Aprender el concepto de la probabilidad y las reglas básicas de probabilidades para sucesos. Entender la probabilidad condicionada.

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1 5. PROBABILIDAD Objetivo Aprender el concepto de la probabilidad y las reglas básicas de probabilidades para sucesos. Entender la probabilidad condicionada. En el idioma habitual, usamos frases como: Es probable que gane Madrid hoy Mañana lloverá seguro. Es posible que te llamen pero lo dudo. En todas estas frases, explicamos un sentido de incertidumbre sobre sucesos aleatorios. Ahora queremos formalizar la idea del azar y probabilidad. 113

2 Conceptos básicos La probabilidad de un suceso es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra. La idea es relevante en situaciones donde el azar juega un papel importante. Se necesita el concepto de un experimento aleatorio y de sus posibles resultados. Definición 19 Un experimento aleatorio es el proceso de observar un fenómeno cuyos posibles resultados son inciertos. Se supone que se saben todos los posibles resultados del experimento de antemano y que se puede repetir el experimento en condiciones idénticas. Ejemplo 50 Lanzar una moneda y observar si sale cruz o cara. 114

3 Definición 20 El espacio muestral (Ω) esel conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Ejemplo 51 Si el experimento es lanzar la moneda una vez, el espacio muestral es Ω={C, X} donde C significa cara y X cruz. Si el experimento es lanzar la moneda dos veces, el espacio muestral es {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} donde (C, X) es el suceso de que la primera tirada sea cara y la segunda cruz. Definición 21 Los posibles resultados del experimento o componentes del espacio muestral (e i ) se llaman sucesos elementales: Ω={e 1,...,e k } 115

4 Ejemplo 52 En el caso de lanzar la moneda dos veces, los sucesos elementales son e 1 = (C, C), e 2 =(C, X), e 3 =(X, C) y e 4 =(X, X). Definición 22 Un suceso es un conjunto de sucesos elementales. Ejemplo 53 En el caso de lanzar la moneda dos veces, el suceso A = sale exactamente una cara es A = {(C, X), (X, C)}. El suceso B = la primera tirada es cara es B = {(C, C), (C, X)}. Dos sucesos importantes son el suceso seguro = Ω, es decir todo el espacio muestral y el suceso imposible = φ, el conjunto vacio. Además, para cada suceso A, podemos definir Ā =el suceso contrario de A, es decir Ā =Ω\ A = {e i : e i / A} Observamos que Ω = A Ā y que A Ā = φ. 116

5 Ejemplo 54 Ā = {(C, C), (X, X)} B = {(X, C), (X, X)} Para dos sucesos, A y B, se define el suceso A B (o A y B) como el conjunto de sucesos elementales contenidos en A y B. Si ocurre el suceso A y B, se han ocurrido ambos sucesos. Dos sucesos A y B que no pueden ocurrir a la vez (A B = φ) se llaman sucesos incompatibles. Al contrario se dice que ha ocurrido el suceso A B (A o B) si se ocurre por lo menos uno de dos sucesos. Ejemplo 55 A y B = {(C, X)} A o B = {(C, C), (C, X), (X, C)} A y B no son sucesos incompatibles. 117

6 Diagramas de Venn Una manera visual de ver los distíntos sucesos es a través del diagrama de Venn. Ω A B 118

7 Ω A Ā Ω A y B 119

8 Frecuencia y probabilidad Aún no hemos definido la probabilidad de un suceso. El método más frecuente es usar la idea de frecuencias relativas. Ejemplo 56 Definimos el experimento de tirar una moneda una vez. Repetimos el experimento un número n de veces y calculamos las frecuencias relativos de cada suceso elemental. f 1 n =1 f n =10 1,5,5 0 f 1 C 0 X C X f n = n = 1000,5,5 0 C X 0 C X 120

9 En el ejemplo, se ve que las frecuencias relativas se acercan a un ĺımite cuando se repite el experimento muchas de veces. El valor del ĺımite es la probabilidad del suceso. Para un suceso A se escribe P (A) pararepresentar su probabilidad. Se han definido las probabilidades como ĺımites de frecuencias, y se puede deducir las siguientes propiedades básicas que poseen las probabilidades. Se tiene: Para cualquier suceso A, 0 P (A) 1. P (A) = i:e i A P (e i) P (Ω) = 1 Si A y B son sucesos incompatibles (es decir que A y B = φ) entonces P (A o B) =P (A)+P (B). 121

10 De estas tres propiedades, se deduce que si Ā es el suceso complementario a A, P (Ā) =1 P (A) Demostración A y Ā son sucesos incompatibles y entonces P (A o Ā) =P (A)+P (Ā) Pero Ω = A o Ā es decir que A o Ā es un suceso seguro y entonces 1=P (A o Ā). Luego el resultado sigue inmediatamente. Inmediatamente podemos concluir que como φ = Ω, entonces P (φ) = 0, es decir que el suceso imposible es de verdad imposible. 122

11 Espacios equiprobables En algunas situaciones, la definición del experimento asegura que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. En este caso, se dice que el espacio muestral es equiprobable. Si el espacio muestral es equiprobable y contiene k sucesos elementales, luego se tiene Ω={e 1,...,e k } P (e i )= 1 k para i =1, 2,...,k. Para cualquier suceso A entonces, la probabilidad de A es P (A) = 1 número de sucesos elementales en A. k 123

12 Ejemplo 57 Supongamos que se lanza una moneda equilabrada dos veces. Luego hay cuatro sucesos elementales, (C, C), (C, X), (X, C), (X, X) cada suceso con probabilidad 1 4. Entonces, la probabilidad de observar A = exactamente una cara es P (A) = P ({(C, X), (X, C)}) = = 1 2 Además, la probabilidad de que la primera tiradaseacaraesp (B) = 2 4 = 1 2. Cuál es la probabilidad de que la primera tirada sea cruz? P ( B) =1 P (B) =1 1 2 =

13 La probabilidad subjetiva Se han visto anteriormente dos ideas para definir probabilidades: via frecuencias relativas y además el caso de espacios equiprobables. Existe otra enfoque completemente distínto que define la probabilidad como una medida subjetiva de incertidumbre sobre la aparición de un suceso. Así nuestras probabilidades para algún suceso pueden ser distíntos, ya que tenemos diferentes cantidades de información. En este caso, se pueden definir probabilidades para experimentos irrepetibles. Ejemplo 58 Cuál es la probabilidad de que naciera yo en el 1965? 125

14 La probabilidad P (A o B) Sii A y B son sucesos incompatibles, tenemos el siguiente diagrama de Venn. Ω A B La área en A o B es igual a la suma de las dos áreas. Entonces, interpretando probabilidad como área, concluimos que P (A o B) =P (A)+P (B). 126

15 En el caso más general, tenemos el siguiente diagrama Venn. Ω A B Vemos que la área contenida en el suceso A o B es igual a la área en A más la área en B menos la área en A y B. Entonces, tenemos la fórmula general. Para dos sucesos A y B, se tiene la ley de adición: P (A o B) =P (A)+P (B) P (A y B) 127

16 Observamos también que se tiene P (A y B) mín{p (A),P(B)} y P (A y B) máx{p (A),P(B)}. Ejemplo 59 Hay 15 cĺınicas en una ciudad. De ellas, 6 no cumplen las reglas sanitarias y 8 no cumplen los requisitos de seguridad. 5 cĺınicas no cumplen ni los requisitos de seguridad ni las reglas sanitarias. Si se elige una cĺınica para inspeccionar al azar, cuál es la probabilidad de que cumpla ambos reglamientos? 128

17 Sea A el suceso de que cumple las reglas sanitarias y B el suceso de que cumple los requisitos de seguridad. Si elegimos una cĺınica al azar, tenemos P (Ā) = 6 15 P ( B) = 8 15 P (Ā y B) = 5 15 Deducimos que P (A) =1 P (Ā) = 9 15 ytambién que P (B) =1 P ( B) = Ahora miramos el diagrama de Venn. 129

18 Ω A o B Ā y B Observamos que (A o B) (Ā y B) =Ωytambién los dos sucesos son incompatibles. Luego P (A o B) =1 P (Ā y B) = Ahora necesitamos calcular P (A y B). Recordamos que P (A o B) =P (A)+P (B) P (A y B) que implica que P (A y B) = = 6 15 =

19 Una extensión P (A o B o C) Ω C A B Pensamos en probabilidad como si fuera area. P (A o B o C) = P (A)+P(B)+P(C) P (A y B) P (B y C) P (A y C) +P (A y B y C) 131

20 Probabilidad condicionada Ejemplo 60 Se clasifica un grupo de 100 ejecutivos en acuerdo con su peso y si tienen hipertensión. La tabla de doble entrada muestra el número de ejecutivos en cada categoría. insuficiente normal sobrepeso Total hipertenso normal Total Si se elige un ejecutive al azar, cuál es la probabilidad de que tenga hipertensión (H)? Hay 20 ejecutivos con hipertensión y luego P (H) = =0,2. Igualmente, la probabilidad de que tenga sobrepeso (S) esp (S) = =0,

21 Se elige una persona al azar del grupo y se descubre que tiene sobrepeso. Cuál es la probabilidad de que esta persona sea hipertenso? Escribimos P (H S) para representar la probabilidad de que sea hipertenso sabiendo que sobra peso. Para calcular P (H S), las primeras dos columnas de la tabla son irrelevantes. Hay 25 ejecutivos gordos y de ellos, 10 son hipertensos. Luego P (H S) = =0,4. Observamos también que P (H y S), la probabilidad de que una persona elegida al azar sea gordo y hipertenso es P (H y S) = =0,1. Observamos entonces que P (H S) = P (H y S). P (S) 133

22 Definición 23 Para dos sucesos A y B, sedefine la probabilidad condicionada de A dado B como P (A y B) P (A B) =. P (B) Se entiende la expresión como la probabilidad de A suponiendo que B haya ocurrido. A menudo se escribe esta fórmula de otra manera P (A y B) =P (A B)P (B). En este caso, se llama la fórmula la ley de multiplicación. 134

23 Ejemplo 61 Se dan dos cartas de una baraja espaola. Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean copas? Sea A (B) el suceso de que la primera (segunda) carta sea copa. Queremos P (A y B). Usamos la ley de multiplicación. P (A y B) =P (B A)P (A) Ahora P (A) = y P (B A) = 39 9 porque si la primera carta es copa, quedan 39 cartas, nueve de ellos siendo copas. Luego P (A y B) = =

24 Ejemplo 62 Una urna contiene tres balas rojas y dos verdes. Se quitan dos balas sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que la primera bala sea verde (A)? P (A) = 2 5. Observamos también que P (Ā) = 3 5. Cuál es la probabilidad de que la segunda bala quitada sea verde (B)? P (B) = P (B y A)+P (B y Ā) = P (B A)P (A)+P(B Ā)P(Ā) = =

25 Independencia Definición 24 Se dicen que dos sucesos A y B son independientes si P (A y B) =P (A)P (B). Igualmente, A y B son independientes si P (A B) = P (A) osip (B A) =P (B). Ejemplo 63 En el Ejemplo 62, A y B no son independientes. P (B) = 2 5 P (B A) =

26 En el Ejemplo 62, hemos aplicado otra regla útil de la probabilidad. Teorema 7 Para dos sucesos A y B, setiene P (A) =P (A B)P (B) +P (A B)P ( B). Demostración Ω A y B A y B A B Mirando el diagrama Venn, vemos que A =(A y B) (A y B) 138

27 Luego: P (A) = P (A y B)+P (A y B) = P (A B)P (B) +P (A B)P ( B) aplicando la ley de multiplación en cada caso. Ejemplo 64 El 42 % de la población activa de cierto pais está formada por mujeres. Se sabe que un 24 % de las mujeres y un 16 % de los hombres están en el paro. Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la poblacción activa en esta pais esté enelparo? Cuál es la probabilidad de que tenga trabajo? 139

28 Sea P el suceso de que la persona esté enel paro. Sea M el suceso de que sea mujer y H el suceso de que sea hombre. Luego sabemos que P (M) = 0,42 P (H) = P ( M) = 1 P (M) =0,58 P (P M) = 0,24 P (P H) = 0,16 Entonces, P (P ) = P (P M)P (M)+P(P H)P (H) = 0,24 0,42 + 0,16 0,58 = 0,1936 Ahora P ( P )=1 P (P )=0,8064 es la probabilidad de que tenga trabajo. 140

29 Ejemplo 65 Un 3 % de la población adulta de un pais africano padecen a beri beri. Existe una prueba diagnóstica para detectar si una persona tiene la enfermedad o no, pero es imperfecta. La prueba tiene un 10 % de falsos positivos (es decir que para gente sana, hay una probabilidad de 10 % de que la prueba diga que es enferma) y 5 % de falsos negativos (hay una probabilidad de 5 % de que identifique un enfermo como sano). Si se elige una persona para la prueba aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que la prueba le dé un resultado positivo? 141

30 Sea B = tiene beri beri y S = la prueba da un resultado positivo. Luego: Queremos hallar P (S). P (B) = 0,03 P (S B) = 0,10 P ( S B) = 0,05 P (S) =P (S B)P (B) +P (S B)P ( B) Tenemos P ( B) =1 P (B) =0,97 y P (S B) = 1 P ( S B) =0,95. Entonces P (S) =0,95 0,03 + 0,10 0,97 = 0,

31 Una descomposición más general Consideramos el siguiente diagrama de Venn. Ω B 1 B 3 B 2 B 4 Los sucesos B 1,...,B 4 dividen el espacio muestral en 4 partes distíntas. Definición 25 Un conjunto de sucesos B 1,...,B k donde B i B j = φ para todo i j y Ω=B 1 B 2...B k se llama una partición del espacio muestral. 143

32 Ahora supongamos que introducimos otro suceso A Ω B 1 B 3 A B 2 B 4 Tenemos A =(A B 1 ) (A B 2 ) (A B 3 ) (A B 4 ) LuegocomolosB i son incompatibles, P (A) =P (A B 1 )+P(A B 2 )+P(A B 3 )+P(A B 4 ) y usando la ley de multiplicación, P (A B i ) = P (A B i )P (B i ) para i =1,...,4 4 P (A) = P (A B i )P (B i ) i=1 144

33 La ley de la probabilidad total Teorema 8 (Ley de la probabilidad total) Para un suceso A y sucesos B 1,...,B k, donde B 1 B 2... B k =Ωy B i B j = φ para todo i j, entonces P (A) = k i=1 P (A B i )P (B i ) Ejemplo 66 En una fábrica se embalan (en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje; A 1, A 2, A 3 y A 4. El 35 % de la producción total se embala en la cadena A 1 yel20%,24%y21% en A 2, A 3 y A 4 respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas; el 1 % de A 1, el 3 % de A 2,el2.5%deA 3 yel2%dea 4. Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total sea defectuosa? 145

34 Sea D = defectuosa. Luego P (D) = 4 i=1 P (D A i )P (A i ) =,01,35 +,03,20 +,025,24 + +,02,21 =,

35 El teorema (o la regla) de Bayes Teorema 9 Para dos sucesos A y B, setiene P (B A)P (A) P (A B) = P (B) Demostración Por la regla de multiplicación, se tiene P (A y B) = P (A B)P (B) y igualmente P (A y B) = P (B A)P (A) y luego P (A B) = P (B A)P (A) P (B) 147

36 Ejemplo 67 Volvemos al Ejemplo 64. Supongamos que se elige un adulto al azar para rellenar un formulario y se observa que no tiene trabajo.?cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea mujer? Necesitamos calcular P (M P ). Mediante el teorema de Bayes, tenemos P (M P ) = = P (P M)P (M) P (P ) 0,24 0,42 0,1936 0,

37 Ejemplo 68 Retomando el Ejemplo 65 supongamos que la prueba le da positivo a la persona. Cuál es la probabilidad de que tenga beri beri? P (B S) = = P (S B)P (B) P (S) 0,95 0,03 0,1255 por el teorema de Bayes 0,2271 Y si la prueba da negativa? P (B S) = P ( S B)P (B) P ( S) 0,05 0,03 = 1 0,1255 0,

38 Ejemplo 69 Volviendo al Ejemplo 66, supongamos que descubrimos que una caja es defectuosa. Calculamos la probabilidad de que la caja provenga de la cadena A 1. P (A 1 D) = P (D A 1)P (A 1 ) P (D),01,35 =,0197,1777 Igualmente P (A 2 D) =,03,20,0197,3046 ytambién, P (A 3 D) =,025,24,0197,3046. Finalmente mediante el teorema de Bayes, P (A 4 D) = omás facilmente,,02,21,0197,2132 P (A 4 D) = 1 P (A 1 D) P (A 2 D) P (A 3 D) = 1,1777,3046,3046,

39 Ejemplo 70 3 prisioneros, Andrés, Bruno y Carlos han solicitado la libertad condicional. Se sabe que el gobernador va a poner en libertad a uno de los tres pero el no va a decir quien hasta finales del mes. El gobernador dice a Andrés que puede informarle del nombre de un solicitante sin exíto dadas las siguientes condiciones. 1. Si se va a liberar a Andrés, el gobernador dirá Bruno o Carlos con la misma probabilidad (1/2). 2. Si se libera a Bruno, dirá el nombre de Carlos. 3. Si Carlos es el que se va a liberar, dirá Bruno. Andrés pide al gobernador que le cuente su rollo y el gobernador creyendo que su información es inútil dice a Andrés que Bruno se va a quedar en la carcel. 151

40 Andrés piensa mi probabilidad de que me pongan en libertad ha cambiado de 1/3 a 1/2. Estoy muy contento. Tiene razón? Sean A, B,C los sucesos de que Andrés, Bruno y Carlos respectivamente estén puestos en libertad. Sea b el suceso de que el gobernador diga el nombre de Bruno. Se tiene: P (A) =P (B) =P (C) =1/3 porque sólo uno de los tres va a salir de la carcel. Además, sabiendo que el gobernador ha dicho el nombre de Bruno, se tiene P (b A) =1/2, P(b B) =0, P(b C) =1. 152

41 Entonces, mediante el teorema de Bayes, P (A b) = P (b A)P (A) P (b) = P (b A)P (A) P (b A)P (A)+P(b B)P(B) +P (b C)P (C) = 1/2 1/3 1/2 1/3+0 1/3+1 1/3 = 1/3 Andrés no tiene razón! 153

42 6. VARIABLES ALEATORIAS Objetivo Introducir la idea de una variable aleatoria y su distribución y características como media, varianza etc. Hasta ahora, hemos tratado de sucesos, por ejemplo A = la suma de dos tiradas de un dado es 7. Ahora queremos generalizar y tratar de variables, por ejemplo la suma de las dos tiradas o el número de llamadas telefónicas en una hora. 154

43 Variables aleatorias Definición 26 Una variable aleatoria es una función que asocia un valor numérica a todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo 71 Consideramos el experimento de lanzar un dado equilibrado dos veces. Sea X = suma de las dos tiradas. El espacio muestral es {(1, 1), (1, 2),...,(6, 6)} y para cada suceso elemental, podemos calcular el valor de X. Por ejemplo si el resultado del experimento es (3, 4) luego X =7. La tabla muestra los sucesos elementales asociados con cada posible valor de X. 155

44 x Sucesos elementales 2 (1, 1) 3 (1, 2) (2, 1) 4 (1, 3) (2, 2) (3, 1) 5 (1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1) 6 (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) 7 (1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) 8 (2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2) 9 (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) 10 (4, 6) (5, 5) (6, 4) 11 (5, 6) (6, 5) 12 (6, 6) Este es un ejemplo de una variable discreta. 156

45 Como en el ejemplo, a menudo, se denotan variables aleatorias por letras mayúsculas, por ejemplo X, y sus posibles valores con letras minúsculas, por ejemplo X = x 1. Observamos que variables pueden ser discretas, como en el ejemplo, o continuas, por ejemplo el tiempo que dure mi siguiente llamada telefónica. El tratamiento de los dos tipos de variable es algo distínto. Para variables discretas, podemos definir directamente la distribución de la variable. 157

46 La distribución de una variable aleatoria Definición 27 Sea X una variable aleatoria discreta con posibles valores x 1,x 2,...Seanp i = P (X = x i ) para i = 1, 2,... las correspondientes probabilidades. Este conjunto de probabilidades se llama la función de probabilidad o la función de masa de la variable. Ejemplo 72 Supongamos que el dado es equilibrado. Entonces la función de probabilidad de la variable X = suma de las dos tiradas es la siguiente. 158

47 La distribución de X La función de probabilidad de X es la siguiente: x P (X = x) Total 1 Para ver la forma de la distribución, es habitual dibujar la función de probabilidad. 159

48 Gráfico de la función de probabilidad de X P (X = x) x Vemos que la distribución es simétrica y unimodal. 160

49 Propiedades de la distribución de una variable discreta X 1. 0 P (X = x i ) 1 para todos los valores x i. 2. i P (X = x i )=1. 3. P (X x) = i, x i x P (X = x i ). 4. P (X >x)=1 P (X x). Ejemplo 73 Volviendo al Ejemplo 71, hallamos las siguientes probabilidades. 1. la suma es menos o igual a la suma es entre 6 y 8 inclusive. 3. la suma es mayor de

50 1. Queremos P (X 4) P (X =4) = P (X =2)+P (X =3)+P (X =4) = P (6 X 8) = P (X =6)+P (X =7)+P (X =8) = P (X >3) = 1 P (X 3) = 1 {P (X =2)+P (X =3)} =

51 Ejemplo 74 En ocasiones, algunas lineas aéreas venden más pasajes que los disponibles en un vuelo. Una compañia ha vendido 205 billetes que corresponden a un avión con 200 plazas. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de viajeros que se presentan en el aeropuerto para viajar en el avión. La distribución de X es x P (X = x),05,09,15,20,23,17,09,02 Hallar la probabilidad de que todos los pasajeros que llegan a tomar el vuelo tengan plaza. Cuál es la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los pasajeros que se presentan en el aeropuerto? Ejemplo tomado de Pe~na y Romo (1997). 163

52 Queremos calcular P (X 200). P (X 200) = P (X = 198) + P (X = 199) +P (X = 200) =,05 +,09 +,15 =,29 La probabilidad de que todos los pasajeros tengan viaje es,29. Igualmente, la probabilidad de que se quede sin viaje algún pasajero es P (X >200) = 1 P (X = 200) =,

53 La función acumulada de distribución Definición 28 La función (acumulada) de distribución de una variable X es la función F (x) =P (X x). Para una variable discreta, la función de distribución es una función escalón, es decir que tiene las siguientes propiedades: 1. F ( ) =0 2. F ( ) =1 3. F (x) F (x + ɛ) para cualquier ɛ>0. 165

54 Ejemplo 75 Volviendo al Ejemplo 71, tabulamos la función acumulada de distribución. x P (X = x) F (x) Total 1 Construimos un gráfico de la función de distribución. 166

55 Gráfico de la función acumulada de distribución de X F (x) x 167

56 Ejemplo 76 En el Ejemplo 74, tenemos x P (X = x),05,09,15,20,23,17,09,02 F (x),05,14,29,49,72,89,98 1 F (x) 1,9,8,7,6,5,4,3,2, x 168

57 Media o esperanza de una variable discreta Supongamos que se repite un experimento (tirar un dado 2 veces) n veces y que se observan los resultados (suma de las dos tiradas) cada vez. Supongamos que se observa n i repeticiones del valor x i. Luego, la media muestral es x = 1 n i x i = f i x i n i i donde f i es la proporción de veces que ha ocurrido x i. Si supongamos un número infinito de repeticiones, tenemos f i P (X = x i )y x E[X] = i P (X = x i ) x i Luego E[X] es una medida de localización de la distribución de X. 169

58 Definición 29 La esperanza o media de una variable aleatoria discreta X es E[X] = i P (X = x i ) x i A menudo, también se utiliza la letra griega µ para representar la media de X. Ejemplo 77 Volvemos al Ejemplo 71. La media de X es E[X] = = 7 170

59 Ejemplo 78 En el Ejemplo sobre los pasajeros, el número medio de pasajeros que llegan al aeropuerto es µ =, , , = 201,44 Observamos que la media no siempre es uno de los valores posibles de X. 171

60 Esperanza de una función de X Definición 30 Sea g(x) una función de X. Luego la esperanza de g(x) es E[g(X)] = i P (X = x i ) g(x i ) Ejemplo 79 En el Ejemplo 74 supongamos que la compañia aréa recibe 250 euros por cada billete que vende pero que tiene que devolver el precio del ticket y además pagar una multa de 1000 euros a cada pasajero que no puede montar en el avión. Calcular la cantidad de dinero que espera cobrar la compañia en este vuelo. 172

61 Sea g(x) las ganancias de la compañia. Las ventas totales de tickets son = euros. Si llegan x 200 personas entonces g(x) = Si llegan x > 200 personas, g(x) = (x 200) (1250). Entonces E[g(X)] = 51250, , ,15 + (51250 ( ) 1250),20 + (51250 ( ) 1250), (51250 ( ) 1250),02 = 49212,5 euros 173

62 En particular tenemos los siguientes resultados Teorema 10 E[c] = c para una constante c E[bX] = be[x] E[g(X)+h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)] E[a + bx] = a + be[x] Demostración E[c] = i P (X = x i ) c = c i P (X = x i ) = c 1=c E[bX] = P (X = x i ) (bx i ) i = b i P (X = x i ) x i = be[x] 174

63 E[g(X)+h(X)] = i P (X = x i ) (g(x i )+h(x i )) = i i P (X = x i ) g(x i )+ P (X = x i ) h(x i ) = E[g(X)] + E[h(X)] El último resultado es consecuencia de los demás. Ejemplo 80 Volvemos al Ejemplo 74. Supongamos que cada pasajero que se presenta al aeropuerto compra una bebida para 2 euros. Calcular las ganancias en promedio recibido por Coca Cola c. Queremos E[2X] = 2 E[X] = 2 201,44 = 402,88 euros. 175

64 Varianza y desviación típica Recordamos que la desviación típica muestral es una medida de la desviación de la muestra en torno de la media. Podemos definir de manera semejante la desviación típica de una variable. Definición 31 La varianza de una variable X que tiene media µ es V [X] =E [ (X µ) 2] = i P (X = x i ) (x i µ) 2. La desviación típica es DT[X] = V [X]. A menudo se escribe σ 2 para representar la varianza y σ para la desviación típica. 176

65 Ejemplo 81 Retomamos el Ejemplo sobre los dados. Tenemos V [X] = 1 36 (2 7) (3 7) (12 7)2 36 = 6,38 8 6,389 La desviación típica es DT[X] = 6,38 8 2,53. Es lioso calcular la varianza así. Existe una manera más fácil 177

66 Teorema 11 La varianza de X es V [X] = E [ X 2] E[X] 2 = i P (X = x i ) x 2 i E[X]2 Demostración V [X] = E [ (X E[X]) 2] = E [ X 2 2XE[X]+E[X] 2] = E [ X 2] 2E[X]E[X]+E[X] 2 = E [ X 2] E[X] 2 178

67 Ejemplo 82 En el Ejemplo 74, E[X 2 ] =, , = 40580,88 σ 2 = E[X 2 ] µ 2 = 40580,88 201,44 2 = 2,8064 Luego la desviación típica es σ 1,675 pasajeros. 179

68 Variables continuas Si tenemos una variable continua X, podemos definir la función acumulada de distribución de la misma manera que para una variable discreta. F (x) =P (X x). Ahora esta función será una función suave y no una función escalón, pero tendrá las mismas propiedades que la función de distribución para una variable discreta. F ( ) =0,F ( ) =1,F (x + ɛ) F (x) para cualquier ɛ>0. 180

69 Ejemplo 83 Cuáles de las siguientes funciones pueden ser funciones de distribución para una variable continua X? 1. F (x) = 0 si x<0 x 2 4 para 0 x 2 1 para x>2 2. F (x) = 0 para x< 1 x 2 para 1 x 2 1 para x>2 3. F (x) = { 0 si x 0 1 e x para 0 <x< Funciones 1 y 3 pueden ser funciones de distribución. La función 2 es negativa en el rango 1 <x<0. Los siguientes dibujos muestran las funciones de distribución en casos 1 y

70 1) F (x) = x2 4. F(x) x 3) F (x) =1 e x. F(x) x 182

71 La función de densidad Para una variable continua, la función de probabilidad ya no tiene sentido. No obstante, se define otra función con propiedades semejantes. Definición 32 Para una variable continua X con función de distribución F (x), la función de densidad de X es f(x) = df (x) Las propiedades de la función de densidad son: dx f(x) 0paratodox. f(x) dx =1. F (x) = x f(u) du. P (a <X<b)= b a f(x) dx = F (b) F (a). 183

72 Ejemplo 84 Volvemos al Ejemplo 83 y calculamos las funciones de densidad en casos 1 y ( ) x 2 f(x) = d dx 4 = 2x 4 = x { 2 x2 para 0 <x<2 f(x) = 0 si no 2. f(x) = d ( 1 e x ) dx = { e x e f(x) = x para 0 <x< 0 si no Los siguientes dibujos muestran las funciones de densidad. 184

73 1) f(x) = x 2. f(x) x 3) f(x) =e x. f(x) x 185

74 Interpretación de la función de densidad Pensamos en tomar una muestra muy grande y hacer un histograma de los datos (con bastantes barras) con la área normalizada a 1. f(x) x Se ve que el histograma es parecido a la función de densidad. 186

75 Ejemplo 85 Una variable aleatoria Y tiene la función de densidad { cy f(y) = 2 (1 y) si 0 <y<1 0 si no Cuál es el valor de c? 1 = 1 f(y) dy = 0 cy2 (1 y) dy 1 ( = c y 2 y 3) dy = c 0 [ y 3 ( 1 3 y4 4 = c = c 12 c = 12 ) ]

76 Se ve un diagrama de la función de densidad f(y) y La densidad es asimétrica a la izquierda. Hallamos la función de distribución. 188

77 Sea 0 <y<1. Luego F (y) = P (Y y) = = = F (y) = y y [ f(y) dy 0 12u2 (1 u) du 12 = 12 ( u 3 3 u4 4 3 y4 4 ( y 3 12 ) )] y 0 0 si y 0 ( y 3 3 y4 4 ) si 0 <y<1 1 si y 1 189

78 F(y) y Cuál es P (Y 0,5)? P (Y 0,5) = F (0,5) = 12 ( 0, ,54 4 ) =,

79 Media, varianza y desviación típica de una variable continua Recordamos las fórmulas para la media y varianza de una variable discreta: µ = i σ 2 = i P (X = x i ) x i P (X = x i ) (x i µ) 2 En el caso de una variable continua, la función de densidad juega el papel de la función de probabilidad y integramos en lugar de sumar. Definición 33 Si X es una variable continua con función de densidad f(x) entonces, la media de X es E[X] = ylavarianzadex es V [X] = f(x) xdx f(x) (x E[X]) 2 dx 191

80 La desviación típica es DT[X] = V [X]. Igual que con variables discretas, se usan los símbolos µ y σ para representar la media y desviación típica respectivamente. Además, existe una forma más sencilla de expresar la varianza V [X] = E [ X 2] E[X] 2 = f(x) x 2 dx µ 2 Las expresiones derivadas para variables discretas valen también para variables continuas, sustituyendo integración por sumación. 192

81 Ejemplo 86 Volvemos al Ejemplo 83. Calculamos la media y varianza de la variables del apartado f(x) = E[X] = = = = { x2 para 0 <x<2 2 0 si no xf(x) dx 0 2 x 2 0 [ ] x x 2 xdx 2 dx 0 = 23 6 =

82 E [ X 2] = = = x 3 0 [ ] x x 2 x2 dx 2 dx = 24 8 =2 V [X] = E [ X 2] E[X] 2 = 2 0 ( 4 3 ) 2 = 7 9 La desviación típica es DT[X] = 79,

83 Ejemplo 87 Calculamos la media, varianza y desviación típica para la variable del Ejemplo µ = 0 12y2 (1 y) ydy 1 = 0 12y3 (1 y) dy 1 ( = 12 y 3 y 4 ) dy [ = 12 = 12 0 ( y 4 ( 1 4 y ) )] 1 0 =0,6 195

84 1 E [ Y 2] = 0 12y2 (1 y) y 2 dy 1 = 0 12y4 (1 y) dy 1 ( = 12 y 4 y 5) dy [ = 12 0 ( y 5 ( 1 5 y6 6 ) )] 1 = =0,4 6 σ 2 = E [ Y 2] µ 2 = 0,4 0,6 2 =0,04 σ = 0,

85 Otras medidas El coeficiente de variación de una variable con media µ y desviación típica σ es µ σ. El coeficiente de asimetría es E [ (X µ) 3] σ 3 El coeficiente de kurtosis es E [ (X µ) 4] σ 4 197

86 Mediana y Cuartíles Definición 34 Para una variable continua X con función acumulada de distribución F (x), la mediana es el punto M donde F (M) =0,5. Igualmente, si la densidad de X es f(x), se tiene M f(x) dx =0,5. Ejemplo 88 Volvemos al caso 1 del Ejemplo 83. En este caso, la función de distribución es F (x) = x2 4 y la mediana es el punto M para que F (M) = 1 2 M 2 = M = 2 1,

87 (Si X es una variable discreta, entonces, la mediana es el punto mínimo M donde F (M) 0,5.) Se definen los cuartíles de manera semejante. El primer cuartíl es el punto Q 1 donde F (Q 1 )= 1 4 y el tercer cuartíl es el punto Q 3 donde F (Q 3 )= 3 4. Ejemplo 89 En el Ejemplo anterior se tiene Q = 1 4 Q 1 = 1 Q = 3 4 Q 3 = 3 1,73 199

88 Transformaciones de variables Si X es una variable discreta e Y = g(x) es una transformación, se calcula la función de probabilidad de Y mediante P (Y = y) =P (g(x) =y) =P (X = g 1 (y)). No obstante, si X es continua, es más complicada sacar una fórmula general para la densidad de Y. f(y) =f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) Pero hay algunas reglas para la media y varianza de transformaciones lineales. Vimos antes en el Teorema 10 algunos resultados para variables discretas. que también valen para variables continuas. 200

89 Transformación lineal Sea Y = a + bx una transformación lineal. Luego se puede observar que si F Y ( ) es la función de distribución de Y, F Y (y) = P (Y y) = P (a + bx y) ( = P X y a ) si b>0o ( ) b y a = F X b y se a expresado la probabilidad en términos de la función de distribución de X. Además, existen expresiones sencillas para la media y varianza de una transformación lineal. E[Y ] = a + be[x] DT[Y ] = bdt [X] 201

90 La transformación tipificante La transformación lineal más importante consiste en tipificar una variable aleatoria, X, que consiste en restarle la media y dividirla por su desviación típica. En este caso, siendo Y = X µ X σ X se tiene E[Y ]=0yDT[Y ]=1. 202

91 Sumas y diferencias de variables Sean X e Y dos variables con medias µ X y µ Y. Entonces si la suma es Z = X + Y,ela diferencia es S = X Y,setiene µ Z = µ X + µ Y µ S = µ X µ Y Se dice que dos variables X e Y son independientes si P (X = x Y = y) =P (X = x)p (Y = y) para cualquier valor de x e y. En el caso de dos variables independientes, también existe una expresión sencilla para la varianza de la suma. Si X e Y son independientes, se tiene σ 2 Z = σ2 S = σ 2 X + σ2 Y 203

92 7. MODELOS DISCRETAS Objetivo Introducir las distribuciones discretas más importantes: las distribuciones Bernoulli, binomial, geométrica y binomial negativa, la distribución Poisson. Hasta ahora, hemos tratado todos los problemas de probabilidad por separado. No obstante en muchos casos, la fórmula para hallar las probabilidades tiene la misma forma. 204

93 El modelo de Bernoulli Supongamos que hacemos un experimento simple de lanzar una moneda sesgada con p = P (cruz) una vez. Definimos una variable X como { 1 si sale cruz X = 0 si sale cara es decir que X =elnúmero de cruces. En este caso, se dice que X tiene una distribución de Bernoulli con parámetro p. Una variable con sólo dos posibles resultados (cruz / cara, éxito / fracaso,...) donde se da un valor de 1 en caso de cruz (éxito) y 0 en caso de cara (fracaso) tiene una distribución de Bernoulli. El experimento se llama un ensayo de Bernoulli. 205

94 Media y varianza de una variable Bernoulli Sea X una variable Bernoulli con parámetro p. Luego: E[X] = p 1+(1 p) 0 = p E [ X 2] = p 1 2 +(1 p) 0 2 = p V [X] = E [ X 2] E[X] 2 = p p 2 = p(1 p) DT[X] = p(1 p) 206

95 Ejemplo 90 Se sabe que una máquina produce un 3 % de piezas defectuosas. Elegimos una pieza al azar para comprobar si no presenta defectos. C ómo se distribuye la variable X que vale 1 si la pieza no es defectuosa y 0 si es defectuosa? Cuáles son su media y su varianza? X sigue una distribución Bernoulli con parámetro 0,97. La media y varianza son E[X] =,97 V [X] =,97,03 =,0291 Ejemplo tomado de Pe~na y Romo (1997) 207

96 La distribución binomial Supongamos ahora que se repiteun ensayo de Bernoulli n veces de forma independiente, por ejemplo que se tira la moneda con p = P (cruz) n veces, y que se quiere la distribución de X = el número de cruces. Esta distribución se llama la distribución binomial con parámetros n y p. Definición 35 Una variable X tiene una distribución binomial con parámetros n y p si ( ) n P (X = x) = p x (1 p) n x x ( n para x =0, 1,...,n donde = n! x x!(n x)!. En este caso, se escribe X B(n, p). ) Por tanto, la distribución Bernoulli es el caso especial X B(1,p). 208

97 Ejemplo 91 Volviendo al Ejemplo 90, supongamos que se eligen 10 piezas al azar. Si X es el número de piezas defectuosas, cuál es la distribución de X? X B(10, 0,03) Igualmente, si Y es el número de piezas buenas, Y B(10, 0,97) Cuál es la probabilidad de que se encuentre por lo menos una pieza defectuosa? P (X 1) = 1 P (X =0) ( ) 10 = 1,03 0 (1,03) ,

98 La media y desviación típica de una variable binomial Teorema 12 Sea X B(n, p). Luego E[X] = np V [X] = np(1 p) DT[X] = np(1 p) Demostración Escribimos X = X 1 +X X n donde cada X i es un ensayo de Bernoulli. Luego, E[X] = E[X 1 + X X n ] = E[X 1 ]+...+ E[X n ] = p p = np V [X] = V [X 1 + X X n ] = V [X 1 ]+...+ V [X n ] = np(1 p) 210

99 Ejemplo 92 El número medio de piezas defectuosas en una muestra de 10 es La desviación típica es 10 0,03 = 0,3 10 0,03 0,97,54 211

100 La distribución geométrica Hemos visto que si se tira una moneda (con p = P (cruz)) n veces, entonces el número de cruces se distribuye como binomial. Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a sequir tirando la moneda hasta que veamos la primera cruz?cuántas caras observamos antes de que ocurra? Sea X el número de caras. Luego P (X =0) = p P (X =1) = (1 p)p P (X =2) = (1 p) 2 p. =. P (X = x) = (1 p) x p La distribución de X se llama la distribución geométrica con parámtero p. 212

101 Definición 36 Una variable X tiene una distribución geométrica con parámetro p si P (X = x) =(1 p) x p para x =0, 1, 2,... En este caso, se escribe X G(p). Teorema 13 Si X G(p), luego E[X] = 1 p p y V [X] = 1 p p 2. Ejemplo 93 En el Ejemplo 90, supongamos que se va a inspeccionar piezas hasta encontrar la primera pieza defectuosa. Cuál es la probabilidad de que se necesiten inspeccionar 4 o menos piezas para encontrar la primera pieza defectuosa? 213

102 Sea Y el número de inspecciones necesarios. Luego Y +1 G(0,03). P (Y 4) = P (Y 1 3) = 3 y=0 0,115 0,97 y 0,03 El número esperado de inspecciones necesarias sería 1+0,97/0,03 =

103 La distribución binomial negativa En el caso de la distribución geométrica, se mide el número de tiradas antes de ver la primera cruz. Ahora se mide el número de tiradas antes de ver el r ésima cruz. Definición 37 Una variable X tiene una distribución binomial negativa con parámetros r y p si ( ) r + x 1 P (X = x) = (1 p) x p r x para x =0, 1, 2,... En este caso, se escribe X NB(r, p). La media y varianza de esta distribución son E[X] =r 1 p p V [X] =r 1 p p 2 215

104 Muestreo sin reemplazamiento y la distribución hipergeométrica Supongamos que una urna contiene N pelotas, R de ellas rojas y los demás blancas. Se decide quitar n pelotas una por una sin reemplazamiento. Sea X el número de pelotas rojas que se quitan. Entonces X tiene una distribución hipergeométrica. Definición 38 Una variable X tiene una distribución hipergeométrica con parámetros N, R, n si P (X = x) = para x =0, 1,...,n ( R x )( N R n x ( ) N n ) Se tiene E[X] =n R N. 216

105 Sucesos raros y la distribución de Poisson La distribución del número de sucesos raros (llamadas de teléfono, emisiones de partículos radioactivos, accidentes de tráfico, número de erratas) que ocurren en un periodo fijo del tiempo (una hora, un segundo, un año, una página) es la llamada distribución Poisson. Esta distribución tiene un parámetro λ que representa el número medio de accidentes por unidad de tiempo. Definición 39 Una variable X tiene una distribución Poisson con parámetro λ si P (X = x) = λx e λ para x =0, 1, 2,... x! En este caso, se escribe X P (λ). 217

106 Teorema 14 Si X P (λ), luego E[X] =λ, V [X] =λ y DT[X] = λ. Ejemplo 94 El número medio de erratas por transparencia es 1,2. Cuál es la probabilidad de que en una transparencia no haya erratas? Sea X el número de erratas. Luego X P (1,2). P (X =0)= 1,20 e 1,2 0! = e 1,2 0,301 Y la probabilidad de que haya 2 o más erratas? P (X 2) = 1 P (X <2) = 1 P (X =0) P (X =1) { 1,2 0 e 1,2 = 1 + 1,21 e 1,2 0! 1! 0,34 } 218

107 Teorema 15 Si X P (λ) es el número de sucesos raros en una unidad de tiempo e Y representa el número de sucesos raros en un tiempo t, entonces Y P (tλ). Ejemplo 95 En promedio, hay 50 incendios serios cada año en la provincia de Chimbomba.?Cuál es la probabilidad de que no haya ningún incendio mañana? El número medio de incendios por día es ,137. Luego, la probabilidad de cero incendios mñana es 0,137 0 e 0,137 0! 0,

108 Ejemplo 96 Volvemos al Ejemplo 94. Supongamos que escribo 10 transparencias para un curso. Cuál es la probabilidad de que contengan por lo menos una errata? Sea Y el número de erratas. Luego e Y P (12). E[Y ]=10 1,2 =12 P (Y > 0) = 1 P (Y =0) = e 12 0! 0,

109 Aproximación de la distribución binomial con una distribución Poisson Sea X B(n, p) donde p es pequeña y n grande. Luego P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x x (np)x e np x! = P (Y = x) donde Y P (np). El resultado implica que para n grande (n > 50) y p pequeño, (p <0,1) entonces se pueden aproximar probabilidades binomiales a través de la distribución Poisson. 221

110 Ejemplo 97 Sea X B(100, 0,05). Estimar P (X 3). E[X] = 100 0,05 = 5 Luego aproximando usando las tablas de la distribución Poisson, se tiene P (X 3) = 3 x=0 P (X = x) 0, , , ,1404 = 0,265 La solución exacta usando la distribución binomial es 0,

111 8. MODELOS CONTINUOS Objetivo Introducir las distribuciones distribuciones continuas más importantes: las distribuciones uniforme, exponencial y normal. Ilustrar el uso de tablas de probabilidades de la distribución normal. Comentar el teorema central del ĺımite y el uso de la distribución normal como aproximación. 223

112 La distribución uniforme Supongamos que una variable X puede tomar valores al azar en un rango (a, b). En este caso, se dice que X tiene una distribución uniforme entre a y b yseescribe X U(a, b). En este caso, la probabilidad de que X caiga en cualquier zona es la misma, y entonces la función de densidad es constante. f(x) 1 b a 0 a b x 224

113 La función de distribución Si X U(a, b), luego, si a<x b, F (x) = P (X x) x 1 = a b a du [ u = b a = x a b a ] x a F (x) 1 0 a b x 225

114 La media y desviación típica Teorema 16 Sea X U(a, b). Luego, E[X] = a + b 2 (b a)2 V [X] = 12 DT[X] = b a 12 Demostración E[X] = b a [ 1 b a xdx x 2 = 2(b a) = b2 a 2 2(b a) = a + b 2 ] b a 226

115 E [ X 2] = b a [ x 2 b a dx x 3 ] b = 3(b a) a = b3 a 3 3(b a) = b2 + ab + a 2 3 V [X] = E [ X 2] E[X] 2 = b2 + ab + a 2 3 = b2 + ab + a 2 3 = a2 2ab + b 2 12 (b a)2 = 12 ( a + b 2 ) 2 a2 +2ab + b

116 La distribución exponencial Anteriormente estudiamos la distribución Poisson X P (λ) comomodeloparaelnúmero de sucesos raros, X, en una unidad del tiempo. Ahora, supongamos que queremos estudiar la distribución del tiempo Y entre un suceso y el siguiente. En este caso, la distribución de Y es una distribución exponencial con parámetro λ. Definición 40 Y tiene una distribución exponencial con parámetro λ si f(y) =λe λy para 0 <y. En este caso se escribe Y Ex(λ). 228

117 La función de distribución de Y es para 0 <y<. F (y) = P (Y y) = y 0 λe λu du = [ e λu] y 0 = 1 e λy 229

118 La media y varianza Teorema 17 Si Y Ex(λ), entonces E[Y ] = 1 λ V [Y ] = 1 λ 2 DT[Y ] = 1 λ 230

119 Ejemplo 98 Volvemos al Ejemplo 95. Sabemos que el número de fuegos por año tiene una distribución Poisson P (50).?Cuál es el tiempo medio entre fuegos? Hallar la probabilidad de que después del último fuego, tarda más de 2 semanas hasta el siguiente. El tiempo medio entre fuegos es 1/50 de un año, es decir 364/50 = 7,28 días. P (T >14) = e 364 dt = e ,

120 Generalizando la distribución exponencial: la distribución gamma Supongamos que en lugar de medir el tiempo entre dos sucesos en un proceso Poisson, se mide el tiempo hasta que ocurran n sucesos, es decir donde X i Ex(λ). X = X 1 + X X n Entonces, la distribución de X se llama la distribución (o Erlang con parámetros n y λ. La distribución Erlang es un caso especial de la distribución gamma. Definición 41 Una variable X se distribuye como gamma con parámetros α y β si para α, β > 0. f(x) = βα Γ(α) xα 1 e βx La media y varianza de X son E[X] =α/β y V [X] =α/β 2 resprectivamente. 232

121 La distribución normal La distribución normal o gaussiana es la distribución continua más importante. Definición 42 Se dice que una variable X se distribuye como normal con parámetros µ y σ si f(x) = 1 ( σ 2π exp 1 2σ2(x µ)2 En este caso, se escribe X N (µ, σ). ) La media de la distribución normal es µ y la desviación típica es σ. El siguiente gráfico muestra la función de densidad de tres distribuciones normales con distíntas medias y desviaciones típicas. 233

122 La función de densidad normal f(x) x Se ve que la densidad es simétrica en torno de la media. 234

123 Una propiedad de la distribución normal Si X N(µ, σ), entonces P (µ σ<x<µ+ σ) 0,683 P (µ 2σ <X<µ+2σ) 0,955 P (µ 3σ <X<µ+3σ) 0,997 f(x) x La regla de Chebyshev dice que para cualquiera variable X P (µ <kσ<x<µ+ kσ) 1 1 k 2. El resultado para la normal justifica la regla empírica del Tema

124 Transformación de una distribución normal Si X N(µ, σ) ey = a + bx es una transformación lineal, luego Y N(a + bµ, bσ). En particular, definiendo la transformación tipificante Z = X µ σ,setiene Z N(0, 1) que es la distribución normal estandár. Existen tablas de esta distribución que se emplean para hallar probabilidades. 236

125 Ejemplo 99 Es difícil etiquetar la carne empaquetada con su peso correcto debido a los efectos de pérdida de ĺıquido (definido como porcentaje del peso original de la carne). Supongamos que la pérdida de ĺıquido en un paquete de pechuga de pollo se distribuye como normal con media 4% y desviación típica 1% Sea X la pérdida de ĺıquido de un paquete de pechuga de pollo elegido al azar. Cuál es la probabilidad de que 3% < X < 5%? Cuál es el valor de x para que un 90 % de paquetes tienen pérdidas de ĺıquido menores de x? En una muestra de 4 paquetes, hallar la probabilidad de que todos tengan pérdidas de peso de entre 3 y 5%. Sexauer, B. (1980). Journal of Consumer Affairs, 14,

126 P (3 <X<5) = ( 3 4 P < X 4 < 5 4 ) = P ( 1 <Z<1) = P (Z <1) P (Z < 1) = 0,8413 0,1587 = 0,6827 Queremos P (X < x)=0,9. Entonces ( X 4 P < x 4 ) = P (Z <x 4) = 0,9 1 1 Mirando las tablas, tenemos x 4 1,282 que implica que un 90 % de las paquetes tienen pérdidas de menos de x =5,282 %. Para un paquete p = P (3 <X<5) = 0,6827. Sea Y el número de paquetes en la muestra que tienen pérdidas de entre 3% y 5%. Luego Y B(4, 0,6827). ( ) 4 P (Y =4)= 0, (1 0,6827) 4 =0,

127 Sumas y diferencias de dos variables normales Si X N(µ X,σ X )ey N(µ, σ Y ) son independientes, entonces la distribución de la suma o diferencia de ambas variables es también normal con las siguientes medias y desviaciones típicas. X + Y N X Y N ( µ X + µ Y, σx 2 + σ2 Y ( µ X µ Y, σx 2 + σ2 Y ) ) 239

128 Aproximación mediante la distribución normal Hacemos el experimento de tirar una moneda con p =1/3 unnúmero n de veces. Dibujamos la función de probabilidad de X = # cruces en los casos n = 5, 20, 50 y 100. p p x x p p x x 240

129 Se ve que para n grande, la función de probabilidad binomial tiene una forma parecida a la densidad normal. p x 241

130 Aproximación de la distribución binomial Teorema 18 Si X B(n, p), entonces si n (y np y np(1 p)) es grande, X np N(0, 1) np(1 p) Esta aproximación funciona bastante bien si tanto n (n >30) como np y n(1 p) son bastante grandes. Si np o n(1 p) es pequeño, (< 5) la aproximación Poisson funciona mejor. Ejemplo 100 Sea X B(100, 1/3). Estimar P (X <40). Calculamos primero a media y varianza de X. E[X] = =33. 3 V [X] = = DT[X] 4,

131 Ahora usamos la aproximación normal P (X <40) = ( X P 4,714 < ) 3 4,714 P (Z <1,414) donde Z N(0, 1) 0,921 La probabilidad correcta es 39 ( ) (1 ) 100 x ( ) x =0,903 x 3 3 x=0 La aproximación no parece gran cosa pero lo podemos mejorar. 243

132 La corrección de continuidad Si X B(n, p), entonces X es una variable discreta y luego P (X x) =P (X <x+1) y igualmente P (X x) =P (X >x 1). Luego cuando implementamos la aproximación normal, usamos la corrección de continuidad P (X x) = P (X <x+0,5) P (X x) = P (X >x 0,5) P (x 1 X x 2 ) = P (x 1 0,5 <X<x 2 +0,5) Ejemplo 101 Volvemos al Ejemplo 100. Ahora usamos la corrección de continuidad. P (X <40) = P (X 39) = P (X <39,5) ( ) P Z< 39, ,714 = P (Z <1,308) = 0,905 La aproximación es algo mejor usando la corrección de continuidad. 244

133 Ejemplo 102 El 35 % de los habitantes de una ciudad votan a cierto partido poĺıtico. Se encuesta a 200 personas. Llamemos X al número de personas que votan a dicho partido. Cuál es la distribución de X? Calcular la probabilidad de que entre la gente de la encuesta haya entre 70 y 80 votantes de ese partido. La verdadera distribución de X es binomial X B(200, 0,35). La media de la distribución es 70 y la desviación típica es 6,745. Para calcular P (70 X 80) usamos una aproximación normal 245

134 P (70 X 80) = P (69,5 <X<80,5) ( 69,5 70 = P < X 70 6,745 6,745 ) 80,5 70 < 6,745 P ( 0,074 < Z < 1,557) = P (Z <1,557) P (Z < 0,074) = 0,940 0,470 = 0,47 La distribución binomial no es la única distribución que se puede aproximar mediante una distribución normal. Cualquiera distribución la que se puede representar como la distribución de una media (o suma) de variables independientes y identicamente distribuidas X = 1 n (X X n ) puede estar aproximada por una normal. 246

135 El teorema central del ĺımite Teorema 19 Sea X 1,...,X n f( ) con media µ y desviación típica σ. Luego si n es grande, X µ σ/ n N(0, 1) El teorema también implica que si n es grande, la suma n i=1 X i tiene aproximadamente una distribución normal n i=1 X i N ( nµ, nσ 2) 247

136 Aproximación de la distribución Poisson Sea X P (λ) elnúmero de sucesos raros en una unidad de tiempo. Definimos Y como el número de sucesos en n unidades de tiempo. Luego podemos escribir Y = X 1 + X X n donde X i P (λ) es el número de sucesos en la i-ésima unidad de tiempo. Así, podemos aplicar el teorema central del ĺımite a aproximar la distribución Poisson con una distribución normal. Teorema 20 Sea X P (λ). Para λ grande (λ >20), entonces X N(λ, λ) 248

137 El gráfico muestra la función de probabilidad de la distribución Poisson con λ = 20 y la densidad normal con media y varianza λ. P(X=x) x La aproximación se mejora si el valor de λ es más grande. 249

138 Cuando se utiliza la aproximación a la distribución Poisson, es importante aplicar la corrección de continuidad. Ejemplo 103 Sea X P (49). Estimar P (45 X 52). P (45 X 52) = P (44,5 <X<52,5) por ( la corrección de continuidad 44,5 49 = P < X 49 ) 52,5 49 < P ( 0,643 <Z<0,5) donde Z N(0, 1) = P (Z <0,5) P (Z < 0,643) = 0,6915 0,2602 0,431 La solución exacta calculada a través de la distribución Poisson es P (45 X 52) = 52 x=45 = 0, x e 49 x! 250

139 Distribuciones asociadas con la distribución normal: 1) La distribución logarítmico normal Si X N(µ, σ) y se define Y = e X, luego se dice que Y se distribuye como logarítmico normal con parámetros µ, σ. La distribución logarítmico normal es un modelo empleado típicamente para tiempos de funcionamiento de máquinas y para variables asímetricas como ingresos o gastos. f(x) x 251

140 2) La distribución ji-cuadrado Definición 43 Sean X 1,...,X n variables normales estandares. Luego si X = n i=1 Xi 2 entonces X tiene una distribución ji-cuadrado con n grados de libertad. Se puede demostrar que esta distribución es un caso especial de la distribución gamma. Teorema 21 ( n X Ga 2, 1 2 Luego E[X] =n y V [X] =2n. ) 252

141 3) La distribución F de Fisher Definición 44 Sean X e Y dos variables jicuadrado con m y n grados de libertad respectivamente. Luego la distribución de la razón F = X/m Y/n es la distribución FdeFishercon m y n grados de libertad. 4) La distribución t de Student Definición 45 Si F es una variable F de Fisher con 1 y n grados de libertad, luego T = F tiene la distribución t de Student con n grados de libertad. 253