UNIDAD DIDÁCTICA LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD (Adaptada a la LOMCE)

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1 UNIDAD DIDÁCTICA LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD (Adaptada a la LOMCE) MATEMÁTICAS I º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas Curso 4-5

2 ÍNDICE. INTRODUCCIÓN.... ELEMENTOS CURRICULARES.... DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS... I) IDEA INTUITIVA DE f() L... a II) f(). ASÍNTOTA VERTICAL... 4 a III) f() L. ASÍNTOTA HORIZONTAL... 5 IV) f(). RAMAS PARABÓLICAS... 6 V) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES... 7 VI) LÍMITES INFINITOS E INDETERMINACIONES... 7 VII) CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS... 9 º) Límites de polinomios... 9 º) Límites de cocientes de polinomios... 9 º) Límites de funciones irracionales... 9 VIII) CONTINUIDAD ACTIVIDADES METODOLOGÍA EVALUACIÓN... 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

3 . INTRODUCCIÓN La presente unidad didáctica, que desarrolla el tema de Límites y Continuidad, encuadrado dentro de la materia Matemáticas I, de º de Bachillerato de Ciencias, adapta todos los elementos del currículo al nuevo marco legal educativo, es decir, la LOMCE, cuyo currículo básico se establece en el RD 5/4, de 6 de diciembre (BOE --5). Una de las principales novedades es la sustitución de los indicadores de evaluación por lo que la mencionada ley llama Estándares de aprendizaje evaluables, y que define como especificaciones de los criterios de evaluación que permiten definir los resultados de aprendizaje, y que concretan lo que el estudiante debe saber, comprender y saber hacer en cada asignatura; deben ser observables, medibles y evaluables y permitir graduar el rendimiento o logro alcanzado. Esto es precisamente lo que se desarrolla en el siguiente apartado. La temporalización aproimada de esta unidad didáctica sería de alrededor de 4 semanas.. ELEMENTOS CURRICULARES BLOQUES de CONTENIDO CRITERIOS de EVALUACIÓN ESTÁNDARES de APRENDIZAJE COMPETENCIAS BÁSICAS que SE TRABAJAN Bloque : Análisis Funciones reales de variable real. Funciones básicas: polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, raíz, trigonométricas y sus inversas, eponenciales, logarítmicas y funciones definidas a trozos. Concepto de límite de una función en un punto y en el infinito. Cálculo de límites. Límites laterales. Indeterminaciones. Continuidad de una función. Estudio de discontinuidades. Representación gráfica de funciones.. Identificar funciones elementales, dadas a través de enunciados, tablas o epresiones algebraicas, que describan una situación real, y analizar, cualitativa y cuantitativamente, sus propiedades, para representarlas gráficamente y etraer información práctica que ayude a interpretar el fenómeno del que se derivan.. Utilizar los conceptos de límite y continuidad de una función aplicándolos en el cálculo de límites y el estudio de la continuidad de una función en un punto o un intervalo. 4. Estudiar y representar gráficamente funciones obteniendo información a partir de sus propiedades y etrayendo información sobre su comportamiento local o global... Reconoce analítica y gráficamente las funciones reales de variable real elementales... Selecciona de manera adecuada y razonada ejes, unidades, dominio y escalas, y reconoce e identifica los errores de interpretación derivados de una mala elección... Interpreta las propiedades globales y locales de las funciones, comprobando los resultados con la ayuda de medios tecnológicos en actividades abstractas y problemas contetualizados..4. Etrae e identifica informaciones derivadas del estudio y análisis de funciones en contetos reales... Comprende el concepto de límite, realiza las operaciones elementales de cálculo de los mismos, y aplica los procesos para resolver indeterminaciones... Determina la continuidad de la función en un punto a partir del estudio de su límite y del valor de la función, para etraer conclusiones en situaciones reales... Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa la función en un entorno de los puntos de discontinuidad. 4.. Representa gráficamente funciones, después de un estudio completo de sus características mediante las herramientas básicas del análisis. b, c b a, b, c, d, e, f g a, b, c, e, g b a, b, c, d, e, f b, c 4.. Utiliza medios tecnológicos adecuados para representar y analizar el comportamiento local y global de las funciones. b, c, d, f Fuente: RD 5/4, de 6 de diciembre, por el que se establece la LOMCE (BOE --5) El RD 5/4, de 6 de diciembre, por el que se establece la LOMCE (BOE --5) recoge las siguientes competencias: a) Comunicación lingüística. b) Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. c) Competencia digital. d) Aprender a aprender. e) Competencias sociales y cívicas. f) Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. g) Conciencia y epresiones culturales. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

4 . DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS I) IDEA INTUITIVA DE f() L (Ver págs. 74 a 77 del libro de ed. Anaya) a Ejemplo : La función f() no está definida en ; investigar, rellenando las siguientes tablas (mediante calculadora), su comportamiento en las proimidades de dicho punto, y eplicar gráficamente la situación: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 f(),,, f() f() f() f() ANALÍTICAMENTE En la práctica, los límites no se suelen calcular de esta forma, sino operando: ( )( ) ( ) Es decir, nótese que la f() del enunciado se comporta como la recta y, salvo en (punto en el cual no está definida); por lo tanto, su representación gráfica es: GRÁFICAMENTE f() Vemos que cuando las se acercan a - (flecha izqda.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a -, mientras que cuando las se acercan a (flecha dcha.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a. Y todo ello es independiente de que, eactamente en, la función no está definida. Conclusiones: º Para que eista límite han de coincidir los límites laterales. f º A efectos de a, no hay que tener en cuenta lo que ocurre eactamente en a, sino en las ( ) proimidades; de hecho, hay casos en los que en un punto no eiste imagen pero sí límite (como en el ejemplo anterior), y esta es precisamente la utilidad del concepto de límite. º De todos modos, normalmente eisten límite e imagen, y ambos coinciden, como en el siguiente ejemplo: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

5 Ejemplo : Dada f(), obtener numéricamente, mediante las siguientes tablas, f() : -,9,99,999 f() f() y,,, f() f() f() Es decir, cuando las se acercan a - (flecha izqda.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 4 -, mientras que cuando las se acercan a (flecha dcha.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 4. En este caso, la función sí está definida precisamente en, y su valor es 4; es decir, en este ejemplo límite e imagen coinciden (lo cual, por cierto, es lo más habitual). Analíticamente, sería muy sencillo: 4 Veamos ahora un ejemplo de función en el que no hay límite: - si < Ejemplo : Dada f() se pide: a) Representarla. b) Hallar f() gráficamente. si y y f() ( ) f() f() En este caso, al acercarnos a - por la rama izquierda, las imágenes tienden eactamente a - (aunque precisamente en no tengan el valor esperado, sino ; de nuevo, téngase en cuenta que a efectos del límite no hay que tener en cuenta lo que hace la función eactamente en el punto sino en sus proimidades ), mientras que al acercarnos a por la rama derecha, las imágenes tienden eactamente a. Por lo tanto, como no coinciden los límites laterales, el límite global no eiste. Podríamos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirían en alguno de los 4 casos del siguiente esquema; va a eistir límite cuando a sólo en los tres primeros supuestos: f(a) f() L f() f(a) L f() f(a) f() a a a a f() f(a) a [Lo más habitual] [ f() L a aunque f(a) ] f() L f(a) a / f() a [ aunque f(a) ] Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

6 f Como resumen: «A efectos gráficos, no va a haber a ( ) si en a las dos ramas no coinciden» Ejercicios final tema:,, Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 96: (función definida a trozos, analíticamente) II) f(). ASÍNTOTA VERTICAL (Ver pág. 85 del libro de ed. Anaya) a Ejemplo 4: Vemos fácilmente que la función f() no está definida en ; investigar, rellenando ( ) las siguientes tablas (inténtese sin calculadora), su comportamiento en las proimidades de dicho punto, y eplicar analítica y gráficamente la situación: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 f(),,, f() f() f() f() ANALÍTICAMENTE En la práctica, se procede así : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gráficamente, la situación es la siguiente: GRÁFICAMENTE X A.V. Es decir, cuando las se acercan a - (flecha izqda; rama izquierda) las imágenes correspondientes tienden a hacerse infinitamente grandes i.e., y cuando las se aproiman a (flecha dcha.; rama derecha) las imágenes tienden también a. Y todo ello, volvemos a insistir, es independiente de que concretamente en la función no está definida. Esta es precisamente la utilidad de la noción de límite: incluso aunque la función no esté definida en un punto, el límite da cuenta del comportamiento de la función en dicho punto. o - se conocen como infinitésimos. 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

7 En el ejemplo anterior, se dice que f() presenta una asíntota vertical en. Observaciones: º Cuando por sustitución directa en un límite obtengamos k/, automáticamente tenemos que plantear límites laterales, para discernir si el denominador es o -, lo cual determinará si el límite finalmente es o - (en función también del signo de k). º Nótese que, a la hora de calcular un límite, en el momento en que sustituyamos en la función, desaparece el símbolo de. Definición de asíntota vertical: f() a A.V. a ( o ) Ejemplo 5: Estudiar analíticamente presenta la función? y eplicar gráficamente la situación. Qué asíntota vertical Ejercicios final tema: 4, 5 Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 85: y (analíticamente); pág. 96: 8 (gráficamente) III) f() L. ASÍNTOTA HORIZONTAL (Ver págs. 8-8 y 86 del libro de ed. Anaya) Ejemplo 6: Estudiar, mediante la siguiente tabla de valores, 5 f() 5 5 En la práctica, como, lógicamente podemos despreciar el efecto de sumar o restar un número finito a, por lo cual podemos proceder de la siguiente forma: 5 A.V. y 5 Es decir, cuando (o -), nos quedaremos con el término de mayor grado del polinomio (lo que se conoce como término dominante), y despreciaremos términos de menor grado. Nótese que esto sólo tiene sentido cuando (o -)! Ésta será una técnica muy utilizada para calcular límites. y A.H. El símbolo se lee equivalente a y se utiliza cuando, a la hora de resolver una indeterminación, y despreciamos una cantidad finita aditiva respecto a un. 5 5 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

8 Gráficamente, la situación está indicada al margen. Es decir, cuando las se hacen cada vez más grandes, las imágenes correspondientes tienden a aproimarse cada vez más a, pero sin llegar a alcanzar jamás el valor. Se dice entonces que f() presenta una asíntota horizontal de ecuación y. (Por cierto que, por las razones eplicadas en el anterior apartado, también presenta una A.V. en 5). Definición de asíntota horizontal: f() L y L ( o ) A.H. Observaciones: º La gráfica puede cortar a la A.H. para valores finitos de º En cambio, la gráfica de una función nunca puede cortar a una A.V. º En el próimo tema veremos un tercer tipo: las asíntotas oblicuas Ejercicios final tema: 6 y 7 Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 8: (analíticamente) IV) f(). RAMAS PARABÓLICAS (Ver págs. 86 a 89 del libro de ed. Anaya) Ejemplo 7: Obtener ( ) mediante la siguiente tabla de valores: f() ( ) Es decir, cuando las se hacen cada vez más grandes, las imágenes correspondientes tienden a hacerse tan grandes como queramos, como queda reflejado en la gráfica adjunta. En la práctica, y como ya hemos comentado en el apartado anterior, cuando (o -) nos quedaremos con el término de mayor grado del polinomio (lo que se conoce como término dominante), y despreciaremos términos de menor grado: y ( ) De nuevo, adviértase que esta forma de proceder sólo tiene sentido cuando (o -), no cuando tiende a un número finito. En el ejemplo anterior, se dice además que f() presenta una rama parabólica. Regla práctica: P() (o ) (o ) (tº de mayor grado) Ejercicio final tema: 8 Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 8: ; pág. 96: 9 (gráficamente); pág. 87: y 4; pág. 88: y ; pág. 89: y 4 (analíticamente) Las asíntotas y las ramas parabólicas se conocen como ramas infinitas, pues dan cuenta del comportamiento de f() cuando 6 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

9 V) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 4 º) «El límite -en caso de eistir- es único» [ ] g() º) f() ± g() f() ± es decir, «El límite de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) de los límites». [ ] g() º) f() g() f() es decir, «El límite del producto es el producto de los límites». f() f() 4º) (siempre y cuando g() ) g() g() 5º) k k es decir, «El límite de una constante es igual a dicha constante» [ ] f() 6º) k f() k es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir (o entrar) en el límite». g() g() 7º) Límite de una potencia: [f()] [ f()] Ejemplo: e e 8º) Límite de una raíz: n n f() f() 9º) Límite de un logaritmo: log f() log f() VI) LÍMITES INFINITOS E INDETERMINACIONES SUMA Y RESTA: k -INDTDO. --- Nótese que no podemos concluir que - sea siempre igual a, puesto que ambos pueden ser, en general, de distinto orden 5 ; por lo tanto, el resultado de - tendrá valores distintos dependiendo de cada ejemplo concreto, y se dice entonces que su resultado es indeterminado, o bien que se trata de una indeterminación. La mayor parte de las indeterminaciones se deshacen operando. Veamos un sencillo ejemplo justificativo: INDTDO. Es decir, en este caso concreto - ha resultado ser igual a, pero veremos muchos más ejemplos en los que puede resultar otro número (incluido, por supuesto ), o, o -, o incluso no eistir. 4 Todas estas propiedades son válidas independientemente de que o a un valor finito. Pueden consultarse las demostraciones de estas propiedades en Internet o en cualquier libro de teto. 5 En el caso de una incógnita, sí es cierto que a-a, o -, etc. es obviamente igual a cero; ahora bien, adviértase que en el caso de - estamos hablando de límites, es decir, ambos no tienen por qué ser eactamente iguales, sino que pueden ser de distinto orden. 7 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

10 PRODUCTO: (-)- - (-) si k > k INDTDO. si k si k < Veamos un ejemplo justificativo de la indeterminación anterior: INDTDO. COCIENTE: si k > operar y/o hacer laterales si k k si k < IND TDO. k hacer laterales k ± ± IN D T D O. Veamos ejemplos prácticos de algunos de los casos anteriores: a) [( ) ] ( ) b) INDTDO c) ( )( - ) INDTDO ( ) - d) / (o bien, ±) e) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 4 Como conclusión, hemos visto una serie de indeterminaciones que podemos resumir en cuatro 6 :, ±, (±), - ± Ejercicio final tema: 9 Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 78: y ; pág. 96: (no indeterminados); pág. 8: ; págs. 96 y ss:, 6 y 7 (indeterminaciones sencillas) 6 El próimo curso veremos las indeterminaciones de tipo eponencial: ±, (±), 8 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

11 VII) CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS º) Límites de polinomios: P() (o ) (tº de mayor (o ) grado) Un ejemplo sería el ejercicio 7 ya realizado. Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 96: 5 y 6 º) Límites de cocientes de polinomios: a) P() «Se resuelve factorizando numerador y denominador (habitualmente por Ruffini, a Q() identidades notables, etraer factor común ) y einando a continuación el factor problemático -a que figura repetido en ambos términos de la fracción» (Ver págs. 8 y 8 del libro de ed. Anaya) Ejemplo: 8 ( )( 4) 4 6 INDTDO ( )( ) Ejercicio final tema: Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 8: 4; págs. 96 y ss.:, 4, 7, y b) P() «Se resuelve recurriendo en numerador y denominador a los términos de mayor Q() grado de cada polinomio 7» (Ver pág. 84 del libro de teto) Ejemplos: Hay tres posibilidades, atendiendo a los grados de ambos polinomios: a) gradp()gradq(): 4 INDTDO 4 b) gradp()>gradq(): c) gradp()<gradq(): INDTDO INDTDO Ejercicios final tema:,, y 4 Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 84: 4 y 5; págs. 96 y ss.: 7 a (resolución de una indeterminación) º) Límites de funciones irracionales: págs. 97 y ss.:, 4, 5 y (cálculo de asíntotas) a) «Se resuelve multiplicando numerador y denominador por el conjugado 8 de la epresión radical, y operando a continuación» (NOTA: Caso de eistir dos epresiones radicales, una en el numerador y otra en el denominador, habría que realizar el procedimiento anterior dos veces, una por cada epresión) 7 Eiste otra forma alternativa, en general más laboriosa, que consiste en dividir numerador y denominador por la mayor potencia de que aparezca en ambos polinomios. 8 El conjugado de un binomio radical consiste en cambiar el signo intermedio de éste; por ejemplo, el conjugado de es 9 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

12 Ejemplo: ( )( ) ( )( ) ( )( ) INDTDO ( ) b) «Se resuelve dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia efectiva 9 de que aparezca en cualquiera de las epresiones» 4 Ejemplo: INDTDO Obsérvese en el ejemplo anterior dos detalles importantes: La entra dividiendo en una raíz cuadrada también dividiendo, pero al cuadrado. El hecho de dividir por la mayor potencia efectiva de nos garantiza que los límites parciales que aparecen al final serán siempre cero. Estos límites, puesto que, se pueden hacer también despreciando términos de menor grado en los polinomios: 4 / INDTDO / c) «Se resuelve: º) Multiplicando y dividiendo por el conjugado de la epresión radical, y operando a continuación; en algunos casos (en concreto, cuando el numerador resultante dependa de ), como la indeterminación no desaparece sino que pasa a ser /, además hay que recurrir al siguiente paso: º) Dividiendo a continuación numerador y denominador por la mayor potencia efectiva de» Ejemplos: a) b) ( ) ( )( ) INDTDO ( ) ( )( ) INDTDO INDTDO 9 El adjetivo «efectiva» alude al hecho de que hay que tener en cuenta que, por ejemplo, en la epresión, si, la no se comporta como sino, de forma efectiva, como Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

13 Nótese que en el primer ejemplo ha bastado con aplicar el primer paso del procedimiento, mientras que en el segundo ha habido que aplicar los dos pasos. CONSEJO: En los casos en que - y sale /, se recomienda hacer el cambio de variable z-, que hace que z, como puede verse en el siguiente ejemplo: cambio de variable -z z z z z z z z INDTDO z z z z z z z z z z z z Ejercicios final tema: 5, 6 Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 99: 47 y 49 VIII) CONTINUIDAD (Ver pág. 76 del libro de ed. Anaya) Intuitivamente, una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Más formalmente, se define función continua en un punto de la siguiente forma: f() continua en a f() f(a) a Es decir: Una función es continua en un punto si el límite coincide con la imagen en dicho punto. A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar: ) que eista imagen ) que eista límite ) y que ambos coincidan (En caso de no ser continua en un punto, se dice que es discontinua). Por etensión, diremos que una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de dicho intervalo. Vamos a recordar de nuevo el esquema-resumen visto en el apartado I del tema, e investigar en cada uno de los cuatro casos si la función es continua en a, para lo cual aplicaremos los tres requisitos de la continuidad arriba mencionados; observamos que la función es continua en a sólo en el primer supuesto: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

14 f(a) f() L f() a a f() f(a) a f() CONTINUA en a f(a) f() L a f() DISCONTINUA en a f(a) L f() f(a) f() f() L f(a) a a f() DISCONTINUA en a / f() f() DISCONTINUA en a a a Nótese que en el último caso la función es discontinua, independientemente de que eista o no imagen. Este hecho conduce a los siguientes 5 tipos de discontinuidades: f ) Evitable: «la función no es continua en a, pero a finito»; se llama evitable porque podemos redefinir f(a) f() a supuestos º y º anteriores. ( ) de modo que la función pasará a ser continua. A este tipo responden los ) De ª especie: Eisten tres tipos:.) De salto finito: «Eisten ambos límites laterales y son finitos, pero no coinciden». El salto viene dado por la diferencia entre los límites. A este caso pertenece el 4º gráfico..) De salto infinito: «Un límite lateral es finito y el otro infinito». Se presenta entonces una asíntota vertical, pero por un lado. Gráficamente, la situación es la siguiente: f() a A.V. a f() y f() f(a) - a a Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

15 .) Asintótica: «Los dos límites laterales son infinitos». Se da entonces una asíntota vertical, por ambos lados. Gráficamente, la situación puede ser la siguiente: a f() a A.V. o bien: a f() a A.V. - f() y f() a a - f() f() a a ) Esencial, o de ª especie: «Uno, o los dos límites laterales, no eiste» 4 Ejemplo 8: Dada f(), estudiar su continuidad en Aplicando los tres requisitos de la continuidad, vemos que falla el º, ya que f() continua R-{} f() f() es discontinua en (Nótese que ello es independiente de que eista límite, como de hecho ocurre: / 4 ( )( ) ( ) 4 IN D T D O. Gráficamente, la situación es la siguiente: 4 f() es decir, la función 4 f() prácticamente se comporta como la recta (salvo en ) Por lo tanto, se trata de discontinuidad evitable, es decir, bastaría redefinir la función de la siguiente forma: 4 f() 4 si si para que pasara a ser continua en Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

16 Ejercicio : Representar las siguientes funciones, y estudiar su continuidad. Caso de presentar discontinuidades, clasificarlas razonadamente: a) f() (Soluc: f() continua R-{} Discontinuidad de salto finito en ) b) f() ln si si > (Soluc: f() continua R-{} Discontinuidad de salto en ) c) f() 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

17 Continuidad lateral: Se dice que una función es continua por la derecha bajo la siguiente condición: f() continua en a f() f(a) a Análogamente se define la continuidad por la izquierda. Observaciones: º Obviamente, - f() continua en a y a f() continua en a º La continuidad lateral se suele aplicar a funciones definidas por ramas (ver, por ejemplo, el ejercicio 9) Ejercicios final tema: 7 y ss. Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 75: a, b, c; a, b; págs. 95:, y 4 (funciones definidas por epresión analítica) pág. 75: d; c, d; págs. 95 y ss.: 5, 6, 7, 4, 5 y 9 (funciones a trozos) pág. 95: (funciones a trozos, gráficamente) pág. 79: ; pág. 98: 8 y 4 (hallar k para que una función a trozos sea continua) 5 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

18 ln 4 f 5 ALFONSO GONZÁLEZ 4. ACTIVIDADES. Calcular los siguientes límites no indeterminados : a) b) c) 4 f) e log g), h) 4 4 d) i) 4 e) j) 4. Dada la gráfica de la figura, indicar si eiste f() en los siguientes casos: a) Cuando b) Cuando c) Cuando 4 d) Cuando 5. Representar la función si < 4 si < si Obtener a continuación analíticamente f() cuando,, 5,, -, y comprobar en la gráfica. 4. Dados los siguientes límites, se pide: i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la eistencia de A.V., indicar su ecuación. iii) Eplicar gráficamente el comportamiento a ambos lados de la hipotética asíntota: a) 4 b) c) d) 4 e) ( )( 4) ( )( 5) f) g) ( )( ) k) 6 8 l) h) 5 6 m) i) (Soluc: a); b)-; c)±; d)±; e)±; f) ; g)±; h); i)±; j)±; k)±; l) ; m)±) b j) 5. a) Si la gráfica de una función f() es la de la figura, averiguar f() cuando,,,, b) Qué rectas son asíntotas? Es decir, se pueden hacer por sustitución directa, ya que límite e imagen coinciden. 6 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

19 7 5 7 ALFONSO GONZÁLEZ 6. Dados los siguientes límites, se pide: i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la eistencia de A.H., indicar su ecuación. iii) Eplicar gráficamente el comportamiento de la función en las proimidades de la hipotética asíntota: a) y - e) y 5-5 b) y - c) y - d) y - 7. f() g() a) Dadas las funciones cuyas gráficas aparecen en las figuras, calcular sus límites cuando,,, 4,, - h() b) Cuáles son las asíntotas en cada gráfica? 5 8. Calcular los siguientes límites de funciones polinómicas: a) b) e) f) 5 i) j) c) g) k) (Soluc: a) 7; b) ; c) ; d) ; e) ; f) -; g) ; h) -; i) ; j) ; k) ) 7 d) h) 7 9. Calcular los siguientes límites por sustitución directa y, en algunos casos, operando: ) ) ) 5 4) 5 5) 7 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

20 ALFONSO GONZÁLEZ 6) ) 7) 9 ) ) 9) ) ) 4),5,5 5) e 6) ( e log ) 7) ( ) 8) e 9) e ) ln ln ) ) ) ln 4) log 5) log 6) log 7) e 8) ln 9) log ) ) ln ) log sen sen ) 4) 5) ( ) 6) ( ) 7) 8) 9) 4) 4 4) (Soluc: ) ; ) ; ) 4; 4) 5; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ) 5; ) ; ) ; ) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ) ; ) -; ) ; ) ; 4) ; 5) -; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ) -; ) -; ) -; ) ; 4) ; 5) -; 6) ; 7) ; 8) -; 9) ; 4) ; 4) ) Resolución de indeterminaciones:. Calcular los siguientes límites de funciones racionales (nótese que en el º miembro de la igualdad se indica la solución): 8 a) 4 b) 4 7 c) 4 d) e) f) ± 5 9 a a g) a a a 4 h) ± i) ± / j) k) b b b b 5b b b l) m) n) o) p) q) r) s) ± 5 6 a ± a a ± NOTA: Cuando señalamos que el resultado de un límite es ±, no estamos indicando que haya dos límites (recordar que el límite, caso de eistir, es único), sino que, a ambos lados de un valor finito, la función diverge a o - 8 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

21 . Calcular los siguientes límites infinitos (en algunos casos figura la solución): a) 8 4 b) 4 c) 4 d) e) a a f) a a g) h) i) j) a a k) b b b 5b b l) 5-6 m) 5 n) o) p) q) r) s) t) u) v) En una empresa se ha comprobado que el número de unidades diarias producidas depende de los días trabajados, de acuerdo con la siguiente función: t N(t) t 4 (donde t viene epresado en días) a) Cuántas unidades se producen el primer día? Y el décimo? b) Representar la función N(t). Qué ocurre si el período de producción se hace muy grande?. Siendo f(), g() y h(), hallar: a) g() ± b) h() e) [ f() g() ] ± f) g() c) [ f() g() ] g) [ ] d) f() g() h() 4. Hallar una función f() que cumpla a la vez f() y f() 4 5. Calcular los siguientes límites de funciones irracionales (en el º miembro de la igualdad se indica la solución): a) b) c) ( ) d) 4 9 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

22 e) i) m) f) ( ) g) j) ( )( ) k) n) ( ) o) h) ( ) l) ( ) p) q) u) y) 6 5 r) v) ( ) / z) ( ) s) / α) 5 t) w) ) / β) 6. Calcular los siguientes límites, aplicando el procedimiento apropiado en cada caso (en el º miembro de la igualdad se indica la solución): a) d) g) j) ( ) a b b) e) ( ) h) a k) m) ( ) p) 4 n) 4 4 c) f) i) l) o) 4 5 Continuidad RECORDAR: f() continua en a f() f(a) a Es decir: Una función es continua en un punto si el límite coincide con la imagen en dicho punto. A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar: ) que eista imagen ) que eista límite ) y que coincidan 7. Indicar en qué puntos son discontinuas las funciones cuyas gráficas se muestran en los ejercicios gráficos, 5 y 7, razonando el porqué e indicando el tipo de discontinuidad. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

23 8. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, indicando el tipo de discontinuidad. En el caso de discontinuidad evitable, redefinir la función para que pase a ser continua. En los dos primeros apartados, y con la información obtenida, esbozar además la gráfica: a) f() b) f() 5 6 c) f() d) f() sen e) f() f) f() 6 g) i) f()log () j) f()ln( -4) k) f()ln( 4) f() 4 h) f()tg (Sol: a) discont. asintótica en ; b) discont. asintótica en y ; c) continua R; d) discont. asintótica en n π rad donde n Z; e) continua en [,); f) continua en (-,-] [, ); g) continua R; h) discont. asintótica en (n) π/; i) continua en (-,) ; j) continua en (-,-)U(, ); k) continua R) 9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones (caso de presentar discontinuidades, clasificarlas) y representarlas gráficamente: a) si f() si < b) si < f() si si > c) si (,) f() si (, ) d) si f() 6 si > e) f() si (,) si [, ) si < f) f() si < 4 si 4 si g) f() si < si > h) si (,) f() Ln si [, ) i) f() e si si > j) e si < < si 5 f() si (Soluc: a) discont de salto finito en ; b) discont evitable en ; c) discont evitable en ; d) continua R; e) discont asintótica en y de salto finito en ; f) discont. de salto finito en y 4; g) discontinua de salto finito en ; h) continua R; i) discont. de salto finito en ; j) discont. de salto finito en ; discontinuidad asintótica en 5). TEORÍA: a) Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función no está definida? Puede ser la función continua en ese punto? Razonar la respuesta con ejemplos. b) Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, poner algún ejemplo. c) El denominador de una determinada función se anula en a Presenta necesariamente una asíntota vertical en a? Poner ejemplos. d) Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Por qué? e) Si f() 5, podemos afirmar que f() es continua en? Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

24 f ALFONSO GONZÁLEZ. Probar que la función f() 7 8 no es continua en e indicar qué tipo de discontinuidad presenta en dicho punto. (Soluc: no es continua pues / f(); discontinuidad evitable). Considerar la siguiente función: f() a) Es discontinua en algún punto? Por qué? b) En la función no está definida. Ampliar esta función de modo que sea continua R. (Soluc: discontinua en pues / f(); basta hacer f()) a. La función f() no está definida en. Hallar el valor de a para que sea posible definir el valor de f(), resultando así una función continua. (Soluc: a-; f()6) 4. Hallar el valor de k para que la función sea continua R. (Soluc: k6) 9 si f() k si 5. Estudiar la continuidad de la siguiente función: (Soluc: discontinua asintótica en ) f si / 5 / si / 5 6. Calcular cuánto debe valer a para que la siguiente función sea continua R: (Soluc: a) f si a si > 7. Se considera la función Ln si < < a b si < Determinar los valores de a y b para que f() sea continua y f() (Soluc: a y b-) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

25 f ALFONSO GONZÁLEZ 8. Dada la función si < si a b si < hallar a y b para que la función sea continua y dibujar la gráfica de la función. (Soluc: a y b-) 9. Dada la función si f() m n si < si > hallar los valores de m y n para que f() sea continua (puede ser útil dibujar la gráfica). (Soluc: m, n). Ídem: (Soluc: a-/, b-) si f() a si b si. Ídem: (Soluc: a-, b) < ln( b) si a si f() 4 si <. Ídem: (Soluc: a-5, b54, c) a si < f() c si < 5 si 5 b si < Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

26 5. METODOLOGÍA El alumno tendrá, normalmente, esta unidad didáctica en papel también puede, naturalmente, disponer de ella en el aula en formato digital, utilizando para ello los recursos informáticos del centro, y seguirá puntualmente las eplicaciones teóricas del profesor que aparecen en el apartado. Desarrollo de los contenidos. Puede observarse en dicho apartado que hay tablas, gráficos, ejercicios, etc. en blanco que el alumno deberá ir completando a medida que se desarrollen las eplicaciones. Hay también referencias al correspondiente libro de teto de editorial Anaya al final de cada apartado, de forma que los alumnos más aventajados, una vez finalicen la relación de ejercicios que remite al apartado 4. Actividades de esta unidad didáctica, pueden realizar las actividades indicadas del mencionado teto. Ello, sin perjuicio, naturalmente, de poder utilizar además dicho teto como refuerzo para la teoría (por ejemplo, para completar algunas demostraciones). Como ya se indicó en la introducción, la temporalización aproimada de esta unidad didáctica sería de alrededor de 4 semanas. 6. EVALUACIÓN Nos remitimos a continuación a los siguientes enlaces donde pueden descargarse eámenes de los contenidos desarrollados en la presente unidad didáctica, realizados por el autor de ésta: Puede observarse que dichos eámenes están completamente resueltos, para favorecer así la autoevaluación del alumno. además, en la web del autor: se dispone de abundante material didáctico etra. 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital