Un modelo que se ajustaría a esta situación bien podría ser fácilmente con el programa GeoGebra.

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL Vamos a introducir el concepto de derivada a través de los dos problemas que le dieron origen: el de la velocidad instantánea y el de la recta tangente a una curva en un punto. Una vez definida, calcularemos la derivada de varias funciones y luego aplicaremos este concepto a diferentes situaciones de la vida real. La velocidad instantánea Supongamos que un ciclista se encuentra en una competencia, recorriendo un tramo de ruta recta desde un pueblo hasta un lago que se encuentra a 7km ( esta situación es del todo sencilla: la bicicleta siempre avanza!! ). Transcurridas 3 horas de iniciada la carrera observa un puesto de artesanías y quiere saber a qué velocidad circulaba en ese instante, llamémoslo a partir de los siguientes registros que ha tomado: t(tiempo en horas) s(distancia, en km ) Un modelo que se ajustaría a esta situación bien podría ser fácilmente con el programa GeoGebra., lo que se podría comprobar Ahora, usando la definición elemental de velocidad, distancia recorrida ( o desplazamiento ) sobre tiempo empleado en recorrerla podríamos hacer: desplazamiento tiempo transcurrido 6km 9km 7km/ h. Lo cual nos indica la velocidad que llevaba el ciclista durante una hora desde el kilómetro 9 hasta el kilómetro 6. Pero esta es una velocidad promedio o velocidad media que él tuvo durante esa hora y no la velocidad instantánea en el instante Supongamos que este ciclista ha tomado registros intermedios y cuenta con una tabla como la que sigue: t(tiempo en horas) s(distancia en km) ,5 75,6 84, 9 9,5 95,6 5,6 6 Calculemos otras velocidades promedio, tomando valores de t mayores que 3 y cada vez más cercanos a él: Análisis Matemático I - Página

2 5, ,48 95, ,7 9, , Si bien estas tampoco nos dicen la velocidad del ciclista en el instante que deseamos, es cierto que al tomar intervalos de tiempo cada vez más cortos, es poco probable que el hombre haya podido variar demasiado la velocidad. Intuimos entonces que estas velocidades medias han de ser aproimadas a la velocidad que queremos conocer. Y más aproimadas a la velocidad en ese instante han de ser las velocidades promedio que calculemos si tomamos tiempos más y más cortos. Además vemos que estos promedios se van acercando al valor 6. Qué pasará si tomamos velocidades promedio considerando los registros anteriores a las 3 horas y cada vez más cercanos a este valor?: 6, , ,5 84, 9km También estos resultados nos llevan a suponer que la velocidad a las 3 horas es de 6 km/h. Será realmente ésta la velocidad en el instante 3?. Sabemos que, aunque la intuición nos diga que sí, no basta con los cálculos que hemos hecho y debemos analizar la situación de un modo más general. Si t representa el tiempo y t es el instante en que el ciclista pasó por el puesto de artesanías, sea? t el intervalo de tiempo, entre t y un instante anterior o posterior a él, que tiene que ser más y más pequeño. Como la distancia recorrida depende del tiempo t, entonces es una función s (t). La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t será s( t + ) s( t) y la velocidad promedio es:??t s t +?t) s( t ) (?t donde? t es más y más pequeño y además puede ser positivo o negativo, dependiendo si t + es un instante posterior o anterior a?t t. 45 9,5 9 Por ejemplo, si 3 y?t entonces t + t , y este cociente es 6, Si recordamos el concepto de razón promedio de cambio visto en la Unidad de Funciones, cada uno de los cociente hechos arriba también es una razón promedio de cambio o tasa promedio de cambio, en este caso, de la función s respecto del cambio producido en la variable t. Dejemos por unos momentos el problema de la velocidad y pasemos al problema de la recta tangente. La recta tangente Cómo definimos recta tangente a una curva en un punto P de la misma?. Recordando el caso de la circunferencia, una de las respuestas que se suele dar es la recta tangente a una curva en un punto P de esta ella, es la recta que tiene un solo punto en común con la curva. Si trasladamos esta idea a las curvas siguientes: Análisis Matemático I - Página

3 En el primer gráfico nos encontramos que la recta que podría ser tangente en P, tiene otros dos puntos en común con la curva. En el segundo gráfico, pareciera que la definición es precisa y que ésa es la recta tangente al gráfico en P. Tenemos más ejemplos interesantes: 3 4 En las funciones de las figuras 3 y 4, será el eje, la recta tangente a la gráfica en P?. O lo será otra recta que pase por P?. O ninguna?. Y veamos estos ejemplos: 5 6 En los gráficos de las figuras 5 y 6, cualquier recta que pase por P atraviesa a la curva. Podrá hacer esto la recta tangente?. Digamos que varios de los ejemplos no se concilian con la que parecía ser una definición aceptable de recta tangente. Entonces, cuál es la definición precisa?. Supongamos que la gráfica de cierta función s (t) que mide la distancia recorrida en función del tiempo es la siguiente: Análisis Matemático I - Página 3

4 Donde (a,b) es el intervalo de valores de t que nos interesan y t un punto cualquiera de (a,b). Consideremos un instante posterior o anterior a él, t + que también esté en este intervalo e interpretemos geométricamente la razón promedio de cambio que es el cociente incremental s ( t +?t) s( t ).?t Ya vimos que este es el nombre del cociente entre el incremento?s producido en la variable dependiente s (que aquí es la distancia) y el incremento?t dado a la variable independiente t ( que aquí es el tiempo ):?t Para hacerlo, recordemos que la pendiente de cualquier recta está medida por la tangente trigonométrica del ángulo que forma la misma con el semieje positivo. Se ve en la figura de arriba que el cociente incremental mide la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos s( t +?t) s( t) P ( t, s( t)) y Q( t + t, s( t + t)) pues tg β.?t Si ahora tomamos incrementos de tiempo?t más y más pequeños, las rectas secantes correspondientes se van aproimando a una posición ite. A esta posición ite es a la que definiremos como recta tangente a la gráfica de la función s en el punto P : Análisis Matemático I - Página 4

5 ?t Usando el programa Geogebra podemos ver cómo se mueven las secantes conforme tomamos cada vez más pequeño, es decir conforme Q se aproima a P por la curva. Ref.: Sucesión de secantes.ggb La recta tangente es, entonces, la recta a la cual se van aproimando las rectas secantes cuando se aproima a cero, es decir cuando el punto Q se aproima por la curva al punto P. Diremos que la recta tangente es el ite de las rectas secantes cuando?t tiende a cero:?t Si las rectas secantes se aproiman a la recta tangente, entonces los ángulos β se aproiman al s( t +?t) s( t ) ángulo α y las razones promedio de cambio tg β se aproiman a tg α, que?t tiene que ser la pendiente de la recta tangente!. Y qué descubrimos entonces?. Como habíamos considerado que s(t) es una función que mide la distancia que recorre un móvil en un tiempo t, sabemos que las razones promedio de cambio son a la vez velocidades promedio y si se aproiman a la pendiente de la recta tangente, ésta es la velocidad instantánea del móvil en t!. Entonces los dos problemas del principio están conectados: la pendiente de la recta tangente es la velocidad instantánea. Diremos también que la pendiente de la recta tangente representa la razón instantánea de cambio o el ritmo instantáneo de cambio o la tasa instantánea de cambio de la función s(t) en el instante de tiempo t. Podríamos trazar rectas secantes en los gráficos del principio e intuir si en cada uno hay recta tangente a la curva en P, como se hace aquí con la función : Análisis Matemático I - Página 5

6 Cuando Q se aproima a P por la curva tanto por la izquierda como por la derecha parece que la posición ite de las secantes es la recta t dibujada. Qué pasa en estos casos? : En el gráfico, las rectas secantes tienen como posición ite la recta dibujada; en el gráfico las secantes tomando Q a la izquierda de P se acercan a la recta que contiene a la semirrecta a, pero tomando Q a la derecha de P, las secantes se acercan a la recta que contiene a la semirrecta b. Cuál es la recta tangente para esta función en P?. Eiste? En los gráficos 3, 4, 5 y 6 se vislumbra una posición ite para las secantes. En el gráfico 5 pareciera que la posición ite de las secantes es el eje. Podrá una recta tangente atravesar a la curva?. En los gráficos 3, 4 y 6 parece que la posición limite es el eje y. La recta tangente podrá ser vertical?. Tengamos en cuenta que sólo estamos intuyendo a partir de los gráficos. Cómo nos aseguramos de que nuestras apreciaciones son ciertas?. Tomemos el caso de f ( ) para todo real. Queremos determinar la pendiente de la recta tangente a la curva correspondiente a la gráfica de esta función cuando vale 3: Análisis Matemático I - Página 6

7 ( +?) f ( ) f (3 +?) f (3) (3 + ). La razón promedio de cambio es??? f ( +?) f ( ) ( ) ( ) 6 +??? f 3 En la penúltima epresión hemos simplificado? puesto que es distinto de cero. Ahora bien, es claro que cuando? se hace más y más pequeño, es decir cuando? tiende a cero el valor 6+? se aproima más y más a 6, es decir tiende a 6. Ya sabemos que se puede epresar todo esto en términos de ite: (3 + ) ? Con esta simbología, lo hecho antes se puede escribir así:? f ( +? )? f ( )? ( 3 + )?.3? ( ) 9? 6? + ( )?? (6 +. ) 6 Y este resultado ya no es intuición, puesto que hay definiciones y propiedades que aseguran que este ite es cierto. En particular, por la Unicidad del ite, la pendiente de la recta tangente es 6 y no hay dudas de que en el punto 3 la gráfica de esta función tiene una y sólo una recta tangente cuya pendiente es 6. Paralelamente, 6 es la razón instantánea de cambio de la función en el punto 3. Si quisiéramos hallar la pendiente de la recta tangente para tendríamos que repetir todo el cálculo, y si lo quisiéramos para 5, lo mismo. Nos podremos ahorrar este trabajo?. Más adelante volveremos a este interrogante. Observación: En la Unidad de Límite, ya habíamos calculado el ite de algunas razones promedio de cambio. Volvamos al problema del ciclista en el cual interesaba conocer la velocidad en el instante 3. Ya consideramos que un modelo matemático para la situación descripta ( distancia recorrida en función del tiempo ) estaría dado por la ecuación ( página ). Considerando que recién trabajamos con, ahora sólo basta adecuar la variable, tiempo medido en horas, y a f llamarla s. Así s(t) sería la distancia medida en kilómetros recorrida por el ciclista. Luego tenemos que la pendiente de la recta tangente a la curva dada por en 3 es 6 y, finalmente, la velocidad instantánea del ciclista a las 3 horas de haber iniciado su recorrido es de 6 km/h. Ahora pasemos a definir lo que nos ocupaba: Definición: La recta tangente a la gráfica de una función ƒ() en el punto (, y )(,f( )) es la recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es Análisis Matemático I - Página 7

8 f ( + ) - f( ) f ( ) - f( m? cuando este ite es finito. En este caso, la ecuación de dicha recta es y - y m. ( - ). ) Con esta definición quedan claras dos cosas: si es finito el ite mencionado queda definida una única recta tangente cuya pendiente m es este ite, y como m tg a ( m es la tangente trigonométrica del ángulo a formado por la tangente geométrica a la gráfica de ƒ en, con el semieje p positivo de las ) donde a < p, con a, ( si no, no estaría definida su tangente trigonométrica ) entonces hemos definido recta tangente no vertical. Ejemplo : Para la función, a) Hallar la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos (,) y (,4). b) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfico en el punto de abscisa y también graficarla. c) Con el programa GeoGebra graficar f y ambas rectas. a) La pendiente de la recta secante es m s ƒ( )- ƒ( - f( ) f( ) 4 - (, ƒ( )) (, 4), tenemos m s 3 - ). Llamando (, ƒ( )) (, ) y y la ecuación de la recta secante es y - y m s ( - ) y - 3 ( - ) y 3 - b) Para hallar la pendiente de la recta tangente o pendiente de la curva (como también se suele llamar) en (,) hagamos: f ( +? f ) ( ) ( ) ( )??????? + ( )? ( + )? entonces la ecuación de dicha recta es: y -. ( -) y - Ejemplo : Consideremos la función lineal para la cual ya habíamos hallado que f ( ) f ( ) ( m + b) ( m + b) m + b m b m( ) m. Es decir, la razón promedio de cambio para cualquier función lineal f ( ) m + b vale siempre su pendiente, m. Utilizando este resultado, analicemos el ite del cociente anterior cuando tiende a : Análisis Matemático I - Página 8

9 f ( ) - f( m( ) ) m m ( m + b) ( m + b) m + b m b En el anteúltimo paso hemos simplificado ( ) puesto que y en el último paso, hemos aplicado la propiedad de que el ite de una constante es esa misma constante. Y qué concluimos?. Pues que cualquier función lineal tiene recta tangente en cualquier punto (, y ) y que además todas estas rectas tangentes tienen la misma pendiente: m. Entonces todas la rectas tangentes coinciden con la misma función f ( ) m + b. Por ejemplo para f ( ) + la recta tangente a su gráfica en cualquier punto es y +, para f ( ) + es y +. Y así con todas!. Ahora podemos volver a las funciones donde habíamos usado la intuición y probar si tienen o no recta f ( +?) f ( ) f ( ) - f( ) tangente en el punto P, calculando o.?? Ejemplo 3 : a) Si f() 3 y : f ( ) - f( ) - 3 Como el ite es finito, eiste recta tangente en y ella tiene pendiente m. La ecuación de esta recta es: y - y m ( - ) y - ( - ) y, que es el eje. Por lo tanto la recta tangente puede atravesar a la curva, como sucede con esta función en. b) Consideremos ahora la función f ( ) si - si < en el punto : Como ella está definida por reglas distintas a izquierda y a derecha de, tenemos que calcular los ƒ() - ƒ( ) ites por izquierda y por derecha de : - ƒ ƒ ()- ( ) (en la antepenúltima epresión cancelamos, pues- () - ( ) - - to que es distinta de cero) y (-) ƒ ƒ - Análisis Matemático I - Página 9

10 Como los ites laterales del cociente incremental son distintos, concluimos que no eiste f ( ) - f( ) y entonces no eiste la recta tangente para esta función en. c) Sea ƒ() / 3 y el punto perteneciente a Dom ƒ R : f ( ) f () / 3 / 3 Como este ite no es finito esta función no tiene recta tangente en y queda descartada la posición ite de las secantes que habíamos intuido como recta tangente a esta función en. Recordemos que la definición vista es de recta tangente no vertical. f ( ) f () Observemos además que: + / 3 + f ( ) f () /3 - / 3 + / 3 + y d) Sea ƒ() / 3 : f ( ) f () /3 /3 + Tampoco aquí el ite es finito. Entonces esta función no tiene recta tangente en y queda descartada la posición ite que habíamos intuido como posible recta tangente en. e) Para la curva del gráfico, página 6, cuya ecuación es f() , la recta graficada e intuida como recta tangente, realmente lo es. Esto lo vamos a confirmar más adelante cuando contemos con una herramienta que hará más sencillos los cálculos., si > f) La función del gráfico 6, página 6, está definida por f ( ) sgn, si, si < Análisis Matemático I - Página

11 f ( ) f () y f ( ) f () f ( ) f () +, con lo cual + Como el ite no es finito, descartamos la eistencia de recta tangente no vertical para f en. Ejercicio : La siguiente gráfica representa la distancia recorrida por una ambulancia con relación al tiempo t. Supóngase que la misma se mueve en línea recta, en una misma dirección, en una carretera horizontal y no se consideran otras variables físicas que pudieran incidir en el movimiento. En qué intervalos de tiempo estuvo detenida y en cuáles en movimiento?. En qué intervalo de tiempo la velocidad es mayor?. El concepto de razón instantánea de cambio al que hemos llegado a definir a través de una función particular, la función s(t), es válido para cualquier función. Aplicaremos el mismo no sólo a la física sino a otras ciencias como la biología, la sociología, etc. En cada aplicación solo cambiarán las unidades con que se miden tanto la variable independiente como la dependiente, pero en todas interpretaremos siempre lo mismo: la pendiente de la recta tangente a la curva correspondiente a una función f en un punto es la velocidad instantánea de cambio o ritmo instantáneo de cambio o tasa instantánea de cambio de la función f en el punto. Por ejemplo, si suponemos que la función es el modelo que se ajusta para describir la cantidad producida de cierta mercadería en función del tiempo, entonces en este caso la variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es la cantidad y de unidades producidas en el tiempo. La pendiente de la recta tangente a la curva correspondiente a f en es la velocidad instantánea de cambio o ritmo instantáneo de cambio de las unidades producidas en el instante. En este conteto se habrá de tener cuidado en diferenciar que si bien f es una función real de variable real, al modelar esta situación de la economía, el dominio que se le da a la variable independiente ( el tiempo ) es el conjunto de los números reales positivos y la variable dependiente también es positiva. El ite de una razón promedio de cambio tiene un nombre especial: La derivada Definición: Sea ƒ una función definida en un (a, b) y sea (a, b). Decimos que ƒ es derivable en el punto, si eiste el ite f ( + ) - f( ) f ( ) - f( )? Análisis Matemático I - Página, al que se indica con el símbolo ƒ ( ) y se lo llama derivada de ƒ en. Si éste es el caso, escribimos:

12 ƒ ( ) f ( f + ) - f( )? ( ) - f( ) () La definición dice que la derivada es el ite del cociente incremental, si éste es finito. En este ite, la indeterminación que siempre se presenta es. El hecho de que el ite () sea finito significa, por definición de ite, que los ites? + f ( + ) - f( ) ( ) y? - f ( + ) - f( ) ( ) son finitos e iguales. Si es finito el ite ( ) se lo llama derivada lateral derecha de ƒ en, se lo denota con ƒ ( + ) - ƒ( ) f ( ) - f() ƒ + ( ) y se escribe ƒ + ( ).? + + Análogamente, si es finito el ite ( ), se lo llama derivada lateral izquierda de ƒ en, se lo ) - ) denota con ƒ - ( ) y se escribe f - ( ) ƒ ( + ) - ƒ( ) f ( f(. - Con esta terminología, la derivada de una función ƒ en un punto es la razón instantánea de cambio o velocidad instantánea de cambio o ritmo instantáneo de cambio o tasa instantánea de cambio o variación instantánea de la función ƒ en el punto y, geométricamente, mide la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en. Entonces, cada vez que una función no sea derivable en un punto significará geométricamente que su gráfica no admite recta tangente en ese punto. De aquí en adelante nos referiremos a ƒ ( ) simplemente como razón de cambio o velocidad de cambio o ritmo de cambio de ƒ en, sobreentendiendo que es instantánea. Muchas veces denotaremos a ƒ ( ) con ó con ( notación de Leibniz ). Ejemplo : Recordemos que hemos hallado que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f ( ) en, es. Pues bien, por la definición de derivada, lo que hemos hallado es la derivada de esta función en ese punto. Ejemplo : También hemos hallado que para la función lineal, la pendiente de la recta tangente en cualquier punto (, y ) es m. Entonces la derivada de cualquier función lineal, en cualquier vale ƒ ( ) m. Así, si ( ) + f entonces ƒ ( ) en cualquier y si f ( ) + entonces ƒ ( ) - en cualquier. Ejemplo 3 : Consideremos ahora la función f ( ) y analicemos si ella es derivable en el punto Análisis Matemático I - Página

13 . Ya vimos que no eiste el - + ƒ ƒ f ( ) - f( ) pues son distintos los ites : ()- ( ) que es la derivada lateral derecha de f en : ƒ + () y - ƒ() - ƒ( ) - que es la derivada lateral izquierda de f en : ƒ - () -. - Como ƒ + () ƒ - () entonces no eiste ƒ (). O lo que es lo mismo, ƒ() no es derivable en. Ejemplo 4 : Para la función ƒ() / 3 f ( ) f () y el punto. Ya vimos que. Entonces esta función no es derivable en. Ejemplo 5 : Para la función ƒ() / 3, vimos que es finito, entonces no eiste la derivada de ƒ en. f ( ) f () +. Como este ite no Ejemplo 6 : Para la función, si > f ( ) f () f ( ) sgn, si hallamos que +., si < Entonces esta función no es derivable en. Tendrá que ver la continuidad de una función en un punto con la derivabilidad de ella en ese punto?. Observación: Muchos autores suelen utilizar h para denotar al incremento, de manera que la ƒ ( + h) - ƒ( ) derivada de la función f en queda en la forma : ƒ ( ) si este ite es h h finito. Ejemplo 7 : Retomemos el gráfico de la función Distancia D recorrida por la ambulancia en el tiempo t: Las deducciones de que el auto estuvo en movimiento en los intervalos y que estuvo en reposo en el intervalo y que su velocidad fue mayor en el primero de los tres intervalos pueden ayudar a dar respuestas en términos de la derivada de D(t). Qué signo tiene la derivada de D en cada valor de t?. En qué puntos parece que esta función no es derivable? Análisis Matemático I - Página 3

14 Parte del poder de la matemática descansa en su abstracción. Un solo concepto abstracto, tal es el caso de la derivada, puede tener interpretaciones diferentes según cada ciencia. Cuando desarrollamos las propiedades del concepto matemático, de una vez y por todas, podemos dar la vuelta y aplicar estos resultados a todas las ciencias. Esto es mucho más eficiente que desarrollar propiedades de conceptos especiales en cada una por separado. (James Stewart, Cálculo Conceptos y Contetos, Ed. Thomson, 6 ) Funciones marginales En economía es frecuente utilizar el concepto de marginal, refiriéndose a la variación o cambio que eperimenta una función en el margen, es decir, para cambios muy pequeños de la variable a partir de cierto valor dado. Por ejemplo, el costo marginal mide el cambio que eperimenta la función de costo total cuando a partir de cierto nivel de producción se aumenta o disminuye este nivel en una cantidad muy pequeña. El costo total se define como la suma de los costos fijos más los costos variables. Si suponemos que una empresa fabrica y vende un solo bien, tenemos así una función de una única variable y escribimos C C(q) donde q es la cantidad producida del bien. Ejemplo 8 : Si en la empresa supuesta se fabrica una unidad más del bien, se producirá un cambio en la función costo total, el incremento del costo total es?cc(q+)-c(q) (variación absoluta de la función costo, por producir una unidad más del bien) Si incrementamos la producción del bien en un factor?q entonces?cc(q+?q)-c(q) y la razón promedio del costo es el cociente incremental C C( q + q) C( q ) q q Si además pensamos que el incremento de q,?q, tiende a cero, podemos pasar al ite y obtendremos el Costo Marginal: C dc Cmg( q) C ' ( q) q dq q Como q suele tomar sólo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer que?q tienda a cero, pero siempre podremos reemplazar a C(q) con una función suave de aproimación. Por este motivo se conviene en considerar a las funciones económicas como funciones de variable continua. Para aclarar un poco lo antedicho se razona así: si se toma?q y q grande (de modo que?q sea pequeño en comparación con q), interpretamos el costo marginal como el costo aproimado de una unidad adicional producida y escribimos, Cmg(q) C (q) C (q+) - C(q). Así entonces el costo marginal de producir q unidades es aproimadamente igual al costo de elaborar una unidad más [ la (q+)- ésima unidad ]. Al concepto económico de marginal lo asociaremos con el concepto matemático de derivada en un punto. Más adelante relacionaremos el mismo con las funciones derivadas. Ejemplo 9 : Un fabricante produce rollos de tela con un ancho fijo. El costo de producir metros de esta tela es C f () pesos. a) Cuál es el significado de la derivada f ()? Cuáles son sus unidades? b)en términos prácticos, Qué significa decir que f () 9? c) Cuál piensa que sea mayor f (5) o f (5)? Qué se puede decir de f (5)?. Análisis Matemático I - Página 4

15 m g ( q ) l í m q C q C ' ( q ) d d C q a) Sabemos que la derivada f () es la razón de cambio instantánea de C con respecto a. Aquí f () denota la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de metros producidos. Hemos mencionado que los economistas llaman a esta razón de cambio costo marginal. C Debido a que f (), las unidades para f () son las mismas que las del cociente de dife- C rencias. Puesto que C () son las de pesos por metro. se mide en pesos y en metros, se deduce que las unidades para f b) La proposición f () 9 significa que, después de fabricar metros de tela, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 9 pesos por metro. ( cuando, C se incrementa nueve veces más rápido que ). Como es pequeño en comparación con, podríamos usar la aproimación f () C C C y decir que el costo de fabricar el metro número es de unos 9 pe sos. ( suponemos que la función de costo se comporta bien; en otras palabras, C() no oscila con rapidez cerca de ). c) La razón a la que aumenta el costo de producción ( por metro ) quizás es menor cuando 5 que cuando 5 ( el costo de fabricar el metro número 5 es menor que para el número 5 ) debido a las economías de escala ( el fabricante usa con más eficiencia los costos fijos de producción ). De este modo f (5) > f (5). Pero a medida que se epande la producción, la operación a gran escala resultante podría volverse ineficiente y haber costos por tiempo etra. Por lo tanto, es posible que llegue un momento en que la razón de incremento de los costos empiece a elevarse. De modo que puede suceder que f (5) >f (5). Ejemplo : Sea n f (t) el número de individuos de una población de animales o plantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t t y t t es n f ( t ) f ( t ), de modo que la tasa promedio de crecimiento durante el período t t t es n f ( t ) f ( t ) tasa promedio de crecimiento t t t La tasa instantánea de crecimiento en cualquier instante t se obtiene a partir de esta tasa promedio al hacer que el período t tienda a cero: Tasa de crecimiento n t t dn dt En términos estrictos, esto no es muy eacto porque la gráfica real de una función n f (t) de este tipo sería una función escalonada, que es discontinua siempre que ocurre un nacimiento o una muerte y por tanto, no es derivable. Sin embargo, para una población grande de animales o plantas, podemos reemplazar la gráfica con una curva suave de aproimación como se muestra en la figura: Análisis Matemático I - Página 5

16 Observación: Este último comentario vale en la aplicación del Cálculo a cualquier otra ciencia, en la que una o las dos variables no son continuas. Observación : En términos de derivada, podemos afirmar que la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (, ƒ( ) ) queda definida sólo si ƒ es derivable en. En consecuencia si la misma eiste, es una recta no vertical. Recta Normal Definimos como recta normal a una curva en un punto P(, y ) a aquella recta que es perpendicular a la recta tangente a la curva en dicho punto. Si designamos con N a la recta normal a la curva de ecuación y ƒ() y con m N a su pendiente y recordamos que si N es perpendicular a la recta tangente a la gráfica de ƒ en P, entonces m N -, donde m T designa la pendiente de la recta tangente T. m T Deducimos que la recta normal queda definida si ƒ es derivable en y ƒ ( ). En este caso m N - ƒ '( ) y la ecuación de la recta normal a la curva, que pasa por P(, y ) es y - y m N ( - ) y - y - ƒ '( ) ( - ) Ejemplo : Tomemos la función f ( ) y veamos si admite recta normal en el punto P(,). Ya sabemos que ƒ es derivable en y que ƒ () es la pendiente de la recta tangente a su gráfica en P. Como ƒ (), entonces ƒ admite recta normal en P, cuya pendiente es m N - - y su ecuación es m T 3 y - ( -) y - + Análisis Matemático I - Página 6

17 Ángulo entre dos curvas Definición: Sean ƒ y g dos funciones derivables en. Por ángulo formado por las curvas ƒ() e y g () en su punto común P(, y ) se entiende el ángulo α que forman entre sí las rectas tangentes, t y t, a cada curva en el punto P. y Tenemos entonces un par de curvas ƒ y g que se cortan en un punto P(, y ) como se ve en el gráfico. Por ser ƒ() y g () derivables en es posible determinar las pendientes de las rectas tangentes a dichas curvas, m y m respectivamente. En el gráfico anterior se han señalado los ángulos correspondientes a m tg α y m tg α. Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es π, tenemos que: α + (π - α ) + (π - α) π, luego α - α + π α. Por otra parte: tg [( α - α ) + π ] tg (α - α ) tg α (), pues recuerde que tg θ tg (θ + π) tg α - tg α Si tenemos en cuenta que tg (α - α ) + tg α tg α tg α m g ( ) la epresión () queda: tg a ƒ' + ƒ ( )- g' ( ) ' ( ) g' ( ), que tg α m ƒ ( ) y que si $ ƒ ( ) y $ g ( ) Observación: Dependiendo del orden que se dé en la diferencia del numerador de la epresión anterior, de los cálculos se obtendrá α ó π - α, puesto que tg (π - α) - tg α. Ejemplo : Dadas ƒ() 3 y g (), determinemos el ángulo formado por estas dos curvas en el punto P(, ). Calculemos ƒ () 3 y g (), entonces tg α ƒ () 3 y tg α g () Análisis Matemático I - Página 7

18 Llamemos θ, en principio, al ángulo formado por las rectas tangentes y apliquemos la fórmula dada anteriormente: 3 - tg θ + 3. θ 45º π Nótese que el ángulo θ obtenido es ( π - α ) del gráfico, entonces α π 5 + π 4 4 π. Si en la fórmula se hubiese reemplazado de la siguiente manera: tg θ , entonces es θ 5 4 π, que corresponde a la medida del ángulo α del gráfico. Derivabilidad y continuidad Hemos definido la derivada de una función ƒ en un punto. Por esto diremos que la derivada es un concepto puntual. Sabemos que eiste otro concepto puntual, que es el de continuidad de una función ƒ en, la cual se verifica si f ( ) ƒ( ). Recordemos que en un ejercicio anterior se planteó el interrogante en cuanto a la relación entre estos dos conceptos. Si bien la relación precisa la brinda un teorema, retomemos dos funciones significativas en este sentido. La función ƒ() / 3 es continua en y se ha analizado y concluido que no es derivable en este punto (página 3). Este ejemplo es suficiente para afirmar que la continuidad de una función en un punto no implica la derivabilidad de ella en ese punto. Por otro lado, para la función ƒ() sgn, que no es continua en, se ha concluido que no es derivable en este punto (página 3). Este ejemplo servirá para recordar que si una función no es continua en un punto, entonces no es derivable en ese punto. Las dos aseveraciones han de surgir si se analizan con formalidad, la recíproca y la contrarrecíproca del teorema que sigue: Proposición : Si una función ƒ es derivable en, entonces ƒ es continua en Hipótesis: ƒ es derivable en Tesis: ƒ es continua en Análisis Matemático I - Página 8

19 Demostración: Que ƒ sea derivable en, significa que eiste y es finito: ƒ ƒ () - ( ) - de aquí se deduce que eiste ƒ( ) (). También se deduce que eiste ƒ() en un entorno de puesto que este ite no tendría sentido si no eistieran las imágenes ƒ() para las en cierto entorno de. ƒ() - ƒ( ) Sea y hagamos:. ( - ) - [ ƒ() - ƒ( ) ] [ ƒ() - ƒ( ) ] ƒ ƒ () - ( ) -. ( - ) (A) (B) Esto último es por propiedad de ites finitos ya que (A) es el ite del cociente incremental que por hipótesis sabemos que eiste y es finito y (B) es un ite simple y vale cero. Luego, tenemos: Y esto equivale ( ) a [ ƒ() - ƒ( ) ] ƒ ( ).. O sea [ ƒ() - ƒ( ) ] ƒ() ƒ( ) () Con () y () hemos arribado a las condiciones que debe cumplir ƒ para ser continua en. ( ) Por la propiedad de ites finitos: Conclusiones : ƒ() L [ ƒ() - L ]. I La afirmación si ƒ es derivable en, entonces ƒ es continua en es una implicación de la forma p q. II Como para toda afirmación p q vale la contrarrecíproca que es ~q ~p, de la proposición se desprende que si ƒ no es continua en, entonces ƒ no es derivable en. III En cuanto al recíproco de la proposición, el cual tiene la forma q p, no es cierto. Es decir, la continuidad de la función ƒ en el punto no implica la derivabilidad de ƒ en ese punto. Por esto y por II, se dice que la continuidad de ƒ en es condición necesaria pero no suficiente para la eistencia de la derivada en. Ejemplo : Otro ejemplo de que la continuidad de una función en un punto no implica la derivabilidad de ésta en el punto, es el de la función ƒ(). Sabemos que ella es continua en y anteriormente hemos concluído que no es derivable en él, puesto que ƒ + () ƒ - () -. Análisis Matemático I - Página 9

20 Si observamos el gráfico de ƒ(), se puede apreciar que en, la curva tiene una punta.este comportamiento también se suele describir diciendo que en ese punto, la curva no es suave o que está quebrada. Se conviene en decir, que ƒ tiene un punto anguloso en. Cuando las derivadas laterales en cierto son números reales distintos, se dice que ƒ tiene un punto anguloso en. Y la gráfica de la función en este punto tendrá las características mencionadas arriba. Ejemplo : Sea g () si si > En pareciera que la curva tiene un punto anguloso g será derivable en?. Recordemos que no debemos sacar conclusiones a partir del gráfico, así que estudiemos los ites por izquierda y por derecha del cociente incremental: g() - () ( -)( +) ( -) \ g + () g() - g( ) \ g - () g + () g - () \ g (). O sea, g no es derivable en. Y, como las derivadas laterales son distintas, esta función tiene punto anguloso en. Se deja para el alumno probar que esta función es continua en. Con lo cual tenemos otro ejemplo de que la continuidad en un punto no implica la derivabilidad de la función en él. Ejemplo : Para la función ƒ() / 3, que es continua en perteneciente a Dom ƒ : R Análisis Matemático I - Página

21 ( puesto que lo es en R), y que no es derivable en este punto, recordemos que en particular: + - ƒ() - ƒ( ) - ƒ ƒ /3 + /3 () - ( ) /3 /3 + - Es decir, los ites por derecha y por izquierda del cociente incremental son infinitos de distinto signo. Cuando sucede esto se dice que en, la función tiene un punto cuspidal o de retroceso. y Observación: Aunque las características geométricas de las funciones de los tres ejemplos anteriores, en el punto son similares ( la curva no es suave, está quebrada, etc ), es necesario calcular los ites laterales del cociente incremental para decidir si se trata de un punto anguloso o de un punto cuspidal. Ejemplo 3 : Consideremos la función ƒ() / 3 que es continua en. Los ites por izquierda y por derecha del cociente incremental resultaron ser: + - ƒ() - ƒ( ) - ƒ ƒ + - / / 3 () - ( ) / 3 / y Con lo cual esta función no es derivable en. Ahora bien, como estos dos ites son infinitos de igual signo, no se puede clasificar al punto como punto cuspidal. Nota: Algunos autores consideran que si se tiene una función continua en un punto, para la cual los ites por izquierda y por derecha del cociente incremental para este punto, son infinitos de igual signo, esta función tiene derivada infinita en. Si el alumno desea obtener más información al respecto, le sugerimos consultar en Cálculo Infinitesimal de una Variable de Juan de Burgos, Editorial Mc Graw Hill. Análisis Matemático I - Página

22 ` - si Ejercicio : Estudiar la derivabilidad de ƒ() en perteneciente a Domƒ R. + si < Analicemos la continuidad en ƒ() ƒ() \ ƒ no es continua en Utilizando el contrarrecíproco de la proposición vista, concluimos que ƒ no es derivable en. Es un buen ejercicio comprobar esto, estudiando el ite del cociente incremental. Ejercicio : Dada ƒ () sea derivable en. si a si <, a R. Determinar el valor de a para que ƒ f() - f() - ' Calculemos: F () f() - f() a a a F ' + () a Para que eista ƒ () necesariamente deberá ser f + () f - () debe ser a. Luego la definición de ƒ para que sea derivable en deberá ser : ' ' si ƒ() si < Pueden Uds. construir otras funciones a partir de la función dada, fijando un valor de a R y verán que siempre que a, éstas no son derivables en. Derivabilidad en un intervalo Hemos definido derivada de una función en un punto. Ahora ampliaremos este concepto. Diremos que una función ƒ es derivable en un intervalo (a, b) si es derivable en todos los puntos del intervalo (a, b). O, lo que es lo mismo: Análisis Matemático I - Página

23 ƒ es derivable en (a, b) si y sólo si eiste ƒ ( ), para todo (a, b) La derivabilidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] se define de una manera un tanto diferente : diremos que ƒ es derivable en el intervalo [a, b] si ella es derivable en el intervalo abierto (a, b) y si eisten la derivada lateral derecha en a y la derivada lateral izquierda en b. Obsérvese que no se puede considerar el ite del cociente incremental cuando para el punto a y tampoco cuando + para el punto b, por no estar definida la función a la izquierda de a ni a la derecha de b. La derivada como función Recordemos la definición de derivada de una función ƒ en un punto. Si el ite siguiente eiste, entonces eiste la misma y vale: ƒ ( ) f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) Si hallamos sin reemplazar por algún valor en particular, pero siempre pensando que es un número ( es cualquiera en cierto dominio, pero fijo, pues el que varía es ), qué resultará?. Hagámoslo con la función ƒ: R R/ ƒ() : f ( + ) f ( ) ( + ). ( + ) + + ( ) En el ite pensamos que es lo que tiende a cero y es un número determinado, entonces también es otro número. En consecuencia, cuando? tiende a cero, este número no va cambiando, no varía, sino que es constante en el ite. Lo que importa es que el cociente incremental tiende a un valor determinado ( su ite ) cuando? tiende a cero, independientemente de que lo haga con valores positivos o negativos. Y ese ite es. Lo que hemos obtenido es la derivada de f en el punto que geométricamente, como ya vimos, es la pendiente de la recta tangente a la curva en. Por ejemplo: si 3, tenemos que el resultado del ite planteado es: Este número es la derivada de ƒ() en 3 y también es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (3, 9). Análogamente, ƒ ( ) ƒ (- /) (- /) - Análisis Matemático I - Página 3

24 Podemos decir que cualquiera sea R el resultado del ite es un único número real, que por lo tanto es la derivada de la función en. Es claro que tenemos presente aquí una función que asigna a cada R un único número real ( por la unicidad del ite). Diremos entonces que ƒ es derivable en R (en su dominio) y ƒ () es su función derivada dado que la misma depende del valor de. En general, sea una función ƒ definida en un intervalo (a, b) y derivable en todos los puntos de (a, b). Entonces, para cada (a, b) tenemos un correspondiente ƒ () R, que es único (por la unicidad del ite). De esta manera tenemos definida una función ƒ : ƒ (). Es decir, la función ƒ asigna a cada (a, b) el número real ƒ (). Naturalmente, ésta se llamará función derivada dy de ƒ y la indicaremos con ƒ ó y ó ƒ () ó (si es que hemos denotado d y ƒ() ). Para hallar la función derivada de f, planteamos el ite eista para cada (a, b). f ( + ) f ( ) y esperamos que este Qué significa esto último?. Pues bien, como planteamos el ite del cociente incremental en un punto cualquiera, genérico ( no es un determinado ), obtendremos una epresión en términos de y esperaremos que esta epresión tome un valor real para cada (a, b). Si es así, eistirá la derivada de ƒ en ese punto. Si no, no. A la epresión resultante del ite es a la que llamaremos función derivada de ƒ y la denotaremos con ƒ () ó con los símbolos indicados anteriormente. Porqué se obtiene una epresión en?. Porque en este ite es lo que varía y tiende a cero. Y, aunque genérico, es constante o fijo en el ite. Trabajando de esta manera, hemos obtenido la función derivada de ƒ() que es ƒ () y se obtienen las funciones derivadas de otras funciones, lo cual se conoce como reglas de derivación. Ejemplo : Dada ƒ() 3 -, determinar su función derivada ƒ () y el dominio de la misma. ƒ ( + ) - ( ) ƒ 3 3 ( ) [( + ) - ( + )] - - Análisis Matemático I - Página 4

25 ( ) + ( ) ( ( ) ) , que es finito R. Como la función derivada ƒ () - 3 está definida R, su dominio es R y esto equivale a decir que la función ƒ() 3 - es derivable en R. Observación: En los dos ejemplos, los dominios de ƒ y de ƒ coinciden. Más adelante veremos que hay funciones con dominio D ƒ tales que el dominio de sus derivadas es D ƒ D ƒ. Ahora ya conocemos tres maneras de encontrar ƒ ( ) : A) con B) con ƒ ƒ ( + ) - ( ) si éste es finito. ƒ() - ƒ( ) si éste es finito. - C) con (+ ) - ( ) ƒ ƒ, el cual nos brinda la función derivada ƒ (). Una vez obtenida ésta, se reemplaza a por. Reglas de Derivación de Funciones Ya hemos calculado la función derivada de algunas funciones. Desarrollaremos aquí algunos teoremas acerca de la derivación de funciones que nos permitirán determinar reglas que simplificarán los cálculos.? Teorema : Si ƒ es la función constante ƒ() k, entonces ƒ () R. Análisis Matemático I - Página 5

26 Demostración: ƒ (+ ) - ƒ ( ) k - k Simbólicamente: (k) (la derivada de una constante es cero). Este resultado se interpreta geométricamente de la siguiente manera: la pendiente de la recta tangente a la función en cada R es cero. Entonces todas las rectas tangentes son horizontales y coinciden con ƒ.? Teorema : a) Si ƒ() R, entonces ƒ () R. Demostración : ƒ (+ ) - ƒ ( ) + - Simbólicamente: (), R Dejamos para el alumno la interpretación geométrica de este resultado. b) Si ƒ() R, entonces ƒ(), R. Demostración : la hicimos en el primer ejemplo. Simb.: ( ), R En general: si k N y ƒ() k, entonces ƒ () k k, lo cual demostraremos más adelante. Aceptemos esta regla por el momento y veamos algunos ejemplos : ƒ() 3 ƒ () 3 Análisis Matemático I - Página 6

27 ƒ() 8 ƒ () 8 7 ƒ() ƒ () (como ya hemos demostrado) Simb.: ( k ) k k - si k N? Veamos aquí una sencilla idea que ayuda a entender y recordar la regla que sigue. Imaginemos tener una barra hecha con dos metales diferentes, que se está calentando y que cada parte se está epandiendo. Supongamos que una parte tiene longitud f y la otra longitud g, entonces la longitud de la barra es f + g: Es lógico pensar que si f es la longitud de una parte, entonces la tasa a la que ella está creciendo está dada por f y lo mismo para la parte de longitud g, la tasa a la que ella crece es g. Entonces a qué tasa está creciendo la longitud total f + g?. La respuesta surge naturalmente: la tasa a la que crece f + g es la suma de las dos tasas f y g y esto es lo que enuncia el siguiente teorema. Teorema 3 : Si ƒ() y g() son funciones derivables en un cierto intervalo I, y si h() ƒ() + g(), I, entonces h () ƒ () + g (), I. Demostración : h( +?)- h ( )? ƒ( +?)+ g( +?)- ƒ()- g()? ƒ(+?)- ƒ() g(+?)- g() +?? para todo I, por hipótesis). ƒ( +?)- ƒ() +? g( +?)- g()? (por ser finitos los ites de cada cociente ƒ () + g () I Usando la notación de Leibniz, el resultado anterior se puede escribir de la siguiente manera d d (f df + g) d + d g d ( f ()+ g()) f () + g () El resultado de este teorema se puede etender a la suma de un número finito de funciones, mediante la inducción matemática. Por lo tanto, la derivada de la suma de un número finito de funciones derivables, es la suma de las derivadas de estas funciones.? Teorema 4: Si ƒ() y g() son funciones derivables en un cierto intervalo I, y si h() ƒ(). g(), entonces h () ƒ (). g() + ƒ(). g (), I Demostración : Análisis Matemático I - Página 7

28 ƒ( +?).g( +?)- ƒ().g()? ƒ( +?). g(+?)+ ƒ(). g(+?)- ƒ(). g( +?)- ƒ().? g() ƒ( +?)- ƒ() g( +?)- g() g( +?) + ƒ()?? () () (3) (4) Detengámonos en cada una de las epresiones del ite anterior cuando : () tiende a g(), puesto que si g es derivable, es continua () tiende a ƒ (), pues por hipótesis ƒ es derivable (3) tiende a ƒ(), puesto que ƒ() es constante en el ite (4) tiende a g (), pues por hipótesis g es derivable. Por propiedades de ites finitos: h () g (). ƒ () + ƒ(). g () ƒ (). g () + ƒ(). g () O sea, la derivada de un producto de funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función. Simbólicamente: [ ƒ(). g() ] g (). ƒ () + ƒ(). g () d d ó ( f. g) df. g + f d dg. d ( ƒ(). g() ) g (). ƒ () + ƒ(). g () En general: este teorema puede etenderse a un número finito de funciones aplicando la regla en forma reiterada. Por ejemplo si queremos derivar el producto de tres funciones: u() ƒ(). g(). h() éste se puede escribir como: u() ƒ(). [ g(). h() ] y aplicamos la regla: u () ƒ (). [ g(). h() ] + ƒ(). [ g(). h() ] aplicando nuevamente la regla en la epresión (): () distribuyendo: u () ƒ (). g(). h() + ƒ(). [g (). h() + g(). h () ] u () ƒ (). g(). h() + ƒ(). g (). h() + ƒ(). g(). h () Análisis Matemático I - Página 8

29 Un caso particular de esta regla es cuando una de las dos funciones es una constante. Sean g() derivable en un cierto intervalo y k R - {}, se puede definir una nueva función ƒ() k. g(). Aplicando la regla de derivación del producto de dos funciones: ƒ() k. g() ƒ () k. g () + k. g (). Por el teorema, es k, entonces ƒ () k. g () O sea, la derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. Simbólicamente: [ k. g () ] k. g () Con la aplicación de las reglas que se han demostrado, estamos en condiciones de derivar funciones polinómicas: Ejemplo : ƒ() + Por Teorema 3 ƒ () será la suma de: () por Teorema ( ).. por Teoremas 4 y luego ƒ () + Ejemplo : ƒ() Por Teorema 3 debemos calcular las derivadas de cada uno de los sumandos; es decir: (3 4 ) 3. ( 4 ) 3. (4 3 ) 3 (- 3 ) -. ( 3 ) -. (3 ) -6 (- ) -. ( ) -. - ( 7 ) Podría identificar los teoremas que hemos aplicado para calcular estas derivadas? luego ƒ () Ejemplo 3: ƒ() 3. ( - ) En este caso se puede hallar la función derivada de dos formas distintas. Una de ellas es escribiendo a ƒ() como un polinomio y luego derivando como hemos hecho en los ejemplos anteriores. ƒ() 5-3 ƒ () ( 5 ) + (- 3 ) ƒ () (-) (3 ) Análisis Matemático I - Página 9

30 Otra forma es haciendo uso de la regla de derivación de un producto de funciones. ƒ () ( 3 ). ( - ) + 3. ( -) ƒ () 3. ( - ) + 3. [ ( ) - () ] ƒ () 3. ( - ) + 3. ( - ) ƒ () ƒ () Los resultados de A) y B) son iguales. En cada caso particular podrá optar por la forma de trabajo que resulte más sencilla. Ejemplo 4 : Si ƒ() , R, entonces ƒ () , R. Recordemos que había quedado pendiente justificar ( en página ) que la recta dibujada es la tangente a la gráfica en ese punto. Como ahora sabemos que esta función es derivable en R, entonces admite recta tangente en todo punto R.? Teorema 5 : Si ƒ() y g () son funciones derivables en un cierto intervalo I, si g () ƒ() ƒ '(). g() - ƒ(). g '() I y si h(), entonces h () g() [ ()] Demostración: se puede hacer por definición, pero lo haremos más adelante utilizando derivada logarítmica. Entonces, la derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada de la función del numerador multiplicada por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador y todo esto, dividido por el cuadrado del denominador. ' ƒ() ƒ '(). g() - ƒ(). g '() Simb.: g() [ g()] Ya podemos derivar funciones fraccionarias. g Ejemplo 4: h () se puede tomar como el cociente de dos funciones, ƒ() y g () Análisis Matemático I - Página 3

31 '(). g() - (). g '() Según la regla h () [ g() ] ƒ() ƒ () g () g () ƒ ƒ, entonces:. -. luego h () h () - Ejemplo 5 : h () - + Entonces h () h () ( - )' ( + ) - ( - ) ( + )' ( + ) ( - )( + ) - ( - ) ( + ) ( + ) h () ( + ) - ( - ) ( + ) ( ) ( + ) 4 ( + ) Si bien podrá parecer que el ejercicio está terminado en el momento en que hemos hallado todas las derivadas, es importante llevar la epresión a su forma más simple. Esto será de gran utilidad, cuando la derivada comience a brindar información sobre la función.? Teorema 6 : Si ƒ() - n donde -n Z - y ƒ () - n - n - y podemos deri- n Demostración: si -n Z - n Z + y siendo, entonces ƒ() var a ƒ como un cociente de funciones: n ()' -( )'. -n - n - ƒ () - n n n ( ) es decir ƒ () - - n - n n n + n n - Simb.: ( n ) n. n -, n Z -, Ejemplo 6: Ya hemos probado que si ƒ(), entonces ƒ () -. Si aplicamos el teo- rema 6, a la función ƒ() - ƒ () Ejemplo 7: ƒ()? Teorema 7 : ƒ () 5 ( - 4 ) 5 ( ) Si ƒ() sen ƒ () cos Demostración : Calculemos el ite del cociente incremental: Análisis Matemático I - Página 3

32 ƒ (+ ) - ƒ() sen (+ ) sen ( ) Aquí utilicemos la identidad trigonométrica sen α - sen β. cos α + β. sen α β Entonces: cos. sen cos +. sen ()Notemos que cos + cos cuando por ser cos una función continua en R ; y sen que como:, cuando, por un ite ya demostrado. Entonces podemos escribir () cos +. sen cos. cos por propiedad de ites finitos ( ite del producto ) Como el dominio de cos es R ƒ() sen es derivable en R. Observación: esta demostración se puede hacer utilizando la identidad trigonométrica sen (α + β) sen α. cos β + cos α. sen β Si ƒ() cos ƒ () - sen Demostración: Se realiza en forma análoga a la de la derivada del seno, utilizando la identidad cos α - cos β - sen α + β. sen α β Ejemplo 8: Calcular la derivada de ƒ() sen Por ser ƒ el producto de dos funciones: ƒ () ( ). sen +. (sen ), entonces ƒ (). sen +. cos Análisis Matemático I - Página 3

33 cos Ejemplo 9: Derivar ƒ() - sen por ser ƒ el cociente de dos funciones: ƒ () ƒ () (cos )' ( - sen ) - cos ( - sen )' ( - sen ) - sen ( - sen ) - cos ( - cos ) ( - sen ) - sen + sen + cos ( - sen ) ƒ () - sen + (sen + cos ) ( - sen ) - sen ( - sen ) Importante: A partir de las derivadas de las funciones seno y coseno y con las reglas de derivación hasta aquí probadas, es posible hallar la derivada de todas las funciones trigonométricas, sin recurrir a la definición. Por ejemplo: Si ƒ() tg sen, utilizando la regla de derivación de un cociente: cos ƒ () (sen )'cos - sen (cos )' (cos ) cos. cos - sen. (-sen ) cos + sen ƒ () (cos ) cos cos sec Simb: (sen ) cos, (cos ) - sen y (tg ) sec O, utilizando la notación de Leibniz: d d d ( sen ) cos, ( cos ) - sen y ( tg ) sec d d Ejercicio : Le proponemos que calcule las derivadas de las funciones trigonométricas cot, sec y cosec. d? Teorema 8 : Si ƒ() log a ƒ() Demostración : log (+ ) - log a a log a. log a e (+ ) log a + : log + a. Hagamos el cambio de variable: / [ t ] log a ( + t) / t t a ( + t) t Análisis Matemático I - Página 33 t t, entonces el ite queda log. Como el ite de la epresión entre corchetes es el número e, la epresión afectada por el logaritmo tiene ite finito e /. Finalmente, aplicando la propiedad de ites finitos que dice que el ite del logaritmo es el logaritmo del ite: