR + = + Ley de Ciee Ley Asocitiv Ley Comuttiv Elemeto Neuto, IR IR,, c IR ( ) c = ( c), IR =! 0 IR / IR! IR / IR. 0 ` IR! IR / ` 0 Elemeto Iveso ` " " IR 0! IR / " Distiutividd de ( ) co especto (+),, c IR (+ c) = + c De ests popieddes fudmetles del cuepo IR se deduce ls siguietes: ) z IR z. 0 0 ), IR! x IR / z.. De est popiedd suge l defiició de difeeci ete IR, esto es: x x c), IR 0! z IR / z.. De est popiedd suge l defiició de cociete co l esticció 0, esto es: z z. Co l elció de ode se tiee u estuctu de cuepo odedo de los úmeos eles IR, (IR, +, ), comezmos ceptdo que existe u sucojuto o vcio IR + de IR, cuyos elemetos se llm úmeos positivos, tl que: ), IR IR. IR ) 0 IR 3) x IR 0 x IR x IR 44

45 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Diemos que l te (IR, +, ) es u cuepo odedo y IR + le llmemos clse positiv del cojuto de úmeos eles IR. Si (IR, +, ) es u cuepo odedo, defiiemos e IR dos elcioes, l elció de myo y l deotmos co y l elció de myo o igul que se deot como. Si, IR podemos: > IR def def > III Itevlos Se y dos úmeos tles que, IR <. etoces: Itevlo ieto (,): Es el cojuto de úmeos eles compedidos ete y peo que o los icluye. (,)=x/x IR < x < Itevlo cedo [,]: Es el cojuto de putos de l ect el fomdo po, y todos los compedidos ete mos. [,]=x/xir x Itevlo semiieto o semicedo * Semiieto izquied o semicedo deech: (,]=x/xir < x * Semiieto deech o semicedo izquied: [,)= x/xir x < 45

46 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Tmié se puede defii los itevlos ifiitos: [,+)=x/x IR x (,,+)=x/x IR x > (-,]=x/x IR x (-,)=x/x IR x < (-,+)=x/x IR = IR 46

47 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III. - Cojutos Numéicos III.6.- Cojutos Odedos 48 III.6..- El cojuto de ls -upls odeds de úmeos eles 49 III.6..- Opecioes e IR 50 Miets el álge y l geometí tomo cmios distitos, su vce fue leto y sus pliccioes limitds. Peo cudo ls dos ciecis se complemeto, se cotgio u l ot de vitlidd y de hí e delte mcho co itmo ápido hci l pefecció. Joseph Louis Lgge (736-83) 47

48 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III.6.- Cojutos Odedos Se osev que {p, q} epeset u cojuto cuyos elemetos se deomi p y q. Además {p, q}= {q, p} lo cul os dice que el ode e que se cosidee los elemetos cece de impotci. E muchos csos itees el ode de los elemetos del cojuto. Defiició: U cojuto odedo se idic poiedo ete pétesis los símolos de sus elemetos, los cules se ot e su ode. Segú el úmeo de compoetes de u cojuto odedo podemos tee: pes, tes, cutes odeds, etc. A,,...,,..., /,,..., ; i i i A IN fijo, el símolo A epeset el cojuto de todos ls -upls odeds de elemetos. Se A y B cojutos culesquie y e pticul se tiee que: s A y t B, defiimos p odedo de pime compoete s y segud compoete t l símolo (s, t), def s, t s t s s t t def A B / A B esult s, t s A t B A def A A, cojuto de todos los pes odedos de elemetos de A, 3 álogmete A x, y, z/ x A y A z A A 5 quitupls odeds y sí sucesivmete. tes, A 4 cutes, 48

49 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 III.6..- El cojuto de ls -upls odeds de umeos eles Si cosidemos A =IR se otiee: ) IR = {( ) / IR} que se idetific co l ect el Geométicmete: IR p = ( ) que se idetific co el vecto op o p=( ) ) IR = {(, ) / IR, IR} que se idetific co el plo. Geométicmete: (, ) IR, p = (, ) que se idetific co el vecto op e el plo y p=(, ) o x c) IR 3 = {(,, 3 ) / IR, IR, 3 IR} que se idetific co el espcio. Geométicmete: (,, 3 ) IR 3 p = (,, 3 ) que se idetific co el vecto op e el espcio 3 z p=(,, 3 ) y x 49

50 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Aálogmete se peset el cojuto de ls -upls odeds de úmeos eles IR = {(,, 3,..., ) / IR, IR, 3 IR,..., IR} III.6..- Opecioes e IR Sum de -upls : IR xir IR A, B A B Esto es A,,...,,..., IR def A B i,,..., IR B,..., i def,...,...,,,...,,...,,,...,,...,, i i i i ) Poducto de u escl po u -upls : IRxIR IR, A A Esto es: IR y A,,...,,..., IR i def. A i,,...,,...,,...,,..., L sum y el poducto defiidos veific ls siguietes codicioes: + es u ley de ciee, o ley ite i ) A B C A B C; A, B, C IR ) 0 IR / A IR : A 0 0 A A / 0 =(0,0,...,0) c) A IR A IR : A A A A 0 / -A=(-,-,...,- ) d) A B B A; A, B IR 50

51 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 e). A IR ; IR, A IR f) s. A. A s. A,, s IR, A IR g). s. A. s. A,, s IR, A IR h). A B. A. B, IR, A, B IR i). A A,A IR De lo teio se deduce que l cute ( IR,+,IR, ) tiee estuctu de espcio vectoil ; los elemetos de IR so vectoes y los elemetos de IR so úmeos eles.. 5

52 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 IV.- El cojuto de los Númeos Complejos 53 IV..- Cojugdo de u Complejo 55 IV..- L Uidd Imgii 56 IV...- Popieddes 56 IV.3.- Foms Biómics 57 IV.4.- Módulo de u Complejo 58 IV.4..- Popieddes del módulo 58 IV.5.- Fom pol de u úmeo complejo 58 IV.5..- Opecioes co úmeos complejos e fom pol 59 El pso fil se dio hci el siglo XVIII cudo se gego los imgiios l sistem completdo de los úmeos eles y se ceó el domiio de los úmeos complejos. ( El sistem de úmeos- De los tules los complejos. Els Rodiguez Aeul de Toio. Memois de l I Jod Regiol de l Histoi de l Mtemátic. Año 003). Si emgo, l existeci de úmeos complejos o fue completmete ceptd hst l itepetció geométic descit po Wessel e 799, edescuiet lguos ños después y populizd po Guss. 5

53 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 IV.- El cojuto de los Númeos Complejos El cojuto IN se mpli co uevos úmeos hst lleg IR. L ecució: x + = 0 o tiee solució e IR. L mplició de IR so los uevos úmeos que vmos coside, p ello tomemos como cojuto de ptid el cojuto IR. Recodemos: (IR, +, IR,.) espcio vectoil co ls opecioes: : IR xir IR : IR xir A, B A B, A A IR Ttemos ho de d IR estuctu de cuepo, p ello y teemos defiido l sum de putos y ho os qued po defii el poducto de putos, esto es: : IR xir IR A B AB def (, =, )(, ) (, ) Teoem: IR co ls opecioes sum de pes odedos y poducto de pes odedos es u cuepo. Demostció: Se A =, ), B =, ), C = c, ) elemetos itios de ( ( ( c IR. Desigemos como es hitul: 0 = ( 0,0) y U = (,0). Pogmos: A =, ) ( y demás si A 0: A - = 53

54 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Co estos coveios se tiee: + Ley de Ciee A, B IR A + B IR A, B IR A. B IR Ley Asocitiv A, B, C IR (A + B) + C = A + (B + C) A, B,C IR (A B) C = A (B C) A IR Ley Comuttiv A, B IR A + B = B + A A, B IR A B = B A Elemeto Neuto / A IR A A! U IR / A IR AU A!0 IR 0 Elemeto Opuesto '! A IR / A A '` 0. Elemeto Iveso multiplictivo '` " " A A A IR 0!A IR / A A U A " A Distiutividd de ( ) co especto (+) A, B, C IR A (B+C) = A B +A C Luego (IR, +,.) es cuepo. Aho podemos defii: def A B A ( B) Y, si B 0: A def A. B (, ).,, B Cudo se coside IR como cuepo, sus elemetos: A =, ), B =, ) etc. se deomi úmeos complejos. C def IR ( Es posile poe e coespodeci los putos del eje de sciss putos de l ect IR de tl modo que: _Sum de putos de C coespod co sums de putos de IR y ( C C co los 54

55 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 _Poductos de putos dec coespod co poductos de putos de IR. C def x x C / x 0, es evidete que C C, (,0) (,0) (,0) Osevmos que:, IR (,0).(,0) (.,0) Podemos estlece l coespodeci siguiete: A cd p ( x,0) C le sigmos u úmeo x IR, etoces, p cd x podemos: ( x,0) putodeir x putodeir (L iguldd teio o es iguos, pues se idetific u p co su pime compoete). Siedo C C y hiedo idetificdo C co IR, podemos coside l cuepo de los complejos C como u mplició del cojuto de los úmeos eles IR. IV..- Defiicioes. Iguldd. Númeos complejos cojugdos Se B = ( def, ) C, el úmeo B * (, ) ecie el ome de Cojugdo de B. B=(, ) o - B * =(,- ) Se veific ls siguietes popieddes: B + B * = (,0) 55

56 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 B. B * = (,0) Y como idetificmos C co IR: B + B * = IR B. B * = B IR, dode B se deomi módulo de B IV..- L Uidd Imgii El úmeo complejo U = (0,) se deot tdiciolmete co i y se lo deomi uidd imgii. Esto es: def i U (0,) U =(0,) 0 U =(,0) IV...- Popieddes i = -, esto es: i = (0,).(0,) = (-,0) = - Po lo tto: i + = 0 De modo que l ecució x + = 0 dmite solucioes e C u de ls cules es i (puesto que p x = i esult i + = 0 (-) + = 0 0 = 0 U úmeo complejo es el si y sólo si es igul su cojugdo. Esto es: Z C Z = Z * Pue: i) Z C Z = Z * * * * Z C Z = (,0) Z (,0) Z Z Z Z ii) Z = Z * Z Z * 56

57 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año Z = Z * IR Z C Z Z 0 0 i i i i i ) (,,) ( IV.3.- Foms Biómics Se A = IR ), (, podemos veific que A = ) (0,,0) (, peo: (,0) = Y es secillo po que: i i ) (0,,0).(0,) (,0). ( ) 0, ( E cosecueci: A = i, que es l fom iómic de A. ), ( ), ( ), ( Además i i i ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ).(, ( i i i ) ( ) ( ) ).( ( (L difeeci ete ope e fom ctesi co l iómic está e sustitui i = -). Filmete si B 0 y ecoddo que B - = o se B - = *. ),.( B B Se tiee ). (. * A B B A B B A O se ) ).( ( i i B A

58 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 IV.4.- Módulo de u úmeo complejo Podemos pti de quí idetific A co módulo del úmeo complejo A. esto es A A co A (, ) elemeto de C. IV.4..- Popieddes Se A (, ) C A Im( A) A ) *. A A A ) A. B A. B co A y B C 3) A B A B 4) A A. A... A A... A A IV.5.- Fom pol de u úmeo complejo Se P ( p, p ) p p C Semos que pemite u ifiidd de foms poles ( / ) p ls cules se veific: p cos p se p i p p Po lo tto: P ( p, p ) p ip cos ise (cos ise Podemos escii: P ( p, p ) ( / ) p ip (cos ise ) fomctesi ufompol fomiómic ufomtigoométic ) 58

59 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 IV.5..- Opecioes co úmeos complejos e fom pol Se ( / ) y ( s / ) foms poles de dos úmeos complejos P y Q o ulos. P Q ( p, p ) ( / ) (cos ise ) ( q, q ) ( s / ) s(cos ise ) (Siedo P y Q o ulos, se tiee P P 0 y demás Q Q s 0 ) Poducto P.Q = ( / ). ( s / ) [ (cos ise )].[ s(cos ise )] = s [(cos cos sese ) i( se cos se cos)] cos( ) O se: P.Q = ( / ). ( s / ) (. s / ) Potecició E pticul: se( ) P P 3 P. P ( / ).( / ) ( P. P ( / ).( / ) ( / ) 3 / 3 ) Puede demostse que si IN: P ( / ) ( / ) Fómul de De Moive Como Q 0, Q s 0, podemos expes Q - : Q Q. Q * Q Q * s(cos ise ) s [cos( ) ise( )] s Es deci: P Q P. Q O se: Q ( s / ) / s Divisió ( / )( s / ) / s s / / P Q ( / ) ( s / ) / s 59

60 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 Ríz eésim Si IN y A C def A W W A Si A ( / ) y W ( / ), esult: ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) y de l codició de iguldd de complejos e fom pol se deduce: k, k Z k, k Z k Luego A /, k 0,,..., Esto es, hy sólo vloes W k distitos, y es l úic íz eésim positiv de > 0. Ddos IN y u úmeo complejo ( / ) podemos coside l ecució: x ( / ) x ( / ) 0 U impotte teoem segu que tod ecució lgeic de gdo co coeficietes complejos (evetulmete eles) dmite pecismete íces complejs (lgus de ls cules puede se eles y o ecesimete ls íces so distits). Aplicdo este teoem l ecució x ( / ), podemos segu que existe úmeos complejos que l stisfce. Diemos que éstos úmeos complejos, solucioes o íces de l ecució x ( / ), so ls íces eésims de ( / ). 60

61 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 GUÍA PRÁCTICA I.- Elemetos de Logic simolic I.) Dds ls siguietes poposicioes:. Todo tiágulo equiláteo es u tiágulo.. Todos los lumos cumple co sus oligcioes..3 No llueve y hce fío..4 Se pohíe los psjeos somse o sc los zos po l vetill..5 Mi seceti o yo pesolmete iemos eti el mesje..6 Si lgú estdist es mte de l justici, lgú mte de l justici es estdist..7 Si l mde fue u metl, etoces seí mlele..8 Solo si es empledo de l cs puede utiliz el sceso picipl..9 El hecho de que se u úmeo positivo, implic que - es u º egtivo..0 Si u úmeo es divisile po y po 6, etoces es divisile po. - Idetifique ls poposicioes simples y compuests. - Tduzc cd u de ells l leguje lógico. c- Detemie el vlo de vedd de ls poposicioes simples d- Detemie el vlo de ls poposicioes compuests. e- A pti de ls poposicioes simples, fomule poposicioes compuests hciedo uso de coectoes lógicos. I.) Ecuete e el siguiete texto ls poposicioes y ls costtes lógics: Ls ivsioes iológics está ltedo ls comuiddes tules del mudo. Si o se implemet esttegis eficces p dismiui los impctos más pejudiciles de los ivsoes, os iesgmos empoece y homogeeiz los 6

62 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 ecosistems de los cules depedemos. De cotiu l flt de polítics efectivs p peveils o cotolls, ls ivsioes iológics seá comples los cmios tmosféicos y l cmio e el uso de l tie como los gdes fctoes tópicos de cmio glol. I.3) Teiedo e cuet ls siguietes poposicioes simples: p: sldé pse. : esciié mi lio. s: tjé e el jdí. q: me quedé pit. Expese e leguje comú ls siguietes poposicioes compuests: : p : ( p q ) c: p q d: s e: pq f: q I.4) Dds ls siguietes poposicioes: p: q: 0-5 : ( - 5 ) es u úmeo positivo. 3. Detemie el vlo de vedd de ls poposicioes p, q, y. : p q : ( p ) c: ( p ) d: q e: ( p q ) f: p I.5) Cofeccioe l tl de vedd de cd u de ls siguietes poposicioes: : ( p q ) : ( p q ) p q I.6) Detemie los vloes de vedd de q, p que ls siguietes poposicioes se veddes, siedo que p y so veddes y s es fls. 6

63 Fcultd de Ciecis Foestles-Cáted de Álge y Geometí Alític- Año005 : ( p ) ( q s ) : ( p s ) q c: ( p q ) ( s ) d: ( p q ) s e: ( q s ) ( s ) I.7) Se p y q poposicioes veddes y y s flss, idique el vlo de vedd de los icodicioles siguietes: : (p q ) : p ( p ) c: (q ) ( p ) d: ( q p ) ( s ) e: ( p q ) I.8) Idique si cd u de ls siguietes fómuls coespode u tutologí (T), u cotdicció ( C ) o u cotigeci ( G ). : ( p q ) ( p q ) : ( q p ) ( p q ) c: ( p q ) d: ( p q ) ( q p ) e: ( p q ) ( q p ) I.9) Ls fucioes poposicioles que pece e l itmétic y que solo cotiee u vile (uque ést puede itevei e vios luges de l fució dd), se puede dividi e tes ctegoís: i: Fucioes que se stisfce p todo úmeo. ii: Fucioes que o se stisfce p igú úmeo. iii: Fucioes que se stisfce p lguos úmeos y o se stisfce p otos. A cuáles de ests ctegoís peteece ls fucioes poposicioles siguietes? p(x): x + = 5 + x s(x): y + 4 > 36 q(x): x = 49 t(x): x + > 5 (x): ( y + ). ( y - ) < y l(x): x = 0 ó x < 0 ó x > 0 63