Ciclos límites en minirobots neurocontrolados. Jesús Alberto Delgado*,

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1 Cicls límites en minirbts neurcntrlads Cicls límites en minirbts neurcntrlads Jesús Albert Delgad*, REsUMEN Este artícul presenta el análisis de estabilidad de un pequeñ rbt cntrlad cn una red neurnal multicapa; pr simplicidad, el rbt cntiene un sensr de psición y un mtr. La función descriptiva de la red neurnal se utiliza para determinar ls límites para ls pess de la red, cn el ñn de predecir cicls límite y evitar scilacines del minirbt cuand se aprxima a bstáculs. INTRODUCCIÓN Las redes neurnales se han aplicad exitsamente cm cntrladres en varias cnfiguracines [1]; sin embarg, hay pcs estudis de estabilidad cuand estas redes se utilizan cm parte de un laz cerrad [2]. Una herramienta imprtante para estudiar la estabilidad de sistemas n lineales en laz cerrad se cnce cm funci.n descriptiva [4, 5]. La principal aplicación de este métd es la predicción de cicls límite (scilacines autsstenidas), 10 cual n es deseable en sistemas de cntrl. En este trabaj se estudia la estabilidad de un laz cerrad, cn una planta y un neurcntrladr. La función descriptiva permite encntrar ls límites de ls parámetrs de la red neurnal, a fin de lgrar una respuesta estable predecir cicls límite. re 9t: la entrada de referencia. u E 9t: la entrada a la planta. x E 9t n : el vectr de estad de la planta. y E 9t: la salida. <1>(.) : 9t ~ 9t: una función nlineal. En tras palabras, el sistema n lineal (1) tiene ds partes : un sistema dinámic lineal invariante en el tiemp (A, b, e) cn función de transferencia G(s) = e.(s! - A) "». (2) y un element n lineal <1>(.)( véase figura 1). Figural. Sistema n lineal: planta lineal cntrlada cn un element n lineal. Nótese que u = ct>(e). El primer pas para determinar ls cicls límite cnsiste en remplazar el element n lineal pr una función descriptiva. Esta funci6n se encuentra aplicand una señal senidal a.sen rt a la entrada del element n lineal y lueg se calcula la ganancia equivalente D(a) del element lineal cuya respuesta a la entrada a.sen rt es D( a).a.sen rt. 1. FUNCIÓN DESCRIPTIVA y CICLOS LfMITE Cnsidere el sistema n lineal x=a.x+b.u y=e.x U = <l>(r"': y) (1) Después de btener la función descriptiva D( a) del element n lineal, ls cicls límite se btienen [4, 5] slucinand la ecuaci6n G(jr) = 1. D(a) Esta fórmula se resuelve gráficamente al dibujar el diagrama plar de G(jr) para r > O y el lugar -lld(a) para a ~ O. La intersección de ests lugares prduce la sluci6n de (3). *. Ph.D. Prfesr asciad, Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacinal de Clmbia (3)

2 40 Revista Ingenieria e Investigación N. 42 Abril de 1999 Il, EL MINIROBOT y SU MUNOO COMO LAZO CERRADO Cnsidere el minirbt de la figura 2. Este minirbt se mueve en una dimensión cm se ilustra en la figura 3. Si el bjetiv es mver el rbt hasta que la distancia d sea igual a una referencia r, entnces el rbt y su mund se pueden mdelar pr el laz cerrad de la figura Sensr / Figura 2. Minirbt Neural Netwrk Mtr Whee1s cn un sensr y un mtr; hay una rueda frntal n mstrada en el dibuj. El cntrladr es una red neurnal multicapa. J : mment de inercia equivalente del rtr y la carga. B : ceficiente de amrtiguamient equivalente del sistema mecánic. k", : cnstante de fuerza cntraelectrmtriz. R : resistencia de armadura. L : inductancia de armadura. Va : vltaje de armadura. O : salida (psición del eje). Nte que el laz cerrad de la figura 4 es similar al laz cerrad de la figura 1 cnsiderand la ganancia del sensr cm un. Ill. FUNCIÓN DESCRIPTIVA DE UNA RED NEURONAL MULllCAPA Dad el sistema n lineal (1) cn una red neurnal multicapa [3] cm el element n lineal, entnces, N U = LqtJanh(pt.e) t=l (5) Pi Yqi: ls pess de la red neurnal. N: el númer de neurnas cultas( véase figura 5). Figura 3. El minirbt se mueve en lfnea recta hacia la pared; el sensr calcula la distancia d. Neural Figura S. Red neurnal estética usada cm 111(.) en el sistema (1). La estructura de la red es l-n; la red n tiene pess de umbral. Figura 4. El minirbt Y su mund pueden cnsiderarse un laz cerrad. El rbt se mueve hacia la pared hasta que d = r. El sensr calcula la distancia d; este valr se cmpara cn la referencia r para prducir un errr e. Lueg la red neurnal tma el errr para calcular la entrada al mtr Va= Cl>(e),el minirbt se mueve y el cicl se repite. La función de transferencia de un mtr OC cn excitación independiente es un sistema de tercer rden O(s) km Va (s) = s.[(j.s + B).( L.s + R) + k':] (4) Remplazand la función tan h(.) en (5) pr ls ds primers términs de su expansión en serie de Taylr I J~q.{(P.,,)-~(P.,,)'} (6) Esta aprxi ación, tan h(x) == x - r /3, es válida para r < 1t 2 /4. Est es, la expansión es válida para (Pk.e)2 < 1t 2 /4.

3 Cicls límites en minirbts neurcntrlads 41 Para btener la función descriptiva de la red, e se remplaza en (6) pr a.sen rtest prduce, La amplitud a del cicl límite se puede predecir métd, cuand cn este (11) utilizand la identidad sen 2 rt = (1 - cs2rt)/2 y cnsiderand sl el primer armónic, Dnde Pm = max{p;}. N. SIMULACIONES Entnces se cncluye que la red neurnal se puede remplazar pr un sistema lineal cn ganancia equivalente, Cnsidere un mtr DC cn la siguiente representación estad: de (7) Dnde (p.a)2 < 1t 2 /4 es el máxim valr para el argument de cada fun~ión de activación. La función descriptiva es real prque la función de activación tan h es impar. Ls cicls límite del sistema (1), cn una red neurnal cm el element n lineal, sn la slución de (3) cn la función descriptiva (7) G(jm) = {2 2} N p/c.a (8) ttp/c q/c Supnga que, X. =x 2 X 2 =x 3 X 3 =-x 2-2.XJ +u y=~ La función de transferencia es: G(s)= l S3 +2.s 2 +s' El traz plar se muestra en la figura 6. (12) (13) La función descriptiva de la red (7) se encuentra sbre el eje real y el crte cn G(jw) se puede presentar en G(jw) = -0,5; la frecuencia crrespndiente es r = Ir/s, est equivale a una scilación de períd T = 6,3 S. G(jm) = -IG(jm)1 Remplazand y despejand a de (8) se tiene, , -0.6 (9).0.8 Hay un cicl límite si ls parámetrs cndición: N 1 ttp/c q/c > IG(jm)1 de la red satisfacen la.2, ~ Figura 6. Traz plar de la función de transferencia (13); nte que la parte (lo) imaginaria es cer, Sm[G(ic)] = O, cuand la parte real es 9te[G(iCO)] = -0,5.

4 42 Revista Ingeniería e InvestigaciónN. 42 Abril de 1999 Ahra vams a estudiar alguns cass crrespndientes a distints parámetrs de la red. En tds ls cass, N = 3, la referencia r = O Y la cndición inicial y(o) = 0,2. A.CASO 1 Ls parámetrs de la red sn: La red n cumple la cndición (10); pr tant, n hay cicl límite ( véase figura 9). 0.15r ~----, p = 3, p = O, p = O, q = 1, q = O, q = O Remplazand ests parámetrs y IG(jr)1 = 0,5, la red cumple las cndicines (10) y (11); pr tant, hay un cicl límite. Reslviend (9), btenems la amplitud a = 0,47. En la figura 7 se muestra el cicl límite, y la figura 8 presenta la salida y(t). Nte que la amplitud de la scilación cincide cn el resultad prnsticad y el períd es 6,3 s 'O.2~-~-~----~-.._-._~ OS Statex Figura 9. Cas 2 : fc estable. N hay cicl límite, la red n cumple la C.CAS3 Ls parámetrs de la red sn : cndición (10)..." -e.e p =0,8,p =6,p =2,q =O,5,q =-O,I,q = 1,5. I 2 3 I 2 3 -e.ẹ.a -e.e Figura 7. Cas 1 : cicl límite, a = 0, r--~-~-...--r--r--r----. La red cumple la cndición (10) per n cumple la cndición (11). Est significa que hay un cicl límite per el métd prpuest n puede predecir la amplitud a de la scilación. La figura 10 muestra el cicl límite..a ao~~l~o-~20~-30~-40"_-50"_-60" '70 Tune Sec. Figura 8. Cas 1 : salida del sistema )'(1). El perid de la scilación es B. CASO2 Ls parámetrs de la red sn: T= 6,3 s y la amplitud a = 0,47. p = l.p =O,p =O,q = 1,5,q =O,q = I " a Statex Figura 10. Cas 3: cicl límite. La cndición (11) n se cumple; pr tant, el métd prpuest n puede predecir la amplitud de la scilación

5 Cicls límites en minirbts neurcntrlads 43 CONCLUSIONES Se prpus una funci6n descriptiva para una red neurnal multicapa l-n-i cn funci6n de activaci6n tan h Ysin pess de umbral. La funci6n de activaci6n se remplaz6 pr ls ds primers términs de su serie de Taylr; esta aprximaci6n crea la cndici6n (11). La funci6n descriptiva de la red se utiliz6 para predecir cicls límite en sistemas de cntrl tip (1) cn la red cm cntrladr. Hay un cicl límite si la cndici6n (10) se cumple y la amplitud de la scilaci6n se calcula cn (9), si (11) se cumple. Cm cnsecuencia, el minirbt de la figura 3 puede presentar scilacines en su mvimient cuand está cerca de un bstácul pared). (el rbt parece dudar si se acerca n a la Ls cálculs te6rics se ilustrarn cn tres ejempls para distints parámetrs de la red; es clar que las cndicines (10) y (11) determinan la existencia de un cicl límite. AGRADECIMIENTOS El autr agradece al CINDEC de la Universidad Clmbia pr el apy a su investigaci6n. Nacinal de BmuRAFÍA 1.AGARW AL, M. "A systematic classificatin f neural-netwrk-based cntrl". IEEE Cntrl Systems Magazine. 17, 7S DELGADO. A. "lnputlutput linearizatin f cntrl affme systems using neural netwrks". PhD Thesis. Cybemetics Department, Reading University Inteligencia anificial y minirbts. ECOE Edicines. Bgtá KALlL, H.K. Nnlinear Systems. Macmillan Publishing Cmpany. New Yrk, S.SLOTINE J.E. and Ll, W. Applied Nnlinear Cntrl. Prentice-Hall, New Jersey. 1991