5x + 9 3x 1. 2a + 3 = 32. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 3º B ESO. Capítulo 5: Ecuaciones y sistemas

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1 59 CAPÍTULO 5: ECUACIONES Y SISTEMAS.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.. El lenguje de ls ecuciones Y sbes que: Un ecución es un iguldd entre dos epresiones lgebrics. Si tenemos dos epresiones lgebrics: , ls unimos con el signo igul obtenemos un ecución: 7 + = 5 +. Ls epresiones que h cd ldo del igul se llmn miembros de l ecución. Tods ls ecuciones tienen dos miembros: l epresión que está l izquierd del signo igul se llm primer miembro l que está l derech, segundo miembro. Ls letrs que contienen ls ecuciones lgebrics (ls "prtes literles" de sus dos epresiones) se llmn incógnits, que signific literlmente "desconocids". Si tods ls letrs son igules, se dice que l ecución tiene un sol incógnit. 8 = + 7 es un ecución con un sol incógnit, mientrs que + = 5 o 5 9 = son ecuciones con dos incógnits: e. El grdo de un ecución es el mor eponente que prece en lgun de sus incógnits. 8 = + 7 es un ecución de primer grdo, mientrs que + = es un ecución de tercer grdo que el monomio 5 tiene grdo ( + = ).. Copi en tu cuderno l siguiente tbl complétl: Ecución Primer miembro Segundo miembro Incógnits 8 = 7 + = Indic el número de incógnits de ls siguientes ecuciones: ) 5 = 7 + 6; b) + 8 = 5 c) + 6 = d) + 8 =.. Indic el grdo de ls siguientes ecuciones: ) = 6 + 8; b) + 9 = c) = 0 d) + =.. Ecuciones equivlentes. Resolución de ecuciones Y sbes que: Un solución de un ecución es un número que, cundo l incógnit tom ese vlor, se verific l iguldd, es decir, los dos términos de l ecución vlen lo mismo. Alguns ecuciones solo tienen un solución, pero otrs pueden tener vris. Resolver un ecución es encontrr tods sus posibles soluciones numérics. Pr resolver un ecución lo que se hce hbitulmente es trnsformrl en otr ecución equivlente más sencill. Ecuciones equivlentes son ls que tienen ls misms soluciones. 9 = 5 es equivlente =, puesto que l solución de mbs ecuciones es =. Pr obtener ecuciones equivlentes se tienen en cuent ls siguientes propieddes: Si se sum o se rest los dos miembros de un ecución un mism cntidd, se obtiene un ecución equivlente. Si se multiplicn o dividen los dos miembros de un ecución por un mism cntidd (distint de cero), se obtiene un ecución equivlente. Actividdes resuelts Resuelve l ecución = trnsformándol en otr más sencill equivlente. Trnsformr un ecución hst que sus soluciones se hgn evidentes se llm "resolver l ecución". Siguiendo estos psos intentremos resolver l ecución: = 5. ) Summos los dos miembros restmos los dos miembros 7: = 5 7. ) Hcemos operciones conseguimos otr ecución que tiene en el primer miembro los términos con en el segundo, los términos sin : 5 = 5 7. ) Efectumos ls sums en el primer miembro en el segundo: =. Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF 5 +

2 60 ) Despejmos dividiendo los dos miembros por : de donde =. 5) Comprueb que tods ls ecuciones que hemos obtenido en este proceso son equivlentes que su solución es =. El procedimiento utilizdo en ls ctividdes es un método universl pr resolver culquier ecución de grdo, es decir, donde prece sin elevr otro eponente como en. Ls ecuciones de primer grdo tienen siempre un únic solución, pero en generl, ls soluciones no tienen porqué ser números enteros como en los ejemplos.. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) = 5 b) + 6 = 9 c) + 8 =. ECUACIONES DE º GRADO H ecuciones de segundo grdo que sbes resolver. En este cpítulo vmos profundizr prender resolver este tipo de ecuciones. Por ejemplo, el siguiente problem sbes resolverlo: Actividdes resuelts Se ument el ldo de un bldos cudrd en cm su áre h queddo multiplicd por, Qué ldo tení l bldos? Plntemos l ecución: ( + ) = Est ecución si sbes resolverl! + =, luego el ldo es de cm. H otr solución, =, que no tiene sentido como ldo de un cudrdo. Vmos estudir de form ordend ests ecuciones... Concepto de ecución de º grdo Un ecución de segundo grdo es un ecución polinómic en l que l mor potenci de l incógnit es. Ls ecuciones de segundo grdo se pueden escribir de l form: + b + c = 0 donde, b c son números reles, con 0. Son ecuciones de º grdo por ejemplo 7 + = 0; = 0; 9 = 0. Los coeficientes de ls ecuciones de º grdo son números reles, por lo tnto pueden ser frcciones o ríces. Por ejemplo: 0 5 ; 0 ;,7 +,5 + 0, = 0; Indic si son ecuciones de segundo grdo ls siguientes ecuciones: ) c) 8 9 = 0 e) 0 b) 5 = 0 d) 8 7, = 0 f) 0 6. En ls siguientes ecuciones de segundo grdo, indic quiénes son, b c. ) + 9 = 0 b) + 5 = 0 c) = 0 d) 8 + = 0.. Resolución de ecuciones de º grdo complets Se llm ecución de segundo grdo complet quell que tiene vlores distintos de cero pr, b c. Pr resolver ls ecuciones de segundo grdo complets, usremos l fórmul: b b c Est fórmul nos permite clculr ls dos soluciones de nuestr ecución. Llmremos discriminnte l prte de l fórmul que está en el interior de l ríz: = b c Actividdes resuelts Resuelve l ecución de segundo grdo = 0 Primero debemos sber quiénes son, b c: = ; b = 5; c = 6 b Sustituendo estos vlores en nuestr fórmul, obtenemos: b c Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

3 6 5 5 Por lo tnto, nuestrs dos soluciones son: ; En efecto, = = 0, = = 0, luego son soluciones de l ecución. 7. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo complets: ) = 0 b) + = 0 c) = 0 d) = 0.. Número de soluciones de un ecución de º grdo complet Antes hemos definido lo que er el discriminnte, te cuerds? = b c Pr sber cuánts soluciones tiene un ecución de º grdo, nos vmos fijr en el signo del discriminnte. Si = b c > 0, l ecución tiene dos soluciones reles distints. Si = b c = 0, l ecución tiene un únic solución rel (ls dos soluciones reles son igules, es un solución doble). Si = b c < 0, l ecución no tiene ningun solución rel. ) L ecución 5 = 0 tiene como discriminnte: = b c = () (5) = = 6 > 0 Por lo tnto, l ecución dd tiene soluciones reles distints, 5. (Comprobción: = = 0 () () 5 = + 5 = 0). b) L ecución + = 0 tiene como discriminnte: = b c = () = = 0 Por lo tnto, l ecución tiene un únic solución rel. Se puede escribir como: + = ( ) = 0, que tiene l solución doble =. c) L ecución = 0 tiene como discriminnte = b c = () (8) = 9 = < 0 Por lo tnto, l ecución no tiene solución rel. Ningún número rel verific l ecución. 8. Averigu cuánts soluciones tienen ls siguientes ecuciones de º grdo: ) + + = 0 b) = 0 c) 6 7 = 0 d) + 5 = 0.. Resolución de ecuciones de º grdo incomplets Llmmos ecución de º grdo incomplet quell ecución de segundo grdo en l que el coeficiente b vle 0 (flt b), o el coeficiente c vle 0 (flt c). L ecución de º grdo 8 = 0 es incomplet porque el coeficiente b = 0, es decir, flt b. L ecución de º grdo 5 = 0 es incomplet porque no tiene c, es decir, c = 0. Ls ecuciones de º grdo incomplets se resuelven de un mner u otr dependiendo del tipo que sen. Si el coeficiente b = 0: Despejmos l incógnit normlmente, como hcímos en ls ecuciones de primer grdo: + c = 0 = c c c c Si el coeficiente c = 0: Scmos fctor común: + b = 0 ( + b) = 0. Pr que el producto de dos fctores vlg cero, uno de los fctores debe vler cero. b Por tnto = 0, o + b = 0 = b En l ecución 8 = 0 flt l b. Pr resolverl despejmos l incógnit, es decir, : 8 = 0 = 8 = 8/ = 9 Un vez que llegmos quí, nos flt quitr ese cudrdo que llev nuestr incógnit. Pr ello, hremos l ríz cudrd en los miembros de l ecución: 9 Así hemos obtenido ls dos soluciones de nuestr ecución,. En efecto, 8 = 9 8 = 0, () 8 = 9 8 = 0 Resumen Si b = 0, + c = 0, despejmos l incógnit: c. Si c = 0, + b = 0, scmos fctor común: b = 0. Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

4 6 En l ecución 5 = 0 flt l c. Pr resolverl, scmos fctor común: 5 = 0 ( 5) = 0 Un vez que llegmos quí, tenemos dos opciones ) = 0 = 0. ) 5 = 0 = 5. Así hemos obtenido ls dos soluciones de l ecución = 0 = 5 Un ecución de segundo grdo incomplet tmbién se puede resolver utilizndo l fórmul de ls complets pero es un proceso más lento es más fácil equivocrse. Actividdes resuelts Resuelve l ecución de º grdo = 0: Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l b. Por lo tnto, despejmos l incógnit = 0 = = / = 6 6. Ls ríces son. Resuelve l ecución de º grdo + 7 = 0: Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l c. Por lo tnto, scmos fctor común: + 7 = 0 ( + 7) = 0 obtenemos ls dos soluciones: = = 0 = Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo incomplets: ) + 6 = 0 b) 7 = 0 c) 5 = 0 d) + = 0 e) 9 = 0 f) 5 0 = 0.5. Sum producto de ríces Si en un ecución de segundo grdo: + b + c = 0, con =, conocemos sus soluciones: sbemos que podemos escribir l ecución de form fctorizd: ( ) ( ) = 0 Hcemos operciones: + = 0 ( + ) + = 0, por lo que el coeficiente c es igul l producto de ls soluciones l sum de ls soluciones es igul l opuesto del coeficiente b, es decir, b. = c; + = b. Si l ecución es + b + c = 0, dividiendo por, tenemos un de coeficiente =, obtenemos que: = c ; + = Est propiedd nos permite, en ocsiones, resolver mentlmente lguns ecuciones de segundo grdo. Actividdes resuelts Resuelve mentlmente l ecución = 0. Buscmos, mentlmente dos números cuo producto se 6 cu sum se 5. En efecto, = 6, + = 5, luego ls soluciones de l ecución son. Resuelve mentlmente l ecución = 0. El producto debe ser 9. Probmos con como solución, en efecto + = 6. Ls soluciones son l ríz doble. Resuelve mentlmente l ecución = 0. Ls soluciones son, pues su producto es su sum. Resuelve mentlmente l ecución + = 0. Ls soluciones son, pues su producto es su sum. 0. Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: ) + 6 = 0 b) + 8 = 0 c) 5 = 0 d) = 0 e) = 0 f) = 0. Escribe un ecución de segundo grdo cus soluciones sen 7.. El perímetro de un rectángulo mide 6 cm su áre 5 cm. Clcul sus dimensiones.. Si es un solución de 5 + = 0, cuánto vle?.6. Resolución de ecuciones sencills de grdo superior dos. Durnte siglos los lgebrists hn buscdo fórmuls, como l que conoces de l ecución de segundo grdo, que resolvier ls ecuciones de tercer grdo, de curto, de quinto sin éito prtir del quinto grdo. Ls fórmuls pr resolver ls ecuciones de tercer curto grdo son complicds. Sólo sbemos resolver de form sencill lguns de ests ecuciones. Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF b

5 6 Resuelve: ( 5) ( ) ( + ) ( 9) ( 6) = 0. Es un ecución polinómic de grdo cinco, pero l estr fctorizd sbemos resolverl pues pr que el producto de vrios fctores se cero, uno de ellos debe vler cero. Igulndo cero cd fctor tenemos que ls soluciones son 5,,, 9 6. Ecuciones bicudrds Un ecución bicudrd es un ecución de l form n + b n + c = 0. Pr resolverl, hcemos el cmbio n = t, convirtiéndol sí en un ecución de segundo grdo de fácil resolución. Cundo hmos clculdo el vlor de t, deshcemos el cmbio efectudo, n t pr obtener l solución. Ls ecuciones bicudrds más comunes son ls de curto grdo Pr resolver l ecución bicudrd = 0, hcemos el cmbio obteniendo l ecución de segundo grdo t 0t + 9 = 0. Resolvemos dich ecución de segundo grdo: 0 ( 0) t t 9 t Deshcemos el cmbio pr obtener los vlores de : Si t Actividdes resuelts L ecución 5 + = 0 es un ecución polinómic de curto grdo, pero con un form mu especil, es un ecución bicudrd, porque podemos trnsformrl en un ecución de segundo grdo llmndo por ejemplo, t = 0 t 5t + = 0 t = Un solución de l ecución de segundo grdo es t =, l otr es t =. Por tnto si t = =, entonces = =. Y si t = =, entonces = =. Nuestr ecución de curto grdo tiene cutro soluciones:,,.. Resuelve ls ecuciones siguientes: ) ( 7) ( ) ( + 5) ( ) ( ) = 0 b) ( 5) ( 7) ( + ) ( ) ( ) = 0 5. Resuelve ls siguientes ecuciones bicudrds: ) + = 0 b) = 0 c) = Resuelve ls ecuciones bicudrds siguientes: ) + 6 = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0.. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Concepto de sistem de ecuciones lineles Un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits se puede epresr de l form: b c ' b' c' Donde, b, ' b' son números reles que se denominn coeficientes c c' tmbién son números reles llmdos términos independientes. Llmmos solución del sistem l pr de vlores (, ) que stisfcen ls dos ecuciones del sistem. Se dice que dos sistems de ecuciones son equivlentes, cundo tienen l mism solución. Son sistems de ecuciones lineles, por ejemplo: ; ; 0 Si t ; Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

6 6 5 7 No es un sistem linel porque tiene términos en Tmpoco lo es porque tiene un término en Rzon si son o no sistems de ecuciones lineles los siguientes sistems: 6 5 ) b) c) d) 5.. Clsificción de sistems de ecuciones En un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits, cd un de ls ecuciones represent un rect en el plno. Ests rects pueden estr posicionds entre sí de tres mners distints, lo que nos udrá clsificr nuestro sistem en: ) Comptible determindo: el sistem tiene un únic solución, por lo que ls rects son SECANTES, se cortn en un punto. ) Comptible indetermindo: el sistem tiene infinits soluciones, por lo que ls rects son COINCIDENTES. ) Incomptible: el sistem no tiene solución, por lo que ls rects son PARALELAS. Comptible determindo Comptible indetermindo Incomptible Rects secntes Rects coincidentes Rects prlels Actividdes resuelts Añde un ecución = pr que el sistem resultnte se: ) Comptible determindo b) Incomptible c) Comptible indetermindo Solución: ) Pr que el sistem se comptible determindo, ñdiremos un ecución que no teng los mismos coeficientes que l que nos dn. Por ejemplo, + =. b) Pr que se incomptible, los coeficientes de ls incógnits tienen que ser los mismos (o proporcionles) pero tener diferente término independiente. Por ejemplo =, (o = 0). c) Pr que se comptible indetermindo, pondremos un ecución proporcionl l que tenemos. Por ejemplo =. Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

7 Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF Represent los siguientes sistems clsifíclos: ) b) c) Resolución de sistems por el método de sustitución El método de sustitución consiste en despejr un incógnit de un de ls ecuciones del sistem sustituir l epresión obtenid en l otr ecución. Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podemos clculr l incógnit despejd. Con el vlor obtenido, obtenemos el vlor de l otr incógnit. Vmos resolver el sistem por el método de sustitución: Despejmos de l segund ecución: lo sustituimos en l primer: ( ) = 6 = = 6 7 = 7 = ( 7)/( 7) = Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = =. Solución: 9. Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: ) 7 b) 5 0 c) 0.. Resolución de sistems por el método de igulción El método de igulción consiste en despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem e igulr los resultdos obtenidos. Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podremos clculr l incógnit despejd. Con el vlor obtenido, clculmos el vlor de l otr incógnit. Ejemplo 8: Vmos resolver el sistem por el método de igulción: Despejmos l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem: Igulmos hor los resultdos obtenidos resolvemos l ecución resultnte: ) ( Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = () = Solución: 0. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: ) 5 b) 5 c) 5 7

8 66.5. Resolución de sistems por el método de reducción El método de reducción consiste en eliminr un de ls incógnits sumndo ls dos ecuciones. Pr ello se multiplicn un o mbs ecuciones por un número de modo que los coeficientes de o sen igules pero de signo contrrio. Vmos resolver el sistem por el método de reducción: Multiplicmos l segund ecución por - pr que los coeficientes de l sen igules pero de signo contrrio summos ls ecuciones obtenids: ( ) summos 7 = 7 = ( 7)/( 7) = 6 Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = + = = / = Solución:. Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: ) b) 5 c) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.. Resolución de problems medinte ecuciones de primer grdo Y sbes que: Muchos problems pueden resolverse medinte un ecución. Actividdes resuelts Busc un número que sumdo con su siguiente dé como resultdo 5. Pr resolverlo vmos seguir técnics generles de resolución de problems: Pso : Antes de empezr ctur, intent entender bien el problem Lee con mucho cuiddo el enuncido, pregúntte: Qué te piden? Qué dtos tienes? Nos piden un número. L incógnit es ese número. Llm ese número. Su siguiente, será +. Nos dicen que l sum de mbos es 5. Pso : Busc un buen estrtegi. Es un problem que queremos resolver medinte un ecución. Escribe en lenguje lgebrico el enuncido del problem plnte un ecución: + ( + ) = 5. Pregúntte si efectivmente resuelve el problem releendo el enuncido. Pso : Llev delnte tu estrtegi Ahor sí, hor resuelve l ecución. Pr resolver un ecución conviene seguir un orden de ctución que nos ude no cometer errores, pr ello seguimos el procedimiento que cbmos de prender. Quit, si los h, préntesis denomindores: + + = 5. Pr poner en el primer miembro los términos con, en el segundo los que no lo tienen, hz lo mismo los dos ldos, rest los dos miembros: + + = 5, luego + = 5. Oper: =. Despej: Pr despejr l, se hce lo mismo los dos ldos, se dividen por mbos miembros: / = /, por tnto, = 7. Pso : Comprueb el resultdo. Piens si es rzonble. En efecto, comprueb que: = 5.. En un hotel h 7 hbitciones simples dobles. Si en totl tiene 57 cms, cuánts hbitciones son simples cuánts son dobles?. En un grnj h 00 nimles entre gllins conejos, entre todos los nimles sumn 80 pts. Cuánts gllins h en l grnj?.. Resolución de problems medinte ecuciones de º grdo Pr resolver problems por medio de ecuciones de º grdo, del mismo modo que los problems de ecuciones de primer grdo, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos:.- Comprender el enuncido.- Identificr l incógnit Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

9 67.- Trducir el enuncido l lenguje lgebrico.- Plnter l ecución resolverl 5.- Comprobr l solución obtenid Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: Cuál es el número nturl cuo quíntuplo umentdo en 6 es igul su cudrdo? Un vez comprendido el enuncido, identificmos l incógnit, que en este cso, es el número que estmos buscndo..- Número buscdo =.- Trducimos hor el problem l lenguje lgebrico: =.- Resolvemos l ecución: = 5 6 = 0 b b c ( 5) ( 5) ( 6) ; Solución: Como el enuncido dice número nturl el número buscdo es el Comprobción: En efecto = 6 = 6.. Qué número multiplicdo por es 0 uniddes menor que su cudrdo? 5. Clcul tres números consecutivos tles que l sum de sus cudrdos se El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es 85. Cuál es el número? 7. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 0 cm l bse mide cm, clcul los ldos del triángulo su áre... Resolución de problems medinte sistems de ecuciones Pr resolver problems por medio de sistems de ecuciones, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos:.- Comprender el enuncido.- Identificr ls incógnits.- Trducir el enuncido l lenguje lgebrico.- Plnter el sistem resolverlo 5.- Comprobr l solución obtenid Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: L sum de ls eddes de un pdre su hijo es 9 su diferenci 5. Cuál es l edd de cd uno? Un vez comprendido el enuncido, identificmos ls incógnits que, en este cso, son l edd del pdre el hijo.- Edd del pdre = Edd del hijo =.- Psmos el enuncido lenguje lgebrico: L sum de sus eddes es 9: + = 9 Y su diferenci 5: = 5.- Plntemos el sistem lo resolvemos por el método que nos resulte más sencillo. En este cso, lo hcemos por reducción: 9 5 summos = 6 = 6/ = + = 9 + = 9 = 9 = 7. Solución: El pdre tiene ños el hijo tiene 7 ños. 5.- Comprobción: En efecto, l sum de ls eddes es + 7 = 9 l diferenci es 7 = L sum de ls eddes de Rquel Luis son 65 ños. L edd de Luis más cutro veces l edd de Rquel es igul 0. Qué edd tienen cd uno? 9. L sum de ls eddes de Mrí Alberto es ños. Dentro de 8 ños, l edd de Alberto será dos veces l edd de Mrí. Qué edd tiene cd uno en l ctulidd? 0. Encuentr dos números cu diferenci se su sum se. Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

10 68 Ecución de primer grdo Ecución de segundo grdo Resolución de ecuciones de º grdo complets RESUMEN Es un ecución lgebric en l que l mor potenci de l incógnit es. Es un ecución lgebric en l que l mor potenci de l incógnit es. Tiene l form: + b + c = 0, donde, b c son números reles, con 0. Se us l fórmul: b b c = = = 0: =, = Discriminnte = b c = (5) 6 = 5 = Número de soluciones de un ecución de º grdo Resolución de ecuciones de º grdo incomplets Sum producto de ríces Si = b c > 0, tiene dos soluciones reles distints Si = b c = 0, tiene un solución doble. Si = b c < 0, l ecución no tiene solución Si b = 0, + c = 0, despejmos l incógnit: Si c = 0, + b = 0: = 0 b = c ; + = Sistem de ecuciones lineles b c ' b' c' Clsificción Métodos de resolución c. 5 = 0: =6 > 0, tiene dos soluciones 5. + = 0: = 0, tiene un ríz doble: = = 0: =. No tiene solución rel 8 = 0: 9 5 = 0 ( 5) = 0 = 0; = 5. b = 0 = ; = 7 Comptible determindo: Un únic solución, el punto de intersección. Ls rects son secntes: Comptible indetermindo: Infinits soluciones, por lo que ls rects son coincidentes: 6 6 Incomptible: No tiene solución, ls rects son prlels: 6 Sustitución: despejr un incógnit sustituir en l otr ecución. Igulción: despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones. Reducción: sumr ls dos ecuciones, multiplicándols por números decudos. Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

11 69 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Ecuciones de primer grdo. Resuelve ls siguientes ecuciones de primer grdo ) 6 8 = 0 b) + = 6 c) 7 = d) ( + ) ( + ) = 5 e) 5( ) + ( ) = 5 f) ( ) 6( + ) = 8 g) ( + ) + ( ) = h) + = + 68 i) 6( + ) =. Resuelve ls siguientes ecuciones de primer grdo 6 ) 0 b) c) d) e) f) Ecuciones de segundo grdo. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo ) 6 8 = 0 b) ( + ) = 6 c) 7 = 70 d) ( + ) ( + ) = 5 e) 5( ) + ( ) = 5 f) ( ) 6( + ) = 8 g) ( + ) ( ) = h) ( + ) = 68 i) 6( + ) ( ) =. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo con denomindores: 6 ) 0 b) c) d) e) f) Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: ) = 0 b) ( + ) = 0 c) = 50 d) 0 = 0 e) + 0 = 0 f) = 0 g) = 0 h) 6 = 0 i) + 6 = 0 6. Fctoriz ls ecuciones del problem nterior. Así, si ls soluciones son 5, escribe: = 0 ( ) ( 5) = 0. Observ que si el coeficiente de fuese distinto de los fctores tienen que estr multiplicdos por dicho coeficiente. 7. Cundo el coeficiente b es pr (b = B), puedes simplificr l fórmul: b b c B B c B B c B B c Así pr resolver = 0 bst decir 9 8, luego sus soluciones son. Utiliz es epresión pr resolver: ) 8 = 0 b) 0 + = 0 c) = 0 8. Resuelve mentlmente ls ecuciones siguientes, luego desrroll ls epresiones utiliz l fórmul generl pr volver resolverls. ) ( ) ( 6) = 0 b) ( + ) ( ) = 0 c) ( 9) ( ) = 0 d) ( ) ( + ) = 0 e) ( + 7) ( ) = 0 f) ( ) ( + 6) = 0 9. Determin el número de soluciones reles que tienen ls siguientes ecuciones de segundo grdo clculndo su discrimínnte, luego resuélvels. ) + = 0 b) 7 + = 0 c) = 0 d) + 5 = 0 e) 6 = 0 f) = 0 0. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que no tengn ningun solución rel. Aud: Utiliz el discriminnte.. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn un solución doble.. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn dos soluciones reles distints.. Podrís escribir un ecución de segundo grdo con únicmente un solución rel que no fuese doble? Sistems lineles de ecuciones. Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: ) 5 b) c) Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

12 70 5. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: ) b) 5 c) Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: ) 5 b) c) Resuelve de form gráfic los siguientes sistems ) 7 b) c) Resuelve los siguientes sistems por el método que cres más propido: ) 5 b) 5 c) 7 9. Copi en tu cuderno complet los siguientes sistems incompletos de form que se cumpl lo que se pide en cd uno: Comptible indetermindo Incomptible Su solución se = e = 5 ) b) c) 6 7 Incomptible Su solución se = e = Comptible indetermindo 5 6 d) e) f) 5 0. Escribe tres sistems lineles que sen incomptibles.. Escribe tres sistems lineles que sen comptibles indetermindos.. Escribe tres sistems lineles que sen comptibles determindos.. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción comprueb l solución gráficmente. De qué tipo es cd sistem? ) 6 b) c) 8 5 Problems. En un tiend lquiln biciclets triciclos. Si tienen 5 vehículos con un totl de rueds, cuánts biciclets cuántos triciclos tienen? 5. Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por 5 le fltn 00 uniddes pr completr su cudrdo? 6. Descompón 8 en dos fctores cu sum se 6 7. El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es 85. Qué número es? 8. L sum de los cudrdos de dos números impres consecutivos es 9. Determin dichos números. 9. Vn crgdos un sno un mulo. El sno se quejb del peso que llevb encim. El mulo le contestó: Si o llevr uno de tus scos, llevrí el doble de crg que tú, pero si tú toms uno de los míos, los dos llevremos igul crg. Cuántos scos llev cd uno? 0. Qué número multiplicdo por es 0 uniddes menor que su cudrdo?. Clcul tres números consecutivos cu sum de cudrdos es 65. Dentro de ños, l edd de Mrio será l mitd del cudrdo de l edd que tení hce ños. Qué edd tiene Mrio?. Dos números nturles se diferencin en uniddes l sum de sus cudrdos es 580. Cuáles son dichos números?. L sum de dos números es 5 su producto es 8. De qué números se trt? 5. Mrí quiere formr bndejs de un kilogrmo con mzpnes polvorones. Si los polvorones le cuestn 5 euros el kilo los mzpnes 7 euros el kilo, quiere que el precio de cd bndej se de 6 euros, qué cntidd deberá poner de cd producto? Si quiere formr 5 bndejs, Qué cntidd de polvorones de mzpnes v necesitr? 6. Determin los ctetos de un triángulo rectángulo cu sum es 7 cm l hipotenus de dicho triángulo mide 5 cm. 7. El producto de dos números es l sum de sus cudrdos 7. Clcul dichos números Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF

13 7 8. L sum de dos números es 0. El doble del primero más el triple del segundo es 5. De qué números se trt? 9. En un grje h 0 vehículos entre coches motos. Si en totl h 00 rueds, cuántos coches motos h en el grje? 0. L edd ctul de Pedro es el doble de l de Rquel. Dentro de 0 ños, sus eddes sumrán 65. Cuántos ños tienen ctulmente Pedro Rquel?. En mi clse h 5 persons. Nos hn regldo cd chic bolígrfos cd chico cuderno. Si en totl hbí 55 reglos. Cuántos chicos chics somos en clse?. Entre mi buelo mi hermno tienen 56 ños. Si mi buelo tiene 50 ños más que mi hermno, qué edd tiene cd uno?. Dos bocdillos un refresco cuestn 5. Tres bocdillos dos refrescos cuestn 8. Cuál es el precio del bocdillo el refresco?. En un grnj h pollos vcs. Si se cuentn ls cbezs, son 50. Si se cuentn ls pts, son. Cuántos pollos vcs h en l grnj? 5. Un rectángulo tiene un perímetro de 7 metros. Si el lrgo es metros mor que el ncho, cuáles son ls dimensiones del rectángulo? 6. En un bols h moneds de. Si en totl h 0 moneds 5, cuánts moneds de cd vlor h en l bols? 7. En un pele entre rñs visps, h 70 cbezs 88 pts. Sbiendo que un rñ tiene 8 pts un visp 6, cuánts visps rñs h en l pele? 8. Un clse tiene estudintes, el número de lumnos es triple l de lumns, cuántos chicos chics h? 9. Yolnd tiene 6 ños más que su hermno Pblo, su mdre tiene 50 ños. Dentro de ños l edd de l mdre será doble de l sum de ls eddes de sus hijos, Qué eddes tiene? AUTOEVALUACIÓN. Ls soluciones de l ecución ( ) + ( ) = 9 son: ) = = b) = = c) = = / d) = = 6/5. Ls soluciones de l ecución 56 = ( ) son: ) = = b) = = c) = 0 = d) = =. Ls soluciones de l ecución son: ) = = / b) = / = c) = = / d) = 5/ =. Ls soluciones de l ecución ( ) + = ( + ) son: ) = = 8 b) = = c) = 5 = 9 d) = = 5. Ls soluciones de l ecución ( + ) ( ) = 0 son: ) Infinits b) = 9 = 5 c) no tiene solución d) = = 6. Ls rects que formn el sistem son: 5 9 ) Secntes b) Prlels c) Coincidentes d) Se cruzn 7. L solución del sistem es: 6 8 ) = e = b) = e = c) = e = d) No tiene solución 8. L solución del sistem es: 5 ) = e = b) = e = c) = e = d) = 5 e = 9. En un grnj, entre pollos cerdos h 7 nimles 76 pts. Cuántos pollos cerdos h en l grnj? ) 6 pollos cerdos b) 5 pollos cerdos c) pollos cerdos 0. Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por 5, le fltn 00 uniddes pr llegr su cudrdo? ) 6 ños b) 7 ños c) 0 ños d) 8 ños Mtemátics orientds ls enseñnzs cdémics. º B ESO. Cpítulo 5: Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF