Matemática Matricial y relaciones

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Ernesto Aguirre Córdoba
hace 5 años
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1 Matemática Matricial y relaciones por Iván Cruz Aceves Por lo general en las matemáticas se utilizan sistemas de ecuaciones para dar solución a problemas de diversas índoles y es aquí donde tienen su aplicación las matrices. Según Perry una matriz es un arreglo de números dispuestos en renglones horizontales y columnas verticales (1990, p. 19). Por ejemplo: Columnas Renglones Tabla 1. Representación de una matriz. Cada elemento de la matriz se identifica mencionando el renglón y columna en la que se encuentra ubicado, por ejemplo: En la posición 1, 1 se localiza el número En la posición 2, 3 se localiza el número En la posición 3,4 se localiza el número En la posición 4, 2 se localiza el número En la posición 5,1 se localiza el número Para identificar los renglones por lo general se utiliza la letra i y para identificar las columnas la letra j por lo que un elemento se puede identificar como a ij. Cuando una matriz tiene el mismo número de renglones que de columnas se denomina matriz cuadrada. Este tipo de matrices cuenta con un elemento llamado diagonal principal, el cual podemos identificar porque se compone de los datos en que i=j. 1

2 Por ejemplo: Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: X 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + x 2 + 6x 3 = 0 7x 1 + 8x 2 + 5x 3 = 0 La matriz quedaría como sigue y la diagonal principal estaría formada por: 1, 9 y Figura 1. Diagonal principal de una matriz. La diagonal principal se forma en matrices cuadradas, es decir, aquellas que tienen el mismo número de renglones y columnas.( Johnsonbaugh,1999) Los elementos de la diagonal principal los podemos identificar, cuando i y j tienen el mismo valor: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), etc. En las ciencias computacionales muchas ocasiones se requiere hacer uso de ecuaciones para resolver problemas o bien para manipular grandes volúmenes de información que es necesario ordenar, agrupar, discriminar o relacionar siguiendo algunas reglas, en esos casos se recurre a las matrices. Algunas de las propiedades de las matemáticas discretas que son aplicables a las matrices son: reflexividad, antirreflexividad, simetría, antisimetría y transitividad. De las propiedades anteriores, la reflexividad, antisimetría y transitividad conforman un conjunto de números denominado parcialmente ordenado ya que son números que tienen una relación binaria de orden parcial. Existen varios tipos de relaciones, en donde una de las principales son las relaciones de equivalencia, las cuales permiten agrupar elementos con características o propiedades en común como: color, edad, tamaño, distancia, por mencionar algunos. 2

3 Las relaciones de equivalencia, permiten agrupar elementos con características o propiedades en común. A continuación estudiaremos las relaciones de equivalencia que se pueden aplicar a las matrices. Reflexividad: La reflexividad se determina verificando la diagonal principal de una matriz, cuando los datos de la diagonal principal son iguales, se dice que la matriz es reflexiva, en caso contrario se le denomina antrirreflexiva. Ejemplos: Matriz Reflexiva Matriz Antirreflexiva Matriz Antirreflexiva Matriz Reflexiva Figura 2. Matriz reflexiva VS Matriz antirreflexiva. Simetría: La definición matemática de la simetría determina que para todo elemento de x relacionado con y implica que y esté relacionado con x. Cuando los elementos no se relacionan se dice que tiene la propiedad de asimetría. Una manera sencilla de determinar si una matriz es simétrica es utilizando la transpuesta de la matriz. La transpuesta de una matriz consiste en colocar las columnas de la matriz A como renglones de la matriz A T para verificar si las matrices son iguales o diferentes. Ejemplos: A = A T = Debido a que la matriz A y la A T son iguales podemos afirmar que A es simétrica. 3

4 5 1 3 A = A T = Debido a que la matriz A y la A T son diferentes podemos afirmar que A es asimétrica. Figura 3. Matriz simétrica y antisimétrica. Transitividad: La transitividad consiste en que un elemento se relacione con otro y éste a su vez con un tercero, sin duda es un poco complejo de comprobar lo anterior. Una imagen que describiría lo que estamos mencionando es la siguiente: Imagen 1. Relación entre elementos. Podemos observar que 1 se relaciona con 2, 2 se relaciona con 3; pero tendríamos que asegurar que el 1 se relacionará también con el 3 para determinar la transitividad. En el caso de las matrices debido a la complejidad se utilizan programas que resuelvan si los elementos son transitivos sin necesidad que nosotros tengamos que hacer los cálculos matemáticos. Una matriz que podemos asegurar cuenta con todas las propiedades de equivalencia revisadas es la matriz identidad, esta se encuentra formada de 0 s y únicamente tiene 1 s en su diagonal principal tal como se muestra en la siguiente imagen. Matriz Identidad 3x Matriz Identidad 4x Figura 4. Representación de matrices identidad. A continuación veremos una aplicación real del uso de matrices y determinación de sus propiedades. En una empresa de paquetería la camioneta de reparto puede seguir varias rutas para realizar las entregas que tiene programadas para el día de hoy. Las rutas y puntos de reparto se representan en la siguiente imagen. 4

5 Imagen 2. Representación de rutas y puntos de entrega. Para poder resolver el problema anterior se puede hacer uso de una matriz, para lograrlo será necesario determinar los valores que se colocarán en ella. Como primer paso será necesario determinar la distancia que existe entre cada uno de los nodos haciendo uso de la fórmula: A A B C D E (10-10) 2 +(20-20) 2 (10-10) 2 +(20-30) 2 (10-30) 2 +(20-30) 2 (10-30) 2 +(20-20) 2 (10-20) 2 +(20-25) 2 B (10-10) 2 +(30-20) 2 (10-10) 2 +(30-30) 2 (10-30) 2 +(30-30) 2 (10-30) 2 +(30-20) 2 (10-20) 2 +(30-25) 2 C (30-10) 2 +(30-20) 2 (30-10) 2 +(30-30) 2 (30-30) 2 +(30-30) 2 (30-30) 2 +(30-20) 2 (30-20) 2 +(30-25) 2 D (30-10) 2 +(20-20) 2 (30-10) 2 +(20-30) 2 (30-30) 2 +(20-30) 2 (30-30) 2 +(20-20) 2 (30-20) 2 +(20-25) 2 E (20-10) 2 +(25-20) 2 (20-10) 2 +(25-30) 2 (20-30) 2 +(25-30) 2 (20-30) 2 +(25-20) 2 (20-20) 2 +(25-25) 2 Tabla 2. Cálculo de los elementos de una matriz. Posteriormente se generará la matriz n x n con los datos anteriores, donde n es el número de nodos que tiene nuestro diagrama: 5

Matriz 5 x 5 0 10 22.36 20 11.18 10 0 20 22.36 11.18 22.36 20 0 20 11.18 20 22.36 10 0 11.18 11.18 11.18 11.18 11.18 0 Tabla 3. Matriz obtenida al calcular la distancia entre los puntos.

- Simetría: Primeramente calcularemos la transpuesta de la matriz e identificaremos si son iguales o diferentes. Matriz Original 0 10 22.36 20 11.18 10 0 20 22.36 11.18 22.36 20 0 20 11.18 20 22.

6 Matriz 5 x Tabla 3. Matriz obtenida al calcular la distancia entre los puntos. Ahora bien vamos a determinar las propiedades que tiene nuestra matriz. 1.- Reflexividad: Debido a que la diagonal principal se compone de 0 s nuestra matriz es Reflexiva. 2.- Simetría: Primeramente calcularemos la transpuesta de la matriz e identificaremos si son iguales o diferentes. Matriz Original Matriz Transpuesta Figura 5. Representación de una matriz y su transpuesta. Debido a que la matriz original y la transpuesta son iguales asumimos que la matriz es simétrica. Referencias Gutiérrez, E. (1998). Fundamentos de Matemáticas y Lógica. [Versión electrónica] Disponible en la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG. Johnsonbaugh, R.; Palmas, O. (1999). Matemáticas discretas. [Versión electrónica]. Disponible en la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG. 6

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