Espacios de funciones: Una introducción a los Espacios de Sobolev

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO Decanato de Ciencias y Tecnología Licenciatura en Ciencias Matemáticas Esacios de funciones: Una introducción a los Esacios de Sobolev Trabajo Esecial de Grado resentado or Br. Massiel Gatica. como requisito final ara obtener el título de Licenciado en Ciencias Matemáticas Área de Conocimiento: Análisis Funcional. Tutor: MCs. Mireya Bracamonte. Barquisimeto, Venezuela. Febrero de 2011

2 Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Ciencias y Tecnología Licenciatura en Ciencias Matemáticas ACTA TRABAJO ESPECIAL DE GRADO Los suscritos miembros del Jurado designado or el Jefe del Deartamento de Matemáticas del Decanato de Ciencias y Tecnología de la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, ara examinar y dictar el veredicto sobre el Trabajo Esecial de Grado titulado: Esacios de funciones: Una introducción a los Esacios de Sobolev Presentado or el ciudadano Br. Massiel Gatica. titular de la Cédula de Identidad N o Con el roósito de cumlir con el requisito académico nal ara el otorgamiento del título de Licenciado en Ciencias Matemáticas. Luego de realizada la Defensa y en los términos que imonen los Lineamientos ara el Trabajo Esecial de Grado de la Licenciatura en Ciencias Matemáticas, se rocedió a discutirlo con el interesado habiéndose emitido el veredicto que a continuación se exresa: 1 Con una calicación de untos. En fe de lo exuesto rmamos la resente Acta en la Ciudad de Barquisimeto a los días del mes de de. TUTOR FIRMA PRINCIPAL FIRMA PRINCIPAL FIRMA OBSERVACIONES: 1 Arobado ó Rerobado

3 A mis adres Misael y María, mi hermana Marilyn y mi amor Julio Cesar.

4 AGRADECIMIENTOS Al terminar esta etaa de mi vida, quiero exresar un rofundo agradecimiento a quienes con su ayuda, aoyo y comresion me alentaron a lograr esta bella realidad. Agradezco a mi Dios or ser mi roca rme y mi fortaleza cada dia. Agradezco a mis adres Misael y María y mi hermana Marilyn quienes articiaron en mi desarrollo académico y ersonal. Deseo también exresar mi gratitud a mi tutora Mireya Bracamonte or su aoyo y consejo ara nalizar tan areciada meta. Mil gracias a mis comañeros de carrera Alba, Rosmery, Anais, Jacobo, Juan, Elvis, Juan C, Javier R, Alexander M, Mariana y Emily; or su aoyo y comrensión. Finalmente deseo agradecer a Julio Cesar quien ha comartido mis tristezas y éxitos en cada aso de la carrera este logro es también tuyo. i

5 Resumen Los esacios de Sobolev introducidos or el mismo Sobolev en los años treinta con el n de estudiar los roblemas de contornos en la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas arciales, resultaron sumamente exitosos, tanto en las alicaciones como desde el unto de vista teórico. Este trabajo resenta las roiedades fundamentales de los esacios de Sobolev; entre las que se destacan la comletitud del mismo, así como las condiciones necesarias ara su reexividad y searabilidad. En busca de resentar un trabajo auto contenido se incluyen la teoría de convolución y el estudio de la teoría de distribución base fundamental en el desarrollo del mismo.

6 introducción Los Esacios de Sobolev, desde los años treinta cuando fue introducido or el mismo Sobolev, se han convertido en una herramienta indisensable tanto en la teoría de ecuaciones en derivadas arciales como su desarrollo teórico; or tal razón se debe dedicar algún tiemo al estudio de las roiedades más imortantes de estos esacios. El objeto de este trabajo es brindar una monografía donde se introduce brevemente los esacios de Sobolev. El mismo, retende resentar de forma recisa las demostraciones claras de todos los rinciales resultados sin retender escribir un libro comleto sobre el tema, sin embargo, hay que recisar que gran arte de la literatura existente sobre el tema arece caer en dos categorías, ya sea largos tratados sobre la materia con la la mayoría de los suuestos generales osibles o con debates suerciales connados a un caítulo de un texto. iii

7 Índice Agradecimientos i 1. Preliminares Esacios de Banach Toologías débil y débil Esacios Reexivos Medida de Lebesgue en R n y funciones medibles La integral de Lebesgue Los esacios Lebesgue L () Aroximación or funciones continuas Convolución Aroximaciones de Unidad Distribuciones Notación Distribuciones Derivada de una distribución Esacios de Sobolev 44 Referencias Bibliográcas 51 iv

8 Caítulo 1 Preliminares Comenzamos este caítulo introduciendo las nociones toológicas básicos que son indisensables en el desarrollo del trabajo. Los detalles sobre esta sección ueden consultarse en textos como [17], [10] entre otros. Denición 1.1 ([17]). Dado un conjunto no vacío X una familia τ de subconjuntos de X se dice toología en X si, y sólo si, satisface cada uno de lo siguientes axiomas: T 1 : El conjunto vacío y X ertenecen a τ. T 2 : La intersección de cualquier ar de miembros de τ está en τ. T 3 : La unión arbitraria de miembro de τ está en τ. Si τ es una tología en X, al ar (X, τ) se le conoce como esacio toológico. El conceto clásico de continuidad de funciones entre esacios toológicos arbitrarios está insirado en la caracterización de la continuidad de una función entre esacios métricos. Denición 1.2 ([17]). Dados dos esacios toológicos (X, τ) y (Y, U) una fución f : X Y se dice continua si, y sólo si, f 1 (U) τ ara cada U U. Naturalmente también es osible denir lo que signica que una función f : X Y es continua en un unto x X. 1

9 CAPÍTULO 1. Preliminares Denición 1.3. Sean X, Y esacios toológicos. Una función f : X Y es continua en un unto x 0 X si ara cada vecindad V de f(x) en Y existe una vecindad U de x en X tal que f(u) V. De estas dos últimas deniciones se concluye de manera inmediata que una función f : X Y es continua si y sólo si f es continua en x ara cada x X Esacios de Banach Ahora bien, dado que este trabajo está basado en los clásicos esacios de Banach L () es indisensable hacer una introducción de los Esacios de Banach, que además son objetos de estudio indisensables en el análisis funcional y reciben su nombre en honor a Stefan Banach. Los detalles de las demostraciones y quien desee consultar información adicional uede consultar [12]. Denición 1.4. Un esacio vectorial V se dice normado si, y sólo si, existe una función. : V V R (denominada norma en V ) tal que, ara todo u, v, w V satisface: (i) ( Positividad) u 0 y u = 0 si, y sólo si, u = O V, (ii) ( Cambio de escalar) αu = α u ara cualquier escalar α. (iii) ( Desigualdad triangular) u + v u + v ara todo u, v V. Al ar (V,. ) se le conoce con el nombre de esacio vectorial normado. Denición 1.5. La distancia asociada a una norma es d(x, y) = x y. Se verica fácilmente que efectivamente d es una métrica. La toología asociada a una norma es la toología de esacio métrico inducida or la distancia asociada. Los límites de sucesiones en esacios normados y de funciones entre esacios normados, se suonen resecto a la toología asociada. Por ejemlo, la continuidad de una función f entre dos esacios normados X, Y en un unto a X se exresa como: Para cada ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que x a < δ f(x) f(a) < ɛ. 2

10 CAPÍTULO 1. Preliminares Si el esacio métrico asociado es comleto, es decir, toda sucesión de Cauchy converge: lím d(x n, x m ) = 0 lím x n = x X, n,m n decimos que el esacio vectorial normado X es un esacio de Banach. Para continuar recordemos que, si X, Y son esacios vectoriales, ambos sobre el mismo camo, la función T : X Y que satisface T (αx+βz) = αt (x)+βt (z), ara escalares α, β y x, z X, es llamada oerador lineal. Si X, Y son esacios normados odemos denir la noción de un oerador lineal acotado, y como veremos la acotabilidad de un oerador es equivalente a su continuidad. Denición 1.6. Sean X y Y dos esacios normados. Un oerador T : X Y es acotado si existe una constante M 0 tal que T x Y M x X, ara todo x X. Si no existe una constante que satisfaga esta desigualdad diremos que T es no acotado. Si T : X Y es un oerador lineal acotado, denimos la norma del oerador T mediante T x T := su Y x 0 x ; T := su T x ; x 1 T := su T x. x =1 Teorema 1.1. Un oerador lineal es acotado sí y sólo si es continuo. El conjunto L(X, Y ) denota el conjunto de todos los oeradores lineales que alica de X en Y, y B(X, Y ) el conjunto de todos los oeradores en L(X, Y ) que son acotados. Éste último conjunto es un esacio de Banach cuando Y es un esacio de Banach, con resecto a la norma del oerador. Denición 1.7 (Inmersión). Un esacio normado X se dice que está immerso en un esacio normado Y, y se denotara or X Y, siemre que: (i) X sea un subesacio vectorial de Y, (ii) El oerador identidad I denido sobre X sea continuo. 3

11 CAPÍTULO 1. Preliminares Una clase imortante de esacios de Banach que ermite generalizar roiedades algebraicas y geometrías del esacio euclídeo. El nombre le es dado en honor al matemático David Hilbert quien los utilizó en sus estudios sobre ecuaciones integrales en Denición 1.8. Sea X un esacio vectorial sobre K. Un roducto escalar o roducto interno denido sobre X es una alicación, X X K que verica: (i) ( Aditiva) u + v, w = u, w + v, w ara todo u, v, w X, (ii) (Homogénea) αu, v = α u, v ara todo α K, (iii) (Hermítica) u, v = v, u ara todo u, v X (iv) (Denida ositiva) u, u 0 ara todo x X y u, u = 0 si y sólo si u = 0. Toda alicación que verica (i), (ii) y (iii) se llama forma sesquilineal hermítica. En este caso X es llamado esacio con roducto interno o Pre-Hilbert. Note que todo esacio Pre-Hilbert es normado, si se dene la norma or x := (x, x), y or tanto es también métrico, con la distancia d(x, y) = x y = (x y, x y). De donde es natural, estudiar el caso articular en que dicho esacio sea comleto. Denición 1.9. Un esacio de Hilbert es un esacio re-hilbert comleto resecto a la métrica asociada. Por tanto, todo esacio de Hilbert es un esacio de Banach en el que se ha denido un roducto interior. La noción de convergencia de sucesiones de números reales nos da la idea de la generalización de la convergencia de sucesiones en un esacio lineal normado Denición Una sucesión (f n ) en un esacio lineal normado es llamada convergente a un elemento f de el esacio si, dado ɛ > 0, existe N tal que ara todo n > N tenemos f f n < ɛ Si f n converge a f escribiremos f = lím f n o f n f Denición Un esacio lineal normado es llamado comleto si cada sucesión de Cauchy en el esacio converge, es decir, si ara cada sucesión de cauchy (f n ) en el esacio existe f en el esacio tal que f n f 4

12 CAPÍTULO 1. Preliminares Denición Una serie (f n ) en un esacio lineal normado es llamada convergente a la suma s si s esta en el esacio y la sucesión de sumas arciales de la serie converge a,esto es, s n f i 0 i=1 En este caso se escribe s = i=1 f i. La serie (f n ) es llamada absolutamente convergente si i=1 f n <. Proosición 1.1. Un esacio normado lineal X es comleto si y solo si cada serie absolutamente convergente es convergente en X Teorema 1.2 (Teorema de reresentación de Riesz). Sea X un esacio de Hilbert. Un funcional lineal x denido sobre X ertenece a X si sólo si existe un único y X tal que x (x) = x, y, ara todo x X y en este caso x X = y X. Denición Sea X un esacio vectorial sobre un camo K; llamamos dual algebráico de X, que denotaremos or, X, al K esacio vectorial X = {x : X K / x es lineal y continuo}. Note que en este esacio disonemos de una norma que se uede exresar de varias formas, como son: x = mín{k > 0 : x K x ara todo x X} = su{ f(x) : x X, x 1} ara todo x X. La comletitud del camo K nos asegura que X es un esacio comleto. El esacio de Banach X recibe el nombre de dual toológico del esacio normado X, ara diferenciarlo del dual algebraico Toologías débil y débil- Introducimos ahora las toologías débil y débil-, ara lo cual necesitamos discutir rimero algunas nociones generales de la toología. 5

13 CAPÍTULO 1. Preliminares Denición Sea X un conjunto, Y un esacio toológico y F una familia de funciones de X en Y. Consideremos la colección de subconjuntos S de la forma {x X : x f 1 (U)}, indexados or f F y U abierto en Y. Denimos la toología débil en X determinada or F, como los subconjuntos que son uniones arbitrarias de intersecciones nitas de elementos de S. El lector uede vericar los siguientes resultados, y uede consultarse en textos como [4] y [6]. Lema 1.3. La colección de conjuntos que son uniones nitas de elementos de S forman una base. Lema 1.4. Sea X un conjunto, Y un esacio toológico y F una familia de funciones de X en Y. Luego, la toología débil en X determinada or F es la más equeña tal que las funciones de F son continuas. Denición Una función f : X Y, donde X e Y son esacios toológicos se llama secuencialmente continua, si cada vez que una sucesión {x n } en X converge a x X, entonces (f(x n )) converge a f(x). En un esacio toológico, toda función continua es secuencialmente continua. Luego tenemos el siguiente lema. Lema 1.5. Sea X un conjunto, Y un esacio toológico y F una familia de funciones de X en Y. Si X tiene la toología débil determinada or F, entonces toda función f F es secuencialmente continua. Más aún, si {x n } es una sucesión en X y x X, entonces x n converge a x si y sólo si (f(x n )) converge a f(x) ara toda función f F. Estemos ahora rearados ara introducir la toología débil en el contexto de los esacios de Banach. Denición Sea X un esacio de Banach. Denimos la toología débil en X como la toología débil en X denida or X, es decir, la toología con menos abiertos, sobre X, que hace que cada miembro de X sea continuo. 6

14 CAPÍTULO 1. Preliminares Para denir la toología débil- decimos que una red (x α) α en X converge en la toología débil- sobre X si (x α(x)) α converge a x (x) ara cada x X. En [4] arma que "las toologías débil y débil- forman una esecie de sociedad familiar, aún cuando or lo general son muy diferentes, en su roia articularidad cada una de ellas ayuda a un mejor entendimiento de la otra. Los esacios de Banach reciben su nombre en honor al matemática Stefan Banach, or tal razón, una referencia obligatoria ara las ersonas que retendemos estudiar esacios de Banach, es el teorema de Hanh Banach. Existen diversas versiones de este imortante teorema, sólo que en este trabajo sólo citaremos una de las que haremos uso en el transcurso del trabajo. Sin embargo, quien desee revisar con detalle uede consultar textos como [5], [16], [19]. Teorema 1.6 (Teorema de Hahn-Banach, 1927). Sea Y un subesacio de un esacio normado X. Si y Y entonces existe x X tal que x X = y Y y x (y) = y (y) ara todo y Y. Esto signica que, todo funcional continuo en un subesacio admite una extensión Hahn-Banach a todo X Esacios Reexivos Si X es un esacio normado, el bidual, también llamado segundo dual de X, es el esacio de Banach X := X = L(X, K), con norma x := su{ x (x ) : x B X } = mín{k > 0 : x (x) K x ara todo x X }. De la desigualdad x (x) x x X, válida ara cualquier x X y x X, deducimos que los elementos de X son funcionales lineales continuos en X. Para formalizar esta idea, denimos la inyección canónica del esacio normado X en su bidual. Denición Sea X un esacio normado y consideramos el oerador lineal J : X X x J(x) 7

15 CAPÍTULO 1. Preliminares denido or J(x)(x ) := x (x), ara todo x X. A J se le llama inyección canónica del esacio X en su bidual y hemos visto que J identica totalmente a X con un subesacio de X, simbólicamente J(x) X. Es natural reguntarse si ese subesacio es el total, con lo que tendríamos total isometría entre X y X. Desafortunadamente, en general, J(x) no coincide con X, simlemente or el hecho de que X siemre es un esacio de Banach mientras que X (equivalente a J(x)) uede no ser comleto. Quien desee mayor información, uede consultar [2], [12] o cualquier otro libro sobre teoría de esacios de Banach. Denición Se dice que un esacio de Banach es reexivo cuando la inyección canónica de X en X es sobreyectiva, es decir, cuando J(x) = X. En este caso, J es un isomorsmo isométrico de X sobre X, odemos escribir X X y tenemos total simetría entre X y X. Denición (a) Una colección M de subconjuntos de un conjunto X se dice que es una σ-álgebra en X si M tiene las siguientes roiedades: (i) X M, (ii) Si A M entonces A C M, (iii) Si A = A n y si A n M, n = 1, 2, entonces A M. n=1 (b) Si M es una σ-álgebra en X, entonces se dice que X es un esacio medible y a los elementos de M se les llama conjuntos medibles en X. (c) Se llama medida ositiva a una función, denida en una σ-álgebra M con valores en [0, ] y que es numerablemente aditiva. Esto signica que si {A n } es una colección numerable disjunta de elementos de M, entonces ( ) µ A n = µ(a n ). n=1 n=1 (d) Se llama esacio de medida a un esacio medible en el que hay denida una medida ositiva sobre la σ-álgebra de sus conjuntos medibles. 8

16 CAPÍTULO 1. Preliminares 1.1. Medida de Lebesgue en R n y funciones medibles. La contribución de Henri Lebesgue ( ) más imortante a la matemática fue la teoría de integración desarrollada or Lebesgue donde extendió la teoría de Riemann a una clase más amlia de funciones. Denición Sea R n. Se dene la medida exterior de Lebesgue de como { } m () := ínf V ol(q n ), Q n Q n rectángulos cerrados n=1 n=1 donde el ínmo se toma sobre todas las familias numerables de rectángulos que cubren a. La medida exterior m es la función de conjuntos, denida en P(R n ) (conjunto de artes de R n ), la familia de todos los subconjuntos de R n, y con valores en [0, + ]. Observación 1.1. Quizás convenga recordar que: La denición uede hacerse indistintamente con rectángulos abiertos, cerrados o semiabiertos. La medida exterior generaliza el conceto de volumen de un rectángulo: Si R es un rectángulo en R n, m (R) = V ol(r). En la Teoría de la Medida abstracta se retende construir un rocedimiento ara medir conjuntos y ara integrar funciones denidas en los subconjuntos de un esacio. Dado un esacio de medida exterior es una función de conjunto µ denida en el conjunto de todos los subconjuntos de que sea no negativa y verica las tres rimeras roiedades del teorema siguiente. Las otras dos roiedades son roias de la medida de Lebesgue, y de algunas otras medidas en esacios toológicos o métricos, que dotan a la estructura formada or el esacio y la medida de mejores roiedades de tio toológico y geométrico. El siguiente teorema recoge las roiedades más imortante de la medida exterior de Lebesgue: Teorema 1.7 (Proiedades de la medida exterior). (i) m ( ) = 0, 9

17 CAPÍTULO 1. Preliminares (ii) (Monotonía) Si A B, m (A) m (B), (iii) (Subaditividad) Sea { n } n una familia numerable de conjuntos; entonces ( ) m n m ( n ). n=1 n=1 (iv) (Regularidad) m () = ínf{m (G) : G abierto, G} (v) (Invariante or traslaciones) Para todo conjunto y todo x R n, m (x + ) = m (). Sin embargo la medida exterior falla en cambio en una roiedad fundamental resecto al volumen: no es cierto en general que si A y B son conjuntos disjuntos, se tenga m (A B) = m (A) + m (B). Denición 1.21 ([3]). Un conjunto se dice Lebesgue medible, que en lo que sigue llamaremos simlemente medible, si verica la siguiente roiedad: Para todo E se verica la igualdad m (E) = m (E ) + m (E ). Denotaremos or M a la familia de todos los conjuntos de R n que son medibles. Se llama medida de Lebesgue en R n a la restricción de la medida exterior m a M, esto es m : M [0, + ], m(a) = m (A). El siguiente teorema resume las roiedades de los conjuntos medibles, que juegan un ael fundamental en el transcurso del trabajo. Teorema 1.8. En cada enunciado suongamos que A, B M, entonces 1) A c M, 2) A B M; y or tanto A B M, 10

18 CAPÍTULO 1. Preliminares 3) A B M, y si además A B tiene medida nita, m(a B) = m(a) + m(b) m(a B), Y como roiedades comlementarías tenemos que 1) Si A 1, A 2,..., A k es una familia nita de conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, entonces ( k k ) k A i M. Además, m A i = m(a i ). i=1 i=1 i=1 2) Si m (A) = 0 entonces A es medible, 3) Si A M, ara todo x R n, x + A M y m(x + A) = m(a). 4) Si {A n } n es una sucesión no decreciente de conjuntos medibles (A n A n+1 ara todo n), entonces ( ) m A i = lím m(a n ). n i=1 5) Si {A n } n es una sucesión no creciente de conjuntos medibles (A n A n+1 ara todo n) y existe n 0 con m(a n0 ) <, entonces ( ) m A i = lím m(a n ). n i=1 Podemos observar entonces que todo rectángulo R R n es medible. Podemos ahora alicar esta teoría al estudio de funciones escalares de varias variables. Denición Sean R n, M y f : R. Se dice que f es Lebesguemedible o simlemente medible si ara todo abierto G de R, la imagen inversa, f 1 (G) := {x ; f(x) G}, es un conjunto medible en R n. En este unto es válido hacer las siguientes observaciones: Observación ) En rimer lugar, = f 1 (R) debe ser medible. Sólo tiene sentido hablar de funciones medibles is están denidas en conjuntos medibles. 11

19 CAPÍTULO 1. Preliminares 2) Son equivalentes: (a) f es medible (b) Para todo conjunto C R cerrado, f 1 (C) M. (c) Un conjunto A R n es medible si y sólo si la función característica X A : R n R denida or X A (x) := { 1, x A, 0, x / A, es medible. La familia de funciones medibles son la base sobre la que construimos la integral, como las funciones continuas lo eran ara la construcción de la integral de Cauchy. Presentamos algunos teoremas básicos ara garantizar la medibilidad de una función real de varias variables. Teorema 1.9. Toda función continua denida en un conjunto medible es medible. Además, la comosición de una función medible con una función continua también es medible, más no así necesariamente la comosición de dos medibles. Teorema Sea R n, M, f : R una función medible, y g : f() R continua en f(). Entonces g f es medible. Teorema Sea R n, M y f : R. Son equivalentes: 1) f es medible, 2) Para todo a R, {x : f(x) < a}, 3) Para todo a R, {x : f(x) a}, 4) Para todo a R, {x : f(x) > a}, 5) Para todo a R, {x : f(x) a}. Corolario Sea R n, M, y sean f n : R funciones medibles. Entonces, si existen las funciones 12

20 CAPÍTULO 1. Preliminares g(x) := su f n (x) n f(x) := ínf f n(x) n j(x) := lím inf n f n (x) k(x) := lím su f n (x) n l(x) := lím f n (x) n son medibles. Proosición 1.2. Sea R n, M, y sean f, g : R funciones medibles. Entonces, Para cada α R se tiene que αf es medible. f + g y f g es medible. f.g es medible. Si g(x) 0 ara todo x, f g es medible. f es medible. Si f es medible y g = f en casi todas artes entonces g también es medible. Esto es, si existe un conjunto E con m(e) = 0 y f(x) = g(x) ara todo x E, entonces f es medible si y sólo si g es medible. Recordemos que el soorte de una función f : X R, denotado or So f, es la clausura del conjunto {x X : f(x) 0}. Así, el soorte de f es el comlemento del conjunto abierto más grande donde f se anula. Denotaremos or C 0 (X) al esacio vectorial sobre K de todas las funciones f : X K que tienen soorte comacto. Sea un dominio en R n. Denotaremos or C 0 () = C() al conjunto de todas las funciones continuas sobre. Y si k es un entero no negativo, hacemos C k () := {u/u : R, D α u C 0 (), 0 α k}, C0 k () := C k () {u/so u es comacto So u } C () = C m (). m=0 Sobre C() se dene la norma de convergencia uniforme, como f := su f(x), x 13

21 CAPÍTULO 1. Preliminares con la cual es un esacio de Banach ([13]). Es fácil chequear que C 0 () es un subesacio cerrado de C(), or lo cual se sigue el rimero con la norma uniforme también es un esacio de Banach. Luego, se tiene la siguiente roosición. Proosición 1.3. Sea (f n ) n N una sucesión creciente en C 0 (), que converge untualmente a una función f C 0 (). Entonces (f n ) converge uniformemente a f. Teorema 1.13 (Teorema de Lusin). Si f es una función medible, f(x) = 0 ara x / A donde m(a) < y ɛ > 0, entonces existen una función g C 0 (R n ) tal que su g(x) su f(x) y m({x R n : f(x) g(x)}) < ɛ. x R n x R n Denición Sea R n, M; se llama función simle en a una función medible s : R que sólo toma un número nito de valores, es decir, tal que s() = {a 1,..., a k }. En esta caso s uede exresarse de la forma s(x) = n a i χ Ai (x) i=1 donde A i = s 1 ({a i }) = {x : s(x) = a i } y χ Ai A i. es la función característica del conjunto Para construir la integral, que es nuestro objetivo, necesitamos el siguiente resultado fundamental, que nos ermite aroximar funciones medibles. Teorema Sean R n, M y f : R una función medible no negativa. Existe una sucesión de funciones simles de en R tales que 1) 0 s n (x) s n+1 (x) ara todo x y todo n N, 2) lím s n (x) = f(x) ara todo x. n Podemos ahora denir la integral de Lebesgue de funciones medibles. 14

22 CAPÍTULO 1. Preliminares 1.2. La integral de Lebesgue En la teoría de los esacios funcionales surgen roblemas con la integral de Riemann, roblemas que no ermiten llegar a ciertos teoremas indisensables. Los roblemas surgen cuando tratamos de hacer interactuar a la integral de Riemann con otras oeraciones, esecialmente con oeraciones de límite (or ejemlo, el límite de una sucesión de funciones integrables uede no ser integrable). Es cuando surge la necesidad de renovar la integral. Los roblemas de la integral de Riemann ueden solucionarse mediante la generalización conocida como integral de Lebesgue. Para mayores detalles, el lector uede consultar [3]. Denición Sean R n, M y s : R una función simle no negativa, s = k a i χ Ai, A i A j =, si i j y k A i =. i=1 Se dene la integral de s en or i=1 k s := a i m(a i ) i=1 con el convenio de que 0. = 0. Aún cuando en este caítulo no nos detenemos a hacer un estudio detallado de la integral de Lebesgue vale la ena hacer las siguientes observaciones: 1) La razón de denir la integral sólo ara funciones no negativas es asegurar que la suma. k i=1 a i m(a i ) esté bien denida, que no ueda dar lugar a algo del tio 2) La integral será no negativa, ero uede ser innito, es decir, 0 s. 3) Geométricamente, la integral de s es la suma de los volúmenes de los rismas de base A i y altura a i. Tenemos entonces las siguientes roiedades Proosición 1.4. Sean R n, M y s 1, s 2 negativa. Entonces : R funciones simles no 15

23 CAPÍTULO 1. Preliminares 1) (s 1 + s 2 ) = s 1 + s 2, 2) Para todo α R, αs 1 = α s 1. 3) Si existe E con m(e) = 0, tal que s 1 (x) s 2 (x) ara todo x E, entonces s 1 Finalizamos esta sección deniendo la ara funciones no negativas. Denición Sean R n, M y f : R una función medible, con f(x) 0 ara todo x. Se dene la integral de f en or { } f := su s; s función simle, 0 s f Denición Denimos la arte ositiva f + y la arte negativa f de una función f or s 2. f + (x) := máx{0, f(x)}, f (x) := máx{0, f(x)}. Así, f = f + f, donde f + y f son funciones no negativas. Podemos ahora denir la integral de Lebesgue ara una función f arbitraria. Denición Sean R n, M y f : R una función medible. Se dene la integral de f en or f := f + f. Observación 1.3. Si las integrales de f + y f son ambas no tiene sentido la exresión. Decimos en este caso que la función f no es integrable. Denición 1.28 (Integral en un subconjunto, ver [18]). Sea H R n medible, se dene la integral de f en H or f(x)dx := fχ H. H un conjunto 16

24 CAPÍTULO 1. Preliminares Algunas roiedades que nos serán de utilidad se encuentran resumidas en el siguiente teorema. Teorema 1.15 (Proiedades básicas de la integral). Sean f, g : R n R funciones medibles. Entonces (a) (Linealidad) Sea c R, c(f + g)(x)dx = c (b) (Monotonía) Sea f(x) g(x) ara todo x, f(x)dx g(x)dx. f(x)dx + c g(x)dx. (c) (Monotonía) Si E, F son conjuntos medibles y E F, entonces f(x)dx g(x)dx. E F (d) f es integrable y f(x)dx f (x)dx. Si f (x) = 0, entonces f = 0 en casi todas artes. Observe la diferencia fundamental de enfoque existen entre la integral de Riemann y la de Lebesgue. La de Lebesgue utiliza una aroximación or funciones constantes en conjuntos medibles suscetibles de causar dicultades; a diferencia de las integrales sueriores e inferiores de Riemann, que utilizan simlemente intervalos. Teorema Sea f n una sucesión creciente de funciones medibles no negativas (amliadas), con lo que f(x) = lím n f n (x) es medible y ara cualquier conjunto medible E. E f(x)dx = lím f n (x)dx (1.1) n E El teorema de convergencia monótona suele aarecer bajo la forma de lema de Fatou. 17

25 CAPÍTULO 1. Preliminares Lema 1.17 (Lema de Fatou). Si f n es una sucesión de funciones integrables no negativas, entonces lím inf n f ndx lím inf n f n dx. La demostración de cualquiera de estos últimos teoremas y lemas son tratados en un curso de teoría de la medida básico, uede consultar en [9, 3, 10] entre otros. Otro resultado signicativo sobre convergencia en integrales es el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Teorema Si f n es una sucesión de funciones integrables, f n f y f n g ara una función integrable g, entonces f es integrable y fdx = lím f n dx. n Dado que R n es imortante ver que el cálculo de una integral múltile se reduce al de integrales simles. Concretamente se va a robar que si f(x, y) es una función medible de m + k variables, que no cambia de signo o que es integrable, entonces las integrales iteradas ( ) f(x, y)dy dx, ( ) f(x, y)dx dy (1.2) existen y son iguales, siendo su valor recisamente f. Por tanto reitiendo el roceso tantas veces como sea necesario, el cálculo de f se reducirá al de ciertas integrales simles. El rimer caso que vamos a considerar en el que se da la igualdad entra la integral de una función y sus integrales iteradas, es el de funciones medibles no negativas. Teorema Sea f : R m+k [0, + ] medibles. Entonces (i) La función de la variable y R k, f(x, ) : y f(x, y), es medible ara casi todo x R m. (ii) La función g, denida ara casi todo x or g(x) = f(x, y)dy, es medible. (iii) gdx = f, es decir la integral de f coincide con sus integrales iteradas. 18

26 CAPÍTULO 1. Preliminares La demostración de este teorema generalmente se reduce al caso en que f = X E, la función característica de un conjunto medible E y se hace uso de los siguientes hechos: (a) Si una función f 0 satisface el teorema de Tonelli, entonces también lo satisface la función cf, cualquiera que sea la constante c 0. (b) Si {f k } es una sucesión de funciones no negativas que satisfacen el teorema de Tonelli, entonces también lo satisface la función f k. Y uede ser consultada en [3], [7] entre otros. Como ya señalamos al rinciio las integrales iteradas también coinciden con la integral de la función cuando ésta es una función integrable. El enunciado reciso de este hecho lo constituye el teorema de Fubini: Teorema 1.20 (Teorema de Fubini). Sea f : R m+k R integrable. Entonces: (i) La función de la variable y R k, f(x, ) : y f(x, y), es integrable ara casi todo x R m. (ii) La función g, denida ara casi todo g(x) = f(x, y)dy, es integrable. (iii) gdx = f. 19

27 Caítulo 2 Los esacios Lebesgue L () Contamos ahora con la base teórica que nos ermite introducir los esacios L (), los cuales juegan un ael fundamental tanto en la matemática clásica como en la moderna. En el resto del caítulo consideramos R n como un subconjunto medible en el sentido de Lebesgue y trabajaremos con funciones medibles de en R identicando dos funciones que coincidan casi en todas artes, lo cual denotaremos c.t., esto es, que coincidan salvo en un conjunto de medida nula. Dado un número real 1 denimos su conjugado mediante la igualdad = 1 y observamos que también 1 < <, así la relación entre y es simétrica: ( ) =. Pues bien, ara cualquier a, b R + es conocida la desigualdad de Young ab a + b. Su demostración es consecuencia de la convexidad de la función exonencial y uede consultarse en textos como [12], [18] entre otros y su relevancia en nuestro trabajo consiste en que de esta desigualdad sin gran dicultad se deduce la desigualdad de Hölder ara integrales. Otra desigualdad que también es de gran utilidad cuando trabajamos con los esacios L () es que se cumle ara 1 < y a, b 0. (a + b) 2 1 (a + b ) (2.1) Ahora bien, recordando las clásicas las desigualdades de Hölder y Minkowski, 20

28 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Denición 2.1. Si x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y n son números reales arbitrarios y, son números reales mayores o iguales a 1, conjugados, la siguiente desigualdad es conocida como la desigualdad de Hölder ( n n ) 1/ ( n x i y i x i i=1 i=1 i=1 y i ) 1/. (2.2) Mientras que la desigualdad de Minkowski está dada or ( n n ) 1/ ( n ) 1/ x i + y i x i + y i. (2.3) i=1 i=1 Denición 2.2 (El esacio L ()). Sea un subconjunto abierto en R n no vacío y sea 1 <. Denotemos or L () a la clase de funciones medibles u denidas en ara la cual i=1 u(x) dx <. (2.4) Los elementos de L () son clases de equivalencias de funciones medibles satisfaciendo (2.4). Dos funciones son equivalentes si ellas son iguales en casi todas artes de. A artir de la desigualdad de Young obtenemos la desigualdad de Hölder Teorema 2.1 (Desigualdad de Hölder ara integrales). Sea 1 < < y el exonente conjugado de. Si u L () y v L () entonces uv L 1 () y ( u(x)v(x) dx ) 1/ ( ) 1/ u(x) dx v(x) dx La demostración uede encontrarse en textos como [1], [3] y [18]. Además, a artir de esta desigualdad de Hölder; obtenemos la corresondiente desigualdad de Minkowski: ( u(x) + v(x) dx 1/ ( u(x) dx) + v(x) dx ) 1/ Si u satisface (2.4) y de. u(x) dx = 0 en L () entonces u(x) = 0 en casi todas artes 21

29 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Haciendo uso del teorema (1.15) uede vericarse que, ara cualquier número real c, cu L () si u L (). Así, si denimos las oeraciones suma y roducto or un escalar en L () or (cf)(x) := c(f(x)), y (f + g)(x) = f(x) + g(x), es conveniente vericar que L () es un esacio vectorial. Para vericar que la suma de dos funciones en L (), hacemos uso de la desigualdad (2.1) con la cual tendremos que si u, v L () u(x) + v(x) ( u(x) + v(x) ) 2 1( u(x) + v(x) ). (2.5) Así de esta última desigualdad, conjuntamente con el teorema (1.15), se concluye que u + v L (). De hecho, L () es un esacio normado. Denición 2.3 (La norma en L ). El funcional. denido or: es una norma en L (). ( u = u(x) dx ) 1/ 1 < En efecto, note que u(x) 0 ara todo x, así como consecuencia del teorema (1.15) se sigue que ( u = u(x) dx) 1/ 0. Por otra arte, nuevamente el teorema (1.15) juega un ael fundamental, como vemos a continuación: u = 0 ( u(x) dx ) 1/ = 0 ( u(x) ) = 0 ara casi todo x u(x) = 0 ara casi todo x u(x) 0 ara casi todo x. 22

30 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Además, ara cualquier c se tiene ( cu = es decir, cu = c u. ) 1/ ( cu(x) dx = c u(x) dx ) 1/, Finalmente, en el siguiente teorema se garantiza el cumlimiento de la desigualdad triangular, con lo cual se comleta la vericación de que el funcional denido es una norma sobre L (). Teorema 2.2 (Desigualdad de Minkowski ara integrales). Si 1 < entonces u + v u + v Demostración. : sea u, v L (), con 1 < La desiualdad es cierta ara = 1 u + v 1 = = = ( u(x) + v(x) ) 1/1 1 dx u(x) + v(x) dx ( u(x) + v(x) ) dx u(x) dx + = u 1 + v 1 v(x) dx Sea 1 < <, 1 < < con = 1. Consideremos la función w L () tal que w 0 y w Hölder tenemos: 1. Por la desigualdad de u(x) + v(x) w(x)dx = ( u(x) + v(x) ) w(x)dx u(x) w(x)dx + u w + v w u + v 23 v(x) w(x)dx

31 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () su { u(x) + v(x) w(x)dx : w(x) o en, v } u + v Por lo tanto u + v u + v. Denición 2.4 (Esacios L ()). Una función u medible en es llamada esencialmente acotada en si existe una constante k tal que u(x) k c.t. en. La mayor de las cotas inferiores k es llamado suremo esencial de u en y es denotado or ess su u(x). x Denotamos or L () el esacio vectorial de todas las funciones u que son esencialmente acotadas en. El funcional u = ess su u(x) dene una norma en L (). x La demostración de esto uede consultarse en textos como [12], [9], [15]. Teorema 2.3 (Desigualdad de interolación). Sean 1 < q < r < tales que 1 q = θ + 1 θ ara algún θ, 0 < θ < 1. Si u L () L r () entonces u L q () y r u q u θ u 1 θ r. Demostración. Sean, q, r y θ como en la hiótesis. Luego, 1 = θq (1 θ)q + r = 1 θq + 1 r q(1 θ) Hagamos s = θq. Note que s > 1, ues en caso contrario, si s 1, signica que θq or lo que θq hiótesis θq + (1 θ)q r + (1 θ)q r 1 + De manera análoga se dene s = s < y 1 < s <. (1 θ)q r = 1. Por lo tanto s > 1. Luego, la desigualdad de Hölder nos garantiza que u q q = u(x) q dx = u(x) θq u(x) (1 θ)q dx 1 > 1; lo cual es una contradicción ya que or r, en cuyo caso odemos vericar que 1 < q(1 θ) ( ) 1/s ( u(x) θqs dx u(x) (1 θ)qs dx 24 ) 1/s. (2.6)

32 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Observe que θqs = θq θq = y (1 r θ)qs = (1 θ)q = r. Luego, al sustituir q(1 θ) en (2.6) se tiene u q q ( [ ( u θq u(x) dx ) θq u(x) dx u (1 θ)q r u θ u (1 θ) r. ( ) q u(x) r (1 θ)r dx ) ] 1 θq [ ( u(x) r dx ) ] 1 (1 θ)q r En lo que sigue, si Θ es un conjunto medible, convenimos en escribir V ol(θ) := 1dx cuando 1dx <. Teorema 2.4 (Un teorema de inmersión ara los esacios L ). Sean 1 q < y u L q (), entonces u L () y Esto es, 1 1 u (V ol()) + q u q. (2.7) L q () L (). (2.8) No resentamos esta demostración, sin embargo los interesados en ella uede consultar [1] y [3] entre otras. Teorema 2.5 (Riesz-Fischer). Para 1 < se tiene que L () es un esacio de Banach. Demostración. Sea (f k ) k N una sucesión de Cauchy en L (). Entonces odemos elegir N(k) tal que f n f m < 1 2 k, ara cada n, m n k. En articular, ara cada k f nk+1 f nk < 1 2 k. (2.9) 25

33 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Denimos la función f(x) := f n1 + (f nk+1 f nk ), x, (2.10) k=1 y consideremos las sumas arciales S N (f) := f n1 + N 1 (f nk+1 f nk ) = f nn. También denimos la función y las sumas arciales de g g(x) := f n1 + k=1 f nk+1 f nk, x, (2.11) k=1 S N (g) := f n1 + N 1 k=1 f nk+1 f nk. (2.12) Entonces or la desigualdad de Minkowski y en virtud a la desigualdad (2.9) se tiene que N 1 S N (g) f n1 + (f nk+1 f nk ) f n1 + k=1 N 1 k=1 N 1 1 < f n k k=1 fnk+1 f nk Así, la sucesión no decreciente de sumas arciales { S N (g) } N es acotada or f n1 + 1, con lo cual se verica que g <. De las deniciones de f y g en (2.10) y (2.11) resectivamente, se tiene que f g, en consecuencia, f g. Así, f L () y se sigue que f es integrable. Así, f converge en casi todas artes sobre, or lo tanto {f nk } converge a f en casi todas artes. Note que 26

34 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () f f nn = = = f n 1 + (f nk+1 f nk ) f nn k=1 N 1 f n 1 + (f nk+1 f nk ) f n1 (f nk+1 f nk ) k=1 k=1 (f nk+1 f nk ) k=n (fnk+1 f nk ) k=n g. Entonces or el teorema de convergencia dominada (1.18) se tiene que f = lím f nk. k Así, ) 1/ ( lím f f n k = lím f(x) f nk (x) dx k k ( ) 1/ = f(x) lím f nk (x) dx = 0. k Es decir, la sucesión {f nk } k converge a f en L (). Esto signica que {f n } n también converge a f, dado que es una sucesión de Cauchy. Corolario 2.6. L 2 () es un esacio de Hilbert con el roducto interno dado or u, v = u(x)v(x)dx Aroximación or funciones continuas Lema 2.7. Sean 1 < y S la clase de todas las funciones simles comlejas en. S es denso en L (). Demostración. Es claro que S L (), dado que toda función simle s medible en está en L () or la denición de éstas. 27

35 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Por otra arte, si u L (), u 0 medible, el teorema (1.14) existe una sucesión de funciones {s n } n N en tal que (a) 0 s 1 s 2... u. (b) s n (x) u(x) cuando n ara cada x X. Dado que 0 s n u ara cualquier n N y todo x, hacemos uso del teorema (1.15) ara garantizar que s n L (), ara cada n N. Luego u s n u, es decir, está mayorada or una función integrable, entonces or el teorema de convergencia dominada (1.18) se tiene que (u s n )(x) dx = 0, lím n or tanto u s n 0 cuando n, esto es, u está en la clausura de S. El siguiente teorema juega un rol fundamental dentro del trabajo, or tal razón resentamos su demostración detallada. Teorema 2.8. Si 1 < entonces C 0 () es denso en L (). Demostración. Si 1 < y u L (), el lema (2.7) nos garantiza la existencia de una sucesión de funciones simles (u n ) n N de forma que s n u cuando n. Por lo tanto, ara ɛ > 0 odemos elegir n 0 N tal que s n0 u < ɛ 2. (2.13) Podemos suoner que s n0 (x) = 0 si x / y haciendo uso del teorema de Lusin (1.13) se garantiza la existencia de una función φ C 0 () tal que ( ) ɛ m ({x : s n0 (x) φ(x)}) <, y su φ(x) su s n0 (x) = s n0 (2.14). 4 s n0 x x Por otra arte, dado que (s n0 φ) L () L () el teorema de inmersión (2.4) nos garantiza que s n0 φ s n0 φ (m ({x R n : φ(x) s n0 (x)})) 1/ < 2 s n0 ɛ 4 s n0 = ɛ 2. (2.15) 28

36 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Haciendo uso de (2.13) y (2.15) obtenemos u φ u s n0 + s n0 φ < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, esto es, C 0 () es denso en L (). Teorema 2.9. Sea 1 <, entonces L () es searable. Demostración. Para cada entero ositivo m, consideramos el conjunto { m = x : x m y dist(x, ()) 1 }, m Veamos que m es comacto, en cuyo caso, dado que m es acotado, ya que x m ara cada x m, es suciente vericar que m es cerrado. En efecto, sea (x N ) n N una sucesión de m tal que x N x, entonces dado ɛ > 0, odemos elegir N N tal que x N x < ɛ ara cada n N. En consecuencia, x = x x N + x N x x N + x N < ɛ + m. Dado que esto se cumle ara cada ɛ > 0 se sigue que x m. Por otra arte, ara cada y () tendremos que x N y x N x + x y 1 m ɛ x y N x N x x y. Con lo cual se verica que x m. En consecuencia m es comacto. Sea P el conjunto de todos los olinomios en R n con coecientes racionales comlejos y sea P m = {X m f : f P } donde X m es la función característica de m. Dado que P m es denso en C( m ). Además P m es numerable. Si u L () y ɛ > 0, existe m=1 φ C 0 () tal que u φ < ɛ 2. Si dist(so φ, ()), entonces existe f P m tal que φ f < ɛ 2 V ol ( m) 1/. Se sigue que φ f φ f V ol ( m ) 1/ < ɛ 2, y así u f < ɛ. Así el conjunto contable P m es denso en L () y or lo tanto L () es searable. m=1 29

37 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () 2.2. Convolución Esta sección está dedicada a resentar la denición de convolución de dos funciones, que en términos generales es un oerador matemático que transforma dos funciones f, g en una tercera función que en cierto sentido reresenta la magnitud en la que se sueronen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tio muy general de romedio móvil. Así ues, la convolución es un conceto físico imortantes, sin embargo, no es sencillo comrender sus alcances e imlicaciones. Denición 2.5. La convolución de dos funciones u y v sobre R n es la función (u v)(x) := u(y) v(x y)dy = u(x y) v(y)dy, (2.16) R n R n x R n. Algunas hiótesis sobre u y v son necesarias ara garantizar que la integral existe. Por ejemlo, se uede suoner que ambas funciones son continuas, y que una de ellos tiene soorte comacto. De la denición (2.16) se siguen las roiedades siguientes: (i) es conmutativa, como uede verse en 2.16, en virtud de la invarianza a la invarianza or traslación y simetría de la medida de Lebesgue. (ii) es asociativa; esto es, (u v) w = u (v w), (iii) es distributiva; esto es, u (v + w) = u v + u w, (iv) satisface la roiedad de homogeneidad; esto es, u (αv) = (αu) v = α(u v), ara cada α R +. La convolución tiene muchas alicaciones interesantes y una de ellas es una demostración de que C0 () es denso en L (). Si f es una función de R n en K, denotemos or f la función sobre R n denido or x f( x); además, si a R n, se dene la traslación de f or a como τ a f(x) := f(x a). Las alicaciones f f y f τ a f son lineales reservan la medibilidad. Además, dado que la medida de Lebesgue es invariante or traslación bajo isometrías y traslaciones, 30

38 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () estas oeraciones son clases equivalentes de funciones módulo conjunto de medida de Lebesgue cero. Proosición 2.1. Si 1 <, y f L, la alicación Φ f : R n L denida or Φ f : a τ a f es uniformemente continua. Demostración. Veamos que Φ f es continua en cero. Sea ɛ > 0 y en rimer lugar suongamos que f C 0 (R n ). En este caso tendremos que f es uniformemente continua sobre R n, así existe η > 0 de manera que y y < η = f(y) f(y ) < ɛ. Por consiguiente, si a < η, τ a f f = = f(x a) f(x) dx So [f( a) f( )] ɛ dx [a+so f+so f] ɛ V ol[a + So f + So f], esto es τ a f f ɛv ol[a + So f + So f] 1/, con lo cual se garantiza que Φ f es continua en cero en este caso. Ahora, si f es cualquier elemento de L, el virtud del teorema 2.8, tomamos una sucesión (f n ) C 0 que converge a f en L. La continuidad de Φ f en cero se obtiene del hecho que las funciones Φ fn converge uniformemente a Φ f, dado que Φ fn (a) Φ f (a) = f n f. Ahora bien, τ a f τ b f = τ a f(x) τ b f(x) dx R n = f(x a) f(x b) dx R n = f(x a + b) f(x) dx R n = τ a b f f. De esta última igualdad y la continuidad de Φ f uniforme. en cero se concluye la continuidad 31

39 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Proosición 2.2. Sean, [1, + ) exonentes conjugados y suonga que f L (R n ), g L (R n ). Entonces f g es uniformemente continua, acotada y satisfaces Además, si 1 < <, tendremos que f g f g. lím f g(x) = 0; x lo mismo se cumle si = 1 y g tiene soorte comacto. Demostración. En virtud de la desigualdad de Hölder se cumle (f g)(x) (f g)(x ) = f(x y)g(y)dy f(x y)g(y)dy R n R n = [f(x y) f(x y)]g(y) dy R n f(x ) f(x ) g ara todo x, x R n ; la continuidad uniforme de f g si < se sigue de a roosición 2.1. Proosición 2.3. Si 1 < <, u L (R n ), v L (R n ), con y exonentes conjugados, entonces ara cada x R n se tiene que (u v)(x) u v. Demostración. Sean u L (R n ), v L (R n ). Denimos u x (y) = u(x y). Entonces or la desigualdad de Hölder y dado que la medida en L es invariante or traslación se tiene que (u v)(x) = u(x y)v(y)dy R n u(x y) v(y) dy R n = u x (y) v(y) dy R n u v <. 32

40 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () Teorema 2.10 (Young). Sea, q, r 1 y suongamos que q + 1 r = 2 entonces (u v)(x)w(x)dx u v q w r, (2.17) R n ara todo u L (R n ), v L q (R n ) y w L r (R n ). Demostración. La demostración se realizará ara u C 0 (R n ) ya que C 0 (R n ) es denso en L (R n ). Suonemos que u, v, w funciones no negativas. Consideremos F : R n R n C denida or F (x, y) = u(x y). Note que de la continuidad de u se sigue que F es continua y or lo tanto medible. Por otra arte obsérvese que q + 1 r q + 1 r = 3 con, q y r exonentes conjugados de, q y r resectivamente, así q + 1 ( 1 = 3 r + 1 q + 1 ) = 3 2 = 1. r Consideremos las funciones: U(x, y) = v(y) q w(x) r, V(x, y) = u(x y) q w(x) r q W(x, y) = u(x y) r v(y) q r, las cuales satisfacen Además, UVW(x, y) = v(y) q w(x) r u(x y) q w(x) r q u(x y) r v(y) q r q q = u(x y) q + r v(y) + r w(x) r + r q = u(x y) 1 v(y) 1 w(x) 1 = u(x y)v(y)w(x). V q = = ( ( V(x, y) q dxdy R n+n R n w(x) r dx q = w r u r q, 33 ) 1 q R n u(z) dz ) 1 q

41 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () De forma análoga, w r = u r w r q r. U = = ( ) 1 v(y) q w(x) r dxdy R ( n+n v(y) q dy w(x) r dx R n R n = v q u q Combinando este resultado y la desigualdad de Hölder se tiene que ( ( ) ) (u v) (x)w(x)dxdy = u(x y)v(y)dy w(x) dx R n R n R n = u(x y)v(y)w(x)dydx R n R n u(x y) v(y) w(x) dydx R n R n = U (x, y)v (x, y)w (x, y)dxdy R n R n U V q W r r r. q r ) 1 = v q w q r u q w r u r v q r q = u v q w r. r Corolario Si q = r y si u L (R n ) y v L q (R n ) entonces (u v) L r (R n ) y u v r K(, q, r, n) u v q u v q 2.3. Aroximaciones de Unidad. Aún cuando aquí no resentamos, no es difícil demostrar que, las oeraciones + (adición) y (convolución) convierte a L 1 en un anillo conmutativo, ero no tiene unidad. Sin embargo, hay elementos que se comortan bajo convolución aroximadamente como unidad. 34

42 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () A estos elementos que se comortan como esta unidad se les conoce como Mollier, son funciones diferenciables con roiedades eseciales, que se utiliza en la teoría de la distribución ara crear secuencias de las funciones suaves ara aroximar funciones que no lo son, a través de convolución. Intuitivamente, dada una función que es bastante irregular, la convolución suaviza el comortamiento de la función ero ermanece cerca de la función no suave original. Sea J C (R n ) una función no negativa con soorte en la bola unitaria en R n. En articular suongamos que 1) J(x) 0 ara x R n, Por ejemlo consideremos la función 2) J(x) = 0 si x > 1, 3) ( ) 1 k ex si x < 1, x J(x) := si x 1. donde k > 0 es elegida de tal forma que la tercera condición se satisfaga. Para cada ɛ > 0 se dene la Mollier Note que, J ɛ u(x + he i ) J ɛ u(x) h = = J ɛ (x) = ɛ n J ( x ɛ ). R n J(x)dx = 1. J R n ɛ (x + he i y)u(y)dy J R n ɛ (x y)u(y)dy h J ɛ (x + he i y) J ɛ (x y) u(y)dy, R h n como el integrando se anula fuera de la bola de radio ɛ y es acotado or J ɛ negativa, ertenece a C o (R n ) y satisface 1) J ɛ (x) = 0 si x ɛ, 2) R n J ɛ (x) = 1. Las Molliers nos ermiten aroximar funciones u L (), or funciones suaves. 35

43 CAPÍTULO 2. Los esacios Lebesgue L () La convolución J ɛ u(x) = J ɛ (x y)u(y)dy, R n (2.18) denida ara un función u ara la cual (2.18) tenga sentido, es llamada regularización de u. Observación 2.1. J ɛ aroxima a la Delta de Dirac, or lo cual se esera que la convolución en (2.18) aroxime a u. El siguiente teorema resume algunas roiedades de Regularización. Teorema 2.12 (Proiedades de Regularización ). Sea u una función denida en R n y nula en el exterior de. 1) Si u L 1 loc (Rn ) entonces J ɛ u C (R n ), 2) Si u L 1 loc () y So (u), entonces J ɛ u C 0 (); si ɛ < dist(so (u), ()), 3) Si u L (), ara 1 <, entonces J ɛ u L (). Además J ɛ u u y lím ɛ 0 + J ɛ u u = 0. 4) si u C() y si G entonces lím ɛ 0 + J ɛ u(x) = u(x) uniformemente en G, 5) Si u C() entonces lím ɛ 0 + J ɛ u(x) = u(x) uniformemente en. La demostración uede consultarse en [13]. Corolario C 0 () es denso en L () si 1 <. 36

44 Caítulo 3 Distribuciones 3.1. Notación Comenzamos introduciendo las notaciones básicas necesaria ara tener, tanto un buen desarrollo del trabajo así como una buena comrensión or arte del lector interesado. Cada una de las notaciones está basada en la notación dada en [1, 13] En el resto del trabajo nos reservamos el símbolo ara denotar un conjunto abierto en el esacio Euclidiano R n y se designa, como tradicionalmente, ara designar el conjunto vacío. Un unto en R n se denotarán or x = (x 1, x 2,, x n ), donde x i R ara cada 1 i n. Denición 3.1. A la n-ula α = (α 1,..., α n ) la llamaremos multi-índice si α es una n ula de enteros no negativos. Además, denotaremos or X α el monomio, de grado α = n j=1 α j, x α 1 1,..., x αn n. La suma de dos multi-índices, α, β es α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2,..., α n + β n ). Decimos que β α si β j α j ara todo j = 1, 2,..., n. Para denotar la derivada arcial haremos D α φ = α 1 x α 1 1 conviniendo que D (0,...,0) φ = φ. α 2 x α 2 2 αn x αn n = D α 1 1 D α 2 2 D αn n, Por otra arte, el gradiente de una función de valores reales φ es denotado or Dφ(x) := (D 1 φ(x), D 2 φ(x),, D n φ(x)). 37