Métodos Numéricos con Calc y OpenOffice.org Basic (OOoBasic).

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1 Sección Tecnologís de Internet Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol. 9, N o. 009 Métodos Numéricos con Clc y OpenOffice.org Bsic (OOoBsic). Wlter Mor F. wmor@yhoo.com.mx Escuel de Mtemátic Instituto Tecnológico de Cost Ric Plbrs clves: Métodos numéricos, ceros de funciones, métodos itertivos, softwre libre, OpenOffice.org, Clc, OpenOffice.org Bsic. Introducción OpenOffice.org 3.x ( es un suite ofimátic (procesdor de textos, hoj de cálculo, presentciones, etc.) de softwre libre. Esto signific que usted puede usr el softwre como quier. Puede copirlo, reglrlo y distribuirlo quien quier sin pgr costoss licencis. En todo cso, puede ser que usr OpenOffice.org, demás de ser un suite muy eficiente, teng que ver con un cuestión de responsbilidd socil y un sunto ético: usr sofwre legl y sin costo. OpenOffice.org está disponible pr muchs pltforms como Windows y sistems de tipo Unix como Linux y Mc OS X. OpenOffice está pensdo pr ser ltmente comptible con Microsoft Office, de hecho OpenOffice es cpz de utilizr l myorí de ls plntills de Microsoft Office.

2 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., 009. Figur 1.1 Inicio de OpenOffice.org En lo que nos concierne, vmos usr OOoBsic y Clc. Clc es un hoj de cálculo similr Excel y suponemos que el lector conoce progrmción básic en VBA pr Excel. L progrmción de Mcros l hremos con OpenOffice.org Bsic (OOoBsic), muy similr VBA. No se puede decir, en relidd, si es más sencillo usr VBA u OOoBsic; mbos hcen ls coss sencills, pero su mner. Figur 1. OOo Clc VBA y OOoBsic son lengujes de progrmción de l fmili Bsic. Como tl, comprten los mismos constructores linguísticos básicos, por ejemplo, declrción de vribles, ciclos (For, Do, While, Do While, Do Until,...), condicionles, operdores lógicos, funciones, etc. L diferenci está en el API, es decir, l mner de ccesr, crer, modificr, gurdr, etc. los documentos de OpenOffice.org. Por tnto, si lguien y está fmilirizdo con lgún lenguje de de l fmili Bsic (por ejemplo, VBA), se setirá cómodo con OOoBsic. Este es un mteril introductorio: El código de los ejemplos solo tiene fines didácticos, por lo tnto no se hce mnejo de excepciones, pr no gregr complejidd inecesri en este nivel.

3 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Leer e imprimir en un celd con OOoBsic. Como nos sugiere el libro de l figur (1.), lo primero que tenemos que prender es cómo leer dtos de ls celds y como imprimir los resultdos en un o vris celds. Con este propósito, vmos crer un subrutin de prueb, llmd LeerImprimir(), pr leer un vlor x 0 en l celd A4 e imprimir f(x 0 ) en l celd A5. L función f será f(x) = x 3 + x + 1. Tnto l función como l subrutin l vmos incluir en un módulo llmdo Module1 y l cción de leer en l celd, clculr e imprimir l vmos ejecutr desde un botón Clculr, tl y como se ve en l figur (1.3). Figur 1.3 Leer e imprimir en un celd Pr Relizr todo esto procedemos como sigue: 1. Abrimos un libro OOo Clc y los gurdmos digmos, como LeerImprimir. Así, tendremos un rchivo LeerImprimir.odf (el cul puede brir en windows, Linux o Mc!).. Si es necesrio, cmbimos el idiom en Herrmient>Opciones>Configurción de idiom>idioms. 3. Editmos: Ponemos etiquets x, f(x) y el vlor -0,5 en l celd A4 4. Ahor vmos insertr un módulo llmdo Module1 (su nombre defult) pr editr l subrutin LeerImprimir() y l función f. Pr esto vmos

4 4 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., 009. Herrmients>Mcros>Orgnizr mcros>openoffice.org Bsic y en l ventn Mcros básics (de mner direct: Alt-F11). Seleccionmos nuest hoj LeerImprimir y hcemos clic en Nuevo, hcemos clic en Aceptr. Esto nos llevrá l editor OOoBsic. Figur 1.4 Insertr Módulo 5. L función l editmos igul que en VBA:

5 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Figur 1.5 Edición de f(x) = x 3 + x Pr implementr l subrutin LeerImprimir() debemos declrr dos vribles: Hoj y Celd pr hcer referenci l hoj ctul y l celd ctul. Aquí debemos recurrir l API de OOoBsic pr entender l mner de comunicnos on Clc. Podemos usr los libros de l bibliogrfí o tmbién usr recursos de internet como Por ejemplo, pr informrse sobre ls propieddes de cell vmos Aquí encontrmos Figur 1.6 API de OOoBsic

6 6 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., 009. En Clc OOoBsic, ls celds se reconocen por su column y su fil, en este orden. Solo hy que tener en cuent que l celd A1 corresponde (0, 0). Primero hcemos que l vrible Hoj punte l hoj de trbjo, en nuestro cso ponemos: Dim Hoj Hoj = thiscomponent.sheets(0) Ahor debemos ccesr l celd A4 ; esto se puede hcer usndo el nombre de l celd Celd = Hoj.getCellRngeByNme("A4") o tmbién usndo su posición Celd A4 = column 0, fil 3 Celd = Hoj.getCellByPosition(0, 3) Ahor y podemos poner el código de l subrutin, LeerImprimir(). Recordemos que l llmr est subrutin, se lee x en l celd A4 y se imprime f(x) en l celd A5 : Option Explicit sub LeerImprimir() Dim Hoj, Celd Dim x Hoj = thiscomponent.sheets(0) Celd = Hoj.getCellRngeByNme("A4") Celd A4 x = Celd.Vlue Leer Celd = Hoj.getCellByPosition(1, 3) Celd B4 Celd.Vlue = f(x) Escribir end sub

7 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Figur 1.7 Código del Módulo 1 7. Ahor sigue insertr el botón que dispr el cálculo. Debemos tener visible l brr Cmpos de control de formulrio. Si no est visible, se hbilit con Ver>Brr de herrmients>cmpos de control de formulrio. Pr crer un botón, seleccionmos el botón en l brr y rrstrmos el mouse en un celd. Pr poner l etiquet Clculr brimos l ventn de propieddes del botón (con clic derecho sobre el botón, brimos el menú Cmpo de control ) y editmos el cmpo Título. Ver figur (1.8) Figur 1.8 Agregr un botón

8 8 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., 009. Ahor, seleccionmos l cejill Acontecimientos y signmos un cción: Al inicir (cundo el usurio hce clic en el botón). Elegimos l mcro, es decir, l función o subrutin que se v ejecutr cundo el usurio hce clic en el botón. En nuestro cso, seleccionmos l subrutin LeerImprimir(). Figur 1.9 Asignr l subrutin que se ejecut cundo se hce clic en el botón. Luego de hcer clic en Aceptr y cerrr l ventn Propieddes: Botón, debemos hbilitr el botón (que hst hor h estdo en modo diseño ), Pr hcer esto, hcemos clic en (en l brr Cmpos de control de formulrio ). Ahor y podemos hcer clic en el botón pr relizr el cálculo e imprimir. Ahor que y sbemos leer y escribir en un celd y ejecutr un subrutin des un botón, podemos plicr este conocimiento pr implementr dos lgoritmos sencillos: El método de Bisección pr proximr un cero de un función y el método del trpecio pr proximr un integrl definid.

9 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Método de Bisección Este es un método sencillo y robusto pr resolver ecuciones en un vrible. Se bs en el Teorem de los Vlores Intermedios, el cul estblece que tod función continu f en un intervlo cerrdo [, b] ( f C[, b] ) tom todos los vlores que se hlln entre f() y f(b). Esto es, que todo vlor entre f() y f(b) es l imgen de l menos un vlor en el intervlo [, b]. En cso de que f() y f(b) tengn signos opuestos (es decir, f() f(b) < 0 ), el vlor cero serí un vlor intermedio entre f() y f(b), por lo que con certez existe un x en ], b[ que cumple f(x ) = 0. De est form, se segur l existenci de l menos un solución de l ecución f(x) = 0. El método consiste en lo siguiente: Supongmos que en el intervlo [, b] hy un cero de f. Clculmos el punto medio m = ( + b)/ del intervlo [, b]. A continución clculmos f(m). En cso de que ocurr el milgro de que f(m) = 0 y hemos encontrdo l solución buscd. En cso de que no lo se, verificmos si f(m) tiene signo opuesto l de f(). Se redefine el intervlo [, b] como [, m] o [m, b] según se hy determindo en cuál de estos intervlos ocurre un cmbio de signo. A este nuevo intervlo se le plic el mismo procedimiento y sí, sucesivmente, iremos encerrndo l solución en un intervlo cd vez más pequeño, hst lcnzr l precisión desed. Figur 1.10 m 1 x* x* m x* m b 3 b b 1 1 Método de Bisección El método construye tres sucesiones n, b n y m n, Inicio: 0 = y b 0 = b y m 1 = ( 0 + b 0 )/

10 10 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., 009. Pr k = 0, 1,..., m k+1 = b k + k y [m k+1, b k ] si f( k ) f(m k+1 ) > 0 [ k+1, b k+1 ] = [ k, m k+1 ] si f( k ) f(m k+1 ) < 0 Estimción del error: El error excto en l iterción k + 1 es m k+1 x. Geométricmente se puede ver que esto es menos que l mitd del intervlo [ k, b k ], es decir k m - x* k+1 m x* k+1 b k m k+1 x b k k = b k+1 Figur 1.11 ( b - )/ k+1 Estimción del error en bisección Algoritmo e Implementción en OOoBsic En l implementción del método de bisección, en vez de usr f() f(m) < 0 ponemos sgn( f()) <> sgn( f(m)), de est mner nos gnmos un multiplicción (que es clrmente innecesri). En OOoBsic, sgn(0) = 0, sí que no hy problem si se present este cso. En bisección es mejor clculr m como m = + (b )/. Con esto somos consistentes con l estrtegi generl (en nálisis numérico) de clculr un cntidd gregndo un corrección l proximción nterior. Además gnmos lgo en precisión. El criterio de prd es: dd un tolernci δ > 0 detenerse en m k si b k k = b k+1 δ

11 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Algoritmo 1.1: Algoritmo de Bisección. Entrd:, b, δ y f continu en [,b] con f() f(b) < 0. Resultdo: Un proximción m de un cero x de f en ], b[. k = 0; repet m = + 0.5(b ); dx = (b )/; if Sgn( f()) <> Sgn( f(m)) then b = m; else = m k = k + 1 until dx δ or f(m) = 0 ; return m Implementción OOoBsic. L implementción en OOoBsic que hcemos quí más bien es con fines didácticos: En vez de reportr l últim proximción m k, vmos imprimir cutro columns con los vlores de m k, k 1, b k 1 y l estimción del error (b )/ k. Con este fin, implementmos un subrutin SubBiseccion() que hce todo el trbjo: Lee, b y delt e imprime los resultdos intermedios. El libro que vmos usr se puede ver en l figur (1.1). Figur 1.1 Cuderno SubBisección.

12 1 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., 009. Est vez vmos simplificr un poco más el código, por ejemplo, pr leer el vlor de usmos el código Dim Hoj Dim Hoj = thiscomponent.sheets(0) = Hoj.getCellRngeByNme("A6").Vlue El bucle Repet... Until corresponde Do... Loop Until. Como ntes, insertmos el código en un módulo Module 1 u otro nombre. El código que debemos entrr en el módulo serí: function f(x) f= x^3+x+1 end function Sub subbiseccion() Dim Hoj, Celd Dim,b,delt,k,dx,m Hoj = thiscomponent.sheets(0) Leemos en A6 = Hoj.getCellRngeByNme("A6").Vlue b = Hoj.getCellRngeByNme("B6").Vlue delt = Hoj.getCellRngeByNme("C6").Vlue k=0 Do m=+0.5*(b-) dx=(b-)/ If Sgn(f())<>Sgn(f(m)) Then b=m Else =m End If Celd = Hoj.getCellByPosition(3,5+k) D6, D7,... Celd.Vlue= Celd = Hoj.getCellByPosition(4,5+k) E6, E7,... Celd.Vlue= b Celd = Hoj.getCellByPosition(5,5+k) F6, F7,...

13 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Celd.Vlue= m Celd = Hoj.getCellByPosition(6,5+k) G6, G7,... Celd.Vlue= dx k=k+1 Loop Until dx<=delt or f(m)=0 End Sub Luego le signmos est subrutin l botón como hicimos en l sección nterior. 1.3 Integrción: Método del Trpecio En l regl del trpecio, pr proximr b f(x) dx dividimos el intervlo [, b] en n subintervlos: Si h = (b )/n y = + i h, en cd subitervlo [, +1 ], cmbimos l función f por el polinomio interpolnte de grdo 1 (figur 1.13). +1 Figur 1.13 Regl del trpecio b f(x) dx = n 1 f(x) dx i=0 Pr proximr cd integrl f(x) dx necesitmos el polinomio que interpol f en (, f( )), (+1, f(+1 )) :

14 14 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., 009. P(x) = f( ) (x +1) h con E = (x )(x +1 ) f (ξ(x)) + f(+1 ) (x ) h + E, (si f es continu en [, +1 ] ). f(x) dx = f( ) (x +1) h = h [ f() + f(+1 )] + + f(+1 ) (x ) + E dx h (x )(x +1 ) f (ξ(x)) dx Pr clculr E dx necesitmos recordr el teorem del vlor medio pr integrles: Si en [, +1 ] G es continu y ϕ integrble y de un mismo signo, entonces existe η i ], +1 [ tl que G(x)ϕ(x) dx = G(η i ) ϕ(x) dx. Ahor, poniendo G(x) = f (ξ(x))/ y ϕ(x) = (x )(x +1 ), obtenemos (x )(x +1 ) f (ξ x ) dx = h3 1 f (η i ), η i ], +1 [. Observe que (x )(x +1 ) tiene el mismo signo sobre [, +1 ] (siempre es negtiv) y que Finlmente: (x )(x +1 ) dx = h 3 /6. f(x) dx = h [ f() + f(+1 )] h3 1 f (η i ), ε i [, +1 ]. (1.1) Si ponemos, pr brevir los cálculos, G i (x) = P i (x)+(x )(x +1 ) f (ξ i (x))/, con P i (x) el polinomio (linel) interpolnte en [, +1 ], entonces

15 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., b x1 x xn f(x) dx = G 0 (x) dx + G 1 (x) dx G n 1 (x) dx x 0 x 1 x ( ) n 1 = h n 1 f(x 0 ) + f(x n ) + f( ) h3 n 1 1 f (η k ) i=1 k=0 donde h = b n, η i [, +1 ] y = + i h, i = 0, 1,..., n. Podemos simplificr l fórmul observndo que h3 n 1 1 f (η k ) = h 1 k=0 (b ) n 1 k=0 f (η k ) n L expresión en préntesis cudrdos es un promedio de los vlores de f en [, b], por lo tnto este promedio está entre el máximo y el mínimo bsoluto de f en [, b] (sumimos f continu). Finlmente, por el teorem del vlor intermedio, existe ξ ], b[ tl que f (ξ) es igul este vlor promedio, es decir h3 n 1 1 f (b )h (η k ) = f (ξ), ξ ], b[ 1 k=0 Regl compuest del trpecio: b f(x) dx = h ( con ξ ], b[, h = b n ) n 1 (b )h f() + f(b) + f( ) f (ξ) 1 i=1 y = + i h, i = 0, 1,,..., n.

16 16 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Algoritmo e Implementción en OOoBsic ( ) b El lgoritmo es sencillo: f(x) dx h n 1 f() + f(b) + f( ). i=1 Algoritmo 1.: Método del Trpecio. Entrd:, b, n y f continu en [,b] Resultdo: Un proximción s de h = (b )/n; sum = 0; for i = 1,,..., n 1 do sum = sum + f( + i h) return s = h ( ) f() + f(b) + sum b f(x) dx Implementción OOoBsic. Pr l implementción usmos el cuderno de l figur (1.14). Figur 1.14 Trpecio En este cso vmos usr l subrutin Min. En est subrutin leemos, b y n. Luego llmmos l función Trpecio(,b,n) e imprimimos el vlor que nos entreg. Como ntes, insertmos un módulo y ponemos el código hí. Al botón se le debe signr l subrutin Min, tl y como lo hicimos en l sección nterior. REM ***** BASIC ***** Sub Min

17 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol 9, No., Dim Hoj, Celd Dim,b,n,i, sum,h Hoj = thiscomponent.sheets(0) = Hoj.getCellRngeByNme("A6").Vlue b = Hoj.getCellRngeByNme("B6").Vlue n = Hoj.getCellRngeByNme("C6").Vlue Celd = Hoj.getCellRngeByNme("D6") Celd.Vlue = Trpecio(,b,n) Escribir en D6 End Sub function f(x) f= Sin(x)/x end function function Trpecio(,b,n) Dim i,sum,h sum=0 h=(b-)/n for i = 1 to n-1 sum = sum+*f(+i*h) next i Trpecio = h/*(f()+f(b)+sum) end function Bibliogrfí [1] Andy Chnnelle. Beginning OpenOffice 3. From Novice to Professionl. Apress [] Lurent Godrt, Bernrd Mrcelly. Progrmmtion OpenOffice.org. Mcros OOoBsic et API. Editions Eyrolles [3] Mrk A. Bin. Lern OpenOffice.org. Spredsheet Mcro Progrmming OOoBsic nd Clc Automtion. Pckt Publishing Métodos Numéricos con Clc.. Wlter Mor F. Derechos Reservdos 009 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (