Ejercicios y problemas de Termodinámica I. Potenciales termodinámicos. Relaciones de Maxwell. = Entalpía: H U pv = = + = Función de Gibbs: G U TS pv

Transcripción

1 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I 78 CAPÍUO 4º Potenciales termodinámicos. Relaciones de Maxwell. Resumen de teoría: Funciones termodinámicas: Energía interna: U d d du Entalía: H U + d d dh + Función de Helmholtz: F U d d df Función de Gibbs: G U + d d dg + Relaciones de orden cero: F U U H F G H G Condición de chwartz (olo sirve ara ecuaciones diferenciales exactas): (, ) (, ) dz M x y dx N x y dy + y x x N y M Relaciones de rimer orden (relaciones de Maxwell):

2 Julián Moreno Mestre Problemas: 1º Demuestre ara un gas ideal las siguientes igualdades: U C F G a) b) c) 1 F C H F U H d) H γ U olución: a) Partiendo de: du d d df d d y dividiendo entre si las dos ecuaciones: du d d df d d y considerando que es a entroía constante, esto imlica que el d es cero: 1 U d d d F d d d d 1 d Partiendo de la siguiente relación de Maxwell: y de la siguiente ecuación a constante: µ d λ d + µ d d µ d y sabiendo que el coeficiente calorimétrico µ es: µ C Derivando arcialmente ahora la ecuación de estado del gas ideal llegamos a la conclusión que: 1 C C µ C C nr nr nr y or tanto con esto demostramos que: C U C F C C b) Partiendo de: du d d df d d dh d + d Nos basaremos en un rocedimiento arecido al aartado anterior. Pero antes: df du d d d + d dh du d + d d + d df du d d dh du + d + d Dividiendo entre si: df du d d dh du + d + d i tomamos como constante la energía interna, imlica además que es constante la 79

3 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I temeratura ya que los gases ideales su energía interna deende exclusivamente del cambio de su temeratura. F d H U d + d Dividiendo ahora or d numerador y denominador: 1 F d d H U d + d 1 d d + d d d + Utilizando las relaciones de Maxwell y derivando desués la ecuación de estado del gas ideal: nr nr ustituyendo: F 1 H U nr nr c) Partiendo de: df d d dg d + d dh d + d y restando entre si: dg dh d + d d d dg dh d + d d d dividiendo ahora: dg dh d + d d d dh d d df d d d d Considerando que la entalía es constante esto imlica que también será constante la temeratura ya que ara un gas ideal sabemos que esta deende únicamente de la temeratura, esto imlicará que d 0 y d 0, or tanto: G d F H d Partiendo de la relación de Maxwell y derivando: nr ustituyendo: G nr 1 F H d) Partiendo de: Dividiendo entre si: du d d dh d + d dh d + d du d d Considerando la entroía constante: 80

4 Julián Moreno Mestre H d U d Partiendo de la relación de la Maxwell: Partiendo de: C Cvκ d d + d β β Dado que es diferencial exacta, de la misma odemos deducir las relaciones: C 1 C κ β β β Cκ ustituyendo: H β C C U Cκ β κ C Y artiendo de la definición del coeficiente de comresibilidad isoterma y derivando a artir de la ecuación de estado del gas ideal: 1 1 nr 1 κ Y sustituyendo conseguimos demostrar la igualdad: H 1 C C γ U C C º Demuéstrese que: C G C F olución: Partiendo de: G dg d + d cte dg d F df d d cte df d Oerando ahora en los diferenciales: G G 1 H 1 G H F F 1 U 1 F U Recordando la definición de los calores a resión y volumen constante: U H C C y las relaciones de Maxwell de orden cero: 81

5 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I U 1 H 1 U H Conseguimos demostrar las igualdades del ejercicio: H 1 C G H G U 1 C F U F º a ecuación fundamental, en la reresentación entróica, de cierto sistema hidrostático viene dada or: ( anu ) 1/ donde a es una constante. Halle la ecuación térmica de estado así como C, C, β y κ del sistema. olución: abiendo que es un sistema hidrostático, el cual deende de sus variables: U U du d + d d d De la cual sabemos enseguida que: U U Y or tanto: 1/ ( anu ) 7anU U 7an Y derivando siguiendo las relaciones de Maxwell de orden cero: U U 9an 7 an 7an 7an ( ) ( ) 4 7 an 9an 7 an 9an 7 a n 9 a n an Partiremos de de la definición de los coeficientes o de exresiones útiles ara deducirlos: Calor a volumen constante: U C ( 9an ) U 7an U 7an 9an U C an C Calor a resión constante: C + C an 8

6 Julián Moreno Mestre an an an an an an an C C Coeficiente de dilatación isobárico: 1 an an 1 β 9an 9an 7an β Coeficiente de comresibilidad isotermo: 1 κ an 7 an 7an 1 an an an κ 4an κ 4º Un mol de gas ideal realiza un roceso isotermo desde un estado inicial caracterizado or la temeratura 7 ºC y la resión 10 atmósferas, hasta un estado final en el que ocua un volumen doble del inicial. Hallar los incrementos de energía libre de Helmholtz y de entalía libre de Gibbs que exerimenta el gas en este roceso. olución: Partiendo de: df d d dg d + d Al ser un roceso isotermo esto imlica que: df d dg d Dado que es un mol de gas ideal que obedece a la ecuación de estado: R los estados final e inicial son: i 10 atm i.46 f atm f 4.9 Por tanto la energía libre de Helmholtz y la entalía libre de Gibbs es: f f R F d d R ln 177. J 0 0 f f R G d d R ln 177. J 0 0 8

7 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I º Un gas erfecto se comrime isotérmicamente a 00 K desde a 00 atmósferas. Calcular la variación de la entalía libre G y de la energía libre F ara un mol de gas. olución: Partiendo de: dg d + d df d d Al ser un roceso a temeratura constante d 0: R R i atm i 1. f atm f i f f d f dg d G d R R ln 1.8 atm 1.76 KJ i i i f f d f df d F d R R ln 1.8 atm 1.76 KJ i i i 6º Determinar el incremento de energía libre de Helmholtz que exerimenta un mol de gas ideal con c v cuando se lleva desde una situación de equilibrio inicial caracterizado or las variables 0 y 0 hasta otro estado de equilibrio final a f y f. olución: Partiendo que: df d d Para un mol gas ideal, la ecuación de la entroía es: d d d cv + R Dado que es un roceso a volumen constante: d d cv Integrando desde la temeratura inicial hasta una temeratura final : d ncv ncvln 0 ncvln ncv ln 0 Con esta ecuación de la entroía, ya estamos en condiciones de calcular el cambio de energía libre de Helmholtz: f f R F 0 + ncv ln d d f F ( f 0)( 0 ncvln0 + ncv) + nc v 0ln0 nc v f lnf Rln 0 f 84

8 Julián Moreno Mestre 7º El unto de ebullición del mercurio bajo la resión normal es 7 ºC y el calor latente de vaorización 7.78 cal/g. e hace hervir 1 Kg de mercurio bajo la resión atmosférica. Determinar: a) El calor absorbido. b) rabajo realizado or el mercurio contra la resión atmosférica suoniendo que es un gas erfecto. c) Incremento de energía interna. d) Incremento de entalía. e) Incremento de entroía. f) Incremento de energía libre de Helmholtz. g) Incremento de entalía libre de Gibbs. Dato: ρ Hg 1. kg/ olución: ayamos or aartados. a) El calor absorbido es: Q va m 7780 cal b) Determinamos el volumen inicial y final del mercurio: m nr i f 7. ρhg El trabajo realizado or el mercurio contra la resión atmosférica es: f W d ( ) 69 cal c) El cambio de energía interna es: U Q W 6641 cal i d) Para calcular el incremento de entalía, artiremos de: dh d + d Dado que es un roceso a resión constante: dh d abiendo que además: δq d Por tanto: δq dh δq H Q 7780 cal e) El incremento de entroía es: Q cal/k 60 f i 8

9 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I f) Calcularemos el incremento de energía libre de Helmholtz: df d d Dado que es un roceso a isotermo hervir el mercurio: f df d F d ( ) 69 cal i g) Calcularemos el incremento de entalía libre de Gibbs mediante: dg d + d Dado que es un roceso isotermo hervir el mercurio y transcurre a resión constante, el cambio de entalía libre de Gibbs es nulo ya que d 0 y d 0. 8º El otencial de Gibbs molar de cierto sistema termodinámico cerrado está dado or la exresión g(, ) g0 a b ln c ln c + donde g 0, a, b y c son constantes. Derivando la exresión anterior con resecto a las variables adecuadas, las veces que sean necesarias, hállese: a) la ecuación de estado. b) la exresión de la entroía en función de y v. c) el coeficiente de comresibilidad isoterma. d) el calor esecífico a resión constante. olución: a) Partiendo de la relación de Maxwell de orden cero: g c v v c v b) Partiendo de la relación de Maxwell: g c s s a bln b cln c s c+ b a+ bln + cln v c) Partiendo de la exresión que define el coeficiente de dilatación isoterma: 1v 1 c 1 1 κ κ v v d) Partiendo de: d d C d C R d + d b c C + b+ c C b+ c f i 86

10 Julián Moreno Mestre 9º Determinar las relaciones de orden cero y de rimer orden (relaciones de Maxwell) de un hilo metálico que cumle: du d + Zd Donde Z es la fuerza de contracción o estiramiento, su longitud y su temeratura. olución: Determinamos las exresiones corresondientes a la entalía, entalía libre de Gibbs y energía libre de Helmholtz. dh d dz dg d dz df d + dz De aquí se deducen las relaciones de orden cero: H H U U Z Z Z G G F F Z Z Z as corresondientes relaciones de Maxwell son: Z Z Z Z Z 10º a ecuación térmica de estado de un hilo metálico ideal es Z φ() y la energía interna del sistema es solamente función de la temeratura. Demuéstrese que: Z a) CZ C Z C b) es un roceso reversible y adiabático d φ( ) d olución: Para resolver este roblema nos basaremos en las relaciones de Maxwell determinadas en el roblema anterior. Y artiremos además que: U H C CZ Z a) Partiendo de la exresión de la entalía: H U Z Determinando sus relaciones diferenciales a Z y constantes: H U Z CZ Z Z Z H U Z Z H Z C C + Restando las relaciones diferenciales entre si: U H Z CZ C Z Z Z Y desarrollando las derivadas arciales con la entalías y la energía interna: U U U U + Z Z Z Z Z H H Z H H Z + Z Z Z Z 87

11 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I Con las relaciones de Maxwell del ejercicio anterior: U Z + Z + Z + Z Z Z Z Z Z Z Z H Z Z Z Z + Z Z ustituyendo: Z Z CZ C Z + Z + Y artiendo que: Z Z Z CZ C Z Z CZ C Z Z Nuevamente recurriendo a las relaciones de Maxwell del ejercicio anterior: Z CZ C Z Donde: Z Z φ( ) Por tanto: CZ C Z Z Z Z Z Z Z Z CZ C Z Demostrado. b) Partiendo de: du d + Zd Y que tratamos un roceso reversible, en cuyo caso d 0. du Zd a energía interna obedecerá a una exresión del tio: du Cd Por tanto: Cd φ( d ) Z Demostrado. C d φ( ) d 88

12 Julián Moreno Mestre 11º Un cilindro contiene 100 g de agua a 1 ºC. Mediante un istón se aumenta la resión sobre el agua isotérmica y reversiblemente desde 1 a 100 bar. Calcúlense U, H, F y G en dicho roceso Datos: β K, as κ olución: Partiendo de las relaciones diferenciales de los coeficientes: 1 1 β κ Procedemos integrando a buscar la ecuación de estado del mercurio: 1 1 β β κ κ ln β + f( ) ln κ + g( ) Podemos deducir ahora la ecuación de estado más un término constante: ln β κ + k O bien exresado como: ke β κ uoniendo que 100 g de agua a 1 atm as y a la temeratura de 7.1 K ocuase un volumen de 1, establecemos esto como condición inicial, valiendo or ello la constante: ke k m Procedemos ahora a calcular la energía interna mediante: du d d aliéndonos de: d C d + d Y sustituyendo: du C d + d d Al ser exansión isoterma, y derivando la ecuación de estado: β β du d d d κ κ Derivando a temeratura constante la ecuación de estado: β κ d kκe d ustituyendo e integrando: β β κ β κ du kκe d k( κ β) e d κ ( κ β) U k β κ e d 41. J Calculamos el incremento de la entalía con: dh d + d 89

13 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I Usamos la ecuación: d C d d Por tanto el diferencial de entalía es: dh Cd d + d Dado que es a temeratura constante, y derivando la ecuación de estado: dh k e β κ d ke β β κ d k(1 β) e β + κ d Integrando: 7 10 β κ H k(1 β) e d 99.1 J Calculamos el cambio de energía libre de Helmholtz: df d d Al ser un roceso isotermo, eliminamos el término d, sustituimos el d or un d siguiendo la ecuación de estado tal y como hicimos anteriormente e integramos: κ 10 df d kκ e β κ d F k e β κ d.46 J Calculamos el cambio de la entalía libre de Gibbs: dg d + d Al ser un roceso isotermo, eliminamos el término d, sustituimos el siguiendo la ecuación de estado e integramos: 7 10 β κ β κ dg d ke d G k e d J 1º El coeficiente de dilatación térmica y el de comresibilidad isoterma de cierto gas real vienen dados or las exresiones b b β κ siendo b /mol. Calcúlense los valores de U, H, F y G, cuando manteniendo la temeratura constante en 00 K, se comrime 1 mol de dicho gas desde 1 a bar. olución: Partiendo de las relaciones diferenciales de los coeficientes: 1 1 β κ Procedemos integrando a buscar la ecuación de estado del mercurio: 1 b 1 b β κ b b ln ( b) ln + f( ) ln ( b) ln + g( ) Podemos deducir ahora la ecuación de estado más un término constante: ln b ln ln + k ( ) 10 90

14 Julián Moreno Mestre O bien exresado como: ( b) k Podemos darnos cuenta que la constante en realidad es R, constante del gas ideal. ( b) R Determinamos ahora el cambio de energía interna artiendo de: du d d d C d + d du C d + d d Y como es un roceso a temeratura constante: du d d Y derivando la ecuación de estado, integramos ara calcular el cambio de energía interna: R R du d d d d 0 U 0 b b Calculamos el valor de la entalía con: dh d + d d C d d dh Cd d + d Y como es a constante: dh d + d Derivando ahora la ecuación de estado, e integrando: R dh d + d ( b) d + d bd H bd 640 as /mol.64 J Calculamos el valor de la energía libre de Helmholtz y de la entalía libre de Gibbs con: df d d dg d + d A temeratura constante: df d dg d Desejando y derivando la ecuación de estado: R R + b d d ustituyendo e integrando: 10 R R d df d d d F R J R R dg + bd G + b d 17.4 J 10 91

15 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I 1º ea un gas real de coeficientes de dilatación cúbica y el de comresibilidad isoterma: a b β κ donde b m as 1 y a es una constante. ea realiza con el gas una comresión isoterma a la temeratura de 00 K, con un volumen inicial de 10 y variándose la resión desde 1 bar hasta bar. a) Calcular G y F. b) Puede tener lugar el roceso anterior a energía interna constante? olución: Partiendo de las ecuaciones: du d d df d d dg d + d d C d + d Y sabiendo que es un roceso a temeratura constante: du d d df d dg d d d ustituyendo en la exresión diferencial de la energía interna el término d: du d d d Deducimos ahora la exresión de la ecuación de estado con los coeficientes elásticos: 4 1 a a β a + f ( ) 4 1 b κ b b+ g( ) 4 a b+ k 4 Deducimos el valor de k usando las condición inicial: i m i 1 bar 10 as i 00 K 4 4 a 00 8 a k k as ecuaciones quedan finalmente así ara resonder uno or uno los aartados: du d df d dg d a) Calcularemos la energía libre de Helmoltz integrando la exresión df y sustituyendo el d or un d mediante: 1 b κ b d bd df d bd F b d b 9. J

16 Julián Moreno Mestre Calculamos la entalía libre de Gibbs utilizando la ecuación de estado: 4 4 a a 00 dg d b d 4 4 Como es a temeratura constante y de valor 00 K: 4 4 a 00 a 00 dg b d ( b) d G ( b) d b 871. J b) Buscaremos en este aartado si el du 0. Partiendo de: du d Calculando la derivada: a b Reemlazando: a 1 4 du d ( a b) d b b a a 00 du a d b 4 4 Como la temeratura es constante e igual a 00 K: a 00 a 00 du a d b du 4 ( a ) d b El du no se anula, luego este gas real su energía interna cambia en rocesos isotermos. No es osible tener el roceso isotermo del ejercicio a energía interna constante. 14º Determine U, H, F y G en la comrensión isoterma reversible, a ºC, de 0.9 Kg de agua desde 1 a 100 atm, sabiendo que en este intervalo de resiones el volumen molar, a ºC, viene dado or: 4 7 v (cm /mol) y que v (cm /mol K) donde se mide en atmósferas. olución: Con las relaciones diferenciales: du ds dv dh ds + vd df sd dv v dg sd + vd ds cd d 9

17 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I Y sabiendo que es en todo momento un roceso isotermo: du ds dv dh ds + vd df dv dg vd v ds d Remlazando los términos ds: v v du d dv dh d + vd df dv dg vd Diferenciando: 4 7 dv ( ) d Integrando ahora una or una: v du d dv 98.1( ) d ( ) d ( ( ) ( )) 100 u d atm m/mol 1 v dh d + vd ( ) ( ) ( 98.1( ) ( )) dh d d 100 h + + d 1 h atm m/mol 4 7 ( ) df dv + d ( 4 7 ) f d.88 atm m/mol ( ) dg vd + d ( 4 7 ) g d atm m/mol 1 eniendo en cuenta que un mol de agua esa 18 g, y que tenemos 900 g de agua, tendremos 900/18 0 moles de agua. Multilicando las energías molares or el número de moles, y asando a julios obtendremos: u 70. J h 8. J f 19.6 J g J 94

18 Julián Moreno Mestre 1º Cierto gas cumle la ecuación de estado: n( R a) con a 0. mol 1. Inicialmente, el gas se encuentra en equilibrio a resión una atmósfera ocuando un volumen de.11 mol 1 y se lleva a la resión de atm donde el volumen de equilibrio vale 7.0 mol 1. Determinar el incremento esecífico de energía libre de Helmholtz que acomaña a ese roceso. olución: Reescribimos la ecuación de estado en una forma más sencilla y que mejor ermita desejar variables, y además convirtiendo el volumen en volumen molar: n( R a) ( v+ a) R Determinamos las temeraturas de equilibrio final e inicial: i( vi + a) f ( vf + a) i 76 K f 76 K R R Es un roceso isotermo. Partiendo de la relación diferencial y considerando que es isotermo: df d d df d ustituyendo la resión e integrando: 7.0 R F d ln 0 J/mol v+ a ( ) 16º Entre 0 K y 00 K un material tiene un valor de la entroía esecífica dado or: s a+ b donde a 4.76 cal mol 1 K 1 y b.0 10 cal mol 1 K, y una ecuación constitutiva: κ v C siendo v el volumen molar, κ el coeficiente de comresibilidad isoterma y siendo C 0.8 atm 1 mol 1. abiendo que a 1 atm el volumen molar del material vale 1.7 mol 1, hallar la diferencia de entalía libre de Gibbs entre el estado 1 00 K y 1 10 atm y el estado 0 K y 1 atm. olución: Partiendo de: dg sd + vd Y sabiendo que: C 1 v v κ v C κ C C v C v+ k v v Alicando la condición inicial que a 1 atm el volumen molar es de 1.7 /mol: k k /mol ustituyendo e integrando ahora: dg a + b d + k C d ( ) ( ) g ( a + b ) d + ( k C) d a + b + k C 179 cal/mol

19 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I 17º Determine el cambio exerimentado en los otenciales termodinámicos de 1 Kg de agua en el roceso de ebullición de la misma a la resión atmosférica normal. Considérese el vaor como gas ideal y que l << g ( H ebullición 6 cal/g). olución: Partiendo de: du d d dh d + d df d d dg d + d Al ser una transición de fase, el roceso es isotermo, y además se realiza a la resión exterior constante, lo que imlica un roceso isóbaro, or tanto: U H F G 0 Ya sabemos tras este rimer aso la variación de la entalía libre de Gibbs. El enunciado nos facilita el cambio exerimentado or la entalía. Por tanto: U H 6000 cal F El agua ebulle a 100 ºC ( 7.1 K) a 1 atmósfera de resión. Un kilogramo de agua tiene cerca de 1000/18. moles de agua. El volumen en fase vaor será de: nr g 1699 Dado que el volumen final es mucho mayor que el inicial, el incremento de volumen es rácticamente de Por tanto: U cal F cal 18º Cierta sustancia gaseosa osee un coeficiente de comresibilidad isoterma que vale atm 1 a 00 K. Determina los incrementos de energía libre de Helmholtz y de entalía libre de Gibbs que exerimenta un mol de ese gas cuando artiendo de un estado de equilibrio a una 1 atm y 9.8 dulica su volumen a temeratura constante de 00 K. olución: Partiendo de: df d d dg d + d Y que es un roceso isotermo: df d dg d A artir del coeficiente de comresibilidad isoterma: 1 d d κ d κd ln κ + k κ Utilizando las condiciones iniciales de 1 atm y 9.8 : ln k k.46 Por tanto:.46 ln ln κ +.46 κ Enseguida odemos calcular el incremento de la entalía y energía libre: 9.6 d d dg d G 1060 atm kj κ κ ln.46 ln.46 df d d F d 84.6 atm/ 8.96 kj κ κ

20 Julián Moreno Mestre 19º eniendo en cuenta las relaciones de Maxwell, demostrar que: U olución: Partiendo de: du d d Dividiendo entre d: du d d d d d omando como constante la temeratura llegamos a: U Y or la relación de Maxwell: Queda ues demostrado: U 0º a tensión suerficial de una lámina de agua líquida es una función exclusiva de a temeratura: σ ( ) a b con a 0.14 J/m y b J/m K. a) Determine la variación de energía interna de la lámina cuando a temeratura constante de 00 K su suerficie A aumenta en 100 cm. b) uoniendo constante la caacidad calorífica, C A 4. J/K, calcula la variación de temeratura de la lámina, si el aumento de suerficie es isoentróico. c) Cuál hubiera sido la variación de energía interna en el roceso isotermo a) si la tensión suerficial variase en la forma: σ (, A) c A siendo c constante? olución: a) Partiendo de las relaciones diferenciales: σ du d + σ da d CAd da A ustituyendo: σ du CAd da + σ da A Retirando C A d ya que es un roceso a temeratura constante: σ du da + σ da A 97

21 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I Y sustituyendo en la exresión, e integrando, calculamos el cambio de energía interna: ( ) ( ) 10 du b da + a b da ada U ada aa b) Partiendo únicamente de: σ d C d da A A J Al ser isoentróico significa que d 0: σ CA 0 CAd da d bda A Integrando ahora: f 10 C f A d bda 4 ln f K c) Procediendo como en el aartado a): σ Isotermo σ du CAd da + σ da du da + σ da A A ustituyendo: c du da c da 0 U 0 A + A 1º a fuerza recueradora de una varilla elástica estirada está relacionada con su longitud y temeratura or la exresión: F a ( 0 ) donde a y 0 son constantes ositivas ( 0 es la longitud de la varilla sin estirar). Para 0, la caacidad calorífica de la varilla, medida a longitud constante, es C ( 0,) b, siendo b una constante. Determine: a) a exresión general de la caacidad calorífica C (,). b) El cambio de entroía de la varilla cuando se aumenta su longitud, reversible e isotérmicamente, desde 0 a 0 /. c) a entroía (,), a cualquier longitud y temeratura, suuesta conocida ( 0, 0 ). d) a temeratura final f, cuando, estando la varilla adiabáticamente aislada y artiendo del estado ( i, i ), se ejerce una tracción reversible hasta que la varilla alcanza una longitud f. olución: Recordemos que en el roblema, F no significará energía de Helmholtz a) Partiendo de: C F a( 0) dc a( 0) d Integrando, a constante: C a( 0) d a 0+ f( ) 98

22 Julián Moreno Mestre Arovechando que C ( 0,) b llegamos a la conclusión que: C b a 0 + g( ) iendo el arámetro k: C ( ) 0 0 0, b a 0+ g( ) b a 0+ g( ) 0 g ( ) a( 0 0) a0 Por tanto: C (, ) b a 0 a0 b a ( 0 + 0) C, b a b) Partiendo de: ( ) ( ) C d Cd + df d d + df F F Como es isotermo el roceso, y conociendo la derivada: F F d df df F a F a abiendo que: df a d ustituyendo e integrando entre 0 hasta 0 /: 0 / a ( 0 ) d a d a ( 0) d a ( 0) d a a 4 0 c) Utilizando exresiones usadas o determinadas en el aartado anterior como: C F d d df df a d F F a ustituyendo: ( ) ( ( 0 ) ) ( ( 0) ) ( 0) 0 0 ( ) 0 F 0 b a a d d a d b a d d a d b a d a d Integrando entre 0 y, y entre 0 y : ( ( 0) ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) b a d a d b a 0 0 omando: (, ) ( 0, 0) legamos a la conclusión que:,, + b a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

23 Ejercicios y roblemas de ermodinámica I d) Partiendo de: C d d df F Dado que es adiabático reversible, el d 0: C ( ) 0 b a a ( 0) d df d a d F a d a( 0 ) ( b a ( 0) ) d a ( 0) d d b a( 0 ) E integrando desde ( i, i ) hasta ( f, f ): f f d a( 0 ) f b a( f 0 ) b a( i 0 ) d ln ln ln ( 0) ( 0) i b a i i b a i b a( f 0 ) f b a( i 0 ) b a( i 0 ) f i i b a b a ( f 0 ) ( f 0 ) º Una elícula delgada de área A 0 se encuentra a temeratura 0. a elícula se estira de forma isoterma hasta dulicar su área inicial. Durante el roceso el cambio de tensión suerficial viene dado or: dσ a da A a es una constante. i el coeficiente de dilatación suerficial de la lámina es β A, determinar y G. olución: a derivada del enunciado es en un roceso isotermo: σ a a dσ da A A A abemos que el coeficiente de dilatación lineal es: 1 A A β A A A σ σ Calcularemos el cambio de entroía mediante: A A d C d d d d A a da a σ σ σ da σ σ A A A0 a da a ln a ln A A0 El cambio de energía libre de Gibbs es: a a dg d Adσ dg Adσ dg A da da A A A0 a G da G a ln A A0 100

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