Tesis Profesional Espacios de Hilbert con núcleo reproductivo. Guillermo Garro

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1 Tesis Profesional Espacios de Hilbert con núcleo reproductivo Guillermo Garro Abril 2003

2 A mi madre, Victoria

3 En sincero agradecimiento: A mi amigo y tutor, Luis Antonio A los miembros de mi honorable jurado: Dr. Luis Antonio Rincón Dra. María Emilia Caballero Act. Jaime Vázquez Act. Gerónimo Uribe Mat. César Eduardo Sousa, por sus imprescindibles comentarios, sugerencias y correcciones, y su inestimable interés A todos aquellos que han hecho posible esta tesis

4 Contenido Prefacio ii 1 Espacios de Hilbert Espacios con producto interior. Espacios de Hilbert Ortogonalidad y ortonormalidad Proyecciones Teorema de representación de Riesz Los espacios de funciones L p. El espacio de Hilbert L Esperanza condicional Espacios de Hilbert con núcleo reproductivo Introducción El núcleo reproductivo Propiedades básicas del núcleo reproductivo Matrices positivas y núcleos reproductivos Completación de espacios con producto interior Restricción de un núcleo reproductivo Núcleos reproductivos de clases de dimensión finita Operaciones con núcleos reproductivos Suma de núcleos reproductivos Diferencia de núcleos reproductivos Producto de núcleos reproductivos Límites de núcleos reproductivos Epílogo 83 i

5 Prefacio En esta tesis pretendemos revisar de forma general, los aspectos principales referentes a ciertos objetos matemáticos, los cuales extienden la ya de por sí fecunda teoría de los espacios de Hilbert. Es entonces comprensible que la estructura de este trabajo presente en primer término, una revisión más o menos profunda de los conceptos fundamentales de los espacios de Hilbert. Con estos antecedentes teóricos, podremos entonces transitar de manera detallada dentro de los siguientes dos capítulos, en la construcción del objeto que nos interesa, considerándolo como un tipo más de núcleo (o kernel), llamado además reproductivo, debido a una propiedad que le caracteriza. Sin embargo, el tratamiento matemático del primer capítulo no será meramente informativo, sino que encontraremos una aplicación en la teoría de las probabilidades (concretamente, en el concepto de esperanza condicional) de los principales resultados teóricos analizados. En cuanto al segundo y tercer capítulos, como hemos dicho, el trato será un tanto exhaustivo, sin llegar a ser completo. En realidad, hemos considerado más provechoso detallar el análisis de los aspectos fundamentales que componen toda la teoría del núcleo reproductivo, que la revisión extensiva, aunque poco profunda, de dicha teoría. No obstante, con esto hemos tratado de abrir una pequeña brecha para posteriores trabajos, donde no sólo se extienda la teoría sino sus posibles aplicaciones. Aquí, sólo mencionaremos que una de las más ingeniosas y útiles aplicaciones ha surgido precisamente en la teoría de las probabilidades. Los trabajos de Driscoll 1 y Lucić & Beder 2 son solo algunos de los que se desarrollan en este tenor. Cabe decir también que el primer trabajo de investigación original del núcleo reproductivo en su forma abstracta, Theory of reproducing kernels de Aronszjan 3, de donde se basa esta tesis, tuvo sus origenes en ciertos principios 1 Driscoll, Michael, Estimation of the mean value function of a Gaussian process, tesis doctoral, Universidfad de Arizona, 1971; y del mismo autor, The reproducing kernels Hilbert space structure of the sample paths of a Gaussian process, Zetschrift für Wahrscheinlinchkeitstheorie und verwandle Gebiete, vol. 26, 1973, páginas Ver [6]. 3 Ver [1]. En general, la teoría del núcleo reproductivo gira en torno a un problema básico que será planteado a partir sel capítulo dos, de la presente tesis ii

6 matemáticos referentes a las ecuacaiones diferenciales e integrales 4 ; de esta manera, las aplicaciones pueden también extenderse a estos ámbitos. 4 En los trabajos de Zaremba, Mercer, Moore y algunos otros. Ver las referencias bibliográficas de Aronszjan ([1]). iii

7 Capítulo 1 Espacios de Hilbert En este capítulo abordaremos, de manera esencial, la principal herramienta usada en esta tesis: los espacios de Hilbert. Partiremos del concepto de espacio vectorial, introduciendo después un tipo particular de función llamada norma (sustentado en el concepto fundamental de producto interior). De ahí impondremos condiciones de completez que definen propiamente un espacio de Hilbert. Analizaremos las propiedades algebraicas y geométricas fundamentales, finalizando con una aplicación directa a los espacios de funciones L p y al concepto de esperanza en cuanto a la teoría de las probabilidades. 1.1 Espacios con producto interior. Espacios de Hilbert Definición (Espacio vectorial). Un espacio vectorial o lineal sobre el campo F (C o R), es una terna (X, +, ), donde X es una colección de objetos, y las operaciones + : X X F llamada suma de vectores (denotaremos x + y en lugar de +(x, y)), y : F X F llamada producto escalar (aquí usaremos λx en lugar de (λ, x)), satisafacen las propiedades siguientes, A1) x + y = y + x A2) (x + y) + z = x + (y + z) A3) Existe un elemento 0 X tal que 0 + x = x + 0 (neutro aditivo). A4) Existe un elemento x X tal que x + x = x + ( x) = 0 (inverso aditivo). M1) (λµ)x = λ(µx) = µ(λx). M2) Existe 1 X tal que 1x = x (elemento identidad). 1

8 D1) λ(x + y) = λx + λy. D2) (λ + µ)x = λx + µx. A los elementos de X los llamaremos vectores. Nosotros usaremos simplemente el término X, a menos que se especifique lo contrario, para referirnos al espacio vectorial (X, +, ) sobre el campo escalar F. Definición (Subespacio vectorial). Sea X un espacio vectorial. Si Y X y Y es un espacio vectorial sobre el mismo campo escalar y con las mismas operaciones (de suma y producto por escalares) definidas para X, entonces decimos que Y es un subespacio vectorial de X. Definición (Independencia lineal, base y dimensión). Sea X un espacio vectorial. i) Decimos que una colección finita de vectores {x 1, x 2,..., x n } en X es linealmente independiente si, teniendo un conjunto {α 1, α 2,..., α n } de escalares en F, la relación α 1 x 1 + α 2 x α n x n = 0 implica que α i = 0, para toda i {1, 2,..., n}. Análogamente, la familia de vectores {x i } i I, I subconjunto de índices, es linealmente independiente si cualquier subfamilia finita es linealmente independiente. ii) Una familia de vectores linealmente independiente con la propiedad de que cualquier otro vector del espacio X puede expresarse como combinación lineal de sus vectores componentes, es llamada base del espacio vectorial X. Es claro que cualesquiera dos bases tienen la misma cardinalidad. iii) La dimensión de un espacio vectorial se define como la cardinalidad de una de sus bases. Definición (Producto interior). Un producto interior sobre el espacio vectorial X, es una función, : X X F, con las siguientes propiedades. i) Linealidad: ax + by, z = a x, y + b x, y, para todo a, b F y x, y, z X. ii) Antisimetría: x, y = y, x para todo x, y X. iii) x, x 0 para todo x X y x, x = 0, si y sólo si x = 0. (Por la segunda propiedad, x, x es siempre un número real no negativo). 2

9 A veces un espacio vectorial X sobre el campo real o complejo con un producto interior definido, es llamado espacio pre-hilbert. Proposición Consideremos un espacio vectorial X con producto interior definido. Entonces, 1) x, ay + bz = a x, y + b x, z para todo par a, b F(= C o R) y para todo x, y, z X. 2) x, y = 0 para toda x X, si y sólo si y = 0. Demostración. 1). De la definición de producto interior, x, ay + bz = ay + bz, x = a y, x + b z, x = a y, x + b z, x = a y, x + b z, x = a x, y + b x, y. 2). Para toda x X se tiene que x, y = 0, en particular, y, y = 0, entonces y = 0. De manera inversa, si y = 0 tenemos entonces que x, y = x, 0 = x, 0 0 = 0 x, 0 = 0, para todo elemento x de X. En algunos casos, según las características de ciertos espacios, no es difícil definir un producto interior, aquí presentamos solo algunos ejemplos. Ejemplo Consideremos X = C n (el n-espacio euclidiano complejo) y F = C. Para un par de vectores x = (α 1,..., α n ) y y = (β 1,..., β n ), definimos el siguiente producto x, y = α i β i. (1.1) Sean x, y y z elementos de C n, y a, b en C. Es claro que ax + by = (aα 1 + bβ 1,..., aα n + bβ n ), y si z = (ξ 1,..., ξ n ), entonces, ax + by, z = = a (aα i + bβ i )ξ i α i ξ i + b β i ξ i = a x, z + b y, z. Ahora bien, x, y = n α iβ i = n α iβ i = y, x. Por último, x, x = n α iα i = n α i 2 0. De este modo, el producto (1.1) es un producto interior sobre X = C n. Proponemos ahora una generalización de este primer ejemplo. 3

10 Ejemplo Consideremos el espacio { X = (a 1,..., a n,...) : a n C, n N, y } a n 2 <. n=1 Para x = (α 1,...), y = (β 1,...) X, definimos el producto x, y = α n β n. n=1 Esta suma converge (según la desigualdad de Hölder, referida en la Proposición 1.2.3, páginas más adelante). Podemos probar que este producto define un producto interior de forma análoga a lo realizado en el ejemplo anterior. Ejemplo Sea X=C([a, b], C) el campo de las funciones complejas continuas sobre el intervalo cerrado [a, b]. Definimos la suma puntual de funciones y el producto puntual por escalares como sigue,(f +g)(x) := f(x)+ g(x) y (αf)(x) := αf(x). Entonces el producto f, g = b a f(x)g(x)dx, define un producto interior sobre el espacio X. En efecto, la linealidad y la antisimetría se siguen de forma inmediata. Ahora, basta notar que si f, f = 0, entonces f = 0, pues f es continua; mientras que el resultado recíproco es inmediato. Ejemplo Sean E y F dos intervalos en R. Definimos L 2 (E) como el espacio de las funciones complejas definidas en E cuadrado integrables, análogamente consideramos L 2 (F ) y L 2 (E F ). Sea entonces X el espacio de las funciones T : L 2 (E) L 2 (F ), tal que u T u, y para toda y F, (T u)y = t(x, y)u(x)dx, donde t L 2 (E F ). La función T u pertenece a L 2 (F ). En efecto, ( ) 1 ( (T u)y t(x, y)u(x) dx t(x, y) 2 2 dx u(x) 2 dx E E E (ver Teorema 1.5.1, páginas más adelante) entonces, ( ) ( ) (T u)y 2 dy t(x, y) 2 dxdy u(x) 2 dx <. F Es ahora sencillo probar que el producto S, T = s(x, y)t(x, y)dxdy, es un producto interior para X. E E F F E 4 E S, T X ) 1 2,

11 Ahora introduciremos ciertos tipos de funciones reales sobre un espacio con producto interior definido, las cuales pueden tener una interpretación geométrica en ciertos casos. Además estudiaremos algunas propiedades de dichos espacios. Definición (Seminorma). Sea X un espacio vectorial sobre un campo escalar F. Una seminorma sobre X es una función : X R + tal que i) ax = a x para toda a F y para toda x V. ii) Propiedad Triangular: x + y x + y para todo par x, y V. Podemos restringir el concepto de seminorma a otro concepto menos general, el cual exponemos a continuación. Definición (Norma). Sea X un espacio vectorial sobre un campo escalar F. Una norma sobre X es una función : X R + tal que i) es seminorma, y ii) x = 0 si y sólo si x = 0. En tal caso decimos que X es un espacio vectorial normado. Definición Decimos que la sucesión {x n } n 1 de elementos de un espacio vectorial normado X es una sucesión de Cauchy, si para cada ɛ > 0 existe N 1 tal que x m x n < ɛ, siempre que n, m > N. Decimos que la sucesión {x n } n 1 converge a x (x n x), cuando x n x 0, siempre que n ; y si además x X, entonces decimos que {x n } n 1 es convergente en X. Es fácil verificar que toda sucesión convergente en X es una sucesión de Cauchy. Sin embargo el recíproco no es cierto en todos los casos, pero cuando así sucede X recibe un nombre especial. Definición Decimos que un espacio vectorial normado X es completo si toda sucesión de Cauchy en X converge en X. Supongamos que X posee un producto interior y consideremos la función x = ( x, x ) 1/2, x X. Proposición (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Sea X un espacio vectorial con producto interior. Entonces, x, y x y. 5

12 Demostración. Para toda a F, y para todo par x, y X, 0 x + ay, x + ay = x 2 + a x, y + a y, x + a 2 y 2. (1.2) Supongamos que y, y = 0, entonces, y = 0 y y = 0. Además x, y = 0, lo cual implica que x, y = 0. De esta manera, 0 = x, y x y = 0 Ahora supongamos que y, y > 0. Entonces y > 0 y si en la expresión (1.2) sustituimos a = ( x, y / y, y ), tenemos que 0 x 2 x, y 2 x, y y 2 y 2 = x 2 de donde se sigue la desigualdad deseada. x, y 2 y 2, El resultado anterior es bastante conocido, y de él se derivan otros resultados igualmente conocidos e importantes enunciados a continuación. Corolario Sea X un espacio vectorial con un producto interior. Entonces x = ( x, x ) 1/2, define una norma y d(x, y) = x y define una métrica sobre X. De tal manera que X es un espacio lineal normado. La demostración se reduce a algunos cálculos sencillos. Tan sólo mencionaremos que esta norma es conocida como la norma inducida por el producto interior. Definición (Espacio de Hilbert). Si un espacio vectorial con producto interior es completo bajo la norma inducida por el producto interior, decimos entonces que es un espacio de Hilbert. De aquí en adelante, la notación usada para un espacio de Hilbert será la letra H en mayúscula y en negritas. No obstante, en algunos casos será más útil usar como notación la dupla (H,, ). Corolario El producto interior es conjuntamente continuo sobre el espacio de Hilbert H. Esto es, si {x n } n 1 y {y n } n 1, son sucesiones en H, tal que x n x y y n y, con x, y en H (es decir, sucesiones convergentes en H), entonces x n, y n x, y. Demostración. Según la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Cauchy-Schwartz, tenemos que x n, y n x, y = x n x, y + x n, y n y x n x, y + x n, y n y x n x y + x n y n y, 6

13 de donde se sigue en resultado deseado. Observamos que el resultado anterior es válido si sólo suponemos que H es un espacio con producto interior definido, y manteniendo la hipótesis de convergencia en H. Una propiedad geométrica importante y cuya demostración es sencilla, se enuncia a continuación. Proposición (Ley del paralelogramo). Sea H un espacio de Hilbert. Entonces, x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ), para cualesquiera elementos x, y de H. El teorema siguiente resalta la importancia de la igualdad anterior. Teorema Si H es un espacio vectorial normado, entonces la norma proviene de un producto interior si y sólo si dicha norma cumple la ley del paralelogramo. Una demostración de este hecho puede encontrarse en [5] o en [7]. Finalmente enunciamos la siguiente definición. Definición (Subespacio de Hilbert). Sea (H,, ) es espacio de Hilbert. Decimos que H 1 es un subespacio de Hilbert de H si i) H 1 H, y ii) (H 1,, ) es espacio de Hilbert. Observamos que el producto interior en ambos espacios es el mismo. 7

14 1.2 Ortogonalidad y ortonormalidad A continuación definimos el concepto de ortogonalidad de vectores y ortogonalidad de subconjuntos de vectores, cuya importancia será advertida páginas más adelante. Definición (Ortogonalidad y ortonormalidad). Sea H un espacio de Hilbert. Si para dos elementos, x, y de H se tiene que x, y = 0, decimos entonces que x es ortogonal a y, y usamos x y como notación. Ahora, si S H es tal que x, y = 0 (i.e. x y) para todo x, y S, decimos entonces que S es un subconjunto ortogonal. Y en el caso de que x = 1 para toda x S, entonces S se llama subconjunto ortonormal. Finalmente, si S 1 H y S 2 H son dos subconjuntos tales que x y para todo x S 1, y para todo y S 2, entonces S 1 es ortogonal a S 2 (notación S 1 S 2 ). Un resultado inmediato de esta definición y de la propiedad triangular de la norma es el siguiente. Proposición (Teorema de Pitágoras). Si {x 1,..., x n } es un subconjunto ortogonal finito, entonces x i 2 = x i 2. Algunos resultados sobre los espacios normados (y en particular los espacios de Hilbert), requieren la utilización de algunas propiedades referidas únicamente al campo escalar sobre el cual están definidos; y en ocasiones, si se trata de investigar propiedades propias a la norma o a un producto interior determinado, se requiere de ciertos resultados sobre espacios más particulares, como R o C. De manera más concreta, enunciamos la siguiente propiedad. Proposición Sean p y q un par de números reales mayores que 1 y tales que 1 p + 1 q = 1. Entonces para todo a, b R, ab ap p + bq q. La demostración es sencilla y se omite. Ahora propondremos la siguiente desigualdad, útil para un teorema que más adelante estudiaremos. 8

15 Proposición (Desigualdad de Hölder). Sean p y q un par de números reales mayores que 1 y tales que 1 p + 1 q = 1. Entonces, para un par de familias finitas de números complejos {x i } n y {y i } n, se tiene que ( ) 1 ( ) 1 p q x i y i x i p y i q. Demostración. Para facilitar la escritura definimos α = ( x i p ) 1 p y β = ( y i q ) 1 q. Ahora, es claro que si α = 0, ó β = 0 (esto implica que x i = 0 para toda i {1, 2,..., n} ó y i = 0 para toda i {1, 2,..., n}, respectivamente) se tendrá que n x iy i = 0, de donde se sigue la propiedad deseada. Supongamos entonces que α 0 y β 0 (es decir, existe k y existe j tales que x k 0 y y j 0). Definimos un par de nuevas familias {x i} n y {y i} n, dadas por x i = x i α y y i = y i β, para toda i {1, 2,..., n}. Es posible observar que ( x i p ) 1 p = 1 y ( y i q ) 1 q = 1, de donde se sigue que x i p = 1 y y i q = 1. Por otra parte, si para cada j {1, 2,..., n}, en la Proposición hacemos a = x j y b = y j, entonces tenemos que x jy j x j p p + y j q q, de ahí x iy i 1 p + 1 q = 1. 9

16 Pero entonces, finalmente, x iy i = 1 αβ x i y i, x i y i αβ. Teorema (Desigualdad de Bessel). Sea H un espacio de Hilbert y Λ un subconjunto ortonormal de vectores en H. Entonces 1) Si {x i } n es una familia arbitraria de elementos de Λ, entonces y, x i 2 y 2 para toda y H. Y si la familia de vectores {x i } Λ es a lo sumo numerable, entonces y, x i 2 y 2 para toda y H. 2) Para cada y H, el conjunto I y = {x Λ y, x 0}, es a lo sumo numerable. 3) Para toda z, y H, y, x z, x x z. x Λ Demostración. 1). Sea y H, y {x i } n Λ una familia finita. Escogemos de manera arbitraria n escalares en F (= R o C), digamos a 1,..., a n. 10

17 Tenemos que 0 y a i x i 2 = y a i x i, y = y 2 = y 2 = y 2 + = y 2 + = y 2 a i x i a j y, x j j=1 a j y, x j j=1 a i x i, y + a i x i, y + a i a j x i, x j j=1 a i 2 x i, x i + a i a j x i, x j j i ( a i y, x i a i x i, y + a i 2 ) (pues x i, x j = δ ij ) ( y, x i 2 + a j y, x i 2 ) y, x i 2 + a j y, x i 2, en particular, si a i = y, x i, entonces 0 y 2 y, x i 2. Ahora supongamos que {x i } Λ. Si definimos t n = n k=1 y, x k 2, entonces {t n } n=1 es una suscesión real creciente, y por lo anterior se tiene que t n y 2 para toda n N, i.e. la sucesión es creciente y acotada, y por lo tanto {t n } n=1 es convergente, y además lim t n = n y, x i 2 y 2. 2). Sea y un elemento de H. Consideremos la familia de subconjuntos de la forma I n = {x Λ y, x 1/n}, con n N. Si existe k N tal que I k es infinito, entonces existe al menos una familia numerable {x j } j=1 de elementos en I k ; de este modo, para la sucesión t n = n j=1 y, x j 2 se tendrá que n 1 k y, x 2 j 2 = t n, j=1 pues 1 k y, x j para toda i = 1,..., n. Y entonces {t n } n=1 es divergente. Lo cual resulta contradictorio con el punto 1) de esta demostración. Luego, se sigue que I n es finito para toda n N. 11

18 Ahora, es claro que I y = n N I n, i.e. I es expresable como una unión numerable de subconjuntos de cardinalidad finita, por ello I es a lo sumo numerable. 3). Sean y y z un par de elementos cualesquiera en H, consideremos los subconjuntos I y y I z. Tomamos x en Λ tal que y, x = 0 y y, x = 0, entonces y, x z, x = 0. Se sigue que I = {x Λ : y, x z, x = 0} I y I z. Pero, por la parte segunda, I y I z es a lo sumo numerable, por ende I es a lo sumo numerable. Digamos que I = {x 1, x 2,...} (obsérvese como esta familia puede ser finita). Entonces, y, x z, x = x Λ y, x i z, x i. Ahora bien, por la desigualdad de Hölder (Proposición 1.2.3) y por la parte primera de esta demostración, ( ) 1 ( ) y, x i z, x i y, x i 2 z, x i 2 y z, para toda n N. De esta expresión se deduce la desigualdad deseada. Observación De la anterior demostración, la desigualdad de Bessel puede también enunciarse de la siguiente manera. Para todo y X, y, x 2 y 2. x Λ Una colección de vectores no es necesariamente un subespacio vectorial, pero podemos preguntarnos si es posible encontrar algún subespacio mínimo que contenga dicha colección de vectores como subconjunto. La respuesta es afirmativa. Proposición Sea U una colección de vectores en el espacio vectorial H. Entonces existe un único subespacio B tal que 1) U B. 2) Si existe B H subespacio tal que U B, entonces B B. Demostración. Sea U un subconjunto del espacio vectorial H. Existencia. Sea D = {D H D es subespacio vectorial y U D}. Consideremos el subconjunto B= D DD. Se tiene entonces que B es un 12

19 subespacio vectorial y claramente U B. Luego B verifica la propiedad 1). Por otro lado, si suponemos que B es un subespacio tal que U B, entonces U D. Por tanto D D B, es decir, B B. Unicidad. Supongamos que existe un subespacio C tal que verifica las propiedades especificadas en la proposición. Entonces como B también verifica dichas propiedades, se tiene que C B C. Con lo cual B=C. Definición (Espacio generado). El subespacio encontrado en la proposición anterior se denomina espacio generado por U y se denota por S[U]. Observación { S[U] = α i u i i I : α i F, u i U i I, I subconjunto de índices }. Según la proposición anterior, podemos deducir que para un espacio de Hilbert H (y en general para cualquier espacio vectorial), con una base B de vectores se tendrá que S[B]=H. Ahora, también es fácil deducir que todo subconjunto ortonormal de vectores diferentes de cero dentro de un espacio de Hilbert, es también un subconjunto linealmente independiente. Podemos entonces exponer un resultado que nos ayudará a encontrar una base ortonormal para los espacios de Hilbert de dimensión finita. Teorema (Proceso de Gram-Schmidt). Sea H un espacio de Hilbert y sea Y = {y k k N} un subconjunto de vectores linealmente independientes. Consideremos además las subfamilias Y n = {y 1,..., y n } con n N. Entonces, para toda n N existe un subconjunto finito ortonormal de vectores Z n = {z 1,..., z n }, tal que S[Y n ] = S[Z n ]. Demostración. Inducción sobre n. I) Sea n = 1. Entonces Y 1 = {y 1 } y dado que y 1 es distinto de cero, es posible definir el nuevo vector z 1 = y 1 y 1, y considerar Z 1 = {z 1 } como una familia ortonormal. Sea α F. Tenemos que αy 1 = α y 1 y 1 y 1 = α y 1 z 1 = βz 1, con β = α y 1 F. Por tanto S[Y 1 ] = S[Z 1 ]. II) Sea 1 < n. Para la subfamilia Y n 1 = {y 1,..., y n 1 } supongamos que existe un subconjunto ortonormal de vectores Z n 1 = {z 1,..., z n 1 } tal que 13

20 S[Y n 1 ] = S[Z n 1 ]. Consideremos la subfamilia Y n = {y 1,..., y n } = Y n 1 {y n } y el vector z n = y n n 1 y n, z i z i. Entonces para cada z j Z n 1 tenemos n 1 z n, z j = y n, z j y n, z i z i, z j, = y n, z j y n, z j z j 2 = y n, z j y n, z j = 0, es decir z n es ortogonal a la familia Z n 1. Y por otra parte, si z n = 0, entonces y n = n 1 y n, z i z i, por tanto y n S[Z n 1 ]. Ahora, por hipótesis de inducción, y n S[Y n 1 ], luego y n puede expresarse como combinación lineal de y 1,..., y n, lo cual contradice nuestra hipótesis de independencia. Se tiene, de tal suerte, que z n > 0. Sea ahora z n = z n z n. Entonces Z n = Z n 1 {z n } es un subconjunto ortonormal de vectores. Por otra parte, si α i F para toda i = 1,..., n, entonces α i y i = = n 1 α i y i + α n y n n 1 α i y i + ( n 1 ) y n, z i z i + z n z n. Por hipótesis existe {β i,..., β n 1} F tal que n 1 α iy i = n 1 β iz i, entonces ( n 1 n 1 ) α i y i = β iz i + y n, z i z i + z n z n = = n 1 (β i + y n, z i )z i + z n z n β i z i, donde β j = β j + y n, z i para toda j = 1,..., n 1 y β n = z n. De todo lo anterior se sigue que S[Y n ] = S[Z n ]. Definición (Complemento ortogonal). Sea H un espacio de Hilbert y S una subconjunto de H. La colección de vectores S = {y H y x para toda x S} 14

21 es denominada complemento ortogonal del subconjunto S. Evidentemente S S. De esta definición es sencillo probar el siguiente enunciado. Proposición Sea H un espacio de Hilbert. Si S H, entonces S es un subespacio vectorial cerrado de H. Definición (Descomposición interna). Sea H un espacio de Hilbert (o un espacio vectorial arbitrario). Entonces i) Una colección finita {M i } n de subespacios vectoriales de H es linealmente independiente si para todo i = 1,...n se verifica M i (M1 + + M i 1 + M i M n ) = {0}, donde M M i 1 + M i M n denota el subconjunto cuyos elementos tienen la forma x 1 + x x i 1 + x i x n, con x j M j para toda j {1, 2,..., i 1, i + 1,..., n}. ii) Si {M i } n es una familia de subespacios vectoriales de H linealmente independiente, tal que H=M M n, entonces decimos que dicha familia forma una descomposición interna en suma directa para H. La notación usada es ahora H = M 1 M n. Como una aplicación del Proceso de Gram-Schmidt (Teorema 1.2.2) presentamos el siguiente resultado Teorema Sea H un espacio de Hilbert y M un subespacio de H de dimensión finita. Entonces {M, M } forma una descomposición interna en suma directa para H, esto es, H = M M. Demostración. Primeramente, deberemos mostrar que M M = {0}. Sea x M M, entonces x, x = 0 y por propiedades de producto interior, x = 0. Ahora, es claro que si la dimensión de M es finita, digamos n, podemos construir una base finita {x 1,..., x n } de vectores ortonormales para M, con lo cual w = z, x i x i M, para cualquier vector z H. Entonces, si consideremos el vector y = z w = z z, x i x i, 15

22 tendremos que para cada x j {x 1,..., x n }, y, x j = z, x j z, x i x i, x j = z, x j z, x j x j, x j = z, x j z, x j = 0. Esto significa que y es ortogonal a la base de M, entonces y es ortogonal a M mismo. De ahí que y M. Luego, z tiene la representación z = w + y, con w M y y M. Lo anterior prueba que H M M, pero es claro que la contensión contraria es válida. De esta manera H = M M. 1.3 Proyecciones Un espacio de Hilbert es un espacio normado completo (bajo la norma inducida por el producto interior), entonces debemos tener en cuenta que aquí se verifican todos los conceptos y propiedades topológicas de los espacios normados; entonces no debe caber duda alguna acerca del sentido que deba dárseles al hacer uso de éstas nociones a lo largo de nuestra exposición. Teorema (Proyección). Sea S un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Para cada x H existe un único elemento y 0 S tal que x y 0 = inf{ x y : y S}. El vector y 0 S se conoce como la proyección de x sobre el subespacio S. Demostración. Sea x H. Existencia. Sea δ = inf{ x y : y S}. Es posible encontrar una sucesión {y n } n 1 contenida precisamente en S, tal que x y n δ siempre que n. Ahora bien, por la ley del paralelogramo (Proposición 1.1.3), para toda u, v H, u + v 2 + u v = 2( u 2 + v 2 ), (1.3) entonces, si u = y n x y v = y m x, para un par n 1 y m 1, se tendrá luego, y n + y m 2x 2 + y n y m 2 = 2 y n x y m x 2, y n y m 2 = 2 y n x y m x (y n + y m ) x 2. 16

23 Pero 1 2 (y n + y m ) S, entonces 1 2 (y n + y m ) x 2 δ 2. Por lo tanto 0 y n y m 2 2 y n x y m x 2 4δ 2, y si n, m entonces y n y m 2 0. Con lo cual y n y m 0. De tal manera que la sucesión {y n } n 1 es de Cauchy. Entonces, dado que H es completo, existe un elemento y 0 en H tal que y n y 0 siempre que n, y dado que S es cerrado (i.e. todo punto límite de S está en S mismo), tenemos que y 0 S. Además, claramente δ = x y 0. Unicidad. Sea ahora y 0 en S tal que δ = x y 0. De nueva cuenta, sustituyendo en (1.3), u = y 0 x y v = y 0 x, tenemos que 0 y 0 y 0 = 4δ 2 4 x 1 2 (y 0 + y 0) 2 0, entonces y 0 y 0 = 0, con lo cual y 0 = y 0. Sobre un subespacio S podemos denotar como P S (x) la proyección de x sobre S, para cada x en el espacio H. Definiendo entonces el operador proyección P S : H S, tal que x P S (x) para toda x H. Lema Sea S un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Sea y S y x H, entonces y = P S (x) si y solo si (x y) S. Demostración. Primero supongamos que y = P S (x). Entonces x y = inf{ x z : z S}. Sea z S y c C entonces y + cz S. Ello implica que x y 2 x y + cz 2. Pero luego x y + cz 2 x y 2 + c 2 z 2 2Re x y, cz, c 2 z 2 2Re x y, cz 0. En particular, si c = b x y, z, con b R, entonces c 2 = b 2 x y, z 2, y además x y, cz = cz, x y = c z, x y = b x y, z z, x y = b x y, z x y, z = b x y, z 2. Por lo tanto 2Re x y, cz = 2b x y, z 2. De tal suerte que x y, z 2 (b 2 z 2 2b) 0, (1.4) 17

24 para toda b R. Tenemos ahora dos casos. I) Supongamos que z > 0 (es decir z 0). Sea entonces b > 0 tal que 0 < b z < 2, tenemos, Y por (1.4), luego b 2 z 2 2b < 0 x y, z 2 (b 2 z 2 2b) 0. x y, z 2 (b 2 z 2 2b) = 0, x y, z = 0. Entonces x y, z = 0, es decir (x y) z. II) Ahora supongamos que z = 0 (es decir z = 0). De forma inmediata se tiene que (x y) z. Por la parte I) y la parte II), (x y) z para toda z S. Entonces (x y) S. Inversamente, supongamos que (x y) S. Sea z S. Por hipótesis x y, z = 0, por lo tanto Re x y, z = 0. Luego x y 2 x y 2 + z y 2 = x y 2 + z y 2 2Re x y, z = x y (z y) 2 = x z 2, es decir, x y 2 x z 2, entonces, x y x z. Ello implica que x y inf{ x z : z S}. entonces se tiene en realidad la igualdad deseada. Pero como y S De este resultado se desprende de inmediato el siguiente lema. Lema Si S es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert H entonces (x P S (x)) S para toda x H. El hecho de que (x P S (x)) S para toda x H es quivalente al hecho de que (x P S (x)) S para toda x H. Teorema Si S es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H, entonces para toda x H, existe una única representación x = y + z, donde y S y z S. Esta representación única está dada por y = P S (x) y z = x y. En otras palabras, H = S S. 18

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