COMBINATORIA Y PROBABILIDAD

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1 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los.- TÉCNICAS DE RECUENTO _ (NO APLICADAS). Digrm de árol COMBINATORIA Y PROBABILIDAD Ls técics de recueto so herrmiets utilizds pr cotr csos. Si el úmero de csos es pequeño o su cálculo sigue u ptró clro se puede utilizr el digrm de árol, pero cudo se complic coviee utilizr otrs técics o fórmuls más complejs y eficces, uque sí es cierto que sds e los digrms de árol. EJEMPLO_ L empres de mts Mtuki, ls hce e tres modelos, Dehogr, Deiño y Deeé. A su vez cd modelo se hce e dos versioes Coforro y Siforro. Además de lo terior se fric tods ells e cico colores: Azul, Blco, Rojo, Verde y Negro. Cuátos tipos de Mtukis fric?. Fórmuls de comitori EJEMPLO._ Siguiedo hor co el ejemplo de ls Mtuki, u cliete quiere comprr pr reglr cico mts de hogr co forro, u de cd color. Si ls regl cico migos. De cuáts forms puede reglr ls mts? Pr cotr tods ls forms posiles deemos teer e cuet lo siguiete:.- el úmero de elemetos que se puede tomr, m, e este cso cico que so los diferetes colores de ls mts,.- el úmero de elemetos que se coge cd vez,, e este cso cico que so los migos etre los que v reprtir ls mts,.- si se puede repetir los elemetos, e este cso o, pues ls mts so de distitos colores y por tto o puede reglr mts del mismo color distitos migos,.- si import el orde, es decir, reprtir ls mts de ls siguietes forms so el mismo reprto o distito, e este cso distito, pues o es el mismo reprto si el migo tiee l mt verde y el migo l mt egr que si lo hce l revés, por lo tto el orde sí import. L solució será: = forms diferetes de reglr ls mts los cico migos. EJEMPLO._ Ahor supogmos que otro cliete quiere comprr pr reglr tres mts de hogr co forro de diferetes colores. Si ls regl tres migos. De cuáts forms puede reglr ls mts? Pr cotr tods ls forms posiles deemos teer e cuet lo siguiete:.- el úmero de elemetos que se puede tomr, m, e este cso cico que so los diferetes colores de ls mts,.- el úmero de elemetos que se coge cd vez,, e este cso tres que so los migos etre los que v reprtir ls mts,.- si se puede repetir los elemetos, e este cso o, pues ls mts so de distitos colores y por tto o puede reglr mts del mismo color distitos migos,.- si import el orde, es decir, reprtir ls mts de ls siguietes forms so el mismo reprto o distito, e este cso distito, pues o es el mismo reprto si el migo tiee l mt lc y el migo l mt roj que si lo hce l revés, por lo tto el orde sí import. L solució será: = forms diferetes de reglr ls mts los tres migos. EJEMPLO._ Ahor supogmos que otro cliete quiere comprr pr reglr tres mts si forro de hogr. Si ls regl tres migos. De cuáts forms puede reglr ls mts? Pr cotr tods ls forms posiles deemos teer e cuet lo siguiete: AMIGO AMIGO AMIGO AMIGO AMIGO Azul Blc Roj Verde Negr Azul Blc Roj Negr Verde AMIGO AMIGO AMIGO Azul Blc Roj Azul Roj Blc

2 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los.- el úmero de elemetos que se puede tomr, m, e este cso cico que so los diferetes colores de ls mts,.- el úmero de elemetos que se coge cd vez,, e este cso tres que so los migos etre los que v reprtir ls mts,.- si se puede repetir los elemetos, e este cso sí, pues puede reglr mts del mismo color diferetes migos porque el eucido o dice eplícitmete que ls mts de ser de diferetes colores,.- si import el orde, es decir, reprtir ls mts de ls siguietes forms so el mismo reprto o distito, e este cso distito, pues o es el mismo reprto si el migo tiee l mt zul y el migo l mt roj que si lo hce l revés, por lo tto el orde sí import. L solució será: = forms diferetes de reglr ls mts los tres migos. EJEMPLO._ Ahor supogmos que otro cliete quiere comprr pr reglr u solo migo, tres mts de hogr si forro de distitos colores. De cuáts forms puede reglr ls mts? Pr cotr tods ls forms posiles deemos teer e cuet lo siguiete:.- el úmero de elemetos que se puede tomr, m, e este cso cico que so los diferetes colores de ls mts,.- el úmero de elemetos que se coge cd vez,, e este cso tres que so ls mts de distito color que v reglr u migo, E este cso l estructur de árol o os yud demsido, escriimos por orde tods ls opcioes. MANTA Azul MANTA Blc MANTA Roj.- si se puede repetir los elemetos, e este cso o, pues ls mts so de distitos colores y por tto o puede reglr mts del Azul Blc Verde Azul Blc Negr mismo color su migo, Azul Roj Verde.- si import el orde, es decir, reprtir ls mts de ls Azul Roj Negr Azul Verde Negr siguietes forms so el mismo reprto o distito, e este cso el mismo, Blc Blc Roj Roj Verde Negr pues es el mismo reprto si reglmos ls mts zul, lc y roj e culquier de ls seis forms de l tl, el migo recie ls tres mts Blc Verde Negr Roj Verde Negr igulmete, por lo tto el orde o import. L solució so forms distits de reglr tres mts de diferete color, de etre cico, u migo. Ce destcr que este cso es precido l ejemplo, pero e quel ejercicio cd u de ls diez opcioes quí epuests d lugr seis csos diferetes co u totl de forms distits de reglr ls mts. Cudo o import el orde l opció AZUL BLANCA ROJA _ (A B R) es úic pero cudo sí import el orde est opció d lugr otrs seis: A B R, A R B, B A R, B R A, R A B, R B A. Pues ie cd uo de los ejemplos teriores correspode u de ls fórmuls de comitori que vmos estudir e est uidd... Permutcioes (Ejemplo.) Llmmos permutcioes si repetició (permutcioes) de m elemetos los distitos grupos que se puede formr co los m elemetos de mer que:.- cd grupo tiee los m elemetos (todos), por supuesto distitos,.- dos grupos co los mismos elemetos e distito orde se cosider grupos diferetes. L fórmul que permite clculr ls permutcioes de m elemetos es: P m = m! Se defie fctoril de m como m! = m (m ) (m ), sí! = =. Deemos teer e cuet que o eiste el fctoril de u úmero egtivo y que! = por defiició, (es sí y puto). EJEMPLO._ Siguiedo hor co el ejemplo de ls Mtuki, u cliete quiere comprr pr reglr cico mts de hogr, u de cd color. Si ls regl cico migos. De cuáts forms puede reglr ls mts?.- Como hemos eplicdo e el ejemplo teemos que m= y =, demás el orde sí import y o puede her repetició Permutcioes P =! = forms distits. AMIGO AMIGO AMIGO Azul Azul Azul Azul Azul Roj Azul Roj Azul MANTA MANTA MANTA Azul Blc Roj Azul Roj Blc Blc Azul Roj Blc Roj Azul Roj Azul Blc Roj Blc Azul

3 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los.. Vricioes si repetició (Ejemplo.) Llmmos vricioes si repetició (vricioes) de m elemetos tomdos de e ( m) los distitos grupos que se puede formr co los m elemetos de mer que:.- cd grupo tiee elemetos diferetes,.- dos grupos co los mismos elemetos e distito orde se cosider grupos diferetes. L fórmul que permite clculr ls vricioes de m elemetos tomdos de e es: m! V m, m (m ) (m ) (m ) (m )! EJEMPLO._ Ahor supogmos que otro cliete quiere comprr pr reglr tres mts de hogr de diferetes colores. Si ls regl tres migos. De cuáts forms puede reglr ls mts?.- Como hemos eplicdo e el ejemplo teemos que m= y =, demás el orde sí import y o puede!!! her repetició Vricioes V, forms distits. ( )!!!.. Vricioes co repetició (Ejemplo.) Llmmos vricioes co repetició (vricioes co repetició) de m elemetos tomdos de e los distitos grupos que se puede formr co los m elemetos de mer que:.- cd grupo tiee elemetos, repetidos o o,.- dos grupos co los mismos elemetos e distito orde se cosider grupos diferetes. L fórmul que clcul ls vricioes co repetició de m elemetos tomdos de e es: VR m, = m EJEMPLO._ Ahor supogmos que otro cliete quiere comprr pr reglr tres mts de hogr. Si ls regl tres migos. De cuáts forms puede reglr ls mts?.- Como hemos eplicdo e el ejemplo teemos que m= y =, demás el orde sí import y sí puede her repetició Vricioes co repetició VR, = = forms distits... Comicioes si repetició (Ejemplo.) Llmmos comicioes si repetició (comicioes) de m elemetos tomdos de e ( m) los distitos grupos que se puede formr co los m elemetos de mer que:.- cd grupo tiee elemetos diferetes,.- dos grupos co los mismos elemetos e distito orde se cosider como el mismo grupo. L fórmul que clcul ls comicioes de m elemetos tomdos de e es: m! C m,! (m )! m! Est fórmul tmié se puede epresr como: C m, V m, P (m )!! m!! (m )! EJEMPLO._ Ahor supogmos que otro cliete quiere comprr pr reglr u solo migo, tres mts de hogr de distitos colores. De cuáts forms puede reglr ls mts?.- Como hemos eplicdo e el ejemplo teemos que m= y =, demás el orde o import y o puede!!! her repetició Comicioes C, forms distits.! ( )!!!! Señlr que de ls cutro fórmuls tres so de l fmili de ls vricioes (sí import el orde) y l otr es de l fmili de ls comicioes (o import el orde). E los prolems ls podremos distiguir:.- Si se utiliz todos los elemetos y sí import el orde será permutcioes, si se coge todos los elemetos y o import el orde, o tiee mucho setido pues solo hrí u comició posile. Por ejemplo, se coge tres otes de pitur, rojo, verde y zul y se mezcl. Cuátos colores distitos se otiee de l mezcl? L respuest es uo, d igul e qué orde se mezcle los colores..- Si hy repetició, solmete puede ser el cso de vricioes co repetició, (o hemos visto otro)..- Si o se coge todos, ver si el orde import, si sí import, vricioes y si o import, comicioes.

4 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los.- TRIÁNGULO DE PASCAL y NÚMEROS COMBINATORIOS_ (NO APLICADAS). Triágulo de Pscl y úmeros comitorios El deomido triágulo de Pscl es u triágulo que se costruye fil fil de l siguiete mer, l primer fil tiee u úmero, u uo, l segud fil tiee dos úmeros, dos uos, prtir de l tercer fil, cd fil comiez y c co u uo y los demás se otiees sumdo los dos que está ecim de él. Estos úmeros so los úmeros comitorios m se lee m sore y cuyo vlor se otiee medite l epresió )! (m! m! m que es l correspodiete ls C m,. EJEMPLO:!! )! (!!. Poteci de u Biomio U plicció del triágulo de Pscl se puede ver e el desrrollo de l poteci de u iomio del tipo: r r r... r EJEMPLO: (+) = = = = ECUACIONES COMBINATORIAS_ (NO APLICADAS) L icógit prece e el suídice de u o vris de ls fórmuls de comitori. EJEMPLO: Clcul el vlor de e l siguiete ecució: V, = C, )! -! )! ) ) ) )! )! ) )! -!! C )!! V,, ) ) ) )

5 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los = ) ) = + = 8 9 Se puede compror que co =7 se cumple l iguldd: V 7, 7! 7! (7 )!! C 7, 7!! (7 - )! 7!!! 7 Si emrgo co = o tiee setido..- PROBABILIDAD. Defiicioes.- Eperimeto letorio: Eperimeto e el que o podemos ser el resultdo co certez. EJEMPLO: El eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs es u eperimeto letorio, sé que puede slir ciertos vlores pero o sé co certez qué vlor será. El eperimeto Clculr el áre de u cudrdo coocido su ldo, o es letorio, todos dirímos el mismo resultdo, si el ldo es cm etoces su áre es cm co totl seguridd..- Espcio muestrl: Es el cojuto de resultdos posiles de u eperimeto letorio. Se deot como E. EJEMPLO: El eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, tiee por espcio muestrl E = {,,,,, 7, 8, 9,, }, segú se oserv cotiució: + = + = + = + = + = + = = = = + = + = + = + = + = + = 7 + = = = 9 +9 = + =.- Suceso letorio: Culquier sucojuto del espcio muestrl E. EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, se puede plter diversos sucesos: A = Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y l sumr sus cifrs oteer u úmero pr, e l práctic se escrie como A = Scr pr = {,,, 8, }. B = Scr múltiplo de tres = {,, 9} C = Scr primo = {,,, 7, } D = Scr úmero cdo e cero = {}.- Suceso elemetl: Suceso formdo por u solo elemeto. EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, el suceso D = Scr úmero cdo e cero = {} es u suceso elemetl..- Suceso compuesto: Suceso formdo por más de u elemeto. EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, el suceso B = Scr múltiplo de tres = {,, 9} es u suceso compuesto..- Suceso seguro: Suceso que siempre se cumple. Estrá formdo por E. EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, el suceso F = Scr meor que = {,,,,, 7, 8, 9,, } = E..- Suceso imposile: Suceso que uc se cumple. Se desig por cojuto vcío. EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, el suceso G = Scr egtivo = {} es u suceso imposile..- Suceso cotrrio: Se llm suceso cotrrio del suceso A l formdo por los elemetos que o form A. Se deot A o A c.

6 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, ddo el suceso A = Scr pr = {,,, 8, }, el suceso A = Scr impr = {,, 7, 9, }.- Espcio de sucesos: Es el cojuto de todos los sucesos de u eperimeto letorio. Se deot por S. EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, el espcio de sucesos estrá formdo por todos los sucesos posiles del eperimeto S = { Scr pr, Scr impr, Scr múltiplo de, }..- Sucesos comptiles: Dos sucesos A y B se dice comptiles si tiee elemetos e comú, si se puede relizr l vez. A B. (A B, se lee A itersecció B y sigific lo que tiee e comú A y B). EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, los sucesos A = Scr pr = {,,, 8, } y B = Scr múltiplo de tres = {,, 9} so comptiles pues tiee e comú u elemeto, es decir, A B = {} y tmié A B..- Sucesos icomptiles: Dos sucesos A y B se dice icomptiles si o tiee elemetos e comú, si o se puede relizr l vez. A B =. EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, los sucesos B = Scr múltiplo de tres = {,, 9} y D = Scr úmero cdo e cero = {} so icomptiles pues o tiee elemetos e comú, es decir, A B =. cumplirá:. Proilidd de u suceso.- Regl de Lplce: Si todos los sucesos elemetles de u eperimeto letorio so equiproles, se ProilidddelsucesoA P(A) Númerodecsos fvorles A Númerodecsos posiles EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, l proilidd del suceso B = Scr múltiplo de tres = {,, 9}, será P(B), %. Este resultdo o es correcto porque los sucesos elemetles e el espcio {,,,,, 7, 8, 9,, } o so equiproles pues, P(Sumr tres) P(), %, mietrs P(Sumr oce) P(), % y P() P() P() P() P(7) P(8) P(9) P(), %, y por tto o se puede plicr Lplce. Por el cotrrio e el espcio formdo por todos los sucesos elemetles {+, +, +, +, +, +, +7, +8, +9, +, +, +, +, +, +, +, +7, +8, +9, +} = {,,,,, 7, 8, 9,,,,,,, 7, 8, 9,,, } = {,,,,,,,,,,, 7, 7, 8, 8, 9, 9,,, }, l proilidd de cd uo es l mism. 7 L proilidd de scr múltiplo de tres será: P(B) P() P() P(9), %..- Proilidd del suceso imposile: P() = EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, l proilidd del suceso G = Que l sum se egtiv = {}, será, P(G) P( )..- Proilidd del suceso seguro: P(E) = EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, l proilidd del suceso F = Scr meor que = {,,,,, 7, 8, 9,, } = E, será P(F) P(E)..- Proilidd de u suceso culquier A: P(A) EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, l proilidd del suceso D = Scr úmero cdo e cero = {}, será P(D),.

7 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los.- Proilidd del suceso cotrrio de A: P( A ) = p(a) EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, l proilidd del suceso A = Scr pr = {,,, 8, }, será P(A),, mietrs que l proilidd del cotrrio A, será P( A) P() P() P(7) P(9) P(), que tmié se puede clculr prtir de l epresió: P( A) P(A),..- Proilidd de l uió de sucesos comptiles: P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B) (AUB se lee A uió B y sigific el suceso que se reliz cudo se cumple o A o B). EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, el suceso A = Scr pr = {,,, 8, } y el suceso B = Scr múltiplo de tres = {,, 9} so sucesos comptiles y por tto l proilidd del suceso uió de los sucesos A y B viee dd por l epresió: 7 P(AUB) p(a) p(b) p(a B),7..- Proilidd de l uió de sucesos icomptiles: P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B) = * P(A) + P (B) (Dos sucesos A y B so icomptiles si se cumple A B = y por tto P(A B) = ). EJEMPLO: E el eperimeto Scr u ol de u ur que cotiee ls ols umerds del l y sumr sus cifrs, el suceso B = Scr múltiplo de tres = {,, 9} y el suceso H = Scr múltiplo de cico = {, } so sucesos icomptiles y por tto l proilidd del suceso uió de los sucesos B y H viee dd por l epresió: 7 7 P(BUH) p(b) p(h) p(b H),, o ie P(BUH) p(b) p(h),, dode se ovi el vlor de P(B H) =.. Proilidd e eperimetos compuestos U eperimeto compuesto es el formdo por vrios eperimetos simples. EJEMPLO: El eperimeto Scr u ol y seguidmete otr ol de u ur que cotiee tres ols umerds del l y otr mos úmeros es u eperimeto compuesto. El espcio muestrl serí E = {(,), (,), (,), (,), (,), (,)}. EJEMPLO: El eperimeto Scr u ol, volver itroducirl y cotiució scr otr ol, de u ur que cotiee tres ols umerds del l y otr mos úmeros es u eperimeto compuesto. El espcio muestrl serí E = {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)}..- Sucesos idepedietes: Dos sucesos A y B se dice idepedietes si el resultdo del segudo o se ve ifluecido por el resultdo del primero. Se cumple: P(A B) = P(A) P(B) EJEMPLO: E u ur hy 8 ols egrs, ols verdes y ols lcs. Se etre dos ols, co reemplzmieto, (sigific que se etre u ol, cotiució se devuelve l ol l ur y se etre l segud ol). Clculr l proilidd de que: ) L primer ol se egr y l segud se lc. ) Ls dos ols se de diferete color. c) Siedo que l primer ol es egr, l segud ol se lc. Pr clculr l proilidd de estos sucesos deemos diujr el árol co ls proiliddes de cd rm. A cotiució pr cd suceso se locliz l rm o rms que lo form teiedo e cuet que:.- A lo lrgo de u rm se multiplic ls proiliddes. (PROBABILIDAD CONDICIONADA).- Si u suceso se cosigue por vris rms, l proilidd se otiee sumdo ls proiliddes de cd rm. (PROBABILIDAD TOTAL) 7

8 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los ) L primer ol se egr y l segud se lc. Está formd por u sol rm, sí que clculmos su proilidd multiplicdo sus compoetes: P(Primer egr y Segud lc) = P(N y B ) = P(N B ) = P(N ) P(B ) = P(N) P(B) = 8 E l práctic deemos esforzros por dejr ie clr l proilidd que estmos clculdo y uque o vmos escriir tto como e el ejemplo terior, sí que por lo meos deerá precer: 8 P(N y B ) = P(N ) P(B ) = 9, % ) Ls dos ols se de diferete color. E este cso hy seis rms e ls que os ecotrmos co dos ols de distito color, clculremos cd u de ls seis rms y summos los resultdos: P(Dos ols diferete color) = P(B y V ) + P(B y N ) + P(V y B ) + P(V y N ) + P(N y B ) + P(N y V ) = = P(B ) P(V ) + P(B ) P(N ) + P(V ) P(B ) + P(V ) P(N ) + P(N ) P(B ) + P(N ) P(V ) = ,% Este tipo de situcioes veces se resuelve utilizdo l proilidd del suceso cotrrio, pues suele supoer meos trjo por teer meos rms que lo cumpl, e este cso: P(Dos ols diferete color) = P(Nigu de dos ols distito color) = P(Dos mismo color) = = (P(B y B ) + P(V y V ) + P(N y N )) = (P(B ) P(B ) + P(V ) P(V ) + P(N ) P(N )) = c) Siedo que l primer ol es egr, l segud ol se lc. P(Segud lc cudo primer h sido egr) = P(B /N ) = P(B) = E este cso os situmos mitd de árol (de izquierd derech) y solmete otmos su proilidd..- Sucesos depedietes: Dos sucesos A y B se dice depedietes si el resultdo del segudo se ve ifluecido por el resultdo del primero. Se cumple: P(A B) = P(A) P(B/A) o P(B A) = P(B) P(A/B) (P(A/B) se lee proilidd de B cudo A o proilidd de B cudo ocurrido A ) EJEMPLO: E u ur hy 8 ols egrs, ols verdes y ols lcs. Se etre dos ols, si reemplzmieto, (sigific que se etre u ol y cotiució l otr ol). Clculr l proilidd de que: ) L primer ol se egr y l segud se lc. P(Primer egr y Segud lc) = P(N y B ) = P(N B ) = P(N ) P(B /N ) = P(N) P(B/N) = 8 E l práctic deemos esforzros por dejr ie clr l proilidd que estmos clculdo y uque o vmos escriir tto como e el ejemplo terior, sí que por lo meos deerá precer: 8 P(N y B ) = P(N ) P(B /N ) = % ) Ls dos ols se de diferete color. P(Dos ols diferete color) = = P(B y V ) + P(B y N ) + P(V y B ) + P(V y N ) + P(N y B ) + P(N y V ) = = P(B ) P(V /B ) + P(B ) P(N /B ) + P(V ) P(B /V ) + P(V ) P(N /V ) + P(N ) P(B /N ) + P(N ) P(V /N ) = ,% 8

9 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los Este tipo de situcioes veces se resuelve utilizdo l proilidd del suceso cotrrio, pues suele supoer meos trjo por teer meos rms que lo cumpl, e este cso: P(Dos ols diferete color) = P(Nigu de dos ols distito color) = P(Dos mismo color) = = (P(B y B ) + P(V y V ) + P(N y N )) = (P(B ) P(B /B ) + P(V ) P(V /V ) + P(N ) P(N /N )) = c) Siedo que l primer ol es egr, l segud ol se lc. P(Segud lc cudo primer h sido egr) = P(B /N ) = E este cso os situmos mitd de árol (de izquierd derech) y solmete otmos su proilidd, e este cso l ser sucesos depedietes (si devolució) l proilidd P(B /N ) = P(B) = Tto e el cso de co devolució como e el cso de si devolució, l sum de ls proiliddes de ls ueve rms que form el árol dee ser uo..- Co reemplzmieto: P(TODO EL ÁRBOL) = = P(B y B ) + P(B y V ) + P(B y N ) + P(V y B ) + P(V y V ) + P(V y N ) + P(N y B ) + P(N y V ) + P(N y N ) = P(B ) P(B ) + P(B ) P(V ) + P(B ) P(N ) + P(V ) P(B ) + P(V ) P(V ) + P(V ) P(N ) +.- Si reemplzmieto: + P(N ) P(B ) + P(N ) P(V ) + P(N ) P(N ) = P(TODO EL ÁRBOL) = = P(B y B ) + P(B y V ) + P(B y N ) + P(V y B ) + P(V y V ) + P(V y N ) + P(N y B ) + P(N y V ) + P(N y N ) = P(B ) P(B /B ) + P(B ) P(V /B ) + P(B ) P(N /B ) + P(V ) P(B /V ) + P(V ) P(V /V ) + P(V ) P(N /V ) + P(N ) P(B /N ) + P(N ) P(V /N ) + P(N ) P(N /N ) = Tls de cotigeci.- Tl de cotigeci: Es u tl que se utiliz pr orgizr los dtos e ciertos prolems de cálculo de proiliddes. EJEMPLO: E u colegio hy chicos y 8 chics. E este colegio se estudi tres idioms como tercer legu, chio, lemá y frcés. De los chicos estudi lemá y estudi frcés. De ls chics estudi lemá y estudi chio. Se tom u lumo l zr. Clculr: ) Proilidd de que estudie chio. ) Proilidd de estudir chio de etre los chicos. Hcemos l tl co l iformció del eucido: ) P(chio) = =, = % CHICOS CHICAS CHINO ALEMÁN FRANCÉS 8 ) P(chio siedo chico) = =,7 = 7,% 9

10 º ESO ACADÉMICAS COMBINATORIA y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtíez-Los NOTAS_ COMBINATORIA y PROBABILIDAD * SÍMBOLOS: _ Implic ó quiere decir ó supoe que, l relció es ciert de izquierd derech. _ Implic ó quiere decir ó supoe que, l relció es ciert de derech izquierd. _ Dole implic, l relció es ciert e mos setidos. _ Distito _ Ifiito _ Aproimdo _ Perteece _ No perteece / _ Tl que Π _ Tl que _ Eiste _ No eiste α _ Alf β _ Bet _ Gmm > _ Myor que _ Myor o igul que < _ Meor que _ Meor o igul que \ _ Meos de cojutos _ Cojuto vcío