Taller Nº1 Tema: Vectores y escalares.

Transcripción

1 1 Taller Nº1 Tema: Vectores y escalares. Conceptos Clave: Vector. Escalar. Magnitud. Dirección. Sentido. Vector Posición. Vector Unitario. Método del Paralelogramo. Método del Polígono. Método Analítico. Notación polar. Producto Punto. Producto Cruz. Vectores componentes. Introducción: En Física, generalmente, se trabaja con vectores en una, dos o tres dimensiones, los cuales pueden ser operados analíticamente y representados gráficamente en un sistema de coordenadas apropiado. Un vector puede expresarse de diferentes maneras según sea el tema y la aplicación que se le esté dando. Estudiaremos el vector, tratándolo como un modelo representativo de algunas cantidades, en forma gráfica y analítica, desarrollando algunas aplicaciones. Actividad 1: Definiciones. Vectores y Escalares Escalar: cantidad física que queda perfectamente determinada indicando solamente una cantidad acompañada de su correspondiente unidad de medida. Estas son las magnitudes escalares, entre las que podemos mencionar: masa, volumen, rapidez, presión, trabajo y temperatura. Vector: cantidad física que requiere, además de la magnitud, la dirección y sentido para quedar definida. Como ejemplo se pueden mencionar: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza.

2 2 La magnitud corresponde al tamaño (longitud del segmento dirigido). La dirección corresponde a la línea de acción del vector (ángulo que forma el segmento respecto a una línea de referencia horizontal o vertical). El sentido indica hacia qué lado se mueve dentro de la dirección que tiene (hacia donde apunta la punta de la flecha) El vector se debe dibujar o graficar utilizando regla y transportador. Sentido Dirección θ Magnitud Línea de acción Vector libre Un vector V se define como un ente en el espacio (desde donde puede ser transportado al plano o a una dimensión) que representa alguna cantidad y que posee magnitud, dirección y sentido. Un vector es un segmento orientado en el espacio, el cual, posee un origen que puede ser usado como punto de aplicación del vector. Vector CERO Es aquel cuya magnitud es cero. Este vector queda gráficamente representado por un punto y se anota como 0. Vectores Iguales Dos vectores A y B son iguales si poseen la misma magnitud, dirección y sentido.

3 3 Actividad 2: Operación de Cantidades Vectoriales. Multiplicación de un escalar por un vector Sea A un vector y m un escalar, entonces m A, se define de la siguiente forma: a) La magnitud de m A es: m A= m A. b) Si m>0 y A0, entonces, el sentido de m A es el de A. c) Si m<0 y A0, entonces, el sentido de m A es opuesto al de A. d) Si m=0 ó A=0, entonces, m A=0. Suma y resta vectorial mediante métodos geométricos Consideremos los vectores libres A y B: A B Método del Paralelogramo: Dibuje dos vectores desde un origen común, luego trace las paralelas a los vectores, y obtenga el vector resultante, con su origen en el origen de los vectores y su término en el punto donde se unen las paralelas. A B R = A+B B A

4 4 Método del Polígono o del Triángulo: Dibuje un vector, donde termine este vector dibuje el siguiente, obteniendo el vector resultante desde el origen del primer vector al término del último vector. R = A+B B A Observación: El método del polígono es más ventajoso en cuanto a que se pueden sumar o restar más de dos vectores a la vez. Actividad 3: Ejemplos de Sumas y Restas en forma geométrica con vectores. Verifique si las sumas dadas a continuación son correctas. u e u d e d ud e u u u d d d - u u u d u d u d d d

5 5 Nota: El negativo de un vector conserva su tamaño y dirección, pero tiene distinto sentido. v v Actividad 4: Propiedades de la Suma. La suma vectorial tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad: A + B = B + A Asociatividad: A + (B + C) = (A + B) + C Neutro aditivo: A + 0 = A Inverso aditivo: A + (-A) = 0 Actividad 5: Ponderación de Vectores. Sea m un número real y A un vector de coordenadas (x,y) en dos dimensiones, entonces la ponderación de A por m se define por: ma, esto es (mx,my) ponderar un vector por número real positivo, distinto de 1, solamente cambia su tamaño, pero al hacerlo por un número real negativo, distinto de ( 1), también cambia su sentido. Ejemplo: Considerando el vector A, se puede obtener los vectores 3A y -2A. A -2A 3A

6 6 Actividad 6: Ejemplos. Ejemplo 1. Sean los siguientes vectores libre E, F, G y H, determinar: D = E+3F+0,5G+(-2)H. E F G H Ejemplo 2. Sean los siguientes vectores libre K, L, M y N, determinar: P = 0,25k+3,5L+0,5M+N. K L M N Actividad 7: Vector Unitario. Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de cero, A 0, el vector A/A, es un vector unitario de la misma dirección y sentido de A. UA = A/A Nota: Se puede anotar una magnitud como A y un vector como A.

7 7 Los vectores unitarios permiten identificar el eje de coordenadas con el cual se está trabajando, es decir: Eje coordenado X Y z Vector unitario asociado i j k Actividad 8: Ejemplo. Determinar el vector unitario, para el vector A = 3i 4j + 8k Actividad 9: Vectores Componentes. Todo vector V en el espacio (tres dimensiones) se puede representar con su origen en un sistema de coordenadas trirectangulares. Sean (V1, V2, V3) las coordenadas cartesianas del punto extremo del vector V cuyo origen es O, es decir (0,0,0). Los vectores V1i, V2j, V3k, se llaman vectores componentes rectangulares o simplemente vectores componentes de V según las direcciones x,y,z, respectivamente. Los escalares V1, V2, V3 se llaman componentes rectangulares o simplemente componentes del vector V según las direcciones x,y,z, respectivamente. Z V3 k V1 i Y V2 j X La suma o resultante de los tres vectores V1 i, V2 j, V3 k es el vector V, esto es: V = V1 i + V2 j + V3 k El módulo o magnitud de V es: V = [V1 2 + V2 2 + V3 2 ] ½

8 8 Actividad 10: Ejemplos. Ejemplo 1: Representar gráficamente cada uno de los vectores indicados y determinar la magnitud de cada uno de ellos. a) E = -3i + 2j b) F = i + 5j c) G = 6i 4j + 2k d) H = 4i + 3j 6k Ejemplo 2: Dados los siguientes vectores E = -3i + 2j, F = i + 5j, G = -6i 4j, H = 4i + 3j, determinar su resultante en magnitud, dirección y sentido, indicando sus componentes. Actividad 11: Vector Posición. Anteriormente se consideró que todo vector se puede representar por un punto en un sistema coordenado rectangular, siendo dicho punto, el punto final del vector. Ahora, cualquier punto referido al sistema coordenado rectangular entrega un vector, el que se denomina vector posición. La notación del vector posición es r. Ejemplo: El vector posición del punto (3,2) es el siguiente: Y 2 r 3 X Actividad 12: Ejemplo. Dados los puntos A(1, -2) y B(4,-3), ubicados en un plano. Determinar: a) Los vectores posición ra y rb de los puntos A y B. b) El vector posición rc que va desde el punto A al punto B. c) La magnitud del vector posición rc.

9 9 Actividad 13: Vectores y su relación con otros elementos. Un punto en el plano se representa por un par ordenado P(x,y). El vector que une el punto origen del sistema de coordenadas, O(0,0), con el punto P(x,y) se puede anotar como V = Vx i + Vy j. Los vectores posición en dos dimensiones se pueden representan también como un par ordenado que muestre como coordenadas las magnitudes en cada eje del vector. Es decir: V = Vx i + Vy j puede ser representado por V(x,y) En el sistema de los números complejos anotamos en el eje horizontal la parte real (a) y en el eje vertical la parte imaginaria (b), lo que se expresa analíticamente: z = a + bj, y que también puede escribirse como par ordenado z(a,b). Observación: Se pueden anotar algebraicamente distintos elementos que se ubican físicamente en el mismo lugar (en la gráfica), pero corresponden a conceptos diferentes según el tema en que se esté trabajando. Concepto Notación Punto en el plano P(x,y) Número complejo z=a+bi o z=a+bj Vector posición r = rx i + ry j Forma trigonométrica r = r (cosi + sen j) Forma polar r = r Forma exponencial r = re j Actividad 14: Ejemplos. Ejemplo 1. Hallar la suma de los siguientes desplazamientos, entregando su respuesta en forma rectangular: A: 10 [m] hacia el noroeste. B: 20 [m], norte 60º este. C: 35 [m] hacia el sur. Ejemplo2. Un hombre recorre a pie A: 630º, B: 6180º, C: 6120º, todos medidos en metros. Determinar el vector posición resultante en forma polar.

10 10 Para recordar: Trigonometría del triángulo rectángulo. 1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. tg = longitud cateto opuesto a /longitud cateto adyacente a 2. Razones seno y coseno de un ángulo agudo. sen = longitud cateto opuesto a /longitud de la hipotenusa cos = longitud cateto adyacente a /longitud de la hipotenusa Cateto opuesto a Hipotenusa Teorema de Pitágoras. Cateto adyacente a Sea: a: cateto adyacente a. b: cateto opuesto a. c: hipotenusa. a 2 + b 2 = c 2

11 11 Actividad 15: El vector en Electrotecnia. El vector es una cantidad estática que representa posiciones fijas o magnitudes invariables en el tiempo. En electrotecnia, se utiliza el fasor que es un vector que cambia de posición periódicamente según varíe el tiempo. En un tiempo determinado y a intervalos iguales de tiempo sucesivos, los puntos Q, R y S de una partícula llevan el mismo tipo de movimiento, lo que se refleja en la posición del vector en P. Y Y P Q R S. t 1 t 2 t 3 t[s] Actividad 16: Producto Punto o Escalar. Definición. Sean A y B dos vectores cualquiera, su producto escalar AB, se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Por lo tanto: AB = A B cos, 0 Obsérvese que AB es un escalar, un número, y no un vector. Interpretación: La interpretación del producto punto es la proyección del primer vector sobre el segundo, amplificado por la magnitud del segundo. A E F G H B

12 12 EF = GH: corresponde a la proyección de A sobre B. : es el ángulo que forma A con B. Acos: proyección de A sobre B. Pero: A ub = A(1)cos = A cos: proyección de A sobre B. Propiedades. a) Propiedad Conmutativa: AB = BA b) Propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma: A(B + C) = AB + AC c) Producto de un vector por un escalar: m(ab) = (mab) = A(mB) = (AB) m d) ii = jj = kk = 1 ; ij = jk = ki = 0 e) Dados A = A1 i + A2 j + A3 k y B = B1 i + B2 j + B3 k, se verifica: AB = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 AA = A 2 = A1 2 + A2 2 + A3 2 BB = B 2 = B1 2 + B2 2 + B3 2 f) Si AB = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculares. Actividad 17: Ejemplo. Sea M = 3i j + 6k y N = -2i 4j 3k. a) Calcular su producto punto e interpretar b) Calcular el valor de la proyección de M sobre N. c) Calcular el ángulo formado por los vectores.

13 13 Actividad 18: Producto Cruz o Vectorial Definición. Dados los vectores A y B, su producto vectorial o cruz, es otro vector C = AxB. El módulo de AxB es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman los vectores A y B. La dirección de C = AxB es la perpendicular al plano que forman A y B. Luego: AxB = A B sen u(axb) Siendo u(axb) un vector unitario que indica la dirección y sentido del producto AxB. Si AxB, o bien, si A tiene la misma dirección que B, el seno del ángulo será cero, con lo que AxB = 0. Interpretación: El producto cruz entre dos vectores A y B, entregará como resultado un tercer vector C, perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. C A B Propiedades. a) No goza de la Propiedad Conmutativa: AxB = - BxA b) Propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma: Ax(B+C) = AxB + AxC c) Producto de un vector por un escalar: m(axb) = (ma)xb = Ax(mB) = (AxB)m d) ixi = jxj = kxk = 0 ; ixj = k, jxk = i, kxi = j

14 14 e) Dados A = A1 i + A2 j + A3 k y B = B1 i + B2 j + B3 k, se verifica: i j k AxB = A1 A2 A3 B1 B2 B3 f) El módulo de AxB representa el área del paralelogramo de lado A y B. g) Si AxB = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos tienen la misma dirección. Actividad 19: Ejemplos. Ejemplo 1. Hallar los siguientes productos: a) 2j X 3k b) 3i X (-2k) c) 2j X (i - 3k) Ejemplo 2. Dados los vectores L = 2i 3j k y M = i + 4j 2k, hallar: a) L x M b) M x L c) (L + M)x(L - M) Ejemplo 3. Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores: S = 2i 6j - 3k T = 4i + 3j k Ejemplo 4. Si F = 2i j - 3k y G = i - 2j + k, encontrar un vector 5 perpendicular a los vectores F y G.

15 15 Actividad 21: Sugerencia de trabajo con el Texto: Física-Volumen 1- Resnick-Halliday-Krane. Capítulo 3: Vectores. Definiciones, ejercicios resueltos: pág 41 a 50. Preguntas 1 a 22: pág 53. Problemas: 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,30,31,32,33,34,3 8,39,40. Observación: En biblioteca puede encontrar los siguientes textos de apoyo: Murria R. Spiegel, Análisis Vectorial, Editorial Mc Graw-Hill, Resnick-Halliday-Kramer, Física Parte I. Cuarta Edición. CECSA. México Sears-Zemansky, Física Universitaria. Tomo I. Novena Edición. Serway Faughn, Física. Editorial Prentice Hall Tippens, Física, Conceptos y Aplicaciones, Editorial Mc Graw Hill, Alvarenga Beatriz, Física General, Editorial Harla, Hecht Eugene, Física 1, Editorial Thomson, Segunda Edición. Jones&Childers, Física Contemporánea, Editorial Mc Graw Hill, 2001.

16 16 Problemas Propuestos. Prob.1. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 1000 Unidades de magnitud, cuando éste forma un ángulo, con respecto al eje de las x, de : (a) 50º, (b) 130º, (c) 230º, haciendo uso de las funciones trigonométricas. 5 0 º º x x º x R: (642; 766,0) (-642,8; 766,0) (-642,8; -766,0) Prob.2. Sean los vectores D, E y F, representados en la figura. Cada uno de ellos posee 120 unidades de magnitud. Las direcciones y sentidos son los indicados en la figura. Determinar la dirección, magnitud y sentido de la resultante de la suma de los tres vectores dados, a través del método analítico, o sea, descomponiendo los vectores según el sistema coordenado rectangular. D E 4 0 º 2 5 º 7 0 º F R: 57,9i + 15,0j 59,8 14,5 Prob.3. Repetir el problema anterior, pero según el método del: (a) Paralelogramo. (b) Polígono.

17 17 Prob.4. Sean cuatro vectores E, F, G y H ubicados consecutivamente, de tal forma que H hace un ángulo de 65º con G ; el vector G forma 67º con F y F hace 85º con E. Las magnitudes de cada vector son de 9 unidades. (a) Representar gráficamente estos cuatro vectores, según los datos dados. (b) Construir el vector resultante, de tal manera que sea igual a: 4 / 3 G + E - 2 / 3 F - 1 / 3 H (c) Determinar la magnitud del vector D y el ángulo que forma con E. (d) Dibujar los vectores componentes, horizontal y vertical, del vector D y determinar las magnitudes que poseen, como los ángulos que forman con el vector D. R: (c.) 1,49 ; 6,78. Prob.5. Un hombre viaja 25[Km] rumbo 045, 15[Km] a 090 y 10[Km] 180. Usando una escala apropiada determinar la distancia desde su posición de partida: (A) Gráficamente. (B) Analíticamente. R: (B) 33,6 [Km]. Prob.6. Una mujer camina 250 [m] en dirección O35, y luego 170 [m] hacia el este. (a) Usando método gráfico, halle su desplazamiento final a partir del punto de arranque. (b) Compare la magnitud del desplazamiento con la distancia que recorrió. Prob.7. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124[Km] al Norte. Una tormenta inesperada empuja el barco hasta un punto 72[km] al Norte y 31[Km] al Este de su punto de arranque. Qué distancia y en qué dirección debe navegarse, para llegar a su destino original? R: (-31i + 52j) [Km]; 60,5 [Km]; 59,2. Prob.8. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo. El primer golpe desplaza la bola 12 [m] al norte, el segundo 6 [m] en la dirección 135, y el tercero 3 [m] a 210. Qué desplazamiento se necesitaría, para meter la bola en el hoyo al primer golpe?. Trace el diagrama vectorial. R: d =(2,74i + 5,16j)[m].

18 18 Prob.9. Resolviendo por el Método Analítico, halle el desplazamiento resultante de los vectores: A : 20[Km] Este 30º Sur. B : 50[Km] hacia el Oeste. C : 40[Km] hacia el Noroeste. D : 30[km] Oeste 60º Sur. R: d = (-91,0i 33,6j) [Km]. Prob.10. dados los vectores R1 = 3i - 2j + k, R2 = 2i - 4j - 3k, R3 = 6i + 2j + 3k hallar los módulos de : (a) R3 (b) R1 + R2 + R3 (c) 2R1-4R2-5R3 Prob.11. Sea A = 4i - 6j - 4k y B = -i + 2j - 3k, determine: (a) A + B (b) A - B (c) A B (d) Magnitud de A. Prob.12. Dados los vectores A = 3i - 2j, B = i + k y C = 2j - 4k. Encuentre: (a) El producto punto entre ( A + 2C ) y 3B. (b) El ángulo formado por los vectores ( A + 2C ) y 3B. (c) La proyección de A sobre B. R: (a) 7. (b) 11,7. (c) 32,1. R: (a) 3i 4j 7k (b) 5i 8j k (c.) 4 R: (a) 15 (b) 113,5 (c.) 2,14

19 19 Prob.13. Dados los vectores A = 3i - 2j, B = i + k y C = 2j - 4k. Encuentre: (a) El ángulo formado por los vectores A + 2C y 3B. (b) El producto cruz entre los vectores A + B y C. R: (a) 113,5 (b) 6i +16j +8k Prob.14. Dados los vectores A y B del problema anterior, usando el teorema del seno o coseno, encuentre la magnitud del vector A + B. Prob.15. Para qué valores de "" son K = i - 2j + k y L = 2i + j- 4k, perpendiculares? R: 2; -1. Prob.16. Dados los vectores U = i + 4j y V = 9i + 12j + k, encontrar los valores de y, de manera que ambos vectores sean paralelos. R: = 0; = 3. Prob.17. Encontrar la proyección del vector 4i 3j + k, sobre la recta que pasa desde el punto ( -2, 4, 3 ) al punto ( 2, 3, -1 ). R: 2,63. Prob.18. Hallar un vector unitario perpendicular al plano formado por A = ai - 2j + k y B = 2ai + aj -4k, de modo que A y B sean perpendiculares. R: (0,29i + 0,57j 0,77k); (0,80i - 0,53j 0,27k) Prob.19. Hallar un vector unitario, paralelo al plano XY que sea perpendicular al vector -8i+ 6j -2k. Prob.20. Encuentre un vector unitario en la dirección de la suma de los vectores unitarios i+j+k, y el ángulo que forma con el eje X, Y y Z.