Las matemáticas de los fractales
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- Alicia Ortíz Rey
- hace 6 años
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1 Las matemáticas de los fractales Ricardo A. Sáenz Universidad de Colima Taller de Ciencia para Jóvenes julio, 2013 Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 1 / 37
2 Fractales Famosos Fractales: objetos famosos Conjunto de Mandelbrot Tria ngulo de Sierpin ski Benoı t Mandelbrot, Wraclow Sierpin ski, Ricardo A. Sa enz (Universidad de Colima) Las matema ticas de los fractales Taller de Ciencia para Jo venes 2 / 37
3 Fractales Fractales: objetos artísticos Artísticos Generado con Sterling (Patricia Kay, 2008) Generado con Vision of Chaos Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 3 / 37
4 Fractales Naturales Fractales: objetos de la naturaleza Cristales congelados Ricardo A. Sa enz (Universidad de Colima) Bro coli romanescu Las matema ticas de los fractales Taller de Ciencia para Jo venes 4 / 37
5 Fractales autosimilares Autosimilaridad El triángulo de Sierpiński es autosimilar Está formado por la unión de tres copias de sí mismo Cada una es la imagen de una contracción Triángulo de Sierpiński Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 5 / 37
6 Fractales autosimilares Vectores en el plano El plano cartesiano Cada punto se denota por un par de coordenadas (a, b) Los puntos se pueden ver vectores Suma: si x = (a, b) y y = (c, d), x + y = (a + c, b + d) El plano cartesiano Multiplicación escalar: λx = (λa, λb) Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 6 / 37
7 Operaciones vectoriales Fractales autosimilares Vectores en el plano Suma vectorial Multiplicación escalar (si λ < 0, cambia sentido) Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 7 / 37
8 Triángulo de Sierpiński Fractales autosimilares Conjuntos autosimilares Definimos las siguientes contracciones: F 1 (x) = 1 2 (x p 1) + p 1 F 2 (x) = 1 2 (x p 2) + p 2 F 3 (x) = 1 2 (x p 3) + p 3 donde p 1, p 2 y p 3 son los vértices de un triángulo equilátero. Cada F i contrae a los puntos del plano hacia p i. Entonces, si S es el triángulo de Sierpiński, S = F 1 (S) F 2 (S) F 3 (S). Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 8 / 37
9 Fractales autosimilares Conjuntos autosimilares La curva de Koch (Niels F. Helge von Koch, ) F 1 (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 1, x 2 ) (x 2, x 1 ), F 2 (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 1, x 2 ) (x 2, x 1 ) + (1 2, 1 2 ) 3 Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 9 / 37
10 Fractales autosimilares Teorema de Hausdorff Existencia y unicidad Teorema (Felix Hausdorff, )) Dada una familia de contracciones F 1, F 2,..., F N, existe un único conjunto no vacío y compacto K tal que K = F 1 (K) F 2 (K)... F N (K). Proof. Idea: Mostrar que la iteraciones i 1,i 2,... F i1 (F i2 ( (A) )), para cualquier conjunto no vacío A, tienen un ĺımite. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 10 / 37
11 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Iniciamos con el segmento de (0, 0) a (1, 0): Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 11 / 37
12 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Iniciamos con el segmento de (0, 0) a (1, 0): Aplicamos las funciones F 1 y F 2 : Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 11 / 37
13 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Una nueva iteración de F 1 y F 2 : Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 12 / 37
14 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Una nueva iteración de F 1 y F 2 : Después de tres iteraciones: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 12 / 37
15 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Cuatro: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 13 / 37
16 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Cuatro: Cinco: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 13 / 37
17 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Seis: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 14 / 37
18 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Seis: Ocho: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 14 / 37
19 Fractales autosimilares Ejemplo: curva de Koch Teorema de Hausdorff Después de 16 iteraciones, tenemos una muy buena aproximación a nuestro fractal verdadero: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 15 / 37
20 Fractales autosimilares Otros fractales autosimilares Teorema de Hausdorff Pentakun Copo de nieve Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 16 / 37
21 Fractales autosimilares Otros fractales autosimilares Teorema de Hausdorff Árbol de Hata Masayoshi Hata, Univ. Kyoto Tetrahedro de Sierpinski (en el espacio tridimensional) Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 17 / 37
22 Fractales no lineales Llega Mandelbrot La observación de Mandelbrot Hasta los 60 s, los fractales solo eran conjuntos patológicos abstractos Servían como contraejemplos en cálculo Benoît Mandelbrot ( ) Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 18 / 37
23 Fractales no lineales Llega Mandelbrot La observación de Mandelbrot Hasta los 60 s, los fractales solo eran conjuntos patológicos abstractos Servían como contraejemplos en cálculo Mandelbrot: Cuál es la longitud de la costa británica?, Science, 1967 Benoît Mandelbrot ( ) Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 18 / 37
24 Fractales no lineales La observación de Mandelbrot Llega Mandelbrot Mandelbrot observó que la longitud de la costa británica depende de la unidad con la que se mide. Tomando unidades de 200km, 100km, 50km, obtenemos 2400km, 2800km y 3450km, respectivamente. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 19 / 37
25 Fractales no lineales Llega Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 20 / 37
26 Fractales no lineales Llega Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave La curva que mejor la aproxima debe tener una infinidad de picos Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 20 / 37
27 Fractales no lineales Llega Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave La curva que mejor la aproxima debe tener una infinidad de picos Los picos se repiten en todas las escalas (autosimilaridad) Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 20 / 37
28 Fractales no lineales Llega Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave La curva que mejor la aproxima debe tener una infinidad de picos Los picos se repiten en todas las escalas (autosimilaridad) Mandelbrot acuñó el término fractal para describir tal comportamiento Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 20 / 37
29 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la forma a + bi, a, b R donde i 2 = 1. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 21 / 37
30 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la forma a + bi, a, b R donde i 2 = 1. Podemos sumarlos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 21 / 37
31 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la forma a + bi, a, b R donde i 2 = 1. Podemos sumarlos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (Sí, igual que los vectores.) Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 21 / 37
32 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la forma a + bi, a, b R donde i 2 = 1. Podemos sumarlos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (Sí, igual que los vectores.) También podemos multiplicarlos: (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 21 / 37
33 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Multiplicación compleja La multiplicación compleja requiere explicación: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + bdi 2 + (ad + bc)i = (ac bd) + (ad + bc)i, donde hemos usado el hecho i 2 = 1. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 22 / 37
34 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Multiplicación compleja La multiplicación compleja requiere explicación: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + bdi 2 + (ad + bc)i = (ac bd) + (ad + bc)i, donde hemos usado el hecho i 2 = 1. El número i es equivalente a la raíz cuadrada de 1! Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 22 / 37
35 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
36 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
37 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = 3 i, Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
38 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = 3 i, zw = Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
39 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = 3 i, zw = 4 3i. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
40 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = 3 i, zw = 4 3i. z = 1 i, w = 1 + i, z + w = Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
41 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = 3 i, zw = 4 3i. z = 1 i, w = 1 + i, z + w = 2, Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
42 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = 3 i, zw = 4 3i. z = 1 i, w = 1 + i, z + w = 2, zw = Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
43 Ejemplos Fractales no lineales Los conjuntos de Julia z = 2 + 3i, w = 1 i, z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 2i, w = 2 + i, z + w = 3 i, zw = 4 3i. z = 1 i, w = 1 + i, z + w = 2, zw = 2. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 23 / 37
44 El plano complejo Fractales no lineales Los conjuntos de Julia A los números complejos los acomodamos en un plano: La distancia del origen al punto z = a + bi es su valor absoluto: z = a 2 + b 2. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 24 / 37
45 Fractales no lineales El proceso z n+1 = z 2 n + c Los conjuntos de Julia Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos, z n+1 = z 2 n + c, con valor inicial z 0 y c C. Pregunta: Cómo se comporta la sucesión z n cuando n crece? Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 25 / 37
46 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia El proceso z n+1 = z 2 n + c Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos, z n+1 = z 2 n + c, con valor inicial z 0 y c C. Pregunta: Cómo se comporta la sucesión z n cuando n crece? Ejemplo: c = 0, z 0 = 2: z 1 = 4, z 2 = 16, z 3 = 256, z 4 = 65536,... Vemos que z n (crece indefinidamente). Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 25 / 37
47 Fractales no lineales El proceso z n+1 = z 2 n + c Los conjuntos de Julia c = 0, z 0 = 1/2: Vemos que z n 0. z 1 = 1 4, z 2 = 1 16, z 3 = 1 256, z 4 = ,... Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 26 / 37
48 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia El proceso z n+1 = z 2 n + c c = 0, z 0 = 1/2: z 1 = 1 4, z 2 = 1 16, z 3 = 1 256, z 4 = ,... Vemos que z n 0. c = 0, z 0 = 1: z 1 = 1, z 2 = 1, z 3 = 1,... En este caso z n = 1 para todo n. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 26 / 37
49 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia El proceso z n+1 = z 2 n + c c = 0, z 0 = 1/2: z 1 = 1 4, z 2 = 1 16, z 3 = 1 256, z 4 = ,... Vemos que z n 0. c = 0, z 0 = 1: z 1 = 1, z 2 = 1, z 3 = 1,... En este caso z n = 1 para todo n. c = 0, z 0 = 1/2 + i/3: z i, z i, z i,... En este caso también z n 0. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 26 / 37
50 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia El proceso z n+1 = z 2 n + c Observamos que, si c = 0, el proceso z n+1 = zn 2 satisface: z n 0 si z 0 < 1; z n = 1 si z 0 = 1; y z n si z 0 > 1. z n se mantiene acotado si z 0 1, Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 27 / 37
51 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia El proceso z n+1 = z 2 n + c Observamos que, si c = 0, el proceso z n+1 = zn 2 satisface: z n 0 si z 0 < 1; z n = 1 si z 0 = 1; y z n si z 0 > 1. z n se mantiene acotado si z 0 1, o sea, en el conjunto Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 27 / 37
52 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, ) Para otros c, el conjunto de z 0 donde z n se mantiene acotado es mucho más interesante: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 28 / 37
53 Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, ) Para otros c, el conjunto de z 0 donde z n se mantiene acotado es mucho más interesante: c = c = i Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 28 / 37
54 Conjuntos de Julia Fractales no lineales Los conjuntos de Julia La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 29 / 37
55 Conjuntos de Julia Fractales no lineales Los conjuntos de Julia La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia. c = i c = i Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 29 / 37
56 Conjuntos de Julia Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintas escalas: Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 30 / 37
57 Conjuntos de Julia Fractales no lineales Los conjuntos de Julia Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintas escalas: Julia no los vio! No había computadoras en ese entonces (1918). Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 30 / 37
58 Fractales no lineales Conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 31 / 37
59 Fractales no lineales El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c. En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo, y para otros es disconexo. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 31 / 37
60 Fractales no lineales El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c. En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo, y para otros es disconexo. Al conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Julia es conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremos por M. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 31 / 37
61 Fractales no lineales El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c. En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo, y para otros es disconexo. Al conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Julia es conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremos por M. Teorema (Julia - Pierre Joseph Louis Fatou ( )) M es igual al conjunto de c tales que, si z 0 = 0, la sucesión z n es acotada. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 31 / 37
62 Fractales no lineales El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot tambie n es un fractal: Ricardo A. Sa enz (Universidad de Colima) Las matema ticas de los fractales Taller de Ciencia para Jo venes 32 / 37
63 Resumen Este curso Resumen En este curso nos enfocaremos al estudio de los fractales autosimilares. Veremos el problema de cómo medirlos (curvas de longitud infinita, figuras de área cero) y la aparición de la dimensión fraccionaria. Al final, discutiremos cómo construir fractales autosimilares con una computadora. Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 33 / 37
64 Este curso Contenido Día dos La curva de Koch: longitud infinita El conjunto de Cantor: longitud cero El triángulo de Sierpinski: área cero Por qué ocurre lo anterior? Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 34 / 37
65 Este curso Contenido Día tres La medida de Hausdorff Propiedades La dimensión de Hausdorff Algunos ejemplos Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 35 / 37
66 Este curso Contenido Día cuatro Pregunta: Cómo calculamos la dimensión de Hausdorff? Teorema de Hutchinson Ejemplos Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 36 / 37
67 Este curso Contenido Día cinco Introducción a Mathematica Implementación de recursividad Dibujaremos algunos de los fractales autosimilares estudiados aquí Ricardo A. Sáenz (Universidad de Colima) Las matemáticas de los fractales Taller de Ciencia para Jóvenes 37 / 37
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