LA ESTIMACIÓN DEL MODELO DE FUNCIÓN DISTANCIA : MEDICIÓN DE LA EFICIENCIA Y CÁLCULO DE ELASTICIDADES

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1 LA ESTIACIÓN DEL ODELO DE FUNCIÓN DISTANCIA : EDICIÓN DE LA EFICIENCIA Y CÁLCULO DE ELASTICIDADES oreno Sáez, Alfredo eciop4@sis.uc.es Universidad Coplutense de adrid Trillo del Pozo, David trillo@poseidon.fcjs.urjc.es Universidad Rey Juan Carlos

2 . INTRODUCCIÓN: La noción de distancia de Shepard (97) ha servido de base para el diseño de las diferentes técnicas de frontera construidas a partir de últiples inputs y outputs. El análisis DEA ha sido la técnica ás utilizada, aunque a partir del trabajo de Färe y otros (99) se ha introducido una transforación de los odelos paraétricos destinada a incorporar últiples inputs y outputs en un proceso de producción conjunta. Definiendo una función de producción hoogénea es posible transforar la especificación del odelo y estiar la frontera. Las eficiencias se calculan ediante la esperanza ateática de la producción estiada condicionada al nivel de input de la observación correspondiente, dividido entre la esperanza ateática de la producción estiada o en la frontera condicionada a idéntico nivel de input. Coelli y Perelan (996) adaptan el odelo de la función distancia para las estiaciones de tipo estocástico. En este odelo se divide el térino de error en una parte representativa de las eficiencias, suponiendo una distribución truncada en cero, y otra que recoge el térino de error no explicado al que se le asigna la distribución de probabilidad habitual. Debido a que el error se descopone en dos partes es preciso estiar el térino de ineficiencia condicionado al error total. En este trabajo planteaos la utilidad del cálculo de las derivadas de la función distancia de cara a obtener la interpretación de las productividades arginales a partir de una especificación Cobb-Douglas y Translog. El cociente de las productividades arginales sirve para estudiar la relación arginal de sustitución técnica entre inputs. Coo en la estiación se introducen últiples outputs, es posible calcular la sensibilidad de cualquier producto respecto a otro de los introducidos en la función, anteniendo constante el nivel de inputs, lo que se conoce coo la relación arginal de transforación entre outputs.

3 . ESTIACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTANCIA En el odelo desarrollado por Färe y otros (99) se define una función de outputs en relación con una función de inputs, abas de tipo translogarítico, siendo el térino de error la desviación o distancia ( l n(d )) a la frontera conjunta para todas las variables epleadas (odelos deterinísticos). En los odelos estocásticos se añade la hipótesis de que la desviación a la frontera no es únicaente debida a las ineficiencias. La expresión propuesta de la función translog distancia para el supuesto de output y inputs es: i ln D i = n ln y i n ln y i ln y ni βk β li = n= = k= k= l= k= = χ k ln y i, i =,,, N. (ec. ) Donde Y i es la producción del input y X i la cantidad del recurso k para la unidad productiva i., β, χ son los paráetros a estiar y ln (D i ) es el térino de ineficiencia de la unidad evaluada. Adicionalente se exigen dos restricciones de hoogeneidad: = = = =, =,,...,. y χ k =, = y una restricción de sietría de los paráetros: n = n, n =,,,. y β kl = β lk k, l =,,...,

4 Que es un desarrollo de Taylor para una función hoogénea que cuple que D (x,g.y) = g.d (x, y), para un g >, lo cual refleja la idea de la función distancia o expansión equiproporcional, según g, de los outputs de la unidad evaluada. La igualdad presentada recoge la característica básica de cualquier función hoogénea. El valor de los paráetros desconocidos en la función translog se puede obtener a través de un prograa lineal de axiización, idéntico al propuesto por Aigner y Chu, o bien ediante técnicas de regresión. Jondrow y otros (977) recogen la expresión funcional para proponer un étodo de cálculo de las ineficiencias a través de la propia estiación econoétrica. En concreto, si se cuple que D (x, g.y) = g.d (x, y) para un g >, entonces es posible escoger arbitrariaente uno de los outputs y considerar g = /y. Entonces D (x, y/y ) = D (x, y)/y. En el trabajo haceos una transforación sobre la propuesta de Färe y otros (99) para que la interpretación de los paráetros asociados a los inputs sea directa (positiva). Con este cabio únicaente se altera la restricción de hoogeneidad, puesto que ahora la función será hoogénea de grado. Escogiendo uno de los outputs coo referencia puede transforarse la función distancia. La especificación funcional del odelo quedará coo sigue: N ax ln s.a. ln, i =,,..., N. i= D i D i Junto con las restricciones de hoogeneidad y sietría anteriorente descritas. Tal coo se plantea el prograa, el áxio valor del logarito es cero, que será el exponente al que elevada la variable original dará de resultado igual a uno, es decir el % de eficiencia. Se cuplen por tanto los supuestos descritos en el prier capítulo para las funciones distancia, donde <D ó - <ln(d ). En el prograa de Aigner y Chu la variable objeto de optiización era U i = ln(d i ). Sin ebargo, El prograa era de iniización porque el térino era - U i. En prograación se coprueba que ax U i = in - U i. 4

5 y y y ln(d / y ) = ln ln ln β i i i i i n n k = yi n= = yi yi k= k= l= β li k= = χ k y ln y i i i =,,, N. Dado que para =, se cuple: y ln y i i la expresión. = ln() =, teneos que todos los térinos en que = desaparecen de Puede deostrarse que la estiación de este odelo sin considerar ninguna restricción sobre los paráetros es equivalente a la estiación del odelo, incluyendo las restricciones sobre los paráetros. De esta fora, y aplicando las propiedad de los logaritos, tendreos que: ln(d ) ln(y ) = ln y ln(y ) ln y ln(y ) ( ) ( ) i i n i i n i i = n= = k= β k β li χk [ ln( y i ) ln(y i ) k= l= k= = ] i =,,, N. Desarrollando los cuadrados de la expresión, y operando, teniendo en cuenta que del valor ln( y i ) no variará con el subíndice que representa el resto de variables del odelo, tendreos: ( ) Ln(D ) = ln(y ) ln y ln(y ) i i i i = = 5

6 [ = = = = n= [ ln(y i) ] [ ln(y i )] ln(y i ) ln ( yi ) ln ( yi ) ln ( yni ) β β n ln ( yi ) ln ( yi ) ln ( yni ) ln ( yi ) k li = n= k= k= l= ] ( ) χ ln y ln(y ) χ i =,,, N. k i i k k= = k= = Donde, teniendo en cuenta que se cuple que: = n= ( ) ( ) ( ) ( ) ln y ln y ln y ln y n i i ni i = ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) n i i i i n i ni n = n= = n= n= = ( ) ln yi n= = n Este odelo podrá expresarse de la siguiente fora: Ln(D ) = ln(y ) ln y [ ( ) i i i = = [ ln(y )] ln ( y ) ln(y ) ln ( y ) i n i i i n n= = n= = = n= 6

7 β β n ln ( yi ) ln ( yni ) k kl li = n= k= k= l= ] ( ) χ ln y ln(y ) χ i =,,, N. k i i k k= = k= = Por consiguiente, teneos la isa expresión del odelo, donde los paráetros son los siguientes: = =,,,..., -. = = β =β k =,,..., k k = =,,..., -. = n = = n= n n= = =,,..., n. n n = n =,,..., - n =,,..., - n Con lo que: = = =,,..., n. n n= n n = n = =,,..., - n =,,..., - n. β =β k =,,..., l =,,..., kl kl χ =χ k =,,..., =,,..., -. k k 7

8 χ = χ k k, k =,,...,. = Por consiguiente, se cuplirá que: = = = = = = = Respecto al valor que toarán n= n, existen dos posibilidades: a) Caso en que : = = = n n n n n n n = = = n= n n =,,..., b) Caso en que = : n = n = n n n= n= n= = = = n= = = = n n n= n= = = = n= Por últio, tendreos que: χ = χ χ = χ χ = k k k k k = = = = k =,,...,. 8

9 . ELASTICIDADES EN LOS ODELOS ESTOCÁSTICOS El odelo de la función distancia tiene su base en la propuesta de estiación de Battese y Coelli (99), en donde se explica una variable de producción a través de una relación funcional de tipo translog cuya especificación es: ln(y ) = β β β Ln(D ) i k li li k= k= l= k= l= En el caso de la función Cobb-Douglas se indicó que el valor de los paráetros puede interpretarse coo elasticidades (la derivada de la variable a dependiente respecto a cualquier input) y éstas son fijas para todas las observaciones uestrales. Pueden interpretarse coo el proedio de la sensibilidad que uestra la producción a esas variables. En el caso de la especificación translogarítica las derivadas son variables (una por observación), lo que obliga a su cálculo. Diferenciando respecto a la variable de output e input x p respectivaente, obteneos que la elasticidad de la priera respecto a la segunda será: dy y dx x p pk k p k= p =β β ln(x ) p =,,..., En particular para tres inputs, tendreos la siguiente expresión: dy y dx x p p =β β ln(x ) β ln(x ) β ln(x ) p =,, p p p p 9

10 El odelo que aplica la teoría de la función distancia (Coelli y Perelan (996)), explicado anteriorente, incorpora varios outputs dentro de la estiación. Una vez estiado el odelo, resulta de gran interés deterinar el grado de influencia de cada una de las variables de input sobre las de output, y entre las de input entre sí. Diferenciando en el odelo respecto a la variable de Output y de Input correspondiente se obtiene que la elasticidad de la variable x n : y s respecto a la variable dy y dx x s β p β pk k χp s k= = p s s χks k p = k= ln(x ) ln(y ) = =,,..., k =,,..., ln(y ) ln(x ) ientras que, para deterinar el grado de influencia de una variable de Output cualquiera ( y ) sobre la variable de Output de referencia ( y ), diferenciareos el s odelo respecto a las dos variables de encionadas, obteniendo que la elasticidad de la variable y respecto a la variable y es igual a: s dy y dy y s sln(y ) χksln(x k) = k= s χk k s = k= = =,,..., ln(y ) ln(x )

11 4. FUNCIÓN DISTANCIA, ELASTICIDADES Y TRANSFORACIÓN DE LOS PARÁETROS ESTIADOS PARA OUTPUTS Y INPUTS 4.. Función translog: Coo caso particular del odelo de la función distancia de carácter estocástico describios el caso de una estiación con tres outputs y dos inputs, de odo que se considera el priero de aquellos ( ln(y ) ) coo variable de referencia. El odelo obtenido a partir de la estiación por áxia verosiilitud sin restricciones que se propone en el presente epígrafe, es el siguiente: [ = ln(y ) ln(y ) ln(y ) [ ln(y )] [ ln(y )] [ ln(y )] [ ] [ ] [ ( ) ln(y ) ln(y ) ( ) ln(y )ln(y ) ( ) ln(y ) ln(y ) ] [ [ ] [ ] [ ] ] β ln(x ) β ln(x ) β ln(x ) β ln(x ) β ln(x )ln(x ) χ ln(x )ln(y ) ] χ ln(x ) ln(y ) χ ln(x )ln(y ) χ ln(x )ln(y ) χ ln(x ) ln(y ) χ ln(x ) ln(y ) ln(d ) Donde para estiar el odelo con las restricciones, se estiará sin restricciones el siguiente odelo: y y y y y y ln(y ) = ln ln ln ln ln ln y y y y y y y y ln ln β ln ( x) β ln ( x ) β ln ( x) β ln ( x ) y y

12 y y y y β ln ( x) ln ( x ) χ ln ( x) ln χ ln ( x) ln χ ln ( x ) ln χ ln ( x ) ln ln(d ) y y y y Desarrollando los logaritos: = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln(y ) ln y ln y ln y ln y ln y ln y ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) ln ( y ) β ln ( x ) β ln ( x ) ln ( x) ln ( x ) ln ( x) ln ( x ) β β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) χ ln y ln y χ ln y ln y χ ln y ln y ( ) ( ) ( ) χ ln y ln y ln(d ) Donde: = = = = β i =β i i=, β ij =β ij i, j =, = =

13 = = = = = = = χ = χ χ χ =χ χ =χ χ = χ χ χ =χ χ =χ En este caso particular, las expresiones de las elasticidades de una de las tres variables de Output respecto a cualquiera de las dos variables de Input será igual a: dys ys β k β kln(x ) β kln(x ) χ kln(y ) χ kln(y ) χkln(y ) = dx k s sln(y ) sln(y ) sln(y ) χ sln(x ) χ sln(x ) x k s=,, k =, Por otro lado, las expresiones de las elasticidades de la variable de Output de referencia ( a: y ) respecto a cualquiera de las otras dos variables de Output será igual

14 dy y ln(y ) ln(y ) ln(y ) χ ln(x ) χln(x ) = =, dy ln(y ) ln(y ) ln(y ) χ ln(x ) χ ln(x ) y 4.. Función Cobb-Douglas El caso particular del odelo de la función distancia de carácter estocástico describios el caso de una estiación con tres outputs y dos inputs, con una especificación funcional de una Cobb-Douglas para la relación entre inputs y outputs es la siguiente: = ln(y ) ln(y ) ln(y ) β ln(x ) β ln(x ) v Ln(D ) i Donde para estiar el odelo con las restricciones, se estiará sin restricciones el siguiente odelo: y y ln(y ) = ln ln β ln ( x) β ln ( x ) vi ln(d o) y y Donde: = = = = β =β β =β 4

15 5. RECAPITULACIÓN FINAL En este trabajo proponeos desde el punto de vista teórico el desarrollo analítico de las derivadas del odelo de la función distancia a partir de la transforación propuesta por Färe y otros (99) y desarrollada por Coelli y Perelan (996). El odelo de la función distancia presenta interesantes virtudes en el ábito de la econoía aplicada, puesto que perite incluir últiples outputs coo variables explicadas en el odelo de regresión, y estudiar la sensibilidad de los isos a las variaciones en los recursos. Las elasticidades expresan dichas relaciones o productividades arginales, cuyos cocientes posibilitan el estudio del signo y valor de las relaciones de sustitución técnica. Igualente se puede conocer si las relaciones de transforación entre productos son positivas o negativas y cúales son los outputs ás vinculados entre sí. Una ventaja adicional de este odelo es que perite obtener las ponderaciones de los inputs y outputs a partir de los paráetros de la estiación transforados aplicando las condiciones de hoogeneidad. Coo se cuple que la sua de paráetros asociados a los outputs es una cobinación lineal convexa será posible conocer una especie de precio sobra de cada variable producción. El problea es que no siepre adoptan valores positivos lo que obligaría a restringir este punto en la estiación. En el terreno práctico, estaos desarrollando una especificación de variables para estudiar las interrelaciones entre la docencia y la investigación universitaria a través de datos de panel. En el terreno de los odelos aplicados al estudio de las actividades del sector público los odelos de la función distancia aportan nuevos eleentos de estudio, adeás de servir de base de coparación de los odelos de eficiencia no paráetricos, ya que tienen la isa base econóica y ateática. 5

16 BIBLIOGRAFÍA Aigner, D.; Lovell, C.. y Schidt, P. J. (977): Forulation and estiation of stochastic frontier production odels. Journal of Econoetrics nº 6, pp. -7. Batesse, G. E. y Coelli, T. J. (99): Frontier Production Functions, technical efficiency and panel data: with application to paddy farers in India. Journal of Productivity Analysis, nº, pp Battese, G. E. y Corra, G. S. (977): Estiation of a production frontier odel: with application to the pastoral zone of eastern Australia. Australian Journal of Agricultural Econoics, vol., nº, pp Coelli, T. y Perelan, S. (996): A coparison of paraetric and non-paraetric distance functions: with application to european railways. Discussion paper del CREPP Université de Liège 96/. CREPP: Centre de recherche en Econoie Publique et en Econoie de la population. Coelli, T. y Perelan, S. (996): Efficiency easureent, ultiple-output technologies and distance functions: with application to European Railways. Discussion paper del CREPP Université de Liège 96/5. Fare, R. S.; Grosskopf,.; Lovell, C. A.. y Yaisawarng, S. (99): Derivation of Shadow Prices for Undesirable outputs: a distance function approach. Review of Econoics and Statistics, 75. pp Jondrow, J.; Lovell, C. A..; aterov, S. y Schidt, P. (977): On the estiation of technical inefficiency in the stochastic frontier production function odel. Journal of Econoetrics 9, pp. -8. ubhakar, S. C. (99): Production frontiers, panel data, and tie-varying technical inefficiency. Journal of Econoetrics, 46, pp. -. eeusen, W. y Van Den Broeck, J. (977): Efficiency estiation fro Cobb-Douglas productions functions with coposed error. International Econoic Review, vol. 8, nº june, pp Siar (99): Estiating efficiencies fro frontier odels with panel data: A coparison of paraetric, non-paraetric and sei-paraetric ethods with bootstrapping. Journal of Productivity Analysis nº, pp