x, la curva tiene una tangente en P ( )

Transcripción

1 APLICACIONES DE LA DERIVADA UNIDAD IV A través el uso el concepto e erivaa se logra conocer algunas propieaes relevantes e las unciones. El estuio e estas características acilita la representación gráica la interpretación analítica e las isas, lo que posibilita su ejor enteniiento. El objetivo e este capítulo es obtener inoración e las unciones a partir e su erivaa conocer ás acerca e su coportaiento. IV. RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA Si una unción ( ) posee una erivaa en el punto tanθ '. cua peniente es: ( ), la curva tiene una tangente en P ( ) Se sabe que la ecuación e la recta que pasa por un punto con una peniente aa es: ( ). Por lo tanto, si se sustitue la peniente por la erivaa, la ecuación e la recta tangente en un punto e una curva es: Si tiene tangente horizontal a la curva. Si ( ) tiene tangente vertical a la curva., () Recta Noral Recta Tangente 9 P (, ) Una recta noral a una curva en uno e sus puntos es la recta que pasano por icho punto es perpenicular a la recta tangente en él. La conición e perpenicular entre os rectas es:

2 La ecuación e la recta noral en el punto P (, ) es: ( ) Ejeplos. Hallar las ecuaciones e las recta tangente noral e las siguientes curvas en el punto inicao. ) 5 + P(,6) 6 5 6( ) ( ) (recta noral). (recta tangente). ( ) ( ) ( ) ) 9 5 P(, ) 7 7( ) 7 5 ( ) 5( ( ) ) + 5( + ) (recta tangente). 5 ( ) ( ) (recta noral). ) P, ( ) ( ) ( ) (recta tangente). ( ) ( ) + +

3 ( ) (recta noral). ) P(,) (,) ( )( ) 6 + ( )( ) 6 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (recta tangente) ( ) ( ) (recta noral). 5) P(,9) ( ) + ( ) ( ) 9 9 (recta tangente). (peniente e 9, o sea, es ininita) ( ) ( ) ( ) (recta noral). Gráicaente, esto es: Recta Noral Recta Tangente ()

4 IV. ÁNGULO ENTRE DOS CURVAS Daas os curvas cualesquiera, el ángulo e intersección entre ellas está ao por el ángulo orao por sus tangentes en el punto e intersección. Curva θ P (,) Curva El proceiiento para obtener el ángulo e intersección entre os curvas es el siguiente:. Se calculan las coorenaas e los puntos e intersección, resolvieno las ecuaciones oraas por las unciones.. Se erivan las ecuaciones para encontrar las penientes e las tangentes e las curvas para caa uno e los puntos e intersección.. Se aplica la siguiente epresión: θ tan + En caso e que se obtenga un ángulo aguo θ que sea negativo, el ángulo e intersección es:. En caso e que se obtenga un ángulo no aguo θ que sea positivo, el ángulo e intersección es: En caso e que se obtenga un ángulo no aguo θ que sea negativo, el ángulo e intersección es: Nótese coo: Si las penientes son iguales, el ángulo e intersección es cero. Si, el ángulo e intersección es e 9, es ecir las curvas son ortogonales. Ejeplos. Obtener el ángulo e intersección entre las siguientes curvas: ) ( ) 5 7 g ( ) + 9 Igualano las unciones: Derivano: ( ) θ 8 θ. 8 + θ.

5 ( ) g 5 θ tan + θ 9. 7 ( ) ( 5)( ) tan 8 tan ) ( ) g ( ) + 6 (.57) 9.7 Igualano las unciones: ; 5 Derivano: ( ) g ( ) 6 Evaluano el punto 5 : ( 5) θ tan + ( )( ) Evaluano el punto : tan 9 tan ( ) 6 6 θ tan + ( )( ) tan ) ( ) ( ) ( ) g 9 tan (.7). ( + 5)( + ) (.9).7 Igualano las unciones: ( ) + Derivano: ( ) g ( ) ( ) Evaluano el punto : ( ) ( ) ( ) ( ) 5

6 θ tan + θ 5. ( ) ( )( ) tan tan ) ( ) g ( ) Igualano las unciones: (.) a, b 7, c b ± b ac 7 ± a ; Derivano: ( ) g ( ) 7 ( )( ) 7 ± ± 59 7 ± ( ) Evaluano el punto. 8 : θ tan + θ (.8) (.8) (.6) tan (.)(.6). Evaluano el punto. 5 : (.5) (.5) θ tan 5) ( 7)( 6) tan + 8 tan 6 tan.5 (.75) 9.9 (.7).7 Igualano las unciones: obtenieno las orenaas: ± 8 ± 8 ± 8 ± ± P (,) ; P (, ) Derivano: ( ) g ( ) + 8

7 Evaluano el punto (,) : + ( ) + ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) θ tan tan + ( ) Evaluano el punto (, ) : + ( ) + ( ) ( ), ( ) ( ) tan (, ) θ tan + ( ) tan tan ( ) 5 ( ) 5 IV. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Función creciente Sea ( ) una unción continua en el intervalo ( b) Función ecreciente Sea ( ) una unción continua en el intervalo ( b) a,. Si se cuple que >, la unción es creciente. a,. Si se cuple que <, la unción es ecreciente. Creciente va e ( ) a (+) Decreciente va e (+) a (-) a > b a < b 7

8 Criterio e la priera erivaa Si la erivaa e una unción es cero, se tiene un punto critico (PC) eisten os casos:. Si pasa e signo (+) a (-), la unción tiene un áio relativo.. Si pasa e signo (-) a (+), la unción tiene un ínio relativo. El áio ás grane se enoina áio absoluto. El ínio ás pequeño se enoina ínio absoluto. Si no cabia e signo, la erivaa no tiene ni áio ni ínio. Criterio e la seguna erivaa Si cuestión. Si cuestión. < >, la unción ( ), la unción ( ) tiene un áio relativo en el punto en tiene un ínio relativo en el punto en Concavia Un arco e curva ( ) es cóncavo, si caa uno e sus puntos están situaos por encia e la tangente. Coo la peniente auenta: > Conveia Un arco e curva ( ) es conveo, si caa uno e sus puntos están situaos por ebajo e la tangente. Coo la peniente isinue: < Punto e inleión (PI) Es el punto en el cual la curva pasa e cóncava a convea o e convea a cóncava. Una curva tiene punto e inleión en si: i. ii., es ecir, que eiste su tercera erivaa. 8

9 Máio Absoluto PC Cre: Creciente Dec: Decreciente CV: Cóncavo CX: Conveo Cre Máio Relativo PC CX PI Dec Mínio Relativo Máio Relativo PI PC PI CV Cre CX PC CV Dec PI PC Mínio Relativo Cre CX PI Dec CV PC Mínio Absoluto () Cre a b Ejeplos. Daas las siguientes unciones obtener (en caso e aplicar): a) puntos críticos, sus áios ínios; b) ubicar one son crecientes one ecrecientes; c) eterinar one son cóncavas, one conveas establecer sus puntos e inleión; ) trazar la gráica en el intervalo ao. en el intervalo 5 ) ( ) Solución. ( ) + 6 igualano a cero para obtener los puntos críticos: ( ) ( ) + 6( ) PC,6 ( ) aplicano el criterio e la seguna erivaa: < por lo tanto es un áio su ora es convea. Eso iplica que en <, la unción es creciente en 5 < es ecreciente., por lo tanto, no eisten puntos e inleión. Calculano las orenaas e los puntos etreos: P,7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5) + 6( 5) P( 5, ) Trazano la gráica: 9

10 8 6 Máio PC (,6) Cóncavo en el intervalo ) ( ) + Solución. ( ) 6 igualano a cero para obtener los puntos críticos: ( 6) ; ( ) ( ) ( ) + + PC (,) ( ) ( ) ( ) (,) PC aplicano el criterio e la seguna erivaa: < ( ) por lo tanto es un áio su ora es convea. ( ) > por lo tanto es un ínio su ora es cóncava. Eso iplica que en < creciente., la unción es creciente, en < es ecreciente en < es, por lo tanto, sí eisten puntos e inleión. igualano a cero la seguna erivaa para obtener los puntos e inleión:

11 ( ) ( ) ( ) + + PI (,) Calculano las orenaas e los puntos etreos: ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) Trazano la gráica: 6 Máio 8 PC (,) Conveo PI (,) Cóncavo -8 PC (,) Mínio - -6 en el intervalo.5. 5 ) ( ) + Solución. ( ) igualano a cero para obtener los puntos críticos: ; ( ) ( ) ( ) + + PC (,) ( ) ( ) ( ) + + PC (,) ( ) ( ) ( ) + + ( ) PC, aplicano el criterio e la seguna erivaa: < ( ) ; ± ( ) por lo tanto es un áio su ora es convea.

12 ( ) 8 > por lo tanto es un ínio su ora es cóncava. 8 > ( ) por lo tanto es un ínio su ora es cóncava. Eso iplica que en.5 < es ecreciente en <. 5 es creciente., la unción es ecreciente, en < < es creciente, en < <, por lo tanto, sí eisten puntos e inleión. igualano a cero la seguna erivaa para obtener los puntos e inleión:.577;.577 ± (.577) (.577) (.577) PI (.577,.) (.577) (.577) (.577) ( ) PI.577,. Calculano las orenaas e los puntos etreos: ( ) ( ) ( ) 565 (.5) (.5) (.5) Trazano la gráica: Cóncavo PC (,) Máio Cóncavo PI Conveo PI PC (-,).5.5 PC (,) Mínio - Mínio - en el intervalo 5 ) ( ) Solución. ( ) + 9 igualano a cero para obtener los puntos críticos:

13 + 9 ; + 9 ( ) ( ) + 6( ) 9( ) PC (, ) ( ) ( ) + 6( ) 9( ) (,8) PC aplicano el criterio e la seguna erivaa: > ( ) por lo tanto es un ínio su ora es cóncava. ( ) > por lo tanto es un áio su ora es convea. Eso iplica que en < + ( )( ), la unción es ecreciente, en < es creciente en < 5 es ecreciente., por lo tanto, si eisten puntos e inleión. igualano a cero la seguna erivaa para obtener los puntos e inleión: PI,6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) Calculano las orenaas e los puntos etreos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5) + 6( 5) 9( 5) Trazano la gráica: 6 8 Cóncavo PI (,6) Máio PC (,8) Conveo - - PC (,) -8 Mínio - 5-6

14 en el intervalo 5) ( ) + Solución. ( ) + igualano a cero para obtener los puntos críticos: + ± Coo no está einio ese valor en los núero reales, no se tienen puntos críticos. Eso signiica que no ha ni áios ni ínios. Calculano las orenaas e los puntos etreos: ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) En la siguiente gráica, se uestra que la unción siepre es creciente: IV. TEOREMA DE ROLLE Sea ( ) i. ( ) es continua en el intervalo cerrao [ a, b] ii. ( ) es erivable en el intervalo abierto ( a, b) iii. ( a) ( b) una unción que cuple con las coniciones siguientes: Por lo tanto eiste, al enos un valor ( a, b), para el cual '( ) Deostración: Eisten tres casos:. Si ( ) en el intervalo ( a, b), entonces '( ) valor en ( a, b)., para too, así puee ser cualquier

15 . Si ( ) está por encia e ( a) ( b) en algún punto el intervalo ( b) a,, entonces en un punto la unción pasa e ser creciente a ecreciente. Por einición, el punto one ocurre eso es un ', en icho intervalo. está por ebajo e ( a) ( b) en algún punto el intervalo ( a, b), entonces en un punto la unción pasa e ser ecreciente a creciente. Por einición, el punto one ocurre eso es un ', en icho intervalo. áio, por lo tanto ( ). Si ( ) ínio, por lo tanto ( ) Puesto que toa unción ebe estar en uno e estos tres casos, el teorea quea eostrao. ( ) (a) ( ) (b) a b El teorea establece que por lo enos eiste un punto e la gráica e ( ), en el intervalo ( b) one se tiene peniente cero (tangente paralela al eje ) si sus etreos son e igual altura, ( ( a) ( b) ) a, en. IV.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL Si ( ) ( a, b), eiste por lo enos un valor ( a, b) es una unción continua en el intervalo cerrao[ a, b] erivable en el intervalo abierto en que se cuple que: Deostración: ' ( ) ( b) ( a) b a La ecuación e la recta que pasa por los puntos P Q es: ( ) ( b) ( a) a ( a) b a construeno la unción ( ) ( ) ( ) ( b) ( a) F ( a) ( a) b a F pasano el térino el seguno iebro al priero: 5

16 a espués b b a F ( a) ( a) b a a a a b a F ( b) ( b) b a b a a F '. F : ( ) ( ) ( b) ( a) F' ' b a F ', esto iplica que: ( ) ( b) ( a) ' b a sustitueno Se aprecia que ( ) tal que ( ) Ahora, erivano ( ) Coo ( ), se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F satisace toas las hipótesis el Teorea e Rolle. Por lo tanto ebe eistir un valor por lo tanto el teorea quea eostrao. Por conición e paraleliso: ( ) ( b) ( a) b a (b) Q ( ) ' ( ) ( ) b a b a (b) (a) (a) P a b El teorea establece que eiste por lo enos un punto ( ) b a P e la curva entre los puntos P Q en, la cual la recta tangente a icha curva es paralela a la secante que pasa por ichos puntos IV.6 APLICACIONES DE LA DERIVADA EN OTRAS DISCIPLINAS Muchos e los aspectos e la via iaria coo los e las ciencias las ingenierías tienen que ver con el cabio e las cosas, en especial, con el cabio e una variable con relación a otras. En el estuio el Cálculo Dierencial es priorial el concepto e variación o cabio continuo. En este sentio, la aplicación el concepto e erivaa es interisciplinaria, puesto que ha una gran cantia e ábitos en que se puee aplicar la razón e cabio instantánea e una variable con respecto a otra. Por ejeplo, la velocia e un autoóvil representa un cabio e su posición con respecto al tiepo. A continuación se citan algunas aplicaciones e la erivaa que constituen valiosas herraientas en iversas isciplinas: 6

17 MECÁNICA La velocia e una partícula es la rapiez con que cabia e posición al transcurrir el tiepo. La velocia eia e una partícula que se ueve e una posición inicial en un instante t a otra posición inal en un instante t viene aa por: v t t t La velocia eia sólo escribe la eia el esplazaiento neto el tiepo transcurrio. No ice naa acerca e cóo ue el oviiento entre : si la traectoria ue en curva o en recta, o si el oviiento ue continuo o si tuvo interrupciones. La velocia eia se reiere sipleente al esplazaiento total al tiepo total transcurrio. Por ejeplo, si un autoóvil se esplaza 5 kilóetros e una ciua a otra en eia hora, la velocia eia para el viaje ue e kilóetros sobre hora, inepenienteente e que el velocíetro arcara ierentes velociaes a lo largo el traecto. Sin ebargo, si una partícula se ueve e tal anera que su velocia eia en gran núero e intervalos ierentes no es constante, se ice que la partícula se ueve con velocia variable. Entonces, para eterinar la velocia e esa partícula en un instante ao se eectúa a partir el concepto e velocia instantánea: Si es el esplazaiento en un pequeño intervalo e tiepo líite a que tiene, cuano t vi li, pero, por einición e erivaa, se tiene que: t t t, la velocia en el tiepo t es el valor t tiene a cero. Esto es, la velocia instantánea es: v i Si la velocia e una partícula cabia al eectuar un oviiento, entonces se ice que el cuerpo tiene una aceleración. La aceleración e una partícula es la rapiez con que cabia su velocia al transcurrir el tiepo. La aceleración eia urante el oviiento e una partícula e un punto inicial con una velocia v en un instante t a otra posición inal con velocia v en un instante t viene aa por: a v v t t v t La aceleración eia sólo escribe la eia e la velocia neta el tiepo transcurrio. No ice naa acerca e cóo ue la variación con el tiepo que le ocurre a la velocia urante el intervalo t. Sólo se conoce el cabio neto e velocia el tiepo total transcurrio. Si no ha cabio en la velocia, la aceleración es cero. Sin ebargo, si una partícula se ueve e tal anera que su aceleración eia en gran núero e intervalos ierentes no es constante, se ice que la partícula se ueve con aceleración variable. Entonces, para eterinar la aceleración e esa partícula en un instante ao se eectúa a partir el concepto e aceleración instantánea: 7

18 Si v es la velocia en un pequeño intervalo e tiepo v líite a que tiene, cuano t v ai li, pero por einición e erivaa, se tiene que: t t Ejeplo. Sea la unción ( t) t t + t + 8 t, la aceleración en el tiepo t es el valor t tiene a cero. Esto es, la aceleración instantánea es: v a i que eine la traectoria, en etros, e una partícula. Si t 5 s t 8 s Deterinar: a) su posición para t, b) su posición para t, c) su velocia eia entre t t t 6, e) la aceleración eia entre t t 7 s., ) la velocia instantánea para s instantánea para. Solución a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( 8) ( 8) ( 8) + ( 8) c) v t 8 5 s ) vi t 6t + ( 6) 6( 6) t 6 s e) v t 6t + ( 5) 6( 5) t 5 s v t 6t + ( 8) 6( 8) t 8 s v a t 8 5 s v ) ai 6t 6 6( 7) t 7 s t, ) la aceleración La cantia e oviiento e una partícula se eine coo el proucto e su asa su velocia: p v Newton epresó su seguna le el oviiento en térinos e la cantia e oviiento así: la rapiez con la cual cabia la cantia e oviiento e un cuerpo es proporcional a la uerza resultante que se ejerce sobre el cuerpo. Mateáticaente esto es: F p v ( v) a Esto signiica que la uerza es igual al proucto e la asa por la aceleración. En el sistea internacional e uniaes, la uerza se ie en Newtons. 8

19 HIDROSTÁTICA La presión P es la agnitu e la uerza noral que se ejerce por unia e área e la supericie e un luio: F P li A A F A La presión se transite a los líites e un luio perpenicularente su unia es el Pascal. La variación e la presión respecto e la altura e un luio en equilibrio estático viene aa por: P ρ g Esto signiica que conore auenta la altura ( positivo), isinue la presión ( P negativo).. La causa e esta variación e presión es el peso por unia e área e sección transversal e las capas el luio que están entre los puntos cua ierencia e presión se ie. La cantia g ρ se llaa peso especíico el luio representa su peso por unia e voluen. TERMODINÁMICA La relación e la cantia e calor teperatura T Q aplicaa a un cuerpo con su corresponiente elevación e, se llaa capacia caloríica C el cuerpo, esto es: C Q li T T Q T La capacia caloríica e un cuerpo por unia e asa, que se conoce coo calor especíico c, es característica el aterial e que está copuesto el cuerpo: c Capacia caloríica asa Q T La epresiones anteriores, reconocen que ni la capacia caloríica e un cuerpo (eia en calor especíico e un aterial (eio en intervalo e teperaturas. ELECTRICIDAD J kg K J K ) ni el ) son constantes, a que epenen e la situación el Too cuerpo con electrones capaces e overse entre los átoos e la re cristalina el iso se llaa conuctor. Una e las causas que origina este oviiento es la aplicación al conuctor e una ierencia e potencial o voltaje. Cuano e un punto a otro e un conuctor se esplaza una o ás cargas eléctricas se ice que circula por él una corriente eléctrica. 9

20 En general, la intensia e corriente instantánea i en un circuito es la cantia e carga que circula por unia e tiepo. Esto es: La corriente por un conuctor se ie en Aperes. ÓPTICA q i Del lujo raiante, sólo una pequeña racción se encuentra en el intervalo e longitues e ona que evoca la sensación visual en el ojo huano. La parte el lujo raiante que aecta al ojo se le conoce coo lujo luinoso. Cuano un lujo luinoso incie sobre una supericie, se ice que está iluinaa. Se eine coo iluinación E al lujo luinoso inciente L por unia e área: La iluinación se epresa en Lues. QUÍMICA Sea una reacción one A B son los reactivos C el proucto. L E A A + B C La concentración e un reactivo A es el núero e oles por litro se enota por [ A ]. La concentración e un reactivo varía urante una reacción epene el tiepo. La velocia instantánea e reacción VIR e concentración el proucto [ C ] está aa por: [ C] VIR La concentración el proucto se increenta en la eia que la reacción avanza, sin ebargo, las concentraciones e los reactivos isinuen urante la reacción, por lo tanto: VIR [ C] [ A] [ B] a que [ A ] [ B] isinuen con la isa rapiez con que crece [ C ]. El rango visual e longitu e ona está en el rango e µ a 7 µ.

21 BIOLOGÍA n enota el coportaiento el creciiento en unción el tiepo. Para un perioo e tiepo, se eine coo la tasa proeio e creciiento TPC, a la relación: Si n es el núero e iniviuos e una población o colonia e seres vivos, la unción ( t) n TPC t La tasa instantánea e creciiento TIC, se obtiene si el perioo t tiene a cero n TIC li t t n Esta epresión ie la rapiez con que crece o isinue una población e seres bajo observación, para un oento especíico. PSICOLOGÍA En la teoría el aprenizaje, es u útil eterinar el reniiento e una persona al paso el tiepo. Si R ( t) representa la unción e reniiento que presenta un iniviuo para aquirir un conociiento o oinar una habilia en un tiepo e capacitación t, entonces la epresión: R ie la razón e ejora el aprenizaje a eia que transcurre el tiepo. Esto es útil para ientiicar a personas con probleas acilita la aplicación el trataiento conucente. ECONOMÍA C la unción e costo que una copañía incurre al proucir uniaes e un cierto artículo o proveer cierto servicio. Sea ( ) El costo arginal se eine coo la razón instantánea e cabio el costo respecto al núero e artículos proucios o e bienes orecios: C C li g El costo arginal representa el costo e proucir un artículo aicional e las noralente proucias. Para ines prácticos, la unción e costo se oela a través e una unción polinoial e la ora: C C ( ) a + a + a + a + one el térino a representa los costos ijos (rentas e los bienes, anteniientos, etc.) los eás térinos representan los costos variables (gasto en los insuos, suelos e los trabajaores, etc.). Si se eriva esta unción, se observa que el costo arginal sólo epene e los costos variables, es ecir, la capacia instalaa no inlue en el costo e increentar la proucción.

22 IV.7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN En probleas e aplicación e erivaas, el objetivo es calcular la razón e cabio e las cantiaes en térinos e otra que puee eirse ás ácilente a través el estableciiento e una ecuación que relacione las os cantiaes involucraas eiante la aplicación e la regla e la caena. Para too in práctico, la etoología sugeria para resolver probleas es la siguiente:. Leer cuiaosaente el problea.. Esbozar un ibujo que releje el contenio el problea.. Deinir las variables asignar la sibología.. Deterinar las cantiaes que tengan razones e variación, epresarlas en ora e erivaas e ientiicar la incógnita. 5. Establecer una ecuación que relacione toas las cantiaes el problea aplicano los aspectos geoétricos. 6. Aplicar la regla e la caena. 7. Sustituir la inoración resolver para la razón buscaa. Ejeplos. ) A un globo esérico se le bobea aire e ora que su voluen auenta a razón e qué rapiez crece el raio el globo cuano su iáetro es e c? c, con s Solución. Interpretano los atos: El voluen e un globo es: Derivano: V r V c, D c r 5c s V π r π r r πr La razón buscaa es: Relacionano las epresiones aplicano la regla e la caena: V V r r Sustitueno: c π r s r r c. r espejano sustitueno r: r c s c.77. π ( 5 c) s V s

23 ) Se eja caer una piera en un lago que crea una ona circular que se esplaza con una velocia e c. Hallar la razón a la cual auenta el área entro el círculo espués e segunos. s Solución. Interpretano los atos: r El área e un circunerencia es: Derivano: A πr r A La razón buscaa es: c, t s s A πr r s t s Relacionano las epresiones aplicano la regla e la caena: A A r r Para t s : c r s 8 s Sustitueno: ( ) c A π (.8 )..6. s s ) En una construcción, un caión vierte arena se ora un ontículo e ora cónica, cua altura es igual a los el raio e la base. Obtener el increento el voluen por unia e tiepo cuano el raio e la base es igual a etros, sabieno que el raio se increenta a razón e centíetros. caa seguno. Solución. Interpretano los atos: h r, r, r c s El voluen e un cono es: V π r h πr r πr V Derivano: π r r V La razón buscaa es: h r r c s h r Relacionano las epresiones aplicano la regla e la caena:

24 V V r r sustitueno: V π ( ) (.) s ) Se vierte gasolina en un tanque cilínrico a razón e qué velocia sube el nivel e gasolina cuano h 8. Si el raio es la cuarta parte e la altura, a s? Solución. Interpretano los atos: V El voluen e un cilinro es: V h π r h π h Derivano: 6 V h π h 6 h La razón buscaa es: πh 8 s, h r, h V 8 s r r h Relacionano las epresiones aplicano la regla e la caena: V V h h h espejano sustitueno: h 6 8 π.59 ( ) s 5) Una escalera e 5 etros e largo está apoaa contra una pare vertical. Si el etreo inerior e la escalera resbala alejánose e la pare a razón e.5 etreo superior cuano este etreo está a etros e la pare?, con qué rapiez resbala hacia abajo su s Solución. Interpretano los atos: z 5 c.5, s La razón buscaa es:, z 5 Aplicano el teorea e Pitágoras: + 5 Derivano con respecto a t:.5 s

25 + : Despejano ( 5) Obtenieno cuano (.5).66 s el signo negativo signiica que la escalera piere altura. 6) Una persona e.8 etros e estatura caina en la noche en línea recta a una velocia e.5 s. Si pasa a junto a un arbotante e 6 etros e altura, obtener la velocia el etreo e la sobra que se genera sobre la calle espués e segunos. Solución. Interpretano los atos:.5, H 6, h. 8, t s s.5 ( s) 7. 5 s La razón buscaa es: Aplicano el concepto e seejanza e triángulos: H h Despejano : h h h H H H h H Derivano con respecto a t: h H Sustitueno: s H h.8.5 s sobra 5

26 IV.8 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Una e las aplicaciones con aor trascenencia el Cálculo Dierencial son aquellos probleas e optiización, cuo objetivo es eterinar los ejores resultaos posibles. A través e las erivaas se pueen resolver e anera sencilla rápia uchos probleas que se presentan tanto en Mateáticas coo en otras isciplinas cientíicas. Para optiizar una unción, se eben encontrar sus valores áios ínios arles su apropiaa interpretación. Por ejeplo se busca iniizar los costos e una proucción eterinaa; encontrar la ora aecuaa para coercializar un proucto, etc. La etoología para resolver probleas e aplicación es la siguiente:. Leer cuiaosaente el problea. Cuano sea conveniente, hacer un ibujo. Ientiicar con letras caa una e las cantiaes que intervienen. Seleccionar la variable que se ebe optiizar epresarla en unción e otras variables 5. Eliinar toas las variables eceptuano una, para poer obtener una unción en una sola variable. 6. Derivar para obtener la cantia optiizaa 7. Sustituir ese valor para encontrar las eás cantiaes buscaas. Ejeplos. ) Encontrar os núeros cua sua sea su proucto sea áio. Sea un núero el otro. ( ) P P P (por lo tanto, es áio) P Los núeros buscaos son. ) Hallar os núeros ierentes cuo proucto sea 6 la sua e uno e ellos con el cuarao el otro sea ínia. Solución S S 5 S 56 (por lo tanto, es ínio) 6

27 S Los núeros buscaos son 8. ) Una persona posee etros e alla esea cercar un terreno rectangular que está sobre un río. Si no necesita cercar al río, cuáles son las iensiones el terreno que posee el área ás grane para así optiizar su alla? Solución. Área Longitu + ( ) A A A (por lo tanto, es áio) A 6 ( 6) 6 e prounia Las iensiones e la alla eben ser: e ancho. ) Se esea construir una caja rectangular e cartón sin tapa. Si a un cartón e 6 c se le hace una corte cuarao en caa esquina se oblan los bores por las líneas punteaas. Cuál ebe se el taaño e los cuaraos recortaos para aiizar el voluen? Solución. La longitu e la base es: 6 La anchura e la base es: La altura e la caja es: Voluen 6 ( )( ) ( 6 + ) 6 + V V + 6 V + 6 resolvieno la ecuación e seguno grao: ( ) ± ( )( 6) ± ( ) ;

28 V > por lo tanto es un ínio. ( 6.66) 6 56 ( ) 8 56 < por lo tanto es un áio. Se toa el valor que es áio, es ecir, los cuaraos recortaos para aiizar el voluen eben eir c. 5) Se esea proucir una lata que contenga un litro e leche. Deterinar las iensiones que iniizan el costo el etal para abricar la lata. Solución. El área total e la lata es igual a la sua e las áreas e la base, la tapa los laos: Área πr + πrh Voluen π r h c h πr sustitueno en el área: A π r + πr r π πr + h r A π r r r r A π + r r A π r πr r r π h. 8 c πr π ( 5.) π + π > r La lata ebe tener: 5.c e raio.8 c e altura (es ecir r ). 8 5.c (por lo tanto, es ínio) 6) Cuano un avión que viene el puerto e Veracruz esplazánose a velocia constante e está a k 95 hr 5 k e la ciua e Méico, otro avión sale e la ciua e Méico rubo a Acapulco con k 6. Si las traectorias son perpeniculares, calcular el tiepo que hr velocia constante e transcurrirá hasta que la istancia que los separe sea ínia. Solución. La posición el avión que viene e Veracruz en el instante inicial es A La posición el avión que va a Acapulco en el instante inicial es B La posición el avión que viene e Veracruz t horas ás tare es A La posición el avión que va a Acapulco t horas ás tare es B A πr A πrh A πr

29 Méico D.F. A B 5-95t 95t B Veracruz 6t D A Acapulco Aplicano el teorea e Pitágoras sabieno que entre los aviones es: D ( 6t) + ( 5 95t) erivano iplícitaente con respecto a t : is tan cia velocia tiepo D D + D D '55,t 75, D '55,t 75, '6,5 t 7, 5 D D D '6,5 t 7,5 D '6,5 t 7,5 7,5 t.88 hrs.8 in '6,5 '6,5 t 7,5 '6,5 ( ) 7,5 7,5 D D D '6,5 t 7,5 D ( 6t) 6 + ( 5 95t)( 95) 7,t 75, '85, t t t ( ) '6,5 7,5 '5, D D, la istancia D coo D siepre es positiva, la unción pasa e ecreciente a creciente, por lo tanto es un ínio. El tiepo que transcurre para que la istancia sea ínia es e aproiaaente in. sustitueno: D , , ,8. ( ( )) ( ( )) 8 D 7,8.8.9 k. IV.9 FORMAS INDETERMINADAS Si en el proceso e calcular el líite e un cociente e unciones el tipo: li a g ( ) ( ) 9

30 se presentan los siguientes casos: si li ( ) li g( ) a a si li ( ) li g( ) a a, se tiene una ora ineterinaa el tipo:, se tiene una ora ineterinaa el tipo: Para resolver el líite se puee eectuar eiante el siguiente proceiiento: REGLA DE L HOPITAL La regla e L Hopital establece que el líite e un cociente e unciones es igual al líite el cociente e sus erivaas: Fora : Sea ( ) ( ) li a g Fora : Sea li a g ( ) ( ), se veriica que, se veriica que li a g li a g ( ) ( ) ( ) ( ) ' li a g' ' li a g' ( ) ( ) ( ) ( ) La regla e L Hopital ebe aplicarse tantas veces coo sea necesario, hasta que se eliine la ineterinación. Ejeplos. Calcular los siguientes líites aplicano la regla e L Hopital: ) + 6 li sustitueno: ( ) ( ) + 6 li li ) li + 7 sustitueno: 5 ( + 6) ( ) ( ) + 8( ) ( ) li ( ) + 5 ( )

31 li li + 7 erivano una vez ás: li li + 7 ) li + sustitueno: ( ) ( + 7) ( + 8) ( ) + 8 li li 5 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) + ( ) li ( ) li li li + ( ) ( ) ( + ) 6 ( ) ( ) + ( ) ( ) ) sen li sustitueno: ( ) sen li sen li ( sen ) ( ) cos li 5) + sen li sen sustitueno: + sen( ) + sen li + ( ) sen li sen ( + sen) ( sen) + cos li cos ( ) ( ) + +

32 6) ln li sustitueno: ( ) ln ln li li ( ln ) ( ) li 7) ln li sustitueno: ( ) ln ( ln ) ln li li li ( ) 8) 8 li 9 sustitueno: li li 9 ( 8) ( 9) li ( ) ( ) ( 7) ) li e el liite puee rescribirse coo: li e sustitueno: e ( ) li e li ( ) ( e ) erivano una vez ás: li e ( ) ( ) ( ) e

33 ( ) li li e li ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ) e e + e e + e ( ) + tan li ) sustitueno: ( ) tan ( tan ) tan sec li li li ( ) erivano una vez ás: tan li li erivano una vez ás: tan li li ( ) ( ) + ( ( )( ) ) 6 5e li ) sustitueno: ( ) 5e ( ) 5e li li ( sec ) ( 5e ) ( ) ( ) ( sec tan ) ( 6) e li 8 sec tan li 6 sec li e 8 erivano una vez ás: 5e li li ( e ) ( 8) 8e li 8 ( ) ( ) 8e 8 ( ) 8 sec ( ) ( ) 6( ) + tan 6 ( sec tan ) en este ejeplo se euestra que no toos los líites eisten a pesar e la aplicación e esta regla.

34 ) li ln sustitueno: ( ) ln. No aplica la regla e L Hopital. IV. DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL Sea una unción ( ). Se eine coo la ierencial e la variable inepeniente a: Se eine coo la ierencial e la variable epeniente a: ' ( ) Esto signiica que la ierencial e la variable es por einición igual al increento que eperienta, sin ebargo, la ierencial e la variable no es igual su increento: Sea una unción ( ). Dao un punto P e abscisa, si se le ota e un increento, se P,, +. Ahora, si se traza la tangente a la curva en el punto ( ) tenrá otro punto Q e abscisa ese + se levanta una paralela al eje e orenaas hasta cortar a la curva a la tangente, se aprecia claraente coo la ierencial el increento no son iguales. () Q(+, + ) S(+, +) P(,) Ejeplo.

35 Obtener la ierencial e la unción ( 8 6) Ejeplo. Sea, coprobar que Obtenieno la ierencial e :.. Obtenieno el increento e : ( ) ( ) ( ) + Coparano abos resultaos, se observa coo Si se traza una igura, lo anterior se coprueba: ( ) Área sobreaa Área sobreaa IV. PROPIEDADES DE LA DIFERENCIAL ) La ierencial e una unción en un punto epene e os variables: el punto elegio el increento que se ha toao. ) Al ser '( ), la ierencial e una unción en un punto es el increento e la orenaa e la tangente al auentar en un punto e abscisa. ) Si se consiera la unción ( ), se tiene que: ( ) '( ). ', pasano al prier iebro: Por lo tanto, se puee establecer que la erivaa es un cociente e ierenciales: ( ) '. 5

36 ) Puesto que ( ) ( + ) ( ) ' li, e la noción e líite se euce que cuano es prácticaente igual a ( + ) ( ) +, es ecir, que cuano ininitaente pequeño, el cociente, es prácticaente igual a ( ) ( ) perite sustituir por ínio. es, puesto que. Esta propiea es u pequeño, con la seguria e que el error coetio será IV. CÁLCULO DE DIFERENCIALES Para eectuar el cálculo e la ierencial general e una unción ( ) órulas e erivación espués ultiplicar el resultao por. Ejeplos. Obtener la ierencial e las siguientes unciones: ) ( + 5) 9 ) ) ( 8 ) 7 ( 8 ) ( ) 8 ( ) 8 7 ) sen5 ( 5 ) cos5 6 cos5 5) 6 e ( 6 ( e ) + e ( ) ) 6) 7cos 9 7( 9) ( ) ln 5 7) ( ) 8 8ln ( ) 5, basta con aplicar las 6

37 8) 6 ( ) 6 6 ( ) ( ) 9) 5 tan ( tan ) ( ) 5 ) csc 5 ( ) 5 ( )( 5csc ) csc cot csc cot ) ( )( ) ( )( 6) ( ) 6 ) ) 9 ( ) 8( 9 ) ( 6 ) ) log5 ( ) 5( 9 ) log 5 ( ) ( ) 9 95 e log5 e 5) ( 8) 7 ln9 Ejeplo. Obtener e la unción Consierano que ; n, se aplica e ora reiteraa: n ; ; 8 5 7

38 Ejeplo. Obtener 5 e la unción sen cos ; 6sen ; 5 sen ; cos 5 8cos ; IV. CÁLCULO APROXIMADO DE INCREMENTOS POR MEDIO DE LA DIFERENCIAL Se sabe que. Si ésta es u pequeña, el valor se aproia a, esto es: gráicaente esto es: () i P(,) 5 5 i Para conocer el grao e esviación que eiste entre el valor e porcentaje e error (% e), ao por: % e este porcentaje se interpreta e acuero al siguiente criterio: Si e < % el error es u aceptable Si % < 5 % Si e 5 % el error es inaceptable. e el error es eianaente aceptable 8 el e, se aplica el concepto e

39 % e entonces epene plenaente el valor e El aproiación., a que cuanto enor sea, ejor será la Ejeplos. Daas las siguientes unciones, obtener valores inicaos:,,, el % e, si se oiica e acuero a los, si pasa e a. )... ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + + Sustitueno,. : ( )(.) + (.) (.) Ahora, ierenciano la unción: ( ) Sustitueno,. : ( ( ) )(.). Calculano el error:.9 (.) % e.% > 5%.9 error que se consiera alto., si pasa e: a) a. 5, b) a., c) a. ) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sustitueno,. 5 : ( )(.5) + (.5) (.5) Ahora, ierenciano la unción: ( 8 ) Sustitueno,. 5 : ( 8 ( ) )(.5) 7 Calculano el error: 8 7 % e.5 % > 5% 8 error que se consiera alto. b) ( ) 9

40 Sustitueno,. : ( )(.) + (.) (.) ( 8 ) Sustitueno,. : ( 8 ( ) )(.). Calculano el error:.. % e.77 % < %. error que se consiera u aceptable. c) ( ),. Sustitueno : ( )(.) + (.) (.) ( 8 ) Sustitueno,. : ( 8 ( ) )(.). Calculano el error:.. % e.8 % < %. error que se consiera u aceptable. IV. APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL Son uchos los capos el conociiento en que una ierencial puee tener aplicación. En general, se utiliza para hacer cálculos aproiaos el coportaiento e unciones en intervalos pequeños. En la isciplina que se quiera, siepre que un enóeno abstracto, ísico o social puea ser oelao por unciones, es posible eectuar aproiaciones nuéricas. Para sipliicar el proceiiento, se establece en seguia la etoología para obtener el cálculo aproiao e valores requerios. ) El ato se toa coo valor inal e la variable inepeniente. ) El valor ás cercano conocio, se toa coo el valor inicial e la variable inepeniente. ) Se encuentra. ) Se oela el ato coo unción e. 5) Se obtiene la ierencial e la unción respecto a. 6) Siepre que, se reeplaza por. 7) Se espeja el valor se sustituen los valores para encontrar el valor buscao. Ejeplos. Aplicano el concepto e ierencial, hacer el cálculo aproiao e los siguientes valores:

41 ) 6 e la raíz ás cercana ( 5 5) coo Se elige el valor al valor peio: 5, se oela el valor coo unción: sustitueno: ( ). 5 Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que Por tanto, se puee concluir que 6 5. ) 66 e la raíz ás cercana ( 6 ) coo Se elige el valor al valor peio: 6, se oela el valor coo unción: sustitueno: ( ) ( ) Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que Por tanto, se puee concluir que 666 ) 5 Se elige el valor coo al valor peio:, se oela el valor coo unción: 5 5 sustitueno: ( ) e la raíz ás cercana ( ) ( )

42 Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que ( ) Por tanto, se puee concluir que ) el cuarao ás cercano ( 9) Se elige el valor, se oela el valor coo unción: coo sustitueno: ( )(.5). Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que Por tanto, se puee concluir que ) el cubo ás cercano ( ) Se elige el valor,... se oela el valor coo unción: sustitueno: ( ) (.) 6 coo Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que Por tanto, se puee concluir que. 6 6) log, 7 Se elige el valor,, el logarito ás cercano ( log, ),7,7, se oela el valor coo unción: log log e, 7 sustitueno: (.9)( 7). al valor peio: al valor peio: coo Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que al valor peio:

43 Por tanto, se puee concluir que log,7. 7) ln. 7 Se elige el valor e.788, el logarito natural ás cercano ( ln e ) se oela el valor coo unción: e ln sustitueno: (.88) coo Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que Por tanto, se puee concluir que ln al valor peio: Para encontrar valores aproiaos e unciones trigonoétricas, conviene recorar la siguiente tabla: sen cos tan cot sec csc No einio No einio No einio No einio 8) cos 6 Se elige coo 6, transorano a raianes: al valor el coseno ás cercano ( cos6.5) ( ra )( ) 6 π ra π.96 ra ra 6 se oela el valor coo unción: cos sen sustitueno:.866(.96). 8 Coo Por tanto, se puee concluir que cos coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que. ( ) ) sen Se elige coo, al valor el seno ás cercano ( sen ) coo al valor peio: al valor peio:

44 transorano a raianes: 6 π ra ( π ra )( ).559 ra ra 6 se oela el valor coo unción: sen cos sustitueno: (.559). 559 Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que Por tanto, se puee concluir que sen. 559 ) tan Se elige coo 5, 5 transorano a raianes: ( ) 559 al valor e la tangente ás cercana ( tan 5 ) ( ra )( ) 6 π ra π ra 6 tan se oela el valor coo unción: sec coo.75 ra sustitueno: (.) (.75). 96 Coo es pequeño en relación al ato buscao, se puee ecir que Por tanto, se puee concluir que tan Ejeplo. ( ) 9659 al valor peio: s 5 t + t, one s representa la istancia recorria eia en Un óvil se ueve según la unción etros t el tiepo eio en segunos. Deterinar el esplazaiento que eperienta el óvil en el tiepo coprenio entre 7 segunos 7 + segunos. t 7, t 7. t t t s ierenciano la unción: s ( t + ) sustitueno: s ( ( 7) + )(.) en realia recorre algo ás e esa istancia, a que: s 5( 7.) ( 7 ) + 7. por lo que se ha coetio un error e. 555centíetros. ( )