GUÍA DE ESTUDIO MODULAR

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1 GUÍA DE ESTUDIO MODULAR MATEMÁTICA APLICADA SEGUNDO NIVEL TECNOLOGÍAS EN: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MENCIÓN CONTABILIDAD Y AUDITORIA AUTOR: ING. MYRIAM MONTEROS Correión: Aprobado: Ediión: Comisión de Redaión Vierretorado Aadémio Instituto Superior Tenológio David Ausubel PERÍODO: Otubre 0 abril 06 QUITO - ECUADOR

2 PARA USTED APRECIADO ESTUDIANTE NO OLVIDE QUE EL ESFUERZO Y LA PERSEVERANCIA MÁS EL ESTUDIAR Y TRABAJAR ENGRANDECE AL SER HUMANO. Y USTED DEPENDE EL ENGRANDECERSE El Instituto Tenológio Superior David Ausubel, da la bienvenida a este su módulo de Matemátia Apliada y espera que el desarrollo del mismo aporte para su vida proesional.

3 NOTA: EN ESTE TEXTO GUIA SE ENCUENTRA DESARROLLADOS LOS TEMAS QUE CORRESPONDEN A ESTE MÓDULO, Y LAS TAREAS QUE USTED DEBE DESARROLLAR; CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED LLEGARÁ A DOMINAR EL CONOCIMIENTO.. EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA MEDIANTE LA EXPLICACIÓN DEL TUTOR YA SEA DE MANERA PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO ELECTRONICO.. LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR, DE ACUERDO A LAS FECHAS DEL CALENDARIO Y DE ACUERDO AL DESARROLLO DEL MÓDULO. 3. ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS TUTORÍAS PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO DE ACTIVIDADES. 4. TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERÁ EVALUADO CUANTITATIVAMENTE.. AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MÓDULO EN SU TOTALIDAD. 6. DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL CORREO DE LA DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA. Galo Jáome galojp6@hotmail.om Doente Vierretoradoaademio@davidausubel.edu.e 3

4 GRACIAS.. PERFIL DE CARRERA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MENCIÓN CONTABILIDAD Y AUDITORIA. a OBJETIVO DE FORMACION INTEGRAL DEL PROFESIONAL Formar proesionales on personalidad deinida, altos valores étios, morales, ulturales y espíritu emprendedor; preparados ientíia y tenológiamente para iniiar y administrar pequeñas y medianas empresas, on apliaión del Meradeo, Finanzas, Produión y Administraión; omprometido on el desarrollo sostenido y sustentable del país. b PERFIL DEL TECNÓLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORÍA Es un proesional emprendedor apaz de apliar sistemas ontables y meanismos de ontrol ontable y inaniero, sobre bases ientíiometodológias y legales, demostrando espíritu emprendedor y altos valores étios y morales. COMPETENCIAS DEL TECNÓLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORÍA Demostrar eiienia en el manejo ontable y inaniero en el setor empresarial y públio Partiipar en auditorías de la atividad ontable y inaniera en empresas y organizaiones Adoptar deisiones oportunas en el manejo ontable y inaniero, en unión de la eiienia y eiaia empresarial Desarrollar los meanismos de ontrol interno que promuevan la eiienia, reduzan los riesgos de pérdida de ativos, asegurar la oniabilidad de los estados inanieros dentro del maro de umpiento de las leyes y regulaiones 4

5 Administrar su propia miroempresa de serviios ontables y de auditoría. SISTEMATIZACIÓN DE LAS COMPETENCIAS DEL TECNÓLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORÍA d NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL Apliar orretamente sus onoimientos miro y maro eonómios en una planiiaión estratégia Llevar a abo proyetos de auditoría en su propia miroempresa F ESCENARIOS DE ACTUACION El tenólogo en Contabilidad y Auditoría podrá desenvolverse en: Empresas del Setor públio o privado Empresas naionales o internaionales Pymes Industrias Banos Finanieras ONG Centros eduativos Su propia miroempresa de serviios administrativos Tenología en Administraión de Empresas G OCUPACIONES PROFESIONALES El tenólogo en Contabilidad y Auditoría podrá desempeñarse omo: Administrador de pequeñas y medianas empresas Diretor departamental Jee de oiina Asesor de pequeñas y medianas empresas Funionario banario Administrador de su propia miroempresa

6 INTRODUCCIÓN La Matemátia Apliada es una rama de la Matemátia muy utilizada para la resoluión de problemas prátios que se presentan on reuenia en la vida otidiana. Es indispensable que los interesados en inursionar en este estudio tengan las noiones undamentales del algebra, geometría analítia y trigonometría. Por otro lado es neesario que el alumno este amiliarizado on el manejo de los números reales y haya adquirido ierta prátia en la realizaión de operaiones elementales tanto de igualdad omo de desigualdad. Si usted omo estudiante desea aprender esta asignatura es undamental que se le dedique el tiempo neesario todos los días, para que eista una asimilaión orreta de los ontenidos. La guía está estruturada en uatro apítulos que permitirán una mejor ompresión de los oneptos neesarios para dominar la asignatura. 6

7 Capítulo I: CONTINUIDAD CONTENIDOS. Deiniión. Continuidad.3 Teoremas sobre ontinuidad.4 Continuidad uniorme. Funiones asi ontinuas Capitulo II: DERIVADAS. Deiniiones básias. Interpretaión geométria.3 Regla general para derivar uniones.4 Derivadas de uniones algebraias. Derivadas de uniones logarítmias y eponeniales.6 Derivadas de uniones ompuestas.7 Derivadas de uniones inversas Capitulo III: INTEGRAL INDEFINIDA 3. Deiniión 3. Reglas para integrar uniones elementales e integraión de potenias 3.3 Potenia 3.4 Propiedades de integraión Capitulo IV: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 4. Integraión por sustituión 4. Integraión por partes BIBLIOGRAFÍA 7

8 COMPETENCIAS GENERALES COMPETENCIAS Comprender y apliar los proesos orrespondientes en la determinaión del la ontinuidad de una unión. Apliar el onepto de la derivada en la diereniaión de uniones. Comprender y apliar los proesos orrespondientes en la determinaión del la integraión de uniones. Utilizar y apliar la integraión de una unión en la resoluión de problemas prátios. Entregar las herramientas neesarias de las ienias eatas para permitir que el estudiante llegue a un dominio en uanto al onoimiento de las matemátias. COMPETENCIAS POR UNIDADES Determinar la ontinuidad o disontinuidad de una unión. Resolver problemas relativos a la pendiente, reta tangente, diereniabilidad y ontinuidad de una unión. Apliar los teoremas de la diereniabilidad de uniones algebraias en la resoluión de problemas prátios. Calular las derivadas de uniones trigonométrias, logarítmias, eponeniales y uniones ompuestas. Determinar la integraión de uniones on potenias. Integrar uniones por dierentes métodos. 8

9 Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los proesos matemátios. Lograr en el alumno el desarrollo de apaidades para el manejo de las matemátias. Avalizar en el estudiante el prinipio de aprendizaje su apaidad para reeptar y pratiar problemas. 9

10 REPASO SOBRE LÌMITES El límite es un onepto que desribe la tendenia de una suesión o una unión, a medida que los parámetros de esa suesión o unión se aeran a determinado valor. En álulo espeialmente en análisis real y matemátio este onepto se utiliza para deinir los oneptos undamentales de onvergenia, ontinuidad, derivaión, integraión, entre otros. Deiniión rigurosa LIMITES DE FUNCIONES Inormalmente, se die que el límite de la unión es L uando tiende a, y se esribe: Si se puede enontrar para ada oasión un suiientemente era de tal que el valor de sea tan próimo a L omo se desee. Ejemplos:. Determine 4 3. Enuentre Teoremas prinipales sobre los límites 0

11 n n n n g g g g g g g g k k k k Teorema de sustituión. Sea una unión polinomial o una unión raional entones Límites ininitos. Para alular límites al ininito es neesario dividir ada término de la epresión para el on el mayor eponente y reordar que 0 y 0. Ejemplos: Calular ada uno de los siguientes límites.

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13 . CONTINUIDAD CAPITULO I. Deiniión: Sea deinida en un intervalo abierto que ontiene a. Deimos que es ontinua en si:. CONTINUIDADA.3 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD A. Continuidad de uniones polinomiales y raionales Una unión polinomial es ontinua en todo número real. Una unión raional es ontinua en todo número real en su dominio, esto es, en todas partes eepto en donde el denominador es ero. B. Continuidad de las uniones valor absoluto y raíz n-ésima La unión valor absoluto es ontinua en todo valor real. Si n es impar la unión raíz n-ésima es ontinua en todo valor real ; si n es par, la raíz n-ésima es ontinua en todo valor positivo real. C. Continuidad de uniones trigonométrias Las uniones seno y oseno son ontinuas en todo número real. Las uniones tan, tan, s, se, son ontinuas en todo número real en sus dominio. D. Teorema del valor medio Si es una unión deinida en un intervalo [ a, b ] y sea W un número entre a y b. Si es ontinua en [ a, b ], entones eiste al menos un número entre a y b tal que = W Ejemplos: Determinar la ontinuidad de las siguientes uniones: 3

14 a. Por ser polinomial es ontinua en todos los números reales. b. Como se trata de una unión raional se puede notar que si = el denominador se hae ero y por lo tanto eistiría una indeterminaión, entones es ontinua en todos los números reales eepto en Como podemos observar si = -3 en el denominador la unión no eiste, por lo tanto podríamos deir que la unión es disontinua todos los números reales eepto en -3; pero si aturamos el numerador y simpliiamos. 3 3 Podemos onluir que la unión es polinomial y por lo tanto es ontinua en todos los reales El atoreo es de muha ayuda en las uniones polinomiales.4 CONTINUIDAD UNIFORME Las uniones polinomiales, valor absoluto, sen y os, son ontinuas de orma uniorme.. FUNCIONES CASI CONTINUAS Cualquier otra unión que no sean las nombradas anteriormente son asi ontinuas, ya que tienen por lo meno un número real donde la unión no eiste. 4

15 EJERCICIOS Determinar la ontinuidad de las siguientes uniones: a. 3 6 b d. 4 e g. 6 3

16 . DERIVADAS CAPITULO II. DEFINICIÓN BÁSICA E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA En matemátia, la derivada de una unión es uno de los dos oneptos entrales del álulo. Las derivadas se deinen tomando el límite de la pendiente de las retas seantes onorme se van aproimando a la reta tangente. La derivada de una unión en un ierto punto es una medida de la tasa en la ual una unión ambia onorme un argumento se modiia. Esto es, una derivada involura, en términos matemátios, una tasa de ambio. Una derivada es el álulo de las pendientes instantáneas de en ada punto. Esto se orresponde a las pendientes de las tangentes de la gráia de diha unión en el punto dado; dihas tangentes pueden ser aproimadas por una seante que pase por dos puntos muy eranos al punto bajo el que se desea obtener la tangente. Las uniones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertial la ual tiene una pendiente ininita, una disontinuidad o bien un pio. La Diereniaión puede ser usada para determinar el ambio que se produe omo resultado de otro ambio, si está determinada una relaión matemátia entre dos objetos. 6

17 Una unión es diereniable en un punto si su derivada eiste en ese punto; una unión es diereniable en un intervalo si lo es en ada punto perteneiente al intervalo. Si una unión no es ontinua en, entones no puede ser diereniable en ; sin embargo, aunque una unión sea ontinua en, puede no ser diereniable. Es deir, toda unión diereniable en un punto C es ontinua en C, pero no toda unión ontinua en C es diereniable en C omo = es ontinua pero no diereniable en = 0.. REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES Es diíil hallar diretamente la pendiente de la reta tangente de una unión porque sólo onoemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la unión. Por ello, aproimaremos la reta tangente por retas seantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las seantes próimas, obtendremos la pendiente de la reta tangente. Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variaión en, y puede ser tanto positivo omo negativo. La pendiente de la reta entre los puntos, y + h, + h es: Esta epresión es un oiente dierenial de Newton. La derivada de en es el límite del valor del oiente dierenial onorme las líneas seantes se aeran más a la tangente: Si la derivada de eiste en ada punto, podemos deinir la derivada de omo la unión uyo valor en el punto es la derivada de en. Puesto que la inmediata sustituión de h por 0 da omo resultado una división por ero, alular la derivada diretamente puede ser poo intuitivo. Una ténia es simpliiar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser anelada. Esto resulta muy senillo on uniones poli nómias, pero para la mayoría de las uniones resulta demasiado ompliado. Aortunadamente, 7

18 hay reglas generales que ailitan la diereniaión de la mayoría de las uniones desritas; ver abajo. Algunos ejemplos de ómo utilizar este oiente: Ejemplo:. Consideremos la siguiente unión: Entones: Esta unión es onstante, para ualquier punto de su dominio vale por eso +h=. Nótese el último paso, donde h tiende a ero pero no lo toa. Si pensamos un poo, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la reta tangente a la urva, es a la vez, la reta seante a la misma urva.. Consideremos la gráia de. Esta reta tiene una pendiente igual a en ada punto. Utilizando el oiente mostrado arriba junto a los oneptos de límite, seante, y tangente podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y : Entones: 8

19 El valor de la unión derivada de una reta es igual a la pendiente de la misma. 3. Mediante esta diereniaión, se puede alular la pendiente de una urva. Consideremos que: Entones: Para ualquier punto, la pendiente de la unión es. NOTACIÓN La notaión más simple para la diereniaión que se utiliza en la atualidad se debe a Lagrange y utiliza un apóstroo o omilla:. De esta manera se epresan las derivadas de la unión en el punto = a, se esribe: Para la primera derivada, Para la segunda derivada, Para la terera derivada, y luego de orma general, Para la n-ésima derivada donde normalmente se da que n > 3. 9

20 Para la unión uyo valor en ada es la derivada de, se esribe. De orma similar, para la segunda derivada de se esribe, y así suesivamente. La otra notaión omún para la diereniaión se debe a Leibniz. unión uyo valor en es la derivada de en, se esribe: Para la Se puede esribir la derivada de en el punto a de dos ormas distintas: Si la resultante de es otra variable, por ejemplo, si y=, se puede esribir la derivada omo: La notaión de Newton para la diereniaión onsiste en poner un punto sobre el nombre de la unión: y así suesivamente. La notaión de Newton se utiliza prinipalmente en la meánia, normalmente para las derivadas on respeto al tiempo tales omo la veloidad y la aeleraión y en la teoría de euaiones diereniales ordinarias. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas. Otra notaión onsiste en oloar una letra D mayúsula para indiar la operaión de diereniaión on un subíndie que india la variable sobre la que se derivará: D, 0

21 que es equivalente a la epresión: En ese onteto se onsidera a la diereniaión omo una operaión sobre uniones, de modo que los símbolos diereniales. y D son llamados operadores DERIVADAS DE FUNCIONES NOMBRE FUNCIÓN DERIVADA CONSTANTE ALGEBRAICA LOGARÍTMICA EXPONENCIAL TRIGONOMÉTRICAS k n log a ln n n ln a a a ln a e e sin os os sin tan se se se tan ot s s s ot FUNCIONES COMPUESTAS NOMBRE FUNCIÓN DERIVADA SUMA o DIFERENCIA g h g h PRODUCTO g h g h g h

22 COCIENTE h g h h g h g FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS sin os tan Ejemplos: Derivar las siguientes uniones: a. b.. NOTA: El desarrollo algebraio de lo deja al estudiante. ELERCICIOS Derivar las siguientes uniones: es un produto

23 log 6. 3 e 7. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN Regla de la adena Deiniión: Sea y = u, u = g. si g es diereniable en y es diereniable en u = g, entones la unión ompuesta deinida por g es diereniable en y: g d d g * g En palabras deimos que: La derivada de una unión ompuesta es la derivada de la unión eterior evaluada en la unión interna por la derivada de la unión interna. DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior apareen desde la segunda derivada en adelante, onsisten en derivar la unión inmediatamente anterior uantas vees sea neesario. ó para la n-ésima derivada de o y respetivamente. Históriamente, esto proviene del heho de que, por ejemplo, la terera derivada es: que se puede esribir sin muho rigor omo: 3

24 Einando las llaves nos da la notaión que está arriba. 4

25 3. INTEGRAL INDEFINIDA CAPITULO III 3. Deiniión: Llamamos a F una antiderivada de en el intervalo I si D F = en I, esto es si F = para todo en I. Teorema : Regla de la potenia Si r es ualquier número raional eepto -, entones: r r d C r Corolario: Regla generalizada de la potenia g r r g g d r C Teorema : La integral deinida es un operador lineal. Sean y g antiderivadas integrales indeinidas y sea k una onstante. Entones: a. d k k d b. g d d g d. g d d g d 3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIÓN Esta propiedad india que podemos saar un ator onstante de la integral.

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28 4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Teorema : Regla de sustituión CAPITULO IV Sea g una unión derivable y suponga que F es una antiderivada de. Entones u = g g g d u du F u C F g Teorema : Integraión por partes v u v v u u d Teorema 3: Integraiones trigonométrias C Ejeriios resueltos Eetúe las operaiones de antidiereniaión que se indian, apliando las propiedades orrespondientes en ada aso: 8

29 S o l u i o n e s. Soluión:. Soluión: 3. Soluión: 9

30 4. Soluión:. Soluión: 30

31 6. Soluión: 7. Soluión: 3

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33 33 AUTOEVALUACIÓN PARA CAPÍTULOS Y Realie las integrales indiadas: d e dt t d d d b d a os tan 3 d k dt t t j d i d e h d g s ln os Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejeriios: t t dt e d d d d b d a TABLA DE INTEGRALES

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37 BIBLIOGRAFÍA PURCELL, VARBERG, RIGDON, 003, Cálulo Dierenial e Integral, Pearson Prentie Hall, Euador. GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, 974, Cálulo Dierenial e Integral, Uteha, Méio. 37