MACROECONOMETRÍA. Tema 3: Contrastes y especificación de modelos. Segundo Cuatrimestre (curso 2006/07), Depto. de Economía, UC3M

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1 MACROECONOMETRÍA Tema 3: Contrastes y especificación de modelos Segundo Cuatrimestre (curso 2006/07), Depto. de Economía, UC3M Profesor: Genaro Sucarrat (Coordinador: Juan J. Dolado)

2 Introducción: Recordamos: y t = β 0 + β 1 x 1t + + β K x }{{ Kt } Explicación económica + e }{{} t Error de la explicación Nota: los x 1t,..., x Kt pueden ser retardos de y t o variables explicativas/exógenas o ambos Qué caracteriza una buena explicación empírica? precisión empírica (R 2, ˆσ, criterios de información) que el error sea ruido blanco (o por lo menos aproximadamente ruido blanco) que los parámetros β 0,..., β K sean estables

3 Estimación e inferencia: Consideramos la regresión lineal y t = β 0 + β 1 x 1t + + β k x kt + + β K x Kt + ɛ t = β x t + ɛ t con las hipótesis siguientes: i) E(y t x t, x t 1, ɛ t 1,...) = β x t ii) E(ɛ t x t, x t 1, ɛ t 1,...) = 0 iii) E(ɛ t x kt x t, x t 1, ɛ t 1,...) = 0 para todo k en cada t iv) E(ɛ 2 t x t, x t 1, ɛ t 1,...) = σ 2 para todo t v) E(ɛ t ɛ t j x t, x t 1, ɛ t 1,...) = 0 para todo j t

4 Estimación e inferencia (cont.): i) en palabras: que la media condicional de y t es igual a la explicación económica ii) en palabras: que el error condicional de la explicación económica es igual a cero iii) en palabras: que las variables explicativas no aumentan el error de la explicación iv) en palabras: una hipótesis de homocedasticidad v) en palabras: una hipótesis de no autocorrelación

5 Estimación e inferencia (cont.): Si las hipótesis i) v) se cumplen, entonces el estimador de mínimos cuadrados ordinario (MCO) es consistente y Además: ˆβ = (X X) 1 X y ˆσ 2 ( ˆβ k ) = σ 2 (X X) 1 = Var( ˆβ k X) ˆβ k ˆσ( ˆβ t(t K 1) k ) Cuando (T K 1), entonces aproximadamente como N(0, 1) ˆβ k ˆσ( ˆβ k ) se distribuye

6 Consideramos el modelo Estimación e inferencia (cont.): y t = β 0 + β 1 x 1t + β 2 x 2t + β 3 x 3t + β 4 x 4t + ɛ t (1) donde las hipótesis i) v) se cumplen y donde ɛ t N(0, σ 2 ) Muchas veces queremos contrastar más de una hipótesis β k = c a la vez, por ejemplo si β 0 = 0,β 1 = β 2 y β 3 = 2β 4 conjuntamente Más precisamente: H 0 : β 0 = 0, β 1 = β 2, β 3 = 2β 4 H 1 : β 0 0, β 1 β 2, β 3 2β 4

7 Estimación e inferencia (cont.): Una regresión no-restringida y una restringida y t = ˆβ A 0 + ˆβ A 1 x 1t + ˆβ A 2 x 2t + ˆβ A 3 x 3t + ˆβ A 4 x 4t + ˆɛ A t y t = ˆβ B 1 (x 1t + x 2t ) + ˆβ B 3 (x 3t + 2x 4t ) + ˆɛ B t se pueden utilizar para contrastar mas de una hipótesis a la vez Si denotamos la suma de cuadrados residuales de regresiones A y B por SCR A y SCR B, respectivamente, entonces (SCR B SCR A )/g SCR A F (g, T K 1) /(T K 1) donde g es el numero de restricciones lineales independientes

8 En el caso general: Estimación e inferencia (cont.): H 0 : g restricciones lineales independientes se cumplen H 1 : las restricciones no se cumplen SCR R es la suma de cuadrados residuales bajo H 0, y SCR bajo H 1 T es el número de observaciones y K + 1 es el número de parámetros en la regresión no-restringida (H 1 ): (SCR R SCR)/g F (g, T K 1) SCR/(T K 1)

9 Estimación e inferencia (cont.): A veces los residuos no son Gaussianos Si las hipótesis i) v) se cumplen entonces tenemos que, en muestras grandes, (SCR R SCR)/g SCR/(T K 1) se distribuye aproximadamente como una χ 2 (g)

10 Estimación e inferencia (cont.): A veces no conseguimos especificar β x t tal que {ɛ t } sea homocedástico Cuáles son las consecuencias de la heterocedasticidad? Que la precisión del modelo no es constante Que σ 2 (X X) 1 no es una estimación consistente de Var( ˆβ X) Dicho de otra manera, utilizar σ 2 (X X) 1 cuando hay heterocedasticidad puede llevar a conclusiones erróneas sobre los β k Sin embargo, todavía tenemos que (X X) 1 X y es una estimación consistente de β

11 Estimación e inferencia (cont.): White (1980) desarolló un estimador consistente de Var( ˆβ X) cuando {ɛ t } es heterocedástica de una manera desconocida Newey y West (1987) propusieron un estimador más general que es consistente cuando hay, a la vez, heterocedasticidad y autocorrelación de forma desconocida Los estimadores de White (1980) y de Newey y West (1987) permiten calcular estimaciones consistentes de Var( ˆβ X), y hacer contrastes sobre los ˆβ

12 Estimación e inferencia (cont.): Notación: los estimadores de White y Newey-West substituyen el estimador ordinario σ 2 (X X) 1 con, respectivamente, σt,w 2 en el caso de White, y la matriz σt,nw 2 en el caso de Newey-West Nota: si {ɛ t } es homocedastico, entonces σ 2 t,w = σ2 (X X) 1 En EViews existe la opción de estimar modelos con el estimador de White o el de Newey-West en lugar del estimador ordinario: después de especificar el modelo, hacer click en Options, luego en Heteroskedasticity consistent coefficient covariance, y finalmente elegir el estimador deseado En los resultados de EViews, hay una nota que nos indica qué estimador ha sido utilizado

13 Estimación e inferencia (cont.): Si {ɛ t } es heterocedástico entonces la prueba F de g restricciones no es válida En este caso podemos utilizar la prueba de Wald Si las hipótesis i) iii) y v) se cumplen entonces tenemos que, en muestras grandes, el estadístico de Wald (denotado W ) se distribuye aproximadamente como una χ 2 (g) donde g es el número de restricciones Recuerda, iv) es la hipótesis de homocedasticidad y en muestras grandes si iv) se cumple la prueba F es aproximadamente igual a la prueba de Wald Nota: La prueba de Wald tambien se puede utilizar cuando las restricciones son no-lineales, por ejemplo de tipo β 2 β 3 = 0

14 Estimación e inferencia (cont.): A veces no conseguimos especificar β x t tal que {ɛ t } sea no autocorrelada. Es decir, que v) no se cumple Cuales son las fuentes de autocorrelación? faltan retardos de y t en x t faltan otras variables explicativas en x t uno o varios de los parametros β k no son constantes durante la muestra (por ejemplo por razones de cambios estructurales, eventos especiales, etc.) observaciones extremos ( outliers )

15 Estimación e inferencia (cont.): Cuáles son las consecuencias de autocorrelación? Si la fuente de la autocorrelación es que los parámetros no son constantes, y si la falta de constancia es grave, significa que el modelo sirve a basicamente nada Qué hacemos si no conseguimos especificar β x t tal que {ɛ t } sea (aproximadamente) no autocorrelado? A veces añadir terminos MA quita la autocorrelación Nota: esto probablemente afectara las estimaciones de ˆβ y, idealmente, para que esto sea una solución adecuada los parámetros asociados a los terminos MA deberían ser estables (cuesta mucho trabajo a comprobar!)

16 Pruebas comunes de estabilidad: pruebas de Chow, estimación recursiva Diagnóstico: El objetivo principal de diagnosticar un modelo es comprobar que {ɛ t } es ruido blanco, y que los parámetros son estables Si los {ɛ t } deben ser Gaussianos, entonces hay que comprobarlo tambien Pruebas comunes de autocorrelación: prueba de la Q (Box-Pierce, Ljung-Box), prueba LM de Breusch y Godfrey Pruebas comunes de heterocedasticidad: prueba de la Q (Box-Pierce, Ljung-Box), prueba ARCH de Engle, pruebas de White Prueba común de normalidad (residuos Gaussianos): prueba de Jarque-Bera

17 Diagnóstico (cont.): Prueba de la Q de autocorrelación: H 0 : ρ j = 0 para j = 1,..., q H 1 : al menos un ρ j 0 Box-Pierce : Q = T q ˆρ 2 j χ 2 (q) j=1 Ljung-Box : Q = T (T + 2) q j=1 ˆρ 2 j T q χ2 (q) Nota: La prueba de Ljung-Box es una modificación de Box-Pierce y funciona mejor en muestras pequeñas

18 Diagnóstico (cont.): La prueba LM de Breusch-Godfrey consiste en estimar una regresión auxiliar con MCO y en hacer un contraste sobre los parametros de esta regresión Supongamos que ya hemos estimado el modelo y t = ˆβ x t + ˆɛ t La regresión auxiliar para un contraste de autocorrelación de orden q o menor en los residuos tiene la forma ˆɛ t = ˆα x t + q ˆγ jˆɛ t j + û t j=1 con estadístico LM = T R 2 nc y, en muestras grandes (formalmente cuando T ), LM χ 2 (p), donde R 2 nc es R 2 no-centrado

19 Diagnóstico (cont.): Denota τ j = Corr(ɛ 2 t, ɛ 2 t j ). Prueba de la Q de heterocedasticidad autoregresiva ( ARCH ): H 0 : τ j = 0 para j = 1,..., q H 1 : al menos un τ j 0 Nota: homocedasticidad H 0 Box-Pierce : Q = T q j=1 ˆτ 2 j χ 2 (q) Ljung-Box : Q = T (T + 2) q j=1 ˆτ 2 j T q χ2 (q)

20 Diagnóstico (cont.): Prueba LM de Engle de heterocedasticidad autoregresiva: H 0 : τ j = 0 para j = 1,..., q H 1 : al menos un τ j 0 Supongamos que ya hemos estimado el modelo y t = ˆβ x t + ˆɛ t La regresión auxiliar para un contraste de ARCH de orden q o menor en los residuos tiene la forma ˆɛ t = ˆα 0 + ˆα 1ˆɛ 2 t ˆα qˆɛ 2 t q + û t Asintóticamente T R 2 nc χ(q) 2, donde R 2 nc es R 2 no-centrado

21 Diagnóstico (cont.): Prueba de Jarque y Bera: una prueba de normalidad de {ɛ t } La prueba de Jarque y Bera comprueba dos cosas: si E[(ɛ t /σ) 3 ] = 0 (simetría) y si E[(ɛ t /σ) 4 ] = 3 (kurtosis) Medida de simetria: S = 1 T T t=1 ) 3 (ˆɛt ˆσ Entonces Medida de kurtosis: C = 1 T JB = T C 6 (S 2 + T t=1 ) 4 (ˆɛt ˆσ ) (C 3)2 χ 2 (2) 4

22 Diagnóstico (cont.): Prueba de Chow número 1 ( Chow s breakpoint test ): una prueba de si β es constante El objectivo es contrastar si β A = β B, y la prueba tiene 3 pasos: 1. Estimar y t = β x t + ɛ t, t = 1,..., T 2. Estimar y t = β A x t + ɛ A,t, t = 1,..., T A 3. Estimar y t = β B x t + ɛ B,t, t = T A + 1,..., T Si ɛ t, ɛ A,t y ɛ B,t son ruidos blancos Gaussianos, entonces (SCR SCR A SCR B ) (SCR A + SCR B ) (T 2K 2) K + 1 F (K + 1, T 2K 2)

23 Diagnóstico (cont.): Prueba de Chow número 2 ( Chow s forecast test ): una prueba de si β es constante Ventaja comparado con prueba número 1: permite que muestra B sea pequeña, incluso < K + 1 La prueba tiene 2 pasos: 1. Estimar y t = β x t + ɛ t, t = 1,..., T 2. Estimar y t = β A x t + ɛ At, t = 1,..., T A Idea: contrastar si β = β B Si ɛ t, ɛ At y ɛ Bt son ruido blanco Gaussiano, entonces (SCR SCR A ) SCR A (T A K 1) T B F (T B, T A K 1)

24 Diagnóstico (cont.): Estimación recursiva nos permite estudiar la estabilidad de β en una manera directa En resumen, estimación recursiva consiste en estimar β utilizando N = T n,..., T observaciones Nota: en EViews T n = K + 1

25 Modelización: Como desarollamos un buen modelo empirico? En Macroeconometría se puede distinguir entre 3 estrategias principales para el desarollo de modelos empiricos: 1. Modelización de lo general a lo especifico ( GETS ) 2. Modelización de lo simple a lo general ( STOG ) 3. Microfundamentos Nota: las estrategias se pueden combinar

26 Modelización GETS: En resumen el método GETS tiene 3 pasos: 1. Especificar un modelo general y no-restringido ( GUM ) congruente 2. Simplificar/restringir el GUM, por ejemplo quitando variables uno a uno, cada vez comprobando que el modelo resultante queda congruente 3. Comprobar que las simplificaciones del modelo final conjuntamente constituyen restricciones validas (comparado con el GUM)

27 Ventajas del método GETS: Modelización GETS (cont.): las hipótesis son anidados en el GUM derivando el modelo específico consiste en contrastar las hipótesis contenidos en el GUM estimación e inferencia en modelos anidados resulta en contrastes mas correctas y (posiblemente) en inferencia mas poderosa Desventajas: especificando un GUM no-lineal puede ser dificil por razones númericas idealmente la simplificación debería consistir en busqueda por multiples caminos, pero por razones prácticas el investigador normalmente hace solamente una busqueda de un (o algunos) camino(s)

28 Modelización GETS (cont.): Un modelo econometrico no puede contener la verdad, toda la verdad, y nada que la verdad Dicho de otro manera, suponiendo que un modelo es el modelo verdadero no da sentido Esto es la motivación por una definición de verdad econometrica : congruencia Intuitivamente un modelo es congruente si el modelo podría haber producido las observaciones empiricas siempre existe mas que un modelo congruente, y entonces necesitamos criterios para elegir entre ellos. Esto es la motivación por la idea de encompassing

29 Modelización GETS (cont.): Más precisamente un modelo lineal o no-lineal y t = f (β, x t ) + ɛ t se dice congruente si el modelo satisface las condiciones siguientes: 1. La distribución de {ɛ t } es constante (no depende de t) 2. Los parámetros β son constantes 3. Exogenidad debil 4. El modelo tiene una justificación económica 5. El modelo es consistente con los datos Si el modelo tambien explica los resultados obtenido anteriormente por otros modelos, entonces se dice que el modelo es congruent encompassing, o que el modelo encompasses los modelos anteriores

30 Modelización GETS (cont.): Una implementación sencilla del método GETS con busqueda por un camino en un contexto uniecuacional: 1. Especificar un GUM con ruido blanco y con parámetros estables según pruebas de Chow 2. Contrastar restricciones, uno a uno, cada vez comprobando que el error queda ruido blanco 3. Contrastar que las restricciones validas conjuntamente, para comprobar que las restricciones conjuntamente son validas con respecto al GUM ( parsimonious encompassing ) 4. Comprobar que los parametros son estables utilizando pruebas Chow y estimación recursiva

31 Nota: a veces el método STOG puede ser util para especificar el GUM Modelización STOG En resumen el método de lo simple a lo general ( STOG ) consiste en empezar con un modelo simple y aumentarlo paso a paso Ventajas: menos problemas númericos en la estimación de modelos nolineales en muestras pequeñas, posiblemente inferencia mas robusta comparado con el método GETS Desventajas: incorrecta estimación e inferencia inferencia menos poderosa

32 Microfundamentos: Una definición: se dice que un modelo macro tiene microfundamentos si el modelo macro se puede derivar del modelo micro Ventaja: permite un análisis entre niveles Desventajas: pluralidad de microfundamentos, un macromodelo siempre se puede derivar de mas de un modelo micro, y entonces microfundamentos constituyen una restricción al modelo macro posibilidad de inferencia incorrecta entre niveles mayoría de modelos micro no son muy realisticos

33 Referencias: Newey, W. and K. West (1987). A Simple Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix. Econometrica 55, White, H. (1980). A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a Direct Test for Heteroskedasticity. Econometrica 48,