Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso 4ºESO - Hoja 21 - Todos resueltos

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Gabriel Arroyo Moya
hace 6 años
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1 página 1/11 Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso 4ºESO - Hoja 1 - Todos resueltos Hoja 1. Problema 1 1. Mensualmente los socios de una peña quinielística juegan 50. Si hubiera siete socios más, aportarían 14 menos. Cuántos socios hay en la peña y cuál es la cuota mensual que paga cada socio? La incógnita x es el número de socios e y la cantidad de dinero que juega cada uno. Planteo un sistema: { x y=50 ( x+7) ( y 14)=50 Para resolver este problema despejaré x en la ecuación segunda y luego sustituiré el resultado en la ecuación primera. Es decir, usaré el método de sustitución: ( x+7) ( y 14)=50 xy+7 y 14 x 98=50 x ( y 14 )=618 7y y y 14 = x Llevo este valor a la primera ecuación: y y 14 y= y 7 y =50 y y +98 y+780=0 y= 98± 98 4 ( 7) 780 ( 7) { y=40 y= 6 Escojo la solución positiva, ya que no pueden pagar una cuota negativa. Y despejo en la primera ecuación de partida: x

2 página /11 x= x=13 Es decir: x=13 socios, y=40 de cuota por cada socio.

3 página 3/11 Hoja 1. Problema. Calcula el valor de m en la ecuación x +m x (m +1)=0 sabiendo que sus raíces se diferencian en 3 unidades. x +m x (m +1)=0 a=1, b=m, c= (m +1) x= m± m +4(m +1) x 1 = m+ 5 m +4 x= m± 5m +4, x = m 5 m +4 x 1 x =3 x= b± b 4 a c a Sustituimos. m+ 5m +4 5 m =5 m=±1 m 5m +4 =3 5m +4 =3 5m +4=3 5m +4=9 Si m=1 x 1 =1, x = Si m= 1 x 1 =, x = 1

4 página 4/11 Hoja 1. Problema 3 3. a) Resuelve 4 x 6 x =16384 b) Resuelve 7 x x+1 +1=0 a) 4 x 6 x = x 6x =4 7 Igualo exponentes x 6 x=7 x 6 x 7=0 Soluciones x= 1, x=7 b) 7 x x+1 +1= x 56 7 x +1=0 cambio de variable 7 x =t 343 t 56 t+1=0 t= 56± = 56± t= 1 7, t= 1 49 Deshacemos el cambio de variable. 7 x =t 7 x = 1 7 7x =7 1 x= 1 7 x =t 7 x = x =7 x=

5 página 5/11 Hoja 1. Problema 4 { 4. Resuelve x x +x 7 } 4 x x >1 Resolvemos cada inecuación por separado, y luego haremos la intersección de las soluciones individuales. x x + x 7 4 x x x + x x 0 4 x =( x)(+ x)= ( x )(x+) x x x+ 7 (x )(x+) 0 Unificamos en una sola fracción. (x+) x(x ) 7 0 (x )(x+) x+4 x + x 7 0 ( x )( x+) x +4 x 3 (x )(x+) 0 Raíces del numerador x +4 x 3=0 x=1, x=3 Raíces del denominador (x +)( x )=0 x=, x= Evaluamos el signo de la fracción de la inecuación en los siguientes intervalos (ojo con la factorización del numerador x +4 x 3= ( x 1)( x 3) ). (, ) (,1) x= 10 x=0 ( x 1)( x 3) <0 Sí cumple la inecuación ( x )( x+) ( x 1)( x 3) >0 No cumple la inecuación ( x )( x+) (1,) x= 3 ( x 1)(x 3) <0 Sí cumple la inecuación ( x )( x+) (,3) x= 5 ( x 1)(x 3) >0 No cumple la inecuación ( x )( x+)

6 página 6/11 (3,+ ) x=10 ( x 1)(x+3) <0 Sí cumple la inecuación ( x )(x+) La solución particular de la primera inecuación es (, ) U [1, ) U [3, ). Estudiamos la segunda inecuación. x >1 x 1>0 Raíces x=±1 Evaluamos en los siguientes intervalos: (, 1) x= 10 x 1>0 Sí cumple la inecuación ( 1,1) x=0 x 1<0 No cumple la inecuación (1,+ ) x=10 x 1>0 Sí cumple la inecuación La solución particular de la segunda inecuación es (, 1) (1,+ ). La solución final del sistema es la intersección de las dos soluciones particulares. Es decir: (, ) (1,) U [3,+ )

7 página 7/11 Hoja 1. Problema 5 5. Calcula el valor de m en la ecuación x +m x (m +1)=0 sabiendo que sus raíces se diferencian en 3 unidades. Ver ejercicio de esta hoja.

8 página 8/11 Hoja 1. Problema 6 6. Resuelve x 6 x + 6 x x =5 Aplicamos mínimo común múltiplo. x 6 x + 6 x x =5 4 x+36+x 1 x (6 x) x 10 x+7 4 x=60 x 10 x 0 x +7=84 x = 5 5 x+36 1 x = 5 1 x x Elevamos ambos términos al cuadrado. 400 x x=7056 x 400 x 4176 x+5184=0 Simplifico dividiendo por. 00 x 088 x+59=0 x= 088± x= 088± x=9, x= 36 5 Ninguna de estas soluciones hace negativo el discriminante de las raíces de partida, y satisfacen la ecuación. Ambos valores son la solución.

9 página 9/11 Hoja 1. Problema 7 7. Representa gráficamente y= x 3 + x 1. Rompemos el primer valor absoluto. x 3=0 x= 3 Si x< 3 x 3<0 Cambiar signo del argumento del valor absoluto Si x > 3 x 3>0 y={ x+3+ x 1 si x 3 x 3+ x 1 si x> 3 } Rompemos el segundo valor absoluto. x 1=0 x=1 Si x <1 x 1< 0 Cambiar signo del argumento del valor absoluto Si x >1 x 1> 0 x+3 x+1 si x 1 x+3+x 1 si 1< x y={ 3 x 3+ x 1 si x 3 } y={ 3 x+4 si x 1 x+ si 1<x 3 3 x 4 si x 3 } En cada tramo tenemos una recta, que podemos representar obteniendo un par de puntos en cada tramo. Con ayuda de Geogebra la gráfica quedaría:

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11 página 11/11 Hoja 1. Problema 8 8. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones. Debes obtener la representación gráfica de la solución y los puntos de corte de las rectas que delimitan la zona solución. { 5 x+ y 5 } 3 x y 4 x y>0

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