Programación por restricciones clase 8

Transcripción

1 Programación por restricciones clase 8 Camilo Rueda Universidad Javeriana-Cali Programación por restriccionesclase 8-- p.1/19

2 Resolvedores completos (cont) Ecuaciones lineales sobre reales Alfabeto Cada real es una constante. Para cada real r, una función unaria r. Símbolo binario de función + Expresiones lineales y ecuaciones Expresiones: un término en este alfabeto Ecuaciones: s = t, para s, t expresiones lineales Programación por restriccionesclase 8-- p.2/19

3 Formas normales Asumir un ordenamiento sobre las variables Expresiones lineales en forma normal: n i=1 a ix i + r, donde n 0 y x 1,..., x n ordenadas c.r.a Ecuaciones lineales en forma pivote x = t, si x V ar(t) y t en forma normal cada ecuación puede reescribirse (normaliza) en una única ecuación lineal en forma normal Ejemplo: 3x 1,2 (2 + 2,5y) 2x + 5 se reescribe en forma normal: x 3y + 2,6 Programación por restriccionesclase 8-- p.3/19

4 Formas normales (2) La ecuación z = 2x + 3y + 4 es su propia forma pivote La ecuación 4x + 3,5y = 3x 1,2 (2 + 2,5y) 2x + 5 normaliza en: 3x + 6,5y = 2,6 y tiene dos formas pivote: x = 6,5 3 y + 2,6 3, y = 3 6,5 x + 2,6 3 La ecuación x y = x + y + 1 normaliza en 0 = 0, luego no tiene forma pivote Programación por restriccionesclase 8-- p.4/19

5 Sustituciones Sustituciones: proyecciones finitas de variables en expresiones lineales en forma normal. Se asigna a cada variable x una expresión lineal en su dominio, diferente de x. Aplicación de una sustitución a una expresión lineal: Como en unificación Dadas: sustituciones θ, η, θη es su composición: η(x) = norm((xθ)η) θ es unificador de s = t si sθ = tθ normaliza a 0 = 0 UMA: Definido como antes Programación por restriccionesclase 8-- p.5/19

6 Formas pivote Tres tripos de formas pivote: 1. 0 = = r, con r un real distinto de 0 3. n i=1 a ix i = r, donde n > 0 Formas pivote de ecuaciones lineales cada ecuación e normaliza a su forma normal Si es del tipo 1 o 2, no tiene forma pivote Si es de la forma 3, entonces cada ecuación x j = i [1..j 1] [j+1..n] a i a j x i + r a j es un forma pivote de e Programación por restriccionesclase 8-- p.6/19

7 Sistema de prueba norm(s): Forma normal de s, estand(s = t) norm(s) = norm(t) ELIMINAR : s = v si s=v normaliza en 0 = 0 F ALLA : s = v si s=v normaliza en 0 = r y r 0 Programación por restriccionesclase 8-- p.7/19

8 Sistema de prueba (cont) SUST IT UCION : s = v, E x = t, estand(e{x/t}) donde x = t es forma pivote de s = t Note que no se exige que x E Programación por restriccionesclase 8-- p.8/19

9 Ejemplo {x y = 1, x + y = 1, x = 0} aplicar sustitución: Programación por restriccionesclase 8-- p.9/19

10 Ejemplo {x y = 1, x + y = 1, x = 0} aplicar sustitución: { y = 1, x + y = 1, x = 0} Aplicar sustitución Programación por restriccionesclase 8-- p.9/19

11 Ejemplo {x y = 1, x + y = 1, x = 0} aplicar sustitución: { y = 1, x + y = 1, x = 0} Aplicar sustitución {x = 2, y = x + 1, x = 0} Aplicar sustitución Programación por restriccionesclase 8-- p.9/19

12 Ejemplo {x y = 1, x + y = 1, x = 0} aplicar sustitución: { y = 1, x + y = 1, x = 0} Aplicar sustitución {x = 2, y = x + 1, x = 0} Aplicar sustitución 0 = 2, y = x + 1, x = 0 Aplicar FALLA: Programación por restriccionesclase 8-- p.9/19

13 Ejemplo {x y = 1, x + y = 1, x = 0} aplicar sustitución: { y = 1, x + y = 1, x = 0} Aplicar sustitución {x = 2, y = x + 1, x = 0} Aplicar sustitución 0 = 2, y = x + 1, x = 0 Aplicar FALLA: {, y = x + 1, x = 0} Programación por restriccionesclase 8-- p.9/19

14 Eliminación Gauss-Jordan Reglas de prueba LIN Toda aplicación de SUSTITUCION es global, con la condición x V ar(e) TEOREMA: Gauss-Jordan siempre termina Si E tiene solución, GJ termina con un conjunto de ecuaciones que determina un UMA de E De lo contrario, GJ termina con un conjunto que contiene Programación por restriccionesclase 8-- p.10/19

15 Ejemplo x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 x 5 = 4 x 1 + x 2 x 3 4x 4 + 3x 5 = 0 x 1 x 2 + x 3 3x 5 = 2 Programación por restriccionesclase 8-- p.11/19

16 Ejemplo x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 x 5 = 4 x 1 + x 2 x 3 4x 4 + 3x 5 = 0 x 1 x 2 + x 3 3x 5 = 2 x 1 = x 2 + x 3 + 2x 4 x 5 4 2x 2 2x 4 + 2x 5 = 4 2x 3 + 2x 4 4x 5 = 6 etc. Programación por restriccionesclase 8-- p.11/19

17 Eliminación Gaussiana Fase hacia adelante: Tomar repetidamente la primera ecuación aún no considerada de la izquierda Si ELIMINAR aplicable: elimine la ecuación y considere la siguiente Si FALLA aplicable: termine Si SUSTITUCION aplicable: Aplicarla tomando como E el conjunto de ecuaciones a la derecha de la actual. Fase hacia atrás Tomar la siguiente ecuación aún no considerada, de la derecha Aplicar SUSTITUCION, tomando como E el conjunto de ecuaciones a la izquierda de la actual. Programación por restriccionesclase 8-- p.12/19

18 Consistencia local Nodo consistencia Arco consistencia hiper-arco consistencia arco consistencia direccional Camino consistencia Camino consistencia direccional k-consistencia k-consistencia fuerte consistencia relacional Programación por restriccionesclase 8-- p.13/19

19 Nodo consistencia Un CSP es nodo consistente si para toda variable x, toda restricción unaria sobre x coincide con su dominio Ejemplos: Suponga que C no contiene restricciones unarias: < C, x 1 0,..., x n 0; x 1 N,..., x n N > es nodo consistente < C, x 1 0,..., x n 0; x 1 N,..., x n 1 N, x n Z > NO es nodo consistente NODO_CONS : < C; x D > < C; x C D > Programación por restriccionesclase 8-- p.14/19

20 Arco consistencia Una restricción C sobre x, y, con dominios X, Y (o sea, C X Y ) es arco consistente si a X b Y. (a, b) C b Y a X. (a, b) C un CSP es arco consistente si todas sus restricciones binarias lo son Ejemplos: < x < y; x [2.,6], y [3.,7] > es arco consistente < x < y; x [2.,7], y [3.,7] > no es arco consistente Programación por restriccionesclase 8-- p.15/19

21 Consideraciones Arco consistencia no implica consistencia Ejemplo: x = y, x y; x {a, b}, y {a, b} > Consistencia no implica arco consistencia Ejemplo: < x = y; x {a, b}, y {a} > Para algunos CSP s, arco consistencia SI implica consistencia Programación por restriccionesclase 8-- p.16/19

22 Reglas de prueba de AC AC1 : < C; x D x, y D y > < C; x D x, y D y > donde D x = {a D x b D y. (a, b) C} AC2 : < C; x D x, y D y > < C; x D x, y D y > donde D y = {b D y a D x. (a, b) C} NOTA: Un CSP es arco consistente iff es cerrado bajo aplicación de AC1 y AC2 Programación por restriccionesclase 8-- p.17/19

23 Ejemplo: Crucigrama N N N N N 7 8 N N N HOSES, LASER, SAILS,SHEET, STEER, HEEL, HIKE, KEEL, KNOT, LINE, AFT, ALE, EEL, LEE, TIE Programación por restriccionesclase 8-- p.18/19

24 Ejemplo 8 HOSES LASER SAILS SHEET STEER HOSES LASER SAILS SHEET STEER HEEL HIKE KEEL KNOT LINE HOSES LASER SAILS SHEET STEER AFT ALE EEL LEE TIE HEEL HIKE KEEL KNOT LINE HOSES LASER SAILS SHEET STEER AFT ALE EEL LEE TIE Programación por restriccionesclase 8-- p.19/19

25 Hiper-arco consistencia Una restricción C sobre x 1,..., x n, con dominios D 1,..., D n es hiper-arco consistente si i [1..n] a D i d C. a = d[x i ] b Y a X. (a, b) C un CSP es hiper-arco consistente si todas sus restricciones lo son Ejemplos: < x y = z; x = 1], y {0, 1}, z {0, 1} > es hiper-arco consistente < x y = z; x {0, 1}, y {0, 1}, z = 1 > no es hiper-arco consistente Programación por restriccionesclase 8-- p.20/19

26 Reglas de prueba de HAC HAC : < C; x 1 D 1,..., x n D n > < C;..., x i D i,... > donde C es restricción sobre x 1,..., x n y, para i [1..n], D i = {a D i d C. a = d[x i ]} NOTA: Un CSP es hiper-arco consistente iff es cerrado bajo aplicación de HAC Programación por restriccionesclase 8-- p.21/19