COLEGIO INGLÉS FUNCIONES REALES. CONCEPTO DE FUNCIÓN: Se llama función de A en B a una relación de A en B que cumple las siguientes propiedades:

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1 COLEGIO INGLÉS DEPARTAMENTO NIVEL: CUARTO MEDIO PSU. UNIDAD: FUNCIONES LINEALES PROFESOR: NATALIA MORALES ROLANDO SAEZ JAVIER FRIGERIO MIGUEL GUTIÉRREZ. FUNCIONES REALES CONCEPTO DE FUNCIÓN: Se llama función de A en B a una relación de A en B que cumple las siguientes propiedades: 1. dom f = A, es decir todo elemento de A tiene imagen en B. Si y 1 = f () e y = f () y 1 = y Quiere decir que cada elemento de A tiene una y sólo una imagen en B. Si f es una función de A en B se anota f : A B El conjunto A se llama dominio y el conjunto B se llama codominio. Codominio: Es el conjunto formado por todos los elementos de B. El recorrido: Es el conjunto de las imágenes de la función. Si (,y) f se anota y = f (), esto es: (, y) f y = f () y se llama imagen de se llama preimagen de y Ejemplos de funciones: 1. f.. a a b b c c y z w Ejemplo de NO funciones y z w a b c y z w 1... a b y c a b c y z w a b c y z w DEFINICIÓN: Sea f una función de A en B se definen dominio de f (dom f) y recorrido de f (recf ) i) dom f = A / y B que es imagen de ii) rec f = y B / A que es preimagen de y 1

2 Ejemplos: En cada caso determinar el dominio de las funciones reales; debemos buscar aquellos valores que hacen cero el denominador o los que originan una cantidad subradical negativa en las raíces de índice par: 1 1 i) f () = Dom h = IR -, ii) f () = 1 Dom f = IR - 0 iii) h () = Dom f = IR - 1 iv) g () = Dom g = IR Para evaluar una función reemplazamos el valor de en la función: 1. Si f() = f() g(1) y g() = 1 entonces el valor de g() ( ) (1 1) 1 es:. Si f() = +1, para 1-4, para 1 entonces se afirma que: I) f() = 9 II) f(0) = 1 III) f(-1) = -5, En este caso es verdadera I y III. FUNCIÓN PRODUCTO COMPOSICIÓN: Sea una función de A en B, sea g una función de B en C: A B C g f () g (f ()) Sea a A; su imagen (a) está en B, que es el dominio de definición de g. De acuerdo con esto, se puede encontrar la imagen de (a) por la aplicación g, es decir, se puede hallar g( (a)). Así se tiene, pues, que a cada elemento a A se hace corresponder un elemento g( (a)) C. En otras palabras, se tiene una función de A en C. Esta nueva función se llama función producto composición, o simplemente función producto de y g y se denota por: (g o ) o (g ) Ejemplo f() = -1 g() = + (fog) (4) = f (g (4)) = f (19) =7 FUNCIÓN INVERSA: Sea una función de A en B, y sea b B. Entonces la imagen recíproca de b, que se denota por -1 (b) consiste en los elementos de A que están aplicados sobre b, esto es, de aquellos elementos de A que tienen a b por imagen. Dicho más brevemente: si : A B, entonces: -1 (b) = A, () = b. Nótese que -1 (b) es siempre un subconjunto de A. Se lee -1 ( recíproca).

3 Ejemplo: Sea la función : A B definida por el diagrama A B a b c y z f --1 (y) =a Ejemplo: Determinar la función inversa de las siguientes funciones: i) y = + 5 se debe despejar, por lo tanto f ( ) ii) f ( ) en este caso al despejar nos queda: 4 f 1 ( ) 4 5 FUNCIONES ELEMENTALES EN IR 1. FUNCIÓN CONSTANTE: Si c es una constante real, la función f : IR IR definida por f() = c se denomina función constante. Y c y = f() = c X. FUNCIÓN AFÍN: Es toda ecuación lineal de la forma y m n, no pasa por el origen Y X. FUNCIÓN LINEAL: Son aquellas que están representadas por ecuaciones de la forma y m, donde m debe ser distinto de 0. Estas ecuaciones pasan por el origen. Y Y=m X y = - y =

4 4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: Y función f : IR IR 0 definida por: f() = II X FUNCIÓN PARTE ENTERA Dado un número real, la función parte entera f ( ) con R le asigna el mayor entero que es menor o igual a. Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,15, esta función persigue que al número real 6,15 se le asocie el número real 6. Su representación gráfica es OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama función escalonada. Ejemplos. 1. El gráfico de la función f() = 4 es A) Y B) Y C) 4 X Y -4 X 4 X D) E) Y Y X - X La alternativa correcta es B. 4

5 (pesos). La gráfica de la figura 1 muestra las tarifas de coneión a Internet de dos empresas, A y B, en donde sus intersecciones con el eje Y son los respectivos cargos fijos. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que: I) El costo por hora de uso es más alto en la empresa A que en la B. II) El costo por hora de uso en la empresa B es 1 pesos mayor que el respectivo costo en la empresa A. III) Por un consumo mayor que 100 horas es más económica la empresa A que la B. Es (son) correcta(s) y A) Sólo III B) Sólo I y III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III A B fig. 1 La alternativa correcta es D 100 horas. Cuál de las siguientes figuras representa la gráfica de las rectas y = 0 y + y + 6 = 0? A) y B) y C) y D) E) y y La alternativa correcta es D 4. El gráfico, de la figura, corresponde a la función A) f() = 1 + B) f() = + C) f() = [ 1] D) f() = [-] + 1 E) f() = [] + 1 y La alternativa correcta es E 5

6 TIPOS DE FUNCIONES Las funciones inyectivas: son aquellas en que ningún elemento del recorrido es imagen de más de un elemento del dominio, es decir, no eisten dos o más preimagenes que vayan a dar a la misma imagen Las funciones sobreyectivas: también conocidas como epiyectivas, son todas aquellas en que todos los elementos del codominio son imágenes de a lo menos un elemento del dominio, es decir, el codominio es igual al recorrido. Las funciones biyectivas: son todas aquellas que son inyectivas y sobreyectivas vas al mismo tiem po, es decir, cada imagen tiene una y solo una preimagen y no eisten elementos del codominio que no tengan preimagen. 6

7 1. Si f() = f() g(1) y g() = 1 entonces el valor de g() a) 0 b) 1 c) d) e) 4 es:. Dada la epresión racional f() = ( ) a) sea un número real con 0 y b) sea un número real con = 0 y = c) sea un número real positivo con d) sea un número real no negativo e) sea un número real cualquiera. Para que ella esté definida en IR, se requiere que:. Si f() +1 si 1-4 si 1 entonces se afirma que: I) f() = 9 II) f(0) = 1 III) f(-1) = -5 De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s): a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II d) Sólo I y III e) Todas las anteriores Si f() = +, entonces f ( ) = 4 a) 4 b) 1 c) d) 5 e) 5. Sea la función real definida por f() =. Entonces: f(1) f() = f(1)+f() 1 a) 4 1 b) c) d) e) 4 7

8 6. Dado el polinomio p() = -+1. Entonces p ( 1 ) = a) p (-1) b) p (0) c) p (1) d) p () e) p () 7. Dada la función real f : IR IR definida por: f() = + si 0-1 si 0 Entonces f () + f (-) = a) 0 b) 8 c) 10 d) 1 e) 4 8. Para qué valor(es) de las funciones y = e y = -1 toman el mismo valor? a) -1 b) 0 c) 1 d) 1 e) Para ningún 9. Dada la función f : IR IR tal que f() = - -10, entonces f(-) =? a) -8 b) -10 c) -7 d) 8 e) Si f : IN IN verifica que f(1) = 1 y f(n + 1) = n + f(n), entonces f() =? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N. A. 11. Si f : IN IN, definida por f() = entonces, f(4)+f() =? - si +5 si a) 0 b) 1 c) d) 7 e) 11 8

9 1. La función inversa de f() = +5 es: a) f 1 ( ) 5 b) f 1 ( ) 5 c) 1 f 1 ( ) ( 5) d) 1 f 1 ( ) (5 ) e) N. A. 1. Cuál(es) de las siguientes curvas corresponden a una función? I) II) III) a) I y IV b) I, IV y VI c) II y IV d) I, II, IV y VI e) I, III, V y VI IV) V) VI) 14. Si la gráfica de la relación + y 8 + 4k = 0 pasa por el origen, entonces el valor de k es: a) - b) -1 c) 0 d) 1 e) 15. De los siguientes conjuntos: I) f = (, y) / y = -1 II) f = (, y) IR + IR + / y = III) f = (1, 1), (, ), (, 1) Es(son) función(es): a) Sólo I b) Sólo II c) I y III d) I y II e) Todas 9

10 16. De los siguientes diagramas, son funciones: I) II) III) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Todos e) Ninguno 17. Si A = a, b, c, B =, 4, 6, 8 y F = (a,) ; (b, 4); (c, 6). Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) F es una función de A en B b) F es una función epiyectiva c) F es una función inyectiva d) F no es función de B en A e) F es una relación de A en B 18. Si A = {1,, } y B = {1, } una función de A en B está representada por: a) {(1,1); (1, )} b) {(1, 1); (, 1); (1, ); (, )} c) {(1, 1); (, ); (, 1)} d) {(1, ); (1, 1); (, 1); (, ); (, 1); (, )} e) {(1, 1)} 19. Se define la función f () = 1, entonces el valor de f (1) f (0) = a) -1 b) 0 c) 1 d) e) Ninguna de las anteriores 0. En IR se define g () = y h () =, entonces (h o g) () es: a) -4 b) - c) 0 d) 4 e) 6 1. En la función real f () = 6k se cumple que f () = -1, entonces el valor de f (1) = a) -1 b) -6 c) - d) e) 4 10

11 . El dominio de la función real f () = a) IR b) IR {0} c) IR {0,, -} d) IR {, -} e) IR + 4 es:. El dominio de la función real g () = 1 es: a) IR b) IR + c) IR - d) ] -, 1] e) [1, + [ 4. La inversa de la función h () = 1 es: a) h -1 () = b) h -1 () = 1 1 c) h -1 () = + 1 d) h -1 () = 1 1 e) No tiene 5. Si f () = 1, entonces f- -1 () es: a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) No tiene inversa 11

12 6. Sean las funciones f() = y g() = +. El valor de f(g()) es: a) 7 b) 4 c) 4 d) 7 e) 8 7. Un estudio de cierto pez que habita en el Pacífico Sur, determinó la relación longitud-peso: P = L + 80 para los machos y P =,5 L para las hembras, estando en ambos casos el peso P en gramos y la longitud L en cm. Si esto es así, para qué longitud, el peso de machos y hembras es el mismo? a) 50 cm b) 40 cm c) cm d) 0 cm e) 4 cm 8. Una neurona artificial es un elemento procesador (EP) que funciona de acuerdo a la llamada función de activación, que es la que define los flujos de salida de la neurona. Se ha sugerido entre otros modelos, como función de activación, la función: f() = (1 + - ) -1, con real mayor que cero. El valor de la función de activación cuando = es: a) 8/9 b) 9/8 c) 1/7 d) 6/7 e) 8/7 9. La Fissurella latimarginata es una de las lapas chilenas de gran tamaño, que constituye, en la región de Antofagasta, el 85 % de las capturas comerciales de lapas. Un estudio morfométrico de esta especie, ha propuesto el modelo: A = 0,7 L 0,9 para la relación entre la longitud L de la concha y su ancho A, ambas magnitudes en mm. Asimismo, ha propuesto el modelo: H = 1,7 + 0,16 L para la altura H de la concha, en función de su longitud L, ambas en mm. Si esto es así, un ejemplar con una concha de 0,9 mm de altura, tendría un ancho de a), mm b),1 mm c) 65,4 mm d) 7,5 mm e) 8, 1 mm 1 Colegio inglés

13 0. La función y = intersecta al eje y en: a) y = 0 b) y = 5 c) y = 4 d) y = 1 e) y = 0 1. Dada la función f(u) = u 14u + 48, Para qué valor (es) de u el valor de f(u) = 5? a) 0 b) 48 c) 6 y 8 d) 1 y 1 e) 1 y 1. Cierta empresa de telefonía móvil ofrece un servicio telefónico de celular a celular con un costo fijo por llamada de $10, más $5 por segundo de duración de la llamada. Si llamamos V al valor de la llamada ($) y t a la duración de ésta (segundos), podemos epresar V en función de t mediante: a) V = t b) V = t c) V = 145t d) V = t e) V = 10 5t. El gráfico de la figura, muestra la evolución del consumo de carne en nuestro país entre los años 1950 y 000, detallada según tipo de carne y promedio de consumo, en Kg por año. Sobre la base de esa información, si se afirma que: I: El consumo de carne de cerdo ha subido a mayor velocidad que la carne de pollo. II: En 1970 el consumo promedio de carne de cerdo fue el mismo que el de pollo. III: A partir de 1970, el consumo de pollo bajó. Es (son) correcta(s): a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 4. Para asignar una calificación a las pruebas de sus estudiantes, una profesora ha decidido construir una escala lineal, de la nota N en función del puntaje P obtenido en la prueba. Algunos valores se muestran en la tabla adjunta. La función empleada por la profesora es: a) N = P/0 +,5 b) N = 0,08P +,4 c) N = 0,1P + d) N = P/50 +,4 e) N = P/40 +,5 P N,7 4,0 5,8 7,0 1 Colegio inglés

14 5. El gráfico de la figura 1 muestra la recta de variación de e y Con los valores dados, para que y = 4, el valor de debe ser: a) 18 Y b) 80 c) 0,8 40 d) 7,5 e) N.A 1,5 X 6. Ciertos biólogos marinos han propuesto que el peso P en gramos, de una variedad de pez es función lineal de su longitud L, en centímetros. De acuerdo a los datos del esquema gráfico de la figura la función es: a) P = 0 L P b) P = 5 L + 1,5 900 c) P = 1,5 L d) P = 1,5 L + 40 e) P = 1,5 L L 7. En la función f(t) = kt 7 1, 5. Si f(5) = 1, Cuál es el valor de k? a) 0,4 b) 5/ c) 10/81 d) /5 e) 1/5 8. La cantidad M de miligramos de medicamento que queda en el organismo después de t horas de ingerido, está dada por la función M(t) = 50 0,8 t Cuánto medicamento queda en el organismo después de horas de ingerido? a) 6 mg b) mg c) 5 mg d) 16 mg e) 8 mg 9. A partir de su nacimiento, el peso P (Kg) de un ternero ha ido creciendo Mensualmente según la función P = t, con t en meses de edad. En este caso la pendiente indica que el ternero: a) Pesó 8 Kg al nacer. b) Pesó Kg al nacer c) Aumenta 1 Kg de peso cada 8 meses d) Aumenta su peso en 15 Kg por mes. e) Aumenta su peso en 8 Kg por mes. 14 Colegio inglés

15 40. El peso P de una persona que comenzó un tratamiento de reducción de peso, varía con el tiempo t según la función P(t) = 10 4t; con 0 < t <1, en donde t son los meses desde que se inició el tratamiento y P está en Kg. Entonces: I: A los 6 meses de iniciado el tratamiento esta persona habrá bajado 96 Kg. II: Esta persona baja 4 Kg de peso al mes. III: Cuando inició el tratamiento, la persona pesaba 10 Kg. Es (son) verdadera(s): a) Solo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III 41. Una institución que mantiene un sitio Web, ha comprobado que el número mensual de visitas N, varía con el tiempo t según la función 6 N t) 4,5 5 t (, con t distinto de 0, estando N(t) en miles y en meses desde que la página fue publicada en el Web Si esto es así, cuántas personas visitan el sitio al tercer mes de publicado? a) b) c) d) e) En la función real f() = , el valor de cuando f() = 60 es: a) 10 b) 0 c) 8 d) 1/ e) /5 4. Se estudiaron aspectos reproductivos y biométricos del pez pargo aleta negra (Lutjanus buccanella), llegándose a la conclusión que el peso P (en gramos), en función de su longitud L (en mm), está dado por la función: P =, L,5 Si esto es así, cuál es el peso de un ejemplar de 400 mm de longitud? a) Menos de 90 g b) 96 g c) 105 g d) 11 g e) Más de 150 g 15 Colegio inglés

16 44. La función siguiente, epresa el crecimiento en altura h de las colonias de coral, en función de la edad e de la población: h(e) = 10 (1 - -( 0,04 e ) ), donde e = años y h = cm. Si esto es así, una colonia de corales de 50 años crecerá, aproimadamente: a) 90 cm b) 96 cm c) 98 cm d) 10 cm e) 105 cm 45. Una investigación estableció que la longitud L de cierto molusco bivalvo del Pacífico, varía con el tiempo t según la función: L = 80 (1-0, (t 0,5) ), estando L en mm y t en años. Según esta función, la longitud alcanzada a los 5 años y medio por este molusco es: a) 8 mm b) 5 mm c) 40 mm d) 48,5 mm e) Más de 50 mm 46. Una tortuga se mueve en línea recta respecto de un punto de origen, de acuerdo a la ecuación: d + 5t = 4, en la cual d es la distancia, en metros al origen, y t es el tiempo, en minutos. En cuanto tiempo la tortuga se ubicará a 5 metros del punto de origen? a) Más de 4 minutos b) minutos con 0 segundos c) minutos con 8 segundos d) minutos con 48 segundos e) Menos de medio minuto 47. En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 15 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 10 minutos. Cuánto canceló en total por los días que estacionó? A) $ B) $.00 C) $.400 D) $.000 E) Ninguno de los valores anteriores. 16 Colegio inglés

17 48. Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [ +1] 49. El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo: Consumo en m Precio 0-9 $ $ o más $ Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproima al entero superior. Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la empresa? 17 Colegio inglés

18 50. Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes: Plan P): $ de cargo fijo mensual, más $ 0 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno. Plan Q): $ de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 0 por minuto, por llamadas en cualquier horario. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 00 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III SOLUCIONES 1.C.C.D 4.B 5.E 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.E 1.C 1.B 14.E 15.D 16.A 17.B 18.C 19.A 0.B 1.A.D.D 4.B 5.C 6.C 7.B 8.A 9.E 0.A 1.D.A.B 4.E 5.D 6.C 7.A 8.B 9.E 40.E 41.D 4.E 4.D 44.A 45.C 46.D 47.B 48.C 49.A 50.E 18 Colegio inglés