b) 270 a) 90 a) cos ( ) = 4

Transcripción

1 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 8. (º ESO) Relacina las raznes trignmétricas sen y csen de ls ánguls siguientes, cn las de un ángul del primer cuadrante: a) 90 b) 70 c) (º ESO) Si es un ángul del segund cuadrante y tg =, calcula: a) sen (80º ) b) tg(80º + ) c) cs( ) d) sec (90º ) e) csec(70º + ) f) ctg(60º ). 0. (º ESO) Calcula las raznes trignmétricas de si: a) cs ( ) =, r cuadrante. b) tg ( + ) =, º cuadrante.. Calcula el valr de las siguientes raznes trignmétricas sin utilizar la calculadra: a) sen 0 b) cs c) tg 0 d) csec e) sen 0 f) ctg 00 g) cs 0 h) cs 0 Reslución de triánguls rectánguls. (º ESO) Resuelve ls siguientes triánguls rectánguls, es decir, halla ls lads y ánguls que faltan: (en tds ells  90 ) a) b = m, Bˆ 0 b) a = 7 m, b = m c) a = 0 m, Bˆ 0 d) c = cm, sen C ˆ 0,. (º ESO) Calcula las 6 raznes trignmétricas de ls ánguls Â, Ĉ, ABD y CBD. Después halla ls ánguls cn la calculadra. cm B cm. (º ESO) En un triángul rectángul ABC, las pryeccines de ls catets sbre la hiptenusa miden 8 cm y, cm, respectivamente. Calcula las medidas de ls catets, de la altura sbre la hiptenusa y ls ánguls. A D 6 cm C Estrategia de la altura para reslver triánguls blicuánguls (n rectánguls). (º ESO) Una antena de radi está sujeta al suel pr ds cables de acer, cm indica la figura. Calcula: a) La altura de la antena B b) La lngitud de ls cables. c) El ángul AB ˆ C. Da ls valres exacts. A 60 6 m 0 C 6

2 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 6. (º ESO) Para encntrar la altura a la que se encuentra un glb, prcedems de la siguiente manera: Rsa se clca en un punt B, y y en A, a metrs de ella, de manera que ls punts A, B y C quedan alineads. Si ls ánguls y miden 0 y 0, respectivamente, a qué altura se encuentra el glb? A B C Ds imprtantes teremas para reslver triánguls cualesquiera. Terema de ls sens. Terema del csen. Tería: a b c * Demuestra el terema de ls sens y que esta razón cincide sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ cn el diámetr de la circunferencia circunscrita al triángul ABC. * Demuestra el terema del csen a b c bc cs Aˆ ; b a c ac cs Bˆ ; c a b abcscˆ 7. En un triángul ABC, cncems a = cm y B ˆ 0º. Halla  en ls siguientes cass: a) b =, cm b) b = cm c) b = cm d) b = cm 8. Calcula ls lads b y c del triángul de la derecha. 9. Resuelve ls siguientes triánguls: a) a = cm; b = 6 cm; c = 0 cm b) b = cm; c = 7 cm; Ĉ = 0 c) b = cm; c = cm;  = 0 d) a = m; Bˆ = ; Ĉ = 60 e) b = m;  = Ĉ = f) a = b = 0 cm; Ĉ = 0 g) a = cm;  = 7 ; Bˆ = h) a = 6 cm;  = 90 ; Ĉ = 0 0. Dad un triángul ABC, cncems AC 7 ; BC 8 y A ˆ 68º. Calcula AB.. Un barc B pide scrr y se reciben sus señales en ds estacines de radi, A y C, que distan entre sí 0 km. Desde las estacines se miden ls siguientes ánguls: B AC ˆ 6º y B CA ˆ º. A qué distancia de cada estación se encuentra el barc?. Halla el área del siguiente cuadriláter irregular: Observa que sl necesitams un de ls ánguls 7

3 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide Ayuda: Pártel en ds triánguls y utiliza la fórmula de Herón: a b c A triang s ( s a).( s b) ( s c) siend s, a, b y c sn ls lads.. Cálcul de la distancia entre ds punts inaccesibles. Calcula la distancia MN de la figura:. Resuelve ls siguientes triánguls rectánguls y calcula sus áreas: a) Â 90, b = cm, a = 0 cm b) Bˆ 90, Ĉ, b = 0 m c) Ĉ 90, b = 0 cm, a = 8 cm. Resuelve ls siguientes triánguls y calcula sus áreas: a) Â 80, Bˆ 0, a = 8 cm b) Â 80, a = 0 m, b = m c) a = 0 cm, b = cm, c = 0 cm d) Â 7, b = 8 m, c = m Fórmulas trignmétricas Tería: Demuestra las fórmulas trignmétricas siguientes: * Raznes trignmétricas del ángul suma. * Raznes trignmétricas del ángul diferencia. * Raznes trignmétricas del ángul dble. * Raznes trignmétricas del ángul mitad /. * Pasar sumas y diferencias de sens y csens a prducts. 6. a) A partir de las raznes trignmétricas de 0º y º, halla las raznes trignmétricas de 7º. b) A partir de las raznes trignmétricas de 0º y º, halla las raznes trignmétricas de º. c) A partir de las raznes trignmétricas de 0º y utilizand las fórmulas del ángul dble, halla las raznes trignmétricas de 60º. Observa que el resultad era el esperad al ser 0º y 60º ánguls cmplementaris. d) Halla nuevamente las raznes trignmétricas de º per ahra utilizand slamente cs0º. e) Transfrma en prduct y calcula: e) sen 7º senº e) sen 7º senº e) cs 7º csº e) cs 7º csº f) Cmprueba ls resultads de ls apartads anterires cn la calculadra. 7. Calcula el valr de las siguientes raznes trignmétricas sin utilizar la calculadra: a) sen 0 b) cs c) tg 7 d) ctg 0 8

4 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 8. Demuestra las siguientes igualdades utilizand las fórmulas de las raznes trignmétricas del ángul suma: a) cs sen b) sen cs 9. Sabiend que tg =, calcula las raznes trignmétricas del ángul en ls siguientes cass: a) Si es un ángul del primer cuadrante. b) Si es un ángul del tercer cuadrante. 0. Calcula csec a sabiend que csec a =, 90. a 80. a) Demuestra que sen = sen.cs sen. b) Calcula el sen sabiend que sen = (Utiliza la fórmula del apartad a)). Desarrlla las expresines de cs (en función del sen y cs ) y de tg (en función de la tg ).. Si es un ángul del segund cuadrante y sen = calcula el sen, el csen y la tangente del ángul.. Calcula el sen y el csen del ángul radianes sin calculadra. Cmprueba el resultad cn ella. 8. Si tg,, calcula sen y tg. 6. Sabiend que tg 8;, calcula: a) cs ( ) b) tg c) sen d) cs 7. Sabiend que sen,, cs,, calcula: 0 a) sen( + ) b) cs( ) c) tg ( ) d) cs. 8. Si sen,, y cs,, calcula el sen. 8 a 9. Si tg, calcula sen a y cs a. 0. Utilizand las fórmulas de transfrmación de sumas en prducts, calcula el valr exact de las expresines: a) sen0 + sen b) cs9 cs0 c) sen0 cs7. Transfrma las siguientes sumas en prducts: a) sen7 sen b) cs + cs8 c) cs0 cs0 9

5 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide Simplifica las siguientes expresines utilizand las fórmulas de transfrmación de sumas en prducts: csa csa sen8x senx sen a) b) c) sena sena csx sen sen cs ( a b) cs ( a b). a) Demuestra esta igualdad sen ( a b) sen ( a b) tga b) Cmprueba que la slución de las siguientes ecuacines es cualquier númer real (sn igualdades) sen x sen (x) cs x x b) b) tg x sen sen x tg x sen x sen (x) cs x c) Expresa en frma de prduct el numeradr y el denminadr de esta fracción y simplifica el resultad: sen (a) sen (a) cs (a) cs (a). (º ESO) Demuestra las siguientes identidades trignmétricas: a) ( sen cs) tg cs b) sen ct g ct g c) cs cs tg d) ct g sec ct g cs tg e) tg sen = tg sen tg f) sen cs sec tg sen cs g) tg sen cs h) sen cs = sen cs. Demuestra las siguientes identidades trignmétricas: sen cs ct g a) cs b) cs ec tg sen cs c) tg sen = tg sen sen d) tg cs ct g tg e) tg ct g f) sec sen ct g tg g) sen (sen + cs) + cs (sen + cs) = sen tg h) tg tg tg i) cs tg tg j) sen sen sen cs. sen = sen( + ) sen( ) k) sen cs sen cs 6. (º ESO) Simplifica las siguientes expresines: a) sec cssec tg b) sec tg d) (sen + cs ) + (sen cs ) e) sen + sen cs 7. Simplifica las siguientes expresines trignmétricas: tg a) tg cs sen b) tg c) tg tg (ctg + ctg ) d) cs sen 0 c) sen cs

6 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide cs sen e) sen (tg + ctg ) f) cs sen sen cs tg g) h) sen sen cs sen tg 8. * Demuestra que si 80º, se verifica: tg tg tg tg tg tg 9. Demuestra que en la siguiente figura (tres cuadrads unids) es 60. Si en este triángul isósceles sabems que valr de cs. cs, calcula, sin hallar el ángul, el Ecuacines trignmétricas 6. (º ESO) Resuelve las siguientes ecuacines trignmétricas: a) sen x = 0 b) cs x = c) tg x = d).sen x + = 0 e) cs x = f) sen ( x 60 ) 0 g) sen ( x ) h).cs x =.tg x i) cs x sen x + sen x = j).csx +.sen x = k) tg x sec x = l) sen x senx 0 ll) 7.cs x sen x = m) tg x.tg x = n) sen x + csec x = 6. Resuelve las siguientes ecuacines trignmétricas dand las slucines en radianes: x a) sen x = b) cs c) tg x = d) tg x 0 e) 6 sen x f) cs x 6. (º ESO) Resuelve las ecuacines trignmétricas, sabiend que 0º x 60º a) cs x cs x 0 b) cs sen x x c) sen x senx 0 d) cs x cs x e) senx tgx 0 f).cs x +.senx = 6. Resuelve las siguientes ecuacines: a) cs ( 0º ) / b) cs sen( ) c) sen ( 0º ) cs d) tg tg e) * cs ( / ) cs f) sen cs 6sen 0 g) cs ( ) cs h) tg ( ) cs 0 i) sen ( º ) sen cs90º j) sen ( ) sen 0 k) sen cs tg tg 0 6. Resuelve las siguientes ecuacines: a) sen x =.cs x b). sen x cs ecx 0

7 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide c) sen x sen x = 0 d).sen x + cs x =.cs x e) tg x sec x f) cs x 6.cs x g) tg x =.tg x h) tg x = ctg x i) sen 6x + sen x = 0 j) cs x + cs x = cs x 66. Resuelve ls siguientes sistemas: a) c) senx seny senx seny cs x cs y x y 90 b) d) sen x cs sen x cs y y sen x.cs y cs x cs y 0 Funcines trignmétricas Tería: a) Define las funcines trignmétricas fundamentales Cóm sn sus gráficas? b) Representa y a bsen( cx d) para distints de a, b, c y d, cn ayuda de rdenadr 67. (º ESO) A) Representa gráficamente las funcines trignmétricas: a) y = sen x b) y = cs x c) y = tg x B) Cn un asistente matemátic cm desms.cm, representa y a bsen( cx d) para distints de a, b, c y d, y cmprueba cm el parámetr "b" afecta a la amplitud de la función, "c" al perid y "d" al desfase. Cmentari: La amplitud es el recrrid de la función, el perid es cada cuant se repite la prción principal de la gráfica y el desfase el punt desde dnde inicia la gráfica de la prción que siempre se repite. C) Representa y cs( x) halland previamente el perid y la amplitud. Halla la imagen de x. Halla ls valres de "x"del interval 0, cuya imagen es. Cuánd la imagen es?. 68. A) Ascia a esta gráfica una de las siguientes expresines y di cuál es su perid: sen x x a) y b) y sen( x) c) y sen 0, crta al eje X cada una de las siguientes funcines?: B) y cs(x / ) B) y sen ( x ) B) y cs( x ) B) En qué punts del interval

8 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide Ascia a cada una de las siguientes funcines la gráfica que le crrespne: a) y sen x b) y cs(x) c) y cs x d) sen ( x) 70. (º ESO) El balancín de un relj se mueve periódicamente separándse cm del centr y vlviend a la psición riginal cada 0, sg. La ecuación que ns da la distancia al centr en cada segund, medida en cm, es s sen( t). a) Represéntala aprximadamente. b) Cuál es el perid y recrrid de la función? b) A qué distancia del centr estará el balancín a ls 0 sg? Y a ls, sg? c) Cuánd está a cm del centr pr primera vez desde que se pne en marcha t 0? 7. (º ESO) La altura (h), en metrs, que se encuentra una cesta de una nria cnfrme pasa el tiemp (t), en minuts, sigue la ley h( t) 9 8cs(8t). a) A qué altura estaba inicialmente la cesta? b) Cuánt dura una vuelta de la nria? c) Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué mment?. d) Cuál es la altura mínima alcanzada y en qué mment? e) Representa la función en el primer minut. f) Cuánd está pr primera vez a 0 m de altura? Prblemas de trignmetría 7. (º ESO) Calcula la altura, h, de ls siguientes triánguls: a) B b) B 8 cm h h 8 cm A 6 H C 7. (º ESO) Una escalera de m está apyada en una pared. Qué ángul frma la escalera cn el suel si su base está a, m de la pared? H A C 7. (º ESO) Un trnc de 6, m está apyad en una pared y frma cn el suel un ángul de. a) A qué altura de la pared se encuentra apyad? b) Calcula la distancia desde el extrem inferir del trnc hasta la pared.

9 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 7. (º ESO) En un triángul isósceles su lad desigual mide 8 m, y la altura sbre el lad desigual, 0 m. Qué miden sus ánguls? 76. (º ESO) Ds antenas de radi, de 00 m y 7 m, están sujetas al suel cm se indica en la figura B 00 m 60 A P C Q E Calcula la lngitud de cada un de ls trams de cable y la distancia AE. (Da ls resultads de frma exacta) 77. (º ESO) Un señal de peligr en una carretera ns advierte que la pendiente es del %. a) Qué ángul frma este tram de carretera cn la hrizntal? b) Cuánts metrs hems descendid después de recrrer 7 km pr esa carretera? 78. (º ESO) Un cche sube una pendiente de un 0% a Km/h, tardand un minut. Halla la lngitud y el ángul que frma este tram de carretera cn la hrizntal. Cuánts metrs hems ascendid? 0 7 m D (º ESO) Una escalera para acceder en un túnel tiene la frma y las dimensines de la figura. Calcula la prfundidad a la que está el punt B del A. A m 0 0 m 0 m 0 B 80. (º ESO) En una ruta de mntaña, una señal indica una altura de 78 metrs. Tres kilómetrs adelante, la altitud es de 6 m. Encuentra la pendiente media de la ruta y el ángul que frma cn la hrizntal. 8. (º ESO) Ls brazs de un cmpás, que miden cm, frman un ángul de 0. Cuál es el radi de la circunferencia que se puede trazar cn esta abertura?. 8. (º ESO) Maria está haciend vlar su cmeta. Ha sltad 6 m de hil y mide el ángul que frma la cuerda cn la hrizntal, 6. A qué altura se encuentra la cmeta sabiend que la man de Maria que sstiene la cuerda está a 8 cm del suel?

10 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 8. (º ESO) Halla el área de un pentágn regular de lad 6 cm. 8. (º ESO) Dada una circunferencia de radi 8 cm. a) Halla el área del plígn regular de 00 lads inscrit en la circunfencia. b) Halla el área del plígn regular de 00 lads circunscrit a la circunfencia. c) Cmpara ls resultads anterires cn el área del círcul de radi 8 cm. 8. (º ESO) Calcula h, x, b y el ángul AC ˆ H. A h b 8 cm H x C 7 cm B 86. (º ESO) Desde el lugar dnde me encuentr, la visual hacia un campanari es de cn la hrizntal. Si me acerc m, el ángul es ahra de 0. Cuál es la altura del campanari? 87. (º ESO) Para calcular la altura de un edifici, PQ, que se encuentra arriba de un mntaña, se han medid ls ánguls que indica la figura. Se sabe que hay un funicular para ir de S a Q, cn una lngitud de 0 m. Encuentra PQ. P Q 0 m 0 R 0 S 88. (º ESO) Ds edificis distan entre ells 0 metrs. Desde un punt del suel que está entre ls ds edificis, las visuales a ls punts más alts de ells frman cn la hrizntal ánguls de y 0. Cuál es la altura de ls edificis, si se sabe que tienen la misma altura? 89. (º ESO) Desde un satélite artificial se ve la Tierra baj un ángul de 0. Calcula la distancia a la que se encuentra el satélite de la Tierra. Radi de la Tierra: R = 666 km. 90. (º ESO) Encuentra el ángul que frma la diagnal del cub de arista 6 cm cn la diagnal de la base. Observa que si la arista del cub hubiera sid distinta, el ángul hubiera sid el mism

11 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 9. (º ESO) Desde ciert punt del suel se ve el punt más alt de una trre frmand un ángul de º cn la hrizntal. Si ns acercams 78 m hacia el pie de la trre, ese ángul mide 6º. Halla la altura de la trre. 9. (º ESO) El diámetr de una circunferencia es, cm. Averigua el ángul que frman sus tangentes trazadas desde una distancia de,8 cm al centr cm indica la figura. 9. (º ESO) Para calcular la distancia de A al embarcader C, tmams las medidas que indica la figura. Halla AC. 9. (º ESO) Calcula el área del triángul ABC 9. (º ESO) Ds camins rects que se crtan frman un ángul de 7º. En un de ls camins y a Km del cruce, hay una gaslinera. Encntrar la menr distancia desde dicha gaslinera hasta el tr camin. 96. (º ESO) Una escultura de Sadam está clcada sbre un pedestal de 6 m de altura. Desde un punt del suel se ve la escultura baj un ángul de º y el pedestal baj un ángul de 0º.Calcula la altura de la escultura de Sadam. º 0º 97. (º ESO) Halla la cantidad de chapa necesaria para fabricar una señal de STOP de frma ctgnal, sabiend que la diagnal marcada mide, m 6

12 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide (º ESO) a) En qué punt debe glpear la bla blanca a la banda para que el rebte dé a la bla rja?. b) Cuál es el ángul en que glpea la bla blanca a la banda? 99. (º ESO) Calcula ls ánguls de un rmb cuyas diagnales miden cm y 8 cm. 00. (º ESO) El lad desigual de un triángul isósceles mide 6 cm, y el ángul que se frma entre ls lads iguales es de 0º. Calcula el perímetr y el área del triángul. 0. (º ESO) Calcula la altura de la antena que está sbre el tejad de la casa. 0. (º ESO) Se quiere medir la altura de una estatua clcada en el centr de un lag circular. Para ell, se mide la visual al extrem superir de la estatua desde el brde del lag y resulta ser de 0 ; ns alejams dm y vlvems a medir la visual, bteniend un ángul de. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lag. 0. (º ESO) Halla el ángul de la figura siguiente: 8 º 0. (º ESO) La anchura de una calle es de 0 m. Clcándse en el centr se bserva ls punts más alts de ls edificis cn ánguls de º y 6º respectivamente. a) Cuál es la altura de cada edifici? b) Hay una miga de pan en la calle y ds pájars se lanzan a pr ella desde l alt de cada edifici. A qué distancia se encuentra la miga de pan de la base del edifici más alt si llegan al mism tiemp y llevan la misma velcidad? 7

13 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 0. (º ESO) Si la smbra de un pste es la cuarta parte de su altura. Qué ángul frman ls rays del Sl cn el hriznte? 06. (º ESO) A qué altura vuela el avión de la figura? 07. (º ESO) Halla ls ánguls y lads que faltan. B A º 7º 70m B 90º cm cm A C 08. (º ESO) La resultante de ds fuerzas perpendiculares es de Newtns. Sabiend que la resultante frma cn dichas fuerzas ánguls de 0º y 60º, respectivamente, calcula dichas fuerzas. 09. (º ESO) Una escalera de bmbers de 0 m de lngitud se ha fijad en un punt de la calzada. Si se apya sbre una de las fachadas frman un ángul cn el suel de º y si se apya sbre la tra, un ángul de 0º. a) Halla la anchura de la calle. b) Qué altura alcanzams cn la escalera en cada una de las fachadas? 0. (º ESO) Hay una ventana en un edifici a 6,6 m. El edifici mide 9 m. Manl está a m y mide,80 m. Cuál es el ángul cn el que ve Manl la ventana?. (º ESO) Desde un ciert punt del suel se ve un árbl baj un ángul de º. a) Baj qué ángul se verá clcándse a distancia dble? b) Baj qué ángul se verá clcándse a distancia triple?. (º ESO) Un hmbre que está situad al este de una emisra de radi bserva que su ángul de elevación es de º. Camina 0 m hacia el sur y bserva que el ángul de elevación es ahra de 0º. Halla la altura de la antena. 0 m 0 8

14 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide (º ESO) Desde un satélite artificial se ve la Tierra baj un ángul de 0. Calcular: a) La distancia a la que se encuentra la Tierra. b) El área de la prción de la Tierra visible desde el satélite. Ayuda: el radi de la Tierra es 666 km y el área de un casquete esféric es A r h. (º ESO) A qué altura sbre la superficie terrestre hems de subir para ver un lugar situad a 000 km de distancia? Ayuda: el radi de la Tierra es 666 km y un cuadrante de meridian terrestre tiene 0000 Km.. Un glb está sujet a una cuerda de 0 m de lngitud. Pr la acción del vient, el glb se encuentra a una altura de 8 m. Calcula la inclinación de la cuerda cn respect a la línea del pis. 6. En cierta ciudad, al medidía del slstici de veran, ls rays del sl tienen una inclinación de 7. Calcula la lngitud de la smbra de un edifici de m de altura. 7. Una señal de tráfic indica que la inclinación de un tram de carretera es del 8%, l cual quiere decir que en un desplazamient hrizntal de 00 m se realiza una subida de 8 m de altura. a) Qué ángul frma la carretera cn la hrizntal? b) Cuánts metrs han de recrrer para subir m? 8. Desde un punt del suel se ve la cpa de un pin baj un ángul de. Si ns alejams, m hacia tr punt del suel, alinead cn el anterir y cn el pie del pin, vems la cpa baj un ángul de. Calcula la altura del pin. 9. Calcula la altura de ls ds edificis de la figura: º 6º 6 m 0. Ds cches parten a la vez de un cruce dnde salen ds carreteras: una cn dirección nrte y la tra cn dirección nrdeste. Un de ls cches tma la primera de ellas cn una velcidad unifrme de 70 km pr hra, y el tr la segunda cn una velcidad cnstante de 90 km pr hra. A qué distancia se encntrarán al cab de 0 minuts?. Un avión vuela entre ds ciudades, A y B, que distan entre sí 7 km. Las visuales desde A y B hacia el avión frman cn la hrizntal ánguls de 6 y de amplitud, respectivamente. Calcula la altura a la que vuela el avión y las distancias a las que se encuentra de A y B, supniend que el avión y las ciudades están sbre el mism plan vertical. 9

15 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide Calcula el ángul de tir del jugadr que está situad al punt A del camp: 00 m 60 m C B m. Calcula la distancia entre ls punts A y B: A A B 7, m, m E D C. Calcula la lngitud de las diagnales y el área del paralelgram de lads 0 y cm, sabiend que un de sus ánguls.. Calcula la amplitud del ángul de la figura: a a a a 6. Calcula la altura, el perímetr y el área del trapeci de la figura: cm 0 cm 7. Ana y Pabl juegan a la petanca. Ana lanza su bla y esta queda a cm de la bla de muestra. Lanza Pabl y su bla queda a 0 cm de la de Ana, de md que el ángul que frma la bla de muestra cn las tras ds es de 0. Pdems saber, cn ests dats, cuál de las ds blas está más cerca de la bla de muestra? 8. La resultante de ds fuerzas F 6 N y F N, aplicadas en un mism punt es de R N. Qué angul frman entre sí? Y cada una de ellas cn la resultante? 9. Desde un punt P bservams ls punts A y B, situads en las rillas puestas de una laguna, baj un ángul de 68. Sabems que PA 70m y PB m Calcular la distancia AB y ls ánguls PA ˆ B y PB ˆ A. 0 0

16 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 0. Para medir la altura de la trre AB, ns situams en ls punts C y D y tmams estas medidas: CD m ; A CB ˆ 0º ; B CD ˆ 8º ; B DC ˆ 70º Qué altura tiene la trre?. Hallar el perímetr y el área de este trapeci isósceles. Las tangentes trazadas desde el punt P a una circunferencia de centr O y de cm de radi frman un ángul de. Calcular: a) La distancia de P al centr de la circunferencia. b) La lngitud de la cuerda que une ls punts de tangencia.. Para medir la altura de una antena, cuy pie es inaccesible, ns situams en un punt P al este de la antena y la bservams baj un ángul de 60. Caminams uns metrs hacia el sur y desde Q el ángul de bservación es de 0. Halla la altura de la antena.. Un de ls lads de un triángul mide el dble que tr, y el ángul cmprendid entre ells mide 60. Halla ls trs ánguls.. En un triángul ABC de lads a = 0 cm, b = cm y c = 7 cm, halla la lngitud de la mediana que parte de B. 6. De un triángul ABC cncems ls tres lads, a = cm, b = 6 cm y c = 9 cm. Halla la lngitud de la bisectriz del ángul Â. 7. En el cuadriláter ABCD sabems que AB = a, AD = a, BC = a, BA ˆ D = 90 y DC en función de a. cs D BC ˆ. Calcula 8. Halla el ángul que frma la tangente a estas circunferencias cn la recta que une sus centrs. Ls radis miden cm y 9 cm, y la distancia entre sus centrs es de 6 cm.

17 Tema 6: Trignmetría EJERCICIOS Ejercicis resuelts en vide 9. Halla el ángul que frman ds caras cntiguas de un tetraedr regular de arista a. 0. Querems calcular la distancia desde A y B a un punt inaccesible P. Para ell, fijams un punt C de md que PB ˆ C = 90 y tmams las medidas indicadas en la figura. Calcula PA y PB.. Demuestra que la bisectriz de un ángul de un triángul divide al lad puest al ángul en segments prprcinales a ls trs lads. AB AC Ayuda: Debes prbar que. Aplica el terema de ls sens en ls BP PC triánguls ABP y ACP.. El triángul ABC es rectángul en C. Sabems que el radi de la circunferencia mide cm y CD cm. Calcula AD y DB.. Para cnstruir un túnel entre A y C necesitams saber su lngitud y dirección. Para ell, fijams un punt B y tmams las medidas indicadas en la figura. Calcula AC y ls ánguls Bˆ yĉ.. Desde una trre de vigilancia de m, bservams ds árbles situads en rillas puestas de un rí baj un ángul de. Ls ds árbles están alineads cn el pie de la trre y la distancia de esta al rí es de 0 m. Calcula la anchura del rí.. Medición de la circunferencia de La Tierra utilizand el métd de Eratóstenes de Cirene (7-9 a.c.) Este sencill experiment es cnsiderad cm un de ls mejres de la histria de la humanidad y demuestra l que puede llegar a realizarse cn un pc de curisidad pr avanzar en el cncimient de l que ns rdea. La lngitud del meridian que pasa pr ls pls terrestres es de 9.9 km. La mejr medida del meridian en la antigüedad data del añ a.c. y la llevó a cab Eratóstenes, un de ls directres más ilustres de la Bibliteca de Alejandría. Eratóstenes era de Cirene (Shahhat en la actualidad, en Libia). Nació en el añ 7 a.c. en una rica familia, gracias a l cual pud tener una educación exquisita en Atenas. Amig y admiradr de Arquímedes fue el tercer directr de la Bibliteca de Alejandría, carg que cupó más de 0 añs. Esta Bibliteca era el mayr centr científic y cultural del mund cn casi pergamins (equivalentes a uns librs).

18 Tema : Trignmetría SOLUCIONES Ejercicis resuelts en vide SOLUCIONES:. a) Triángul es btusángul, triángul es rectángul y el triángul es acutángul; b) sen 8 /7 0,7 ; cs /7 0, 88 ; tg 8 / 0,; sec 7 /, ; cs ec 7 / 8,; ct g / 8, 87. El ángul 8º ' 0,9' '. a) sen / ; tg / ; sec / ; cs ec / ; ct g / b) sen / ; cs / ; tg / ; sec / ; ct g / c) sen 0 / 0; cs 0 / 0 ; sec 0 ; csec 0 / ; ct g /,80º ; 6,8699º ; 7, 6. A) a) csen b) sen c) tangente B). a) sen =, tg =, csec =, sec =, ctg = b) cs = 6 6, tg =, csec =, sec 6 =, ctg = 6 c) sen =, cs =, csec = sec =, ctg = 7 7 d) sen =, cs =, tg =, csec = 7, sec =, e) sen =, tg =, csec =, sec = sen cs 0 0 tan 0 N N 0 0 existe existe, ctg = f) sen =, cs =, tg =, sec =, ctg =. sen 0, 9 ; tg ; º ',6 '' 6. sen 0, 88 ; cs 0, ; 7º 9' 0,6' ' 7. a) sen = ; tg = ; sec = ; csec = = ; ctg = ; sec = = b) cs = 6 c) sen = ; cs = = ; 6 csec = ; ctg = ; tg ; csec = ; ctg d) sen = ; sec ; cs = ; tg = ; csec = ; ctg = 0 0 e) sen = ; cs = ; tg = 0 0 ; sec 0 ; = ; csec = 0 f) sen = cs = ; tg = ; sec = 6 = g) sen = ; cs = ; ; ctg 6 6 tg = 6 ; csec = ; ctg = h) sen = ; cs = ; tg = ; sec = ; csec = 8. a) 6º=º; b) 9º=º; c) 6º=8º= 7º; 8º=º= º; 76º=º; 980º=80º; º=08º= º 9. a) 0; ; ; a) ; ; ; a) ; 6 6 ; b) 7º 7 7 ; ; a) ; ; ; 6 6 7',8''; 7º ',''; ; 00 ; 6 ; 0 ; c) 0 ; 80 ; 0 ; 0 70 ; 0. a),98 rad; b) º ' 9,6" ; 0º ;. a) cm; b),8 cm; c), rad = 7º 7',0''

19 . Grads Radianes Tema : Trignmetría SOLUCIONES Ejercicis resuelts en vide 0 º 60 º 0 º º 0 º 0 º º 00 º 0 º 7 º7',8' ' º'9,6' ' º A) , º ','' 6,9º N existe sen 0,88 0,8 0,9 0,9969 0, 0,89 - cs 0,969 0,688 0,09 0,078 0,96 0,7 tg 0,679,60,77,706 0,6 - B) sen( rad)=0,9099; cs( rad)= 0,6; tg( rad)=,8 sen = 0,0, cs( 00º ) = 0,997, tg(0º) n existe, cs( rad), sen ( rad) 0,8 b) 6º 6',8'' y º 6',8'' ; c) 0,0º, cs 0, 90, tg 0, 776. a) º. a) sen 0 =, cs 0 =, tg 0 = b) sen 0 =, cs 0 =, tg 0 = c) sen 00 =, cs 00 =, tg 00 = d) sen =, cs =, tg = e) sen 90 =, cs 90 =, tg 90 = f) sen 0 =, cs 0 =, tg 0 = 6. a) sen =0,8, cs º=0,7, tg º=, b) sen º=0,8, cs º= 0,7, tg º=, c) sen º=0,7, cs º= 0,8, tg º= 0,70 d) sen º= 0,7, cs º= 0,8, tg º= 0,70 e) sen º= 0,8, cs º= 0,7, tg º=, f) sen 0º=0,8, cs 0º= 0,7, tg 0º=, g) sen º= 0,7, cs º=0,8, tg º= 0,70 7. a) b) 6 8. a) sen(90 +) = cs ; cs(90 +) = sen b) sen(70 ) = cs ; cs(70 ) = sen c) sen(70 +) = cs ; cs(70 +) = sen 9. a) 7 7 b) c) 7 d) 7 7 e) 7 f) 0. a) sen = ; cs = ; tg = b) sen =. a) b) c) g) ; cs = ; tg = h) d) e) f). a) a = 8 m, c = m, Ĉ 60 b) c = 6 m, Bˆ, Ĉ c) b = 6, m, c = 7,66 m, Ĉ 0 d) a = 0 cm, b = 9,6 cm,. Ĉ 8 9, Bˆ 7 ˆ sen A, cs Â, tgâ, csec Â, sec Â, ct g  ˆ sen C, csĉ, tgĉ, csecĉ, secĉ, ct gĉ sen CBD ˆ ; ˆ csc BD ; tg CBD ˆ ; csec CBD ˆ ; ˆ secc BD ; ct g CBD ˆ sen ABD ˆ ; ˆ cs A BD ; tg ABD ˆ ;

20 Tema : Trignmetría SOLUCIONES Ejercicis resuelts en vide csec ABD ˆ ; ˆ sec A BD ; ct g ABD ˆ A ˆ,0º, C ˆ 6,8699º, A BD ˆ 6,8699º y C BD ˆ,0º. Catets: 7, cm y 0 cm, altura: 6 cm; ánguls: B= 6º,6 C=º 7 8,7. a) 6 m b) AB = 6 m, BC 6 m c) 90 6.,8 m 7. a) Impsible; b) A ˆ 90º ; c) A ˆ º 8'7,' ' A ˆ 8º',87' ' ; d) A ˆ 0º 8. b 0, 76 cm ; c 8, 0 cm 9. a) A ˆ 8º 0',06' ' ; B ˆ 9º '7,' '; C ˆ 8º 7' 9,' ' ; b) Impsible; c) a, 9 cm ; C ˆ,º ; B ˆ,77º ; d) A ˆ 7º ; b, 98 m ; c, 86 m ; e) B ˆ 0º, a c, 0 m ; f) c 6, 8 cm, A ˆ Bˆ 70º ; g) C ˆ 60º, c, 8 cm, b, 66 cm ; h) B ˆ 60º, c 8 cm, b, 86 cm 0. AB, 9. AB 0, 9 Km, BC 6, Km. 977,8+07, =,8 m.. MN 80, 778 m. a) c =, cm; ˆ B 8 ; ˆ C ; S = 99, cm b) a = 9,06 m; c =, m; Â 6 ; S = 9,6 m c) c = 0,9 cm; ˆ A 60 6 '' ; ˆ B 9 7' '; S = 90 cm. a) Cˆ 60 ; b =, cm; c = 7,0 cm; S = 8, cm b) ˆ B 9 9 ; ˆ C 70 ; c = 9,7 m; S =,6 m c) ˆ A 8 7 ; ˆ B 6 ; ˆ C 0 9 ; S = 7,6 cm d) ˆ B 7 ; ˆ C 67 7 ; a =,8 m; S = 6, m a) sen 7º, cs 7º, 6 tg 7º ; b) sen º, 6 csº, tg º ; c) 6 7. a) sen 60º, cs 60º, tg 60º ; d) 6 6 sen º, csº, 6 tg º ; e) e), e), e), e) Ver víde b) 6 c) 9. a) sen = ; cs = ; tg = b) sen = ; cs = ; tg = 0. csec a =. a) Ver víde; b) sen =. cs = cs sen.cs ; tg. tg tg =. tg a) 7. a) 0 sen ; 0 sen ; 8 sen ; cs tg 7 b) c) b) 0 0 cs sen a = ; cs a = 0. a) b) c) 6 d) c) ; tg 9 d). a).cs.sen 0 b).cs 0.cs 0 c).sen 0.sen 00 d) 0 0

21 Tema : Trignmetría SOLUCIONES Ejercicis resuelts en vide a 0º 60º k, 0º 60º k c). a) ct g b) sen x c) cs 60º 80º k ; d) º 80º k, 6,º 80º k ; e) 90º 70º k,. a) Ver víde; b) ver víde; c) tg ( a) 60º 70º k, 80º 60º k ; f). Ver víde. 0º 80º k, 0º 60º k, 0º 60º k,. Ver víde. 0º 60º k, 0º 60º k ; g) 6. a) b) cs c) + cs d) e) sen 80º 60º k,,º 60º k, 08,68º 60º k ; h) 90º 80º k, 7. a) tg b) cs c) tg + tg d) + sen e) 0º 60º k, 0º 60º k ; i) f) ( + cs )( + sen ) g) h) sen º 80º k ; j) 0º 80º k, º 90º k ; k) 0º 80º k, 8. Ver víde. 0º 60º k, 0º 60º k. 9. Ver víde. 6. a) x = 90 + k.80 ; x = 90 + k.60 b) x = 60. cs cs / + k.90 c) x = 60 + k.60 ; x = 00 + k.60 ; x = 0 + k.80 d) x = 60 + k.60 ; x = a) x = 0 + k.60 ; x = 80 +k.60 b) x = 0 + k.60 ; x = 0 + k.60 ; x = 0 + k.60 e) x k.60 ; x = 0 +k.60 c) x = 0 + k.60 ; = 60 + k.60 ; x = 00 + k.60 ; x = 80 + x = 00 +k.60 d) x = 0 + k.60 ; x = k.60 f) x = 0 + k.60 ; x = 0 + k.60 ; x 0 +k.60 e) x = 0 + k.80 ; x = 0 +k.80 = 0 + k.60 ; x = 0 + k.60 g) x = 0 + f) x = 0 + k.0 ; x = 80 +k.0 g) x = 80 + k.80 ; x = 0 + k.60 ; x = 0 + k.60 ; x = k.60 ; x = 70 +k.60 h) x = 0 + k.60 ; 0 + k.60 ; x = 0 + k.60 h) x = 0 + x = 0 +k.60 i) x = 0 + k.60 ; x = k.60 ; x = 0 + k.60 ; x = 0 + k.60 ; x = 80 +k.60 ; x = 0 + k.60 ; x = 0 +k k.60º; i) x = 0 + k.0, x = 60 + k.0 j) x = 90 + k.60 ; x = 70º + k.60 ; k) x = j) x = 90 + k.80 ; x = + k.90 ; x = k.60 ; k.90 x = 00 +k.60 ; x = 80 +k.60 l) x = 90 + k.60 ; x = 9 º 8'6,9' ' +k a) x = 90 + k.60 ; y = 0 + k'.80 b) x = 90 ; x = + k.80 ; y ={60, 0, 0, 00 } + k'.60 c) 60º',6''+ k.60 ; x 90º 60k, y 60º k ; ll) x = 0 + k.60 ; x = 0 +k.60 ; x = 0 + k.60 ; x = 0 +k.60 x 60º 60k, y 70º 60º k ; Si m) x = + k.60 ; x = +k.60 n) x = 0 + x, y 0º x = 90 ; y = 0 d) k.60 ; x = 0 +k.60 x 0º 60k, y 0º 80k' ; Si 0º x, y 60º x = 0 ; y = {0, 80º} 6. a) x = k b) x = + k.6; x = + k c) x = k. ; x = k. d) x = 0 k ; e) x = k. ; x = k. f) x = k ; x 6 = k A) a) 6. a) 0º; 70º; 60º; 00º; b) 0º; 70º; c) 0º; 90º; 80º; d) 60º; 00º; e) 0º; 80º; f) x = 90 ; x = ; x = 0 6. a ) º 80º k, º 80º k, 0º 80º k, º 80º k ; b) 90º 60º k, 70º 60º k, b) c) 7

22 Tema : Trignmetría SOLUCIONES Ejercicis resuelts en vide C) Perid T ; Im g ( f ), 7. = a),0787 m; b),6 m 7. Ánguls iguales = 8 6, Ángul desigual = La imagen de es cs(6), 9. La imagen es cuand 7 x, x, x. La imagen es cuand x k siend k Z. x 68. A) Es la gráfica de la función c) y sen y su perid es T ; B) B) x, x ; B) x 0, x, x, x, x ; B) x /, x /, x /, x 7 / 69. La función a) es la gráfica III, la función b) es la gráfica II, la función c) es la gráfica IV, la función d) es la gráfica I. 70. a) b) Perid T /. Im g( f ),c) 0m;,9 m; c) A ls 0.0 sg 7. a) metr; b) Dura min 0,9min. c) 7 8 metrs a ls t k ( k N), es decir, a ls 8 8 0,7 min y después cada vez que pasa 0,9 min y da una vuelta cmpleta. d) La mínima altura es m y se alcanza inicialmente y cada vez que pasa 0,9 min y da una vuelta cmpleta f) A ls 0,09 min 7. a) h = 6, cm b) h = 6,608 cm AB m, BC = 00 m, CD 7 m, 7 DE 0 m, AE m 77. a) 6 0 b) 8 metrs m. Ángul =,706º. Hems ascendid 7,6 m 79.,8 m 80. Pendiente media = 6,%; = , cm 8.,6 m 8. 6,9 cm. 8. a) 00,9 cm, b) 0, cm, c) 0,06 cm ; A A A pli inscrit círcul Pli circunscrit 8. h = 0,7 cm, x =,9 cm, b =, cm, A CH ˆ,68º 86.,8 m 87. PQ = 6,67 m 88.,9 m ,6 km 90. = 9. 8,76 m 9. 0º,7 9. AC 8, 6 m 9. A=7, cm. 9. 0,969 Km 96. h=, m 97. A=,09 m. 98. a) A 0 cm de la pryección perpendicular de la bla blanca sbre la banda. B),69º ,0º y 9,997º 00. P 7,6 cm y A=89,8 cm. 0. h,797 m 0. h=7,69 m; A=9,09 m. 0. 0,º 8

23 Tema : Trignmetría SOLUCIONES Ejercicis resuelts en vide 0. a) Un 0 m y el tr, m; b) m 7. DC a ,968º 8. º h = 7,0 m 9. 70º 07. A ˆ º',' ' ; C ˆ 6º8'6,76' ' 0. PA = 0,9 m y PB =, m 08. 0,9 N y 6 N. Tería. Demstración: BP AB 09. a),7 m; b) 7,07 m y m En el triángul ABP se cumple:. A 0.,77º sen senbpˆa. a),7º; b) 6,706º PC AC En el triángul ACP se cumple:.., m A sen sencpˆa. a) r 08, 6 Km, b) Área Casquete 6 Km. A BP senbpˆa De la primera: sen. De la segunda. Deberíams elevarns 79 m AB. 7 8 A PC sencpˆa sen AC 6.,8 m BP senbpˆa PC sencpˆa 7. a) 6 b) 67, m Igualand: =. Per cm AB AC 8.,0 m ls ánguls B Pˆ A y C Pˆ A sn suplementaris, el 9. 6m y 8,0 m valr del sen es el mism para ls ds, pr l que la igualdad anterir se puede simplificar quedand: 0.,978 km BP PC AB AC. h =, km; a = 9, km; b = 0,98 km = l que es l mism: AB AC BP PC. 6. DB = cm AD = 0,8 cm. AB =, m. AC 6m ; B ˆ,677º ; C ˆ 6,6º. D =,89 cm; d = 8,90 cm; S = 86, cm. 7,7 m. = 7. Ver la web 6. h =,0 cm; P = 6,86 cm; S =, cm 7. N pdems saber si la distancia a la bla de y busca más infrmación en internet sbre este Pabl a la bla de muestra es de 8,7 cm de 8, fantástic descubrimint cm 8. El ángul que frman las fuerzas entre sí es º ' y ls trs ds ánguls pedids sn º ' y º ' 9. AB 0m, P AB ˆ 7º 6' ' ', P BA ˆ 6º9''' 0. AB, m. Perímetr=,6 m; Área=,9 cm.. a) PO 0, 8 cm ; b) TT ' 6, 9 cm., m. 0º y 90º.,0 cm 6. 9,9 cm 9

24 Tema : Trignmetría RESUMEN Ejercicis resuelts en vide Definicines: Raznes trignmétricas de un ángul agud (0º a 90º). sen de csen de tangente de secante de lngitud del catet puest a lngitud de la hiptenusa lngitud del catet cntigu a lngitud de la hiptenusa lngitud del catet puest a lngitud del catet cntigu a sec csecante de cs sen a c b cs c tg a b cs ec ctangente de sen ct g cs sen Terema de Pitágras: En triánguls rectánguls ( hiptenusa ) ( catet ) ( catet ) Raznes trignmétricas de 0º y º. sen 0º ; cs0º ; tg 0º sen º ; cs º ; tg º Definicines: Raznes trignmétricas de un ángul cualesquiera (0º a 60º) (cs, sen ) sn las crdenadas del punt en el que el segund lad de un ángul cualquiera,, crta a la circunferencia gnimétrica. Según en qué cuadrante esté el ángul, las raznes trignmétricas sn psitivas negativas. Las raznes trignmétricas de 0º, 90º, 80º, 70º se deducen de la definición anterir. Unidades de medida de ánguls: grad sexagesimal y radián: Pasams de una unidad a tra, teniend en cuenta que 80 º rad y aplicand reglas de tres directas. Relacines entre las raznes trignmétricas de alguns ánguls: En ánguls cmplementaris el sen de un ángul es el csen del tr y viceversa. La relación entre ánguls suplementaris, puests, etc, se deducen de la circunferenia gnimétrica. Teremas para reslver cualquier triángul. Terema de ls sens: a b c sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ Terema del csen: a b c bc cs Aˆ (similar para trs lads) En la imagen de la derecha tiene cnsejs para saber cóm empezar a reslver un triángul según la infrmación que tenems a priri. 0

25 Tema : Trignmetría RESUMEN Ejercicis resuelts en vide Relacines fundamentales: sen cs tg sen cs tg cs Raznes trignmétricas de la suma de ds ánguls sen( ) sen cs cs sen cs( ) cs cs sen sen tg tg tg ( ) tg tg Raznes trignmétricas de la diferencia de ds ánguls sen( ) sen cs cs sen cs( ) cs cs sen sen tg tg tg ( ) tg tg Raznes trignmétricas del ángul dble sen ( ) sen cs cs( ) cs sen tg tg () tg Raznes trignmétricas del ángul mitad sen cs cs cs cs tg cs (Según en qué cuadrante está / la razón es + ) Pasar sumas y diferencias de sens y csens a prducts A B A B sen A sen B sen cs A B A B sen A sen B cs sen A B A B cs A cs B cs cs A B A B cs A cs B sen sen Gráficas de las funcines trignmétricas elementales.