Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Probabilidad y Estadística Unidad 1 Estadística Descriptiva y Análisis de Datos Documentos de trabajo Enlaces 19 y 20

2 Introducción Documentos de trabajo Enlaces 19

3 Naturaleza de la Estadística W. Wilcox (1935) estudió más de un centenar de definiciones dadas de la Estadística. En casi todas se alude a: unos datos u observaciones, un razonamiento acerca de ellos, y a unas conclusiones, fruto del razonamiento, que se traducen en predicciones a las que puede acompañar una regla o decisión a tomar. 3

4 Estadística: definición La Estadística es la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones prácticas que entrañan incertidumbre. Barnett, (1973) 4

5 Capacidad vs. Pensamiento Estadístico Capacidad estadística Uso de herramientas Orientada al consumidor de la Estadística Lectura y comprensión de la información estadística El pensamiento estadístico ofrece instrumentos mentales simples pero no intuitivos para: Desbaratar la masa de datos Ordenar el desorden Distinguir lo disparatado Separar los pocos patrones relevantes de los muchos irrelevantes 5

6 Enfoques del análisis Estadístico Análisis Clásico Parte de supuestos e hipótesis de los que depende la confirmación de sus resultados Estadística Descriptiva Estadística Inferencial Análisis Exploratorio de Datos Principios fundamentales, John Tukey (1977) 6

7 Estadística Descriptiva Clásica 7 Provee el método para: Clasificar, ordenar, resumir y presentar los datos. Utiliza números, tablas y gráficos (UT1-p4). Calcula estadísticos basados, principalmente, en la distancia y con datos centrados en la media. Ejemplos Se observa que la anestesia PERIBULBAR se empleó en el 13,8% del total de casos. Si el paciente es MUJER, dicho porcentaje es del 14,7%; si el paciente es HOMBRE es del 12,5%. El 85% de los trabajadores realizan sus tareas A GUSTO, el 13% NO OPINAN y el 2% lo hacen A DISGUSTO.

8 Estadística Inferencial Métodos para estimar o tomar decisiones respecto de una característica de la población, basados en la información de una muestra. Población Es el conjunto de todos los posibles individuos, elementos u objetos de interés para el estudio. Muestra Es un subconjunto o una parte de la población, que la representa. 8

9 Términos usuales Población Ilustración Muestra Unidad de Análisis Variables X Y... 9

10 Análisis Exploratorio de Datos Componentes (1) Principios fundamentales, John Tukey (1977) Además de los objetivos de la estadística descriptiva: Se inspira en una filosofía de carácter práctica Los datos son los que guían la selección de modelos matemáticos. El analista intenta develar el patrón y la estructura que subyace en los datos. Se minimiza la asunción de postulados previamente definidos y altamente restrictivos. 10

11 Análisis Exploratorio de Datos Actitud frente al problema a investigar Antes de cualquier análisis de datos, es necesario un examen visual de los mismos. Es preciso mirarlos, entenderlos y reflexionar sobre ellos. Herramientas exploratorias Importancia de las representaciones visuales y gráficas. Apoyo informático Componentes (2) Sin apoyo informático es imposible explorar. 11

12 Variables Tipos Numéricas o cuantitativas Discretas y continuas Escala de intervalo Escala de razón No numéricas o cualitativas Escala nominal Escala ordinal 12

13 Variables Tipos: UT1- INTRODUCCIÓN p Documentos de trabajo Enlace 19

14 Aplicaciones con Statgraphics Exploración de Datos

15 Exploración de Datos Patrón de comportamiento (UT1-p20) Descripción de un conjunto de datos (UT1-p26) Base Datos: Alumnos Perfil del Grupo Documentos de trabajo Enlace 20

16 Selección de Variables Sexo Deporte Ojos Pelo Estatura Calzado - Sexo Calzado - Estatura 16 Tratamiento de datos agrupados Ver documento UT1-p15

17 Sexo Sexo Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa (proporción) Frecuencia Relativa (porcentaje) Hombres 18 0,30 30% Mujeres 42 0,70 70% Totales 60 1,00 100% Piechart for Sexo M 70,00% 30,00% H Sexo H M 17 Ver documento UT1-p23

18 Deporte Deporte Hombres Mujeres Totales 1. De vez en cuando 2 (3,3%) 13 (21,7%) 15 (25,0%) 2. Una vez/semana 9 (15,0%) 23 (38,3%) 32 (53,3%) 3. Dos o más/semana 7 (11,7%) 6 (10,0%) 13 (21,7%) Totales 18 (30%) 42 (70%) 60 (100%) 21,67% Piechart for Deporte 25,00% Deporte percentage Barchart for Deporte by Sexo Sexo H M 53,33% Deporte 18 Ver documento UT1-p24; 60

19 Ojos y Pelo Pelo Claro Pelo Oscuro Totales Ojos Claros 17 (28,3%) 06 (10,0%) 23 (38,3%) Ojos Oscuros 08 (13,4%) 29 (48,3%) 37 (61,7%) Totales 25 (41,7%) 35 (58,3%) 60 (100%) Barchart for Ojos by Pelo percentage Pelo PC PO 0 OC Ojos OO 19 Ver documento UT1-p24

20 Calzado Histogram for Calzado 40 percentage Calzado Density Trace for Calzado 0,15 0,12 density 0,09 0,06 0, Calzado 20 Ver documento UT1-p25; 61

21 Calzado - Sexo Density Traces density 0,24 0,2 0,16 0,12 0,08 0, Variables Sexo=H Sexo=M Ref. Rojo: Mujer Azul: Hombre Box-and-Whisker Plot Hombres Sexo=H Mujeres Sexo=M Calzado

22 Box-and-Whisker Plot Estatura (en centímetros) percentage ,05 0, Estatura Histogram for Estatura Estatura Density Trace for Estatura Medidas descriptivas Datos = 60 Mínimo = 155 Máximo = 191 Promedio = 168,5 Mediana = 166,5 Varianza = 70,7 Desviación estándar = 8,4 Coef. Variación = 5,0% Cuartil Inferior = 162 Cuartil Superior = 174,5 density 0,03 0,02 0, Estatura Ver documento UT1-p25; 59

23 Calzado Estatura - Sexo 46 Plot of Calzado vs Estatura Calzado Estatura Ref. Rojo: Hombre Azul: Mujer 23

24 Exploración de Datos Base Datos IZ

25 Selección de Variables Sexo Rango Edad SPHpre SPH1d SPH1m SPH2m 25

26 Sexo Sexo Frecuencia Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Absoluta (proporción) (porcentaje) Hombres 26 0,413 41,3% Mujeres 37 0,587 58,7% Totales 63 1, ,0% Piechart for SEXO SEXO F M H 41,27% 58,73% M 26

27 Rango de Edad Rango Cant. Porcent. Porcent. Edad (%) Acum. (%) ,7 1, ,0 6, ,3 25, ,3 48, ,7 65, ,7 86, ,7 98, ,7 100,0 Barchart for RangoEDAD percentage

28 Box-and-Whisker Plot Edad Medidas descriptivas percentage ,05 0, EDAD Histogram for EDAD EDAD Density Trace for EDAD Datos = 60 Promedio = 60,5 Mediana = 60,5 Moda = 54,0 Varianza = 59,2373 Desviación estándar = 7,7 Mínimo = 43 Máximo = 78 Rango = 35 Cuartil Inferior = 54,5 Cuartil Superior = 66,0 Coef. Variación = 12,7% density 0,03 0,02 0, EDAD

29 44 Edad Hombres SEXO=H vs. percentage Sexo SEXO=M Density Mujeres Traces density 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 Variables SEXO=H SEXO=M Ref. Azul: Hombre Rojo: Mujer Box-and-Whisker Plot Hombres SEXO=H Mujeres SEXO=M EDAD

30 Box-and-Whisker Plot SPHpre SPHPre Histogram for SPHPre 50 percentage SPHPre Density Trace for SPHPre 0,15 0,12 density 0,09 0, , SPHPre

31 Box-and-Whisker Plot SPH1d SPH1d Histogram for SPH1d 80 percentage ,3-2,3-1,3-0,3 0,7 1,7 2,7 SPH1d Density Trace for SPH1d 0,5 0,4 density 0,3 0,2 31 0, SPH1d

32 Box-and-Whisker Plot SPH1m -0,8-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 SPH1m Histogram for SPH1m 50 percentage ,8-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 SPH1m Density Trace for SPH1m 1 0,8 density 0,6 0,4 32 0,2 0-0,8-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 SPH1m

33 Box-and-Whisker Plot SPH2m -0,8-0,4 0 0,4 0,8 SPH2m Histogram for SPH2m 50 percentage ,9-0,6-0,3 0 0,3 0,6 0,9 SPH2m Density Trace for SPH2m 1 0,8 density 0,6 0,4 33 0,2 0-0,8-0,4 0 0,4 0,8 SPH2m

34 SPH Múltiple Means and 95,0 Percent LSD Intervals 1,7 1,3 response 0,9 0,5 0,1-0,3 SPHpre SPH1d SPH1m SPH2m sample Box-and-Whisker Plot SPHpre sample SPH1d SPH1m SPH2m response

35 Scatterplot by Sample response 3,5 2,5 1,5 0,5 SPH Múltiple pre-1d-1m-2m -0,5 SPHpre SPH1d SPH1m SPH2m sample response 2,2 1,7 1,2 0,7 0,2 Means and 95,0 Percent LSD Intervals Para Rango Edad: ,3-0,8 SPHpre SPH1d SPH1m SPH2m sample Box-and-Whisker Plot SPHpre sample SPH1d SPH1m SPH2m 35-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 response

36 SPH1d Múltiple Por Rango Edad 2,6 2,1 Means and 95,0 Percent LSD Intervals SPH1d 1,6 1,1 0,6 0,1-0, RangoEDAD Box-and-Whisker Plot RangoEDAD SPH1d

37 Medidas Descriptivas Medidas de Tendencia Central Medidas de Variabilidad Medidas de Posición Medidas de Forma

38 Medidas Descriptivas Tendencia central (UT1-p27) Media Mediana Moda Posición Cuartiles Percentiles Puntuación Z Variabilidad o de Dispersión (UT1-p35) Rango Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación Forma Simetría Apuntamiento 38

39 Caso 1 Interpretación física de la Media Sistema de masas de datos Calificación en la escala del uno al diez 39

40 Caso 2 Interpretación de la media Calificación en la escala del uno al diez 40

41 Caso 3 Interpretación de la media Calificación en la escala del uno al diez 41

42 Interpretación física de la media X: Calificación en la escala del uno al diez x 3 x 2 x Ecuaciones de equilibrio estático 1) F X = 0 2) F Y = 0 E = 3 3) M 0 = 0 (1).x 1 + (1).x 2 + (1).x 3 (3). X = 0 (1).(x 1 +x 2 +x 3 ) = (3). X X E = 3 Media: Posición de la Equilibrante del sistema de masas de datos (punto de equilibrio del sistema de masas de datos) x En caso más general será: (x 1 +x 2 +x x N ) = N. X X N i1 N x i

43 Promedio o Media Aritmética Media aritmética de una población de tamaño N Calificación en la escala del uno al diez X X N i1 12 i N x x i i

44 Media: Interpretación y propiedades Punto de equilibrio del sistema de masas datos Representante del conjunto de datos Valor comprendido entre el mínimo y máximo No siempre coincide con un valor observado Es única 44

45 Variabilidad Dispersión Rango = x máx x mín R = R = R = R = R = 10 45

46 Rango Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo observado Es la más simple de las medidas de dispersión Sólo para datos numéricos No nos cuenta sobre la distribución de los datos dentro del mismo Es único 46

47 Medición de la dispersión Cuánto se alejan los datos del punto de equilibrio? Calificación en la escala del uno al diez 47

48 Medición de la dispersión La desviación respecto de la media como medida de dispersión ( x ) i X Calificación en la escala del uno al diez 48

49 Inconvenientes de la desviación La suma de las desviaciones respecto de la media es siempre igual a cero N i1 ( x ) 0 i X Calificación en la escala del uno al diez

50 Varianza y Desviación Estándar 2 i1 X N ( x ) i N X 2 Varianza Poblacional: Promedio de las desviaciones cuadráticas respecto de la media 50 X N i1 ( x ) i N X 2 Desviación Estándar Poblacional: Surge de la necesidad de volver a la unidad de medida de la variable en estudio

51 Para pensar Cuál es la estatura promedio de las personas presentes? Cuál es la desviación estándar de la estatura de las personas presentes? Comparemos: Estatura de los adultos Estatura de adolescentes (13 a 17 años) Cuál tiene mayor desviación estándar? Comparemos media y desviación estándar: Estatura de los adultos Estatura de las modelos de Pancho Dotto

52 Valores numéricos de X X 0, X 4,32 52 Calificación en la escala del uno al diez

53 Tabla: valores de # Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6 Grupo Media = DE Pob= 0 0,4082 0,5774 0,7071 0,8165 0,

54 Gráficos: valores de

55 Caso 4 Los datos, en promedio, cuánto se alejan a un lado y al otro de la media?

56 Caso 5 Los datos, en promedio y aproximadamente, cuánto se alejan a un lado y al otro de la media?

57 Interpretación de Sistema real Sistema equivalente En ambos sistemas: X X 7 2,5 2,5 2,5 En promedio, las calificaciones se alejan de la media, 2,5 puntos

58 Resumen de fórmulas (Población) Población de tamaño N Media Poblacional X N i1 N x i Desviación Estándar Poblacional X N i1 ( x ) i N X 2 58

59 Resumen de fórmulas (Muestra) Muestra de tamaño n Media Muestral X n i1 n x i Desviación Estándar Muestral S X n i1 ( x X ) i n

60 Coeficiente de Variación UT1-p37 Medida de dispersión relativa Permite efectuar comparaciones entre variables medidas en la misma unidad o en unidades de medida diferentes Expresa la dispersión como proporción o porcentaje respecto de la media del conjunto de los datos Fórmula de cálculo: X Poblacional CV X 60 Muestral CV S X X

61 Capacidad estadística vs. Pensamiento estadístico Análisis de la Variabilidad

62 Caso 1: Tiempos Variable en estudio: Tiempo requerido para realizar una tarea Se desea comparar el tiempo empleado por un grupo de personas para realizar una tarea X, con el tiempo empleado por otro grupo de personas para realizar una tarea Y. Desviación estándar (X): X = 0,04 min Desviación estándar (Y): Y = 2880 min (dos días) Qué tiempos están más dispersos, los de la tarea X o los de la tarea Y? 62

63 Caso 2: Derrames Variable en estudio: Derrame Medio Anual (hm³) Se desea comparar el volumen de agua que anualmente aportan dos ríos, denominados genéricamente X e Y. Desviación estándar (Río X): X = 546 hm³ Desviación estándar (Río Y): Y = hm³ Cuáles son los derrames que están más dispersos, los del Río X o los del Río Y? 63

64 Caso 3: Estaturas y Pesos Variables en estudio: Estatura (X) y Peso (Y) Se desea comparar las estaturas con los pesos de un grupo de personas, en términos de variabilidad. Desviación estándar estaturas: X = 8,6 cm Desviación estándar pesos: Y = 13,7 kg Qué datos están más dispersos, las estaturas o los pesos de las personas del grupo? 64

65 Caso 4: Tiempos Variable en estudio: Tiempo requerido para realizar una tarea Se desea comparar el tiempo empleado por los hombres (H) con el tiempo empleado por las mujeres (M) para realizar la misma tarea. Desviación estándar (hombres): H = 4,69 min Desviación estándar (mujeres): M = 1,70 min Qué tiempos están más dispersos, los de los hombres o los de las mujeres? 65

66 Otras medidas de tendencia central Mediana (Me) y Moda (Mo) (UT1-p31)

67 Mediana Definición: Es un valor de la variable que ocupa la posición central en un conjunto ordenado de datos. Determinación de la mediana: Si el número de observaciones es impar, es el valor observado que ocupa la posición central de los datos, una vez que éstos han sido ordenados de manera creciente. Si el número de observaciones es par, se calcula como el promedio aritmético de las dos observaciones centrales, una vez que éstos han sido ordenados de manera creciente. 67

68 Determinación de la Mediana (1) 68 Cuando el número de datos es IMPAR Orden 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º Observación Mediana x xn 1 2 Orden de la mediana: 5º Valor que ocupa la posición central Me = 400 Media = 1000 Moda = 200

69 Determinación de la Mediana (2) 69 Cuando el número de datos es PAR Orden Observación 1º 200 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º x x Orden de la mediana: Entre el 4º y 5º Mediana = Promedio de los valores centrales Me = ( )/2 = 425 Media = 1100 n n x

70 Propiedades de la Mediana La mediana de un conjunto de datos es única NO es sensible a la presencia de datos apartados o valores extremos En un conjunto de datos, la mitad de ellos son iguales o menores que la mediana y la otra mitad son iguales o mayores que la mediana 70

71 Moda Definición: Es el valor de las observaciones que aparece con mayor frecuencia Propiedades de la Moda: Se puede determinar tanto para datos numéricos como para datos no numéricos No se ve afectada por datos apartados o valores extremos La moda puede o no existir; cuando existe, puede no ser única 71

72 Dificultades de la Moda Conjunto pequeño de datos Media = 5,42 Moda = 10 Mediana = 5,5 Desviación estándar = 3, Calificación en la escala del uno al diez 72

73 Clases Modales (datos agrupados) 40 Histogram for Calzado percentage Número de calzado Calzado Histogram for ANTIG percentage ANTIG Antigüedad en la empresa 73

74 Medidas de Posición Cuartiles y Percentiles (UT1-p42) Valor Z (UT1-p40) Gráfico de caja (UT1-p52)

75 Interpretación de los cuartiles Se forman cuatro grupos con igual cantidad de datos La cuarta parte de los datos asume valores iguales o inferiores a 2,2 Q 1 = 2,2 La mitad de los datos (dos cuartos) asume valores iguales o inferiores a 3,6 Q 2 = Me = 3,6 Q 3 = 7,8 Tres cuartas partes de los datos asume valores iguales o inferiores a 7,8 Rango Intercuartil: RI = Q x mín = 1,1 3 Q 1 x máx = 9, Escala graduada de la variable en estudio 9 10

76 Interpretación de los percentiles Se forman cien grupos con igual cantidad de datos El 25% de los datos son iguales o inferiores a 2,2 El 50% de los datos (la mitad) son iguales o inferiores a 3,6 El 75% de los datos son iguales o inferiores a 7,8 P 50 = Me = 3,6 P 75 = 7,8 P 25 = 2,2 x mín = 1,1 x máx = 9, Escala graduada de la variable en estudio 9 10

77 Para pensar... El cuartil inferior, puede resultar igual a la mediana? 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º El percentil 20, puede resultar mayor que el cuartil superior? 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Sofía Puertas

78 Valor Z 78 Ver UT1-p40 Describe la posición de un valor individual de la variable en estudio, respecto de la media del grupo al cual pertenece. Indica a qué distancia de la media del grupo se encuentra, sea por encima (signo positivo) o por debajo de la misma (signo negativo), medida en unidades de desviación estándar. Fórmula de cálculo: x z x z x x z S Valor z (población) Valor z (muestra)

79 Interpretación del Valor Z 79 Un valor Z negativo indica que la observación está por debajo de la media Un valor Z positivo indica que la observación está por encima de la media Un valor Z igual a cero qué indica? z z x x S x

80 Transformación X Y L M A G x y = x+1 y = (x Media) L L M A G M Y = 0 Y = X A X = 2 Y = X +1 Y = X G

81 Transformación X W L M A G x w = (x / constante) constante = 2 L M A X = 2 X = 2,16 G W = X / constante = 1 W = X / constante = 1,08

82 Transformación X Z y = (x Media) L M A G x L M A G z y = = (x y (x / constante Media) Media) / sigma constante = sigma L MAG L M A G X 2 Y = 0 Y = X = 2,16 X =2, Y Z = = 00 Y / sigma = 0 Y Z = = X 1 Y / sigma = 1

83 Ilustración Ver uso de EXCEL

84 Gráfico de Caja Datos apartados: atípico y anómalos Ver documento UT1-p52

85 Construcción del Gráfico de Caja REF1 = Q 1 3 RI REF2 = Q 1 1,5 RI REF3 = Q 3 + 1,5 RI REF4 = Q RI x mín Q 1 + Q 3 x máx REF1 REF2 anómalos atípicos Q 2 =Me REF3 REF4 atípicos anómalos Variable Numérica Datos No Apartados Datos apartados Datos apartados 85

86 Construcción del Gráfico de Caja Primer dato no apartado por debajo de la REF 3 REF1 = Q 1 3 RI REF2 = Q 1 1,5 RI REF3 = Q 3 + 1,5 RI REF4 = Q RI REF1 REF2 anómalos atípicos x mín Q 1 Q 2 =Me Q 3 x máx + + REF3 REF4 atípicos anómalos Variable Numérica Datos No Apartados Datos apartados Datos apartados 86

87 Datos apartados en la distribución normal Probabilidad de que un dato resulte anómalo = 0, Probabilidad de que un dato resulte atípico = 0,007 Datos apartados Datos apartados 87

88 Ejemplos G6 G2 G3 G7 G4 G5 G G2 G3 Box-and-Whisker Plot sample G4 G5 G6 G7 G response

89 SPH Múltiple Means and 95,0 Percent LSD Intervals 1,7 1,3 response 0,9 0,5 0,1-0,3 SPHpre SPH1d SPH1m SPH2m sample Box-and-Whisker Plot SPHpre sample SPH1d SPH1m SPH2m response

90 Antigüedad Base Datos Empresa Box-and-Whisker Plot ANTIG Histogram for ANTIG percentage ANTIG