DISTRIBUCIONES CONJUNTAS DE VARIABLES: TABLA DE CONTINGENCIA [BORRADOR]

Transcripción

1 ESTADÍSTICA SOCIAL, Profesor: José Saturio Martíez García, versió 18/01/ [Estas otas complemeta al tema 7, y al primer apartado del tema 24 del maual de Peña y Romo] DISTRIBUCIONES CONJUNTAS DE VARIABLES: TABLA DE CONTINGENCIA [BORRADOR] Ua distribució cojuta de dos variables es ua presetació de los valores de cada ua e filas y columas, colocado e cada casilla el úmero de casos que cumple co ambos valores. Cuado las variables so cualitativas o/y ordiales, pero co pocos valores, se deomia tablas de cotigecia. Las tablas de cotigecia so ua herramieta fudametal de la ivestigació social. Quizá la más relevate e la ivestigació cuatitativa de los sociólogos. Esto se debe a que so muy útiles para el aálisis de la relació etre variables cualitativas, que so las más habituales e la sociología. Variable, valor y distribució cojuta de frecuecias Básicamete, ua tabla de cotigecia es la represetació de las frecuecias cojutas etre dos o más características que deseamos estudiar. Ua frecuecia cojuta es el úmero de casos que cumple u valor de cada ua de las características, que llamamos variables. Por ejemplo, el sexo y la relació co la actividad ecoómica. El sexo sería ua variable co dos valores, varó y mujer, y la relació co la actividad ecoómica sería otra variable, que puede tomar los valores de ocupado y parado. Si tuviésemos ua població de 260 persoas, se podría repartir etre cuatro posibilidades: varó-ocupado, varó-parado, mujer-ocupado, mujer-parada. El úmero de persoas e cada ua de estas combiacioes sería la frecuecia cojuta de las dos variables. Por ejemplo, podríamos teer 100 varoes ocupados y 50 parados, y 60 mujeres ocupadas y 50 mujeres paradas. La iformació, expresada así, como está e la frase aterior, es más difícil de captar que si la presetamos e ua tabla de cotigecia, o de forma más geeral tambié llamada tabla de doble etrada (porque e este caso hay dos variables, si hubiese tres, tabla de triple etrada, y así, sucesivamete). A cotiuació presetamos esa tabla: Tabla 1 Distribució cojuta de las frecuecias absolutas de dos variables Relació co la actividad Varó Mujer Ocupado Parado Como vemos, e cada casilla está el úmero de casos que cumple co las modalidades (valores) de ambas variables. El primer cálculo que podemos hacer co estos datos es saber de cuátos varoes y mujeres dispoemos, realizar la misma operació para averiguar la catidad de ocupados y parados. Para ello, basta co que añadamos ua columa y ua fila a la tabla, sumado las respectivas frecuecias. E la columa añadida, podremos el total de ocupados, y e la fila añadida, el total de parados. E este puto, es importate que lector realice este ejercicio ates de seguir leyedo, es muy simple, pero aclarar esta cuestió ahora evitará cofusioes futuras. Estas catidades las hemos añadido e los márgees de la tabla origial, por lo que se cooce como margiales de la tabla. Si ya ha realizado esta operació, puede ver cómo queda la tabla: Tablas de cotigecia 1

2 Tabla 2 Distribució cojuta de las frecuecias absolutas de dos variables y sus respectivos margiales Relació co la Total actividad Varó Mujer Ocupado Parado Total Es importate, ahora que todo es muy secillo, que os femos e que hay dos variables e la tabla, ua puesta e columas, el sexo, y otra puesta e filas, la relació co la actividad. El margial del sexo (variable e columa) está e la última fila, mietras que el margial de la relació co la actividad (variable e fila) está puesto e la última columa. Para calcular el total de ocupados, hemos sumado e el setido de la fila, 100 varoes ocupados más 60 mujeres ocupadas, y el resultado lo hemos puesto e la última columa. Por tato, esta última columa es el margial de la variable relació co la actividad, es decir, la columa del total es el margial de la fila. Y viceversa, el margial de la variable puesta e columas, el sexo, se coloca e la última fila. [Por eso, es habitual cuado se empieza a estudiar las tablas de cotigecia la siguiete cofusió: cosiderar que el margial de columa, es la última columa de la tabla, y el margial de fila, la última fila de la tabla. Para o eredarse co este juego de palabras, teemos que teer presete que el margial recibe el ombre del setido e el que se suma: si el margial se halla sumado e filas, es margial de filas, y viceversa. E este caso, el margial de filas se halla sumado =160 y 50+50=100]. Destaquemos tambié que el margial o es más que u sióimo de ua frecuecia uivariate. Si decimos margial de columa estamos diciedo frecuecia de sexo y si decimos margial de fila estamos diciedo frecuecia de relació co la actividad. Es habitual etre quiees trabaja co tablas emplear la expresió de margiales para referirse a las frecuecias de ua sola variable, por ejemplo, pregutar cuál es el margial de sexo? para saber cuátos hombres y cuátas mujeres hay. Ya hemos visto e qué cosiste ua distribució cojuta y u margial. Otro cocepto básico es el de dimesió de ua tabla. La dimesió de ua tabla es el úmero de valores de ua variable multiplicado por el úmero de valores del resto de variables. E este caso teemos dos variables, cada ua de ellas co dos valores, por lo que la dimesió de la tabla es 2x2, cuyo resultado, 4, el úmero de casillas de la tabla. Es decir, dimesió de ua tabla es igual a úmero de casillas de la tabla. Pero o se idica como el resultado del producto, 4, sio como la operació 2x2, puesto os permite dejar claro que hay dos variables, la primera la que se poe e filas- co dos valores y la seguda e columas- co dos valores. Notació de las tablas Ahora que ya estamos familiarizados co lo que es ua distribució cojuta y el margial de ua tabla, podemos pasar a emplear ua otació para referiros a cada casilla. A los valores de la variable puestos e la fila los deotaremos como i y a los puestos e columas como j, y a la frecuecia cojuta como. El ejercicio a realizar ates de seguir leyedo es el siguiete: ombrar cada ua de las casillas de la Tabla 1. Como e el caso de la explicació de los margiales, es importate realizar esta tarea para o caer e cofusioes posteriores. El resultado, es el siguiete: Tablas de cotigecia 2

3 Tabla 3 Notació de ua tabla de cotigecia de 2 x 2 j=1 j=2 i= i= A cotiuació, realice el siguiete ejercicio: deotar cada casilla e ua tabla de 3x2. Tras realizar este ejercicio, veamos aspectos adicioales de la otació. Al máximo de i lo deotamos como I, y al máximo de j como J, de forma que e este ejemplo I=2 y J=2. Para referiros a la dimesió de la tabla, lo podemos hacer como IxJ, e este caso sería de 2 (filas) x 2 (columas) lo que da u total de 4 casillas de frecuecias cojutas. Ya hemos visto la otació para las frecuecias cojutas, veamos ahora la otació para los margiales. Como ya vimos, los margiales se calcula sumado e el setido e el que está la variable. E uestro ejemplo, el sexo está e columas, y por tato correspode co la letra j. Si deseamos calcular la catidad total de varoes (que se correspode co j=1), e térmios de otació debemos sumar , es decir, el subídice i cambia, pero el subídice j se matiee igual (j=1). Para expresar este cambio de la i y esta costacia de la j diremos que el margial es j, e este caso más e cocreto 1 = Como forma geeral, para calcular el margial de cada casilla e columa, tedremos 1 : Fórmula 0-1 Margial de columa I j = i= 1 Si o está familiarizado co estas otacioes, recuerde que el sigifica que estamos sumado las filas (i) e el setido de las columa que estamos calculado (j) Visto esto, es fácil imagiar cómo será la otació para el margial de fila: Fórmula 0-2 Margial de fila J i = j= 1 Es decir, ahora el idica que estamos sumado las columas (j), para calcular el margial e el setido de la fila (i) que os iteresa. Si queremos mateer este patró, el margial total de la tabla, es decir, las suma de todas las frecuecias de las distribucioes cojutas e cada casilla, será Fórmula 0-3 Margial total N = I = i= 1 J j= 1 Auque lo más habitual es referirse al total de la tabla o como, sio como N o a veces como. Co esta otació, la otació fial de ua tabla de 2X2 sería 1 Si o está familiarizado co el uso de sumatorios, cosulte el aejo 1. Tablas de cotigecia 3

4 Tabla 4 Notació de ua tabla de cotigecia de 2 x 2 Columas Margiales de fila j=1 j=2 i= Filas 1 i= Margiales de Columa 1 2 Total=N= Ates de seguir, el lector que o esté familiarizado co estas otacioes, pruebe a deotar por completo, icluyedo los margiales, ua tabla de 2x3. Recapitulado, e lo visto hasta ahora hemos presetado la otació para referiros a la distribució cojuta de dos variables, y referiros e exclusiva a las frecuecias absolutas de cada casilla (e este caso, el úmero de persoas). Pero la iformació ormalmete o se preseta e estas frecuecias absolutas, es ecesario recurrir a los porcetajes para poder comparar tato poblacioes de distito tamaño como las casillas de ua misma tabla e la que los margiales so distitos. Lo habitual e ciecias sociales es que el resultado quede redodeado a u decimal, a iguo (meos frecuete e el ámbito académico) o quizá hasta la cetésima (e u prurito iútil de precisió), pero o más. Porcetaje calculado sobre el total de la tabla Empecemos por los porcetajes sobre el total (tambié deomiado frecuecia relativa cojuta), es decir, sobre toda la frecuecia de la tabla (, que tambié llamamos N). El procedimieto para calcular cualquier tipo de porcetajes es secillo: dividir la frecuecia de la casilla que os iteresa sobre el margial que correspoda, y multiplicar por 100. E este caso, si deseamos calcular el porcetaje sobre el total, lo que habrá que hacer es dividir la frecuecia de cada casilla ( ) sobre el total de la tabla. La fórmula, por tato sería: Fórmula 0-4 Porcetaje total p T = N 100 Como vemos, el cálculo es muy secillo. Y la iterpretació, e pricipio tambié. Veámoslo co los datos de la Tabla 2. Aplicado a cada casilla la Fórmula 0-4, resulta la siguiete tabla: Tabla 5 Porcetaje total de la relació etre sexo y relació co al actividad Relació co la Total actividad Varó Mujer Ocupado 100/260*100=38,5% 60/260*100=23,1% 160/260*100=61,6% Parado 50/260*100=19,2% 50/260*100=19,2% 100/260*100=39,4% Total 150/260*100=57,7% 110/260*100=32,3% 260/260*100=100% Por motivos didácticos, hemos presetado e cada casilla el procedimieto para calcular el porcetaje, y e egrita hemos marcado el resultado, que, obviamete, es el úico dato que se preseta e este tipo de tablas. U aspecto muy importate que debemos destacar y que es válido para todas las tablas de porcetajes, es que siempre que se os presete ua, lo primero que debemos saber es cómo suma 100% los porcetajes de las casillas; sobre este aspecto isistiremos más adelate. Como vemos, el 100% se obtiee de sumar los porcetajes de las celdas 11, 12, 21 y 22 (segú los subídices que hemos visto co las frecuecias); pero tambié se obtiee al sumar cada margial, es decir, el margial de columa ( 1+ 2) y el margial de fila (1 +2 ). Tablas de cotigecia 4

5 E geeral, cualquier porcetaje que se calcule e ua tabla es de fácil iterpretació, siempre y cuado primero se compruebe cómo suma 100 las casillas de la tabla. E este caso el 100% es el total de la tabla, así que cada casilla se iterpreta como de toda la població objeto de estudio el porcetaje (que correspoda) está formado por las persoas de esa casilla. E este caso e cocreto, el 38,5% de la població objeto de estudio so varoes ocupados (hay que resaltar: varoes y ocupados, se cumple las dos características simultáeamete). Podemos seguir co esta iterpretació ta literal de la tabla, si mucha mayor elaboració, diciedo que de toda la població estudiada, el 23,1% so mujeres ocupadas; de toda la població objeto de estudio, el 19,2% so varoes parados, y de toda la població estudiada, el 19,2% so mujeres paradas. Así o hay duda de que se ha iterpretado correctamete los porcetajes, pero tambié que la redacció es tediosa y repetitiva, por lo que siempre coviee buscar ua forma más elegate y cocisa de cometar la iformació. E este caso, podría ser algo como Para el cojuto de la població, hay más varoes ocupados (38,5%) que mujeres ocupadas (23,1%), si embargo la proporció de hombres y mujeres e paro es la misma (19,2%). Nótese que si hay más varoes ocupados, pero la misma proporció de hombres y mujeres e el paro, la proporció de mujeres paradas e relació co el total de mujeres (23,1% vs. 19,2) debe ser mayor que para el caso de los varoes (38,5% vs. 19,2%). La catidad total de hombres y mujeres es distita (57,7% y 37,3%, respectivamete), por lo que sería mucho más fácil comparar el paro etre varoes y mujeres si hubiese la misma catidad de los dos grupos. Esto lo coseguimos co u uevo tipo de porcetaje: el porcetaje columa. Porcetaje calculado sobre el total de la columa El porcetaje columa, tambié deomiado porcetaje vertical (frecuecia codicioada), cosiste e calcular el porcetaje de ua celda a partir del margial de la columa que le correspode, e vez del total de la tabla. Su fórmula sería: Fórmula 0-5 Porcetaje columa (o vertical) p C = j 100 Los cálculos e la tabla que estamos trabajado será los siguietes: Tabla 6 Porcetaje columa de la relació etre sexo y relació co al actividad Relació co la Total actividad Varó Mujer Ocupado 100/150*100=67,7% 60/110*100=54,5% 160/260*100=61,6% Parado 50/150*100=33,3% 50/110*100=45,5% 100/260*100=39,4% Total 150/150*100=100% 110/110*100=100% 260/260*100=100% Se comprueba que al fial de cada columa, el porcetaje suma 100%; ótese que e esta tabla mateemos el margial de fila, pero o el de columa, debido a que hemos igualado estos margiales por el procedimieto de covertirlos e 100. Isistimos e que siempre se lee la tabla a partir del colectivo que suma 100, por lo que e este caso, diríamos que de todos los varoes, el 67,7% está ocupados, y 33,3% parados, y de todas las mujeres, el 54,5% está ocupadas y el 45,5% está paradas. Expresado de forma más cocisa, el paro etre los varoes es del 33,3% y etre las mujeres del 45,5% (debido a que solo hay otra categoría, ya sabemos que el porcetaje que falta es de ocupados). Como vemos esta tabla os permite comparar etre dos colectivos, e este caso varoes y mujeres, de forma mucho más fácil que e la tabla de porcetajes totales, debido a que el tamaño de ambos colectivos es el mismo, el 100%. Tablas de cotigecia 5

6 Ua cuestió importate, al estudiar la relació etre variables, ormalmete cotamos co hipótesis que os dice que ua variable causa la otra, o al meos que ua de las dos variables o puede ser causa de la otra. E este caso, co la úica iformació que preseta la tabla, o sabemos si el sexo es causa del diferecial de paro, pues hay otras características asociadas al sexo (ivel de estudios, experiecia laboral, cargas familiares, prejuicios sobre la productividad de cada sexo ); pero es muy difícil supoer que el sexo depede de la situació e el mercado de trabajo, es decir, o por ser parado u ocupado cambia el sexo de las persoas. Para difereciar esta relació etre las variables, llamamos a ua idepediete (o explicativa) y a la otra depediete, (o explicada). E este caso la idepediete es el sexo, pues como hemos razoado hasta el absurdo, o depede de la situació laboral, y la depediete es la situació laboral, que quizá o depeda del sexo, pero parece razoable supoer que algua relació haya. No siempre está claro cuál es la variable idepediete y cuál la depediete, es más, puede ocurrir que igua de los dos los sea. Por ejemplo, la homogamia educativa es u feómeo bie documetado, es decir, las persoas tiede a formar pareja co otras persoas de ivel educativo igual o próximo, pero e ua tabla e la que cruzásemos estas dos variables, o podríamos decir que el ivel educativo del marido es depediete o idepediete co relació al ivel educativo de la esposa. Normalmete la variable idepediete se cosidera que o bie causa a la depediete, o bie que está muy relacioada co otras variables que así lo hace. E uestro ejemplo, se puede teer ua teoría sobre discrimiació laboral, y por tato, o sería el sexo biológico el que lleva a mayores tasas de paro, sio que el sexo es ua medida de cómo fucioa la discrimiació laboral. Por tato, la tabla que os iforma sobre la posible relació de causalidad etre dos variables es aquella e que el porcetaje se calcula e el setido de la variable idepediete, es decir, a partir de sus margiales. Tal y como hemos presetado los datos, estos porcetajes sería los porcetaje columa, pero tambié podemos extraer otro tipo de iformació útil a partir de los porcetajes calculados e el setido de la variable depediete, que e uestro ejemplo, está colocada e filas, por lo que obviamete, será los porcetajes fila, que pasamos a estudiar. Debe teerse e cueta que la relació de causalidad etre dos variables es u supuesto que es muy difícil de cofirmar e la mayor parte de las ocasioes. Para supoer causalidad es ecesario teer e cueta que la variable que supoemos que es la causa (la idepediete) atecede e el tiempo al efecto. Además ambas variables debe variar cojutamete. Y tambié se ecesita de algua teoría que os explique por qué dicha variable produce efectos sobre la otra variable. Esto se debe a que dos variables puede variar cojutamete, pero esta variació cojuta o se debe a ua relació de causalidad etre ambas, sio a que ambas está relacioadas co ua tercera, y ormalmete ecesitamos de ua teoría que os avise de estos posibles efectos. E caso de que dos variables varíe cojutamete, pero o esté relacioadas etre ellas, decimos que estamos ate ua correlació espuria, pues apreciamos ua variació cojuta etre variables que es aparete. Por ejemplo, se ha comprobado que e muicipios e los que aida más cigüeñas, la tasa de acimietos es mayor. Pero esto o se debe a que las cigüeñas ifluya e la atalidad, sio a que las cigüeñas aida e muicipios rurales y pequeños. Y e los muicipios de estas características la atalidad es mayor que e las ciudades. Cuado se compara muicipios del mismo tamaño (es decir, cotrolamos por el tamaño del muicipio), la relació aparete desaparece. Otro tato sucede co el tamaño del pié de los iños y sus resultados e pruebas matemáticas, que varía cojutamete. Esto se debe o a que ambas variables esté relacioadas etre sí, sio a que está relacioadas co la edad del iño. Tablas de cotigecia 6

7 Porcetaje calculado sobre el total de la fila Fórmula 0-6 Porcetajes calculados e el setido de la fila p F = i 100 Los cálculos, será los siguietes: Tabla 7 Porcetajes calculados e el setido de la fila Relació co la Total actividad Varó Mujer Ocupado 100/260*100=40% 60/260*100=60% 100% Parado 50/260*100=50% 50/260*100=50% 100% Total 150/260*100=57,7% 110/260=32,3% 260/260*100=100% La iformació que os proporcioa los porcetajes calculados e el setido de la fila, tambié deomiados horizotales (o frecuecias codicioadas) se cooce como perfiles, e el setido que os idica cómo es el perfil que ecotramos de cada colectivo que os iteresa explicar. Por ejemplo, si teemos iterés e estudiar el paro, e la Tabla 6 vemos e qué medida el paro es distito para hombres y mujeres, y co ello podemos supoer que o bie hay ua relació etre sexo y paro, o bie, hay ua serie de características asociadas de forma diferete a hombres y mujeres, que a su vez ifluye sobre el paro (como formació, experiecia laboral o gestió de las cargas familiares). Si embargo, si queremos coocer cómo so los parados, tedremos que faros e la Tabla 7 (porcetajes fila), así vemos que la mitad de los pardos so hombres y la otra mitad mujeres. Para dar u coteido más ituitivo a esta diferecia etre porcetajes columa y porcetajes fila, podemos supoer a partir de estos datos, que, si vamos a ua oficia del INEM, e la cola veremos a la misma proporció de hombres y mujeres (el perfil de los parados), pero de ello para ada podemos iferir que el sexo o está relacioado co el paro, pues e el cojuto de la població hay más hombres que mujeres ecoómicamete activos; esta iformació es la que podemos establecer claramete a partir de la Tabla 6 (porcetajes columa), y de forma u poco más idirecta a partir de la Tabla 5 (porcetajes totales). La vetaja de la Tabla 6 es que gracias al cálculo de porcetajes a partir de los margiales de las categorías de la variable idepediete, simulamos dispoer de la misma catidad de hombres y mujeres (100), facilitado por tato la comparació etre los dos grupos. Los porcetajes calculados e el setido de la variable depediete, como es el caso del porcetaje fila e uestro ejemplo, so de gra utilidad cuado el iterés de la ivestigació cosiste e coocer las características de u colectivo, siedo secudario averiguar a qué se debe estas características específicas. E el caso que hemos puesto, supogamos que el iterés de quie ecarga el estudio es simplemete para saber la proporció de hombres y mujeres parados, para de esta forma saber qué servicios se va a emplear co más itesidad, si los masculios o los femeios. Otra situació e la que se aprecia este tipo de iterés, es para defiir audiecias de programas televisivos, para que los auciates coozca mejor qué tipo de público ve el programa, y de esta forma orietar el tipo de publicidad que puede itercalarse e dicho programa. Supogamos por ejemplo, que la mayor parte del público que ve u programa es juveil, auque el programa guste más a las persoas de mayor edad; el dato que iteresa al auciate es que si itroduce u aucio e ese programa, lo verá mayoritariamete jóvees. Se puede resumir cómo iterpretar los porcetajes de ua tabla de cotigecia para estudiar la relació etre variable idepediete (posible causa) y depediete (efecto) e uas pocas palabras, que se cooce como Regla de Zeisel: Tablas de cotigecia 7

8 Los porcetajes de ua tabla de cotigecia debe calcularse e el setido de la variable idepediete y compararse e el setido de la variable depediete. Resume Recapitulado, hemos visto que e ua tabla de cotigecia represetamos la relació etre dos variables, de tipo omial u ordial co pocos valores (categorías). Iforma de cuátos casos hay para cada posible combiació de valores de las variables. A partir de esta iformació, podemos saber cuátos casos tiee cada categoría de cada variable (su frecuecia), que llamamos margiales; los margiales de la variable e columas se coloca e la última fila de la tabla y los margiales de la variable e filas, se coloca e la última columa (tambié podría ser e la primera e cada caso, pero o es ta habitual). El margial de ua variable es, por tato, su distribució de frecuecias uivariada. Segú los margiales que empleemos, a partir de las frecuecias cojutas absolutas de ua tabla de cotigecia podemos calcular tres tipos de porcetajes: -Total (o distribució cojuta relativa): dividimos la frecuecia de cada casilla etre el total de casos de todas las combiacioes etre las dos variables, y multiplicamos por cie. Este porcetaje os proporcioa iformació sobre el peso de cada categoría e el cojuto de la població, pero dificulta la comparació etre categorías, debido a que los margiales so distitos para cada variable y para distitas tablas. -Columa o vertical (o distribució codicioada a la variable e columa): dividimos la frecuecia de cada casilla por el margial de su columa y multiplicamos por cie. Esto os permite comparar las proporcioes de cada fila. -Fila u horizotal (o distribució codicioada a la variable e fila): dividimos la frecuecia de cada casilla por el margial de su fila, para poder comparar las proporcioes de cada columa. Los porcetajes que se calcula e el setido de la variable idepediete os ayuda a explicar el feómeo que estemos estudiado, mietras que los porcetajes calculados e el setido de la variable depediete os ayuda a defiir los perfiles de las categorías de las variables depedietes. Tablas de cotigecia 8