Final sin Prácticas (Resolución)

Transcripción

1 Final sin Prácticas Resolución 9 de mayo de 7 Fundamentos de Matemáticas Grado. de Ing. Diseño Ind. y D. de P. 4, si Sean f =, si <, f = y f = e, si > e función y unas epresiones genéricas de sus derivadas primera y segunda. a Estudiar el dominio y la continuidad de f b Estudiar la derivabilidad de f y dar el dominio eacto de f y su epresión c Estudiar la derivabilidad de f y dar el dominio eacto de f y su epresión d La función f, es de clase en =? por qué? e Qué puntos son candidatos a albergar un etremo local de f? 4 4 f Estudiar la monotonía, la concavidad, los etremos locales y puntos de infleión de f g Hallar todas las asíntotas de f indicando su comportamiento h Hacer un esbozo de su representación gráfica Solución: Las funciones f = 4, f = y f = e que conforman f, están formadas por polinomios y eponencial y cociente de polinomios que son continuas y derivables infinitamente en sus dominios Domf = R 4} se anula el denominador en 4 y Domf = Domf = R, en consecuencia, f es continua y derivable en, 4 4, por serlo f, en, por serlo f y en, por serlo f. a Domf = R 4} por f. Veamos la continuidad en y : f 4 = 4 = =f f = 4 4 = 4 5 f = = =f f e = = luego f es continua en y discontinua en continua por la izquierda y de salto finito b f es derivable en, 4 4,, luego f = 4 4 = 6 4. f es derivable en, luego f = = Así pues f es derivable en R 4,, } seguro no lo es en po no ser continua y solo queda comprobar. f = = f e = = = f = 6 4, si, 4} Entonces, Domf = R 4, } y f =, si < e, si > c f es derivable en, y f = e ; f lo es en, 4} y f en,. De nuevo, f es derivable seguro en R 4,, } y solo falta comprobar el 4 f = = f e = = f Entonces, Domf = R 4,, } y f =, si < < e, si > 4, si, 4} 4 d No porque no tiene derivada segunda en. Sí tiene derivada primera con continuidad luego f es de clase en e Los puntos del dominio donde no sea derivable f,, y los que anulen f : Para f en, 4}, será 6 = = = 6 = no está en el dominio Para f en, ], será = = = = no está en el dominio Para f en,, será e = que no se anula nunca Luego, 6, } f f > para <, si f > para <<, si > 6 < < 6 > > > << f > para >, si e > que lo es siempre luego > Luego f es creciente en, 6, y decreciente en 6, 4 4,,. una

2 f > para <, si 4 4 f > para <<, si 4 > 4 > > 4 4 > > > f > para >, si e > que no lo es nunca Luego f es cóncava en 4,, y convea en, 4,,, y tiene puntos de infleión en 4, y pues cambia de concavidad y es continua no lo tiene en, por la no continuidad. Para los etremos, donde hay continuidad todo salvo en se aprecia el máimo local f 6 = 9 y el mínimo local f =. Donde no hay continuidad, en, es f decreciente antes de hasta el valor f = f = y decreciente después de desde el valor f = 4 5 luego el valor f = es un mínimo local g Hemos visto que sólo puede haber asíntota vertical en 4, y la hay h 4 ± 4 = 4 = ± ± por ambos lados f cuando 4 y f cuando 4. Veamos si en hay una asíntota del tipo y = m n: f e m e = = n f e e = Veamos si en hay una asíntota del tipo y = m n: m = n = f 4 = f = 44 4 = = = = f 9 = f 6 Etremos locales Pts. infleión onsidera la función f = 4 ln a La derivada f 7 cuanto vale? Por qué? b Estudia si el valor f es etremo local de la función. Si es cierto, de qué tipo? c Hay algún valor de m Z para el que f m tg es un valor finito no nulo? Solución: Teniendo en cuenta que es la composición de y h = ; que la composición de y h = ; que la composición de y h = ; ln la composición de ln y h = y que ln es la primitiva de que en vale, serán: = 6 7 = = 6 7 = = ln = t dt tt t t 4 t 5 t 6 t 7 dt = ln 4 4. Sustituyendo estos, hasta el orden necesario, en f para obtener su polinomio de Taylor en, P : P = = = = 4

3 a El término de grado 7 de P es f 7 7! 7 = 7, luego f 7 = b La primera derivada no nula en es de orden 4, un orden par y de valor negativo, luego f es un máimo local c Usando que tg en, se tiene que tg ; además P es el polinomio de MacLaurin de f en, luego f m tg m m y este ĺımite es finito no nulo si y solo si m =, luego para m = que es un número entero. La derivada de una función continua f:, ] R, tiene por Domf =,, y su gráfica es la de debajo a Encontrar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad de f b Encontrar los puntos de infleión y los etremos locales de f c Si f es derivable donde lo parece, que dominio tiene f? Solución: La gráfica que vemos es la de f, luego donde sea positiva f será creciente y donde sea negativa f decrecerá. Si f crece f es positiva y f será cóncava y si f decrece f es negativa y f será convea. Luego a f es decreciente en, y creciente en, ; f será cóncava en, 4,, y convea en 4,,, b La función f es continua en todos los puntos, luego donde cambie de concavidad serán puntos de infleión: 4,,, y. Por ser continua solo tendrá etremos interiores cuando cambie la concavidad: es decreciente antes de y creciente despues, luego f es mínimo. Y en el punto etremo, f es creciente antes de luego f es máimo. c f eistirá en los puntos de continuidad de f que no formen picos, luego Domf = Domf 4,, } =, 4,,, } 4 Si h = h, si Domh y f =, estudiar el dominio, la continuidad y la, si / Domh derivabilidad de las funciones F = ftdt y G= ftdt Solución: La función h es cociente de polinomios y valor absoluto, luego es continua en su dominio R ±}, además: f h ± ± ± ± = ± ± h = y h = luego f no es continua en, pero sí acotada y no es continua ni acotada en ni en ni en. Luego F está definida en, pues f es integrable en cualquier [a, b] que no contenga al. Además es continua en su dominio y derivable seguro en, } por la continuidad de f. No lo es en, ya que F f ± h = ± ± ± y no coinciden. La función G es G = F, una composición, luego DomG = R : < } de donde < < < < 4 < 4 < y entonces DomG =,. G es continua en su dominio por ser composición de continuas, y de derivables ecepto cuando se anula el módulo que no hay derivación, = ±, y cuando valga que no es posible donde no es derivable F. Veamos en ±: la epresión de G es G = F f, si = f, si < luego G f = f = G f = f G f = f = G f = f y G es derivable en ambos puntos.

4 5 onsidera la figura de la derecha formada con el triángulo de vértices en,,, y, y las circunferencias y = y y =, con centro en, y, a Plantear el cálculo del área del recinto interior usando solo integrales b Plantear el cálculo del volumen engendrado al girar la figura alrededor del eje. Obtener su valor Solución:, y =, y = a Es más sencillo el cálculo del área integrando en y, pero como luego hay que calcular el volumen de revolución al girar alrededor del eje, lo hacemos todo en. Así, obtendremos el área del triángulo las primeras integrales, I e I y le añadimos el área del semicírculo inferior de la circunferencia y y = = que es igual que el semicírculo superior, con I ; y hacemos el hueco restando el área bajo la semicircunferencia superior de y = en azul y = en la figura, I 4 y volvemos a añadir la parte inferior que hemos eliminado: los dos trocitos bajo la semicircunferencia inferior de y = en rojo, I 5 e I 7 y el trozo bajo la semicircunferencia superior de y y = = en verde, I 6. Únicamente añadir que el punto de corte entre las dos circunferencias se produce para y =, luego para = 4 = 4 y = ± A = I I I I 4 I 5 I 6 I 7 = d d d d d, d d b Para el volumen es casi lo mismo salvo el semicírculo inferior que no hay que tenerlo en cuenta ya que se sobreescribe con la parte superior del recinto. Así, el volumen que suma y el que debemos restar para hacer el hueco nos queda: giramos el triángulo completo V y V, hacemos el hueco restando todo el volumen que genera el área bajo el semicírculo superior de y = V 4 y añadimos lo eliminado de debajo V 5, V 6 y V 7 V = V V V 4 V 5 V 6 V 7 = π ] V π = d d ] = 9 9 ] = 5 5 π π d d π π d d ] ] d cos tdt 7 5 π cos tdt = G π π π d π d d ] d d d con el cambio de abajo G = π π 4π π π 4π = 4π * on = sent d = costdt tiene que =sen π es cos tdt 5 7 G G G π G π d = cos sen t tdt = cos tdt = t = Gt y además se, =sen, =sen π y =sen

5 6 Hallar una función f de la que se sabe que su primitiva cumple que: Solución: Haciendo y = ftdt, es y = f y tenemos la ecuación diferencial Es lineal, pues: y y = = y y = y separable y y = = y = y = dy d = y = dy dy Usemos esto último: y = d = ln y = ftdt f = y y = y = d d = ln = lnec ln luego ln y = lne = y = e e = e = K y con K > = e = K y con K R } = e K = y = y = e K omo la y = f = y = e e ftdtf = será = e K = K = e = K = y entonces será Nota: Hemos eliminado como posible solución a y = al dividir por y, que es una solución de la ecuación pues =, pero como y = no nos vale. } 7 omprobar que B = X, X, X X es base de R [X], que la epresión p, q = [p] t B 5 [q] B define un producto escalar en R [X] y hallar los polinomios de una base ortonormal para ese producto Solución: En efecto son base, pues si tomamos sus coordenadas en la base B =, X, X } y las ponemos como filas de una matriz, su rango es rg = rg = rg = Y es un producto escalar, ya que cumple las propiedades y al estar formado precisamente con la matriz, es simétrica y definida positiva pues = >, 5 = 4 > y 5 = 4 > Para obtener la base ortonormal podríamos usar Gram-Schmidt teniendo en cuenta que las coordenadas de los vectores de la base B en la base B son precisamente [X ] t B =,,, [X ]t B =,, y [X X ] t B =,,. Pero es más sencillo, usar la diagonalización congruente con operaciones elementales para pasar de S I I, P t siendo P la matriz de paso de la nueva base ortonormal a B : F F 5 F F 4 F 4 luego como las filas de P t son las coordenadas se tiene B = X ; X X ; X X X X }

6 Dadas las matrices M =, N = y P =, considerar } el subespacio V = R 4 : M = de R 4, la aplicación lineal f: V R, definida por f = N, y la aplicación lineal g: R R 4, dada por gy = N t y a Justificar que dimv = y entonces hallar una base B de V b Hallar A, la matriz de f en la base B de V y la base B =e, e, e } de R c Probar que B =,,,,,,, } es otra base de V y hallar Q, la matriz de paso de B a B d Si P es la matriz de paso de B a otra base B de R, qué base es B? e Epresar como se construyen las matrices de f : A en las bases B y B, A en las bases B y B y A en las bases B y B, a partir de las que ya se tienen f Es dimimg f =? Si no, hallar una base de Img f y otra del núcleo g Que tamaño tendrá una matriz de la aplicación g? Encontar los y R tales que gy V h Qué tamaño tendrá una matriz de g f? onstruir una indicando a qué bases está referida Solución: a omo V son las soluciones del sistema homogéneo M = y rgm = rg dimensión de las soluciones de. Resolviendo el sistema: M F F F z y z = t z = z t t t F F = la se tienen las soluciones, y una base es B = v =,,,, v =,,, } b La matriz pedida es A = [fv ] B [fv ] B. alculemos pues las imagenes de esos vectores, usando la fórmula fv = Nv = = y fv = Nv =. omo son vectores de R ya están en la base canónica luego la matriz es A = c Los vectores son de V, pues w =,,, y w =,,, cumplen que Mw = y Mw = y son linealmente independientes ya que rg = La matriz de paso pedida es Q = [w ] B [w ] B, es decir, la combinación lineal que forman: w = av bv,,, = a,,, b,,, = a =, b = w = cv dv,,, = c,,, d,,, = c =, d = y entonces Q = d omo P = P es la matriz de paso de B a la canónica, en las columnas tendremos las coordenadas en la base canónica de los vectores de B. Luego F F FF FF F F y B =,,,,,,,, } pues las coordenadas en B son los propios vectores. e A = P A, pues P A [] B = P [f] B = [f] B A = P A Q, pues P A Q [] B = P A [] B = P [f] B = [f] B A = A Q, pues A Q [] B = A [] B = [f] B f omo = dim V = dimimg fdimker f necesariamente dimimg f. Ahora bien como sabemos es Img f = linfv, fv } = lin, } = } por lo que tiene dimensión cero y dimker f = luego ker f = V y nos vale como base cualquiera de V

7 g g: R R 4 con g = N t, luego las matrices de g tienen 4 filas y columnas 4. gy V Mgy = MN t y = y resolviendo el sistema MN t F = 4F F 6 F = y = y = y h El tamaño será 4 ya que g f: V R 4 y si tomamos la matriz de g en las bases canónicas, S, y la matriz A de f, la matriz de g f en la base B de V y canónica de R 4 será SA = puesto que A es nula. La matriz supuesta S es en realidad la matriz N t 9 Sea A = b a Para qué valores de b R diagonaliza la matriz A? b La matriz A A t diagonaliza para algún valor de b? c Las matrices A y A A t, diagonalizan ortogonalmente para algún b? d Para b =, clasificar la forma cuadrática dada por Q = t I A y obtener una base en la que Q se escriba como suma de cuadrados Solución: λ a λi A = λ = λλ λ b bλ = λλ λ bλ b λ = λ λ λ b = λ λ b λ b Para tener autovalores reales necesitamos que b, luego si b < no diagonaliza. Y si b tenemos los autovalores λ =, λ = b λ = b i λ = λ = λ no puede darse pues = b = b = que no puede ser ii λ = λ λ tampoco puede darse iii λ = λ λ luego = b = λ =, m b = = b = = = λ =, m = iv λ =λ λ luego b= b = λ =, m b= = b = = = λ =, m = v Si b > y b tres autovalores distintos y diagonaliza Veamos el caso iii, para λ =, rg = rg = = luego dim V = < = m y no es diagonalizable Y el caso iv, para λ =, rg = rg y y y y = = luego dim V = < = m y no es diagonalizable b b La matriz A A = A t = es antisimétrica y no es diagonalizable. En efecto, b λ b λi A = λ b λ = λ b b 9λ λ b λ = λ 9 b λ = λλ 9 b que no tiene las raíces reales, luego no diagonaliza. c A no es simétrica para ningún b pues a = = a ni A por se antisimétrica pues a = = a, luego no diagonalizan ortogonalmente para ningún valor de b d Para b = es Q =, y, z 4 y =, y, z 4 y en forma z z simétrica. Luego por diagonalización congruente ver Ejercicio 7: F F F 4 F F 7 F y será Q = 7 4 y 9 7 z en la base B =,,,,,, 9 7, 7, }