Introducción al Método de los Elementos Finitos

Transcripción

1 S 4 v v 5 Introducción al Método de los Elementos Finitos Parte 6 Elementos curvos e integración numérica. Elementos infinitos. Alberto Cardona, Víctor Fachinotti Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina

2 Elementos curvos Hasta aquí se han usado aproimaciones lineales por trozos de la frontera G. En D, se aproimó G con una línea poligonal, con un error de orden O(h ). Aproimaremos G con curvas descritas por polinomios de grado k, con error O(h k+ ). En una malla de W, los elementos adyacentes a G tendrán un lado curvo. K G Introducción al Método de los Elementos Finitos

3 Elementos curvos Un elemento curvo se obtiene de la siguiente manera:. Supongamos el elemento (K,P, ). K es un conj. de gdl de tipo Lagrangiano (i.e., valores i de la función en ciertos puntos a K, i,,, m). Sea F : K K un mapeo -a-, con inversa F : K K. 3. Definimos P p : p( ) p( F ( )), K, p P 4. Ahora, (K,P constituye K, ) un elemento finito curvo. K i i valores de la función en a F( a )), i,,, m K ^ K a i K 0 K^ ^ a^ i ^ Introducción al Método de los Elementos Finitos 3 F 0 F

4 Elementos curvos isoparamétricos Si en el mapeo F=(F, F ) las funciones son del mismo tipo que en P K, el elemento se dice isoparamétrico. Ejemplo: sea K el elemento de ref., con nodos â, â, â 3 (en los vértices), â 4, â 5, â 6 (en el centro de los lados). valores en los nodos K P K P (K)., i,,,6, func. de base en P (K). i ^ a^ 3 a^ K^ 6 a^ 5 F a 5 a 3 a 6 K a a 4 a a^ a^ 4 a^ ^ Introducción al Método de los Elementos Finitos 4

5 Elementos curvos isoparamétricos Definimos el mapeo Luego, escribimos 6 F( ) a j ( ), K j j K F(K) : F( ), K F F Se define el Jacobiano de F como J F F F es localmente -a- en una pequeña vecindad de c/punto K si det J( ) 0. Necesitamos que F sea globalmente -a-, i.e., que K,! K / F( ) F será globalmente -a- si det J( ) 0, K. Introducción al Método de los Elementos Finitos 5

6 Elementos curvos isoparamétricos Descompongamos F como F( ) F ( F( )) Triángulo máster (unitario de lados rectos) ^ a^ 3 a^ K^ 6 a^ 5 Triángulo unitario c/un lado curvo ~ F y b 3 b 6 b 5 F^ a 3 ~ a 5 a 5 K a a a 4 a^ a^ 4 a^ ^ b b 4 b y a 6 j j j F, que mapea b a en a, j,,3, tiene la forma: 3 a a a a a ( ) F y 3 y By b. a a a a a 3 Si los nodos a, a, a no son coincidentes det B 0 F es -a-. Analicemos ahora el mapeo F ( F, F ), que está definido por F d d b i 5 i i + i, i 4 i,,. Introducción al Método de los Elementos Finitos 6

7 Elementos curvos isoparamétricos Analicemos ahora el mapeo F ( F, F ), que está definido por F d d b i 5 i i + i, i 4 i,, con Jacobiano J( ) d d det ( ) J d d d d j det J( ) lineal en det J( ) 0 en K det J( ) 0 en los vértices a, j,,3. det J (0, 0) det J(, 0) d det J 0 en K si di bi, i 4 det J(0,) d ^ a^ 3 a^ K^ 6 a^ 5 ~ F y b 3 b 6 b 5 F^,. a 3 ~ a 5 a 5 K a a a 4 a^ a^ 4 a^ ^ b b 4 b y Introducción al Método de los Elementos Finitos 7 a 6

8 Elementos curvos isoparamétricos Luego, F es -a- si b 5 y a 5 caen en las áreas sombreadas, para lo que ã 5 debe estar suficientemente próimo a a 5. El mapeo original F es -a- bajo las mismas condiciones. En un elemento K con un lado curvo, la dist. a 5 ã 5 es de O( h ). Luego, estando ã 5 cerca de a 5 (mallas poco distorsionadas ), el mapeo F será -a-. K a 3 a K 6 a 5 ~ F y b 3 b 6 b 5 F a 3 ~ a 5 a 5 K a a a 4 a a 4 a b b 4 b y a 6 Introducción al Método de los Elementos Finitos 8

9 Elementos isoparamétricos Error de interpolación: Dada una función v sobre K, definimos el interpolante pvp K requiriendo que pv(a i )v(a i ), i=,...,6. Si K es un triángulo común (como el visto anteriormente), entonces rs v pv, 0 3 s Ch H (K) K v r s r H (K) Esto también vale para triángulo curvo K, siempre que no sea demasiado curvo. Y esto se verifica en aplicaciones típicas, donde los elementos aproiman una frontera suave. Espacio V h : Sea T h ={K} una malla de W, con elementos (K,P K, K ), que pueden tener uno o más lados curvos. Sea W h la unión de los elementos de T h, que es una aproimación a W con frontera cuadrática a trozos. Se define V vh ( W ) : v P,KT h h K K h Usando este espacio para el problema de Poisson, tenemos u u Ch u, u u Ch u h 3 3 h h 3 H ( W ) H ( W) h L ( W ) H ( W) Introducción al Método de los Elementos Finitos 9

10 * Figuras etraídas de [ZT000] Elementos isoparamétricos curvos Elementos de las formas básicas en D, D y 3D pueden mapearse a formas distorsionadas. De esta manera, las coord. locales hz o L L L 3 L 4 se transforman en curvilíneas cuando se plotean en el sistema Cartesiano global yz. Ello es posible si eiste una correspondencia -a- entre las coord. Cartesianas y las curvilíneas, i.e. si se pueden establecer los mapeos: f(, h, z ) f( L, L, L3, L4 ) y f (, h, z ) o f ( L, L, L, L ) y y 3 4 z f z(, h, z ) f z( L, L, L3, L4 ) Introducción al Método de los Elementos Finitos 0 * [ZT000] OC Zienkiewicz, RL Taylor, The Finite Element Method, Vol., 5ª ed., Butterworth-Heinemann, 000.

11 * Figuras etraídas de [ZT000] Elementos curvos: mapeo de elementos D Introducción al Método de los Elementos Finitos

12 * Figuras etraídas de [ZT000] Elementos curvos: mapeo de elementos 3D Introducción al Método de los Elementos Finitos

13 Figuras etraidats de [ZT000] Coordenadas curvilíneas paramétricas La forma más simple de definir mapeos es usando funciones de forma dadas en términos de las coords. locales sobre el elemento máster:, h, z, h, z, h, z, h, z, h, z, h, z N N y N y N y z N z N z A cada punto (,h,z ) en coords. locales debe corresponderle un solo punto (,y,z) en coords. globales. Como ya vimos, elementos muy distorsionados pueden perder la unicidad. N i Requisitos de unicidad en cuadrángulos Pérdida de unicidad en elementos muy distorsionados Introducción al Método de los Elementos Finitos 3

14 * Figuras etraídas de [ZT000] Mapeos admisibles en cuadrángulos Introducción al Método de los Elementos Finitos 4

15 * Figuras etraídas de [ZT000] Conformidad geométrica y continuidad Teorema : Si dos elementos adyacentes son generados a partir de elementos máster (o de referencia) donde las funciones de forma son C0-continuas, entonces los elementos serán contiguos (compatibles). Teorema : Si las funciones de forma garantizan la continuidad C0 de la solución en las coordenadas del elemento máster, luego también se satisfará continuidad C0 en las coordenadas del elemento distorsionado. Introducción al Método de los Elementos Finitos 5

16 * Figuras etraídas de [ZT000] Elementos isoparamétricos, superparamétricos y subparamétricos Isoparamétrico Superparamétrico Punto en el que se especifica gdl Subparamétrico Punto en el que se especifica coordenada Introducción al Método de los Elementos Finitos 6

17 Cálculo de la matriz de rigidez Las funciones de base locales en K están dadas por Para el problema de Poisson, deben calcularse las integrales K ij i j K Por la regla de la cadena, siendo ( ) ( F( )) F ( ),,,6. j j j j j a d, i, j,,6. ( F( )),,,6. j j j i i i F F i i T J i i i F F i i Luego: i i T T i J J i i i Introducción al Método de los Elementos Finitos 7

18 Cálculo de la matriz de rigidez F F F F T T adj J 0 adj T J F F det det det F F det T T J J J J J J J Luego, la matriz de rigidez resulta, haciendo cambio de variables al elemento master: T T J J det J J 0 J0 a d d K ij i j i j i j K K K d det J Introducción al Método de los Elementos Finitos 8

19 Integración numérica (o cuadratura) El cálculo analítico de matrices que involucran integrales sobre elementos curvos, particularmente en elementos de alto orden o en caso de heterogeneidad del material, puede volverse prácticamente imposible. Para evaluar integrales en MEF, se usan frecuentemente fórmulas de cuadratura: K j f ( ) d f ( ) w n j j w j j : puntos de integración o de muestreo : peso correspondiente al punto Si esta fórmula es eacta para el polinomio de grado r 0, luego el error de integración resulta j K n j r f ( ) d f ( ) wj Ch D f d j r K Puede mostrarse que para el elemento isoparamétrico cuadrático visto, calculando la matriz de rigidez por una regla de integración numérica que integre en forma eacta polinomios de grado r, luego u u h h O( ) H ( Wh ) Introducción al Método de los Elementos Finitos 9

20 Integración numérica En D, podemos aproimar tales integrales de la siguiente manera: n ( ) ( j) j j I f d f w : puntos de integración o de muestreo : peso correspondiente al punto Dados los puntos de muestreo j, j,,, n, determinamos el polinomio n F ( ) t.q. F n ( j )=f( j ) : n n j w j j n Fn( ) n f( ) F n n( n) n nn f( n),,, n Luego: n ( ) I f ( ) d Fn( ) d 3 n 3 n Introducción al Método de los Elementos Finitos 0

21 Integración numérica: método de Newton-Cotes Eligiendo puntos de muestreo equiespaciados entre los etremos, se obtiene el método de Newton-Cotes. Ejemplo: para n,, =: Nota: F ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) I f ( ) d F ( ) d f ( ) f ( ) si la cantidad de puntos de evaluación n es par, se integra eactamente un polinomio de grado n-; si la cantidad de puntos de evaluación n es impar, se integra eactamente un polinomio de grado n (ver ejemplo a continuación). Introducción al Método de los Elementos Finitos

22 Integración numérica: método de Newton-Cotes Ejemplo: para n3,, =0, 3 =: Sea f ( ) Esta función la aproimamos con F( ) 3 ( n 3) F( ) 3 f( ) 3 4 F(0) f(0) F() 3 f( ) 3 4 Resolviendo: Luego con n3 integramos en forma eacta un polinomio de grado 3: I f ( ) d F( ) d 3 3 Introducción al Método de los Elementos Finitos

23 Integración numérica: método de Gauss-Legendre En lugar de definir a priori la posición de los n puntos de muestreo, se la determinará de manera de obtener el mayor orden de precisión para n dado. Se busca calcular en forma eacta la integral del polinomio F p, ( pn a determinar), cuya integral es ( ) I F d w n p p p( ) j j p j 3 p j 3 p lo que da lugar al sistema de ecs. w w wn w w wn n 0 p p p ( ) w w wn n p que tendrá solución si p. n p ecuaciones n incógnitas (w,, w,,, ) p n n Introducción al Método de los Elementos Finitos 3

24 * Figuras etraídas de [ZT000] Integración numérica: Newton-Cotes vs Gauss Legendre Integración eacta de un polinomio de grado 7 Newton-Cotes n=8 8 puntos de muestreo pol grado 7 integrado eactamente Gauss-Legendre n = 4 4 puntos de muestreo pol grado 7 integrado eactamente Introducción al Método de los Elementos Finitos 4

25 * Tabla etraída de [ZT000] Integración numérica de Gauss-Legendre Pol integrado eactamente Pol grado Pol grado 3 Pol grado 5 Pol grado 7 Pol grado 9 Pol grado Pol grado 3 Introducción al Método de los Elementos Finitos 5

26 Integración numérica en cuadrados (D) y cubos (3D) Se aplican las reglas de integración numérica D en cada dirección. D 3D I f (, h) ddh f (, h ) w w n m i j i j i j I f (, h, z ) ddhdz f (, h, z ) w w w n m p i j k i j k i j k Introducción al Método de los Elementos Finitos 6

27 * Tabla etraída de [ZT000] Integración numérica en triángulos L 0 0 j0 I f ( L, L ) dl dl n f ( L, L ) H j j j Introducción al Método de los Elementos Finitos 7

28 * Tabla etraída de [ZT000] Integración numérica en tetraedros L L L n I f ( L, L, L ) dl dl dl f ( L, L, L ) H j j j j0 j Introducción al Método de los Elementos Finitos 8

29 Coordenadas de área en triángulo máster (unitario):,,, 3 Funciones de base en elemento máster: Ejemplo ^ a^ 3 a^ K^ 6 a^ 5,,, 3 3 3, 4 4, 4 4, a^ a^ 4 a^ F ^ 6 j a 5 a 3 a 6 j F( ) ( ) a, K 6 j a j( ) j j a j K a a 4 a Introducción al Método de los Elementos Finitos 9

30 6 k k F ( ) ( ) a j j k j 6 k F( ) ( ) a, K k k Ejemplo F( ) F ( ) a a a a a a F ( ) a a a a a a F F F a a a a a a J( ) ( ) F F a a a a a a Introducción al Método de los Elementos Finitos 30

31 Ejemplo Introducción al Método de los Elementos Finitos

32 a 0 0 T T J J det J d K ij i j K n Ejemplo T j j T j j j J ( ) ( ) J ( ) ( ) w det J( ) j n j j j I f (, ) d d f (, ) w i j j j J F F F F Introducción al Método de los Elementos Finitos 3

33 function [row,col,sk] = stiffquad (in,,iel,conec,locel) % % Generacion de la matriz de rigidez % Elemento cuadrangulo lineal isoparametrico p/problema conduccion de calor % % in: Numeros de nodo % : Tabla de coordenadas % iel: Numeros de elemento % conec: Tabla de conectividades % locel: Tabla de vectores de localizacion % nel = length (iel); npgi = ; npgeta = ; % Genera vector inn cuya componente "i" da la posicion donde se % almacenan las coordenadas del nodo "i" en la tabla "" inn = zeros(ma(in),); for i=:length(in) j = in(i); inn(j) = i; end % row, col, sk dan los indices de fila, columna y contenido de la matriz % de rigidez en almacenamiento sparse row = zeros(6*nel,); col = zeros(6*nel,); sk = zeros(6*nel,); in = 0; X = zeros(4,); Y = zeros(4,); Introducción al Método de los Elementos Finitos 33

34 for iel = :nel for k=:4 X(k) = (inn(conec(iel,k)),); Y(k) = (inn(conec(iel,k)),); end K = zeros(4,4); for ipg = :npgi*npgeta [i, eta, weight] = integd (ipg, npgi, npgeta); B = 0.5*[ (+eta), -(+eta), -(-eta), (-eta); (+i), (-i),-(-i), -(+i) ]; Jac = B * [X, Y]; djac = det(jac); JacinvT = inv(jac)'; GradPhi = JacinvT*B; end K = K + GradPhi'*GradPhi*dJac*weight; end for i = :4 for j=:4 in = in + ; row(in) = inn(locel(iel,i)); col(in) = inn(locel(iel,j)); sk(in) = K(i,j); end end Introducción al Método de los Elementos Finitos 34

35 function [i, eta, weight] = integd (ipg, npgi, npgeta) % calcula puntos de Gauss y pesos para integracion en cuadrangulo D pg = [ ; -/sqrt(3) /sqrt(3) ; -sqrt(0.6) 0. sqrt(0.6) 0. ; ]; w = [ ; ; 5./9. 8./9. 5./9. 0. ; ]; ipgi = rem ((ipg-),npgi) + ; ipgeta = floor((ipg-)/npgi) + ; i = pg(npgi, ipgi ); eta = pg(npgeta,ipgeta); weight = w(npgi, ipgi )*w(npgeta,ipgeta); Introducción al Método de los Elementos Finitos 35

36 * Figura etraída de [ZT000] Elementos infinitos En muchos problemas ingenieriles, el dominio es infinito o semi-infinito, y se especifican CB a dist. infinita..solución usando MEF convencional: se malla una porción suficientemente grande del dominio, a fin de imponer las CB a una dist. grande, con las sigtes. desventajas. Si esa dist. no es lo suficientemente grande, se introduce un error en el modelo. Se deben introducir muchos elementos en una región que suele ser de poco interés para el analista..solución usando elementos infinitos, en los que un mapeo particular, permite transformar elementos semi-infinitos a los elementos master básicos. Estos elementos se ensamblan luego con los elementos finitos de la malla. Introducción al Método de los Elementos Finitos 36

37 Elementos infinitos Consideremos el mapeo D a lo largo de CPQ: C Q NCC NQQ () Se observa que: C Q P si Q si 0 R si Luego, remplazando C por P : N N Q P Q Q P P Muchas otras funciones podrían usarse en () y (), siempre que () * Figura etraída de [ZT000] NC NQ NP NQ. Introducción al Método de los Elementos Finitos 37

38 Elementos infinitos (cont.) Ahora, si aproimamos la solución por un polinomio: u 0 Dado C r Q C Q C C Obtenemos entonces la solución típica de campo lejano para regiones eteriores: u 0 r r El punto C representa el origen de decaimiento. Su correcta ubicación en base a la física del problema permite mejorar la precisión de la solución. Equivalentemente, a lo largo de C P Q tenemos el mapeo Q, y y y C Q C Q * Figura etraída de [ZT000] Introducción al Método de los Elementos Finitos 38

39 * Figuras etraídas de [ZT000] Elementos infinitos (cont.) El mapeo se completa en la dirección h usando las funciones de forma lineales standard h h N( h), N0( h). Luego: N( h) C Q N ( h) 0 C Q y N ( h) y y C Q N0( h) yc y Q En dirección h podrían usarse funciones de mayor orden, lo que permite ensamblar elementos infinitos con elementos finitos de mayor orden. Introducción al Método de los Elementos Finitos 39

40 * Figuras etraídas de [ZT000] Ejemplos de aplicación de elementos infinitos Problema de Boussinesq: carga puntual en un medio semi-infinito Flujo irrotacional alrededor de un ala Introducción al Método de los Elementos Finitos 40

41 Orden de integración numérica necesario Dado el costo computacional que implica un mayor número de puntos de integración, es conveniente determinar:. Menor orden de integración que no comprometa la convergencia.. Orden de integración necesario para mantener la misma tasa de convergencia que si se usara integración eacta. Mínimo orden de integración para convergencia: en un problema habrá convergencia si puede reproducirse cualquier valor constante de la m-ésima derivada. Si m=, ello requiere que el volumen del elemento sea calculado de manera eacta. Orden de integración para no deteriorar la convergencia: usando MEF standard (Galerkin), con interpolación polinomial de grado p, para problemas que involucren derivadas de orden m, el error es O(h (p-m)+ ). Si el error de integración es a lo sumo de ese orden, no se perderá convergencia. Introducción al Método de los Elementos Finitos 4