Programación por restricciones clase 7

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Héctor Cortés Iglesias
hace 8 años
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1 Programación por restricciones clase 7 Camilo Rueda Universidad Javeriana-Cali Programación por restriccionesclase 7-- p.1/20

2 Resolvedores completos Son reglas que transforman CSP s < C; D > < C ; D > La regla ψ φ preserva equivalencia si ψ, φ equivalentes Programación por restriccionesclase 7-- p.2/20

3 Tipos de reglas De reducción de dominio D = x 1 D 1,..., x n D n D = x 1 D 1,..., x n D n para i [1..n], D i D i C : Restricción de C a los dominios D i Reglas de transformación: No son reducciones de dominio. Condiciones: C, D extiende a D Programación por restriccionesclase 7-- p.3/20

4 Ej: Reducción de dominios Desigualdades lineales < x < y; x [l x..h x, y [l y..h y ] > < x < y; x [l x..h x], y [l y..h y ] > donde h x = min(h x, h y 1), l y = max(l y, l x + 1) Igualdades : < x = y; x D x, y D y > < x = y; x D x D y, y D x D y > Desigualdad : < x y; x D, y = a > <; x D {a}, y = a > Programación por restriccionesclase 7-- p.4/20

5 Ej: Reglas de transformación Desigualdades : < s t; D > < x t, x = s; D, x Z > donde s no es variable, D incluye toda variable en s y t, x no está en D Eliminacion : < C; D, x = a > < C{x/a}; D, x = a > donde x ocurre en C. Una instancia: < 3xy 2 + 5xy 5yz 6; x [0.,100], y = 2, z [0.,100] > < 22x 10z 6; x [0.,100], y = 2, z [0.,100] > Programación por restriccionesclase 7-- p.5/20

C{x/a}; D, x = a > donde x ocurre en C. Una instancia: < 3xy 2 + 5xy 5yz 6; x [0.

6 Aplicación de reglas En el CSP, reemplazar la parte que ajuste con la premisa por la conclusión Aplicación relevante de una regla: El resultado difiere del CSP original. Un CSP P es cerrado bajo aplicación de R si R no puede aplicarse a P Su aplicación a P no es relevante Programación por restriccionesclase 7-- p.6/20

7 Derivaciones Dado: Un conjunto de reglas de prueba: Derivación: Secuencia de CSP s. Cada uno obtenido del anterior por aplicación de una regla Una derivación es: Exitosa: El último elemento es CSP resuelto Fallida: El último elemento es CSP fallido Estabilizante: El último elemento es CSP cerrado bajo las reglas Programación por restriccionesclase 7-- p.7/20

último elemento es CSP resuelto Fallida: El último elemento es CSP fallido Estabilizante:

8 Derivaciones: Ejemplo IGUALDAD: < x = y; x D x, y D y > < x = y; x D x D y, y D x D y > DISECUACION: < x y; x D, y = a > <; x D {a}, y = a > Programación por restriccionesclase 7-- p.8/20

9 Derivaciones: Ejemplo(2) < x = y, y z, z u; x {a, b, c}, y {a, b, d}, z {a, b}, u = b > IGUALDAD: x = y, y z, z u; x {a, b}, y {a, b}, z {a, b}, u = b DESIGUALDAD z u x = y, y z, z u; x {a, b}, y {a, b}, z = a, u = b DESIGUALDAD y z x = y, y z, z u; x {a, b}, y = b, z = a, u = b IGUALDAD x = y, y z, z u; x = b, y = b, z = a, u = b CSP resuelto. La derivación es exitosa. Programación por restriccionesclase 7-- p.9/20

a, u = b DESIGUALDAD y z x = y, y z, z u; x {a, b}, y = b, z = a, u = b IGUALDAD x = y, y z, z u; x = b,

10 Ecuaciones sobre términos Alfabeto Variables Símbolos de función, con aridad fija Paréntesis y coma Términos: Una variable es un término Si f es una fución y t 1,..., t n términos, f(t 1,..., t n ) es un término Nota: Toda constante es un término Programación por restriccionesclase 7-- p.10/20

es una fución y t 1,..., t n términos, f(t 1,.

11 Sustituciones Funciones de variables a términos Escrito {x 1 /t 1,..., x n /t n }, donde: x 1,..., x n son variables t 1,..., t n son términos (con t i x i ) sθ Resultado de aplicar sustitución θ a s Ejemplo: s = +(.(x, t),.(4, y)), θ = {x/0, y/ + (z, 2)}, entonces: sθ = +(.(0, 7),.(4, +(z, 2))) Programación por restriccionesclase 7-- p.11/20

.., t n son términos (con t i x i ) sθ Resultado de aplicar sustitución θ a s

12 Componer Sustituciones Dadas sustituciones θ y η (θη)(x) = (xθ)η. θη es una sustitución Ejemplo: Sea, θ = {u/z, x/3, y/f(x, 1)}, η = {x/4, z/u} Entonces: θη = {x/3, y/f(4, 1), z/u} θ es más general que τ si para alguna sustitución η: τ = θη Ejemplo: Sea, θ = {y/g(x, a), z/b}, τ = {x/c, y/g(c, a), z/b}. θ es más general que τ, porque {x/c, y/g(c, a), z/b} = {y/g(x, a), z/b}{x/c} Programación por restriccionesclase 7-- p.12/20

1), z/u} θ es más general que τ si para alguna sustitución η: τ = θη Ejemplo: Sea, θ = {y/g(x, a), z/b}, τ

13 Unificación θ es unificador de s, t si sθ = tθ θ es unificador más general (uma) de s, t si θ es unificador de s, t θ es más general que todo unificador de s, t Ejemplo: Sean, s f(g(x, a), z) y t f(y, b). Entonces, {x/c, y/g(c, a), z/b} es uno de los unificadores de s, t {y/g(x, a), z/b} es un uma de s, t Programación por restriccionesclase 7-- p.13/20

14 Ecuaciones de términos θ es unificador de un conjunto de términos {s 1 = t 1,..., s n = t n } si θ es unificador de s i y t i, para i [1..n] θ es unificador más general de E si θ es unificador de E θ es más general que todo unificador de E Dos conjuntos de ecuaciones son equivalentes si tiene el mismo conjunto de unificadores Programación por restriccionesclase 7-- p.14/20

.n] θ es unificador más general de E si θ es unificador de E θ es más general que todo

15 Conección con CSP s Dominio de variables: Γ, el conjunto de todos los términos sobre el alfabeto s = t con variables x 1,..., x n representa la restricción {(x 1 η,..., x n η) η unificador de s, t} {s 1 = t 1,..., s n = t n } con variables x 1,..., x n representa < s 1 = t 1,..., s k = t k ; x 1 Γ,..., x n Γ NOTA: E: Conjunto finito de ecuaciones de términos con variables x 1,..., x n. Entonces SOL(< E; x 1 Γ,..., x n Γ >) = {x 1 η,..., x n η} η unificador de E} Programación por restriccionesclase 7-- p.15/20

.., x n representa < s 1 = t 1,..., s k = t k ; x 1 Γ,.

16 Sistema de prueba de Unificación DESCOMP OSICION : f(s 1,...s n ) = f(t 1,..., t n ) s 1 = t 1,..., s n = t n F ALLA1 : f(s 1,...s n ) = g(t 1,..., t n ) donde f g ELIMINACION : x = x Programación por restriccionesclase 7-- p.16/20

17 Sistema de prueba de Unificación (2) T RANSP OSICION : t = x x = t t no es una variable SUBST IT UCION : x = t, E x = t, E{x/t} donde x V ar(t) y x V ar(e) F ALLA2 : x = t donde x V ar(t) y x t Programación por restriccionesclase 7-- p.17/20

18 Una derivación Sea E = {k(z, f(x, b, z)) = k(h(x), f(g(a), y, z))}. Aplicando DESCOMPOSICION tenemos, Programación por restriccionesclase 7-- p.18/20

19 Una derivación Sea E = {k(z, f(x, b, z)) = k(h(x), f(g(a), y, z))}. Aplicando DESCOMPOSICION tenemos, {z = h(x), f(x, b, z) = f(g(a), y, z)} Aplicando DESCOMPOSICION otra vez: Programación por restriccionesclase 7-- p.18/20

20 Una derivación Sea E = {k(z, f(x, b, z)) = k(h(x), f(g(a), y, z))}. Aplicando DESCOMPOSICION tenemos, {z = h(x), f(x, b, z) = f(g(a), y, z)} Aplicando DESCOMPOSICION otra vez: {z = h(x), x = g(a), b = y, z = z} Aplicando TRANSPOSICIÓN: Programación por restriccionesclase 7-- p.18/20

21 Una derivación Sea E = {k(z, f(x, b, z)) = k(h(x), f(g(a), y, z))}. Aplicando DESCOMPOSICION tenemos, {z = h(x), f(x, b, z) = f(g(a), y, z)} Aplicando DESCOMPOSICION otra vez: {z = h(x), x = g(a), b = y, z = z} Aplicando TRANSPOSICIÓN: {z = h(x), x = g(a), y = b, z = z}. Usando ELIMINACION, Programación por restriccionesclase 7-- p.18/20

22 Una derivación Sea E = {k(z, f(x, b, z)) = k(h(x), f(g(a), y, z))}. Aplicando DESCOMPOSICION tenemos, {z = h(x), f(x, b, z) = f(g(a), y, z)} Aplicando DESCOMPOSICION otra vez: {z = h(x), x = g(a), b = y, z = z} Aplicando TRANSPOSICIÓN: {z = h(x), x = g(a), y = b, z = z}. Usando ELIMINACION, {z = h(x), x = g(a), y = b}. Usando SUSTITUCION: Programación por restriccionesclase 7-- p.18/20

23 Una derivación Sea E = {k(z, f(x, b, z)) = k(h(x), f(g(a), y, z))}. Aplicando DESCOMPOSICION tenemos, {z = h(x), f(x, b, z) = f(g(a), y, z)} Aplicando DESCOMPOSICION otra vez: {z = h(x), x = g(a), b = y, z = z} Aplicando TRANSPOSICIÓN: {z = h(x), x = g(a), y = b, z = z}. Usando ELIMINACION, {z = h(x), x = g(a), y = b}. Usando SUSTITUCION: {z = h(g(a)), x = g(a), y = b} No hay más reglas aplicables. {z/h(g(a)), x/g(a), y/b} es UMA de E Programación por restriccionesclase 7-- p.18/20

24 Martelli-Montanari Dados P =< C; D > y regla R = < C; D > < C ; D > Esta aplicación de la regla es Global. Algoritmo de Martelli-Montanari: Usar reglas de prueba de UNIF Toda aplicación de SUSTITUCION es global. Programación por restriccionesclase 7-- p.19/20

25 Correctitud TEOREMA: Dado un conjunto finito de ecuaciones de términos E El algoritmo de Martelli-Montanari siempre termina Si E tiene unificador, la ejecución encuentra el uma de E De lo contrario, termina con Programación por restriccionesclase 7-- p.20/20

26 Complejidad Problema: El algoritmo de Martelli-Montanari puede ser exponencial: Sean f(x 1,..., x n ) y f(g(x 0, x 0 ),..., g(x n 1, x n 1 )) (para n > 0) Definir inductivamente los términos: t 1 = g(x 0, x 0 ), t i+1 = g(t i, t i ) Entonces, {x 1 /t 1,..., x n /t n } es un uma de los términos de arriba y cada término t i tiene más de 2 i símbolos! Programación por restriccionesclase 7-- p.21/20

27 Problema: Este algoritmo puede ser exponencial: 21-1

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