CAPITULO II POLARIZACIÓN

Transcripción

1 CAPITULO II POLARIZACIÓN. Polarización d la matria La polarización d la matria s ntind como l dsplazaminto rlativo d cargas a scala atómica cya tnsión dpnd d qé tan rígida sa la nión ntr las cargas,3. En l lctromagntismo clásico, la polarización léctrica s l campo vctorial q prsa la dnsidad d los momntos léctricos dipolars prmannts o indcidos n n matrial diléctrico. El vctor d polarización P r s dfin como l momnto dipolar por nidad d volmn, rcordando q l momnto dipolar total d na distribción d carga vin dado por la cación r r p. q n rn sindo r n l vctor d posición d la carga q n. Por otro lado, l vctor polarización tin la sigint forma: r r P Np. dond N s l númro d moléclas 4. La polarización léctrica P r s no d los trs campos léctricos macroscópicos q dscribn l comportaminto d los matrials, los otros dos son l campo léctrico E r y l campo d dsplazaminto léctrico D r,5,6,7. S sab, por stdios antriors y rconocidos ya n la litratra cintífica, q l orign último dl comportaminto diléctrico stá n la natralza léctrica d la matria. Anq d manra normal s léctricamnt ntra como conjnto, n dtall, la matria, stá constitida por cargas positivas y ngativas n igal númro. A difrncia d los lctrons d condcción, n las sstancias diléctricas stas cargas no son librs d movrs, bajo la inflncia d n campo léctrico d orign trno 3. 6

2 Ps bin, cando sobr n mdio diléctrico s aplica n campo léctrico, ya sa stático o dinámico, s prodc n s intrior na rordnación d carga q microscópicamnt da lgar a la aparición d dipolos léctricos. El fcto d la aparición d dichos dipolos s obsrva macroscópicamnt. La aparición d stos dipolos s pd prodcir mdiant distintos tipos d mcanismos: - Polarización d orintación. Est mcanismo da lgar a la aparición indcida dbido a la orintación, n la dircción dl campo aplicado, d los momntos dipolars q posn las moléclas q componn cirtos mdios sstancias polars. En las sigints figras prsntamos n sqma dipolar d n matrial arbitrario sin y con campo léctrico. Fig.. Esqma d orintación dipolar al azar sin la prsncia d n campo léctrico Fig.. Esqma d orintación dipolar n prsncia d n campo léctrico. Las línas jnto a las flchas indican hacia dond s orintan los dipolos n prsncia dl campo. 7

3 - Polarización d distorsión. La aplicación d campos léctricos sobr mdios matrials pd prodcir la modificación d distribcions d carga gnrando la aparición d dipolos léctricos. Dpndindo d la forma n q son indcidos los dipolos s distingn dos tipos d polarizacions: *Polarización lctrónica. S pd dcir q l dipolo s indcido a nivl atómico dbido a n dsplazaminto rlativo ntr l cntro d cargas d la cortza lctrónica y l núclo atómico Fig..3 Esqma d polarización lctrónica *Polarización iónica. Los dipolos son indcidos a nivl cristalino dbido a n dsplazaminto rlativo ntr ions positivos y ngativos. Fig..4 Aparición d momnto dipolar léctrico por dsplazaminto rlativo d las capas iónicas Dsd l pnto d vista macroscópico, stos mcanismos d polarización pdn aparcr simltánamnt y por nd s stdio pd sr complicado. Por sto, prsnto a continación, nas brvs palabras sobr diléctricos conctándolo con l tma d polarización. 8

4 . Diléctricos Pd ntndrs por diléctrico a toda aqlla matria no condctora q cnta con na constant K llamada constant diléctrica 3 o, n otras palabras, s n matrial q no contin cargas librs 8. La constant K s na cantidad adimnsional dfinida ya sa por la prmitividad ε o por la sscptibilidad χ 8. Cando n capacitor contin ntr ss placas na sbstancia diléctrica y s l aplica n campo léctrico, las placas dl capacitor tndrán na carga mayor q si no hbira dicha sbstancia. La razón d st hcho s dbido a q l matrial diléctrico polarizado rorinta ss dipolos istnts djando n la sprfici d si mismo, tanto sprior como infrior, na dnsidad sprficial d carga q no s compnsada con los dipolos intrnos sino con las cargas istnts, d signo contrario a las dl diléctrico, n las placas dl capacitor por casa dl campo léctrico trno aplicado; d sta manra obtndrmos l qilibrio ntr las cargas. Si la constant diléctrica s igal a ntoncs la carga d las placas y la carga originada por l matrial son igals, pro si s mayor q ntoncs tndrmos na carga mayor q la inicial..3 Vctor d polarización 3,3,3 El vctor d polarización s l q nos prmit dscribir todos los momntos dipolars istnts n l matrial, como ya s mncionó antriormnt. Otra forma matmática d rprsntarlo s la sigint: r r dp P.3 dv Aqí dv db sr lo sficintmnt pqño para sr considrado como infinitsimal pro lo sficintmnt grand como para podr contnr n númro lvado d dipolos q nos prmita hacr sta prsión macroscópica. Ahora bin, dado q l intrés dl trabajo s prsntar na técnica d caractrización léctrica d matrials stimlada térmicamnt, misma q 9

5 tin n comportaminto d cinética d primr ordn, llamada ITC, l vctor d polarización lo abordarmos dsd l concpto d polarización por orintación. Cando st tipo d polarización stá prsnt vamos obsrvar n procso d rlajación, sto s, los dipolos prmannts asociados a moléclas, rlajan a na posición d qilibrio. Esta rlajación s prodc a na dada por n dtrminado timpo d rlajación τ q stará dirctamnt rlacionado con l timpo caractrístico d las rotacions molclars posibls dntro d n matrial. Est timpo corrspond normalmnt a frcncias..4 Polarización n la toría d Bcci y Fischi La dpndncia dl timpo y la tmpratra d la polarización dipolar s dtrminan por la comptncia ntr la acción orintadora dl campo y la acción al azar d los movimintos térmicos. Para tratar st problma, Dby propso q l comportaminto d los dipolos bajo la acción d n campo s l típico comportaminto asintótico d los fnómnos transitorios. Por tanto, la polarización por orintación vndrá dada por la prsión: t t P P p τ.4 dond τ s l timpo d rlajación dipolar y P s la polarización d qilibrio. Esta polarización tin na forma matmática sncilla q obtndrmos a partir dl sigint dsarrollo. La polarización d qilibrio sta dada por la sigint prsión Nµ P V.5 dond N s l númro d dipolos, µ s l momnto dipolar y V s l volmn. Ahora bin, l momnto dipolar promdio s

6 µ µ Cosθ Aqí µ s l momnto dipolar molclar y Cos θ l valor mdio dl ánglo d todos los dipolos istnts n l matrial. Est último valor promdio, l dl ánglo, s l promdio d la distribción d Boltzmann q s prsa d la sigint manra Cosθ π µ ECosθ Cosθ p Snθdθ κt π µ ECosθ p Snθdθ κt Hacindo n cambio d variabl d la forma tndrmos q µ E y Cosθ κt Cosθ p d p d Rsolvamos ahora las intgrals. Primramnt la dl nmrador p d

7 Intgrando por parts hacindo l sigint cambio d variabl: l d dv d dl v p d d Hacindo so d la propidad sigint Snh ; Snh Tndrmos q p Snh Snh d Snh Snh Snh Snh

8 Ahora rsolvamos la dl dnominador p d [ ] Snh Snh Snh Dividindo stos dos rsltados tnmos finalmnt q Cosθ Coth Sstityndo n P sta solción tndrmos q N P Coth V E Ahora bin, sstityndo l valor d y hacindo n dsarrollo d κt µ E Taylor d la fnción Coth tndrmos finalmnt q κ T Q s la prsión sncilla q habíamos prdicho. P µ Nµ E.6 3V κ T 3