ECUACIÓN DE BUCKLEY-LEVERETT

Transcripción

1 ECUACIÓN DE BUCKLEY-LEVERETT EFICIENCIA AL DEPLAZAMIENTO DEFINICIÓN e define la eficiencia al desplazaiento de petróleo por un agente desplazante, agua o gas, por voluen de petroleo desplazado E D voluen de petroleo contactado por agua o gas E D o c oin, c o donde, o saturación de petróleo proedio en el edio poroso, variable en el o,in saturación de petróleo proedio inicial c () tiepo La eficiencia al desplazaiento teórica variaría entre y. El valor correspondería a la saturación nula de petróleo en el edio poroso. En la práctica, aún barriendo el reservorio por largo tiepo, queda una saturación de petróleo entrapada. Por eso, la eficiencia está liitada por la saturación residual de petróleo, o or, para E D áio. La eficiencia al desplazaiento está influenciada por las condiciones iniciales, el agente desplazante, el voluen de agente inyectado; y las propiedades de la roca, de los fluidos y de la interacción roca-fluido. Durante el barrido de un reservorio, la eficiencia al desplazaiento coincidiría con la eficiencia en la recuperación, E R, si hipotéticaente el fluido inyectado contactara todo el petróleo del reservorio. N p ED ER (2) N La eficiencia al desplazaiento se ide con un ensayo de flujo en un testigo de roca en el laboratorio. Tabién se puede estiar con la teoría que se describe a continuación. DEPLAZAMIENTO INMICIBLE. HIPÓTEI FÍICA e presentará un odelo ateático para estiar la eficiencia al desplazaiento de acuerdo a la teoría de Buckley-Leverett y de Welge. Las hipótesis de dicha teoría son: Flujo bifásico: se inyecta agua en el borde de entrada y se etraen agua y petróleo en el borde de salida. La roca-reservorio es ojable al agua, entonces el proceso es una ibibición. No hay fuentes ni suideros en el edio poroso. Flujo incopresible: el caudal total, igual a la sua del caudal de agua y del caudal de petróleo, es igual al caudal de agua inyectada. Flujo lineal y unidiensional. Medio poroso hoogéneo: porosidad y la pereabilidad constantes. En la práctica todas las rocas son heterogéneas. Entonces, se estia un valor proedio de las porosidades y de las pereabilidades edidas: usualente la edia aritética para las porosidades y la

2 edia geoétrica para las pereabilidades. Para un sistea heterogéneo se considera la edia geoétrica de las pereabilidades coo el valor ás probable. Estos valores proedio se utilizan en la odelización. e desprecia el gradiente de la presión capilar en la dirección del flujo. Antes de describir la teoría de Buckey-Leverett, se definirá el concepto de flujo fraccional. LA EC. DEL FLUJO FRACCIONAL e define el flujo fraccional de agua coo, q f (3) qo + q Coo los fluidos se consideran incopresibles, el caudal total es igual a la sua de los caudales de agua y de petróleo, a su vez igual al caudal inyectado. qt qo + q qin (4) ECUACION DE BUCKLEY LEVERETT e realiza un balance de asa de agua en un eleento de voluen del reservorio lineal, coo el de la Fig. 8, d q ρ q ρ + d Fig. 8- Flujo ásico de agua a través de un eleento de voluen en un edio poroso lineal y unidiensional asa asa asa acuulada tiepo tiepo tiepo entrada salida eleentodevoluen ( ρ ) ( q ρ) ( q ρ) + d A φ d (7) t Aplicando la definición de derivada y eliinando la densidad del agua por ser el flujo incopresible, q φ A (8) t e busca despejar de la Ec. 8 la velocidad de un frente de saturación de agua constante: [ d dt]. Nótese que la Ec. 8 contiene derivadas parciales pues (, t) y q ( t),. Para un frente de saturación de agua constante, d. 2

3 d d + t t t dt d dt t (2) Adeás se epresa q evaluado a tiepo t coo, q q t (2) t t ustituyendo las Ecs. 2 y 2 en la Ec. 8, encontraos: q d A φ. dt t (22) Introduciendo la definición de flujo fraccional, q q t.f d qt df v dt (23) A φ d Esta es la Ec. de Buckley y Leverett: la velocidad de un plano de saturación de agua constante es proporcional a la derivada del flujo fraccional evaluada a esa saturación. Integrando entre el tiepo inicial, al coenzar la inyección y un tiepo cualquiera de recuperación, se puede encontrar el punto alcanzado por el plano de saturación constante de agua, df A φ d t qt dt El valor de la integral es el voluen acuulado de agua inyectada, W i. Este depende del tiepo de inyección, siendo la condición inicial usual, W i cuando t. Entonces, Wi df A φ d (25) Resulta conveniente introducir las siguientes variables adiensionales, D (26) L donde L es la longitud del edio poroso, y W W i id (27) AL φ W id es el núero de volúenes porales de agua inyectados; proporcional al tiepo de inyección. Por eso, algunos autores (Enhanced Oil Recovery, Lake 989) lo denoinan tiepo adiensional, t D W id (28) Con estas variables adiensionales, la Ec. 25 se puede reescribir coo df D t D (29) d (9) (24) 3

4 Esta ecuación perite encontrar D ( ) o recíprocaente la distribución de la saturación de agua ( ). Para ello, hay que calcular la derivada del flujo fraccional con respecto a D la saturación de agua. En la Fig. 9 se uestra la derivada que corresponde a la curva de flujo fraccional de la Fig. 4, con µ µ o.. La Fig. 4 uestra que la curva de flujo fraccional tiene generalente un punto de infleión. Por lo tanto, su derivada presenta un áio (Fig. 9). df /d 4,5 4, 3,5 3, 2,5 2,,5,,5,,25,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,8 c - or Fig. 9- Derivada del flujo fraccional respecto de la saturación de agua, típica de una uestra de roca ojable al agua (Datos de la Fig. 4 con µ µ. ) o - or,8,75,7,65,6,55,5,45,4,35,3 c,25,.2.4 D.6.8 4,5 Fig. a- Representación gráfica de la Ec. 29. Distribución de la saturación de agua en función de la distancia adiensional para t D.22 y los isos datos de la Fig. 9. 4

5 - or,8,75,7,65,6,55,5 f.54,45,4,35,3 D.66 c,25,.2.4 D.6.8 4,5 Fig. b- Copensación de áreas para hallar el frente de choque. - or,8,75,7,65,6,55,5 f.54,45,4,35,3 c,25,.2.4 D.6.8 4,5 Fig. c- Distribución de la saturación de agua de la Fig. a ostrando el frente de choque. Distribución de la saturación de agua en el edio poroso. Foración de un frente discontinuo. Para encontrar D ( ) o ( D ) con la Ec. 25, hay que fijar un valor al tiepo adiensional. En la Fig. a se representa la distribución de la saturación de agua en el edio porosos para t D.22, es decir, cuando se inyectó un voluen de agua igual al 22% 5

6 del voluen poral. Este valor se fijó arbitrariaente. Las Fig. 9 y se trazaron con los datos del Apéndice A. La solución ( D ) presenta ás de un valor de para una distancia D (Fig. a). Esto no tienen sentido físico. La solución últiple es ficticia y proviene de haber despreciado la presión capilar. En fora intuitiva, Buckley y Leverett (942) dedujeron que, en realidad, los planos de saturación interedios tienen ayor velocidad que los de pequeños (ver Ec. 23 y Fig. 9). Entonces los alcanzan y se fora una discontinuidad en la curva (). Esta discontinuidad o frente de choque (shock front) se uestra en la Fig. b. La saturación en el frente de choque se denoina f. Este valor se encuentra ediante un balance de agua (Lake,989), haciendo que las áreas por delante y por detrás del frente de choque sean iguales. Aguas arriba del frente la saturación es la connata, c. Aguas abajo del frente, vale la Ec. de Buckley-Leverett. La distribución de la saturación de agua se uestra en la Fig. c. Nótese que en dicha figura sólo se han utilizado los valores de > f. Cuando no se desprecia la presión capilar, se puede ver que los valores de bajos o interedios están influidos por los valores altos de Pc (Fundaental of Reservoir iulation, Dake,978). Por eso, para, bajos o interedios los térinos capilares no pueden despreciarse. La eistencia de un frente discontinuo está coprobada por eperiencias de laboratorio (Waterflooding, ociety of Petroleu Engineers, Willhite, 986) Avance del frente de agua en el edio poroso. La distribución de la saturación de agua en el edio poroso depende del voluen de agua inyectado W i y, en consecuencia, del tiepo de inyección, t D. En la Fig. se uestra coo avanza el frente de choque al auentar el tiepo t D desde. hasta.8. Para trazar los gráficos se utilizó la Ec. 29. df D t D para f (29) d c para f En el próio punto se deuestra que f y [ f ] f inyección. Para los datos acá utilizados. 54, [ f ] Con la Ec. 29, se estian los valores D f f no dependen del tiepo de. f para cada tiepo t D, y se uestran en la Fig.. El agua irrupe en la salida a un tiepo adiensional de "breakthrough" que es t D 2.82 t D.357. D f 6

7 .9.8 t D D f D t D.2 D f t D D f..2 D t D D f D D Fig.. Avance del frente de agua para t D.,.2,.4 y.8. Un étodo alternativo de estiar la saturación de agua en el frente discontinuo. La Fig. 2 uestra la distribución de saturaciones a un tiepo fijo, antes que el agua irrupa en el pozo productor (tiepo de breakthrough). El frente alcanzó una posición 2 y el agua total que ingresó es W i. 7

8 ,,9 - or,8,7,6,5 f,4 c,3,2,,, 2 Fig.2 - Distribución de saturación de agua antes del breakthrough Haciendo un balance de agua, Wi 2 A φ ( c ) (3) y usando la Ec. (25), c Wi A φ 2 df d f (3) df d f c (32) Analiceos el significado geoétrico de la Ec. 32, en la Fig. 3. La Ec. 32 indica que la tangente a la curva de flujo fraccional trazada desde el punto ( c, f ) toca a la curva en ( f, f ( f )). La etrapolación de esa tangente intercepta a la recta horizontal de f, en el punto (, f ). De esta anera se encuentran la saturación de agua en el frente de choque y la saturación proedio de agua por detrás de dicho frente. Recuérdese que el desarrollo de este étodo se basó en despreciar el gradiente de la presión capilar con respecto a la dirección de flujo. Pero esta hipótesis es aceptable para saturaciones de agua interedias o altas. Justaente entonces, se la aplica para saturaciones de agua iguales o ayores que la saturación en el frente discontinuo, f. La parte de la curva con saturaciones de agua enores que f no es utilizada en la práctica. Este criterio equivale a la copensación de áreas realizada en la Fig. b. 8

9 f f f,25,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,8 c - or Fig. 3- Tangente a la curva de flujo fraccional, desde c Por lo tanto el étodo consiste en:. Construir la curva de flujo fraccional. 2. Trazar la tangente a esta curva desde el punto de saturación de agua connata c y flujo fraccional nulo ( c, f ). 3. Deterinar así, la saturación de agua en el frente de choque f y la saturación de agua proedio por detrás de dicho frente. Este procediiento gráfico tiene una iportante aplicación práctica. en el cálculo del petróleo recuperable ediante la inyección de agua en el "breakthrough". 9

10 ECUACION DE WELGE El étodo de Welge (952) perite obtener la saturación proedio de agua, detrás del frente de choque,. Con ese fin, se integra la distribución de la saturación de agua en la distancia, (). La saturación de agua proedio, se puede obtener integrando a lo largo del reservorio la distribución de las saturaciones de agua entre dos puntos (Fig. 2), 2 d 2 En realidad,, entrada al edio poroso. Reeplazando la distancia por su valor de la Ec. 25, (33) 2 df d d df d f Resolviendo la integral del nuerador usando integración por partes: udv uv vdu (34) f d df d df d or donde[ d ] or f or [ f ] df (Fig. 9), y [ f ] f (35) or or ustituyendo la Ec. 35 en la Ec. 34 y cancelando térinos, se obtiene, f df d + ( f ) f f df d f (36) Finalente despejando df d f df d f ( f ) f f (37) Esta es la ecuación de Welge. La Ec. 37 es copleentaria de la Ec. 32. u significado geoétrico se uestra en la Fig. 4. e la aplica para hallar la saturación de agua a la salida (en el pozo productor), en el breakthrough o luego de éste.

11 Luego del breakthrough, tanto la saturación de agua coo el flujo fraccional auentan con el tiepo en el pozo productor (ver Fig. ). e le adicionará el subíndice e (eit) a la saturación de agua y el flujo fraccional de agua en la salida. egún la Ec. de Welge 37, df d e o sea, ( f ) e ( fe) e + df d e e En fora gráfica, para cada valor de > bt, se traza la tangente a la curva de flujo fraccional. dicha tangente intercepta a la línea horizontal de f en el punto buscado (Fig. 4). (38) (38') f e, f e f e bt, f bt e f,25,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,8 c - or Fig. 4- Aplicación de la Ec. 37 de Welge para encontrar después del breakthrough Este procediiento gráfico tiene una iportante aplicación práctica en el cálculo del petróleo recuperable ediante la inyección de agua después del breakthrough. e describirá en la próia sección. CALCULO DEL PETROLEO RECUPERABLE Antes del breakthrough El desplazaiento es incopresible y todavía no se produce agua. Entonces, el petróleo recuperado es igual al agua inyectada, N p W i q i t (39)

12 donde q i es el caudal de inyección (dato). La Ec. 39, que indica el petróleo recuperado al tiepo t < tbt, es obvia. Nótese que resulta innecesario en este período utilizar las ecuaciones de Buckley-Leverett y de Welge. En el breakthrough El petróleo recuperado cuando el agua irrupe en el pozo productor es todavía igual al agua inyectada. Entonces, sigue siendo válida la Ec. 39. Es útil epresarla en fora adiensional. N pd W id (4) donde N p N pd (4) ALφ y W id es el voluen de agua inyectada adiensionalizado respecto del voluen poral (núero de volúenes porales de agua inyectada). e definió en la Ec. 27. El petróleo recuperado y el agua inyectada al breakthrough tabién se pueden estiar a partir de las Ecs. 3 y 3. En efecto, cuando el frente de choque llega al pozo productor, 2 L, y la Ec. 3 puede ser epresada coo: Wi L A φ df d bt W id (42) donde f bt es la saturación de agua en el pozo productor. De las Ecs. 3, 4 y 42. N pdbt W idbt bt c df d bt (43) Por lo tanto, N pd y W id se estian coo la inversa de la pendiente de la curva de flujo fraccional, en el punto en que la tangente trazada desde la saturación de agua connata toca a dicha curva. Es decir con el procediiento ya eplicado en la Fig. 3. Este procediiento se aplica para calcular el tiepo de breakthrough WiDbt t bt (44) qid en la Ec. 44 el caudal de agua inyectado q id está adiensionalizado respecto del voluen poral. Después del breakthrough La Ec. 42 es válida tabién para tiepos posteriores al breakthrough. Pero los valores de W id y de [ df d] cabian con el tiepo. WiD (45) df d e Introduciendo la Ec. 45 en la Ec. 38, 2

13 e + ( fe ) WiD (46) Finalente restando en abos iebros c : N pd c ( e c ) + ( fe ) WiD (47) Nótese que coo los fluidos se consideran incopresibles, el petróleo recuperado es reeplazado en el edio poroso por el agua inyectada. Por eso, es igual a la saturación de agua proedio en la foración enos la saturación de agua inicial o connata.. El petróleo recuperado se puede estiar analítica o gráficaente. En fora analítica, se aplica la Ec. 47: para cada valor de e se estia f e. Tabién se deterina la derivada a la curva de flujo fraccional en ese punto (df /d ) e. u inversa es W id (Ec. 45). Para nuestro ejeplo, se pueden ver los cálculos en el Apéndice A. En fora gráfica, para cada valor de > bt, se traza la tangente a la curva de flujo fraccional. dicha tangente intercepta a la línea horizontal de f en el punto buscado (Fig. 4). El petróleo recuperado se representa en función del agua inyectada en la Fig. 5. i se conociera el caudal de agua inyectada q i, se podría estiar el petróleo recuperado en función del tiepo. Este tiepo se calcula con la Ec. 44, válida tabién despues del breakthrough. De esta anera se calcula el petróleo recuperable de un edio poroso lineal y unidiensional. Con este valor de N p se estia la eficiencia al desplazaiento teórica aplicando la Ec N pd (PV) W id (PV) Fig. 5 Petróleo recuperado en función del agua inyectada, abos edidos en volúenes porales. 3

14 Apéndice A: Datos y cálculos utilizados para la realización de los gráficos Datos Roca ojable al agua Roca ojable al petróleo k r *.3.6 k ro *.9.9 n 2 2 n o 2 2 c.25. or.2.3 k r n * c k r, c or k µ cp µ o cp ρ g/c 3 ρ o.8 g/c 3 qt A. B/D ft 2 k 4D ro kro c or or n o Cálculos k r k ro f ( ) df /d D (t D.22) f ( ) df /d W id N pd infinito.55 4

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