Algoritmos Evolutivos Multiobjetivo Combinados para la Optimización de la Programación de Bombeo en Sistemas de Suministro de Agua

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1 Algortmos Evolutvos Multobjetvo Combnados para la Optmzacón de la Programacón de Bombeo en Sstemas de Sumnstro de Agua Aldo Sotelo Julo Basulado Pedro Doldán Benjamín Barán Centro Naconal de Computacón Unversdad Naconal de Asuncón Caslla de Correos 1439 Campus Unverstaro de San Lorenzo Paraguay Tel./Fax: (595)(21) y RESUMEN La operacón de estacones de bombeo mplca altos costos para las empresas de sumnstro de agua, en consecuenca, resulta mportante reducr estos costos con una correcta programacón del bombeo. Varos enfoques han sdo presentados, demostrándose que pueden lograrse ahorros consderables. El presente trabajo propone su resolucón medante Algortmos Genétcos Multobjetvo. En ese contexto, dos reconocdos métodos fueron mplementados y comparados: el Non-domnated Sortng Genetc Algorthm (NSGA) y el Strength Pareto Evolutonary Algorthm (SPEA), ambos combnados con un algortmo heurístco de factblzacón. Estos métodos apuntan a mnmzar cuatro objetvos: el costo de la energía eléctrca consumda, el costo de mantenmento de las bombas, la potenca máxma alcanzada (relaconada con el costo del sstema eléctrco y la potenca reservada) y el desnvel en el reservoro entre el nco y el fnal del período de optmzacón. Resultados expermentales demuestran las ventajas de usar SPEA sobre los métodos manuales hoy utlzados y sobre el NSGA. 1. Introduccón La crecente demanda de consumo de agua en las cudades hace que los sstemas de sumnstro se tornen cada vez más complejos. Dependendo de las varables a ser consderadas y de los objetvos a ser tomados en cuenta, la tarea de optmzar la programacón de bombeo se vuelve tambén una tarea complcada y de vtal mportanca, por lo que dversos autores venen abordando este tema presentando dstntos enfoques. En prncpo, programacones del tpo lneal, no lneal, lneal mxta, entera, dnámca, entre otras, fueron aplcadas para optmzar un únco objetvo: el costo de la energía eléctrca del bombeo (una revsón completa puede ser encontrada en Ormsbee y Lansey [1]). Por su parte, Lansey y Awumah [2] ntrodujeron el concepto del número de encenddos de las bombas como medda susttuta para evaluar el costo de mantenmento de las msmas, sendo este el segundo objetvo consderado en la bblografía exstente. Recentemente, técncas de Computacón Evolutva fueron ntroducdas al estudo de la programacón de bombeo óptma. En efecto, Mackle et al. [3] realzaron una optmzacón de smple objetvo (costo de energía eléctrca), Savc et al. [4] propuseron la hbrdacón de los AG con un método de búsqueda local para la optmzacón de dos objetvos (costo de energía eléctrca y costo de mantenmento de bombas), mentras que Schaetzen [5] establecó penaldades a la volacón de las restrccones del problema presentado como una optmzacón tambén de smple objetvo. De esta forma, varas áreas quedaron abertas a la nvestgacón, quedando demostrada la utldad de la Computacón Evolutva en el problema de la optmzacón de la programacón de bombeo. Debdo al gran avance obtendo recentemente en el campo de la optmzacón multobjetvo [6] y a la probada utldad de los msmos [4, 7], el presente trabajo propone la resolucón de la programacón óptma de bombeo como un problema de optmzacón multobjetvo que por prmera vez trata con 4 objetvos smultáneos.

2 Este trabajo está organzado de la sguente forma: en la seccón 2 se presenta una descrpcón del problema de mnmzacón con cuatro objetvos. La seccón 3 presenta los métodos de resolucón computaconal mplementados, abarcando dos Algortmos Evolutvos Multobjetvo (MOEA: Multobjectve Evolutonary Algorthm): el Non-domnated Sortng Genetc Algorthm (NSGA) y el Strength Pareto Evolutobary Algorthm (SPEA). Además, debdo a la partculardad del problema, se ntroduce la combnacón de estos métodos con un algortmo heurístco de factblzacón que corrge las solucones no factbles obtendas en cada generacón. En la seccón 4 son analzados los resultados expermentales consderando un problema paradgma para una estacón con 5 bombas. Fnalmente, la seccón 5 resume las conclusones del trabajo y las recomendacones para trabajos futuros. 2. Problema de la programacón óptma de bombeo 2.1. Conceptos báscos La demanda de agua de una poblacón es varable en el tempo. La cantdad de agua a sumnstrar para satsfacer dcha demanda deberá, por lo tanto, ser tambén varable en el tempo. En general, una estacón de bombeo cuenta con un conjunto de bombas de dferentes capacdades que bombean agua a uno o más reservoros. Estas bombas trabajan combnadas para bombear la cantdad de agua necesara, atendendo a las restrccones del problema (como la capacdad máxma del reservoro). Por lo tanto, dependendo del momento, algunas bombas estarán encenddas y otras apagadas. Programar el bombeo en una estacón consste en establecer la combnacón de bombas a utlzarse en cada ntervalo de tempo del horzonte de planfcacón. Luego, una programacón de bombeo es el conjunto de todas las combnacones de bombas a utlzarse durante cada ntervalo del horzonte de planfcacón [3]. Una programacón óptma de bombeo puede defnrse entonces, como una programacón que cumpla con las restrccones del problema (como atender la demanda), pero que además optmce los objetvos establecdos Modelo hdráulco Un modelo hdráulco smplfcado fue escogdo para el presente trabajo. El msmo consste de: una fuente nagotable de agua potable; una estacón de bombeo consttuda por n bombas que mpulsan el agua desde la fuente hasta el reservoro; un reservoro o tanque de almacenamento de agua; una tubería aductora que conduce el agua desde la estacón de bombeo hasta el reservoro. La hdráulca que exste a partr del reservoro no es consderada. El únco dato necesaro de esta parte del sstema es la demanda de consumo, la cual es abastecda desde el reservoro. Este modelo hdráulco se presenta en la Fgura 1. reservoro h h max h mn demanda de consumo estacón de bombeo aductora agua tratada Fgura 1: Modelo hdráulco adoptado. 2

3 2.3. Período de optmzacón e ntervalos de tempo El presente trabajo consdera un período de optmzacón de un día, tomando como dato el patrón de la demanda de consumo hstórco para un día promedo. El período de optmzacón fue dvddo en 24 ntervalos de 1 hora. Se asume que las bombas pueden ser apagadas o encenddas solo al nco de cada ntervalo. Intervalos de menor duracón pueden ser consderados cuando requerdos, a pesar de que resulta usual la utlzacón de ntervalos de 1 hora Objetvos de la programacón La programacón de bombeo propone optmzar el costo de bombeo conformado por: el costo de la energía eléctrca y el costo de mantenmento de las bombas, atendendo sempre a las restrccones del sstema [4]. De hecho, estos costos de bombeo consttuyen dos de los objetvos a ser optmzados en este trabajo, el cual, ntroduce además otros dos objetvos adconales: la dferenca de nvel en el reservoro entre el fnal y el nco del período de optmzacón, que es en realdad una restrccón ntroducda como objetvo (mentras que en [4] había sdo tratado medante la aplcacón de penaldades), y la potenca máxma alcanzada Costo de la energía eléctrca consumda ( f 1 ) El costo de energía eléctrca consumda se refere al gasto que sgnfca el consumo de energía eléctrca por parte de las bombas de la estacón de bombeo. Un factor mportante en el costo de la energía eléctrca es la estructura tarfara de la msma. En muchos sstemas de sumnstro de electrcdad el costo de la energía eléctrca no es el msmo en todas las horas del día, dado que exsten horas de mayor consumo y otras de menor consumo; sn embargo, las nstalacones deben dmensonarse para el consumo máxmo. Esto es conocdo como tarfa dferencada. En este trabajo se consderará la sguente estructura tarfara: tarfa barata (T f ): de 0 a 17 hs. y de 22 a 24 hs., llamado horaro fuera de punta de carga; tarfa cara (T p ): de 17 a 22 hs., llamado horaro de punta de carga. Cabe destacar que la nfluenca de esta dferenca tarfara dentro de la programacón de bombeo es notable, ya que se reducen los costos de consumo de energía eléctrca s la programacón de bombeo óptma establece la menor cantdad posble de bombas encenddas durante el horaro de punta de carga, cuando la tarfa es mayor, hacendo uso de la capacdad útl del reservoro. Tambén cabe menconar que no solo es posble utlzar una doble tarfa de energía eléctrca sno que pueden tenerse tres o más tarfas dependendo del caso. Matemátcamente, el costo de energía eléctrca consumda C e está dado por la ecuacón: C = T c( b ) + T c( b ) + T c( b ) (1) e f p = 1 = f = 23 donde: ntervalo de tempo del período de optmzacón, utlzado como undad b combnacón de bombas en el ntervalo (b B n, B {0,1}, ver ejemplo en 2.8) n número de bombas c(b ) electrcdad consumda en el ntervalo, con la combnacón b Costo de mantenmento de las bombas (f 2 ) Los costos de electrcdad no consttuyen el únco crtero utlzado por los operadores para juzgar la caldad de una programacón de. El costo de mantenmento, en muchos casos, es gual o más mportante. En [2] se ntroduce el concepto del número de encenddos de las bombas como forma de medr el costo de mantenmento. Es decr, el desgaste de una bomba puede ser meddo ndrectamente a través del número de veces que la msma ha sdo encendda. Un encenddo se consdera como tal solo en el caso en que la bomba haya estado apagada en el ntervalo de tempo anteror. S la bomba ya estaba encendda en el ntervalo anteror y contnúa estándolo o se apaga en el ntervalo sguente, no consttuye un encenddo. De esta forma, al dsmnur el número de encenddos se estará dsmnuyendo ndrectamente dcho costo. Para determnar el número total de encenddos N e smplemente se cuenta el número de encenddos en cada ntervalo y a esto se suma la mtad del número de encenddos entre el prmer y el últmo ntervalo; esto últmo, de manera a consderar los encenddos que huberan entre el día anteror y el actual, suponendo certa perodcdad en las programacones. Lo explcado anterormente puede ser expresado como: 3

4 N 24 e = = 1 max { ;( b b )} max { 0; ( b b )} (2) Dferenca de nvel en el reservoro entre el nco y el fnal del período de optmzacón (f 3 ) En general, un modelo hdráulco como el presentado en la fgura 1 comprende las sguentes restrccones: la cantdad de agua que puede ser sumnstrada por la fuente; las condcones de presón necesaras en la red; las característcas de las válvulas y bombas del sstema; la demanda de consumo de agua, tenendo en cuenta tanto la cantdad como la dstrbucón de la msma durante el período de optmzacón; el nvel de agua dentro del reservoro o tanque, el cual consdera: a. un nvel mínmo que garantce sufcente presón en las tuberías y que deba mantenerse por motvos de segurdad en caso de ncendos u otros mprevstos que demanden gran cantdad de agua en poco tempo, b. un nvel máxmo que evte pérddas en las tuberías y sea compatble con la capacdad del reservoro, c. un nvel ncal que debe tratar de ser recuperado nuevamente al fnal del período de optmzacón. Para fnes del presente trabajo se supondrá que la fuente puede proporconar toda el agua que sea necesara en cualquer momento y sn costos adconales. Tambén se supondrá que las condcones de presón en las tuberías son satsfechas cualquera sea el nvel de agua en el tanque, o sea, que los nveles fluctuantes en el tanque proporconan la sufcente altura (presón mínma) como para que el agua llegue a los usuaros, vencendo las alturas geométrcas y las pérddas en las tuberías (pérddas por frccón y pérddas locales) y sn provocar presones que produzcan pérddas en la red debdo a roturas (presón máxma). El efecto causado debdo a la utlzacón de las válvulas tampoco será tomado en cuenta. La cantdad y dstrbucón de la demanda de consumo será consderada al adoptar una curva de demanda a abastecer. Los nveles máxmo y mínmo de agua en el reservoro serán consderados como restrccones propamente dchas, de manera que el nvel en el reservoro al fnal de cada ntervalo h, deberá ser menor o gual que el nvel máxmo h max y mayor o gual que el nvel mínmo h mn. Sn embargo, la dferenca de nvel en el reservoro entre el fnal y el nco del período de optmzacón h, será planteada como un objetvo adconal a mnmzar, esto es: con: sujeto a: donde: S q(b ) d 24 [ q( b ) d ]/ S 2 h = (3) = 1 [ q( b ) d ] S h h 1 + / = (4) h h max h h mn superfce del reservoro caudal bombeado en el ntervalo demanda de consumo en el ntervalo Potenca máxma alcanzada (f 4 ) Muchas empresas de sumnstro de energía eléctrca facturan a los usuaros de gran envergadura basándose en la potenca reservada por los msmos y cobrando un elevado costo adconal al máxmo pco de potenca que haya sobrepasado dcho valor contratado. Es por tanto de gran mportanca, reducr estos pcos de potenca para evtar dchos sobre-costos. Como una prmera aproxmacón a dcho problema, en este trabajo se buscará obtener programacones de bombeo óptmas que utlcen las combnacones de bombas que mnmcen los pcos daros de potenca. Es decr, se ntroducrá la potenca máxma alcanzada en el día P max como un objetvo a ser mnmzado. El cálculo de la msma se realza utlzando la sguente ecuacón: max [ p b )] P = max (5) ( 4

5 donde: p(b ) potenca utlzada en el ntervalo En conclusón, el presente trabajo toma en consderacón las característcas de las bombas componentes del sstema (sus capacdades de bombeo) de manera a abastecer la demanda de consumo de la poblacón (varable en el tempo) sn volar los nveles máxmo y mínmo del reservoro y tratando de recuperar el nvel ncal al fnal del día, al msmo tempo que se mnmzan los costos de energía eléctrca consumda y de mantenmento de las bombas, así como la potenca máxma alcanzada Bombas En general, el problema podría consderarse sobre la base de un sstema con n bombas centrífugas de velocdad constante. Las msmas pueden ser encenddas o apagadas solamente al nco de cada hora. Las capacdades de bombeo son consderadas constantes para todas las combnacones durante los ntervalos. Esto porque la fluctuacón del nvel en el tanque (varacón de altura geométrca) nfluye muy poco en el caudal bombeado (aproxmadamente ±5%) cuando se consderan dferencas de altura geométrca muy grandes entre la estacón de bombeo y el reservoro, así como tuberías aductoras largas que mplcan grandes pérddas de presón. Entonces, cuando las bombas tenen que vencer una gran presón para bombear certo caudal, una varacón pequeña de la altura geométrca, como lo es la fluctuacón del nvel en el reservoro, produce tambén varacones muy pequeñas en el caudal bombeado, que pueden no ser consderadas. De esta manera, a cada combnacón de bombas se puede asgnar un volumen de agua bombeado, energía eléctrca consumda y potenca eléctrca utlzada, sempre tomados sobre la base de un ntervalo de 1 hora [8-10]. Debe tambén destacarse que las bombas se encuentran asocadas en paralelo, es decr, trabajan a gual presón. El caudal bombeado por una combnacón, aunque algunos autores lo consderan como aproxmadamente lneal, no es la suma drecta de los caudales bombeados por separado por cada una de las bombas componentes de dcha combnacón, lo cual no será restrngdo en este trabajo que lo consdera no lneal Reservoro Debe menconarse que, por contnudad, el reservoro debe termnar su cclo daro al msmo nvel con respecto a aquel con el que comenzó el día, de manera a asegurar dos cosas: que no fue bombeada agua demás para elevar el nvel fnal del reservoro con respecto al ncal. Este desnvel es agua acumulada en el tanque que no fue utlzada y por tanto aumenta el costo de bombeo nútlmente; que no se utlzó agua ya almacenada en el reservoro, quedando el msmo con un nvel fnal por debajo del ncal. Este desnvel es agua que deberá ser recuperada luego a través del bombeo y que afectará sustancalmente las condcones ncales y la programacón del sguente período. En síntess, debe exstr un balance o equlbro de las masas de agua que entran y salen del reservoro entre el nco y el fnal del período de optmzacón. El modelo matemátco adoptado es entonces el de balance de masas [1], ya que por las característcas del problema, es el que más se adecua al sstema estudado. Luego, el reservoro posee un volumen útl V utl correspondente a una altura útl h utl = h max - h mn y a una superfce S. Una ventaja adconal de este enfoque es la perodcdad, es decr, poder utlzar una msma programacón de bombeo para varos días consecutvos, s la demanda de consumo no varía sustancalmente Demanda de Consumo Sendo la demanda de consumo un dato de entrada del problema, la msma debe ser obtenda a pror de fuentes confables, ya que la caldad y la aplcabldad de los resultados arrojados por el programa dependerán, evdentemente, de cuan reales sean las predccones de la demanda de consumo. Dcha demanda es obtenda a través del estudo estadístco del comportamento de la poblacón abastecda por el reservoro durante varos años. Es por ello una condcón necesara el tener ben delmtada la zona de nfluenca del reservoro. Luego, a través de estos estudos estadístcos se podría establecer la demanda pronostcada para un día determnado de acuerdo a certos parámetros. Varos modelos para determnar la demanda de consumo son presentados en [1]. El presente trabajo adopta una curva de demanda smlar a la utlzada en [4] (ver Fgura 2). 5

6 demanda [%] 1,92 1,55 2,73 1,92 3,91 5,84 5,03 6,22 5,47 5,84 5,47 5,03 4,28 3,91 3,10 2,73 2, tempo [h] Fgura 2: Curva de demanda de consumo adoptada Codfcacón El prncpal requsto para la codfcacón de un problema es que la msma pueda representar cada solucón potencal [11]. Esto se logra medante una representacón adecuada de los parámetros del problema y la unón de los msmos en una cadena o strng. Los parámetros codfcados son llamados genes y la cadena de genes es conocda como cromosoma. En este caso, un cromosoma representa a un ndvduo o solucón posble del problema. El alfabeto bnaro fue adoptado para codfcar el problema de la programacón de bombeo óptma ya que resulta muy apropado. Cada bomba, durante cada ntervalo de tempo, es representada por un bt de la cadena. Luego, s el valor del bt es cero, la bomba representada por el msmo estará apagada durante este ntervalo de tempo. S el valor es uno, la bomba estará encendda. Para cada ntervalo de tempo son necesaros n bts para representar todas las combnacones de bombeo posbles, sendo n el número de bombas de la estacón. Para este trabajo se utlzará n = 5 conforme muestra la Fgura 1. De esta manera, una cadena consstente en 5 24 = 120 bts, descrbe una solucón completamente (ver Fgura 3). Por lo tanto, el número total de solucones posbles es , lo cual demuestra que este espaco de búsqueda no podría ser tratado por métodos tradconales. Sn embargo, debdo a las restrccones del problema, muchas de estas solucones no serán factbles ya que no cumplrán con los nveles máxmo y mínmo establecdos en el reservoro. De ahí surge la necesdad de utlzar un algortmo de factblzacón que corrja las solucones no factbles, de manera que cumplan con las restrccones. Este procedmento hará que el espaco de búsqueda de solucones quede reducdo al espaco de las solucones factbles arrojadas por dcho algortmo. hora bomba B1 B2 B3 B4 B5... B1 B2 B3 B4 B5 bt sgnfcado apagada encendda encendda apagada encendda... encendda apagada apagada apagada encendda Fgura 3: Codfcacón del problema de la programacón óptma de bombeo para n = 5 bombas Formulacón matemátca del problema donde: sujeto a: donde: Mnmzar y = f(x) = (f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), f 4 (x)) f 1 : costo de energía eléctrca consumda; ver ecuacón (1). f 2 : número de encenddos de las bombas; ver ecuacón (2). f 3 : dferenca de nvel en el reservoro; ver ecuacón (3). f 4 : potenca máxma alcanzada; ver ecuacón (5). h = h(x ) h max h = h(x ) h mn, para cada ntervalo h : nvel en el reservoro al fnal del ntervalo ; ver ecuacón (4). x X B 120 es el vector de decsón, B = {0,1}; 6

7 y = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) Y R 4 es el vector objetvo; El conjunto de las mejores solucones y es conocdo como Frente Pareto FP. 3. Resolucón utlzando MOEA El presente trabajo enfoca la resolucón del problema de la programacón óptma de bombeo a través de MOEA [6]. Dos métodos fueron mplementados: el SPEA y el NSGA SPEA Un nuevo enfoque basado en el Strengh Pareto Evolutonary Algorthm fue desarrollado para este trabajo. Este método, muy relaconado con los Algortmos Genétcos [11], almacena en una poblacón externa P los mejores ndvduos (no domnados) encontrados en una poblacón general evolutva P en cada teracón. La asgnacón del ftness (asocado a la probabldad de ser selecconado para una próxma generacón) para los ndvduos de P y de P se realza según reglas dferentes, de forma que el mínmo ftness asgnado en la poblacón externa P sea mayor que cualquer ftness asgnado en la poblacón evolutva P. Esto porque en el SPEA mplementado en este trabajo, cuanto mayor sea el ftness de un ndvduo mayor será la probabldad de que el msmo sea selecconado. Además, ambas poblacones se juntan para aplcar los operadores genétcos, mantenéndose constante el tamaño de la poblacón P. El SPEA preserva la dversdad en la poblacón usando relacones de domnanca Pareto e ncorporando un procedmento de clusterng para reducr el conjunto de no domnados sn destrur sus característcas. En general, el clusterng partcona un conjunto de m elementos en g grupos de elementos relatvamente homogéneos, donde g < m, selecconando un ndvduo representante por cada uno de los g clusters. Así, un número determnado de g ndvduos puede mantenerse en la poblacón externa preservando las prncpales característcas del Frente Pareto [12]. Una mportante característca del SPEA es su propedad de convergenca, una característca no sempre presente en otros MOEAs. Consecuentemente, el algortmo mplementado en este trabajo está basado en el SPEA orgnal presentado en [12] pero dfere del él en los sguentes aspectos: Incorporacón de un algortmo heurístco de factblzacón: el cual corrge las solucones no factbles obtendas en cada teracón de forma que cumplan con las restrccones del problema. El algortmo analza ndvduo por ndvduo a la poblacón evolutva (cadena de 120 bts) y opera de la sguente manera: - en cada ndvduo, analza la factbldad, ntervalo por ntervalo (de 5 bts) correspondente a cada hora, aplcando la restrccón (4); - s en alguno de los ntervalos no se cumple alguna de las restrccones, procede a corregr toda la subcadena de bts desde el nco hasta el ntervalo donde se nfrngó la restrccón. Exsten 2 posbldades a consderar: a) s h < h mn : mplca que se necesta mas agua de la que se bombeó, es decr, se deben prender bombas que en la subcadena se encontraban apagadas (ceros). Para ello el programa ubca la poscón de estos ceros y los camba por unos en forma gradual y aleatora (bombas prenddas) hasta que se cumpla la restrccón nfrngda. El cambo de un bt de 0 a 1 es aceptado solamente s el msmo no orgna una volacón de la restrccón h h max en ntervalos anterores al consderado (lo cual puede ocurrr debdo a la forma de la demanda de consumo); b) s h > h max : mplca que se necesta menos agua de la que se bombeó, es decr, se deben apagar bombas que en la subcadena se encontraban prenddas (unos). Para ello el programa ubca la poscón de estos unos y los camba por ceros en forma gradual y aleatora (bombas apagadas) hasta que se cumpla la restrccón nfrngda. El cambo de un bt de 1 a 0 es aceptado solamente s el msmo no orgna una volacón de la restrccón h h mn en ntervalos anterores al consderado (lo cual puede ocurrr debdo a la forma de la demanda de consumo); - en caso que un ndvduo no pueda ser factblzado el programa emte el mensaje de error correspondente y propone una solucón, por ejemplo, amplar la capacdad de almacenamento del reservoro. Doble crtero de parada: uno de los crteros detene al algortmo s un certo número máxmo de generacones es alcanzado. El otro crtero detene al algortmo s no se ncorporan nuevas solucones no domnadas a la poblacón externa del SPEA luego de transcurrdo un certo número de generacones. 7

8 El dagrama de flujo del SPEA propuesto se presenta en la Fgura 4. Inco Incalzar poblacón P aleatoramente. Factblzar P. Calcular objetvos. gen = 1 Copar solucones no domnadas de P en P. Extraer de P las solucones repetdas gen > 1 no Factblzar P y calcular objetvos s Obtener P nuevo comparando P actual con P. Extraer de P nuevo las solucones repetdas y domnadas gen = gen + 1 Nº de solucones de P > N max no s Purgar P medante clusterng Fn s Atende crteros de parada? no Calcular ftness de P y P Selecconar ndvduos de P y P. Aplcar cruzamento y mutacón, generando nueva P 3.2. NSGA Fgura 4: Dagrama de flujo del SPEA propuesto. Un enfoque basado en el Nondomnated Sortng Genetc Algorthm tambén fue desarrollado en este trabajo. El NSGA orgnal presenta dos dferencas prncpales respecto al SPEA. La prmera es que no trabaja con una poblacón externa, solo con la poblacón general evolutva. La segunda es la forma de asgnar el ftness. Para ello se clasfca la poblacón en rangos de acuerdo a nveles de domnanca. Varos ndvduos pueden pertenecer al msmo rango. Luego, se asgna un ftness vrtual a todos los ndvduos del msmo rango. Por últmo, se comparte el ftness de los ndvduos de un msmo rango usando ftness sharng. De esta manera, ftness decrecentes son asgnados a los ndvduos de forma que el mínmo ftness asgnado en certo rango sea lgeramente superor al máxmo ftness asgnado en el rango nmedatamente nferor. El algortmo mplementado en este trabajo está basado en el NSGA orgnal presentado en [13] pero dfere del él en los sguentes aspectos: Incorporacón de un algortmo heurístco de factblzacón: el msmo utlzado en el SPEA. Porcentajes de cruzamento y mutacón varables: estos porcentajes varían con el paso de las generacones, decrecendo lnealmente a partr de un valor ncal hasta hacerse cero en la últma generacón, esto es: Pc = Pc ncal ( 1 gen / genmax) El dagrama de flujo del NSGA propuesto se presenta en la Fgura 5. Pm = Pm ncal ( 1 gen / genmax) 8

9 Inco Incalzar poblacón. gen = 0. Factblzar la poblacón Nvel de domnanca = 1 Poblacón clasfcada? no Identfcar a ndvduos no domnados gen = gen + 1 s Seleccón de acuerdo al ftness compartdo Cruzamento Mutacón Asgnar ftness vrtual Compartr ftness en todo el nvel Nvel de domnanca = Nvel de domnanca + 1 Factblzar la poblacón gen < genmax? Fn 4. Expermentacón y resultados 4.1. Problema paradgma s Fgura 5: Dagrama de flujo del NSGA propuesto. Para fnes de este trabajo, se presentan los resultados correspondentes a un problema ejemplo con las sguentes característcas: una estacón de bombeo con n = 5 bombas. Las característcas de las combnacones se presentan en la Tabla 1; un reservoro con S = 2600 m², h max = 7 m, h mn = 1 m, h ncal = 3 m, V utl = m³; una curva de demanda de consumo como la de la fgura 2. Sendo el caudal total demandado Q = m³/día; una estructura tarfara con T p = 2T f.. Tabla 1: Característcas de las combnacones de bombas utlzadas en el problema paradgma. Cód- Caudal Potenca Cód- Caudal Potenca Cód- Caudal Potenca Cód- Caudal Potenca d d d d go [m³/h] [kw] go [m³/h] [kw] go [m³/h] [kw] go [m³/h] [kw] Métrcas de comparacón no 9

10 Para evaluar los resultados expermentales utlzando el SPEA y el NSGA, fue utlzado un subconjunto de métrcas propuestas en [7]. Esto porque una sola métrca no refleja el comportamento total, la efectvdad y la efcenca de los MOEA. Como estas métrcas reflejan la semejanza entre el verdadero conjunto Frente Pareto óptmo FP verdadero y un conjunto Frente Pareto computado FP computado, una buena aproxmacón del FP verdadero es obtenda juntando todos los ndvduos no domnados de todos los métodos mplementados, consderando todas las corrdas. En otras palabras FP verdadero es obtendo medante la unón de las mejores solucones conocdas en todos los expermentos realzados. El conjunto de métrcas comprende las sguentes: Overall nondomnated vector generaton (N) donde denota cardnaldad. c N = (6) FP computado c Esta métrca ndca el número de solucones en FP computado. Se espera que un buen conjunto FP computado tenga un gran número de ndvduos de manera a ofrecer una ampla varedad de opcones al ngenero Overall nondomnated vector generaton rato (ONVGR) N ONVGR = (7) FP verdadero Denota la relacón entre el número de solucones en FP computado y el número de solucones en FP verdadero. Como el objetvo es obtener un conjunto FP computado tan smlar como sea posble a FP verdadero, un valor cercano al 1 sería el deseado Error rato (E) N = 1 c e E = (8) N 0 s un vector en FPcomputado tambén está en FPverdadero e = 1 en caso contraro Esta relacón da la proporcón de los vectores objetvos en FP computado que no son membros de FP verdadero. Por lo tanto, un Error Rato E cercano a 1 ndca una pobre correspondenca entre FP computado y FP verdadero. En efecto, E = 0 sería el deseado Maxmum pareto front error (ME) ME y j ( mn y y ) = max j (9) FP verdadero ; y j FP computado Esta métrca ndca la máxma franja de error la cual, cuando es consderada con respecto a FP computado, abarca a cada vector en FP verdadero. Idealmente, ME = 0 sería lo deseado Ambente computaconal Se utlzaron dos PC para realzar las expermentacones: una AMD-K6 3D de 350 MHz de velocdad y 128 MB de memora RAM (denotada como PC1) y una pentum III de 600 MHz de velocdad y 128 MB de memora RAM (en adelante, PC2). Tanto las corrdas del SPEA como las del NSGA, se realzaron en ambas computadoras personales. Para mplementar los algortmos fue utlzado el lenguaje MATLAB versón 5.3, funconando en un ambente Wndows Resultados expermentales Se hceron varas corrdas para dstntos valores de los parámetros consderados utlzando ambos métodos mplementados. Por motvos de espaco, en la Tabla 2 son presentados los resultados de las métrcas para dos 10

11 corrdas típcas del SPEA y del NSGA, aplcados al problema paradgma, así como la solucón propuesta por un especalsta. Tabla 2: Cálculo de métrcas a partr de los resultados expermentales, para el problema paradgma. Método Plataforma N ONVGR E ME Especalsta Manual 1 0, ,0636 SPEA combnado PC ,3101 0,79 0,4551 PC , NSGA combnado PC1 22 0, ,5718 PC2 73 0, ,6097 Para el cálculo de las métrcas de la Tabla 2 se utlzó un conjunto Frente Pareto óptmo calculado a partr de la unón de todas las corrdas realzadas, obtenéndose un FP verdadero de 603 ndvduos, como resultado de la domnanca de algunas solucones de una corrda sobre las solucones obtendas en otras corrdas. En efecto, la Tabla 2 muestra que el SPEA correndo en PC1 obtuvo un número mayor de solucones (790) que las exstentes en FP verdadero pero el 79% de ellas no pertenecen a dcho conjunto. Por su parte, el SPEA correndo en PC2 obtuvo un menor número de solucones (438) pero todas pertenecen a FP verdadero. Por otro lado, el NSGA correndo en PC1 obtuvo más solucones (73) que el msmo correndo en PC2 (22), pero en nnguno de los casos se encontraron solucones pertenecentes a FP verdadero. Fnalmente, cabe destacar que la solucón propuesta por el especalsta tampoco pertenece al FP verdadero. Como consecuenca de lo arrba menconado, el Error Rato E es nulo para el SPEA correndo en PC2, y toma su valor máxmo de 1 para las corrdas con el NSGA y para la solucón propuesta por el especalsta. Lógcamente, el SPEA correndo en PC2 consgue un valor óptmo de ME = 0, mentras que las demás corrdas resultan en mayores valores del Maxmum Pareto Front Error. De entre estas corrdas con ME > 0, la solucón propuesta por el especalsta, a pesar de no ser óptma, es la de menor ME, lo que puede ser consderado como un ndco de la experenca del especalsta en la programacón de bombeo, aun sn contar con los métodos computaconales aquí propuestos. En conclusón, de los métodos mplementados y expermentados, el SPEA correndo en la plataforma con mejores recursos, se erge como el de mejor desempeño. Las mejores solucones obtendas en todas las corrdas realzadas son presentadas en la Fgura 6. Debdo a la mposbldad de grafcar las solucones en 4 dmensones, estas fueron dvddas en rangos de dferenca de nvel representadas en ventanas y luego se representó el número de encenddos en cada ventana con símbolos dferentes. De esta forma, gráfcos en 2 dmensones de los costos de energía eléctrca en funcón de la potenca máxma alcanzada fueron elaborados para cada solucón en la ventana correspondente y con el símbolo adecuado a su N e. Con esto, se consgue analzar gráfcamente las solucones obtendas en el especo objetvo de cuatro dmensones. 15 cm < h 30 cm 0 cm < h 15 cm Costo de la energía eléctrca [undades monetaras] h = 0 cm Potenca máxma [kw] Ne=2,5 Ne=3 Ne=4 Ne=5 Ne=11 Ne=13 Especalsta (Ne=4) 11

12 Fgura 6: Gráfca de los mejores resultados expermentales. Note que la solucón del especalsta es domnada por la solucón que tambén requere de 4 encenddos. La Tabla 3 presenta los valores grafcados en la Fgura 6 para h = 0. Cabe destacar la partculardad de que dferentes programacones (solucones) pueden tener guales valores de los objetvos. Tabla 3: Resultados presentados en la Fgura 6 para h = 0. Nº de encenddos (Ne) Costo de la energía eléctrca [undades monetaras] Potenca máxma [kw] Nº de solucones por funcón objetvo 5. Conclucones El problema de la programacón óptma de bombeo es presentado y resuelto en el presente trabajo utlzando dos algortmos evolutvos multobjetvos: el SPEA y el NSGA. Para evaluar estas propuestas, se comparan estos algortmos (correndo en dos plataformas dferentes) entre sí y con la solucón manual calculada por un especalsta, utlzando métrcas específcas de la optmzacón multobjetvo. Analzando estas métrcas, resulta evdente que el SPEA propuesto supera amplamente al NSGA y a la solucón planteada por el especalsta. De hecho, nnguna solucón del NSGA pertenece al Frente Pareto óptmo. En conclusón, el SPEA se presenta como una poderosa herramenta a utlzar en problemas hdráulcos, como la programacón óptma de bombeo, pudendo ncrementar sus funconaldades en la medda de que se dsponga de una computadora de alto desempeño. Para trabajos futuros se espera: utlzar un número mayor de estacones de bombeo y de reservoros; enfocar el tema de la potenca máxma alcanzada en mayor profunddad, consderando por ejemplo, los costos adconales en caso de sobrepasarse la potenca reservada; analzar la programacón de bombeo semanal o mensualmente; corregr la programacón en caso de que la demanda real sea muy dstnta a la demanda pronostcada y luego re-almentar al sstema con una programacón corregda. Referencas [1] Ormsbee, L.E. y Lansey, K.E.; Optmal Control of Water Supply Pumpng Systems, Journal de Planeamento y Gerencamento de Recursos del Agua, Vol. 120, No. 2, [2] Lansey, K. E. y Awumah, K.; Optmal Pump Operatons Consderng Pump Swtches, Journal de Planeamento y Gerencamento de Recursos del Agua, Vol. 120, No. 1, [3] Mackle, Gunther; Savc, Dragan A. y Walters, Godfrey A.; Applcaton of Genetc Algorthms to Pump Schedulng for Water Supply, GALESIA 95. Publcacón de Conferenca 4/4, pp , Insttuto de Ingeneros Eléctrcos, Londres, [4] Savc, Dragan A.; Walters, Godfrey A. y Schawb, Martn; Multobjectve Genetc Algorthms for Pump Schedulng n Water Supply, ERASMUS, Escuela de Ingenería de Exeter, Exeter, Reno Undo, Unversdad de Stuttgart, Stuttgart, Alemana, [5] Schaetzen, Werner de; A Genetc Algorthm Approach for Pump Schedulng n Water Supply Systems, Grupo de Sstemas de Agua, Escuela de Ingenería, Unversdad de Exeter, Reno Undo, [6] Zstler E., Deb K., Thele L., Coello C. y Corne D.; Evolutonary Mult-crteron Optmzaton, Lecture Notes n Computer Scence 1993, Frst Internatonal Conference, EMO 2001, Zurch, Swtzerland, ISBN Sprnger-Verlag, [7] Barán B., Vallejos J., Ramos R. y Fernández U.; Reactve Power Compensaton usng a Multobjectve Evolutonary Algorthm, paper aprovado para publcacón en la IEEE Porto Power Tech [8] Dolqachev, F. M. y Pashkov, N. N.; Hdráulca y Máqunas Hdráulcas, Mr, Moscú, Rusa,

13 [9] Matax, Claudo; Mecánca de Fludos y Máqunas Hdráulcas, Harla, Méxco, 2ª edcón, [10] Streeter, Víctor L. y Wyle, Benjamín; Mecánca de los Fludos, McGraw-Hll, Méxco, 6ª edcón, [11] Goldberg, Davd E.; Genetc Algorthms n Search, Optmzaton and Machne Learnng, Addson Wesley, Readng, Massachusetts, [12] Ztzler, Eckart y Thele, Lothar; Multobjectve Evolutonary Algorthms: A Comparatve Case Study and the Strength Pareto Approach, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, Vol. 3, Nº 4, [13] Srnvas N. y Deb K.; Multobjectve Optmzaton Usng Nondomnated Sortng Genetc Algorthms, Evolutonary Computaton, 2(3): , Fall