OPTIMIZACIÓN PARA INGENIEROS (Notas de clase) Instructores: Luis Zerpa Juan Colmenares

Transcripción

1 OPTIMIZACIÓN PARA INGENIEROS (Notas de clase) Istuctoes: Luis Zepa Jua Colmeaes Eeo 4

2 Ídice Geeal. OPTIMIZACIÓN...3. Mathematical Optimizatio Poblem o Mathematical Pogam Fomulació Geeal de u Poblema de Optimizació Pogamació Nolieal (No Liea Pogammig NLP) Caacteísticas de los poblemas que tataemos mayomete e el cuso Tipos de Poblemas Nolieales Algoitmos Iteativos y Covegecia Bibliogaía Fucioes de ua vaiable Cotiuidad de ua ució e u úmeo Teoemas sobe Cotiuidad Cotiuidad e u Itevalo Dieeciabilidad y Cotiuidad Deivada de ua Fució Valoes Máimos y Míimos de ua Fució de ua Vaiable Etemos Relativos Etemos Absolutos Etemos Absolutos e u Itevalo Pocedimietos paa detemiació de etemos absolutos e itevalo ceado: Fucioes Cecietes y Dececietes y Citeio de la Pimea Deivada Citeio de la Pimea deivada paa Etemos Relativos Pocedimieto paa Detemia Etemos Relativos Citeio de la Seguda Deivada Fomula de Taylo (Book Taylo ) Poliomio de Taylo Fucioes de Vaias Vaiables (Campos Escalaes) R R Cotiuidad de Campos Escalaes Opeacioes sobe Fucioes Cotiuas...

3 9.3. Gadiete Fomula de Taylo e Vaias Vaiables Etesió de los Citeios de Eistecia de Máimo y Míimos...3. Fomas Cuadáticas Popiedades de las omas cuadáticas Métodos de clasiicació de omas cuadáticas Método de los meoes picipales Método de los autovaloes:...6. Fucioes Coveas Caacteizació alteativa de las ucioes coveas Citeios de la pimea y seguda deivada...9

4 . OPTIMIZACIÓN La mayoía de los poblemas e el mudo eal tiee vaias solucioes y alguos tiee iiitas solucioes. El popósito de la optimizació es ecota o idetiica la mejo solució posible, ete todas las solucioes poteciales, paa u poblema dado, e témios de algú o alguos citeios de eectividad o desempeño. Eiste umeosas estategias de optimizació que va desde soisticados pocedimietos matemáticos (tato aalíticos como uméicos) hasta la simple peo iteligete aplicació de la aitmética. Asumiedo que u poblema de optimizació está deiido de algua maea, ua clasiicació geeal de los métodos de optimizació es la siguiete: Métodos Aalíticos: Uso del cálculo dieecial (isuiciete paa poblemas o lieales). Métodos Numéicos: Algoitmos (Pocedimietos iteativos) (Sobe esto se ceta uesto cuso). Otos: Métodos gáicos, métodos epeimetales, estudio de casos. Casi siempe uesto iteés e la optimizació se ceta e la solució de poblemas eales, los cuáles debe se epesetados matemáticamete. La optimizació de la epesetació matemática de pocesos eales peseta tipos de diicultades:. Fomulació del modelo matemático (epesetatividad) (Fució a se optimizada ó ució objetivo). Técica de Solució: - Eistecia de vaios etemos locales y globales. - Se supoe que los coeicietes y vaiables del modelo (ució objetivo) o so vaiables aleatoias. - Eoes de edodeo de la aitmética puto lotate. 3

5 . Mathematical Optimizatio Poblem o Mathematical Pogam Maimizació o miimizació de ucioes algebaicas de ua o más vaiables. La selecció de las vaiables estaá estigidas po ecuacioes o iecuacioes algebaicas llamadas esticcioes, de oma tal que el objetivo o es ecota el mejo valo posible sio el mejo valo pemitido po las esticcioes... Fomulació Geeal de u Poblema de Optimizació Ecota ( ) χ χ, LL L tal que se maimice o miimice ( χ,..., χ ) sujeto a esticcioes: = g i b ( χ,..., χ ) i dode i =,..., m b es escala i χi, y g i so eales S domiio de e oma vectoial, Ecota tal que Ma ó mi ( ) = Sujeto a gi( ) bi dode = (,..., ) S La ama de la matemática aplicada que esuelve este tipo de poblemas se deomia Pogamació Matemática (Mathematical Pogammig). ( ) es eeida como ució objetivo, ua solució posible al poblema ates omulado se deomia solució óptima u óptimo. La optimizació computacioal es ua heamieta udametal e los pocesos de toma de decisioes. 4

6 Figua Tipos de Pogamació Matemática.. Pogamació Nolieal (No Liea Pogammig NLP) NLP: Cojuto de técicas paa optimiza ucioes olieales sujetas a esticcioes de igualdad o desigualdad. Tato las ucioes como las esticcioes puede se de ua o más vaiables. El cuso tata udametalmete de pogamació o lieal.... Caacteísticas de los poblemas que tataemos mayomete e el cuso Fucioes objetivo y esticcioes cotiuas co sus pimeas deivadas paciales tambié cotiuas (suaves) Iecuacioes estictas o so pemitidas (< ó >) solo se pemite esticcioes, e =. El poblema debe se detemiístico. Esto gaatiza que pequeños cambios e colleve a pequeños cambios e valoes asociados 5

7 Todas las vaiables debe se eales, igua puede toma úicamete valoes eteos. (Cotiuous Pogammig). S domiio de y g i sea ua egió coectada.... Tipos de Poblemas Nolieales Si esticcioes y co esticcioes Tamaño de los Poblemas Ua oma de medi la complejidad de los poblemas es e ució del úmeo de vaiables o del úmeo de esticcioes. Pequeña Escala: 5 vaiables y esticcioes. Escala itemedia: de 5 a vaiables y esticcioes. Ga Escala: más de y quizás vaiables y esticcioes. Esta clasiicació o es ígida peo eleja las dieecias de los eoques de solució paa cada tipo de poblema. Pequeña Escala: Resuelto a mao Mediaa Escala: Computado Pesoal o Sevido de Popósito Geeal Ga Escala: Maiame paa cálculo cietíico (cay) y se eplota la estuctua del poblema. Algoitmos paalelos. E el cuso se estudiaá la teoía y los métodos que pemite eectivamete la solució de la más amplia vaiedad de poblemas (pequeña y mediaa escala picipalmete). A pesa de que u ga úmeo de algoitmos ha sido popuestos paa la solució del poblema geeal de optimizació o lieal, sólo uos pocos ha demostado se eectivos cuado se aplica a poblemas de ga escala. No eiste u método geeal de optimizació o lieal e el setido como es SIMPLEX paa poblemas lieales. (Se tiee más de 5 años tabajado e la solució de poblemas lieales). Niguo es ta supeio paa se clasiicado como la paacea uivesal de la NLP. 6

8 Esto hace que sea u amplio y uctíeo campo de ivestigació, el cual avaza segú el siguiete algoitmo: Figua Avace de la Pogamació olieal E NLP: Si ua estategia o peseta pueba de covegecia, esta puede se eectiva, e.g. EGO y DIRECT. Más aú la gaatía de covegecia de u algoitmo NLP paa u caso especial o oece, e muchos casos, mayo etedimieto co elació a la ceació de estategias eectivas paa poblemas más complejos. Citeios de Compaació de Algoitmos. Númeo de evaluacioes de la ució objetivo. Coiabilidad (Éito e alcaza la solució) 3. Rapidez 4. Tiempo de Pepaació del usuaio (sobe paametizació) 5. Pecisió de la solució 6. Gado de satisacció de las esticcioes 7. Diicultad 7

9 ..3. Algoitmos Iteativos y Covegecia La mayoía de los algoitmos de NLP so iteativos. K Solució Óptima E pogamació lieal eiste ua secuecia de logitud iita paa alcaza la solució. E NLP la secuecia geealmete o alcaza la solució óptima sio que covege hacia ella. E poblemas o lieales se detemia ua solució lo suicietemete cecaa a la óptima. La teoía de algoitmos iteativos se divide e:. Diseño del Algoitmo. Covegecia Global: Aálisis de covegecia global (si evetualmete covege) 3. Covegecia Local: Aálisis de covegecia local (la azó a la cual el algoitmo covege e la Solució óptima). Ua buea teoía es mejo que miles de coidas Esto da ua idea de la tatabilidad de los poblemas mediate u aálisis simple lo cual es muy impotate. U eoque epeimetal tambié es posible, peo o ha habido suiciete tiempo paa ecopila tal evidecia debido a la apaició ecuete de uevos y mejoes Algoitmos de Pogamació Nolieal. Áeas de Aplicació de Pogamació Nolieal - Igeieía - Pogamació de poducció, Poóstico, Cotol de Ivetaio, Cotol de Calidad, Cotol de Pocesos, Mateimieto, Diseño, Estimació de Pesupuesto. Optimizació e el ICA Aálisis y Diseño Óptimo de Sistemas Complejos Temociecia (Itege Pogammig) Caacteizació de Yacimietos (Histoy Matchig) Diseño Óptimo de Factuamieto Hidáulico Optimizació Itegada Subsuelo Supeicie 8

10 3. Bibliogaía b David Luebege. Liea ad oliea Pogammig. d Ed. Addiso-Wesley b Doald Simmos. Noliea Pogammig o Opeatios Reseach. Petice-Mall. b David Himmelbla. Applied Noliea Pogammig. McGaw-Hill. b Paos Papalambos y Douglas Wilde. Piciples o Optimal Desig. Cambidge. 9

11 4. Fucioes de ua vaiable 4.. Cotiuidad de ua ució e u úmeo Se dice que es cotiua e el úmeo a si y solo si las siguietes 3 codicioes se satisace: i. ( a) eiste lim ii. ( ) a lim eiste iii. ( ) = ( a) a Si al meos ua de estas 3 codicioes o se cumple se dice que es discotiua e a. Claamete, la oció geomética de u salto e la gáica de la ució es sióimo de discotiuidad, po ejemplo, ( + 3)( ) ( ) ; ; si ( ) = ; si = Discotiuidad emovible ( ) = Discotiuidad Esecial

12 ( ) 3 = si 3 si = Teoemas sobe Cotiuidad Teoema: Si y g so cotiuas e a etoces: i ) + g es cotiua e a ii) g es cotiua e a iii ) g es cotiua e a iv g ) es cotiua e a supoiedo que g ( a) Teoema: Ua ució polomial es cotiua e todo úmeo Deiició: Se dice que ua ució es cotiua e u úmeo a, si está deiida e algú itevalo abieto que cotiee e a y si paa cualquie > eiste u δ > tal que: 4.3. Cotiuidad e u Itevalo Deiició: Cotiuidad po la deecha ( ) ( a) < siempe que a < δ Se dice que es cotiua po la deecha del úmeo a si y solo si satisace las siguietes codicioes: i ) ( a) eiste ( ) ii) lim eiste + a iii) lim = + a ( ) ( a)

13 Cotiuidad po la izquieda Se dice que es cotiua po la izquieda del úmeo a si y solo si, i ) ii) ( a) eiste lim ( ) a eiste iii) lim ( ) = ( a) a Deiició: Ua ució cuyo domiio icluye el itevalo ceado [ a, b] se dice que es cotiua e [ a, b] si y solo si es cotiua e el itevalo abieto ( a, b), así como es cotiua po la deecha de a y cotiua po la izquieda de b. a b Deiició: es cotiua e [ a, b) si y solo si es cotiua e ( b) a, y cotiua po la deecha de a. b. Deiició: es cotiua e ( a, b] si y solo si es cotiua e ( b) a, y cotiua po la izquieda de 4.4. Dieeciabilidad y Cotiuidad La cotiuidad de ua ució o implica la dieeciabilidad de dicha ució e ese úmeo. Ej. ( ) =

14 Si embago, la dieeciabilidad si implica la cotiuidad. Teoema: Si ua ució es dieeciable e, etoces es cotiua e. 5. Deivada de ua Fució ' ( ) lim = ( + ) ( ) la pediete de la ecta tagete a ( ) e el puto ( ( ) ),. 6. Valoes Máimos y Míimos de ua Fució de ua Vaiable ). La deivada puede utilizase paa detemia los putos dode la tagete es hoizotal (deivada = 6.. Etemos Relativos Deiició: La ució se dice que tiee u valo máimo elativo e c, si eiste u itevalo abieto que cotega a c sobe el cual está deiida la ució tal que c paa toda e este itevalo. ( ) ( ) C = 3

15 Deiició: La ució se dice que tiee u valo míimo elativo e c, si eiste u itevalo abieto que cotega a c sobe el cual está deiido tal que c paa toda e este itevalo. ( ) ( ) Ej. c Dóde Localiza los Posibles Valoes Etemos? Teoema: Si ( ) eiste paa todos los valoes de e el itevalo abieto ( b) etemo elativo e c, dode Itepetació Geomética < b, si ( c) a c < ' eiste, ' ( c) =. a, y si tiee u Etemos Relativos ( c) eiste y '( c) ' = C = Si es ua ució dieeciable, los úicos lugaes posibles paa putos etemos es dode ' =. ( ) 4

16 Si embago, ( ) (Puto de Silla). 3 Ej. ( ) = ( ) ' puede se ceo y o obstate e ese valo o tiee u valo etemo ' ( ) = 3( ) ' ( ) = Más aú puede tee u etemo elativo e u úmeo y puede o eisti allí. Ej. ( ) = E Resume, Si ua ució está deiida e u úmeo c es ua codició ecesaia, peo o suiciete, paa ' c = ' c o eista. que tega u etemo elativo e c que ( ) ó que ( ) Deiició: Si c es u úmeo e el domiio de la ució y si ' ( c) = ó ' ( c) o eiste, etoces c se llama úmeo cítico de. 5

17 6.. Etemos Absolutos Fecuetemete estamos e ua ució deiida e u itevalo dado, y deseamos ecota el valo mayo o meo de la ució e el itevalo. Estos itevalos puede se ceados, abietos o ceados a u etemo y abieto e oto. El valo máimo absoluto es el mayo valo deto del itevalo, y el valo míimo absoluto es el míimo valo de la ució deto del itevalo Etemos Absolutos e u Itevalo Deiició: La ució se dice que tiee u valo máimo absoluto e u itevalo, si eiste algú úmeo c e el itevalo tal que ( c) ( ) paa toda e el itevalo. E tal caso ( c) es el valo máimo absoluto de e el itevalo. Deiició: La ució se dice que tiee u valo míimo absoluto e u itevalo si eiste algú úmeo c e el itevalo tal que ( c) ( ) paa toda e el itevalo. E tal caso ( c) es el valo míimo absoluto de e el itevalo. Valo etemo absoluto es u míimo o máimo absoluto de ució e el itevalo. Tambié se puede habla de etemo absoluto de ua ució cuado o se especiica igú itevalo. Deiició: Se dice que ( c) es el etemo máimo absoluto de la ució si c está e el domiio de y si ( c) ( ) paa toda e el domiio de la ució. Deiició: ( c) se dice que es u míimo global de la ució si c al domiio de y si ( c) ( ) Domiio de. Teoema del Valo Etemo Si ua ució es cotiua e el itevalo ceado [ b] absoluto y u valo míimo absoluto e [ a, b]. a,, etoces tiee u valo máimo U etemo absoluto de ua ució e u itevalo ceado debe se u etemo elativo o se u valo de la ució e u etemo del itevalo Pocedimietos paa detemiació de etemos absolutos e itevalo ceado:. Idetiica valoes de la ució e los úmeos cíticos de e [ a, b]. Ecota ( a) y ( b) 3. El mayo de estos es el máimo absoluto y el meo es el míimo absoluto 6

18 Teoema de Rolle (Michel Rolle 65-79) Sea ua ució cotiua e u itevalo ceado [ a, b], dieeciable e el itevalo ( b) y sea ( a) = y ( b) =, eiste al meos u úmeo c ete a y b dode ' ( c) =. a, abieto a c b Debe otase que puede habe más de u úmeo e el itevalo abieto ( b) deivada es ceo. a, paa el cual la a c c b Teoema del Valo Medio (uo de los teoemas más impotates del cálculo dieecial e itegal). Sea ua ució cotiua tal que: i. es cotiua e el itevalo ceado [ a, b] ii. es dieeciable e el itevalo abieto ( a, b). etoces eiste u úmeo c e el itevalo abieto ( a, b) tal que: ' () c = ( b) ( a) b a (c) R T R S La tagete R T es paalela a la secate R S a c b 7

19 7. Fucioes Cecietes y Dececietes y Citeio de la Pimea Deivada si: Deiició: Ua ució deiida e u itevalo se dice que es ceciete e ese itevalo si y solo ( ) ( ) < siempe que < dode y so úmeos del itevalo Deiició: Ua ució deiida e u itevalo se dice que es dececiete e ese itevalo si y solo si: ( ) > ( ) siempe que < dode y so úmeos del itevalo Si ua ució es ceciete o dececiete e u itevalo, etoces se dice que es moótoa. Teoema: Si ua ució cotiua e el itevalo ceado [ a, b] y dieeciable e el itevalo abieto ( a, b). i. Si '( ) > ii. Si '( ) < paa toda es ceciete e el itevalo paa toda es dececiete e el itevalo 7.. Citeio de la Pimea deivada paa Etemos Relativos Si ua ució cotiua e el itevalo abieto ( a, b) que cotiee u úmeo c y es dieeciable, ecepto, posiblemete e c ( ( c) puede o eisti). Si c es u etemo etoces: ( ) > ' ( ) < dode < c dode c < e este caso c es u máimo elativo Ej. = > < < > = Máimo Relativo Míimo Relativo 8

20 7... Pocedimieto paa Detemia Etemos Relativos. Ecota úmeos cíticos ( ' ( ) = ó ' ( ) o ). Aplica citeio de la pimea deivada 7.. Citeio de la Seguda Deivada Sea c u úmeo cítico de ua ució e la cual ' ( c) = e algú itevalo abieto que cotega a c. Etoces si ' ( c) i. Si ' ( c), ii. Si '' ( c), Nótese que si '' ( c) = ' < tiee u valo máimo elativo e c. > tiee u valo míimo elativo e c. ada puede cocluise. y eiste paa todos los valoes de ' eiste y, Teoema: Sea ua ució cotiua e el itevalo I que cotiee al úmeo c. Si ( c) es u etemo elativo de e I y es el úico, etoces ( c) es u etemo absoluto de e I. Además, i. Si ( c) es u máimo elativo es u máimo absoluto ii. Si ( c) es u míimo elativo es u míimo absoluto. 8. Fomula de Taylo (Book Taylo ) Cietas ucioes puede se apoimadas po poliomios y el poliomio puede se usado cuado la dieecia es pequeña. Teoema: Sea ua ució tal que y sus pimeas deivadas so cotiuas e el itevalo b a, b. Etoces hay u ceado [ a, ]. Además, + ( ) eiste paa toda e el itevalo abieto ( ) úmeo ε e el itevalo abieto ( a, b) tal que, ( b) = ( a) +! ( ) + ( a) ( ) ( a) ( ) ( ) ( ε) ( ) ( ) b a + b a + L + b, a + b a!! +! ' + si = ( b) = ( a) + ( ε )( b a) [Teoema del Valo Medio] 9

21 8.. Poliomio de Taylo Ρ ( ) = ( a) +! ( ) ( a) ( ) ( a) ( ) ( a) ( ) a +! a + K +! a Residuo R ( ) = ( + ) ( ε ) + ( a) dode ε está ete y a ( + )! Es buea apoimació cuado a y cuado es gade (elativamete gade). 9. Fucioes de Vaias Vaiables (Campos Escalaes) R R 9.. Cotiuidad de Campos Escalaes Deiició: Sea la ució = u R y sea a u. Decimos que es cotiua e a si dado cualquie úmeo positivo ε, podemos halla oto úmeo positivo δ tal que, Si a < δ, u, etoces ( ) ( a) < ε ó i. Si ( a ) está deiida lim eiste a ii. Si ( ) iii. Si ( ) = ( a) lim a si esta alla etoces eiste ua discotiuidad esecial. si esta alla etoces eiste ua discotiuidad evitable. Si es cotiua e cada puto de u, decimos que es cotiua e u. 9.. Opeacioes sobe Fucioes Cotiuas Si y g so cotiuas e a etoces: + g, g y g so cotiuas g es cotiua, si g ( a )

22 9.3. Gadiete Recodado: Deivada dieccioal: Razó de cambio e ua diecció dada po u vecto uitaio u v. Deivadas Paciales: So deivadas dieccioales peo especiales las dieccioes so las de los ejes coodeados.,,l y Deiició: Si : u R, u R, la deivada de e u puto u compoetes so las deivadas paciales de e. A esto se le llama GRADIENTE ( ) = ( ) ( ) ( ),, L, es el vecto cuyos Deiició: Sea : u R, u R y u. Sea h u vecto que h sea adecuadamete pequeña de modo que + h u, decimos que es dieeciable e si eiste el e y ua ució eal δ ( h ) deiida paa esos valoes de h tales que: ( + h ) ( ) = ( ) h + h δ ( h ) δ ( h ) = lim h Teoema: Si : u R, u R, es dieeciable e etoces es cotiua e. El ecípoco es also: Ua ució puede se cotiua si se dieeciable.. Si Teoema: (Codició de suiciecia de dieeciabilidad). : u R, u R posee deivadas paciales cotiuas e u etoces es dieeciable e

23 Si embago, ua ució puede se dieeciable e u puto si que sus deivadas paciales sea cotiuas, e dicho puto. Deiició: Decimos que ua ució es de clase C k e R u y escibimos ( ) u C k, si todas sus deivadas paciales de ode k eiste y so cotiuas e u. Si ( ) u C k esto implica la cotiuidad de las deivadas de ode meo e u Fomula de Taylo e Vaias Vaiables ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L = = = = j j j i j i h j h i oj j j h j! Σ Σ Σ E ua otació más covecioal y compacta dode: =,, L es el gadiete y, L L L Η es la matiz Hessiaa la omula de Taylo de vaias vaiables es, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) K =! T T Η Los témios de mayo ode o se escibe po su complejidad y poque o seá ecesaios e uesto tabajo e o liea pogammig.

24 9.5. Etesió de los Citeios de Eistecia de Máimo y Míimos - Los putos cíticos so aquellos dode = o o eiste. - Algua medida de positividad del Hessiao os diá si es u máimo o u míimo. Po qué o esolve el poblema? M = = = Poque es más complejo que los métodos que vamos a estudia Teoema de Weiestass (Etesió del teoema de Valo Etemo): Ua ució cotiua, deiida e u cojuto compacto S ceado y acotado (deiido y o se va a iiito) tiee u míimo y u máimo e S. 3

25 . Fomas Cuadáticas A pesa que e igeieía, ecoomía y estadística la mayoía de los poblemas so epesetados (ecuetemete de oma o apopiada) po modelos lieales y esuelto po métodos lieales, los modelos cuadáticos y técicas cuadáticas está e segudo luga. Deiició: Ua oma cuadática es cualquie campo escala ( R R) que sigue la siguiete oma:, deiido paa todo e R q h ( ) = a ij i j h i j = dode a ij R puede se ceo...(*) Ua oma cuadática o icluye igú témio lieal. Ej. ( ) q, = + ució cuadática Notació Maticial Cualquie oma cuadática puede se epesada como: t ( ) A q = dode a ij so elemetos de la matiz A y so los coeicietes e (*). Es clao que: ij i j ji j i ( a ij a ji ) i j a + a = + paa todo i j Po lo tato ua oma cuadática puede se epesetada equivaletemete po muchas matices A o cojutos de coeicietes a ij. Si embago, paa ua oma cuadática ( ) que D = D t ) que satisace q( ) t D d ij q dada eiste solo ua matiz simética (cuadada tal = cuyos elemetos está deiidos po: ( a + a ) ij ji = d ji = paa todo i y j q +, = a + b c Ej. ( ) q t (, ) = D = [ ] a b / b / c 4

26 Ej. Si A = 8 q q (, ) (, ) = [ ] = = Popiedades de las omas cuadáticas Ε. X Ε. X Deiició: La oma cuadática q( ) t D es deiida positiva si ( q ) > Deiició: La oma cuadática q( ) t D es semideiida positiva si ( q ) Ε, peo q( ) o es deiida positiva. Deiició: La oma cuadática q( ) t D es deiida egativa si ( ) < Deiició: La oma cuadática q( ) t D es semideiida egativa si ( ) Ε, peo q( ) o es deiida egativa. q paa todo e paa todo paa todo e q paa todo La matiz D (úica y simética) de ua oma cuadática deiida positiva es deiida positiva. Si o satisace igua de las cuato deiicioes ateioes se dice que la oma cuadática es q > y q( ) < q( ) es ideiida, dode y R. ideiida. Esto es si ( ) Ej: q (, ) + q = es deiida positiva ( ) ( ), + = es deiida egativa (,, ) ( ) q = + es semideiida positiva poque q(,,) = 3 3 Popiedad: Si q( ) es deiida positiva (o semi deiida positiva) etoces ( ) egativa (o semi deiida egativa) y vicevesa. q es deiida 5

27 Lema: (IMPORTANTE!!!) útil e Quadatic Pogammig. Sea D ua matiz simética de deiida positiva (egativa). Etoces: a) b) c) D eiste D es deiida positiva (egativa) t A D A es semideiida positiva (egativa) paa cualquie matiz A m... Métodos de clasiicació de omas cuadáticas... Método de los meoes picipales Sea q( ) t D ua oma cuadática, co D matiz simética. Sea D, D,, D los meoes picipales de la matiz D, dode D = d es deci, los detemiates de las submatices de D omadas po las i pimeas d d D = ilas y las i pimeas columas, paa i =. d d D = D Etoces: a) q( ) es deiida positiva si y sólo si todos los meoes picipales de D so positivos ( D >, D >,, D > ). b) q( ) es deiida egativa si y sólo los meoes picipales de D altea de sigo empezado po egativo ( D <, D >,, D co el sigo de (-) ). c) Si los - pimeos meoes picipales so todos positivos y el último D =, etoces q( ) es semideiida positiva. d) Si los - pimeos meoes picipales altea de sigo empezado po egativo y el último q es semideiida egativa. D =, etoces ( ) e) Si D = D y los citeios a) y b) o se veiica, etoces q( ) es ideiida. ) Si D i paa i =,, -, D = D = y los citeios c) y d) o se veiica, etoces q( ) es ideiida.... Método de los autovaloes: Sea q( ) t D ua oma cuadática, co D matiz simética. Sea λ, λ, λ los autovaloes de la matiz D. Etoces: q es deiida positiva si y sólo si λ i > i. a) ( ) b) q( ) es deiida egativa si y sólo si λ i < i. c) q( ) es semideiida positiva si y sólo λ i i, siedo al meos u λ j =. d) q( ) es semideiida egativa si y sólo λ i i, siedo al meos u λ j =. e) q( ) es ideiida si y sólo si algú λ i > y algú λ j <. 6

28 . Fucioes Coveas Estamos paticulamete iteesados e la optimizació de este tipo de ucioes sobe los llamados cojutos coveos. Deiició: U cojuto X e ( R ) e X y cualquie valo escala o Ε es coveo si y sólo si paa dos putos cualquiea y = λ + λ tambié está deto de X. λ, el puto ( ) Coveo No Coveo Ej. Ua esea, u tiágulo, el espacio R, ua líea ecta y u puto so cojutos coveos. U hipeplao tambié es u cojuto coveo. Deiició: Ua ució escala ( ) es ua ució covea deiida sobe u cojuto coveo X e E si paa dos putos cualquiea y e X. + dode λ ( λ ( λ ) ) λ ( ) + ( λ ) ( ) A B AC = λ BC = ( a) + ( λ ) ( b) ( λa+ ( λ ) b) a c b Las ucioes coveas tiee ua caacteizació geomética simple e iomativa. 7

29 Teoema: Cualquie ució lieal ( ) c Teoema: Si ( ) es covea ( ) t = es tato cócava como covea. es cócava (y vicevesa). Teoema: La suma de o más ucioes coveas (cócavas) es covea (cócava) t Teoema: Cualquie oma cuadática semideiida positiva q( ) = D dode D es simética, es ua ució covea e todo E. Si es deiida positiva es estictamete covea. t Teoema: Cualquie oma cuadática semideiida egativa q( ) = D dode D es simética, es ua ució cócava e todo E. Si es deiida egativa es estictamete cócava. t Dada ua ució cuadática epesetada como ( ) q( ) + c + c es covea o cócava si q ( ) es covea o cócava. Al desaollo de Taylo A que se paece? t ( ) ( ) ( ) ( ) t = + + ( ) Η( )( ) Teoema: Si la ució ( ) cualquie míimo local (co esticció) de ( ) Idem paa máimo-cocava está deiida y es covea sobe u cojuto coveo X e E, luego e X es u míimo global e X. Tiee ua implicació impotate: el pime etemo idetiicado es la solució deseada. es covea (cócava) sobe u cojuto X compacto y coveo (ceado y limitado) e E etoces al meos u máimo (míimo) global se ecueta sobe el bode de X. Teoema: Si ua ució ( ).. Caacteizació alteativa de las ucioes coveas. E geeal es ecesaio detemia si ua ució es covea. Hasta ahoa se ha deivado esultados paa ucioes lieales y cuadáticas. Paa cieta catidad de ucioes (o ta complejas) de alguas vaiables es posible detemia su coveidad mediate ua pueba de la seguda deivada. 8

30 ... Citeios de la pimea y seguda deivada Teoema: Supogamos que ( ) tiee pimeas deivadas paciales cotiuas. Luego ( ) cócava sobe algua egió R e E si y sólo si similamete, ( ) t ( ) ( ) + ( ) ( ) es covea sobe algua egió R e E si y sólo si t ( ) ( ) + ( ) ( ) es Aquí se equiee que u hipeplao que es tagete e algú puto cócava debe esta eteamete sobe ella. a ua hipesupeicie Plao tagete * Plao tagete * Cócava Covea Teoema: Sea ( ) Etoces ( ) ua ució C (segudas deivadas paciales eiste y so cotiuas). es cócava (covea) sobe ua egió R e E si y sólo si su Hessiao es deiido o semi deiido egativo (positivo) paa toda de la egió R. Teoema de Schwatz, y es tal que Si ( ) y (Debido al teoema de Schwatz), y so cotiuas e u etoo de u puto ( ) y y, y, y etoces ( y ) eiste y se cumple que (, y ) = (, y ) y Como la matiz Hessiao es simética la deiició deiida y semideiida positiva paa omas cuadáticas es aplicable diectamete. Ua ució puede se covea o cocava y su Hessiao puede desapaece e alguos putos (matiz de ceos). 9