UNIVERSITAT DE VALÈNCIA. Primer curso de Ingeniería Informática PROBLEMAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

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1 UNIVERSITAT DE VALÈNCIA Primer curso de Ingeniería Informática PROBLEMAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Curso 3/4

2 Sucesiones Ejercicio Calcular los límites de las sucesiones siguientes: i) 5n3 8n +3 4n 3 +n +4 iii) n5 8n +3 4n 3 + n +4 v) 5n n +3 n 3 +n +4 n + vii) ii) 4n 3n +4 5n 4 +n 3 iv) 4n4 3n n 4 +3n 3 4n 3n +4 vi) 5n 3 n +3 viii) n + n + 3 n n 3 n3 n ix) 3 x) + n n3 + n + xi) ( n +3) 3 n 3 n xii) ln(n4 +4n 3 +6n 3n +) n 5 ln(6n 3 +4n 5n +7) xiii) ln(n6 +4n 5 +6n 3 +3n + n) ln(n 3 +4n + n +7) ln(n +) xv) ln(n 3 +5n +7) n xvii) xviii) n +7 3 n 3 n xix) 5n 3 n + 5 n +3 n + n xxi) 4n 3n xiv) ln(n5 +4n 3 +6n +3n +) ln(6n 5 +4n 3n +7) xvi) ln(n +3n +) ln(6n +7) 3 5 n + xx) n 7 +7 n xxii) 3 n 3 + n xxiii) 5n +3 3n xxiv) 3 n 3 + n 3 n 3 n n + n xxv) + n 3 n3 + 3 xxvi)( + 3n 4 ) n 3 + n + ln n + xxvii)(5n 3 +4n ) ln(n +7n 5) xxviii) log n n xxix)(n +3n) n + xxx)(n 3 +3n +) n 3 xxxi) n n + n + xxxii) ( n + n ) n 3 n+

3 ( n ) n +5 n+ +3n 5 xxxiii) n 4n + xxxv) p + p +3 p + + n p n p+ n +3n xxxvi) (4n ) xxxiv) xxii) ( ln(n +) ( (n)! n! ln n ) /n ) n ln n (3n ) xxxvii) (n +3) Ejercicio Encontrar, si existe, una expresión para el término general de las siguientes sucesiones recurrentes. Decir en cada caso si la sucesión es convergente y si no lo es encontrar una subsucesión que lo sea. i)a =,a n+ =( ) n + a n iii)a =,a n+ = a n v)a =,a n+ = a n n + ii)a =,a n+ = a n iv)a =,a n+ =( ) n a n Ejercicio 3 Estudiar si las sucesiones siguientes son convergentes y, en caso afirmativo, calcular su límite. i)a =,a n+ = a n + iii)a >,a n+ = a n + a n + a n + v)a =,a =,a n+ = 3 (4a n+ a n ) ii)a =,a n+ = a n + +a n +a n iv)a =,a n+ = a n + vi)a =,a n+ =+ a n vii)a =,a n+ = +a n viii)a =,a =,a n+ = 3 a n+ + 3 a n ix)a =,a =,a n+ = 5 a n a n x)a =,a n+ = 7 a n xi)a =,a n+ = a n xii) <a < 5,a n+ = 5 6 a n xiii)a =3,a n+ =4 4 a n xiv) <a < 4,a n+ = 4 5 a n n(n +) Ejercicio 4 Probar que n =. Ejercicio 5 Demostrar que cualquier cantidad superior a tres euros se puede expresar mediante monedas de dos euros y billetes de cinco euros. n Ejercicio 6 Probar que k = k= n(n + )(n +). 6

4 Ejercicio 7 Probar que 3 5 n 4 6 n 3n +. Ejercicio 8 Probar que!4! (n)! > ((n + )!) n,n=, 3,...

5 Series Ejercicio 9 Estudiar el carácter de las series: i) iii) v) n + n vii) ix) xi) n= ++ + n n log n (log n) n cos n nπ ( n +4 ) (n )! ( + )( + ) ( + n) n ( ) n+ n + ii) ( n a ) p a>, p IR + log log n iv) n= n! n vi) n! viii) n n (n +) n ) n ( x) n=3 3 xii) ( + n(n +) ( )n n(n +) ) xiii) ( n ) xiv) (log n) (Comparar con log n n ) xv) p n n q n (n +), p,q IR xvi) ( ) 5 8 (3n ) 3 xvii) n 3 n (n!) 4 n xviii) 4 n n (n)! Ejercicio Sumar las series siguientes: Descomposición en fracciones simples. i) iii) (n +)(n +3) 3n +4 n(n +3n +) ii) iv) 5n 6 n 3 3n +n n 3 n n=3 Series telescópicas. i) n n ++(n +) n ii) log( n+) n+ log (n + ) log(n +)+ log(n + ) log (n +) ( ) iii) iv) n log n log(n ) n=

6 Series aritmético-geométricas. n + n +5 3n i) ii) iii) iv) 3 n 6 n n Series de Euler. n (n +) (n ) n + i) ii) n! (n + )! n iii) iv) n= n! n 3 n n (n + )! Ejercicio Sumar las series siguientes: i) iii) v) n= n=p n n 4 + n + log(( + n )n ( + n)) n log n log(n +) n+ ii) iv) ( n vi) p) n= n (+ n )( + n ) 3n + 5 n n 3 + n!

7 Continuidad Ejercicio Demostrar, utilizando la definición de límite, que lím x (5x )=9y lím x (3x )=. Ejercicio 3 Calcular los límites siguientes: x + a)lím x x + x 3 3x + c)lím x x 3 +x x +6 ( 4x ) x 3 x e) lím x 4x g)lím 3 x x +7 x b)lím(x )x sen( x x ) d)lím( x) x x f)lím x x 5 x x 4 h)lím( x ) x x Ejercicio 4 Estudiar la continuidad de las funciones: x = (a).- f(x) = +e x x e x (b).- f(x) = x e x. x = (c).-f(x) = x x sen( x ) senx x = (d).-f(x) = sin x x x Ejercicio 5 Probar que el polinomio x 7 + x 4 + x 3 + x tiene una raíz real en [, ]. Ejercicio 6 Probar que el polinomio x 3 + x tiene una raíz real en [, ]. Ejercicio 7 Probar que el polinomio x 4 + x 3 + x tiene una raíz real en [, ]. Ejercicio 8 Probar que el polinomio x +x 4 +3x 3 + x tiene una raíz real. Ejercicio 9 Probar que todo polinomio de grado impar tiene una raíz real.

8 Derivabilidad Ejercicio Estudiar la derivabilidad de las funciones siguientes en los puntos dados: a) x, x, f(x) = x, x, x, x, en x =,x=/, x=. b) en x =,x=. f(x) = { max{x, /x}, x,, x =, Ejercicio Calcular hasta qué orden es derivable la función f(x) = Ejercicio Demostrar que la función f(x) = { e x x, x, x 3, x <. { x sen /x, x,, x =, es derivable en toda la recta real y calcular su derivada. Ejercicio 3 Calcular las derivadas n-ésimas de las funciones a) f(x) = log(kx). (Por qué da lo mismo que si fuera log x?) b) f(x) = sin(kx). c) f(x) = cos(kx). d) f(x) =. (Descomponer en suma de fracciones.) (x )(x ) e) f(x) = sin(4x) cos(x). (Expresar como suma) f) f(x) =e x. Ejercicio 4 (Funciones hiperbólicas) Dado que demostrar: sh x = ex e x ch x = ex + e x (seno hiperbólico), (coseno hiperbólico), a) ch x sh x =. b) (sh x) = ch x, (ch x) = sh x.

9 Ejercicio 5 Calcular cuántas raices reales tiene la ecuación 4x 5 5x 4 +=. Ejercicio 6 Calcular el número de raices reales del polinomio p(x) =x 5 8x +y localizarlas en intervalos de amplitud. Ejercicio 7 Estudiar si la ecuación x = cos x tiene solución única. En caso afirmativo obtener una aproximación de la solución con una cifra decimal exacta. Ejercicio 8 Tiene alguna raíz real el polinomio p(x) =x 5 x +? En caso afirmativo hallar una aproximación de dicha raíz con una cifra decimal exacta. Ejercicio 9 Estudiar la variación (crecimiento, decrecimiento, extremos, concavidad, convexidad e inflexiones) de las funciones siguientes: a)f(x) =x 3 + x + b)f(x) =(x ) 3 x c)f(x) =x log x d)f(x) =x 4 + x + e)f(x) =xe x f)f(x) = x 3 + Ejercicio 3 Demostrar las desigualdades siguientes: a)e x, +x x > b) tan x x, x<π/ c) sin x x, x d) log x x, x > e)x 4 + x f) x>log x, x > Ejercicio 3 Calcular los límites siguientes: +x e x a)lím x x tan x d)lím x x b)lím x (cos x) /x e)lím x e x sin(πx) x sen x c)lím x x + sen x f)lím x Ejercicio 3 Escribir los desarrollos de McLaurin de las funciones e x, log( + x), sen x, cos x, sh x, ch x. ( sin( π 4 x) ) x Ejercicio 33 Calcular aproximaciones cúbicas de los valores siguientes acotando el error cometido: e.4, cos. (rad), sin. (rad), log. Ejercicio 34 Calcular el valor de log 3 con un error menor que dos centésimas. Ejercicio 35 Usando el desarrollo de Taylor de la función log( + x), demostrar que ( ) n+ log =. n Cuántos términos de esta serie son necesarios para obtener una aproximación de log con seis cifras decimales exactas?

10 Ejercicio 36 Calcular la fórmula de Taylor con resto de f(x) = 4 log(x + ) alrededor de x =. Cuántos términos se necesitan para calcular una aproximación de 4 log(.5) con un error menor que.? Dar una cota superior del error cometido. Ejercicio 37 Calcular el polinomio de MacLaurin de segundo grado con resto de la función F (x) = x e t dt. Ejercicio 38 Calcular la fórmula de Mac Laurin con resto de la función f(x) = sin(x). Cuántos términos hacen falta para obtener una aproximación de sin con un error menor que dos centésimas? Ejercicio 39 Calcular la fórmula de Mac Laurin con resto de f(x) = log( + x). Obtener una aproximación de log(.9) con dos cifras decimales exactas. Ejercicio 4 Calcular la fórmula de taylor con resto de la función f(x) = log(x +) alrededor de x =. cuántos términos se necesitan para calcular una aproximación de log(.5) con un error menor que.? Ejercicio 4 Para aproximar e. se usa la aproximación e x +x + x una cota superior del error cometido. + x3 6. Dar Ejercicio 4 Calcular la fórmula de Mac Laurin con resto de f(x) = log ((x +) ). Calcular cuántos términos del polinomio son necesarios para obtener una aproximación de log(.5) con un error menor que..

11 Integrabilidad Ejercicio 43 Hallar en cada uno de los siguientes casos la derivada de la función F. (a) F (x) = (c) F (x) = (e) F (x) = (g) F (x) = x x sen t t x x ( y dt (b) F (x) = e t dt (d) F (x) = sen x 3 x x (u +) 4 du e t t dt t +t + t 4 dt) dy (f) F (x) = cos ( x dt ( t )( t ) x (h) F (x) = log t t 3 t + t +dt ) dt cos t dt. Ejercicio 44 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones f intervalo que se indica. y g en el a) f(x) = cos x, g(x) = sen x en [,π/4]. b) f(x) =x 3, g(x) =x x + en [, ]. c) f(x) =e x, g(x) =e x en [, ]. d) f(x) = sen x, g(x) = sen x entre el origen y el menor punto de corte positivo. e) f(x) =xe x, g(x) = log x en [, ]. Ejercicio 45 Calcular el área de un círculo de radio R y de una elipse desemiejes a y b. Ejercicio 46 Calcular el área común a los círculos x + y =9y(x 3) + y =9. Ejercicio 47 Hallar el área limitada por un bucle de la lemniscata de Bernouilli de ecuación ρ = a cos(ω). Ejercicio 48 Hallar el area limitada por la cardioide de ecuación ρ = a( + cos ω). Ejercicio 49 Hallar el area limitada por un lazo de la cicloide de ecuación y la longitud del mismo lazo. { x = a(t sen t) y = a( cos t)

12 Ejercicio 5 Longitud de la primera espira de la espiral de Arquímedes ρ = kω. Ejercicio 5 Hallar la longitud de un paso de la hélice x = a cos t y = a sen t z = kt Ejercicio 5 Calcular la longitud de la curva y = x en el intervalo [,π/4]. Ejercicio 53 Calcular las longitudes de las curvas siguientes en los intervalos que se indican: a) γ(t) =(t,t 3 ) si t [, ] b) γ(t) =(t sin t, cos t) si t [, π] c) γ(t) = (cos 3 t, sin 3 t) si t [,π/] d) γ(t) =(a cos 3 πt 3 πt,asin3 ) si t [, ] 3 e) γ(t) =(e t sin t, e t cos t) si t [, π]. Ejercicio 54 Volumen del cuerpo limitado por la superficie que genera un arco de cicloide al girar alrededor de su base. Ejercicio 55 El recinto limitado por y = xe x x = y = gira alrededor del eje de abcisas. Hallar el volumen del cuerpo generado. Ejercicio 56 Las secciones transversales de un sólido por planos transversales al eje X son cuadrados con centro dicho eje. Si al cortar por el plano perpendicular en el punto de abcisa x se obtiene un cuadrado de lado x, cuál será el volumen del sólido limitado por x =yx = a? Ejercicio 57 La base de un sólido es un triángulo de vértices (, ), (, ), (, ) en el plano XY. Sus secciones por planos perpendiculares al eje X son cuadrados. Calcular el volumen del sólido. Ejercicio 58 La base de un sólido es el círculo de centro (, ) y radio en el plano XY. Sus secciones por planos perpendiculares al eje X son cuadrados. Calcular el volumen del sólido.

13 Ejercicio 59 Calcular el volumen del sólido cuya base es el recinto limitado por el eje OX y la curva y = x, y cuyas secciones al cortarlo con planos verticales perpendiculares al eje OX son cuadrados. Ejercicio 6 Calcular el volumen del sólido cuya base es el recinto limitado por la recta y = y la curva y = x, y cuyas secciones al cortarlo con planos verticales perpendiculares al eje OX son cuadrados. Ejercicio 6 Sea R la región limitada por la recta y =3 x y el eje OX entre x =y x =. Calcular el volumen del sólido que tiene por base R y cuyas secciones al cortar con planos perpendiculares al eje OX son cuadrados. Ejercicio 6 Establecer por qué las integrales siguientes son impropias, estudiar si son convergentes o divergentes, y calcular las que sean convergentes. i) iv) log xdx ii) x log xdx v) e x dx vii) x) e x dx log x x dx viii) xi) x log x dx iii) vi) x(log x) dx ix) x dx xii) x x dx e x dx x dx (x +4) x dx Ejercicio 63 Calcular aproximaciones a los valores de las integrales siguientes usando el método de Simpson. dx a) 5+x 3 sen x d) x dx e) b) e x dx c) x +x 4 dx f) sen x dx e x dx log( + x )

14 Varias variables Ejercicio 64 Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones: i)f(x, y) = xy ii)f(x, y) = log(xy) x + y x + y iii)f(x, y) = x +3y iv)f(x, y) x + y Ejercicio 65 Hallar la gráfica y curvas de nivel de las siguientes funciones: i)f(x, y) =x +3y ii)f(x, y) =x + y iii)f(x, y) =xy iv)f(x, y) =x +3y Ejercicio 66 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: i) f(x, y) = xy si (x, y) (, )yf(, ) =. x + y ii) f(x, y) = iii) f(x, y) = x y x + y si (x, y) (, )yf(, ) =. xy x + y 4 si (x, y) (, )yf(, ) =. iv) f(x, y) = log(x + y ) si (x, y) (, )yf(, )=. v) f(x, y) = cos y ex x + y si (x, y) (, )yf(, )=. Ejercicio 67 Calcular las parciales de las siguientes funciones en el origen: i) f(x, y) = xy si (x, y) (, )yf(, )=. x + y ii) f(x, y) = x4 y 4 x + xy + y si (x, y) (, )yf(, ) =. iii) f(x, y) = x5 + y si (x, y) (, )yf(, )=. x 4 + y4 iv) f(x, y) = sin(x5 + y 5 ) x 4 + y 4 si (x, y) (, )yf(, )=. v) f(x, y) = tan x3 + tan y 3 x + y si (x, y) (, )yf(, )=. Ejercicio 68 Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en el punto que se indica: i) f(x, y, z) =x log y z y en (,, ).

15 ii) f(x, y, z) = xz en (,, ). x + y iii) f(x, y) =x + log xy en (, ). iv) f(x, y) = log xy en (5, ). v) f(x, y) = log(x +y +)+ x cos(t )dt en (, ). Ejercicio 69 La temperatura de cada uno de los puntos de una placa cuadrada viene determinada por la función T (x, y) =(x ) 3 (y ). Se desea conocer cuáles son, en el punto (, ), las direcciones de mayor crecimiento y decrecimiento de la temperatura. Ejercicio 7 Denotemos por z =e x +e 3y la altura de una montaña en la posición (x, y). En qué dirección desde (, ) deberíamos comenzar a caminar para escalar lo más rápidamente posible? Ejercicio 7 La temperatura de cada uno de los puntos de una placa metálica viene dada por la función T (x, y) =e x cos y + e y cos x. En qué dirección aumenta la temperatura más rápidamente en el punto (x, y)? Si situamos un móvil en el origen, qué dirección tendrá que seguir para asegurarse de que va por el camino más frío? Ejercicio 7 Una nave espacial se encuentra en un punto del espacio de coordenadas (,, 3 ). La temperatura exterior viene dada por la función T (x, y, z) = log(x y z +) x + y + z +. Qué dirección ha de tomar la nave para alejarse del calor lo más rápidamente posible? Ejercicio 73 Dada la función f(x, y) =e x+y cos x estudiar en qué dirección aumenta el valor de f(x, y) más rápidamente desde el punto (, log ). Ejercicio 74 Dada la función f(x, y) =(x + y) cos(xy) estudiar en qué dirección aumenta el valor de f(x, y) más rápidamente desde el punto (,π). Ejercicio 75 Hallar el plano tangente a las gráficas de las funciones: i) f(x, y) =xy + x y en el punto (,, ). ii) f(x, y) =x 3 + y 3 3x y +3xy en el punto (,, ). iii) f(x, y) =x +y 3 +5x y en el punto (,, ). iv) f(x, y) =y 3 +3x y +xy en el punto (,, ). v) f(x, y) =x 3 +3y 3 +3x +3x en el punto (,, ).

16 Ejercicio 76 Calcular los extremos relativos de las funciones: i)f(x, y) =xye x+y ii)f(x, y) =y + x y + x 4 iii)f(x, y) =xy ( x y) iv)f(x, y) =(x y )(x y 3 ) v)f(x, y) =x + y +3 vi)f(x, y) =3x 3 + y +3xy vii)f(x, y) =y e 4x+ viii)f(x, y) =(x )y ix)f(x, y) =e x+y (x +y) Ejercicio 77 Calcular los extremos absolutos de las siguientes funciones en los recintos indicados: i) f(x, y) =x + y en {(x, y) :4x +9y =}. ii) f(x, y, z) =x + yz en {(x, y, z) :x + y + z }. iii) f(x, y, z) =3x + y + xz en {(x, y, z) :x + y, x + z =}. iv) f(x, y) =3x y +y 3 en {(x, y) :x + y,y+ x }. v) f(x, y) =x + y en {(x, y) :x + y, y + x }. vi) f(x, y) =x + y en {(x, y) :x + y }.