TEMA 5. POLINOMIS - I

Transcripción

1 1 EXPRESSIÓ ALGEBRAICA TEMA POLINOMIS - I Professor de r ESO Roger Maurco Grañó Ua epressó algebraca és s u cout de ombres lletres llgats amb els símbols, -,, : ( )) a : ( ) S les epressos algebraques cotee u símbol s gual (=), dstgm: Formules fucos: Igualtats: Idettats: Equacos: 1= 1= S = π r = Igualtat certa Igualtat falsa 1 v t a t S les epressos algebraques presete cògtes, dstgm: ( a b) (a b) = a b Vàlda per a qualsevol valor de les cògtes = Vàlda per a valors cocrets de les R Maurco cògtes 1 Epressó algebraca Moom ÍNDEX DE CONTINGUTS Operacos amb mooms Suma, resta, producte dvsó Defcó de polom 1 Tpus de poloms Prcp d gualtat d etre poloms 6 Valor umèrc d u d polom Operacos amb poloms Suma, resta producte 8 Potèces de poloms productes otables 9 Dvsó de poloms R Maurco MONOMI U moom és s ua epressó algebraca formada pel producte de la part lteral (cògta amb epoets aturals) el coefcet o part t umèrca al davat y y Part lteral Coefcet Aomeem grau del moòm a la suma dels epoets de la la part lteral y y Coefcet Varable Part lteral Grau ; y y - R Maurco

2 Defcos prèves MONOMI Mooms semblats: : Dem que dos mooms só s semblats qua la part lteral dels mooms só s dètques y y y y Mooms semblats Mooms o semblats Mooms oposats: Só mooms semblats que tee coefcets cotrars y y y y Mooms oposats Mooms o oposats R Maurco OPERACIONS AMB MONOMIS Dvsó de mooms Per dvdr mooms cal que l epoet l de cada varable del umerador sgu maor o gual que les de les varables del deomador Dvdrem els coefcets les parts lterals per separat y y = y y = y Feu-vos que el grau del moom resultat és s la resta dels graus dels mooms a dvdr Pàga 1 Fotocòpes d eerccsd Eercc 1, Apartat Tots els apartats R Maurco Tots els apartats OPERACIONS AMB MONOMIS Els mooms es pode sumar, restar multplcar dvdr Suma resta de mooms Per poder sumar o restar mooms cal que aquests sgu semblats s Es sume o reste els coefcets es dea la matea part lteral l 6 = ( ) = 1 = ( ) = = Aquests mooms o es pode sumar perquè o só s semblats =?? Producte de dos mooms Per multplcar mooms, multplquem els coefcets etre s les parts lterals etre s Feu-vos que la ova part lteral tét u epoet suma dels aterors a b = a b ( ) ( ) R Maurco 6 ( ) ( ) = ( ( ) )( ) = U polom amb ua varable és epressó algebraca formada per la suma de mooms de graus dferets p () = a o, a, a, a dque: DEFINICIÓ DE POLINOMIS a1 a a : el grau del polom p() (grau (p()( p()) ) És s u ombre atural ( N) ) és l epoet més m s gra de tots a : els coefcets reals (a( R, =1,,) ) del polom p() [1] a : moom de grau del polom p() a : terme depedet del polom p() També és s el coefcet del moom de grau zero : determada o varable del polom p() [1] R Maurco 8 S els coefcets a R dem que p() R[], és s a dr que el polom tét coefcets reals

3 1 TIPUS DE POLINOMIS Algus poloms s aomee s de forma dferet e fucó del ombre de mooms que els forme E aquest cas parlem de mooms, boms o troms S tee més m s de tres mooms s aomee s poloms de forma geeral Polom reduït: Polom que o tét mooms semblats p () = Polom complet: : Polom que tét tots els mooms de grau meor que él grau del polom p () = Polom ordeat: : Polom que tét tots els seus mooms ordeats de maor a meor grau o a l revl revés p() = p () = R Maurco 9 PRINCIPI D IGUALTAT Dem que dos poloms só s guals s tee el mate grau grau(p())=grau(q()) s tots els coefcets d gual d grau só s cocdets dos a dos Cosdereu els poloms p() = 1 q() = a b c d Quat ha de valer a, b, c d perquè els poloms sgu guals? p( ) = 1 Pel prcp d gualtat tem que: a = 1 b = b = 1 c = d = q( ) = a b c d c = d = R Maurco 11 1 TIPUS DE POLINOMIS 6 VALOR NUMÈRIC D UN POLINOMI S substtuïm m la varable per u valor b R,, dem que p(b) és s el valor umèrc del polom per a = b val: p () = a a1 a a p (b) = a a1 b a b a b p () = S, = -: 8 p( ) = ( ) ( ) 8 ( ) = El valor del polom p () = 8 és - qua val - escrurem: : p(-) = - R Maurco 1 R Maurco 1

4 OPERACIONS AMB POLINOMIS OPERACIONS AMB POLINOMIS Suma de poloms Sgu dos poloms P() Q() amb grau (P()( P()) ) < grau (Q()( Q()) p() = a a1 a a,m N m m < q() = b b1 b bm Aleshores defm la suma de poloms (P()( Q()) ) com: p () q() = (a m b ) (a1 b1) (a b ) (a b ) ( bm ) De la suma deduïm m que: grau(p()q() P()Q()) màm ( grau (P()( P()), grau(q() Q())) p() = 8 q() = 1 p() q() = 1 6 grau(p() q()) ma(grau(p(),q())) R Maurco 1 ma(,) R Maurco 1 Propetats de la suma de poloms Propetat assocatva ( p () q() ) r() = p() ( q() r() ) Propetat commutatva OPERACIONS AMB POLINOMIS p () q() = q() p() Estèca del polom eutre respecte la suma p () () = p() () = v Estèca de l elemet smètrc respecte la suma p() p * () = p * () = p() L elemet eutre respecte la suma és s el polom zero L elemet smètrc respecte la suma és s el polom oposat R Maurco 1 a Producte de poloms Sgu els poloms p() q() OPERACIONS AMB POLINOMIS p() = a a1 a a amb,m N m q() = b b1 b bm Defm el producte de poloms (p()( p() q() q()) com la suma de tots els productes de mooms dos a dos p() q() = m = 1 = 1 a b El producte es mostra mllor a la taula de la següet et dapostva R Maurco 16

5 p() a a 1 a a q() OPERACIONS AMB POLINOMIS b a b a 1 b a b a b b 1 a b 1 a 1 b 1 a b a b 1 a b Del producte de poloms veem que es comple que: grau(p() q()) = grau(p()) grau(q()) b a b a 1 b a b b m m a b m m a 1 b m m1 a b m m a b m m R Maurco 1 OPERACIONS AMB POLINOMIS A la pràctca farem el producte aplcat l algortme clàssc de la multplcacó p() = p() q() q() = R Maurco OPERACIONS AMB POLINOMIS p() = q() = p () q() = 1 6 R Maurco 18 b Propetats del producte de poloms Propetat assocatva ( p () q()) r() = p() ( q() r() ) Propetat commutatva p () q() = q() p() OPERACIONS AMB POLINOMIS Propetat dstrbutva respecte la suma de poloms ( p () q() ) r() = p() r() q() r( ) v Estèca del polom eutre respecte el producte p () () = p() () = 1 v No este l elemet smètrc respecte el producte R Maurco

6 OPERACIONS AMB POLINOMIS 8 POTÈNCIES DE POLINOMIS I PRODUCTES NOTABLES S Calculeu: (a b) (a b) (a b) (a b) = (a b) (a b) = (a = (a b) (a b) = (a ab b ) (a b) = a ab b ) (a b) = a a b ab a b ab (a b) (a b) = (a ab b ) (a ab b ) = = a a b 6a b ab b = (a b) (a b) = (a a b ab b ) (a b) = = a a b 6a b ab b (a b) (a b) = (a ab b ) (a ab b ) = = a a b 6a b ab b = (a b) (a b) = (a a b ab b ) (a b) = = a a b 6a b ab b b b R Maurco 1 R Maurco 8 POTÈNCIES DE POLINOMIS I PRODUCTES NOTABLES 1 Potèces de poloms Sgu p() u polom de grau Sgu m u ombre atural m N La potèca m-èsma de p() (escrurem [p()] m ] s escru com: 8 POTÈNCIES DE POLINOMIS I PRODUCTES NOTABLES [p()] m = m) p() p() El resultat que s obts obté és s u polom de grau m (grau( [p()]m = m ) Productes otables Boms al quadrat A r d ESO heu de coèer els següets productes otables (a b) = a b ab (a b) = a b ab (a b) (a b) = a b A r d ESO qualsevol altra potèca R Maurco es dedurà a partr d aquests tres productes R Maurco

7 9 DIVISIÓ DE POLINOMIS 1 Defcó de dvsó Sgu p() q() dos poloms qualssevol, amb grau (p()( p()) grau (q()( q()) S estee dos poloms c() r(),, que aomearem polom quocet polom resta respectvamet, que complee: p () = c() q() r() drem que p() és s dvsble per q() El polom p() s aomea polom dvded el polom q() s aomea polom dvsor S el resdu de la dvsó és zero,, dem que la dvsó és eacta Es mportat remarcar que sempre es complrà que: grau (r()) < grau (q()) grau (c()) = grau (p()) - grau (q()) R Maurco ( / 1 8 ( 8 9 DIVISIÓ DE POLINOMIS p() = Dvdu els poloms p() q() / ) 19 q() = 1 ) 1 R Maurco 9 DIVISIÓ DE POLINOMIS H ha tres mètodes m per dvdr poloms L aplcacó de la defcó de dvsó (t ESO, 1r BATX) L algortme de la dvsó (r ESO) La dvsó per Ruff (r ESO) (Plateamet d u d sstema d equacos) d A determar L algortme de la dvsó (r ESO) Per dvdr el polom p() (dvded) etre el polom q() (dvsor) dsposarem els poloms de la següet forma p() r() q() c() R Maurco 6 R Maurco 8