3.1. LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER DE UN HIDROGENOIDE.

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María Jesús Alcaraz Ramírez
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1 . ATOMOS HIDROGENOIDES... LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER DE UN HIDROGENOIDE. U átomo idogoid stá compusto po u úclo d cg y u úico lctó d cg gido lddo.6-9 C. z - P H:, p H :, p Li :. x y L gí potcil d itcció t dos cgs l vcío s: V ε s l pmitividd dl vcío πε V dpd úicmt d l distci y po llo s l llm poblm d cmpo ctl. S pud sp l movimito ito dl movimito d tslció. El movimito ito s pud dscibi como l d u sol ptícul d ms ducid m μ m m m, qu s muv lddo dl oig d coodds situdo l úclo. L cució d Scödig p l movimito ito d u átomo idogoid s: E coodds sféics: E μ πε μ s s dod,, dpd d, y. s πε E

2 .. SEPARACIÓN DE VARIABLES: Al s V sólo fució d, l cució s pud scibi: πε μ s s s E S scito l opdo qu ctú sob l fució como sum d dos opdos, uo qu dpd sólo d, l oto dpd sólo d y. Po tto s pud busc solucios dl tipo:,, R Y,. El opdo dl tc témio d l cució ctudo sob cospod xctmt l opdo cuddo dl momto gul, ˆL : ˆ πε μ L E Sustituydo,, R Y,:, ˆ,, πε μ Y L R Y R E d dr d d Y y dividido po R Y,:, ˆ, πε μ Y L Y E d dr d d R P qu s cumpl l cució tio: l l A, Y Lˆ, Y Acostt b l l A E d dr d d R πε μ

3 Ecució gul. L cució quivl l cució d Scödig dl oto ígido, si cmos: A l l. Ls solucios st cució so idétics ls fucios d od dl oto ígido, s dci so los móicos sféicos, Y l,m,, qu os d l dpdci d los águlos y ls fucios d od d u átomo idogoid. Dpd tmbié d los úmos cuáticos l y m: l,,,,... m, ±, ±,..., ±l. -Ecució dil: L cució b: R d d o bi, s pud scibi: dr d μ πε E l l dr l l d μ d μ d R ER πε Est cució difcil s llm cució dil d u átomo idogoid. Rsolviédol os popocio R, qu s l pt dpdit d dil d l fució d od... NIVELES DE ENERGÍA: S dmust qu l cució dil ti solucios cptbls cudo: E μ ;,,,...; l 8ε 8πε

dod s l dio d Bo p l átomo idogoid: πε, qu vl.59 Å p l átomo d idógo. μ L gáfic cospod l átomo d idógo. L gí stá cutizd solmt po l úmo cuático, y s idpdit d los úmos cuáticos l y m.

4 dod s l dio d Bo p l átomo idogoid: πε, qu vl.59 Å p l átomo d idógo. μ L gáfic cospod l átomo d idógo. L gí stá cutizd solmt po l úmo cuático, y s idpdit d los úmos cuáticos l y m. Po tto bá ivls d gí dgdos. P tmos l stdo fudmtl dl átomo. P l idógo E -.6 V. Exist ots solucios cptbls p l cució dil qu cospod vlos d E positiv. Estos stdos s llm stdos dl cotiuo zo sombd. E llos l gí s cotiu, s dci, tods ls gís positivs stá pmitids. Es zo cospod l úclo y l lctó o itcciodo. L gí míim csi p dspd l lctó dl átomo su stdo fudmtl s llm gí d ioizció, qu p l H s.6 V. REPASAR: -Espctos d los átomos idogoids. Sis d Lym, Blm, Pc, tc.

5 5.. SOLUCIONES ACEPTABLES DE LA ECUACIÓN RADIAL: Ls fucios d od dils dpd d los úmos cuáticos y l. L fom gl omlizd d sts fucios s: [ ]!!,, ρ ρ l l l l L l l R dod ρ., ρ l L so ls llmds fucios socids d Lgu, qu ti fom poliómic d gdo - l - l vibl ρ y dpd d los vlos d y l. l, ρ l L R,l - - ρ ρ - ρ - 96 ρ

6.5. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN RADIAL: L fució dsidd d pobbilidd os d l distibució d pobbilidd d cot l lctó l spcio.,, dτ s l pobbilidd d cot l lctó cd lmto d volum dτ, s dci, t y d, y d, y d.

6 6.5. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN RADIAL: L fució dsidd d pobbilidd os d l distibució d pobbilidd d cot l lctó l spcio.,, dτ s l pobbilidd d cot l lctó cd lmto d volum dτ, s dci, t y d, y d, y d. Podmos st itsdos sólo l z d y x distci lctó-úclo. Así, podmos clcul l pobbilidd d cot l lctó cd lmto d cp sféic d spso ifiitsiml, situdo l dio, s dci, t y d. Est pobbilidd s obti sumdo l pobbilidd p todos los lmtos d volum qu compo dic cp sféic. Esto quivl itg p todos los águlos y posibls o s itg p po qu sigu l cp sféic tido spso difcil. π Θ, s d,, π Φ s d d d d R d R Tomdo Θ y Φ omlizds, sus itgls sá igul. d S dfi l fució d distibució dil, R, l, como l dsidd d pobbilidd pobbilidd po uidd d distci d cot l lctó dto d u lmto d cp sféic d dio situdo t y d. Utilizdo st fució s posibl: - Clcul l pobbilidd d cot l lctó t dos distcis l úclo y. P, R,l d - Clcul l distci l úclo más pobbl d cot l lctó:

7 7 -Fucios dils, R,l : d d R,l mx -Fucios d distibució dil, R,l :

8 8.6. FUNCIONES DE ONDA COMPLETAS. ORBITALES.,l,m,, R,l Θl,m Φm R,l Υl, m, A sts fucios s ls llm obitls dl átomo idogoid. l m Obitl,l,m,, s s p π π π cos ± ± ± ± p ± s p p ± d d ± d ± ± s 6π ± i π ± ± 8 π 6 cos 6 s 8 π 8 6π cos π s cos 8 ± i s 6 π ± ± i ± i

9 9.7. ORBITALES REALES. Algus d ls solucios l cució d Scödig p l átomo d idógo so fucios compljs. Podmos busc fucios ls más fácils d visuliz usdo l popidd d los stdos dgdos: E stdos dgdos, culqui cojuto d combicios lils qu s lilmt idpdits so u dscipció dcud d sos stdos dl sistm. Ejmplo: El obitl p s u fució l po los obitls p y p - so fucios compljs. El p s dj como stá y s l sul llm p z : p z π cos Podmos tom ls siguits combicios lils d los obitls p y p - : p p x R y R π π i i s 8π s 8π R Y, R Y, i i s cos i i i R π s cos R Y, R Y, s s R π s s Los obitls sultts so fucios ls y so tmbié fucios popis dl opdo miltoio dl átomo idogoid. Igul s c p los obitls p, p, tc...

10 P los obitls d: d xz d x d z d i yz d y i xy -Fom d los obitls ls. Y Obitls s: E llos l, po tto, l pt gul dl obitl s π, qu s costt. Los obitls s ti simtí sféic. z Rpstció d supfici límit. y x Rpstcios d ubs d putos. Nodos dils: So vlos d p los qu l dsidd d pobbilidd s co. Nº d odos dils l

11 - Obitls p: l. Ls fucios dpd d los águlos. No ti simtí sféic sio qu stá oitdos l spcio: Admás d los odos dils xist plos odls qu so plos los qu l dsidd d pobbilidd s co. E cd uo d los dos lóbulos d los obitls p l fució ti dift sigo, uo positivo y oto gtivo idicdo too clo y oscuo. -Obitls d: l. Tmbié stá oitdos l spcio poqu dpd d los águlos. V tmbié: ttp://wit.goup.sf.c.uk/obito/

12 .8 NÚMEROS CUÁNTICOS. ENERGÍA Y MOMENTO ANGULAR. El úmo cuático dtmi l ivl d gí. s llm úmo cuático picipl: E μ ;,,,...; l 8ε 8πε Po jmplo, los stdos u obitls s, p x, p y y p z cospod l mismo ivl d gí. So stdos dgdos. Los úmos cuáticos l y m stá lciodos co l momto gul dl lctó cd obitl. -l s llm úmo cuático zimutl y m s llm úmo cuático mgético. Los obitls idogoids so utofucios d los opdos ˆL y Lˆz : Lˆ lm,, R l l lm l Lˆ,, Y lm, R l l l Y lm, Lˆ z lm,, R l Lˆ Y z lm, R l m Y, m lm lm,, Sgú sto los vlos dl módulo y d l compot z dl vcto momto gul obitl dl lctó stá cutizdos d l mism fom qu l oto ígido: L l l l,,,..., - L z m m, ±, ±,..., ±l s co. E los obitls o stdos s, l. El momto gul obitl dl lctó

13 E los obitls o stdos p, l, m,, -: L L,, E los obitls o stdos d, l, m,,, -, -: L 6 L,,,, z z Oitcios spcils pmitids p l vcto momto gul obitl. Ejmplo: obitls p l.9. SPIN. U lctó u átomo ti u momto gul obitl, L. Como l lctó s u cg movimito, tdá u momto mgético socido: μ m μb L L dod μ B s l mgtó d Bo: μ B 9.7 J T. m E l so d u cmpo mgético, B, iomogéo lo lgo dl j z, u momto mgético μ suf u fuz popociol l gdit dl cmpo: db dbz μb dbz Fz μ μz Lz dz dz dz

-El xpimto d St-Glc: ttp://www.sc.u.s/sbwb/fisic/cutic/stglc/stglc.

14 -El xpimto d St-Glc: ttp:// Al ps u z d átomos d Ag po l so d u cmpo mgético iomogéo l j z, y coglos sob u ptll obsvo qu los átomos s dsvib dos bds discts, u ci z y ot ci z. Lo mismo s obsvó co H, N, K, Au. Coclusios dl xpimto: -Los átomos d Ag ti u momto mgético μ cuy oitció co spcto l j z compot z stá cutizd cutizció spcil. -Los vlos posibls d μ z so dos dos bds discts. Itptció: Si l momto mgético d los átomos d Ag fus dbido l momto gul obitl dl lctó, L z podí tom l vlos l s l úmo cuático zimutl. Sgú sto: l l Esto o s posibl y qu l ti qu s u úmo to. Ulbck y Goudsmit popusio 96 qu l momto mgético qu s stb obsvdo dbido u momto gul itísco dl lctó qu s llmó spi, S.

15 5 El spi s pud imgi como u otció dl lctó lddo d su popio j. Est dscipció dl spi o ti poqué s cit. Ni siqui s sb como s xctmt l stuctu d u lctó. μ B El momto mgético dbido l spi: μs gs S g s lció giomgétic dl lctó P uific l ttmito co l dl momto gul obitl s itodujo los úmos cuáticos s y m s : S s s s ½ p u lctó S z m s m s /, -/. úmo cuático d spi Así s xplicb los sultdos dl xpimto d St-Glc. El lctó ti dos stdos posibls d spi: m s / ó m s -/. S postul l xistci d dos fucios d od d spi: αω y βω qu pst cd stdo d spi d u lctó. So fucios d u ipotétic coodd it vibl d spi, ω. L fució d od spcil s multiplic po αω ó βω p t cut l stdo d spi p m s / y m s -/ spctivmt. Así los dos stdos d más bj gí posibls dl idógo so: s,, α s,, β ω ω E pim poximció l gí o dpd dl spi. So dos stdos dgdos. Al poducto d u fució d od spcil po u fució d spi s l llm obitl d spi.

16 6 CONCEPTOS IMPORTANTES DE ESTE TEMA: - El miltoio d u átomo idógoid. Dducció. - Qué s u poblm d cmpo ctl? - Spció d vibls. Ecució gul y cució dil. - Los ivls d gí d u átomo idogoid. - Qué s l gí d ioizció? - Cocpto d obitl. - Fució d distibució dil. Qué ifomció coti y cuál s su utilidd? - Puto d máxim pobilidd y distci más pobbl. Difcis. Cómo s clcul? - Obitls ls. Cómo s costuy? - Foms d los obitls. - Qué cutiz cd úmo cuático? - Cutizció dl momto gul d u obitl. - Qué s l spi? - Difcis y similituds t l spi y l momto gul obitl.

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