DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Curso

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Curso PRUEBAS EXTRAORDINARIAS DE SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS 1º ESO La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso y será la misma para todos los grupos de 1º de ESO. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1º.- NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS - Escribir correctamente números naturales hasta los billones y aproximar mediante truncamiento o redondeo, hasta un cierto orden de unidades. - Identificar relaciones de divisibilidad entre números naturales. Hallar máximo común divisor (m.c.d) y mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más números. - Aplicar correctamente la jerarquía en las operaciones combinadas de números naturales. - Ordenar números enteros y ordenarlos en la recta numérica. - Aplicar la jerarquía en operaciones combinadas con números enteros. - Reducir y calcular expresiones con potencias. - Resolver problemas aritméticos con dos o más operaciones. - Resolver problemas aplicando máximo común divisor y mínimo común múltiplo. 2º.- NÚMEROS DECIMALES Y FRACCIONARIOS - Conocer los distintos órdenes de unidades decimales y escribir números hasta las millonésimas. - Ordenar números decimales y situarlos en la recta numérica. - Operar con números decimales, aplicando la jerarquía de las operaciones combinadas. - Resolver problemas con dos o más operaciones de números decimales. - Representar gráficamente fracciones y ordenarlas. - Operar aplicando la jerarquía de las operaciones combinadas con fracciones.

2 - Resolver problemas con fracciones. 3º.- PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES - Calcular el término desconocido en una proporción. - Resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa. - Calcular el tanto por ciento de una cantidad. - Resolver problemas de porcentaje. 4º.- SISTEMA MÉTRICO DECIMAL - Conocer las unidades de medida relativas a PESO, LONGITUD, CAPACIDAD Y SUPERFICIE. - Pasar de forma compleja a incompleja y viceversa. 5º.- ÁLGEBRA - Traducir a lenguaje algebraico diferentes enunciados. - Identificar monomios entre varias expresiones algebraicas. - Reducir expresiones con sumas y restas de monomios. - Multiplicar monomios y reducir al máximo el cociente de dos monomios. - Reconocer y resolver ecuaciones de 1er. grado con diferente nivel de dificultad (incluidos paréntesis) 6.- GEOMETRIA - Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos para obtener diferentes elementos desconocidos en cuadriláteros, hexágonos regulares, etc

3 PRUEBA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS 2º ESO La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1. Geometría - Teorema de Pitágoras - Aplicar el teorema de Pitágoras a la resolución de problemas. - Teorema de Thales. - Aplicar el teorema de Thales a la resolución de problemas. - Cálculo de áreas y volúmenes de poliedros, conos, cilindros, pirámides y esfera 2. Estadística - Distinguir los distintos tipos de variables estadísticas. - Cálculo de fracuencias absolutas, relativas y absolutas acumuladas (calculando tabla de fracuencias) - Cálculo de media moda y mediana - Elaboración de diagramas de barras 3. Números - Descomponer un número compuesto como producto de números primos. - Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o tres números. - Resolver problemas que necesitan el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números - Calcular el resultado de operaciones combinadas con números decimales, positivos y negativos, que incluyen paréntesis respetando la jerarquía de operaciones. - Calcular potencias tanto de base negativa, como positiva. - Aplicar las propiedades de las potencias en el cálculo de productos y divisiones de potencias. - Efectuar operaciones combinadas con fracciones, con o sin paréntesis, teniendo en cuanta la jerarquía de las operaciones. - Calcular la fracción irreducible. - Resolver problemas en los que intervienen el cálculo de fracciones. - Resolver problemas en los que intervienen magnitudes directa o inversamente proporcionales por regla de tres - Operar con medidas de tiempo o de ángulos (sumar, restar, multiplicar o dividir)

4 - Resolver problemas sencillos para los que sea necesario efectuar alguna operación con medida de ángulos o de tiempo. 4. Álgebra - Operar con monomios (suma, resta, multiplicación y división) - Operar con polinomios(suma, resta y multiplicación) - Identidades notables - Resolver ecuaciones de primer grado - Resolver ecuaciones de segundo grado - Resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado y segundo grado

5 PRUEBA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1. Estadística y Probabilidad - Identifica, en diversas situaciones de la vida real, los conceptos de individuo, población y muestra. - Confecciona tablas de frecuencias con datos aislados y con datos agrupados por intervalos y construye el gráfico adecuado. - Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de un conjunto de datos. - Obtiene la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de un conjunto de datos y los utiliza para comparar la dispersión de varios conjuntos de datos. - Calcula probabilidades mediante la ley de Laplace en experimentos aleatorios sencillos. - Elabora diagramas de árbol para interpretar problemas sencillos de probabilidad. 2. Números y Álgebra - Interpreta correctamente potencias con exponente entero. - Aplica propiedades de las potencias para modificar y simplificar expresiones numéricas. - Opera correctamente con potencias de base 10 y con números expresados en notación científica. - Opera y transforma expresiones radicales sencillas, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones. - Transforma fracciones en números decimales. - Obtiene la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos - Clasifica conjuntos de números en racionales e irracionales. - Reconoce las progresiones aritméticas y geométricas, halla su término general y la suma de algunos de sus términos. - Traduce situaciones sencillas del lenguaje natural al algebraico y

6 viceversa. - Opera (suma, resta, multiplicación) correctamente con polinomios. - Saca factor común en expresiones algebraicas sencillas. - Aplica las igualdades notables para transformar expresiones algebraicas. - Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. - Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. - Plantea y resuelve problemas sencillos que den lugar a una ecuación de primer o segundo grado. - Plantea y resuelve problemas sencillos que den lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 3. Funciones y Gráficas - Construye e interpreta gráficas a partir de tablas de valores, enunciados o expresiones algebraicas. - Estudia en la gráfica de una función: crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, simetrías, continuidad y periodicidad. - Utiliza modelos lineales para estudiar situaciones en diferentes ámbitos de la vida cotidiana. - Representa razonadamente cualquier función polinómica de primer grado, reconociendo previamente que se trata de una recta. - Obtiene las distintas expresiones de ecuaciones de rectas de las que se conocen un punto y la pendiente o bien dos puntos. - Representa gráficamente funciones cuadráticas.

7 PRUEBA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS 3º ESO La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1. Estadística - Identifica, en diversas situaciones de la vida real, los conceptos de individuo, población y muestra. - Confecciona tablas de frecuencias con datos aislados y con datos agrupados por intervalos y construye el gráfico adecuado. - Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de un conjunto de datos. - Obtiene la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de un conjunto de datos y los utiliza para comparar la dispersión de varios conjuntos de datos. 2. Números y Álgebra - Interpreta correctamente potencias con exponente entero. - Aplica propiedades de las potencias para modificar y simplificar expresiones numéricas. - Opera correctamente con potencias de base 10 y con números expresados en notación científica. - Transforma fracciones en números decimales y viceversa. - Opera correctamente con fracciones y con decimales. - Utiliza la proporcionalidad simple para resolver problemas, incluyendo porcentajes. - Reconoce las progresiones aritméticas y geométricas, halla el término general. - Traduce situaciones sencillas del lenguaje natural al algebraico y viceversa. - Opera (suma, resta, multiplicación) correctamente con polinomios. - Saca factor común en expresiones algebraicas sencillas. - Aplica las igualdades notables para transformar expresiones algebraicas. - Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. - Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. - Plantea y resuelve problemas sencillos que den lugar a una ecuación de

8 primer o segundo grado. - Plantea y resuelve problemas sencillos que den lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 3. Funciones y Gráficas - Construye e interpreta gráficas a partir de tablas de valores, enunciados o expresiones algebraicas. - Estudia en la gráfica de una función: crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, simetrías, continuidad y periodicidad. - Representa razonadamente cualquier función polinómica de primer grado, reconociendo previamente que se trata de una recta. - Obtiene las distintas expresiones de ecuaciones de rectas de las que se conocen un punto y la pendiente o bien dos puntos. - Representa gráficamente funciones cuadráticas.

9 PRUEBA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso y será la misma todos los alumnos. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1. Números - Operar correctamente (suma, resta, multiplicación y división) con números enteros, fraccionarios y potencias. - Trabajar con valores absolutos e intervalos de la Recta Real. - Relacionar los radicales con las potencias de exponente fraccionario. - Aplicando las propiedades de los radicales, operar, simplificar y racionalizar expresiones sencillas. - Manejar e interpretar correctamente las expresiones exponenciales y logarítmicas. 2. Álgebra - Utilizar el lenguaje algebraico para codificar situaciones de la vida cotidiana o de relaciones numéricas. - Realizar operaciones con polinomios y con fracciones algebraicas, necesarias para la resolución de problemas en los que se utilicen estos objetos matemáticos. - Descomponer un polinomio con coeficientes enteros en producto de factores irreducibles, utilizando las identidades notables, la extracción de factor común, la ecuación de 2º grado o la regla de Ruffini. - Resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado y de cuarto grado bicuadradas. - Resolver ecuaciones sencillas con uno o dos radicales cuadráticos. - Resolver ecuaciones sencillas con la incógnita en el denominador. - Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas. - Resolver sistemas de ecuaciones no lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas. - Resolver problemas sencillos en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. - Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita. - Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita. - Resolver sistemas de inecuaciones de primer y segundo grado con una

10 incógnita. 3. Funciones - Obtener el dominio de definición de funciones sencillas (polinómicas, racionales, con un radical, ). - Interpretar fenómenos descritos mediante la gráfica de una función, detectando intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. - Distinguir los distintos tipos de funciones lineales, la forma de representación gráfica de cada una de ellas, su pendiente y su expresión analítica. - Representar funciones lineales definidas a trozos. - Representar funciones cuadráticas a partir de la obtención de la abscisa del vértice, de unos cuantos puntos próximos al vértice y de los puntos de corte con los ejes. - Representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa, funciones radicales, funciones exponenciales y funciones logarítmicas sencillas. 4. Trigonometría y Geometría - Conocer y relacionar las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. - Resolver triángulos rectángulos conocidos dos de sus elementos. - Aplicar relaciones trigonométricas sencillas para el cálculo de distancias y ángulos en situaciones reales. - Conocida una razón trigonométrica de un ángulo, calcular las demás. - Operar correctamente con vectores en el plano, tanto gráficamente como analíticamente (con coordenadas). - Conocer y relacionar las coordenadas de puntos y vectores. - Aplicar los vectores a la obtención del punto medio de un segmento, la distancia entre dos puntos, simétrico de un punto respecto de otro y comprobación de puntos alineados. - Obtener las distintas modalidades de la ecuación de una recta: vectorial, paramétricas, continua, general y explícita a partir de un punto base y un vector de dirección, o a partir de dos puntos. 5. Estadística y Probabilidad - Representar con el gráfico o diagrama más adecuado una distribución de variable discreta o continua. - Calcular e interpretar correctamente la media aritmética, mediana y moda. - Calcular la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. - Reconocer la probabilidad como la frecuencia relativa esperada de un suceso cuando el experimento se repite un número grande de veces. - Conocer y aplicar la ley de Laplace para la obtención de probabilidades de sucesos que provienen de experiencias regulares sencillas. - Conocer y utilizar los diagramas de árbol para el cálculo y expresión de probabilidades en experiencias aleatorias compuestas.

11 PRUEBA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS 4º ESO La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso y será la misma todos los alumnos. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1. Números y Álgebra - Operar correctamente (suma, resta, multiplicación y división) con números enteros, fraccionarios y potencias. - Trabajar con intervalos de la Recta Real. - Resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa. - Resolver problemas de aumentos y disminuciones porcentuales, de interés simple y compuesto. - Utilizar el lenguaje algebraico para codificar situaciones de la vida cotidiana o de relaciones numéricas. - Resolver ecuaciones sencillas de primer y segundo grado. - Resolver problemas sencillos en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado o sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. - Realizar operaciones con polinomios necesarias para la resolución de problemas en los que se utilicen estos objetos matemáticos. 2. Geometría - Aplicar la semejanza para la obtención indirecta de medidas. - Calcular longitudes, áreas y volúmenes de diferentes cuerpos geométricos. 3. Funciones y Gráficas - Distinguir los distintos tipos de funciones lineales, la forma de representación gráfica de cada una de ellas, su pendiente y su expresión analítica. - Escribir la ecuación de una recta de la que se conocen un punto y la pendiente. - Representar funciones cuadráticas a partir de la obtención de la abscisa del vértice, de unos cuantos puntos próximos al vértice y de los puntos de corte con los ejes.

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13 BACHILLERATO MATEMÁTICAS I (1º DE BACHILLERATO) La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en los siguientes contenidos: 1. Aritmética y Álgebra - Dados varios números, saber clasificarlos en los distintos campos numéricos - Operar correctamente con radicales. - Comprender la definición de logaritmo y sus propiedades. - Resolver ecuaciones de 2º grado. - Resolver ecuaciones con radicales y con la incógnita en el denominador. - Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. - Resolver sistemas de ecuaciones de 1º y segundo grado. - Resolver sistemas lineales 3x3 por el método de Gauss. - Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones y sistemas. - Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones. - Realizar operaciones combinadas de números complejos en forma binómica. - Pasar un número complejo de forma binómica a polar y viceversa. - Calcular raíces de números complejos e interpretarlas gráficamente. - Resolver ecuaciones en el campo de los números complejos. 2. Geometría - Conocer el significado de las razones trigonométricas y aplicarlas a la resolución de triángulos. - Obtener las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera relacionándolo con uno del primer cuadrante. - Conocer el teorema de los senos y los cosenos y aplicarlos a la resolución de triángulos. - Conocer las fórmulas trigonométricas fundamentales (suma, resta, ángulo doble, ángulo mitad y suma y diferencia de senos y cosenos) y aplicarlas a cálculos diversos. - Efectuar combinaciones lineales de vectores y expresar un vector como combinación lineal de otros dos gráficamente y mediante coordenadas. - Conocer el significado del producto escalar de dos vectores, sus propiedades y su expresión analítica y aplicarlo al estudio de la perpendicularidad y cálculo de módulo y ángulos. - Obtener las ecuaciones paramétrica e implícita de una recta a partir de dos puntos o un punto y un vector. - Estudiar las posiciones relativas de dos rectas. - Hallar la distancia entre dos puntos y entre un punto y una recta.

14 3. Funciones y Gráficas - Obtener el dominio de una función dada gráficamente o por su expresión analítica. - Conocer las familias de funciones elementales (lineal, radical, proporcionalidad inversa, exponencial, logarítmicas y trigonométricas) asociando sus expresiones analíticas con las formas de sus gráficas. - Representar funciones definidas a trozos (lineales y cuadráticos). - Conocer la composición de funciones y las relaciones analíticas y gráficas que existen entre una función y su inversa. - Dada la gráfica de una función, reconocer el valor de los límites cuando x+, x-, xa -, xa + y xa. - Calcular límites de funciones definidas analíticamente. - Estudiar la continuidad de una función definida a trozos. - Hallar las asíntotas de funciones racionales. - Calcular la derivada de una función en un punto a partir de la definición. - Conocer las reglas de derivación y utilizarlas para halla la función derivada de otra.

15 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C.S.S. I (1º DE BACHILLERATO) La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1. Aritmética y Álgebra - Dados varios números, saber clasificarlos en los distintos campos numéricos. - Operar correctamente con radicales. - Comprender la definición de logaritmo y sus propiedades. - Operar correctamente con polinomios y fracciones polinómicas - Resolver ecuaciones polinómicas, con radicales y con la incógnita en el denominador. - Resolver sistemas de ecuaciones de 1 er y 2º grado. - Resolver sistemas lineales 3x3 por el método de Gauss. - Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones y sistemas. - Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita. - Obtener gráficamente la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. Funciones - Obtener el dominio de una función dada gráficamente o por su expresión analítica. - Conocer las familias de funciones elementales (lineal, radical, proporcionalidad inversa, exponencial, logarítmicas y trigonométricas) asociando sus expresiones analíticas con las formas de sus gráficas. - Realizar interpolaciones lineales y aplicarlas a la resolución de problemas. - Representar funciones definidas a trozos (lineales y cuadráticas). - Obtener la expresión analítica de una función dada por un enunciado. - Conocer la composición de funciones y las relaciones analíticas y gráficas que existen entre una función y su inversa. - Dada la gráfica de una función, reconocer el valor de los límites cuando x+, x-, xa -, xa + y xa. - Calcular límites de funciones definidas analíticamente. - Estudiar la continuidad de una función definida a trozos. - Hallar las asíntotas de funciones racionales. - Calcular la derivada de una función en un punto a partir de la definición. - Conocer las reglas de derivación y utilizarlas para hallar la función derivada de otra. - Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva definida por una función. - Hallar los puntos singulares de una función polinómica o racional. - Estudiar y representar gráficamente funciones polinómicas y racionales sencillas.

16 3. Estadística - Interpretar y representar distintos tipos de gráficos estadísticos (de barras e histogramas). - Organizar los datos estadísticos en tablas de frecuencias. - Obtener la media y la desviación típica de una tabla de frecuencias. - Obtener la distribución de probabilidad, la media y la desviación típica de una variable aleatoria discreta definida a partir de un experimento aleatorio sencillo. - Obtener probabilidades asociadas a una variable aleatoria continua a partir de su función de densidad (función definida a trozos lineales). - Manejar con destreza la tabla de la N(0,1) y utilizarla para el cálculo de probabilidades. - Calcular probabilidades en una distribución N(,) relacionándolas con la N(0,1). - Resolver problemas que requieran la utilización de la distribución normal.

17 MATEMÁTICAS II (2º DE BACHILLERATO) La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán entre 5 y 10 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en los siguientes contenidos: ÁLGEBRA LINEAL Las matrices como herramientas para representar datos estructurados en tablas y grafos. Traspuesta de una matriz. Suma de matrices. Producto de un número real por una matriz. Producto de matrices. Potencias de una matriz cuadrada. Propiedades de las operaciones con matrices. (Se pretende que el estudiante sea capaz de realizar con corrección manipulaciones algebraicas con matrices, aunque no se exigirá la demostración de las propiedades). Determinantes. Definición y propiedades elementales. Cálculo de determinantes de orden menor o igual que 4. Matrices inversas. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada de orden no superior a tres. Rango de una matriz. Estudio del rango de una matriz que depende como máximo de un parámetro. Sistemas de ecuaciones lineales. Representación en forma matricial. Resolución de sistemas compatibles. Discusión de las soluciones de sistemas lineales, que pueden ser dependientes de un parámetro. Sistemas homogéneos. Planteamiento y resolución de problemas cuya solución puede obtenerse a partir de un sistema lineal de, como máximo, tres ecuaciones con tres incógnitas. GEOMETRÍA Vectores en el espacio tridimensional. Operaciones con vectores. Dependencia e independencia lineal. Bases. Coordenadas. Producto escalar: definición, propiedades e interpretación geométrica. Vectores unitarios, ortogonales y ortonormales. Ángulo entre dos vectores. Producto vectorial: definición, propiedades e interpretación geométrica. Producto mixto de tres vectores: definición, propiedades e interpretación geométrica. Aplicación de los distintos productos al cálculo de áreas de paralelogramos y triángulos y de volúmenes de prismas y tetraedros. Ecuaciones de rectas en el espacio. Ecuaciones de planos. Posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio. Distancia entre puntos, rectas y planos. Ángulos entre dos planos, entre dos rectas que se corten y entre una recta y un plano. ANÁLISIS. Límite de una función en un punto y en el infinito. Límites laterales. Cálculo de límites. Indeterminaciones sencillas.

18 Funciones continuas y tipos de discontinuidad. Operaciones algebraicas con funciones continuas. Composición de funciones continuas. Teorema de Bolzano. Derivada de una función en un punto. Interpretaciones (analítica, geométrica, física). Derivadas laterales. Relación con la continuidad. Reglas de derivación (incluyendo la regla de la cadena y sus aplicaciones). Aplicaciones de la derivada. Estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Planteamiento y resolución de problemas de optimización. Conocimiento y aplicación de los resultados del Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio y la regla de L'Hôpital. Primitiva de una función. Cálculo de primitivas inmediatas y de funciones que son derivadas de una función compuesta. Integración por partes. Integración mediante cambio de variables (ejemplos simples). Integración de funciones racionales (con denominador de grado no mayor que dos). El problema del área. Introducción al concepto de integral definida de una función a partir de áreas encerradas bajo una curva. La Regla de Barrow. PROBABILIDAD Sucesos. Asignación de probabilidades. Axiomática de Kolmogorov. Probabilidad condicionada. Teorema de probabilidad total. Fórmula de Bayes.

19 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II La Prueba Extraordinaria de Septiembre versará sobre la totalidad de la materia desarrollada durante el curso. Se calificará entre 0 y 10 puntos, y con esta calificación se decidirá si el alumno ha superado o no la asignatura, es decir, no se harán consideraciones sobre actitud o comportamiento. En ella se propondrán un máximo de 5 cuestiones, que eventualmente podrán constar de más de un apartado, sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso, que se concretan en las siguientes competencias básicas: 1.- Álgebra. Utilización de matrices como forma de representación de situaciones de contexto real. Transposición, suma, producto de matrices y producto de matrices por números reales. Concepto de inversa de un matriz. Obtención de la inversa de matrices de órdenes dos y tres. Determinantes de órdenes dos y tres. Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales sencillos. Regla de Cramer. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas y un parámetro. Resolución de problemas con enunciados relativos a ciencias sociales y a la economía que pueden resolverse mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos ingénitas. Iniciación a la programación lineal bidimensional. Región factible. Solución óptima. Aplicación de la programación lineal a la resolución de problemas de contexto real con dos variables. Interpretación de la solución obtenida. 2.- Análisis. Límite y continuidad de una función en un punto. Límites laterales. Ramas infinitas. Continuidad de funciones definidas a trozos. Determinación de asíntotas de funciones racionales. Derivada de una función. En un punto. Interpretación geométrica. Relación entre continuidad y derivabilidad. Derivación de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Reglas de derivación: sumas, productos y cocientes. Composición de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones: - Cálculo de la tasa de variación instantánea, ritmo de crecimiento, coste marginal, etc. - Obtención de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma.

20 - Obtención de extremos relativos, puntos de inflexión, e intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. - Resolución de problemas de optimización. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas a partir de sus propiedades globales y locales. Integrales indefinidas. Propiedades elementales. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas o reducidas a inmediatas. Integrales definidas de funciones polinómicas exponenciales y racionales inmediatas mediante la aplicación de la regla de Barrow. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas planas. 3.- Probabilidad y Estadística. Experimentos aleatorios. Concepto de espacio muestral y de suceso elemental. Operaciones con sucesos. Leyes de Morgan. Definición de probabilidad. Probabilidad de la unión, intersección, diferencia de sucesos y suceso contrario. Regla de Laplace de asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada. Teorema del producto. Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes. Concepto de población y muestra. Muestreo. Parámetros población es y estadísticos muestrales. Distribución de probabilidad de las medias maestrales. Caso normal. Intervalo de confianza para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. Tamaño muestral mínimo.