+ 1,7x 7,02 = 0; 5x x 3

Transcripción

1 Cpítulo : Ecuciones sistems Mtemátics ºB ESO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Concepto de ecuciones de segundo grdo Recuerd que: Un ecución de segundo grdo es un ecución polinómic en l que l mor potenci de l incógnit es Ls ecuciones de segundo grdo se pueden escribir de l form: + b + c = donde, b c son números reles, con ) Son ecuciones de º grdo: + = ; 9 + = ; /), = Los coeficientes de ls ecuciones de º grdo son números reles, por lo tnto pueden ser frcciones o ríces Por ejemplo: 9 ; ;, +,, = ; 9 Indic si son ecuciones de segundo grdo ls siguientes ecuciones: ),, = d) = e), = f) 9 ' En ls siguientes ecuciones de segundo grdo, indic quiénes son, b c ) + =, +, = = d),, +, = Resolución de ecuciones de º grdo complets Recuerd que: Se llm ecución de segundo grdo complet quell que tiene vlores distintos de cero pr, b c b b c Pr resolver ls ecuciones de segundo grdo complets se utili l fórmul: Est fórmul nos permite clculr ls dos soluciones de l ecución Llmmos discriminnte l prte de l fórmul que está en el interior de l rí: = b c Actividdes resuelts Resuelve l ecución de segundo grdo + = Primero debemos sber quiénes son, b c: = ; b = ; c = b b c ) ) 9 Sustituendo estos vlores en l fórmul, obtenemos: Por lo tnto, ls dos soluciones son: ; En efecto, + = + =, + = + =, luego son soluciones de l ecución Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo complets: ) + = + = 9 + = d) + = Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ; ; ) + ) + = ; d) ) + ) + = ; e) ; f) Número de soluciones de un ecución de º grdo complet Recuerd que: Antes hemos definido lo que er el discriminnte, te cuerds?: = b c Pr sber cuánts soluciones tiene un ecución de º grdo, nos vmos fijr en el signo del discriminnte Si = b c >, l ecución tiene dos soluciones reles distints Si = b c =, l ecución tiene dos soluciones reles igules, un solución doble) Si = b c <, l ecución no tiene solución El motivo es mu sencillo, l rí cudrd de un número rel negtivo no es un número rel, no eiste L ecución + = tiene como discriminnte: = b c = ) = 9 = 9 > Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

2 Por lo tnto, l ecución dd tiene soluciones reles distints, Comprobción: + = + = ) ) = + = ) L ecución + 9 = tiene como discriminnte: = b c = ) 9 = = Por lo tnto, l ecución tiene dos soluciones reles igules Se puede escribir como: + 9 = ) =, que tiene l solución doble = L ecución + + = tiene como discriminnte: = b c = ) ) = = < Por lo tnto, l ecución no tiene solución rel Ningún número rel verific l ecución Averigu cuánts soluciones tienen ls siguientes ecuciones de º grdo: ) = + = 9 = d) + 9 = Resolución de ecuciones de º grdo incomplets Recuerd que: Llmmos ecución de º grdo incomplet quell ecución de segundo grdo en l que el coeficiente b vle flt, o el coeficiente c vle flt Observ: Si el coeficiente vle cero no es un ecución de segundo grdo L ecución de segundo grdo = es incomplet porque el coeficiente b =, es decir, flt b L ecución de segundo grdo = es incomplet porque no tiene c, es decir, c = Un ecución de segundo grdo incomplet tmbién se puede resolver utilindo l fórmul de ls complets pero es un proceso más lento es más fácil equivocrse Si el coeficiente b = : Despejmos l incógnit normlmente, como hcímos en ls ecuciones de primer grdo: + c = c c c = c Si c c > tiene dos soluciones distints, si < no eiste solución Si el coeficiente c = : Scmos fctor común: + b = + = Pr que el producto de dos fctores vlg cero, uno de los fctores debe vler b cero Por tnto =, o + b = = b En l ecución = flt l b Pr resolverl despejmos l incógnit, es decir, : = = = / = Un ve que llegmos quí, nos flt quitr ese cudrdo que llev nuestr incógnit Pr ello, hcemos l rí cudrd en los miembros de l ecución: Así hemos obtenido ls dos soluciones de nuestr ecución, En efecto, = =, ) = = En l ecución = flt l c Pr resolverl, scmos fctor común: = ) = Un ve que llegmos quí, tenemos dos opciones ) = = ) = = Así hemos obtenido ls dos soluciones de l ecución = = En efecto, =, ) = 9 = = Actividdes resuelts Resuelve l ecución de segundo grdo = : Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l b Por lo tnto, despejmos l incógnit: = = = / = Ls soluciones son Resuelve l ecución de segundo grdo + = : Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l c Por lo tnto, scmos fctor común: + = + ) = Obtenemos ls dos soluciones: = + = = Ls soluciones son Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Resumen Si el coeficiente b =, + c =, c despejmos l incógnit: Si el coeficiente c =, + b =, b scmos fctor común: = Autor: Rquel Hernánde

3 Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo incomplets: ) + = = = d) + = e) 9 9 = f) = Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo incomplets: ) + = = 9 = d) + = e) = f) = Sum producto de ls soluciones en un ecución de segundo grdo Recuerd que: Si en un ecución de segundo grdo: + b + c =, con =, conocemos sus soluciones: sbemos que podemos escribir l ecución de form fctorid: ) ) = Hcemos operciones: + = + ) + =, por lo que el coeficiente c es igul l producto de ls soluciones l sum de ls soluciones es igul l opuesto del coeficiente b, es decir, b = c; + = b Si l ecución es + b + c =, dividiendo por, tenemos un de coeficiente =, obtenemos que: Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems = c ; + = Est propiedd nos permite, en ocsiones, resolver mentlmente lguns ecuciones de segundo grdo Actividdes resuelts Resuelve mentlmente l ecución + = Ls soluciones son, pues su producto es su sum Resuelve mentlmente l ecución + = Buscmos, mentlmente dos números cuo producto se cu sum se En efecto, =, + =, luego ls soluciones de l ecución son Resuelve mentlmente l ecución + = El producto debe ser Probmos con como solución, en efecto + = Ls soluciones son l rí doble Resuelve mentlmente l ecución + = Ls soluciones son, pues su producto es su sum Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: ) + = + = = d) + = e) = f) = 9 Escribe un ecución de segundo grdo cus soluciones sen 9 El perímetro de un rectángulo mide cm su áre cm Clcul mentlmente sus dimensiones Si es un solución de + =, cuánto vle? OTROS TIPOS DE ECUACIONES Durnte siglos los lgebrists hn buscdo fórmuls, como l que conoces de l ecución de segundo grdo, que resolvier ls ecuciones de tercer grdo, de curto, de quinto sin éito prtir del quinto grdo Ls fórmuls pr resolver ls ecuciones de tercer curto grdo son complicds Sólo sbemos resolver de form sencill lguns de ests ecuciones Resuelve: ) ) + ) 9) ) = Es un ecución polinómic de grdo cinco, pero l estr fctorid sbemos resolverl pues pr que el producto de vrios fctores se cero, uno de ellos debe vler cero Igulndo cero cd fctor tenemos que ls soluciones son,,, 9 Ecuciones bicudrds Un ecución bicudrd es un ecución de l form n + b n + c = Pr resolverl, hcemos el cmbio n = t, convirtiéndol sí en un ecución de segundo grdo de fácil resolución Cundo hmos clculdo el vlor de t, deshcemos el cmbio efectudo, n t pr obtener l solución Ls ecuciones bicudrds más comunes son ls de curto grdo Pr resolver l ecución bicudrd + 9 = : Hcemos el cmbio obteniendo l ecución de segundo grdo t t + 9 = Resolvemos dich ecución de segundo grdo: ) 9 t t 9; t Deshcemos el cmbio pr obtener los vlores de : b Autor: Rquel Hernánde

4 Si t = 9 entonces 9 Si t = entonces Actividdes resuelts L ecución + = es un ecución polinómic de curto grdo, pero con un form mu especil, es un ecución bicudrd, porque podemos trnsformrl en un ecución de segundo grdo llmndo por ejemplo, t 9 + = t t + = t = Un solución de l ecución de segundo grdo es t =, l otr es t = Por tnto si t = =, entonces = = Y si t = =, entonces = = Nuestr ecución de curto grdo tiene cutro soluciones:,, Resuelve ls ecuciones siguientes: ) ) ) + ) ) ) = ) ) + ) ) ) = Resuelve ls siguientes ecuciones bicudrds: ) + = + + = = Resuelve ls ecuciones bicudrds siguientes: ) + = 9 + = + 9 = d) + = Ecuciones rcionles Si h incógnits en el denomindor, l ecución se denomin rcionl, se resuelve de form similr, quitndo denomindores Pr resolver ecuciones rcionles, se multiplicn mbos miembros de l ecución por el mínimo común múltiplo de los denomindores Ejemplos: 9 Resuelve 9 Quitmos denomindores: + 9 = + 9 = = = Pr resolver l ecución rcionl : Primero clculmos el mínimo común múltiplo de los denomindores: mcm, +, ) = ) + ) Multiplicmos tod l ecución por el mínimo común múltiplo, obteniendo l nuev ecución: - ) + ) - ) + ) - ) + ) + ) + ) = Resolvemos dich ecución sí obtenemos el resultdo: + ) + ) = = = Resuelve ls siguientes ecuciones rcionles: ) Ecuciones rdicles Si h incógnits dentro de un rdicl, l ecución se denomin irrcionl, se resuelve islndo el rdicl elevndo l cudrdo o l índice del rdicl) Ahor es preciso tener un precución, l elevr l cudrdo, l ecución obtenid no es equivlente, se pueden hber ñdido soluciones Siempre es conveniente comprobr el resultdo, pero en este cso, es necesrio Un ecución rdicl o irrcionl es quell que tiene l incógnit bjo el signo de l rí Pr resolver ecuciones rdicles, seguimos los siguientes psos: - Se ísl un rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos, unque tengn tmbién rdicles - Se elevn l cudrdo los dos miembros - Si quedn más rdicles, se vuelve despejr uno se elev l cudrdo, hst que no quede ninguno - Se resuelve l ecución obtenid - Se comprueb que l solución es válid Vmos resolver l ecución rdicl - Se ísl un rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos: Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

5 Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems - Se elevn l cudrdo los dos miembros: = ) = + ) - Se resuelve l ecución obtenid: = + + = doble - Se comprueb que l solución es válid: = Actividdes resuelts Resuelve l ecución rdicl - Se ísl un rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos, unque tengn tmbién rdicles: - Se elevn l cudrdo los dos miembros: Se simplific l ecución obtenid: - Volvemos hor l pso pr eliminr l rí que tenemos ún: - Se resuelve l ecución obtenid: = ) = = = ) - Se comprueb que l solución es válid: 9 = = L solución = verific l ecución Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles: ) 9 Otrs ecuciones H tmbién ecuciones trigonométrics, logrítmics, eponenciles Así, si l incógnit está en un eponente l ecución se denomin eponencil Si podemos epresr los dos miembros de l ecución como potencis de l mism bse, se iguln los eponentes Resuelve: Epresmos l ecución como potencis de un mism bse: Igulmos los eponentes: = = Resuelve ls ecuciones siguientes: ) 9) ) + ) ) ) = ) 9) + ) ) ) = Resuelve ls ecuciones bicudrds siguientes: ) + = + = + = d) + = 9 Resuelve ls ecuciones rcionles siguientes: ) d) Resuelve ls ecuciones irrcionles siguientes: ) d) 9 Resuelve ls ecuciones eponenciles siguientes: ) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Concepto de sistem de ecuciones lineles Recuerd que: Un ecución con vris incógnits es un iguldd que ls relcion Por ejemplo: + =, es l ecución de un circunferenci de centro el origen rdio Autor: Rquel Hernánde

6 Un sistem de ecuciones es un conjunto de ecuciones con vris incógnits Por ejemplo: + = L primer ecución es l de un circunferenci de centro el origen rdio, l segund es l ecución de un rect que ps por el origen Ls soluciones del sistem son los puntos de intersección entre l circunferenci l rect Se llm solución del sistem cd uno de los conjuntos de números que verificn tods ls ecuciones del sistem Dos sistems son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones b c Un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits se puede epresr de l form: donde, b, ' b son ' b' c' números reles que se denominn coeficientes c c' tmbién son números reles llmdos términos independientes Llmmos solución del sistem l pr de vlores, ) que stisfcen ls dos ecuciones del sistem Se dice que dos sistems de ecuciones son equivlentes, cundo tienen l mism solución Son sistems de ecuciones lineles, por ejemplo: 9 No es un sistem linel porque tiene términos en, unque es un sistem de dos ecuciones Tmpoco lo es 9 porque tiene un término en, unque tmbién es un sistem de dos ecuciones Ron si son o no sistems de ecuciones lineles los siguientes sistems: ) d) 9 9 Clsificción de sistems de ecuciones Recuerd que: En un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits, cd un de ls ecuciones represent un rect en el plno Ests rects pueden estr posicionds entre sí de tres mners distints, lo que nos udrá clsificr nuestro sistem en: ) Comptible determindo: el sistem tiene un únic solución, por lo que nuestrs rects son SECANTES ) Comptible indetermindo: el sistem tiene infinits soluciones, por lo que ls rects son COINCIDENTES ) Incomptible: el sistem no tiene solución, por lo que ls rects son PARALELAS Comptible determindo Comptible indetermindo Incomptible Actividdes resuelts Añde un ecución = pr que el sistem resultnte se: ) Comptible determindo Incomptible Comptible indetermindo Solución: ) Pr que el sistem se comptible determindo, ñdiremos un ecución que no teng los mismos coeficientes que l que nos d el ejercicio Por ejemplo, + = Pr que se incomptible, los coeficientes tienen que ser los mismos pero tener diferente término independiente Por ejemplo = Pr que se comptible indetermindo, pondremos un ecución proporcionl l que tenemos Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

7 Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde Por ejemplo = Represent los siguientes sistems clsifíclos: ) 9 9 Resuelve gráficmente los siguientes sistems clsifíclos: ) Resuelve gráficmente los siguientes sistems clsifíclos: ) Resolución de sistems por el método de sustitución Recuerd que: El método de sustitución consiste en despejr un incógnit de un de ls ecuciones del sistem sustituir l epresión obtenid en l otr ecución Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podremos clculr l incógnit despejd Con el vlor obtenido, obtenemos el vlor de l otr incógnit Vmos resolver el sistem por el método de sustitución: Despejmos de l segund ecución: lo sustituimos en l primer: ) = Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = = L solución es: Comprobmos: Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: ) Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: ) Resolución de sistems por el método de igulción Recuerd que: El método de igulción consiste en despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem e igulr los resultdos obtenidos Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podremos clculr l incógnit despejd Con el vlor obtenido, clculmos el vlor de l otr incógnit Vmos resolver el sistem por el método de igulción: Despejmos l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem: Igulmos hor los resultdos obtenidos resolvemos l ecución resultnte:

8 Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde 9 Con el vlor obtenido de, clculmos l : L solución es: Comprobmos: Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: ) 9 Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: ) 9 Resolución de sistems por el método de reducción Recuerd que: El método de reducción consiste en eliminr un de ls incógnits sumndo ls dos ecuciones Pr ello se multiplicn un o mbs ecuciones por un número de modo que los coeficientes de o sen igules pero de signo contrrio Vmos resolver el sistem por el método de reducción: Multiplicmos l segund ecución por pr que los coeficientes de l sen igules pero de signo contrrio summos ls ecuciones obtenids: ) summos Con el vlor obtenido de, clculmos l : ) L solución es: Comprobmos: Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: ) Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: ) 9 9 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Concepto de sistem de ecuciones no lineles Un sistem de ecuciones es no linel cundo l menos un de sus ecuciones no es de primer grdo c' b' ' c b Donde, b, ' b' son números reles que se denominn coeficientes c c' tmbién son números reles llmdos términos independientes Llmmos solución del sistem l pr, ) de vlores que stisfcen ls dos ecuciones del sistem Son sistems de ecuciones no lineles, por ejemplo: ) Ron si son o no sistems de ecuciones lineles los siguientes sistems: ) d)

9 Resolución de sistems de ecuciones no lineles L resolución de este tipo de sistems se suele hcer por el método de sustitución medinte los siguientes psos: - Se despej un incógnit de un de ls ecuciones, ser posible de l de primer grdo - Se sustitue l incógnit despejd en l otr ecución - Se resuelve l ecución resultnte - Cd uno de los vlores obtenidos se sustitue en l otr ecución, se obtienen sí los vlores correspondientes de l otr incógnit Actividdes resuelts Vmos resolver el sistem no linel - Se despej un incógnit de un de ls ecuciones, ser posible de l de primer grdo: ) - Se sustitue l incógnit despejd en l otr ecución: - Se resuelve l ecución resultnte: ) 9 ) = = - Cd uno de los vlores obtenidos se sustitue en l otr ecución, se obtienen sí los vlores correspondientes de l otr incógnit: Si =, = = ; Si =, = = Ls soluciones son, ), ) Comprobción: Resuelve los siguientes sistems no lineles: ) Resuelve los siguientes sistems comprueb gráficmente ls soluciones: ) d) e) f) L trectori de un proectil es un prábol de ecución: = +, l trectori de un vión es un rect de ecución: = En qué puntos coinciden mbs trectoris? Represent gráficmente l rect l prábol pr comprobr el resultdo Resuelve los siguientes sistems: ) d) e) Sistems de ecuciones lineles de más de dos incógnits L mejor form de resolver sistems lineles de más de dos incógnits es ir sustituendo el sistem por otro equivlente de form que cd ve se consig que sen ceros los coeficientes de más incógnits Este procedimiento se denomin Método de Guss Actividdes resuelts Pr resolver el sistem: : Dejmos l primer ecución sin modificr Queremos que l segund ecución teng un cero como coeficiente de l, pr ello l multiplicmos por le restmos l primer Pr que l tercer ecución teng un cero como coeficiente de l, l multiplicmos por le restmos l primer: Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

10 Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde Ahor podemos resolver el sistem de dos ecuciones dos incógnits formdo por ls dos últims ecuciones, o continur con nuestro procedimiento Pr conseguir que en l tercer ecución el coeficiente de l se un cero multiplicmos l tercer ecución por l segund por ls restmos: hor podemos despejr cd un de ls incógnits de form ordend: / ) ) ) Resuelve los siguientes sistems: ) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resolución de problems medinte ecuciones de º grdo Pr resolver problems por medio de ecuciones de º grdo, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos: - Comprender el enuncido - Identificr l incógnit - Trducir el enuncido l lenguje lgebrico - Plnter l ecución resolverl - Comprobr l solución obtenid Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: Cuál es el número nturl cuo quíntuplo umentdo en uniddes es igul su cudrdo? Un ve comprendido el enuncido, identificmos l incógnit, que en este cso, es el número que estmos buscndo - Número buscdo = - Trducimos hor el problem l lenguje lgebrico: + = - Resolvemos l ecución: + = = 9 ) ) ) c b b ; Solución: Como el enuncido dice número nturl el número buscdo es el - Comprobción: En efecto + = = Qué número multiplicdo por es uniddes menor que su cudrdo? 9 En un clse deciden que todos vn envir un crt l resto de compñeros Uno dice: Vmos escribir crts! Clcul el número de lumnos que h en l clse Clcul tres números consecutivos tles que l sum de sus cudrdos se Un fotogrfí rectngulr mide cm de bse cm de ltur Alrededor de l foto h un mrgen de igul nchur pr l bse que pr l ltur Hll el ncho del mrgen, sbiendo que el áre totl de l foto el mrgen es de cm El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es Cuál es el número? Un triángulo isósceles tiene un perímetro de cm l bse mide cm, clcul los ldos del triángulo su áre Un hoj de ppel cudrd se dobl por l mitd El rectángulo resultnte tiene un áre de cm Cuál es perímetro de dicho rectángulo? Un pdre dice: El producto de l edd de mi hijo hce ños por el de su edd hce ños es mi edd ctul, que son 9 ños Clcul l edd del hijo

11 Hll ls dimensiones de rectángulo cu áre es m, sbiendo que sus ldos se diferencin en metros En un triángulo rectángulo el cteto mor mide cm menos que l hipotenus cm más que el otro cteto Cuánto miden los ldos del triángulo? Hll dos números pres consecutivos cuo producto se 9 Hll tres números impres consecutivos tles que si l cudrdo del mor se le restn los cudrdos de los otros dos se obtiene como resultdo Resolución de problems medinte sistems de ecuciones Pr resolver problems por medio de sistems de ecuciones, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos: - Comprender el enuncido - Identificr ls incógnits - Trducir el enuncido l lenguje lgebrico - Plnter el sistem resolverlo - Comprobr l solución obtenid Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: L sum de ls eddes de un pdre su hijo es 9 su diferenci Cuál es l edd de cd uno? Un ve comprendido el enuncido, identificmos ls incógnits que, en este cso, son l edd del pdre el hijo - Edd del pdre = Edd del hijo = - Psmos el enuncido lenguje lgebrico: L sum de sus eddes es 9: + = 9 Y su diferenci : = - Plntemos el sistem lo resolvemos por el método que nos resulte más sencillo En este cso, lo hcemos por reducción: 9 summos 9 = / = + = 9 + = 9 = 9 = Solución: El pdre tiene ños el hijo tiene ños - Comprobción: En efecto, l sum de ls eddes es + = 9 l diferenci es = L sum de ls eddes de Mrí Alfonso son ños L edd de Alfonso menos l mitd de l edd de Mrí es igul Qué edd tienen cd uno? L sum de ls eddes de Mriló Jvier es ños Dentro de ños, l edd de Jvier será igul l edd de Mriló más ños Qué edd tiene cd uno en l ctulidd? Encuentr dos números cu diferenci se su sum se Un hotel tiene hbitciones individules dobles) cms, cuánts hbitciones tiene de cd tipo? En un triángulo rectángulo l hipotenus mide cm ls longitudes de sus dos ctetos sumn cm Clcul el áre del triángulo Nieves le pregunt Mirim por sus clificciones en Mtemátics en Lengu Mirim le dice L sum de mis clificciones es 9 el producto 9 Nieves le d l enhorbuen Qué clificciones obtuvo? De un número de tres cifrs se sbe que sumn, que l sum de sus cudrdos es, que l cifr de ls decens es igul l de ls centens más Qué número es? Se tienen tres umos compuestos del siguiente modo: El primero de dl de nrnj, dl de limón 9 dl de pomelo El segundo de dl de nrnj, dl de limón dl de pomelo El tercero de dl de nrnj, dl de limón dl de pomelo Se pide qué volumen hbrá de tomrse de cd uno de los umos nteriores pr formr un nuevo umo de dl de nrnj, dl de limón dl de pomelo Se venden tres especies de cereles: trigo, cebd mijo Cd kg de trigo se vende por, el de l cebd por el de mijo por Si se vende kg en totl se obtiene por l vent, cuántos volúmenes de cd cerel se hn vendido? 9 Se dese meclr hrin de /kg con hrin de /kg pr obtener un mecl de, /kg Cuántos kg deberemos poner de cd precio pr obtener kg de mecl? En un tiend h dos tipos de juguetes, los de tipo A que utilin pils los de tipo B que utilin pils Si en totl en l tiend h juguetes pils, cuántos juguetes h de cd tipo? Un petón sle de un ciudd A se dirige un ciudd B que está km de distnci un velocidd de km/h, en Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

12 el mismo momento sle un ciclist de l ciudd B un velocidd de km/h se dirige hci A, cuánto tiempo llev el petón cminndo en el momento del encuentro? A qué distnci de B se crun? EJERCICIOS Y PROBLEMAS Ecuciones de segundo grdo Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo ) = + ) = = d) + ) + ) = e) ) + ) = f) ) + ) = g) + ) ) = h) + ) = i) + ) ) = Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo con denomindores: ) 9 d) e) f) Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: ) = + = + + = d) + = e) + ) = f) = g) + = h) = i) + = Fctori ls ecuciones del problem nterior Así, si ls soluciones son, escribe: + = ) ) = Observ que si el coeficiente de fuese distinto de los fctores tienen que estr multiplicdos por dicho coeficiente Cundo el coeficiente b es pr b = B), puedes simplificr l fórmul: b b c B B c B B c B B c Así pr resolver + = bst decir, luego sus soluciones son Utili es epresión pr resolver: ) + = = = Resuelve mentlmente ls ecuciones siguientes, luego desrroll ls epresiones utili l fórmul generl pr volver resolverls ) ) ) = + ) ) = ) ) = d) ) + ) = e) + ) 9) = f) ) + ) = Determin el número de soluciones reles que tienen ls siguientes ecuciones de segundo grdo clculndo su discriminnte, luego resuélvels ) + = + = = d) + = e) = f) + = Escribe tres ecuciones de segundo grdo que no tengn ningun solución rel Aud: Utili el discriminnte 9 Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn un solución doble Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn dos soluciones reles distints Escribe tres ecuciones de segundo grdo que no tengn solución rel Resuelve ls siguientes ecuciones polinómics: ) + = = = d) = e) = 9 f) ) + ) ) = Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo un cmbio de vrible: ) + = + = = d) + 9 = Resuelve ls siguientes ecuciones rcionles: ) d) e) f) g) h) i) j) Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles: ) ; ; ; d) ; e) ; Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

13 f) ; g) ; h) ; i) Resuelve ls ecuciones siguientes: ) Sistems lineles de ecuciones Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: ) Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: ) 9 Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: ) 9 Resuelve de form gráfic los siguientes sistems ) Resuelve los siguientes sistems: ) Copi en tu cuderno complet los siguientes sistems incompletos de form que se cumpl lo que se pide en cd uno: Comptible indetermindo Incomptible Su solución se = e = ) Incomptible Su solución se = e = Comptible indetermindo d) e) f) Escribe tres sistems lineles que sen incomptibles Escribe tres sistems lineles que sen comptibles indetermindos Escribe tres sistems lineles que sen comptibles determindos Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción comprueb l solución gráficmente De qué tipo es cd sistem? ) 9 Problems En un tiend lquiln biciclets triciclos Si tienen vehículos con un totl de rueds, cuánts biciclets cuántos triciclos tienen? Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por le fltn uniddes pr completr su cudrdo? 9 Descompón en dos fctores cu sum se El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es Qué número es? L sum de los cudrdos de dos números impres consecutivos es Determin dichos números Vn crgdos un sno un mulo El sno se quejb del peso que llevb encim El mulo le contestó: Si o llevr uno de tus scos, llevrí el doble de crg que tú, pero si tú toms uno de los míos, los dos llevremos igul crg Cuántos scos llev cd uno? Qué número multiplicdo por es uniddes menor que su cudrdo? Clcul tres números consecutivos cu sum de cudrdos es Dentro de ños, l edd de Rquel será l mitd del cudrdo de l edd que tení hce ños Qué edd tiene Rquel? Dos números se diferencin en uniddes l sum de sus cudrdos es Cuáles son dichos números? L sum de dos números es su producto es, de qué números se trt? Mrí quiere formr bndejs de un kilogrmo con crmelos bombones Si los crmelos le cuestn euros el kilo los bombones euros el kilo, quiere que el precio de cd bndej se de euros, qué cntidd deberá poner de cd producto? Si quiere formr bndejs, qué cntidd de crmelos de bombones v necesitr? 9 Determin los ctetos de un triángulo rectángulo cu sum es cm l hipotenus de dicho triángulo mide cm El producto de dos números es l sum de sus cudrdos Clcul dichos números L sum de dos números es El doble del primero más el triple del segundo es De qué números se trt? Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

14 En un grje h vehículos entre coches motos Si en totl h rueds, cuántos coches motos h en el grje? L edd ctul de Luis es el doble de l de Mirim Dentro de ños, sus eddes sumrán Cuántos ños tienen ctulmente Luis Mirim? En mi clse h persons Nos hn regldo cd chic pegtins cd chico chps Si en totl hbí reglos Cuántos chicos chics somos en clse? Entre mi buelo mi hermno tienen ños Si mi buelo tiene ños más que mi hermno, qué edd tiene cd uno? Tres bocdillos un refresco cuestn Cutro bocdillos dos refrescos cuestn Cuál es el precio del bocdillo el refresco? En un grnj h gllins ovejs Si se cuentn ls cbes, son Si se cuentn ls pts, son Cuántos gllins ovejs h en l grnj? Un rectángulo tiene un perímetro de metros Si el lrgo es metros mor que el ncho, cuáles son ls dimensiones del rectángulo? 9 En un monedero h billetes de Si en totl h billetes, cuánts billetes de cd vlor h en el monedero? En un pele entre rñs visps, h cbes 9 pts Sbiendo que un rñ tiene pts un visp, cuánts moscs rñs h en l pele? Un clse tiene estudintes, el número de lumns es doble l de lumnos, cuántos chicos chics h? Nieves tiene 9 ños más que su hermno Dniel, su mdre tiene ños Dentro de ños l edd de l mdre será doble de l sum de ls eddes de sus hijos, qué eddes tienen? Se mecln kg de rro de, el kilogrmo con kg de rro de precio desconocido, resultndo el precio de l mecl de, el kg Qué precio tení el segundo mí? L ltur de un trpecio isósceles es de cm, el perímetro, cm, los ldos inclindos son igules l bse menor Clcul el áre del trpecio Dos utobuses slen, uno desde Mdrid el otro desde Cáceres ls 9 de l mñn Uno v km/h el otro km/h A qué hor se crun? A cuántos km de Mdrid estrán? En un concurso se gnn euros por cd respuest certd se pierden por cd fllo Después de pregunts, Crmel llev gndos euros Cuánts pregunts h certdo? Pco h comprdo umos btidos por,, luego h comprdo umos btidos le hn costdo,9 Clcul los precios de mbs coss Qué frcción es igul cundo se sum l numerdor es igul / cundo se sum l denomindor? 9 El cociente de un división es el resto es Si el divisor disminue en unidd, el cociente ument en el resto nuevo es Hllr el dividendo el divisor Dos migs fueron pescr Al finl del dí un dijo: Si tú me ds uno de tus peces, entonces o tendré el doble que tú L otr le respondió: Si tú me ds uno de tus peces, o tendré el mismo número de peces que tú Cuántos peces tení cd un? Clcul ls dimensiones de un rectángulo sbiendo que su áre es cm, cuo perímetro mide cm Un petón sle de un ciudd A un velocidd de km/h, se dirige un ciudd B que está km de l ciudd A, minutos después sle un ciclist de l ciudd B un velocidd de km/h se dirige hci A, cuánto tiempo llev el petón cminndo en el momento del encuentro? A qué distnci de B se crun? Se dese meclr ceite de, /l con otro ceite de, /l de modo que l mecl resulte /l Cuántos litros de cd clse deben meclrse pr obtener litros de l mecl? Al intercmbir ls cifrs de un número de dos cifrs se obtiene otro que es uniddes mor Hll el número inicil L digonl de un rectángulo mide cm el perímetro cm Hll los ldos del rectángulo Un vll rode un terreno rectngulr de m Si l vll mide metros, clcul ls dimensiones del terreno Vrios migos vn hcer un reglo de bods que cuest euros, que pgrán prtes igules A últim hor se puntn seis migos más, con lo que cd uno toc euros menos Cuántos migos ern inicilmente? Cuánto pgrá l finl cd uno? Ls digonles de un rombo se diferencin en cm su áre es de cm Clcul su perímetro 9 Un tren sle de Brcelon hci Mdrid un velocidd de km/h Un hor más trde sle otro tren de Mdrid hci Brcelon km/h; l distnci entre ls dos ciuddes es de km Al cbo de cuánto tiempo se crun los dos trenes? A qué distnci de Brcelon? Un coche sle de un ciudd A un velocidd de km/h minutos más trde otro coche sle de A en l mism dirección sentido un velocidd de km/h, cuánto tiempo trdrá el segundo en lcnr l primero qué distnci de A se produce el encuentro? AUTOEVALUACIÓN L solución de l ecución ) ) = es: ) = / = = / = = = / d) = / = / Ls soluciones de l ecución = ) son: ) = = = = = = d) = = Ls soluciones de l ecución son: ) = = = = = / = d) = = Ls soluciones de l ecución 9 + = son: Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde

15 ),,,,,,,,, d),,, Ls rects que formn el sistem son: ) Secntes Prlels Coincidentes d) Se crun L solución del sistem es: ) = e = = e = = e = d) No tiene solución L solución del sistem 9 es: ) = e = = e = = / e = d) = e = L solución del sistem es: ) =, =, = =, =, = =, =, = d) =, =, = 9 En un grnj, entre gllins vcs h nimles pts Cuántos gllins vcs h en l grnj? ) 9 gllins vcs gllins vcs gllins vcs Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por, le fltn uniddes pr llegr su cudrdo? ) ños ños ños d) ños RESUMEN Ejemplos Ecución de segundo grdo Resolución de ecuciones de segundo grdo complets Número de soluciones de un ecución de segundo grdo Resolución de ecuciones de segundo grdo incomplets Sistem de ecuciones lineles Es un ecución lgebric en l que l mor potenci de l incógnit es Tiene l form: + b + c =, donde, b c son números reles, con b Se us l fórmul: b c Si = b c >, tiene dos soluciones reles distints Si = b c =, tiene un solución doble Si = b c <, l ecución no tiene solución rel Si b =, + c =, despejmos l incógnit: c b Si c =, + b = : = b c ' b' c' + / = + = : =, = = : = >, tiene dos soluciones + = : =, tiene un rí doble: = + + = : = No tiene solución rel = : = 9) = = ; = 9 Clsificción Métodos de resolución Comptible determindo: Un únic solución, el punto de intersección Ls rects son secntes: Comptible indetermindo: Infinits soluciones, por lo que ls rects son coincidentes: Incomptible: No tiene solución, ls rects son prlels: 9 Sustitución: despejr un incógnit sustituir en l otr ecución Igulción: despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones Reducción: sumr ls dos ecuciones, multiplicándols por números decudos Mtemátics º B de ESO Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernánde