E.T.S. de Ingeniería Industrial Universidad Politécnica de Cartagena Curso Académico 2011/12. Curso de formación en Mercados Eléctricos

Transcripción

1 E.T.S. de Ingenería Indstral Unversdad Poltécnca de Cartagena Crso Académco 211/12 Crso de formacón en Mercados Eléctrcos Análss de Crctos Tema II. Métodos y herramentas del análss de crctos Profesor: Dr. Antono Gabaldón Dpto de Ingenería Eléctrca. E-mal: antono.gabaldon@ pct.es

2 Objetvos Selecconar las ecacones lnealmente ndependentes qe peden formlarse en n crcto eléctrco. Redcr al máxmo el orden de estos sstemas de ecacones. Selecconar el método de análss más adecado: mallas/ndos. Aplcar los teoremas fndamentales de los crctos: Conocer las hpótess de partda. Utldad práctca para smplfcar el estdo de los crctos. Resltados del aprendzaje: R2) Selecconar las ecacones lnealmente ndependentes qe se peden formlar en n crcto eléctrco. Conocer y aplcar dversas técncas de análss de crctos qe permten redcr el orden de estos sstemas de ecacones. Selecconar el método de análss más adecado para redcr el orden de complejdad del sstema a resolver. R4) Identfcar las hpótess de los teoremas fndamentales de los crctos e lstrar algnas de ss aplcacones práctcas. Precsar la valdez de cada teorema, y determnar s potencal aplcacón según el problema objeto de estdo.

3 Leccón 3 Formlacón y seleccón de ecacones

4 Conceptos topológcos de los crctos Rama: Dpolo o agrpacón de dpolos, con dos termnales, a los qe pede aplcarse na relacón =f(), =g(). La defncón de ramas no es únca, depende del saro Algnas opcones de ramas: llamaremos r al nº de ramas Menos ramas menos ecacones a formlar Ojo: no complqemos demasado las redccones

5 Conceptos topológcos de los crctos Ndos (ya vsto, Tema I) Pnto de nón de dos o más ramas. Los representamos por n pnto y na letra mayúscla. El número de ndos se denomna n Lazos (ya vsto, Tema I) Conjnto de ramas qe forma na línea cerrada. El número de lazos se denomna l

6 Conceptos topológcos de los crctos Grpo de corte Conjnto de ramas al qe pede aplcarse la 1ª LK de forma generalzada (sperfce cerrada). S sprmmos las ramas el crcto qeda dvddo en dos o más partes. Ejemplo: cada dpolo deal na rama Ndos A, B, C, D y E: ss ramas son n caso partclar de grpo de corte (el crcto sólo se dvde en dos partes)

7 Conceptos topológcos de los crctos Grafo retclar Ssttmos cada rama por n segmento orentado. La orentacón del segmento nos da el sentdo de (t) e (t). No hay crtero para defnr el sentdo ( Ley de Mrphy ). Crcto y s grafo (con explcacón del segmento para la rama 7)

8 Conceptos topológcos de los crctos Árbol Conjnto de ramas conexo, pero aberto, qe contene todos los ndos. El número de ramas de n árbol es (n-1). Ejemplo de árboles en nestro crcto (n-1 = 5-1 ramas) Árbol 1 {1, 3, 4, 6} Árbol 2 {2, 4, 5, 7}

9 Conceptos topológcos de los crctos Eslabones Defndo n árbol, son las ramas qe no pertenecen a él. S número es: e = r (n -1). Ejemplo: s tomamos como árbol {1, 3, 4, 6}

10 Conceptos topológcos de los crctos. Empezamos a escoger elementos especales Lazo básco Lazo qe sólo contene n eslabón. Es n conjnto más peqeño qe los lazos. El número de lazos báscos es: r (n-1) Ejemplo {1, 2, } {1, 3, 4, 5} {4, 5, 7} {1, 3, 4, 6, 7}

11 Conceptos topológcos de los crctos. Empezamos a escoger elementos especales Grpo de corte básco (gcb) Grpo de corte qe sólo contene na rama del árbol. Es n conjnto más peqeño qe los ndos o los grpos de corte en general. El número de gc báscos es: (n-1) Ejemplo {1, 2, 5, 7} {3, 5, 7} {4, 5, 7} {6, 7} No todos los ndos son gcb, pero no es mala dea empezar por ellos para determnar los gcb.

12 Conceptos topológcos de los crctos. Empezamos a escoger elementos especales Mallas Lazo qe no contene nngún otro. Es n conjnto más peqeño qe los lazos. El número de mallas es r - (n-1) ( Igal al de lazos báscos!!!) Ejemplo {1, 2} {2, 3, 4, 5} {5, 6, 7} Algnos lazos báscos peden concdr con mallas

13 Número de ecacones en n crcto Cántas ecacones podemos formlar? Topológcamente: depende de la conexón entre ramas, no de qé haya en ellas. Ecacones de lazos: l Ecacones de lazos báscos: r (n-1) Al menos r + 1 Ecacones de ndos: n Ecacones de grpos de corte: n-1 Ramas: ecacones de defncón de dpolos o conjntos de dpolos Ecacones de ramas: r Incógntas? Pensemos en dpolos pasvos (R, L, C) (t) e (t) en cada rama: 2r Conclsón: Nº ecacones > Nº de ncógntas Dependenca lneal de ecacones ( sobran ) O ben No exste solcón: (los crctos selen fnconar )

14 Número de ecacones en n crcto En la seleccón de ec. debemos tener claro qe: Ecacones 1ªLK son ndependentes de la 2ª LK Utlzamos varables dstntas, (t) o (t) Las ecacones de las LK son ndependentes de las ecacones de defncón (modelos) de cada rama o dpolo () t ( R L D) () t Las ecacones de cada rama son ndependentes entre s salvo qe creamos en la astrología r ecacones ndependentes El comportamento de na rama nada tene qe ver con el de otra (en los acoplamentos s, pero exste na parte propa de cada elemento, L) 1() t ( R1 L1D) 1() t 1 2() t ( R2 ) CD 2 () t 2 Por tanto selecconaremos ecacones entre la 1ª LK y la 2ªLK

15 Ejemplo: ecacones de la 1ª LK Ndos A GCB B C D B C gcb rama A+B+C+D= D = -(A+B+C) *

16 Ejemplo: ecacones de la 2ª LK Mallas a b c Ec lazo = f (ec. mallas contendas en él) Ej. Lazo rama 2 = (malla a) + (malla b) Lazos báscos lb rama lbrama lb rama *

17 Conjnto de ecacones en global Resltado: ( rama ) = (1,51,24 1,95 1,71 1,75,21) t ( rama ) = (-2,46,96-4,46 3,43 3,5 1,3) t * 1ªLK gcb 2ªLK lb Ec Def

18 Resmen Escrbmos (n-1) ecacones de la 1ª LK. Usando todos los ndos -1 método de ndos. O ben Usando todos los grpos de corte báscos. Escrbmos r (n-1) ecacones de la 2ª LK Usando todos los ndos -1 método de ndos. O ben Usando todos los grpos de corte báscos. Escrbmos las r ecacones de rama Total: Ecacones: (n-1) + (r- (n-1))+r = 2r Incógntas: 2r Nota: Y s la rama es na fente deal? Perdemos na varable (,) en la ecacón de rama Perdemos na ncógnta (el valor de la fente:, )

19 Leccón 4 Métodos de análss crclares: mallas

20 Es sencllo este sstema de 12x12 para ese crcto? NO * 1ªLK gcb 2ªLK lb Ec Def

21 Fndamentos del método de mallas El método de lazos báscos es smlar 1) Selecconamos nas varables fctcas ( m ): de malla Propedades: Las verdaderas ncógntas se peden calclar a partr de ellas: ( ) f ( ) Redcen el número de ecacones a plantear: La 1ª LK a los gcb o ndos (menos 1) son nnecesaras. Son fctcas: no exste tal ntensdad en el crcto 2) Planteamos las ecacones de la 2ªLK en las mallas. 3) Ssttmos las ec de rama en la 2ª LK, tlzando ( m ) Ejemplos de ntensdades de malla r m

22 Veamos s se cmplen las propedades: Las verdaderas ncógntas se peden calclar a partr de ellas: La matrz de coefcentes es la matrz de conexón ramas-mallas C Crosdad: 2º LK aplcada a las mallas es famlar a b c * C t

23 Redcen el número de ecacones a plantear: 1ª Ley de Krchoff en ndos o gcb Las ntensdades entran y salen del ndo o del gcb (sempre) Sst. Ecacones ()=() No añade nformacón. A ( ) ( ) ( ) c c a a gcb rama6 ( ) ( ) ( ) ( ) c b c b a a

24 Procedmento Planteamos las ecacones de la 2ªLK Obvamente no hay ntensdades ssttmos en fncón de las ecacones de ramas. Ej: R entre ndos A y B * a 2( ) 241( ) 5( ) a c a b a b4( ) 2( ) 1( ) 24 b c b b a c2( ) 15( ) 4( ) c a c c b ( 2 51) ( 2 1 4) ( 5 2 4) a b c Matrz de Z de malla (Z m ). Smétrca

25 Herramenta de smplfcacón de ecacones Modfcacones en la geometría de las fentes reales de tensón o ntensdad. Motvo: es más sencllo trabajar con fentes de tensón al aplcar el método de mallas. Condcón: las ramas son eqvalentes (tenen la msma ecacón de defncón/modelo) Fte. tenson ( t) eg( t) Zg( D) ( t) g() t Fte.nt ensdad () t g() t Yg( D) () t () t Yg( D) t () Yg( D) Conclsón: Zg( D) 1 Yg D eg t g t ( ) ; ( ) () Yg( D) Zg( D) ( t)

26 Ejemplos: Tratamento de bobnas acopladas Crctos con fentes dependentes Crctos en corrente contna en régmen permanente Más nformacón: Bblografía de la asgnatra

27 Crcto en contna (régmen permanente) Todas las tensones e ntensdades son constantes Condensadores: crcto aberto =. Bobnas: crcto cerrado = (estén acopladas o no).

28 Tendremos el sgente crcto Número de mallas? 3 Error demasado común: la tensón en C 3 es cero. Sólo lo es s ntensdad, pero eso no sgnfca qe no exsta carga y tensón.

29 Leccón 5 Métodos de análss nodales: ndos

30 Volvemos al ejemplo de 12x12 ec. (leccón 3) La dea es smplfcar el nº de ecacones (< 2*r). Comparemos métodos Ndos: rojo Mallas: verde * 1ªLK gcb 2ªLK lb Ec Def Mallas Ndos

31 Fndamentos del método de análss por ndos El método de grpos de corte báscos es smlar (ver. Var. Estado en 1) Selecconamos n ndo de referenca (para elmnar la ecacón dependente, ver leccón 3). 2) Selecconamos nas varables fctcas ( n ): de ndo Propedades: Las verdaderas ncógntas se peden calclar a partr de ellas: ( ) f ( ) r n Redcen el número de ecacones a plantear: Las ecacones de la 2ª LK a los lazos báscos o mallas son nnecesaras. Son fctcas: no exste necesaramente tal tensón en n elemento (rama/dpolo) del crcto. 3) Planteamos las ecacones de la 1ªLK en los ndos. 4) Ssttmos las ec de rama en la 1ª LK, tlzando ( n )

32 Ejemplo de tensones de ndo (D: referenca) U AD =V A -V D U BD =V B -V D U CD =V C -V D Es asmlable a n potencal referdo al ndo de referenca (smplfca la escrtra de las ecacones) Ejemplo 2: qé es físcamente U AH o U FH?

33 Veamos s se cmplen las propedades: Las verdaderas ncógntas se peden calclar a partr de ellas: La matrz de coefcentes es la matrz de conexón ramas-ndos A Crosdad: 1º LK aplcada a los ndos (A, B, C) es famlar. AD BD CD * A t

34 Redcen el número de ecacones a plantear: 2ª Ley de Krchoff en mallas o lazos báscos Las tensones de ndo son potencales a otra referenca, s sma en n lazo debe ser cero (ndep del camno recorrdo) Sst. Ecacones ()=() No añade nformacón. Malla a ( BD) ( BD AD) ( AD)

35 Procedmento: Cambamos las fentes de tensón reales por fentes de ntensdad reales. Planteamos la segnda ley de Krchof en los ndos. Por ejemplo A ; ec. ramas ( t) g1 Y ssttmos las ecacones de defncón ( 5A AD CD ) ( BD AD ) ( AD ) R 1 1

36 Procedmento alternatvo Planteamos las ecacones de la 1ªLK, olvdando los sentdos de rama. Sponemos qe todas las ntensdades salen del ndo. En resmen A2 A ( AD CD) ( AD BD ) ( AD DD ) B ( BD AD) ( BD DD ) 24V ( BD CD ) C2A ( CD AD ) CD BD ( CD DD) 5 4 2

37 Procedmento alternatvo (II) Expresamos las ecacones de la 1ªLK en forma matrcal, y vemos el sentdo físco de los térmnos. Dagonal ppal: Σ Y (de ndo) Fera dag: -Y (compartdas) 2 A 24, A 2 A De forma compacta ( gn ) = [Y n ] ( n ) ( 1/ 21/ 51/ 1) 1/ 2 1/ 5 1/ 2 ( 1/ 2 1/ 1 1/ 4) 1/ 4 1/ 5 1/ 4 ( 1/ 51/ 21/ 4) AD BD CD Tene gran mportanca en el análss de Sstemas de Energía Eléctrca (fljo de cargas).

38 Ejemplos: Tratamento de bobnas acopladas: desaconsejado, mejor tlzar mallas. Crctos con fentes dependentes. Problema con la transformacón de fentes: determnacón de Ua

39 Crctos con fentes dependentes, dependenca de dvsores de ntensdad

40 Crctos con fentes dependentes y ramas actvas con varas fentes, nclyendo fentes de tensón entre ndos. Más nformacón: Bblografía de la asgnatra

41 Leccones 6 y 7 Teoremas fndamentales

42 Hpótess de lnealdad Relacones entre exctacón (entrada) y respesta (salda) Repasar: Tecnología Indstral II (2º Bachllerato LOGSE, LOE), Matemátcas (1º de Grado). Premsas: Los elementos del crcto se caracterzan por na ec dferencal lneal (o s son NO lneales trabajan en na zona lneal) crcto lneal. El operador D (dervada) es lneal D (a*x + b*y) = a*dx + b*dy; sendo a y b constantes. En crctos repasar la leccón 1 y 2 a 1 (t)+b 2 (t) Sstema lneal a 1 (t)+b 2 (t) Ejemplo: conocemos la respesta a na fente de 1V en n elemento (5A), s la fente dobla s valor (2V)? La respesta del elemento es el doble de la orgnal (1A)

43 Teorema de sperposcón Hpótess: crcto lneal (elementos lneales) Enncado: la respesta de n crcto con varas fentes (exctacones ndependentes) es la sma de las respestas elementales a cada fente. (t) = H 1 *e g1 (t)+ H 2 *e g2 (t)+ H 3 * g1 (t) (t) = G 1 *e g1 (t)+ G 2 *e g2 (t)+ G 3 * g1 (t) Utldad: analzar crctos almentados por fentes con dferente expresón temporal (modelo): Ejemplo1: na fente DC y otra AC. Ejemplo 2: na fente senodal de w=2rad/s con otra de 2rad/s. Ejemplo 3: na fente tranglar y otra senodal. Ejemplo 4: no son fentes dferentes na g(t)=5cos(1t) y na eg(t)=1sen(1t) Aplcacones en nestra asgnatra: temas III y IV

44 Demostracón: recordemos n ejemplo de ndos De forma compacta ( gn ) = [Y n ] ( n ) 2 A 24, A 2 A ( 1/ 21/ 51/ 1) 1/ 2 1/ 5 1/ 2 ( 1/ 2 1/ 1 1/ 4) 1/ 4 1/ 5 1/ 4 ( 1/ 51/ 21/ 4) AD BD CD En general las ecacones son de la forma: g1 g2g1 Yg( D) e g1 Y11( D) Y12 ( D) Y13( D) Y12 D Y22 D Y23 D ( ) ( ) ( ) Y13( D) Y23( D) Y33( D) Resolvemos por Cramer, por ejemplo U AB : AD BD CD AD g1 Y12( D) Y13( D) g2 g1 Y22( D) Y23( D) Yg( D) eg Y D Y D 1 23( ) 33( ) Y11( D) Y12 ( D) Y13( D) Y D Y D Y D 12 ( ) 22 ( ) 23( ) Y13( D) Y23( D) Y33 ( D) 1 11( D ) g1 12 ( D)( g2 g1) 13( DYe ) g Y n g

45 Interpretacón físca: AD 1 11( D ) 1 12 ( D)( 2 1) 13( DYe ) Y n g g g g g La respesta total de n crcto es la sma de las respestas partclares a cada na de las fentes (exctacones) AD 1 [ 11( D) 12 ( D)] 1 12 ( D) 2 13( D) Y e Y n g g g g Cómo obtenemos la fncón de transferenca H, entre E y S? g1 (t) E 1 Y n ( D) ( D) AD (t)) S

46 Matemátcamente: anlando térmnos (ej. g2 y e g ) AD g1 Y12( D) Y13( D) g1 Y22( D) Y23( D) Yg ( D) Y D Y D 23( ) 33( ) 1 11( D ) g1 12 ( D)( g1) 13Yg Y11( D) Y12 ( D) Y13( D) Yn Y D Y D Y D 12 ( ) 22 ( ) 23( ) Y13( D) Y23( D) Y33( D) En n crcto eléctrco: hacendo nlas las fentes qe no nos nteresen. Anlar eg(t)= crcto cerrado Anlar Ig(t)= crcto aberto Dvdremos los crctos en na Σ (sbcrctos o esqemas) de sperposcón (cada no de ellos con na o varas fentes).

47 Ejemplo 1: verfcacón de hpótess Ejemplo 2: (sete errores). No exste sperposcón en mpedancas/admtancas.

48 Regla de ssttcón Hpótess: elementos lneales. Utldad: eqvalente de elementos pasvos (o de elementos pasvos con carga ncal tema IV) Enncado: s se conoce la tensón en n conjnto de elementos pasvos se peden ssttr por na fente dependente. Demostracón: la ssttcón de elementos no altera las ecacones del crcto. egt () R()() tt R()() tt 1 2 eg() t R ()() t t * () t 1 R1 ( R ; () t ()) t 2 R1

49 Teorema de compensacón Hpótess: trabajamos con elementos lneales. Utldad: análss de sensbldad de n crcto cando se prodce el ncremento de algún elemento pasvo Z(D). Errores de dspostvos de medda. Determnar qé tolerancas son admsbles en los parámetros de n crcto. Enncado: se peden determnar los (t)=f( Z(D) a partr de n crcto my smplfcado, respecto al orgnal, en el qe sólo exste na fente qe depende del parámetro del elemento qe camba. Crcto orgnal Crcto a estdar

50 Teorema de compensacón (II): demostracón Modfcado Orgnal Compensacón

51 Ecacón termnal de n dpolo Hpótess: lnealdad del crcto Utldad: demostracón del teorema de Thevenn/Norton Enncado: cada dpolo tene na relacón característca qe sólo depende de los elementos qe haya en s nteror. () t f (()) t t () gt ( ()) Aclaracón: lo característco del dpolo es f( ) o g( ), los valores específcos de (t) e (t) no dependen SOLO de él. () t 25V t () 25, A () t 1V t () 1A

52 Ecacón termnal del dpolo (II) Demostracón: ssttmos el crcto eléctrco por na fente qe genera la msma tensón y aplcamos sperposcón Resltados: 2 (t)=; 2 (t): es la ntensdad de cortocrcto ( cc (t) es característca del propo dpolo, no actúa nade más. Podemos obtener n eqvalente del dpolo pasvo Zeq(D), tal qe 1 (t)=z eq (D)* 1 (t) (t)= 1 (t) + 2 (t) = - (t)/z eq (D) + cc (t) (q.e.d.)

53 Teorema de Thevenn/Norton Hpótess: como sempre, la lnealdad. Utldad: redccón de n dpolo (por my complejo qe sea) a na fente real. Aplcacones: smplfcar partes de n crcto qe no nos nteresen (recerda: los eqvalentes son sólo pertas afera, nternamente destryen el elemento). Enncado: n dpolo actvo real pede ssttrse por n eqvalente en forma de fente de tensón (Thevenn) o de ntensdad real (Norton): Tensón eg(t): tensón de vacío del dpolo actvo (t). Intensdad g(t): ntensdad de cortocrcto del dpolo cc (t). Impedanca Zg(D): mpedanca del dpolo pasvo (sn fentes).

54 Teorema de Thevenn/Norton: demostracón Thevenn es el eqvalente fente de tensón real. Norton es el eqvalente fente de ntensdad real. Recerda: conversón de fentes (leccón 4 y 5) Ec. termnal de n dpolo (zda) t () t () Z D cc() ( ) t eq Ec. termnal de la fente (dcha) t () t () Z ( D) g e Z g g () t ( D) eg () t Z D cc() t g () t cc() ( ) t g Z ( D) Z ( D) g eq

55 Ejemplo de tldad del Teorema de Thevenn Red eléctrca comarcal-provncal (raya=línea eléctrca) ndos? 1, 2 Usted está aqí

56 Ejemplo de tldad del Teorema de Thevenn (II) Cada raya es na línea y, eléctrcamente, na línea es: Un problema my complejo salvo qe la red eléctrca peda redcrse a n dpolo Thevenn/Norton Tensón de vacío Uo (sted está aqí) Intensdad de cortocrcto Icc (sted está aqí) Potenca de cortocrcto Uo*Icc (sted está aqí)

57 Ensayo de vacío/cortocrcto Eq. Thevenn El ensayo de vacío es sencllo (poco problemátco) El ensayo de cortocrcto es destrctvo ( solcón?): los cortocrctos provocan elevadas dspacones de calor (R 2 ) El eqvalente fncona sea cal sea el cto al qe se conecte, es decr Ensayo de vacío Ensayo de cortocrcto

58 Teorema de Tellegen Hpótess: como sempre, la lnealdad. Utldad: ppo de conservacón de la energía, en el tema III lo saremos demostracón del teorema de Bocherot. Aplcacones: pocas, my pocas. Balance generacón-demanda. Enncado: en n crcto de r ramas Tenemos ( r ) qe cmplen la 1ª LK en los ndos (o gcb) Tenemos ( r ) qe cmplen la 2ªLK en mallas (o lazos báscos) ( r ) e ( r ) no son necesaramente la solcón del cto. Entonces se cmple Σ( k * k ) = ; k= 1,2 r Demostracón: propedades de las matrces C y A de conexón r t t t t k * k ( r ) *( r ) ( A )( n ) *( r ) ( n ) *( A ) *( r ) k 1 1ª LK en ndos