Alfredo Weitzenfeld Gráfica: Vistas 3D 1

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1 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D Vistas 3D... 2 Esecificación e la Cámara... 2 Transformación el marco munial al marco e vista... 4 Esecificación e Vista... 5 Proecciones... 7 Proección Paralela... 8 Proección Persectiva... Matemáticas ara roecciones... 3 Paralela Ortogonal... 3 Persectiva... 3 Matri e Proección General... 6 Volúmenes e Vista... 9 Paralela... 9 Persectiva... 2 Volumen e Vista Canónico... 2 Paralela Persectiva Vista el Cubo Tubería e Vista... 29

2 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 2 Vistas 3D Los objetos se efinen en el marco e referencia, luego se cambian meiante transformaciones afines al marco e moelo (coorenaas muniales), luego al marco e vista (coorenaas e vista). Se istingue entre objetos e imágenes físicas sintéticas. Esecificación e la Cámara Los objetos eisten en un esacio ineeniente el observaor (viewer). Para esecificar objetos sencillos (imitivas gráficas, como línea, cuarao) se ueen utiliar vértices. CAD tiene como objetivo roveer una forma fácil e construir moelos sintéticos el muno. Cualquier sistema gráfico ebe roveer meios ara formar imágenes e objetos. Generar una vista es arecio a tomar una fotográfica. El tio el tamaño el lente e la cámara eteran la imagen final. OenGL ubica la cámara en el origen el marco munial auntano en la irección negativa e (el marco e vista utilia un sistema e coorenaas e mano iquiera, a iferencia el marco e moelo que utilia un sistema e coorenaas e mano ereca). Si la matri moelo-vista es la matri ientia, el marco e la cámara (vista) el marco munial son iénticos. Si se mueve la cámara en relación al marco munial, los vértices aún serán esecificaos en el marco munial, ero la vista será e acuero a la nueva osición e la cámara. La matri moelo-vista esecifica la relación entre el marco e moelo el marco e vista. El observaor uee ser umano, una cámara, o un igitaliaor: En un umano la imagen se forma atrás el ojo. En una cámara se forma en el film. El observaor al igual que los objetos se ubican en 3D ara generar la imagen en 2D, sieno esta la esencia e formar imágenes. Cámara Sencilla (Pinole) (,,) (,, ) El origen el sistema e coorenaas e la cámara está en el centro el oo se suone que es lo suficientemente equeño ara que sólo ase un rao e lu emanano e un unto. La elícula e la cámara se encuentra el lao ouesto el oo a una istancia ( -). Las coorenaas en el film se ueen calcular or simle triangulación: El unto (,, ) se conoce como la roección e (,,). El color el unto en el lano e la elícula será el color el unto original.

3 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 3 El camo u ángulo e vista e la cámara es el ángulo el objeto más grane que se uea obtener en la elícula: (,) (,-) Vista e lao θ Angulo e vista Si es la altura e la cámara, el ángulo e vista θ es: θ 2 tan 2 La cámara ieal tiene una rofunia e camo infinita: Caa unto entro el camo e vista está enfocao. La imagen e un unto es un unto. Las esventajas e esta cámara son: solo amite un rao e lu una fuente e unto aa la equeñe el oo, o sea que casi no entra lu en la cámara no se uee ajustar iferentes ángulos e vista Reemlaano el oo or un lente resuelve ambos roblemas: el lente recibe maor cantia e lu, cuanto más grane el lente maor la cantia e lu escogieno un lente con la longitu focal aroiaa (equivalente a escoger el valor e ), se uee obtener el ángulo e vista eseao (asta 8 graos). Sin embargo, los lentes no tienen una rofunia e camo infinita, o sea, objetos a iferentes istancias el lente no estarán toos enfocaos. Estos moelos e sistemas e imágenes óticos es la base el moelo e cámara sintético utiliao en las gráficas or comutaora e tres imensiones. La línea que une un unto e un objeto al unto corresoniente en la imagen, asano or el centro el lente, se conoce como roector El centro el lente se conoce como el centro e roección. Toos los roectores emanan el centro e roección. El lano e la elícula frente al lente se conoce como el lano e roección. El tamaño e una imagen se eresa or el ángulo e vista, corresoniente al rectángulo e recorte o ventana e recorte (cliing) en el lano e roección.

4 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 4 Este rectángulo actúa como una ventana a través e la cual un observaor, ubicao en el centro e roección ve el muno. Daa la ubicación el centro e roección, la ubicación orientación el lano e roección, el tamaño el rectángulo e recorte, se uee eterar que objetos aarecerán en la imagen. Transformación el marco munial al marco e vista Una alternativa sería transformar el marco el muno en relación al e vista. La transformación e las escriciones e objetos e coorenaas muniales a coorenaas e vista equivale a una transformación que suerone el marco e referencia e vista sobre el marco munial al utiliar oeraciones geométricas básicas e traslación rotación. Esta secuencia e transformaciones es:. Se traslaa el unto e referencia e vista al origen el sistema e coorenaas muniales. Si el unto e referencia e vista se esecifica en una osición munial (,, ), se traslaa este unto al origen munial con la matri e transformación T(-, -, - ). 2. Se alican rotaciones ara alinear los ejes v, v v con los ejes muniales w, w w, e manera resectiva. La secuencia e rotación uee imlicar asta tres rotaciones el eje e coorenaas, según la osición que se seleccione ara N. En general, si N no esta alineao con ninguno e los ejes e coorenaas, oemos sueroner los sistemas e vista munial con la secuencia e transformaciones R R R. Es ecir, rimero giramos alreeor el eje munial e w ara traslaar v al lano w w. De este moo efectuamos una rotación con resecto el eje w ara alinear los ejes e w v. Aemás, si el sistema e referencia e vista es e lao iquiero, también es necesaria una refleión e uno e los ejes e vista (e.g. el eje v ). 3. Se traslaa el unto e referencia e vista el origen a su osición original, T(,, ). La siguiente figura ilustra la secuencia general e transformaciones e traslación rotación. w v v w w v v v v v w v w v w w w w (a) (b) (c) Entonces se alica la matri e transformación comuesta en las escriciones e coorenaas muniales ara transformarlas a coorenaas e vista. Por ejemlo, si originalmente la cámara está ubicaa en el origen el marco munial vieno en la irección negativa e, se esea ubicar la cámara en el eje vieno en la irección negativa e ubicano la cámara en, como se muestra en la figura: w w Cámara w

5 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 5 Se llevarían a cabo las siguientes transformaciones el marco munial en OenGL en relación a la osición e la cámara: glmatrimoe(gl_modelview); glloaientit(); glrotatef(9.,.,.,.); gltranslatef(-,.,.); El oren es rimero rotación ( a ) luego traslación or -, ao que mover la cámara es como mover el muno en la irección ouesta. Otro métoo ara generar la matri e transformación rotación consiste en calcular los vectores unitarios uvn formar la matri e rotación comuesta e manera irecta. Daos los vectores N V, se calculan estos vectores unitarios como n N / N ( n, n 2, n 3 ) u VN / VN ( u, u 2, u 3 ) v nu ( v, v 2, v 3 ) Este métoo también ajusta en forma automática la irección e V e moo que v sea erenicular a n. La matri e rotación comuesta ara la transformación e vista es u u2 u3 v v v 2 3 R n n2 n3 que transforma u en el eje munial e w, v en el eje e w n en el eje e w. Esta matri lleva a cabo e manera automática la refleión necesaria ara transformar un sistema e vista e lao iquiero en un sistema munial e lao ereco. La transformación comleta e coorenaas muniales a coorenaas e vista se obtiene como el roucto e matri M VC WC R T - Esecificación e Vista Por lo general, en los istintos APIs (GKS-3D, PHIGS, OenGL) se tiene un enfoque iferente ara la esecificación e la vista (osición e la cámara), la cual se ace meiante la esecificación irecta el marco e vista (transformación e normaliación) no meiante transformaciones afines básicas ese el marco munial. Sistema e coorenaas e (referencia) vista o sistema u-v-n (VRC - Viewing-Reference Coorinate) - se establece el sistema e coorenaas en referencia a la cámara. Matri e Orientación e Vista - es la matri e transformación ara el cambio e marcos (moelo-vista). Punto e referencia e vista (VRP - View Reference Point) - establece el marco e referencia e las coorenaas e vista, seleccionao el origen el sistema e coorenaas e vista.

6 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 6 v u VRP n En OenGL, la cámara está centraa en el origen el marco munial (VRP (,,)), mirano en la irección negativa e. El usuario asigna el VRP meiante: set_view_reference_oint(,, ); Plano e visión o roección (View Plane) - normalmente se efine erenicular al eje e vista e n corresone al lano e la elícula en la cámara. Vector normal el lano e visión (VPN - View-Plane Normal) - esecifica la irección ositiva ara el eje e vista n la orientación el lano e visión. v v Plano e visión n (a) VRP u Normal al lano e visión, (,,) Plano e visión VRP Normal al lano e visión, (,,) (b) n u En OenGL se establece la irección ara n meiante la siguiente función set_view_lane_normal( n, n, n); Vector e vista acia arriba (VUP - View-U Vector) - inica la irección ositiva el eje e v el lano e vista, al esecificar un vector VUP. Puee ser teioso eterar la irección ara VUP que sea eactamente erenicular a n. Por tal raón, or lo general los roceimientos e vista ajustan la orientación efinia ara VUP or el usuario, ara obtener la roección v en un lano erenicular al vector normal n, como se ilustra en la siguiente figura. Se uee eterar que el vector e vista acia arriba tenga cualquier irección conveniente, en tanto que no sea aralelo a n. v VUP lano e vision VRP u n VPN En OenGL se establece VUP meiante la siguiente función set_view_u(u, u, u);

7 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 7 Al utiliar los vectores n v, se uee calcular un tercer vector u, erenicular tanto a n como a v, meiante el roucto cru e vectores. El uso e VRP, VPN VUP es una e tantas maneras que un API tiene e esecificar la osición e la cámara. En mucas situaciones. Un métoo alterno mas irecto se muestra en la siguiente figura: (at,at,at ) (u,u,u ) (ee,ee,ee ) La cámara se aunta a un unto. La ubicación e la cámara se llama el unto el ojo (eeoint), se uee esecificar en el marco munial, al igual que el unto one aunta la cámara. Estos untos eteran un VPN VRP, solo se requiere añair el VUP. OenGL ofrece la función e utilería glulookat(ee, ee, ee, at, at, at, u, u, u); La función altera la matri moelo-vista ara una cámara que aunte a lo largo e la línea esecificaa. Proecciones En general, las roecciones transforman untos en un sistema e coorenaas e imensión n acia untos en un sistema e coorenaas e imensión menor que n, en articular e interés aquí es la roección e 3 a 2 imensiones. La roección e un objeto se efine or raos e roección, llamaos roectores, que emanan el centro e roección (COP - Center of Projection) o unto e referencia e roección (PRP - Projection Reference Point), asano a través e caa unto el objeto, e intersectano el lano e roección ara formar la roección. El centro e roección uee estar a una istancia finita o infinita el lano e roección. El COP corresone al centro el lente en la cámara, o en el ojo, en los sistemas e gráfica or comutaora, es el origen el marco e la cámara. La clase e roecciones trataas aquí se conocen como roecciones geométricas lanas, a que la roección es sobre un lano no sobre una suerficie curva, usa roectores rectos no curvos. Mucas roecciones cartográficas no son lanas o geométricas, como el maa el muno. Las roecciones se ueen iviir en os clases básicas: ersectiva aralela. Se istinguen en la relación el centro e roección al lano e roección. Ambas roecciones reservan líneas, ero or lo general no los ángulos. Según el centro e roección se aleja, los roectores se aroiman a líneas aralelas. Si la istancia el lano e roección al centro e roección es finita, entonces la roección es ersectiva, como se muestra en la siguiente figura. A Proectores A' B' B Centro e roección Plano e roección

8 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 8 Si la istancia entre el centro e roección el lano e roección es infinita, los roectores se acen aralelos, la roección es aralela, estableciénose una irección e roección (DOP - Direction of Projection), como se muestra en la siguiente figura: A Proectores A' B' B DOP Centro e roección en el infinito Plano e roección El centro e roección es un unto con coorenaas omogéneas e tio centro roección (,,, ). La irección e roección es un vector, que se uee comutar restano os untos irección roección (,,, ) -(,,, ) (a, b, c, ) Proección Paralela La roección aralela es menos realista a que no a acortamiento e ersectiva, aunque ueen aber iferentes acortamientos constantes sobre caa eje. La roección uee usarse ara meias eactas, las líneas aralelas se mantienen como tal. Como en la roección e ersectiva, los ángulos se reservan solo sobre las caras el objeto aralelas al lano e roección. Las roecciones aralelas se categorian en os tios, eenieno e la relación entre la irección e roección la normal al lano e roección. Ortogonal La roección ortográfica es la roección ortogonal básica, se caracteria en que los roectores son ereniculares al lano e roección, or lo cual la irección e roección es normal al lano e roección. La roección ortográfica multivista efine roecciones one el lano e roección es aralelo a una e las caras rinciales el objeto. Por lo general, se esliegan al menos tres vistas: frontal, suerior (to) lateral. La siguiente figura muestra la construcción e estas tres roecciones; utiliaas a menuo en ibujos e ingeniería ara mostrar artes e máquinas, ensamblaos, construcciones, a que se uee meir e ellos las istancias los ángulos, sin istorsión a los objetos. lano e roección (vista suerior) lano e roección (vista lateral) lano e roección (vista frontal)

9 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 9 Como caa roección muestra solo una cara e un objeto, es ifícil e eucir la naturalea triimensional el objeto roectao, incluso si varias roecciones el mismo objeto se estuian simultáneamente. Aonométrica La roección aonométrica usa lanos e roección que no son normales a un eje rincial or lo tanto muestra varias caras e un objeto a la ve. Se reserva el aralelismo e las líneas, ero no los ángulos. Eiste un acortamiento (foresortening) e las istancias con iferentes escalas ara líneas no aralelas a un eje rincial. Isométrica La roección isométrica es una roección aonométrica, one la normal al lano e roección ( or lo tanto la irección e roección) tiene ángulos iguales con caa eje rincial. Si la normal al lano e roección es (,, ), entonces se requiere o ± ± ±. Eisten solo oco irecciones (una ara caa octante) que satisfacen esta conición). La siguiente figura muestra la construcción e una roección isométrica a lo largo e una e estas irecciones (, -, -). normal al lano e roección lano e roección 2º 2º 2º La roección isométrica tiene la roiea que sus tres ejes rinciales se acortan igualmente, ermitieno meias a la misma escala a lo largo e los ejes (e aquí su nombre: iso ara igual, métrico ara meia). Aemás, las roecciones e los ejes rinciales acen ángulos iguales e 2º entre si. Oblicua La roección oblicua tiene que la irección e roección la normal al lano e roección ueen tener un ángulo arbitrario entre si. En una roección oblicua, se reservan los ángulos en lanos aralelos al lano e roección. Las otras caras el objetos roectaas ermiten que se mian las istancias a lo largo e los ejes rinciales, ero no los ángulos. Las roecciones oblicuas se utilian muco aunque son las mas ifíciles e ibujar. También son oco naturales, a que las cámaras el ojo umano tienen una relación fija con el lano e imagen; or lo general el lente es aralelo al lano, generano vistas en ersectiva. La siguiente figura muestra la construcción e una roección oblicua. lano e roección normal al lano e roección

10 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D Dos roecciones frecuentemente usaas son caballera (cavalier) gabinete (cabinet). Caballera La roección caballera efine una irección e roección que no es erenicular al lano e roección one la roección e una línea erenicular al lano e roección tiene el mismo largo que la roia línea, o sea, no a acortamiento. Las siguientes figuras muestra varias roecciones caballeras el cubo unitario al lano (,), formano un ángulo α con la oriontal, tíicamente e 3º o 45º. La figura (a) tiene irección e roección e ( 2 2, 2 2, ). La figura (b) tiene irección e roección e ( 3 2, 2, ). 45º 3º (a) (b) Gabinete La roección gabinete efine una irección e roección que no es erenicular al lano e roección, one la roección e una línea erenicular al lano e roección tiene la mita e su largo actual. Las roecciones e gabinete son un oco mas realistas que las caballeras, a que el acortamiento or un meio va mas e acuero con las eeriencias visuales. Las siguientes figuras muestra varias roecciones gabinete el cubo unitario al lano (,), formano un ángulo α con la oriontal, tíicamente e 3º o 45º. La figura (a) tiene irección e roección e ( 2 4, 2 4, ). La figura (b) tiene irección e roección e ( 3 4, 4, ). /2 /2 45º 3º (a) (b) La siguiente figura muestra la relación lógica entre varios tios e roecciones.

11 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D Proección Plana Geométrica Persectiva Paralela Un-Punto Ortogonall Oblicua Dos-Puntos Aonométrica Frontal Caballeras Tres-Puntos Isométrica Lateral Suerior Gabinete Proección Persectiva El efecto visual e una roección e ersectiva es similar a la e los sistemas fotográficos el sistema visual umano, se le conoce como acortamiento e ersectiva (ersective foresortening). El tamaño e la roección e ersectiva e un objeto varía inversamente con la istancia el objeto al centro e roección. Según se alejan los objetos, las roecciones se vuelven mas equeñas. Aunque la roección e ersectiva se vea realista, no es mu útil ara obtener la forma eacta meias el objeto; las istancias no ueen obtenerse e la roección, los ángulos se reservan solo sobre las caras el objeto aralelos al lano e roección, las líneas aralelas en general no se roectan como tal. La siguiente figura muestra la construcción e una ersectiva, efinieno el centro e roección con algunos e los roectores el lano e roección cortano el eje e. lano e roección centro e roección normal al lano e roección Las líneas aralelas que no son aralelas al lano e roección convergen en un unto e fuga (vanising oint). Las líneas aralelas se juntan solo en el infinito, or lo cual se uee ver el unto e fuga como la roección e un unto en el infinito. Eisten otencialmente un número infinito e untos e fuga, uno ara caa una e la infinia e irecciones en que se uee orientar una línea. Las roecciones ersectivas se clasifican rincialmente en ersectivas e un, os tres untos, eenieno e cuantos e los tres ejes rinciales e un objeto son aralelos al lano e roección, el unto e fuga se conoce como unto e fuga e eje (ais vanising oint). Si os ejes son aralelos, se obtiene ersectiva e un unto (eje ) Si un eje es aralelo se, se obtiene ersectiva e os untos (eje, eje o ) Si ningún eje es aralelo, se obtiene ersectiva e tres untos (eje, eje )

12 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 2 Un unto e fuga Si el unto e fuja es en el eje, se tiene un unto e fuga e eje (ais vanising oint), las líneas aralelas a los ejes se mantienen aralelas. La siguiente figura muestra una roección en ersectiva e un unto e fuga. lano e roección unto e fuga en el eje- centro e roección Dos untos e fuga La siguiente figura muestra la construcción e una ersectiva e os untos, one las líneas aralelas al eje e no convergen en la roección. unto e fuga en el eje- lano e roección unto e fuga en el eje- centro e roección Tres untos e fuga Persectivas e tres untos no tienen ningún eje aralelo a los ejes rinciales.

13 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 3 unto e fuga en el eje- unto e fuga en el eje- lano e roección unto e fuga en el eje- centro e roección Matemáticas ara roecciones Se resenta las matemáticas básicas ara roecciones geométricas lanas. Caa una e las roecciones se efine como una matri e 44, sieno esto conveniente a que la matri e roección se uee comoner con las matrices e transformación, ermitieno reresentar las oeraciones e transformación roección como una sola matri. Se consiera que el lano e roección es normal al eje e, ubicao en en la roección ersectiva en en la roección aralela Paralela Ortogonal Una roección aralela ortográfica, con el lano e roección en se escribe meiante la siguiente matri e roección. Si la matri e roección se aría or. Persectiva Para calcular las transformaciones, establecemos el unto e referencia e roección en la osición (centro e roección) r a lo largo el eje e v situamos el lano e visión en como se muestra en la siguiente figura (COP corresone al centro el lente está elante el lano e roección corresoniente a la elícula e la cámara).

14 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 4 v o v P (,, ) P (,, ) P(,, ) v r lano e visión Poemos eresar las osiciones e coorenaas ( r, r )a lo largo el roector en forma aramétrica como r (-u) - u r (-u) - u r (-u) - ( - r )u El arámetro u toma valores e a la osición e coorenaas (,, ) reresenta cualquier unto a lo largo el roector. Cuano u corresone a la osición P(,, ). En el otro etremo e la línea, u corresone al unto e referencia e roección (,, r ). En el lano e visión, se uee esejar la ecuación e ara el arámetro e u en esta osición a lo largo el roecto u ( - )/( - r ) Al sustituir este valor e u en las ecuaciones ara, se obtiene las ecuaciones e transformación e ersectiva - ( - )/( - r ) ( - r )/( - r ) ( /( r - )) - ( - )/( - r ) ( - r )/( - r ) ( /( r - )) one r - es la istancia el lano e visión ese el unto e referencia e roección (istancia entre el lente la elícula). Al utiliar una reresentación e coorenaas omogéneas triimensionales, se uee eresar la transformación e roección en ersectiva en forma e matri (M er ) como / ( ) r / ( ) r. La ivisión or escribe el acortamiento uniforme; cuanto mas lejos los objetos el centro e roección, mas equeños se ven. Nótese, que según tiene a infinito en la matri e roección e ersectiva, la matri e roección se convierte en la ortogonal aralela: / ( ) ao que la fracción /( r -) se vuelve /. r / ( ) r.

15 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 5 La matri e roección e ersectiva se uee moificar e la siguiente manera: ( ) r r. one, el factor omogéneo es ( r - )/ ( r - )/( r - ) las coorenaas e roección en el lano e visión se calculan a artir e las coorenaas omogéneas como / / / El unto e referencia e roección no tiene forosamente que localiarse a lo largo el eje e v. Se uee seleccionar cualquier coorenaa ( r, r, r ) ara el unto e referencia e roección. En el caso que el unto e referencia e roección esté situao en el origen e las coorenaas e vista,, r ( r - )/ ( r - )/( r - ) / ( / ) / / ( / ) / / La matri e roección seria:. one [ ] T [ /] T Diviieno or / sacano la cuarta coorenaa ara volver a 3D, tenemos: Si r - entonces Y la matri sería ( /, /, /) (,, ) (//, //, ) ( r - )/ ( r - )/( r - ) (--)/- ()/ (/()) /( / ) (/()) /( / )

16 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 6. one [ ] T [ /] T Diviieno or / sacano la cuarta coorenaa ara volver a 3D, tenemos: Matri e Proección General ( /, /, /) (,, ) (//, //, ) Para una generaliación, one la irección e roección no tiene que ser a lo largo el eje e, se integra ambas matrices e transformación en solo una, a artir e la siguiente figura. v o v COP P r P (,, ) P (,, ) Q P(,, ) (,, ) (,, ) lano e visión v Se escribe la roección e un unto general P(,,) sobre un lano e roección P (,, ), one el lano e roección es erenicular al eje e está a una istancia v el origen, el centro e roección (COP) está a una istancia Q el unto (,, ). La irección e (,, ) a COP se a or el vector e irección normaliao (,, ). P está sobre la línea COP - P, que uee esecificarse e manera aramétrica como P COP u(p - COP), u Esta ecuación se uee escribir como ecuaciones searaas sobre la línea ara un unto arbitrario P (,, ), con COP (,, ) Q(,, ), ano Q ( - Q ) u Q ( - Q ) u ( Q ) ( - ( Q )) u Se efine la roección P el unto P, en la intersección e la línea entre COP P con el lano e roección, sustitueno en la ecuación anterior u ( - ( Q )) / ( - ( Q )) Sustitueno el valor e u obtenemos Q ( - Q ) ( - ( Q )) / ( - ( Q )) Q ( - Q ) ( - ( Q )) / ( - ( Q ))

17 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 7 o Q Q Multilicano or la ientia v se obtiene 2 Q Q Q Q Q Q Estas ecuaciones ueen escribirse como una matri general e roección organiaa ara que la ultima fila rouca el enoaor común, el cual es la coorenaa omogénea: 2 gen Q Q Q Q M. 2 Q Q Q Q one Q La matri general se esecialia en las matrices e roección reviamente erivaas: Proección Q [ ] Ortogonal [ -] Persectiva [ -] Persectiva [ -] Caballera [cos α sin α -] Gabinete [(cos α)/2 (sin α)/2 -] En toos estos casos el lano e roección es erenicular al eje e. Ortogonal - El caso e la matri ortogonal se obtiene

18 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 8 M ort Persectiva - En una roección ersectiva, Q, la istancia entre el centro e roección el lano e roección es - r. 2 M er El unto e fuga e una roección e ersectiva se calcula multilicano el unto en el infinito sobre el eje e, reresentao en coorenaas omogéneas como [ ] T, or M ger. Q Q Q Q Q Q. 2 Tomano este roucto iviieno or se obtiene / - / (-Q ) Q / - / (-Q ) Q - /Q (-Q ) Escogieno un unto e fuga articular (,), ao que se conoce la istancia Q al centro e la roección, estas ecuaciones efinen e forma única [ ], a que Caballera - Una roección caballera sobre el lano, con un ángulo α, resulta en sin cos sin cos α α α α M cab Gabienete - Una roección caballera sobre el lano, con un ángulo α, resulta en 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos α α α α M gab

19 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 9 Volúmenes e Vista En analogía a la cámara, el tio e lente que se utilia es un factor que etera el orcentaje e la escena que se cata en la elícula, el ángulo e vista. Un lente gran-angular cata una arte mas amlia e la escena que un lente regular. Se establecer un volumen e vista (view volume) que esecifica que objetos en la escena aarecerán cuales serán recortaos fuera e ella. Solo aquellos objetos en el volumen e vista aarecerán en le esliegue, limitano la orción el muno que se recortara roectara sobre el lano e vista. Paralela Para roecciones aralelas, el volumen e vista es un araleleieo infinito con los laos aralelos a la irección e roección. lano e vision PRP DOP Se obtiene un volumen e vista finito al limitar la etensión el volumen en la irección e n, meiante uno o os lanos e fronteras aicionales. Se limita el volumen e vista con un lano e recorte e frontal (Front Cliing Plane) un lano e recorte osterior (Back Cliing Plane), también llamaos lano cercano (Hiter) lejano (Yon), que son lanos aralelos al lano e vista en osiciones esecificas front back ; normales al lano e visión. Ambos lanos eben situarse en el mismo lao el unto e referencia e roección el lano osterior ebe estar mas istante el unto e roección que el lano frontal. lano elantero e recorte lano e visión VRP lano trasero e recorte DOP VPN B Los lanos se esecifican or las istancias e frente, ositivas o negativas, (F - Front istance) la istancia e atrás (B - Back istance) relativa a VRP a lo largo e VPN (normal al lano), con istancias ositivas en la irección e VPN. En OenGL, la única función aralela e vista ofrecia es la ortográfica: glorto(, ma,, ma,, ma); Los arámetros están efinios en la siguiente figura: F

20 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 2 Volúmen e vista ( ma, ma, ma ) (,, ) ma Los lanos elanteros traseros eben ser aralelos al lano (aunque no a restricción en que sean sus istancias ositivas eclusivamente). Como la cámara aunta en la irección negativa e, los lanos e recorte elantero trasero están en ma, resectivamente. Persectiva Para una roección ersectiva el volumen e vista es la irámie semi-infinita con el áice en PRP los aristas asano or las esquinas e la ventana. lano e vision PRP Las osiciones etrás el centro e roección no se incluen en el volumen e vista or lo tanto no se roectan. En realia, nuestros ojos ven un volumen e vista cónico; sin embargo, un volumen e vista iramial es mas fácil e analiar matemáticamente, es consistente con el conceto e un uerto e vista rectangular. La siguiente figura muestra la irámie truncaa (frustum - tronco). lano trasero e recorte lano elantero e recorte lano e visión VRP VPN B F Limitano e esta forma el volumen e vista uee ser útil ara eliar objetos ajenos, ermitieno concentrar en los objetos necesarios. Un objeto mu istante el centro e roección se roecta sobre la suerficie e vista como una manca sin forma istinguible. También, un objeto mu cercano al centro e roección uiera etenerse a través e toa la ventana, sin una estructura iscernible. Esecificano un volumen e vista uee aarentemente eliar tales roblemas. Eisten os funciones en OenGL ara esecificar vista ersectiva, irectamente al cargar la matri e roección, o alicano transformaciones básicas. La analogía a la vista e la cámara es la función

21 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 2 glfrustum(, ma,, ma,, ma); Los arámetros se muestran en la siguiente figura: ma COP (,, ) ( ma, ma, ) Las istancias e los lanos elanteros traseros eben ser ositivos meios el COP a estos lanos, los cuales eben ser aralelos al lano. Como la cámara aunta en la irección negativa e, los lanos e recorte elantero trasero están en ma, resectivamente. Esta matri multilica a la matri actual, or lo cual ebe rimero seleccionarse el moo. Una secuencia tíica es: glmatrimoe(gl_projection); glloaientit(); glfrustum(, ma,, ma,, ma); El tronco resultante no tiene que ser simétrico con resecto al eje e. En mucas alicaciones es natural esecificar el ángulo o camo e vista. Sin embargo, si el lano e roección es erenicular, en lugar e cuarao, se verían os ángulos e vista iferentes, ese arriba o e lao. En OenGL, la función es: glupersective(fov, asect, near, far); la cual ermite esecficar el camo e vista en la irección (vu) la relación e asecto, anco iviio or altura, el lano e roección, como se muestra en la siguiente figura: w fov COP Los lanos near far se esecifican como en glfrustum. Esta matri también altera la matri actual, or lo cual ebe seleccionarse el moo e matri aroiao, reinicialiarse si es necesario. (El asecto es w/.) Volumen e Vista Canónico Los volúmenes e vista canónicos se efinen ara simlificar las ecuaciones e recorte ara roveer consistencia entre roecciones aralelas en ersectiva.

22 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 22 Paralela Para roecciones ortográficas el volumen e vista e recorte más sencillo es un cubo centrao en el origen con los laos efinios or lo seis lanos: -,, -,, -,, Este es el volumen e vista canónico en OenGL, que e manera elícita, se uiera esecificar meiante: glmatrimoe(gl_projection); glloaientit(); glorto(-.,., -.,., -.,.); Si se esecifica un volumen e vista arbitrario: glorto(,ma,,ma,,ma); la matri e roección que OenGL genera convierte automáticamente los vértices esecificaos en el rograma, a vértices entro el volumen canónico, meiante escala traslaciones, como se muestra en la siguiente figura: ( ma, ma, ma ) (,,-) (,, ) Volumen e vista (-,-,) Volumen e vista canónico La transformación e normaliación N ar se eriva e manera general. inclueno una transformación sear que causa que la irección e roección en coorenaas e vista sea aralela a, en el caso e roecciones oblicuas. Al incluir este recorte (sear), se uee roectar sobre el lano simlemente acieno que toas las se igualen a. Si la roección aralela es ortográfica, el comonente e recorte (sear) e la transformación e normaliación se vuelve la ientia. La serie e transformaciones que ace N ar es la siguiente. Traslaar el centro el volumen al origen. 2. Rotar VRC e manera que el eje n (VPN) sea el eje, el eje u sea el eje, el eje v sea el eje. 3. Recortar (sear) e manera que la irección e roección sea aralela al eje. 4. Traslaar escalar al volumen e vista canónico e roección aralela. Paso Se mueve el centro el volumen e vista esecificao al centro el volumen e vista canónico (el origen) meiante una traslación. Se efine la traslación T como T(-( ma )/2, -( ma )/2, -( ma )/2) El resultao e esto se muestra en la siguiente figura:

23 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 23 T(-( ma )/2, -( ma )/2, - ( ma )/2) Paso 2 Se usa la roiea e matrices ortogonales eseciales. Los vectores fila e la matri e rotación son los vectores unia que se rotan or R ara orientarse como los ejes,,. VPN se rota ara orientarse como el eje R VPN/ VPN El eje u, el cual es erenicular a VUP VPN es or lo tanto el roucto cru el vector unia a lo largo e VUP R (que tiene la misma irección que VPN), se rota ara orientarse en el eje R VUPR / VUPR De forma similar, el eje v, el cual es erenicular a R R, se rota ara orientarse en el eje R R R Por lo tanto, la matri e rotación es r r2 r3 r r r 2 3 R r r2 r3 one r es el rimer elemento e R, etc. El resultao e esto se muestra en la siguiente figura: R Paso 3 El volumen e vista ara una roección oblicua tiene los lanos e recorte cercano lejano aralelos al lano e vista, los lanos e recorte ereco, iquiero, suerior e inferior, aralelos a la irección e roección (DOP). Por lo tanto, se ebe recortar (sear) el volumen e vista a lo largo el eje e manera que toos sus lanos sean normales a uno e los ejes rinciales e coorenaas. Esto se ace eterano el recorte (sear) a ser alicao a la irección e roección acer a DOP coinciente con el eje, one

24 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 24 o o DOP o La siguiente figura muestra el DOP esecificao, el DOP transformao DOP ( ma, ) ( ma, ma ) VPN DOP VPN (a) (, ) (, ma ) (b) El recorte (sear) uee lograrse con la matri e recorte (,), con los coeficientes s ar s ar, SH ar SH (s ar, s ar ) s ar s ar Este recorte no afecta a, mientras se le agrega los téros s ar s ar a, resectivamente. Se quiere obtener s ar s ar e manera que DOP [ o ] T SH ar DOP Hacieno las multilicaciones e la ecuación anterior seguia or maniulaciones algebraicas muestra que la iguala ocurre si o o s ar o o o s ar o or lo cual los arámetros e recorte son s ar -o / o, s ar -o / o Nótese que, ara una roección ortogonal, o o, or lo cual s ar s ar, la matri e recorte se reuce a la ientia. El resultao es SH ar o o o o Los límites el volumen e vista esués e aber alicao estas tres transformaciones son

25 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 25 Paso 4 ma, ma, ma, Finalmente se transforma el volumen e vista recortao (seare) en el volumen e vista canónico. Se logra esto traslaano el centro frontal el volumen e vista, e la ecuación anterior, al origen, luego escalano al tamaño 222 el volumen e vista canónico. Las transformaciones son En resumen, T ar T(-( ma )/2, -( ma )/2, -( ma )/2) S ar S(2/( ma - ), 2/( ma - ), 2/( ma - )) N ar S ar T ar SH ar R T N ar transforma un volumen e vista arbitrario e roección aralela a un volumen e vista canónico e roección aralela, or lo tanto ermite que las rimitivas e salia se recorten contra un volumen e vista canónico e roección aralela. Persectiva La transformación e normaliación ara roecciones ersectivas resulta en un volumen e vista canónico, tenieno como forma la irámie truncaa con áice en el origen efinio or, -,, -, -, ma Un volumen e vista general se transforma en el volumen e vista canónico, como se muestra en la siguiente figura: ma COP (,, ) ( ma, ma, ) COP - (-,-,-) - ma (,,-) La transformación e normaliación N er se eriva ara transformar el volumen e vista en el volumen e vista canónico. Desués e alicar N er, se recorta contra este volumen canónico los resultaos se roectan sobre el lano e vista usano M er. La serie e transformaciones que ace N er es la siguiente. Traslaar el centro e la ventana al origen.

26 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D Rotar VRC e manera que el eje n (VPN) sea el eje, el eje u sea el eje, el eje v sea el eje. 3. Traslaar e manera que el centro e roección (COP), ao or PRP, este en el origen. 4. Recortar (sear) e manera que la línea central el volumen e vista sea el eje. 5. Escalar e manera que el volumen e vista sea el volumen e vista canónico e ersectiva, la irámie ereca truncaa efinia or los seis lanos. Pasos 2 Son los mismo que la roección aralela: R T. Paso 3 Se ace una traslación el centro e roección (COP o PRP) al origen, como se requiere ara el volumen e vista canónico e ersectiva. La traslación es simlemente T(-PRP), one PRP (r u, r v, r n ). Paso 4 Se convierte el frustum arbitrario a un frustum simétrico con laos e 45 graos. El roceso es similar a la conversión e una vista aralela oblicua a una vista ortogonal. Primero se ace un recorte (sear) ara convertir el frustum asimétrico a uno simétrico. Para comutar el recorte (sear) se eaa la siguiente figura la cual muestra una vista e lao el volumen e vista esués e las transformaciones a 3. Línea central el volúmen e vista Centro e la ventana ( ma, ) (, ) Nótese que la línea central el volumen e vista, la cual va el origen (COP) al centro e la ventana, no es la misma que el eje -, ebiénose recortar (sear) ara transformar el centro e la línea en el eje -. La matri e recorte (sear) es SH ar, la misma que ara la roección aralela. SH ar SH (s ar, s ar ) s ar s ar Este recorte no afecta a, mientras se le agrega los téros s ar s ar a, resectivamente. Se quiere obtener s ar s ar e manera que DOP [ o ] T SH ar DOP El ángulo e recorte (sear) se etera según la corresonencia el unto (( ma )/2, ( ma )/2, ) a (,, ). o ( ma )/2 - o ( ma )/2 -

27 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 27 o - Hacieno las multilicaciones e la ecuación anterior seguia or maniulaciones algebraicas muestra que la iguala ocurre si o o s ar o o o s ar o or lo cual los arámetros e recorte son s ar -o / o -( ma )/2 s ar -o / o -( ma )/2 El recorte (sear) requerio es El resultao es SH ar SH (-( ma )/2, -( ma )/2 ) SH ar o o o o ( ma ) ( ) ma 2 2 Los untos resultantes se calculan e la siguiente forma: ( ma ) ( ) ma 2 2 ( ma ) ( ) ma 2 2 ( ma ) ( ) ma 2 2 El frustum resultante está escrito or los lanos ±( ma - )/2 ±( ma - )/2 ma Desués e alicar el recorte (sear), el volumen e vista está centrao sobre el eje. Paso 5 El siguiente aso es escalar los laos el frustum resultante anterior a ± ± el lano cercano a -

28 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 28 El volumen e vista canónico, se muestra en la siguiente figura. ( ma - )/2 (,-) - (( ma - )/2, ) - (, ) ma - (-( ma - )/2, ) (-, ) -( ma - )/2 (a) antes e escalar (-,-) (b) esués e escalar - La matri e escala requeria es S(2 /( ma - ), 2 /( ma - ), -/ ) Nótese que esta transformación se etera e manera única sin referencia a la ubicación el lano lejano ma, a que en tres imensiones una transformación afín se etera or los resultaos e la transformación sobre cuatro untos. En este caso, los untos son los cuatro vértices one los laos el frustum intersectan el lano cercano. En resumen, la transformación e vista normaliante que toma el volumen e vista e roección ersectiva al volumen e vista canónico e roección e ersectiva es N er S er SH er T(-PRP) R T(-VRP) Similarmente, recuérese la transformación e vista normaliante que toma el volumen e vista e roección aralela al volumen e vista canónico e roección aralela es N ar S ar T ar SH ar R T(-VRP) Estas transformaciones ocurren en esacio omogéneo. Vista el Cubo El cubo el caítulo anterior se efinió rotano en el origen utiliano una roección ortográfica. Se etiene el ejemlo con vista e ersectiva se ermite al observaor mover la cámara al resionar, X,, Y, Z en el teclao, aunque la cámara siemre aunta al centro el cubo. La función glulookat rovee una manera sencilla e reosicionar reorientar la cámara. Los cambios sobre el rograma revio son menores. Se efine un arreglo viewer[3] ara guarar la osición e la cámara. Su contenio se altera meiante la función callback e teclao kes: voi kes(unsigne car ke, int, int ) { if(ke '') viewer[]-.; if(ke 'X') viewer[].; if(ke '') viewer[]-.; if(ke 'Y') viewer[].; if(ke '') viewer[2]-.;

29 Alfreo Weitenfel Gráfica: Vistas 3D 29 } if(ke 'Z') viewer[2].; isla(); La función e esliegue llama a LookAt usano viewer ara la osición e la cámara usa el origen ara la osición "at". El cubo se rota, como antes, según la entraa el ratón. Nótese que el oren e las llamaas e función en isla que alteran la matri moelo-vista: voi isla(voi) { glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT); glloaientit(); glulookat(viewer[],viewer[],viewer[2],.,.,.,.,.,.); glrotatef(teta[],.,.,.); glrotatef(teta[],.,.,.); glrotatef(teta[2],.,.,.); colorcube(); glflus(); glutswabuffers(); } Se usa el callback resae ara esecificar el lente e la cámara meiante glfrustum: voi mresae(int w, int ) { glviewort(,, w, ); glmatrimoe(gl_projection); glloaientit(); } if(w<) glfrustum(-2., 2., -2. * (GLfloat) / (GLfloat) w, 2.* (GLfloat) / (GLfloat) w, 2., 2.); else glfrustum(-2., 2., -2. * (GLfloat) w/ (GLfloat), 2.* (GLfloat) w / (GLfloat), 2., 2.); glmatrimoe(gl_modelview); Fuera e la esecificación aicional el callback e teclao en main, el resto el rograma es el mismo que el anterior. Se ebe notar el efecto e mover la cámara, el lente, los laos e la columna e vista. Tubería e Vista La tubería e vista comleta se muestra a continuación Coorenaas e moelao 3D Coorenaas muniales 3D Coorenaas e referencia e vista Coorenaas e roección normaliaas Coorenaas e isositivo 2D Transformación e moelao Matri e orientación e vista Matri e maeo e vista Transformación e recorte a coorenaas e isositivo 2D Proección Persectiva: R. T(-VRP) M. Ser. SHar. T(-PRP) Proección Paralela: R. T(-VRP) Sar. Tar. SHar