Septiembre Ing. Rubén Darío Estrella, MBA

Transcripción

1 Septiembre 2015 Ing. Rubén Darío Estrella, MBA Cavaliere dell ordine al Merito della Repubblica Italiana (2003) Ingeniero de Sistemas (UNIBE 1993), Administrador (PUCMM 2000), Matemático (PUCMM 2007), Teólogo (UNEV 2002) y Maestro (Salomé Uneña 1995) rubendarioestrella@hotmail.com / rd_estrella@hotmail.com

2 Gran parte de la vida del hombre se caracteriza por la incertidumbre. Muchos fenómenos del mundo parecen estar dominados por el comportamiento aleatorio. Casi todas las decisiones se toman en un entorno caracterizado por la ausencia de un conocimiento completo de la situación. Así, una decisión acerca de la cantidad de unidades a fabricar se basa en las estimaciones del número de unidades que se espera vender. Si se conociera este último con anticipación, la decisión sería elaborar exactamente esa cantidad, sin que hubiera ni escasez ni excedentes. Con todo, en las situaciones concretas de la toma de decisiones rara vez puede recabarse información tan precisa.

3 Estadística Inferencial: Implica la utilización de una muestra para extraer alguna inferencia o conclusión sobre la población correspondiente. - Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muestrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones y otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos. La estadística es inferencial cuando se derivan conclusiones generales para un conjunto de datos más amplio a partir de la información proporcionada por los datos estudiados.

4 Experimento. Experimento es cualquier proceso que permite a los investigadores obtener observaciones. Es el proceso que produce un evento o suceso. Experimento Resultados experimentales Lanzar una moneda Cara, cruz Seleccionar una parte para inspección Defectuosa, no defectuosa Lanzar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jugar un partido de pelota Ganar, perder, empatar

5 Ensayo: Es cada repetición de un experimento. Suceso o Evento. Es cualquier colección de resultados de un experimento. Es una colección de puntos muestrales (resultados experimentales). El suceso o evento es un subconjunto del Espacio Muestral.

6 Decimos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: a. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. b. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. c. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto de resultados posibles conocido previamente. A este conjunto de resultados posibles, lo denominamos como espacio muestral. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.

7 Los conceptos de probabilidad pueden resultar de suma utilidad cuando nos hallamos frente a la incertidumbre que caracteriza a al mayor parte de los ambientes en que se adoptan decisiones. Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá un evento. Es la posibilidad numérica de que ocurra un evento, medida entre 0 y 1. Es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra ese evento. Las probabilidades de los diferentes resultados posibles de un ensayo deben sumar uno. Las probabilidades son siempre mayores que o iguales a cero (es decir, las probabilidades nunca son negativas) y son menores que o iguales a uno. Cuanto más pequeña sea la probabilidad, tanto menos posibilidad tendrá el evento.

8 Suceso seguro o evento cierto. Es aquel que siempre se verifica después de un experimento aleatorio. Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad asignada estará más próxima a 1. La probabilidad de certeza es 1.

9 Suceso imposible o evento imposible. Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. La única posibilidad es que el suceso imposible sea el conjunto vacio. La probabilidad de una imposibilidad es 0.

10 a. La probabilidad solo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1. 0 P(A) 1 b. La probabilidad del suceso seguro es 1. c. La probabilidad de dos sucesos incompatibles (de intersección vacía) debe ser la suma de sus posibilidades respectivas. d. La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir, P(AB) P(A) ; P(AB) P(B)

11 e. La probabilidad de la unión de sucesos es mayor que la de cada uno de los sucesos separados. P(AB) P(A) ; P(AB) P(A) Mas aun, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) ocurre que: AB = P(AB) = P(A) + P(B) f. La probabilidad del suceso contrario a A, es P(A') = 1 - P(A)

12 Eventos mutuamente excluyentes. Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no pueden ocurrir simultáneamente. Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro. P(AUB) = P(A) + P(B) En el lanzamiento de una moneda, dos resultados simples posibles son cara y cruz. Puesto que la ocurrencia de una cara excluye la posibilidad de cruz y a la inversa, los eventos cara y cruz son mutuamente excluyentes.

13 Eventos colectivamente exhaustivo. Se dice que un conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo, si su unión explica todos los resultados posibles de un experimento. Consta de todos los posibles resultados de un experimento y constituye su espacio muestral. P(X) = 1

14 Eventos independientes. Dos eventos son independientes si la ocurrencio o no ocurrencia de un evento de ninguna manera afecta a la posibilidad o probabilidad de ocurrencia del otro evento. Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La ocurrencia de uno no tiene que ver nada con la del otro. P(A B) = P(A) * P(B)

15 Eventos dependientes. Dos eventos son dependientes si la probabilidad de ocurrencia de uno es afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro. Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes. P(A B) = P(A) * P(B\A)

16 Eventos complementarios (Complemento de un evento). Para un evento A, el complemento del evento A es el evento consistente en todos los puntos muestrales que no están en A. El complemento del suceso A, denotado por A', consiste en todos los resultados en los que el suceso A no ocurre. Si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir. P(A) + P(A') = 1 P(A) = 1 - P(A') P(A') = 1 - P(A) P(AUA') = P(A) + P(A')

17 CLASIFICACION D E LOS EMPLEAD OS GENERO ADMINIST R.(A) LINEA (L) AUXILIAR (O) T OT AL HOMBRE (H) MUJER (M) TOTAL

18 CLASIFICACION DE LOS EMPLEADOS GENERO ADMINIST R.(A) LINEA (L) AUXILIAR (O) T OT AL HOMBRE (H) MUJER (M) TOTAL

19 CLASIFICACION DE LOS EMPLEADOS GENERO ADMINIST R.(A) LINEA (L) AUXILIAR (O) TOTAL HOMBRE (H) MUJER (M) TOTAL

20 Las probabilidades marginales son los valores que se encuentran en las márgenes de la tabla. Se obtiene de la suma de las probabilidades conjuntas correspondientes. Las probabilidades conjuntas son las celdas de la estructura principal de la tabla. Estas muestran la probabilidad de la intersección de dos eventos.

21 Probabilidad Condicional. La probabilidad condicional de B dado A es la probabilidad de que el suceso B ocurra, dado que el suceso A ya ocurrió, y se puede calcular dividiendo la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, A y B, entre la probabilidad del suceso A: P(B\A) = P(AB) P(A) P(AB) = P(A) * P(B\A) Es la probabilidad de que el evento B ocurra, dado que o a condición de que el evento A ya haya ocurrido.

22 La probabilidad de que un trabajador tomado aleatoriamente sea hombre es P(H)=0.60. Sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea hombre dado que es un miembro del personal administrativo P(H\A). P(H\A) = P(HA)/P(A) = 0.24/0.34 = 0.71

23 A. Regla de la Multiplicación. Consiste en determinar la probabilidad del evento conjunto P(AB), es decir de la probabilidad de "A y B". Esta se obtiene simplemente multiplicando sus respectiva probabilidades. El procedimiento depende de sí A y B son dependientes o independientes.

24 A. Regla de la Multiplicación. Probabilidades de eventos independientes. P(AB) = P(A) * P(B) Eventos independientes. Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La ocurrencia de uno no tiene que ver nada con la del otro. El 20% de los carros que pasan por el Km. 12 de la Carretera Sánchez, se detienen en un Motel, para alquilar una cabaña. Cuál es la probabilidad de que los próximos dos carros se detengan? Asumiendo que estos son eventos independientes. P(C1C2) = 0.20 * 0.20 = 0.04 Cuál es la probabilidad de que el primer carro se pare y que el segundo siga? P(C1C2) = 0.20 * 0.80 = 0.16

25 A. Regla de la Multiplicación. Probabilidad de Eventos dependientes. P(AB) = P(A) * P(B\A) Eventos dependientes. Dos sucesos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La ocurrencia de uno tiene que ver con la del otro. Ejemplo: La probabilidad conjunta de que sea hombre y miembro administrativo. P(HA) = 0.24 P(HA) = P(H) * P(A\H) = 0.60 * 0.40 = 0.24 P(A\H) = P(AH)/P(H) = 0.24/0.60 = 0.40

26 Regla de la Adición. Se utiliza para determinar la probabilidad de A o B, P(AB). La probabilidad del evento A o B (cuando los eventos no son mutuamente excluyente). P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) La razón por la cual se debe restar la probabilidad conjunta es para evitar el doble conteo.

27 Regla de la Adición. Eventos no mutuamente excluyentes. Los sucesos A y B son no mutuamente exclusivos si pueden ocurrir simultáneamente. Si la ocurrencia de un evento no prohíbe la ocurrencia del otro. Ejemplo: La probabilidad de sacar un as o una de las tres cartas de corazones de una baraja. P(AC) = P(A) + P(C) - P(AC) P(AC)=(4/52) + (13/52) - (1/52) = 16/52 La probabilidad de que un hombre sea un trabajador hombre o un trabajador administrativo. P(HA) = P(H) + P(A) - P(HA) = = 0.70

28 Regla de la Adición. Probabilidad del evento A o del evento B (cuando los eventos son mutuamente excluyentes). P(AUB) = P(A) + P(B) Eventos mutuamente excluyentes. Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no pueden ocurrir simultáneamente. Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro. Si A y B son mutuamente excluyente P(AB) =

29 Regla de la Adición. Probabilidad del evento A o del evento B (cuando los eventos son mutuamente excluyentes). P(AUB) = P(A) + P(B) Eventos mutuamente excluyentes. Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no pueden ocurrir simultáneamente. Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro. Si A y B son mutuamente excluyente P(AB) =

30 Este fue desarrollado por el reverendo Thomas Bayes ( ). Asumimos: Una industria X utiliza dos maquinas para producir su producto. La maquina A produce el 60% de la producción total. La maquina B produce el 40% restante. El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas. Las unidades de B tienen un 4% de defectos. Podríamos decir: P(A) = 0.60 P(B) = 0.40 P(D\A) = 0.02 P(D\B) = 0.04 P(D'\A) = 0.98 P(D'\B) = 0.96

31 Este fue desarrollado por el reverendo Thomas Bayes ( ). Asumimos: Una industria X utiliza dos maquinas para producir su producto. La maquina A produce el 60% de la producción total. La maquina B produce el 40% restante. El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas. Las unidades de B tienen un 4% de defectos. Podríamos decir: P(AD') = P(A) * (D'\A) = 0.60 * 0.98 = P(AD) = P(A) * (D\A) = 0.60 * 0.02 = P(BD') = P(B) * (D'\B) = 0.40 * 0.96 = P(BD) = P(B) * (D\B) = 0.40 * 0.04 = 0.016

32 Este fue desarrollado por el reverendo Thomas Bayes ( ). según la probabilidad condicional. P(A\D) = P(AD)/P(D) = [P(A) * P(D\A)]/P(D) Sin embargo, para la P(D) existen dos formas en las cuales la unidad puede ser defectuosa. Utilizando la regla de la adición. P(D) = P(AD) + P(BD) P(D) = P(A) * P(D\A) + P(B) * P(D\B) Teorema de Bayes P(A\D) = P(AD) / P(D) P(A\D) = P(AD) / [P(AD) + P(BD)] P(A\D) = [P(A) * P(D\A)] / [P(A)*P(D\A) + P(B)* P(D\B)] P(A\D) = / ( ) = 0.429

33 Esta se caracteriza por las siguientes propiedades: Sólo debe haber dos posibles resultados. La probabilidad de un éxito, sigue siendo constante de un ensayo al siguiente, al igual que lo hace la probabilidad de fracaso, 1 -. La probabilidad de un éxito en un ensayo es totalmente independiente de cualquier otro ensayo. El experimento puede repetirse muchas veces. Una distribución binomial. Cada ensayo en una distribución binomial termina en sólo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, uno de los cuales se identifica como un éxito y el otro como un fracaso. La probabilidad de cada resultado permanece constante de un ensayo al siguiente.

34 Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx * () * (1-) n = numero de ensayos. = probabilidad de un éxito. x = numero de éxitos. ncx = n! / x! (n-x)! Caso I. Sólo 20% de los empleados de la población civil que está en una base militar restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10 empleados, cuál es la probabilidad de que el guardia de seguridad encuentre: a. Ocho empleados con identificación?

35 Caso I. Sólo 20% de los empleados de la población civil que está en una base militar restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10 empleados, cuál es la probabilidad de que el guardia de seguridad encuentre: a. Ocho empleados con identificación? Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx () (1-) n = 10 empleados = 0.20 x = P(x=8 n=10, =0.20) = 10C8*(0.20)*(1-0.20) * 0.64 = 45 * P(x=8 n=10, =0.20) = 10C8*(0.20)*(1-0.20) = P(x=8 n=10, =0.20) = 10C8*(0.20)*(1-0.20) = Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial - Págs

36 Caso I. Sólo 20% de los empleados de la población civil que está en una base militar restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10 empleados, cuál es la probabilidad de que el guardia de seguridad encuentre: b. Cuatro empleados con identificación? Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx () (1-) n = 10 empleados = 0.20 x = P(x=4 n=10, =0.20) = 10C4 (0.20) (1-0.20) = Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial - Págs

37 Caso I. Sólo 20% de los empleados de la población civil que está en una base militar restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10 empleados, cuál es la probabilidad de que el guardia de seguridad encuentre: c. A lo sumo 5 empleados con identificación? Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx () (1-) n = 10 empleados = 0.20 x 5 P(x 5 n=10, =0.20) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = Evento A Distribución Binomial Acumulada esta comprende un rango de valores. Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada - Págs

38 P(X) Binomial distribution (n = 10, p = 0.2) X Binomial distribution 10 n 0.2 p cumulative X P(X) probability expected value variance standard deviation

39

40 Caso I. Sólo 20% de los empleados de la población civil que está en una base militar restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10 empleados, cuál es la probabilidad de que el guardia de seguridad encuentre: d. Por lo menos 4 empleados con identificación? Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx () (1-) n = 10 empleados = 0.20 x 4 P(x 4 n=10, =0.20) = 1 - P(x 3 n=10, =0.20) = = Evento A' Evento A Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada - Págs

41 Caso I. Sólo 20% de los empleados de la población civil que está en una base militar restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10 empleados, cuál es la probabilidad de que el guardia de seguridad encuentre: e. Entre 4 y 7 empleados inclusive con identificación? Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx () (1-) n = 10 empleados = x 7 P(4 x 7 n=10, =0.20) = P(x 7 n=10, =0.20) - P(x 3 n=10, =0.20) Evento A P(x3) P(x 7) Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada - Págs

42 Caso II. El 80% de los estudiantes de Métodos Cuantitativos del maestro Rubén Estrella pueden conectarse a INTERNET. Cuál es la probabilidad de que en el próximo fin de semana de 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente, 6 estén conectados para verificar si le llego el archivo de "distribución de probabilidades"? Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx () (1-) n = 10 estudiantes = 0.80 donde 0.80 > 0.50 x = 6

43 Caso II. El 80% de los estudiantes de Métodos Cuantitativos del maestro Rubén Estrella pueden conectarse a INTERNET. Cuál es la probabilidad de que en el próximo fin de semana de 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente, 6 estén conectados para verificar si le llego el archivo de "distribución de probabilidades"? n = 10 estudiantes = 0.80 donde 0.80 > 0.50 x = 6 Cuál es la probabilidad de que no estén conectados (de no éxito)? '= ( = 0.80) ( = 0.20) en lugar de hallar x éxitos en, se halla: n-x fracasos a 1-6 éxitos a = 0.80 = 4 fracasos a = 0.20 P(x=6 n=10, =0.80)=P(x=4 n=10, =0.20) Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial - Págs

44

45 Media de una Distribución Binomial. E(X) = = n = np Varianza de una Distribución Binomial. ² = n(1- ) = npq Desviacion ² = n(1- ) = npq Ejercicios 6 al 12 Pág. 113

46 2 CONTROL DE LECTURA LUNES 26 MAYO PUNTOS INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES Y DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES (BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA, POISSON, NORMAL) PRACTICA N. 2 LUNES 26 MAYO PUNTOS EJERCICIOS DE LA PAG. 98 A PAG. 100 EJERCICIOS DE LA PAG. 106 A PAG. 108

47 Si se selecciona una muestra sin reemplazo de una población finita conocida y contiene una proporción relativamente grande de la población, de manera que la probabilidad de éxito sea perceptiblemente alterada de una selección a la siguiente, debe utilizarse la distribución hipergeometrica. La distribucion hipergeométrica de probabilidad se relaciona estrechamente con la distribucion binomial. La diferencia principal entre las dos estriba en que, con la distribucion hipergeometrica, los intentos no son independientes, y en que la probabilidad de exito cambia de un intento a otro. P(x)=[(rCx)*(N-rCn-x)]/(NCn)

48 P(x)=[(rCx)*(N-rCn-x)]/(NCn) N es el tamaño de la población. r es el número de éxitos en la población. n es el tamaño de la muestra. x es el número de éxitos en la muestra. (r C x) representa la cantidad de manera en las que se puede seleccionar x éxitos de un total de r exitos de la población. (N-r C n-x) representa la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar n-x fracasos de un total de N-r fracaso en la población. (N C n) representa la cantidad de formas en las que se puede seleccionar una muestra de tamaño n de un población de tamano N.

49 Caso I. Jovanna Meléndez como gerente de Recursos Humanos debe contratar a 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos universitarios. Cuál es la probabilidad de que 5 de los que contrate tengan un titulo? N = 30 candidatos r = 22 candidatos con títulos n = 10 candidatos a contratar x = 5 candidatos con títulos P(x)=[(rCx)*(N-rCn-x)]/(NCn) P(x=5)=[(22C5)*(30-22C10-5)]/(30C10) = [26,334* 56] /30,045,015 = ncr = n!/r!(n-r)! B) Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 4 de los que contrate tengan un titulo? P(x4) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)

50 P(X) Hypergeometric distribution Hypergeometric distribution (N = 30, S = 22, n = 10) X 30 N, population size 22 S, number of possible occurrences 10 n, sample size cumulative X P(X) probability expected value variance standard deviation

51 Caso IX. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se seleccionan 12 para ser enviados al Japón a estudiar un nuevo proceso de producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. Cuál es la probabilidad de que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para el lejano oriente?

52 p(x) Hypergeometric distribution Hypergeometric distribution (N = 15, S = 8, n = 12) Series1 15 N, population size 8 S, number of possible occurrences 12 n, sample size cumulative X p(x) probability expected value variance standard deviation 0.00 X

53 Es una distribución de probabilidad discreta que aplica a ocurrencias de algún suceso dentro de un intervalo especificado. La variable aleatoria x es el número de ocurrencias del suceso en el intervalo. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar. Esta mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de tiempo o espacio. Se basa en dos supuestos: 1.- La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio de igual longitud. 2.- La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la ocurrencia de otro intervalo cualquiera. Función de probabilidad x - de Poisson P(x)=( * e ) / x!

54 Función de probabilidad x - de Poisson P(x)=( * e ) / x! x es el número de veces que ocurre el evento. es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio. e = , la base del logaritmo natural. La Media es La desviación estándar es =

55 Caso I. Carmín Guzmán, gerente de trafico de telecomunicaciones del Banco Popular, esta evaluando el flujo de las llamadas telefónicas recibidas. Para tal fin selecciona la central telefónica del Banco Popular de Plaza Central, a la cual llegan 2 llamadas por minuto promedio y se sabe que tiene distribución de Poisson. Si el operador se distrae por un minuto, cual es la probabilidad de que el numero de llamadas no respondidas sea: a) cero? b) Por lo menos 1? c) Entre 3 y 5, inclusive? a) cero? = 2 llamadas / minuto x = 0 llamada no respondida e = Función de probabilidad x - de Poisson P(x)=( * e ) / x!

56 P(X) Poisson distribution Poisson distribution (µ = 2) X 2 mean rate of occurrence cumulative X P(X) probability expected value variance standard deviation

57 Caso I. Carmín Guzmán, gerente de trafico de telecomunicaciones del Banco Popular, esta evaluando el flujo de las llamadas telefónicas recibidas. Para tal fin selecciona la central telefónica del Banco Popular de Plaza Central, a la cual llegan 2 llamadas por minuto promedio y se sabe que tiene distribución de Poisson. Si el operador se distrae por un minuto, cual es la probabilidad de que el numero de llamadas no respondidas sea: a) cero? Función de probabilidad x - de Poisson P(x)=( * e ) / x! Función de probabilidad 0-2 de Poisson P(x = 0 = 2)=(2 * ) / 0! Función de probabilidad Poisson P(x = 0 = 2)= [1 * ]/1 = Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs

58 Caso I. Carmín Guzmán, gerente de trafico de telecomunicaciones del Banco Popular, esta evaluando el flujo de las llamadas telefónicas recibidas. Para tal fin selecciona la central telefónica del Banco Popular de Plaza Central, a la cual llegan 2 llamadas por minuto promedio y se sabe que tiene distribución de Poisson. Si el operador se distrae por un minuto, cual es la probabilidad de que el numero de llamadas no respondidas sea: b) Por lo menos 1? Función de probabilidad x - de Poisson P(x)=( * e ) / x! Función de probabilidad de Poisson P(x 1 = 2) = 1 - P(x=0 = 2) Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs

59 Caso I. Carmín Guzmán, gerente de trafico de telecomunicaciones del Banco Popular, esta evaluando el flujo de las llamadas telefónicas recibidas. Para tal fin selecciona la central telefónica del Banco Popular de Plaza Central, a la cual llegan 2 llamadas por minuto promedio y se sabe que tiene distribución de Poisson. Si el operador se distrae por un minuto, cual es la probabilidad de que el numero de llamadas no respondidas sea: c) Entre 3 y 5, inclusive? Función de probabilidad x - de Poisson P(x)=( * e ) / x! Función de probabilidad de Poisson P(3 x 5 = 2) = P( x 5) - P(x 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) - [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)] Evento A P(x 2) P(x 5) Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs

60 Caso II. El cable utilizado para asegurar las estructuras de los puentes tiene un promedio de 3 defectos por cada 100 yardas. Si usted necesita 50 yardas, cuál es la probabilidad de que haya una defectuosa? cuál es la probabilidad de que haya dos o más defectuosas? Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs

61 Poisson distribution 1.5 mean rate of occurrence cumulative X P(X) probability expected value variance standard deviation

62

63 La distribución normal es una distribución de datos continuos(*) (no discretos) que produce una curva simétrica en forma de campana. La distribución gaussiana fue presentada por Karl Friedrich Gauss ( ) en el La campana de Gauss o curva de distribución normal, curva de probabilidad normal; se caracteriza por: - Es unimodal. - Es simétrica (la simetría es perfecta). - La mitad izquierda de su histograma es aproximadamente una imagen especular de su mitad derecha. - La asimetría de la distribución es cero. - Las colas de la curva se aproximan más, pero nunca tocan, el eje horizontal.

64 - La media, la mediana y la moda son iguales. - La mitad de las observaciones esta por encima de la media y la mitad esta por debajo. - Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en forma de campana se aplanara y se esparcirá. La desviación estándar determina el ancho de la curva. A valores mayores de la desviación estándar se tienen curvas más anchas y bajas, que muestran una mayor dispersión en los datos. - El punto más alto de la curva normal es la media, que tambiés es la mediana y la moda de la distribución. - El área total bajo la curva de la distribución normal de probabilidad es 1. (*) Variables continuas: Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Por muy próxima que puedan estar dos observaciones, si el instrumento de medida tiene la precisión suficiente siempre puede haber una tercera observación que caiga entre las dos primeras. Los valores de una variable continua proceden en general de mediciones, por ejemplo las cantidades de leche que las vacas producen son datos continuos porque son mediciones que pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo continuo. Se pueden obtener de un numero infinito de posibles valores que pueden asociarse a puntos de una escala continua, de tal manera que no haya huecos ni interrupciones.

65

66

67

68 La Regla Empírica o Regla Esta regla solo aplica a un conjunto de datos cuya distribución tiene aproximadamente forma de campana. Esta afirma que: - Cerca del 68% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de una desviación estándar de la media. - Cerca del 95% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de dos desviaciones estándar de la media. - Cerca del 99.7% de todos los puntajes u observaciones que a menos de tres desviaciones estándar de la media.

69

70 La Desviación Normal o Formula Z. Z = (X - ) / Valor de Z Es el número de desviaciones estándar a las que una observación está por encima o por debajo de la media. X es algún valor específico de la variable aleatoria. es la media. es la desviación estándar.

71 Caso I. Claudia Cáffaro en su viaje que realizó en el fin de semana pasado, para reunirse con los funcionarios de la Casa Matriz de diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que el público al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico y en sus proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron a la conclusión de que las estaturas de sus clientes estaban distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas, con una desviación estándar de 2 pulgadas. Si Claudia fuera a expresar en Valor de Z la estatura de dos de sus clientes, que tienen 64 y 73 pulgadas respectivamente. Que debe hacer? También represéntelo gráficamente.

72 Caso I. PAG. 105 Claudia Cáffaro en su viaje que realizó en el fin de semana pasado, para reunirse con los funcionarios de la Casa Matriz de diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que el público al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico y en sus proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron a la conclusión de que las estaturas de sus clientes estaban distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas, con una desviación estándar de 2 pulgadas. Si se selecciona aleatoriamente a un cliente del negocio de Claudia: Cuál es la probabilidad de que la estatura del mismo esté entre 67 y 69 pulgadas? Cuál es la probabilidad de que la estatura del cliente sea superior a 69 pulgadas? Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 64.5 y 70.3 pulgadas? Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 69.3 y 70.5 pulgadas?

73 Caso I. Claudia Cáffaro en su viaje que realizó en el fin de semana pasado, para reunirse con los funcionarios de la Casa Matriz de diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que el público al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico y en sus proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron a la conclusión de que las estaturas de sus clientes estaban distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas, con una desviación estándar de 2 pulgadas. Si se selecciona aleatoriamente a un cliente del negocio de Claudia: Cuál es la probabilidad de que la estatura del mismo esté entre 67 y 69 pulgadas? Z = (X - ) / Z = (67 67) / 2 = 0/2 = 0 Z = (69 67) / 2 = 2/2 = 1 P(67 X 69) = P(0 Z 1) =

74

75 Caso I. Claudia Cáffaro en su viaje que realizó en el fin de semana pasado, para reunirse con los funcionarios de la Casa Matriz de diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que el público al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico y en sus proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron a la conclusión de que las estaturas de sus clientes estaban distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas, con una desviación estándar de 2 pulgadas. Si se selecciona aleatoriamente a un cliente del negocio de Claudia: Cuál es la probabilidad de que la estatura del cliente sea superior a 69 pulgadas? Z = (X - ) / Z = (69 67) / 2 = 2/2 = 1 P(X > 69) = P(Z > 1) = =

76

77 Caso I. Claudia Cáffaro en su viaje que realizó en el fin de semana pasado, para reunirse con los funcionarios de la Casa Matriz de diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que el público al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico y en sus proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron a la conclusión de que las estaturas de sus clientes estaban distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas, con una desviación estándar de 2 pulgadas. Si se selecciona aleatoriamente a un cliente del negocio de Claudia: Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 64.5 y 70.3 pulgadas? Z = (X - ) / Z = ( ) / 2 = -2.5/2 = Z = ( ) / 2 = 3.3/2 = 1.65 P(64.5 X 70.3) = P(-1.25 Z 1.65) = P(64.5 X 70.3) = P(-1.25 Z 1.65) =

78

79 Caso I. Claudia Cáffaro en su viaje que realizó en el fin de semana pasado, para reunirse con los funcionarios de la Casa Matriz de diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que el público al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico y en sus proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron a la conclusión de que las estaturas de sus clientes estaban distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas, con una desviación estándar de 2 pulgadas. Si se selecciona aleatoriamente a un cliente del negocio de Claudia: Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 69.3 y 70.5 pulgadas? Z = (X - ) / Z = ( ) / 2 = 2.3/2 = 1.15 Z = ( ) / 2 = 3.5/2 = 1.75 P(69.3 X 70.5) = P(1.15 Z 1.75) = P(69.3 X 70.5) = P(1.15 Z 1.75) = 0.085

80

81 La Desviación Normal o Formula Z. Z = (X - ) / Para hallar el valor de X X - = Z X = Z +

82 Caso X. PAG. 108 Cuál es el ingreso que separa el 10% de la gente más pobre del 90% restante de la población dominicana? Si el ingreso medio es de RD$5,200 y la desviación de RD$1,300. La Desviación Normal o Formula Z. Z = (X - ) / Para hallar el valor de X X - = Z X = Z +

83 normal distribution P(lower) P(upper) z X mean std.dev ,

84 Caso X. PAG. 110 Cuál es el ingreso que separa el 10% de la gente más pobre del 90% restante de la población dominicana? Si el ingreso medio es de RD$5,200 y la desviación de RD$1,300. La Desviación Normal o Formula Z = (X - ) / = 0.4 Z(P(0.4)) = Z(P(0.3997))= 1.28 Z(P(0.4015))= 1.29 Para hallar el valor de X X - = Z X = Z + = *1, ,200 = 3,536

85 Media de una Distribución Binomial. E(X) = = n = np Varianza de una Distribución Binomial. ² = n(1- ) = npq Desviacion = n(1- ) = npq Si n es muy grande. p = = denota probabilidad de tener éxito en uno de los n ensayos. q = denota la probabilidad de fracasar en uno de los n ensayos. p + q = 1 p = 1 q q = 1 p n > 5 np > 5 n(1- ) > 5 nq > 5 Si n es muy grande, np y nq son mayores que 5 y p se aproxima a 0.5, entonces podemos aproximar.

86 Caso XI. PAG.108 El 40% de los sindicalistas del Sindicato quiere huelga. Si seleccionan 15 miembros Cuál es la probabilidad de que 10 apoyen un paro? Probabilidad de una x n-x Distribución Binomial P(x) = ncx () (1-) P(x=10 n=15, =0.40) = 15C10*(0.40)*(1-0.40) = 3003 * * = ) Media de una Distribución Binomial. E(X) = = n = np = 15 * 0.40 = 6 2) Varianza de una Distribución Binomial. ² = n(1- ) = npq = 15 * 0.40 * 0.60 = 3.6 3) Desviacion = n(1- ) = npq = )Factor de Correccion de Continuidad X 0.5 = = 9.5 X = = ) Z = (9.5 6) / = 1.85 Z = (10.5 6) / = ) P(9.5 X 10.5) = P(1.85 Z 2.37) = =

87 PROBABILIDADES Y ESTADISTICAS

88 Caso XII. PÁG. 108 Los registros muestran que 45% de todos los automóviles producidos por Ford Motor Company contienen partes importadas de Japón. Cuál es la probabilidad de que los próximos 200 carros, 115 contengan partes japonesas? REALIZAR LOS CASOS DEL I AL XII DE LAS 108 A 110 DEL MANUAL.

89 Binomial distribution 200 n 0.45 p cumulative X P(X) probability expected value variance standard deviation MEGASTAT PROBABILIDADES Y ESTADISTICAS

90 Caso V. VERIZON registro los mensajes telefónicos para sus clientes, los cuales promediaron 150 segundos, con una desviación estándar de 15 segundos. VERIZON desea determinar la probabilidad de que una sola llamada dure: a) Entre 145 y 150. b) Sea mayor que 145. c) Sea menor que 155. d) Entre 145 y 155. e) Sea Mayor que 155. f) Entre 160 y 170 g) Entre 140 y 145.

91 El Teorema del Limite Central indica que en el caso de muestras grandes (n > 30), la distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal con media y desviación estándar /n. Provocando así una variación de la ecuación: Z = (X' - )/( /n) La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema del Limite Central asegurara una distribución normal en las medias muestrales incluso si la población no es normal.

92 Los factores como el costo y el tiempo a menudo limitan severamente el tamaño de las muestras, y es posible que la distribución normal no sea una aproximación adecuada a la distribución de las medias de muestras pequeñas. En muestras pequeñas, la media de muestra X' generalmente es el mejor estimado puntual de la media de la población.

93 La población padre tiene una distribución esencialmente normal. (Dado que a menudo se desconoce la distribución de la población padre, la estimamos construyendo un histograma con datos de muestra.) Condiciones para usar la Distribución t de Student. La muestra es pequeña (n 30). Se desconoce.

94 La muestra es pequeña (n 30). Se desconoce. La población padre tiene una distribución esencialmente normal. (Dado que a menudo se desconoce la distribución de la población padre, la estimamos construyendo un histograma con datos de muestra.)

95 1.- La distribución t de Student es diferente para los diferentes tamaños de muestra. (Ver Figura 7.3 en la Pág. 177). 2.- La distribución t de Student tiene la misma forma general de campana simétrica que la distribución normal estándar, pero refleja la mayor variabilidad (con distribuciones más amplias) que cabe esperar cuando la muestra es pequeña. 3.- La distribución t de Student tiene una media t=0 (así como la distribución normal estándar tiene una media de Z=0).

96 4.- La desviación estándar de la distribución t de Student varia con el tamaño de la muestra, pero es mayor que 1 (a diferencia de la distribución normal estándar, que tiene =1). Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene una media de cero, es simétrica respeto a la media y oscila entre - y +. Sin embargo, mientras que la distribución Z tiene una varianza de ²=1, la varianza de la distribución t es mayor que A medida que aumenta el tamaño de muestra n, la distribución t de Student se acerca mas a la distribución normal estándar. Con valores de n > 30, las diferencias son tan pequeñas que podemos utilizar los valores críticos de z en lugar de crear una tabla mucho más grande de valores críticos de t.

97 ² = (n-1)/(n-3) La varianza depende de los grados de libertad (g.l.), que definimos como el número de observaciones que se pueden escoger libremente. Es el número de observaciones menos el número de restricciones impuestas sobre las observaciones, en donde una restricción es algún valor que tales observaciones deben poseer.

98 g.l. = n - 1 El número de grados de libertad de un conjunto de datos corresponde al número de puntajes que puede variar después de haber impuestos ciertas restricciones a todos los puntajes. Es el número de observaciones menos el número de restricciones impuestas sobre tales observaciones.

99 El estadístico t t = (X'-) / (s / n)

100 Margen de Error para la Estimación de : E = t * s/n Intervalo de Confianza para la estimación de (Basada en una muestra pequeña (n 30) y desconocida) I. C. para estimar = X' E X' - E < < X' + E

101 Caso I. Cuando se usan pruebas destructivas, los elementos de una muestra se destruyen durante el proceso de probarlos. Las pruebas de choques de automóviles son un ejemplo muy costoso de pruebas destructivas. Si usted estuviera encargado de tales pruebas de choque, no querría decirle a su supervisor que necesita chocar y destruir mas de 30 automóviles para poder usar la distribución normal. Supongamos que usted ha probado 12 automóviles deportivos Dodge Viper (Precio d lista actual: US$59,300 dólares) chocándolos en diversas condiciones que simulan colisiones representativas. Un análisis de los 12 automóviles dañados da como resultado costos de reparación cuya distribución al parecer tiene forma de campana, con una media de X'=US$26,227 y una desviación estándar de s=$15,873 (basado en datos de Highway Loss Data Institute). Determine lo siguiente. a) El mejor estimado puntual de la media de población, el costo de reparación medio de todos los Dodge Viper implicados en colisiones. b) El estimado de intervalo del 95% de, el costo de reparación medio de todos los Dodge Viper implicados en colisiones.

102 Solución: a) El mejor estimado puntual de la media de población es el valor de la media de muestra X'. En este caso, entonces, el mejor estimado puntual de es US$26,227 dólares. b) DATOS: n = 12 automóviles deportivos Dodge Viper X'=US$26,227 dólares costo de reparación s =US$15,873 dolares N.F.= 95% ===> t=? I.C. para =? Dada las condiciones anteriores: 1.- La muestra es pequeña (n30). 2.- Se desconoce. 3.- La población padre tiene una distribución esencialmente normal. (Dado que a menudo se desconoce la distribución de la población padre, la estimamos construyendo un histograma con datos de muestra.) podemos usar la Distribución t de Student:

103 g.l. = grados de libertad = g.l. = n-1 = 12-1 = 11 usando la tabla de la distribución t (Pág. 606) con los g.l.=11 y N.C.=95% cuyas colas equivalen a 5% (0.05) determinamos el valor critico t. g.l.=11; I.C. con N.C.=95% (0.950); dos colas=5% (0.050) ==> t=2.201 donde E = t (s/n) E = (15,873/12) = US$10, El intervalo de confianza es: X' - E < < X' + E US$26,227-US$10,085.29< < US$26,227+US$10, US$16,142 < < US$36,312 [Este resultado también podría expresarse en el formato de =US$26,227US$10, o como (US$16,142, US$36,312).] Con base en los resultados de muestra dados, tenemos un 95% de confianza en que los limites de USD16,142 y USD36,312 contendrán realmente el valor de la media de población. Estos costos de reparación parecen muy altos. Efectivamente, el Dodge Viper es actualmente el automóvil más costoso de reparar después de una colisión. Tal información es importante para compañías que aseguran Dodge Vipers contra choques.

104 Caso II. Utilice el grado de confianza y los datos de muestra dados para determinar (a) el margen de error y (b) el intervalo de confianza para la media de la población. 1) Estaturas de mujeres: confianza del 95%; n=10, x'=63.4 pulg., s=2.4 pulg. 2) Promedios de calificaciones: confianza del 99%; n=15, x'=2.76, s=0.88 3) Puntajes en una prueba: confianza del 90%; n=16, x'=77.6, s=14.2 4) Salarios de policías: confianza del 92%; n=19, x'=$23,228, s=$8,779 Caso III. Ejercicios 12 al 18 Págs y Analizar figura 7.4 Pág. 179.