ACTIVIDADES PARA UN TALLER DE GEOMETRÍA 3D

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1 ACTIVIDADES PARA UN TALLER DE GEOMETRÍA 3D José Campos, Mercedes Astiz, Perla Medina Universidad Nacional de Mar del Plata Argentina Modalidad: Taller Nivel educativo: Terciario - Universitario Tema: Pensamiento geométrico Uso de tecnología Palabras claves: Geometría, Análisis Matemático, visualización, herramientas informáticas Resumen En el presente trabajo se expone una parte de una Secuencia de Actividades (SA) que se diseñó para el desarrollo de un taller de geometría. La misma configuró el principal instrumento desarrollado para una experiencia, que tuvo como objetivo analizar en qué medida herramientas computacionales utilizadas para el trazado de curvas y/o la representación tridimensional, favorecen el proceso de conceptualización y sistematización del conocimiento geométrico. Fue implementada con alumnos universitarios de la asignatura Cálculo II de las carreras de Profesorado y Licenciatura en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Mar del Plata. Estuvo motivada en las dificultades detectadas a lo largo del tiempo en el aprendizaje de la mencionada asignatura que pertenece al segundo cuatrimestre del primer año del plan de estudios de ambas carreras. Introducción Una de las grandes dificultades que presentan los temas de Análisis Matemático y su relación con los de Geometría reside en la gran capacidad de abstracción que se necesita para acercarse a ellos. En particular, mayores son los problemas cuando se trata de funciones de dos variables, su interpretación y representación gráfica en el espacio. Diversas investigaciones han puesto de manifiesto estas dificultades (Hershkowitz et al., 1987; Hershkowitz, 1989; Parzysz, 1991; Gutiérrez et al., 1996). En este sentido, la Informática provee de herramientas para allanar este camino, con programas sencillos es posible graficar funciones de R 2, moverlas, rotarlas, observarlas desde distintos puntos de vista y así analizar sus comportamientos en la dirección de cualquier vector. Sin duda, un buen paso por las funciones en R 2 y sus representaciones en el espacio facilita el proceso de abstracción para el estudio de las funciones R n. Desarrollar el pensamiento visual y favorecer las habilidades de visualización son dos objetivos claves en la educación geométrica. Zimmermann y Cunningham (1991) señalan que en matemáticas, la visualización no es un fin en sí mismo sino un medio hacia un fin, la cual determina la comprensión. Es el proceso de formar figuras (mentalmente, con la ayuda de lápiz o papel, o tecnología) y usarlas eficazmente para el 231

2 descubrimiento y la comprensión de los conceptos. Explorar, seleccionar, simplificar, abstraer, analizar, comparar, completar, resolver, combinar y reflexionar sobre información visual son acciones necesarias en el pensamiento visual (Hershkowitz, 1989). El pensamiento visual, si se explota convenientemente, puede revolucionar la forma de hacer Geometría y de enseñarla, afirma Marjorie Senechal citada por Alsina y otros (1997) y agregan que la exploración espacial mediante el uso de computadoras es un claro ejemplo de cómo se ha revolucionado la aproximación docente a las estructuras tridimensionales y cómo se han abierto nuevas fronteras de investigación sobre el efecto en el aprendizaje. En este marco se planteó un plan de trabajo para una beca de Alumno Avanzado denominado Las herramientas computacionales y su aporte en el proceso de conceptualización y sistematización del conocimiento geométrico. Consistió en el diseño e implementación de una intervención didáctica, para trabajar con alumnos del segundo cuatrimestre de primer año de las carreras de matemática de la FCEyN de la UNMdP, a fin de analizar en qué medida herramientas computacionales utilizadas para el trazado de curvas y/o la representación tridimensional, favorecen el proceso conceptualización y sistematización del conocimiento geométrico (Campos, 2010). Como la duración de la beca fue de un año, se seleccionó el tema parametrización de superficies de revolución que involucra no sólo trabajar con distintos tipos de coordenadas (rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas), sino también el concepto de curva (funciones vectoriales), sus propiedades, parametrización y reparametrización. Éstos, abarcan varias unidades temáticas y conceptuales de la asignatura Cálculo II que se profundizan luego en Geometría Diferencial. Se realizaron entrevistas a docentes de Cálculo II y Geometría Diferencial con el objeto de relevar las mayores dificultades observadas en los alumnos en la conceptualización del tema. Se elaboró una Secuencia de Actividades (SA) y para evaluar los resultados se utilizaron registros de observación en aula, cuestionarios, entrevistas, resolución de problemas y el rendimiento en los exámenes parciales. El asistente matemático seleccionado fue wxmaxima, pues de los software libre es el que más se adecuaba a los requerimientos de las actividades que se diseñaron. Se trabajó con dos grupos (control y experimental) que desarrollaron la SA, al mismo tiempo, en 6 (seis) sesiones de una duración de 120 minutos cada una, con una frecuencia de 1 (una) sesión semanal. El grupo control continuó con los docentes de la asignatura con la práctica convencional, mientras que el experimental desarrolló los encuentros, con dinámica de aula taller, en el laboratorio de computación. Los temas 232

3 tratados fueron: Secciones Cónicas. Geometría en el Espacio R 3. Coordenadas esféricas, polares y cilíndricas. Superficies. Parametrización de superficies. Funciones vectoriales. Superficies de Revolución. Funciones de dos variables: estudio y gráfico. Curvas de nivel. Límites dobles. Derivadas direccionales, plano tangente y vector gradiente. Diferenciabilidad. Integrales múltiples. Descripción de regiones del plano y del espacio. Cálculo de integrales y volumen de un sólido. Cálculo vectorial. Integrales de funciones vectoriales y escalares sobre curvas y superficies. En cuanto al diseño, se presentan recuadros con definiciones, gráficos, fórmulas, conceptos y propiedades importantes, breves introducciones teóricas como ayuda para la resolución, como también, referencias sobre las funciones a utilizar con el asistente matemático. En esta presentación se describen solo 2 (dos) de las actividades del taller, la tercera y la quinta, a modo de ejemplo, debido a los límites de extensión. A3: Visualización geométrica e intuitiva de distintos objetos y ecuaciones elementales de la geometría. (Vectores, rectas, planos y sus distintas representaciones analíticas) Geometría del espacio Así como los puntos P en el plano se representan mediante pares ordenados de números reales ( a, b) ; los puntos en el espacio se representan, de manera análoga, mediante ternas ordenadas de números reales. Para construir dicha representación seleccionamos tres rectas perpendiculares entre sí que se crucen en un punto en el espacio. Al igual que en el plano, estas rectas se llaman: eje x, eje y y eje z, y el punto en el que se cruzan se llama origen (nuestro punto de referencia). Seleccionamos una escala sobre estos ejes. Es común referirse al conjunto de ejes como sistema de coordenadas, y se trazan como se muestra en la figura. Podemos asignar a cada punto P en el espacio un terna (ordenada) única de números reales ( a, b, c) ; y, recíprocamente, a cada terna podemos asignar un punto único en el espacio, tal como lo hicimos para los puntos en el plano. Al origen del sistema de coordenada le corresponde la terna ( 0, 0, 0), y las flechas en los ejes indican las direcciones positivas. Así, por ejemplo, la terna ( 2, 4, 4) representa a un punto a 2 unidades del origen en dirección positiva a lo largo del eje x, a 4 unidades en dirección positiva a lo largo del eje y, y a 4 unidades en dirección positiva a lo largo del eje z. Si la terna ( a, b, c) corresponde a P, decimos que a es la coordenada x (o primera coordenada), b es la coordenada y (o segunda coordenada), y c es la coordenada z (o tercera coordenada) de P. Teniendo en mente este método para representar puntos, vemos que el eje x está formado por los puntos de la forma ( a, 0, 0), donde a es cualquier número real; el eje y está formado por los puntos de la forma ( 0, b, 0) ; y el eje z está formado por los puntos de la forma ( 0, 0, c). Geométricamente, un vector se define como un segmento de recta dirigido que comienza en el origen, esto es, un segmento de recta con magnitud y dirección especificadas, con punto inicial en el origen. Usando esta definición de vector, podemos asociar con cada vector v el x, y, z en el espacio, donde termina v, y recíprocamente, a punto ( ) cada punto ( x y,, en el espacio podemos asociar un vector v. Así, 233

4 identificaremos v con ( x, y, y escribiremos v ( x, y, =. Por esta razón, los elementos de R3 no sólo son ternas ordenadas de números reales, sino que también los podemos identificar con vectores. La terna (, 0, 0) 0 se denota por 0. Los vectores canónicos de longitud 1 (Vectores canónicos unitarios) son: i = ( 1, 0, 0) ; j = ( 0, 1, 0) y k = ( 0, 0, 1) Por ejemplo, el vector que termina en (, 3, 2) j + 4 k. La figura muestra a i + 3 j + 2 k 2 es 2 i + 3 j + 2 k, y el vector que termina en ( 0, 1, 4) es 2. Se llama planos coordenados, a los planos generados por las direcciones de dos de los tres ejes cartesianos. De esta manera obtenemos tres planos coordenados: xy, yz y xz, como se ve en la figura. Actividad Nº 3: Como sabemos un punto cualquiera del espacio puede representarse por la terna ( x, y,. A partir de esto responde: 1) Cómo se representan los puntos pertenecientes a los planos coordenados? a) Cómo se representan los puntos del plano que cumple la ecuación z = 1? Y los que 1 corresponden a aquellos cuya tercera coordenada es? 2 b) Cuáles son los puntos que pertenecen al plano x = 2? Y los puntos del plano paralelo al anterior, cuya primera coordenada es -1? c) Cuáles son los puntos del plano paralelo al xz cuya segunda coordenada es 3? d) Cuáles son aquellos vectores que tiene magnitud 2 del origen y que pertenecen al plano que es perpendicular al plano que contiene a todos los vectores cuya tercera componente es cero? En cada uno de los casos, ubícalos gráficamente (sin utilizar el software). 2) Encuentra la ecuación paramétrica de la recta l(t) cuya gráfica es la siguiente. Describe los puntos de dicha recta. 3) a) Qué describe la siguiente expresión? α. u + β. v, 0 α 1 y 0 β 1 b) Qué sucede si α R y β R? 4) a) Indica qué representan las siguientes ecuaciones e interprételas geométricamente. i. L ( t) t. v + p ii. Γ ( λ, μ) = λ v + w + p = μ b) Qué ocurre si los parámetros sólo pueden tomar valores en el intervalo [ 0, 1]? Analiza gráficamente. Extraiga conclusiones. c) Si v = ( v1, v2, v3 ), w = ( w1, w2, w3 ) y p = ( p1, p2, p3 ), describe simbólicamente los puntos que satisfacen las ecuaciones i. y ii.? 5) Explica con tus palabras lo que entiende por cada uno de los siguientes conceptos: Superficie Superficie Sólido Área de una Volumen de Área de una de figura un sólido superficie revolución A5: Cambios de coordenadas y graficación en wxmaxima. La confección de estos gráficos es parte de los prácticos de la asignatura (tradicional). Se induce el concepto de 234

5 parametrización de superficies. Gráficos. Coordenadas: Cilíndricas y Esféricas. Parametrización de superficies: Sentencias en Máxima: load(draw); draw3d(spherical( ρ ( θ, φ ),θ,a,b,φ,c,d)); draw3d(cylindrical( r( θ, z ),z,a,b,θ,c,d)); En Cálculo I hemos tenido ocasión de comprobar que ciertas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas cartesianas. Lo mismo ocurre con las superficies. Coordenadas Cilíndricas: En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P del espacio se representa por una terna ( r, 1. (, θ ), θ. r son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy. r. 2. z es la distancia dirigida de P a (, θ ) Para hacer el pasaje de un sistema a otro se deducen las siguientes fórmulas de conversión: Cilíndricas a rectangulares: Rectangulares a cilíndricas: x = r.cos( θ ) r = x + y y = r. sen( θ ) tg( θ ) = y z = z x z = z Coordenadas esféricas: En el sistema de coordenadas esféricas cada punto se representa por una terna: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ángulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se puede utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. Ecuador Así, la figura muestra el punto de la superficie terrestre cuya latitud es 40º Norte (del Ecuador) y cuya longitud es 80º Oeste (del meridiano cero). Supuesta la Tierra esférica de radio 4000 millas, ese punto vendrá descripto como: ( 4000, 80º, 50º ) 80º O Radio 80º del meridiano cero en el sentido de las agujas del reloj 50º del Polo Norte hac abajo 235

6 En un sistema de coordenadas esféricas un punto P del espacio viene,. representado por una terna ( ρ θ, φ) 1. ρ es la distancia de P al origen, ρ θ es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r φ es el ángulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 φ π. Para hacer el pasaje de un sistema a otro se deducen las siguientes fórmulas de conversión: Esféricas a cartesianas: Cartesianas a esféricas: ρ = x + y + z x = ρ. sen( φ).cos( θ ) y y = ρ. sen( φ). sen( θ ) tg( θ ) = x z = ρ.cos( φ) z cos( φ) = x + y + z Actividad Nº 5: 1) Realiza con wxmaxima los gráficos de las superficies de los ejercicios 39 y 40 de la guía de trabajos prácticos Nº 1. 2) Grafica los sólidos descriptos en el ejercicio 42 de la guía de trabajos prácticos Nº 1. 3) Describe en las coordenadas cilíndricas o esféricas los siguientes gráficos de sólidos: 4) a) El niño de la figura estaba jugando con un amigo a un parecido a la batalla naval. El juego consistía en pasarle al compañero las coordenadas de los puntos en el que podía estar parado sobre la región de la figura. Lamentablemente, no sabe como describir dichos puntos, lo ayudarías? Pista: La figura es el disco de centro (0, 0, 0) y radio 1. b) Qué diferencia hay si ahora el disco sigue teniendo centro (0, 0, 0) pero radio 2? c) Qué características tienen los puntos del borde del disco? Cómo se describen dichos puntos? Responde para ambos casos. d) Compara los puntos del borde de dicha región y los puntos interiores, qué diferencia encuentras? 5) Una vez resuelto el problema 4, al mismo niño le propusieron jugar al mismo juego pero esta vez en la esfera de centro en el origen de coordenadas y radio 1. Lo ayudarías nuevamente a describir los puntos de dicha región? Responde todas las cuestiones planteadas en el problema

7 Sentencias en Máxima: Definición: Sean x, y, z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Se llama superficie paramétrica al conjunto de puntos ( x y,, dados por ( u, v) = ( x( u, v), y( u, v), z( u, v) ) Γ Superficie paramétrica. Las ecuaciones x x( u, v), y = y( u, v) y z = z( u, v) = se llaman ecuaciones paramétricas de la superficie. load(draw)$ draw3d(parametric_surface(x(u,v),y(u,v),z(u,v),u,a,b,v,c,d))$ 6) Halla la parametrización de las siguientes superficies. Realiza el gráfico de cada una de ellas: a) La superficie de ecuación x + y + z = 1, x 0, y 0, z 0. b) Esfera de radio 4. c) Cilindro de radio 2 y altura 5. d) Cono circular recto. 2 2 e) Paraboloide z = 2 + x + y Consideraciones Finales Tanto los expertos que juzgaron las actividades, como los alumnos que las desarrollaron y el docente que tuvo a su cargo la experiencia opinaron a través de entrevistas y cuestionarios en cuanto al diseño de presentación, los contenidos tratados, las actividades propuestas, los tiempos asignados y el asistente matemático seleccionado. Todos lo hicieron favorablemente sobre la SA, como también de lo logrado a través de ella en cuanto a motivación, visualización y clarificación de conceptos. Con respecto a los alumnos se observaron resultados favorables en relación a la interpretación de los conceptos teóricos y la vinculación de estos con otras áreas de la disciplina. En lo que a los docentes responsables de la asignatura, que se desempeñaron como expertos, han manifestado la intensión de incluir el taller como parte de la materia, pues según han expresado el Taller de Geometría 3D, ha allanado el camino para superar las dificultades que las mismas representan para los alumnos y abierto notablemente el panorama de aquellos que tuvieron la suerte de realizarlo. Los primeros resultados de de la implementación del taller con su Secuencia de Actividades han sido positivos, seguramente en futuras réplicas se podrá ir ajustando y así ir logrando experiencias con evidencias favorables como ésta para dar pasos firmes hacia un cambio en las metodologías enseñanza acordes con las necesidades del alumno de hoy. Referencias Bibliográficas 237

8 Alsina Catalá, C.; Fortuni Aymemí, J.; Pérez Gómez, R. (1997). Por qué Geometría?. Madrid. Editorial Síntesis. Alsina Catalá, C.; Fortuni Aymemí, J.; Pérez Gómez, R. (1997). "Geometría Analítica". Madrid. Editorial Síntesis. Campos, J., Medina, P., Astiz, M. (2010). Un plan de investigación para evaluar el aporte de las herramientas computacionales en la conceptualización del conocimiento geométrico en alumnos universitarios, en Ascheri, M., Pizarro, R., Ferreyra, N. (Com. y Eds.), III REPEM-Memorias, La Pampa, EdUNLPam, vol III, pp Gutiérrez, A., Jaime, A. (1996). Uso de definiciones e imágenes de conceptos geométricos por los estudiantes de Magisterio, en Giménez, J. Llinares, S. y Sánchez, V. (eds.), El proceso de llegar a ser un profesor de primaria. Cuestiones desde la educación matemática, Granada, Comares, pp Hernández Sampieri, Roberto, Fernández Collado, Carlos y Baptista Lucio, Pilar (1993), Metodología de la Investigación. México: McGraw-Hill. Hershkowitz, R. (1989), Psychological aspects of learning geometry En Nesher, P. & Kilpatrick, J. (eds.) Mathematics and Cognition: a research synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Cambridge University Press, pp Hershkowitz, R. (1989). Visualizations in geometry. Two sides of the coin, Focus on Learning Problems in Mathematics, 11 (1), pp Hershkowitz, R., Bruckeirmer, M., Vinner, S. (1987). Activities with teachers base don cognitive research, en M. Lindquist y A. Shulte (eds.), Learning ande Teaching Geometry. K Yearbook, Reston, NCTM, pp León O. y Montero, I. (1997) Diseño de investigaciones. Madrid: McGraw-Hill Parzysz, B. (1991). Representation of Space and Students. Conceptions at High School Level, Educational Studies in Mathematics, 22, pp Zimmermann W. y Cunningham. (1990). What is Mathematical Visualization? In Visualization in Teaching And Mathematics. Pp Providence, RI: MAA Notes Series,