Fundación Uno. Ejercicio Reto. ENCUENTRO # 37 TEMA: Función logarítmicas CONTENIDOS: 1. Funciones Logarítmicas. 2. Dominio de funciones logarítmicas.

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1 ENCUENTRO # 37 TEMA: Función logarítmicas CONTENIDOS: 1. Funciones Logarítmicas.. Dominio de funciones logarítmicas. 3. Problemas de aplicación. Ejercicio Reto 1. La solución de log (9 x ) = 5 log 5 3 x, es: A)S = {0, 3} B)S = {0} C)S = {3} D)S = { 3} E)S = R. Los interceptos de la función cuadrática f(x) = x 3x+18, son respectivamente: A)(1, 0) y (3, 0) B)(, 0) y (3, 0) C)( 6, 0) y (3, 0) D)( 1, 0) y ( 3, 0) E)(6, 0) y ( 3, 0] Definición 1. Definimos la función logarítmica de base a, a la función f : R R denotada por: y = log a x, (a > 1) Propiedades 1. Dominio: R + 4. Raíces: x = 1 5. Monotonía: creciente Portal 1 sv.portaldematematica.com

2 y = log a x, (0 < a < 1) Propiedades 1. Dominio: R + 4. Raíces: x = 1 5. Monotonía: decreciente y = log a ( x), (a > 1) Propiedades 1. Dominio: R 4. Raíces: x = 1 5. Monotonía: decreciente Portal sv.portaldematematica.com

3 y = log a ( x), (0 < a < 1) Propiedades 1. Dominio: R + 4. Raíces: x = 1 5. Monotonía: decreciente Función logarítmica desplazada y = log (x ) Asíntota vertical x = y = log (x + 1) Asíntota vertical x = 1 Portal 3 sv.portaldematematica.com

4 Desplzazamiento en el eje y y = log (x) Asíntota vertical x = 0 Desplzazamiento en el eje y y = log ( x) + 3 Asíntota vertical x = 0 Desplazamiento en ambos ejes y = log 1 (x 1) Asíntota vertical x = 1 1. Dominio: [1, + ) 4. Raíces: log 1 (x 1) = 0 log 1 (x 1) = x 1 = 1 x = = Monotonía: decreciente Ejercicios propuestos I- Dadas las siguientes funciones. Esboza su gráfico y analiza sus propiedades. 1. log(x 3). log (x + ) 3. log 4 (x) 1 4. log 3 (x) + 5. ln(x ) 1 6. log 1 (x + ) 3 Portal 4 sv.portaldematematica.com

5 7. log 1 (x) + 8. log 4 5 (x 4) 1 Análisis del dominio de una función logarítmica Sea log a b = x tiene como requisitos (a > 0, a 1, b > 0), teniendo en cuenta estas restricciones se puede determinar el dominio de una función logarítmica. Ejemplo #1 Analice el dominio de las función: f(x) = log(x 4) x 4 > 0 (x )(x + ) > 0 x 1 = x = Dominio f(x) = {x R x < x > } Ejemplo # Determina para que valores de la variable tiene sentido la siguiente función: y = log( x +x ). x x 6 x +x > 0 x x 6 (x+)(x 1) > 0 (x 3)(x+) Ceros de numerador x 1 = x = 1 Ceros de numerador x 3 = 3 x 4 = S = {x R x 1 x > 3 x } Ejercicios propuestos Determina para que valores de x están definida las siguientes expresiones: 1. log 6 (x + 8). log x 1 (x 4x) 3. ln(3x x ) 4. ln x 3 x 4x 5 5. log x ( x 6x x 5 ) 6. log x+ (x x 6) 7. log( x 16 x +4x 3 ) 8. log( x 10x+5 3x 14x 5 ) Problemas de aplicación Sismología En sismología los logaritmos se emplean para calcular la intensidad de un sismo por Portal 5 sv.portaldematematica.com

6 medio del siguiente modelo matemático: I R = log A t Donde: I R = intensidad del sismo (escala Richter) A = amplitud (micrómetros) t = periodo (tiempo en segundos que dura una oscilación) Ejemplo # 1 Cuál es la intensidad de un sismo en la escala Richter si su amplitud es de micrómetros y su periodo de 0.09 segundos? Se sustituye A = 8000 micrómetros y P = 0.09 segundos en la fórmula: I R = log A t I R = log I R = log( ) I R = 4.95 Por tanto, el sismo tiene una intensidad de 4.95 grados en la escala Richter. Ejemplo: # Un sismo tiene una intensidad de 5.7 grados en la escala Richter, si la amplitud del movimiento es de micrómetros, cuál es su periodo? Primero se despeja en la fórmula: I R = log A t 10 I R = A t t = A 10 I R Se sustituye en esta última fórmula I R = 5.7 y A = segundo. t = = Por consiguiente, el periodo de una oscilación es de segundos. Decaimiento radiactivo Otra aplicación de los logaritmos se lleva a cabo en el decaimiento radiactivo. decaimiento radiactivo de un material está dado por la fórmula: El C = C 0 () t n Portal 6 sv.portaldematematica.com

7 Donde: C = cantidad de material radiactivo después de cierto tiempo t = antigüedad del material C 0 = cantidad presente cuando t = 0 n = vida media del material Ejemplo # 3 El tiempo de vida media de un material es de 5 años, cuánto de dicho material queda después de haber transcurrido 15 años? Se sustituye en la fórmula n = 5 y t = 15 años: C = C 0 () t n C = C 0 () C = C 0 () 0.6 C = C 0 (0.659) = 0.659C 0 Por consiguiente, queda 0.659C 0 o 65.9% del material inicial. Ejemplo # 4 Cuál es la antigüedad de una fi gura de madera que tiene la cuarta parte de su contenido original de carbono 14, si la vida media del material es de años? Con las propiedades de los logaritmos se despeja t: C = C 0 () t n C C 0 = () t n log( C C 0 ) = log() t n log( C C 0 ) = t n log() t = log( C C 0 ) 1 n log() t = n log( C C 0 ) log() Se sustituye C = 1 4 C 0 y n = 5900 en la última fórmula: t = t = 5900 log(0.5) log() log( C 0 C 0 ) log() = = años Portal 7 sv.portaldematematica.com

8 Por tanto, la antigüedad de la pieza es de años. Ejercicios Propuestos 1. Un sismo se presenta con micrómetros de amplitud y un periodo de 0.3 segundos. Determina la intensidad del movimiento sísmico en la escala Richter.. Encuentra el periodo de un sismo de micrómetros con intensidad de 5 grados en la escala Richter. 3. Un sismo tiene un periodo 0.35 segundos de duración y alcanza 4 grados en la escala Richter. Cuál es su amplitud? 4. El tiempo de vida media de un material es de 40 años. Cuánto de dicho material queda después de 30 años? 5. La vida media del tritio es de 1.5 años. Cuánto tardará en desintegrarse 30% de una muestra de este metal? Portal 8 sv.portaldematematica.com