1. Algunas Ideas Generales sobre Métodos Numéricos

Transcripción

1 . lgu Ide Geele oe Método Numéco. Itoduccó E cec tecologí o comue lo polem p lo que o e pole ll u olucó lítc. E ecuete etoce educ el polem u co ptcul, o mplc el modelo de modo que pued e lzdo. H, emgo, tucoe e que u modelo mplcdo o e popdo p dec lo pecto que o mpotte e el compotmeto. Se ecue etoce olucoe uméc. L mgtud del to e ucó de l pecó que e equee. E lo últmo 5 ño, gc l computdo dgtle, l poldde p utlz ecetemete lo método uméco umetdo eomemete; lo puto de vt co elcó ello cetmete cmdo. E l mo pte de lo método uméco e plc de eltvmete mple. U de ecuete e l de tecó, e dec, l epetcó de u poceo e om tl que e otee cd vez meoe pomcoe l olucó. P lut el uo de tecoe codéee l olucó de Et ecucó puede eece como: c c. E ete co e l íz cúc de c. Empezdo co l pomcó cl, e puede te co: c Et e u plccó del coocdo método de Newto p ll íce de u ecucó o lel. Po eemplo, p el co c e dec co e otee:... í ucevmete: U tepetcó geométc de l tecó e muet e l gu Puede e ete co poe que el poceo covege empe, p culque eleccó de. S tee t dígto coecto, tedá po lo meo t dígto coecto. S emgo, o todo lo poceo tetvo uco. Po eemplo, podí ece /, lo que poduce eultdo ltedo ovmete o covege. H. Sclett - Método Numéco: Itoduccó -

2 Ot de ecuete e l de pom loclmete u ucó complcd po u ucó lel o quzá pólc u ot eltvmete mple. Eto e lo que e ce l tepol ete do líe de u tl, o e poceo tle como el método de Newto Rpo p meo l pomcó u íz de u ucó, l tegcó de u ucó po el método de lo tpeco, l olucó de u ecucó deecl, po el método de Eule, po ct ólo lguo de lo método má coocdo. E muco co e otee u couto de eultdo e u uceó de etp, p cd u de l cule e code como dto lo eultdo de l etp teo. le poceo e deom de ecuó. So mu podeoo, peo dee e utlzdo co popedd. L Regl de Hoe p evlu u polomo tl como p K popoco u eemplo mple de ecuó. El polomo p puede evlue elzdo l opecoe: p p p p p M p p p L cumulcó de eoe e u poceo de ete tpo puede e mpotte. El eemplo guete lut tmé el uo de u ecuó el eómeo coocdo como etldd uméc. Supóge que e equee clcul, p,,,... 5 d Puede oeve que lo vloe de decece co. demá: d d d d po lo tto: / 5 -. Et epeó podí pemt detem lo ucevo pt de u vlo cl, como. Sedo que: 6 d L 5 5 [ L 5 ]. 8 Se otee e todo lo cálculo de ete eemplo e codedo ólo te c gctv: udo! L Sopedete que e oteg >! Lo mlo eultdo e dee que l pomcoe el uo de u úmeo to de dígto toduce eoe, que e popg etp poteoe del cálculo. L om H. Sclett - Método Numéco: Itoduccó -

3 e que eto eoe e popg o dp e decv e l utldd de u método uméco ddo. E el poceo utlzdo, u pequeño eo ε e o e multplc po 5 e el cálculo de. S tee e codecó lo eoe toducdo e lo edodeo de ete po, e poduce u eo de 5 ε e. El eultdo del po etá ectdo po el eo cl multplcdo po -5. eto dee gege lo eecto de lo eoe toducdo e todo lo po temedo. S e ue utlzdo má c decmle e lo cálculo, lo eultdo udo í tmé pecdo, uque u tto má delte e el poceo. L etldd uméc puede evte eleccodo u lgotmo má decudo. í, utlzdo l ómul e l ot deccó : 5 - el eo qued dvddo po 5 e cd po. Sedo que decece cudo cece, puede ce lo cálculo co lgo t poe como, oteédoe: í ucevmete: Coecto! pe de l ed omcó cl S emgo, o dee ceee que el utlz ómul l evé e el emedo p todo lo polem uméco. Culque poceo que e pltee o eá empe plcle, e todo lo co el má eectvo. Y cecete dececete. Fuete de Eo Lo eultdo uméco etá ectdo po eoe poveete de dve uete. E pme lug dee cte eoe e lo dto, pueto que ello o e geel eultdo de medcoe o etmcoe mpeect. E de epe que lo eoe eltvo e lo eultdo e del mmo ode de mgtud o meoe que quello de lo dto. S emgo, éte o empe e el co: e dce etoce que el polem e ml codcodo, e dec, l olucó e mu ele pequeño eoe e lo dto. Dcultde de ete tpo puede tmé o e ded l omulcó del polem, o u ml codcometo del método uméco utlzdo. U egudo gupo de eoe e dedo mplccoe e el modelo mtemátco del polem l tuccó de epeoe ee po eemplo, cuo oetvo e evt que l omulcó e complque má llá de lo que zolemete puede mee. H. Sclett - Método Numéco: Itoduccó -

4 Má mpotte dede el puto de vt de lo método uméco o lo eoe de tuccó edodeo. Éto o ucó del pocedmeto empledo de l ccteítc de opecó de l computdo. L mo pte de l computdo t temete co tem de umecó o, octle o edecmle tee do tpo de tmétc: de puto o o eteo de puto lotte o ele. L tmétc de puto o e ect, peo etá lmtd úmeo eteo u go pequeño. E coecuec, l mo pte de l opecoe e eectú co l tmétc de puto lotte. E l tmétc de puto lotte l epeetcó te q de u úmeo e de l om: m, dode m e l mt q el epoete. Sólo e lmce t c e e de l mt, po lo tto culque úmeo t puede e epeetdo co u eo eltvo que o ecede tulmete ete P q e u u úmeo to de pocoe de memo e coecuec ete u go ceptle e geel mu gde p lo úmeo co puto lotte. L opecoe tmétc e puto lotte tee popedde lgo deete de quell coepodete e l tmétc ect. í po eemplo, l um o et o e etctmete octv c El equem guete dc como e eectú l um e puto lotte :.567. l cuto c le e ecot.69 c.567 c.. met que eultdo. c.567. El ode de l opecoe í ect lo Eto e váldo tmé p opecoe de oto tpo. c podí oteee de: ± c ltetvo teócmete equvlete: Po eemplo, l íce de. S emgo el poceo go c c tee muco meo cumulcó de eo, epeclmete cudo c e pequeño, poque evt l et de do úmeo del mmo ode de mgtud. Codéee, po eemplo, l ecucó: 6. do co 5 c gctv: ±.98.6 ± H. Sclett - Método Numéco: Itoduccó -

5 El eo eltvo e e mu gde. L et e eco e om ect; l cu del eo etá má e e el edodeo pevo de l íz cudd. S e cmo e tom e otee:.569 ± ± co u eo eltvo del mmo ode que el de. Flmete, dee mecoe eoe umo eoe de l computdo. Eto últmo o páctcmete etete, lo pmeo o e cmo l cu de muco eultdo epedo. H. Sclett - Método Numéco: Itoduccó - 5

6 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -. ÁLGEBR LINEL. Decoe U mtz Α, de ode m, e u couto de úmeo dpueto e l m colum. m m m m U elemeto,, e detc po do u ídce, el pmeo de lo cule deot l l el egudo l colum. S m e tee u mtz colum o "vecto" de dmeó : M S e cmo, e tee u mtz l: [ ] c m c c K c. S m e dce que l mtz e cudd de ode. Po eemplo: d d d d D I, D e I o mtce cudd. L mtz [ ] d d d dg K D e u mtz dgol, cuo elemeto o todo ceo, ecepto quello ucdo e l dgol pcpl de l equ upeo zqued l eo deec. U co ptcul e el de [ ] dg δ K I, que e u mtz udd o detdd de ode. L mtz detdd tee e el álge mtcl u ppel ml l uo e álge comú. Po oto ldo, el equvlete del ceo e u mtz ul o ecemete cudd, cuo elemeto o todo ceo. L mtce cudd cuo elemeto tee metí cougd: dode * dc cougd comple e deom Hemt. Po eemplo: 5 H e u mtz Hemt. S todo lo elemeto de u mtz Hemt o ele, e dec, e tee u mtz métc.

7 U mtz cudd e l que l mo pte de lo elemeto o ceo lo elemeto co vlo gctvo etá gupdo lededo de l dgol pcpl e deom mtz d. Po eemplo: B L líe plel l dgol pcpl e llm codgole. El úmeo totl de dgol codgole co elemeto gctvo e el co de d e ete eemplo. P mtce métc puede tmé le de u co de em d; que clue l dgol pcpl e el eemplo pecedete. U mtz d tee dedd. Po dedd e etede l zó ete el úmeo de elemeto co vlo gctvo el úmeo totl de elemeto. S e u mtz cudd todo lo elemeto po ecm o po deo de l dgol pcpl o ceo e dce que ét e u mtz tgul eo upeo: l l L l K l l l l l l L L L L l m u U K u u u u u L L L L u u u u m E lo que gue e u let egt p deot mtce. P l mtce colum p l mtce l e u múcul, met que p l mtce ectgule cluedo l mtce cudd e u múcul. E todo lo co, lo elemeto de u mtz e dc e múcul.. Opecoe Bác co Mtce Sudvó o ptcó. El couto de elemeto de u mtz puede e dvddo e oto má pequeño medte líe ozotle /o vetcle. L dtt pte,,, etc. o umtce de l mtz. L umtce puede tte como elemeto comue de u mtz, ecepto que dee opee egú l egl del álge mtcl. Iguldd. Do mtce,, B, del mmo ode, o gule cd elemeto de u e gul l coepodete elemeto de l ot. B mplc p todo,. Sum et. L um o deec de do mtce, B del mmo ode e u tece mtz del mmo ode, cuo elemeto e otee umdo etdo lgecmete lo coepodete elemeto de l do mtce ogle: B C ± c ± L um et de mtce e octv comuttv: B C B C B B H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

8 Devd e tegl. álogmete, puede dee l devd de u mtz: α B α l tegl de u mtz e om ml. Multplccó po u ecl. El poducto de u mtz po u ecl e ot mtz del mmo ode cuo elemeto o lo de l mtz ogl multplcdo po el ecl: α B α Multplccó de do mtce. Do mtce, m p B p puede e multplcd e el ode B ólo o coomle p el poducto, e dec, el úmeo de colum de e gul l úmeo de l de B. El poducto C m e u mtz cuo elemeto e otee de: p c, m, Po eemplo, : 5 6 B c c c K C B 9 C L multplccó de mtce e octv dtutv, peo e geel o e comuttv: B C B C B C B C B B Sedo el ode de multplccó mpotte, e ecuete etzlo, dcedo po eemplo que e el poducto B l mtz pemultplc B, o e que B potmultplc. E lguo co B B ; e dce etoce que B o comutle. E ácl vec que el poducto de do mtce tgule eoe upeoe e ot mtz tgul eo upeo. pocó. L tpuet de u mtz e quell cu l o l colum de vceve. S B, etoce : L tpuet de u mtz métc e ovmete l mtz ogl. Poducto del tpo eult empe e mtce métc. Lo mmo puede dece de poducto S S e métc. Cudo e tpoe u poducto mtcl l ecuec de lo ctoe dee vete: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

9 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - B C C B K K Detemte de u mtz cudd. E u úmeo que eult de: ±! det K Dode cd témo de l um clue u olo elemeto de cd l de cd colum. S e eto poducto e code lo elemeto odedo po l,,.., lo ídce de l colum e cd témo de l um puede e otedo como pemutcó del ode oml. Segú el úmeo de cmo equedo p et pemutcó e p o mp e g l poducto coepodete el go o -. L um clue l! pemutcoe pole. L guete popedde clt el cómputo de l detemte de u mtz cudd culque: S e tecm do l colum l detemte cm de go. L detemte de u mtz,, e gul l detemte de u tpuet. El vlo de l detemte de u mtz o e lte u colum l multplcd po u ecl e um lgecmete ot colum l: c d c d d c det det E coecuec, l detemte de u mtz co do l o colum gule o popocole e ceo. Má ú, do o má colum l de u mtz o lelmete depedete, e dec α α α... α - - α p u couto de coecete α de lo que po lo meo uo e dtto de ceo, l detemte e ceo. Se dce etoce que l mtz e gul. Codéee po eemplo el co: e gul pueto que: L detemte de u mtz tgul e gul l poducto de lo elemeto de u dgol pcpl. P u poducto mtcl e cumple que: det det det det C B C B K K í, po eemplo, : etoce: 88 6 det

10 Ive de u mtz. S u mtz e o gul, e pole otee u ve, -, que tce: Ovmete I I I. L ve de u mtz dgol e ot mtz dgol, cuo elemeto o ve de lo elemeto de l mtz ogl. L ve de u mtz tgul eo o upeo e ot mtz tgul del mmo tpo. L veó de mtce pemte eectu l opecó equvlete l dvó del álge comú. B C B C vée lo cometo del ítem.5.5 P l ve de u poducto mtcl e cumple: BK C C KB U mtz Q e deom otogol : Q Q I. Ptculmete, Q e u mtz cudd e tee etoce que Q Q. Po eemplo: coθ R eθ e otogol, pueto que: eθ coθ coθ eθ R R eθ coθ. Reédoe u mtz co coecete compleo, U, e dce que ét e ut * U U I. Epco Suepco Vectole U mtz colum de ode e u couto úmeo que puede e tepetdo como compoete de u vecto e u epco de dmeó. Se dce que u couto de vectoe v v v... v 5 o lelmete depedete ete úmeo α α α... α 5, o todo ceo, tle que: v α v α v α 5v 5 α K ltetvmete, puede dece que lo vectoe o lelmete depedete uo culque de ello puede epee como comcó lel de lo oto: v c v lelmete depedete eto o e pole. p vectoe lelmete depedete de ode p coom u e de u epco vectol de dmeó p. Po oto ldo, q vectoe, de lo que p p q o lelmete depedete, etá cotedo e u epco de dmeó p. S lo vectoe lelmete depedete... p cottue u e de u epco vectol de dmeó p, u u couto de eto puede codee como e de u u epco cotedo e el epco vectol ogl. H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 5

11 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 6 L colum o l de u mtz ectgul puede tte como vectoe. El úmeo de vectoe lelmete depedete dee el go de l mtz. U mtz cudd e o gul u go e gul l ode de l mtz, e dec tod l colum o lelmete depedete. Lo coto mplc que u o má colum l puede oteee como comcó lel de l ot l detemte e ceo.. Stem de Ecucoe Lele Se etmdo que u 75% de lo polem de geeí e peet, e lgu etp del to, l olucó de u tem de ecucoe lele: K K K K. o e: M M K L K K K. E l eccoe guete e upoe que el tem de ecucoe tee olucó úc, e dec, que det. L olucó de tem de ecucoe e u ue eemplo de l deec ete l mtemátc clác lo método uméco modeo. í, l Regl de Cme: K K L K K K K K K K K L K K K K K K det det. e popoco ómul eplíct e temedmete ecete cudo e tt de eolve tem co má de cógt ecepto p co mu epecle de l mtz de coecete. Muco método ecuetemete utlzdo e geeí, como po eemplo lo método de elemeto to p l olucó de ecucoe e devd pcle, eult e

12 el pltemeto de gde tem de ecucoe lele. El coto de ál e muco co l ctldd de u modelo ucetemete peco depede e g medd de l om de lmcemeto de l ecucoe de l ecec del lgotmo utlzdo e u olucó..5 Método Decto p l Solucó de Stem de Ecucoe Lele Ete cápte code método que, de o e eoe de edodeo, poduce l olucó ect e u úmeo to de po. P tem, e lo que e de lt dedd, lo método decto o e geel lo má ecete p l computdo ctulmete utlzd. S emgo, cudo u g úmeo de elemeto de o ceo, e epecl cudo e ded potv > p culque, puede e má coveete utlz u método tetvo e que e otee u ecuec de olucoe pomd que covege l olucó ect..5.. Stem gule L olucó de tem de ecucoe lele e ptculmete mple cudo l mtz de coecete e tgul. Po eemplo, codéee u tem U e el que U e tgul upeo: u u u u u u u K u K u K u, u u KK S U e o gul u p todo, l cógt puede evlue e el ode:, -, -, -,..., :.. u u u. Ete poceo e deom uttucó ve. álogmete, p u tem L, e el que L e u mtz tgul eo o gul l p todo, puede utlze u uttucó dect o educcó :.5 l l l.5 E mo co, l olucó del tem equee dvoe opecoe de multplccó um c lo mmo que p multplc u mtz tgul po u vecto. H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 7

13 .5. Método de Gu Éte e el má mpotte de lo método decto p l olucó de tem de ecucoe lele. L de ác etá e com l dtt ecucoe p elmdo cógt e om temátc otee lmete u tem tgul, ácl de eolve. Codéee el tem de ode : KK K K K.6 K o e om compct:. E lo que gue e upoe que e o gul. Supóge tmé que. Puede etoce elme de l ecucó de ét e et l ecucó multplcd po:.7 l Co ello e otee: dode l l K K K K KK.7.7c E om ml, puede elme de l ecucoe,,.. etdo de l ecucó l ecucó multplcd po: l í ucevmete t otee el tem tgul: K K K KK.8 o e otcó mtcl: U. Lo elemeto,,, K que e u como dvoe e et educcó e llm pvote. El poceo tl como do pltedo t el mometo ll lguo de eto e ceo. Eto e geel o ocue l mtz tee dgol H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 8

14 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 9 domte e dec, > o e métc ded potv v v > p v to. El guete eemplo lut el poceo: Lo úmeo dcdo l zqued ete péte o lo ctoe l po lo que e eceo multplc l ecucó te de etl de l ecucó, p log el oetvo de elm de l egud l guete ecucoe álogmete: lmete: P etm el euezo de cómputo e tul eee l úmeo de "opecoe" equed. L cotume e cot como u opecó l comcó de u um o et, o mplemete u cop co u multplccó o dvó. Et páctc povee de l époc e que el tempo equedo p eectu u multplccó o u dvó e u ode de mgtud mo que el eceo p u um o u et, pudedo depece et últm. L educcó de l mtz de coecete equee de u úmeo de opecoe de ode. L educcó del egudo memo l uttucó ve equee pomdmete opecoe. S e tuve vo tem de ecucoe co l mm mtz de coecete:,,... ólo e equeí eectu l educcó de u vez, po lo que el úmeo de opecoe eí empe pomdmete. Má pecmete, e ce

15 opecoe p eolve u tem de ecucoe lele, peo e gde ólo el pme témo e mpotte. El poceo te decto ll cudo e peet u pvote, eemplo mple de tl tucó e el guete:, gul ceo. U L mtz de coecete o e gul el tem tee u olucó úc. S emgo, depué del pme po eectudo e el ode dcdo teomete, e otee: edo, o e pole poegu como tulmete. L olucó e e ete co ov: tecm l ecucoe l. E geel,, lgú oto elemeto de l mm colum,, dee e dtto de ceo lo coto mplcí u depedec lel de po lo meo do de l ecucoe, e dec l guldd de. Itecmdo l l e puede etoce cotue l educcó. Ddo lo elemeto de l colum, e coveete ecoge como pvote quel de mámo vlo oluto, pueto que el uo de pvote pequeño toduce uete eoe e l olucó. El eemplo guete e luttvo: 7 9 do co c gctv e otee:. de dode: L olucó coect e, emgo,. E ácl compo que o e peet ete polem e evt el pvote pequeño tecmdo pevmete l ecucoe: 9 7 El tecmo de l l que e eco eeec e deom tecmo pcl. ltetvmete, puede pee e u tecmo completo, e que e elecco el guete pvote como el elemeto de mámo vlo oluto ete todo lo elemeto de l u mtz po educe. Se tecm etoce l ecucoe colum cógt p cotu el poceo como e decto. H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

16 El tecmo pcl e geelmete tctoo, dede el puto de vt de l etldd uméc, equee tte meo to que el poceo co tecmo totl..5. Decompocó LU Supóge que e tl que el poceo de educcó del método de Gu puede eectue ecedd de tecm l o colum. E tl co, l decompocó LU dode L e u mtz tgul eo co l U e u mtz tgul upeo, e úc. Eto puede poe áclmete po duccó. P el co del pme eemplo: Lo elemeto de L o utmete lo coecete l udo dute l educcó; U e e cmo l mtz educd! Se mecodo teomete que vo tem de ecucoe co l mm mtz de coecete puede e euelto multáemete. S emgo, o empe e cooce dede u pcpo todo lo vectoe de coecete del egudo memo. Po eemplo, puede quee eolvee. ú e ete co, l eolve el egudo tem o e eceo volve educ l mtz como l co. El tem e equvlete LU, o e lo do tem tgule: L, U. Sedo L U coocdo, eto do tem puede eolvee e O opecoe. L U puede lmcee e l mm pocoe de memo que e l mtz : Como l e detem co el oeto de ce, l puede lmcee e l pocó de. Po oto ldo, o e eceo lmce lo elemeto de l dgol de L que o todo gule. Ddo que lo elemeto de U o quello de l mtz educd, el eecto de l educcó o decompocó e l dtucó de memo e de l om: L K K K K u l l L l u u l l u u u l K K K K u u u u P el eemplo pecedete: E lo co e lo que e eectú tecmo de l /o colum e empe pole o e gul otee ctoe tgule L U tle que LU, H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

17 dode e l mtz que eult de eectu lo tecmo mecodo e l mtz ogl..5. Oto Método Decto odo lo método ttdo e et eccó puede codee como vte del método de Gu. U pole ltetv e l de clcul lo elemeto de L U medte l ómul: u p l p u p,,.9 l u p l p u p,.9 e lug de eectu educcoe como teomete. Et modccó Dooltle e coveete cudo e u clculdo mule, que evt l ectu de muco eultdo temedo. Su uo e computdo e vetoo l opecoe e ce co u pecó mo que quell co l que e lmce lo eultdo. El método de Cout eectú l ctozcó LDR, dode L e l mm mtz tgul eo oted dute el poceo de Gu, D e u mtz dgol R e u mtz tgul upeo co coecete e u dgol pcpl. D R etá elcodo co l U de Gu. d u u d. > E ptcul, p métc: R L. Ete método o poee vet devet co elcó l de Gu, e e e cuto etldd uméc pecó, como e el úmeo de opecoe ece. S dute el poceo de educcó e u l ecucó p elm, o ólo de l ecucoe que gue l o tmé de l ecucoe pecedete, e tee el método de Gu Jod. P el eemplo te codedo: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

18 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel Nótee que e utlzó l egud ecucó p educ o olmete l ecucoe, o tmé l ecucó. álogmete: de dode e otee áclmete l olucó. El método de Gu- Jod e má mple de pogm, peo equee c.5 vece el úmeo de opecoe del método de Gu tdcol. Flmete, p coclu et eccó, dee mecoe que el método de Gu e plcle tmé tem de ecucoe co coecete compleo. Po eemplo: de dode: [ ] Iveó de Mtce S l ve, -, de u mtz e cooce, l olucó de u tem puede ece -. Podí etoce pece coveete detem -, e epecl e tee vo tem de ecucoe co l mm mtz de coecete. S emgo, l olucó puede e oted co muco meo opecoe e geel co muc má pecó utlzdo l decompocó LU. L olucó de lo do tem tgule L U equee ólo O opecoe po cd colum de ó. Po oto ldo, l multplccó - tmé demd O

19 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - opecoe. S emgo, l detemcó de - equee pomdmete el tple de to que p otee L U. El úmeo de opecoe ece p otee l ve de u mtz cudd o métc de ode e. No otte eto, e lguo co e ecet l ve e om eplíct. L ve puede oteee de u modo ecete eolvedo tem de ecucoe lele: X I, dode X -. El guete eemplo utlz u vte del método de Gu co ete oeto: E l colum de l zqued e tee l mtz u ucev modccoe. l deec e peet l mtz I l modccoe oted eectudo oe l l l mm opecoe que e : ltetvmete, l decompocó LU de u mtz e cooce, l ve puede oteee de - U - L -, tmé e O opecoe. S e lo cómputo p L U e ce tecmo de l, el poducto U - L - eult l ve de u cet mtz. L mtz - puede oteee pt de - tecmdo colum e ecuec ve lo cmo de l dute el poceo. P l mtz te coded: LU L ve de u mtz tgul e ot mtz del mmo tpo, ácl de detem. P u mtz tgul eo, L, cd colum de l mtz ve L - puede e oted po uttucó dect o educcó : LY I. <.

20 δ l. l E om álog, l ve, U -, de u mtz tgul upeo, U, e tmé u mtz tgul upeo. Cd l, puede deteme medte UZ I : z δ z u. u z >. P l mtce L U del eemplo codedo: L U U L.5.6 Co Epecle Mtce Smétc Ded Potv. P u mtz métc:. S e eectú l educcó de Gu tecmo de l /o colum e tee tmé que: p <,. E ot pl, l u mtz que dee ú educe e u po ddo e tmé métc. Eto puede poe po duccó, teedo e cuet l codcoe cle de metí demá que: l l.. Puede oeve que, lo coecete e l etp o métco, quello e l etp tmé lo o, pueto que e otee opedo del mmo modo co úmeo gule. Codéee, po eemplo, el tem de ecucoe co coecete métco: E l ucev etp del poceo de elmcó, l u mtce que qued po educ gue edo métc: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 5

21 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel de dode L metí de l mtz po educe pemte ce: l utlzdo e lug de etg lo cálculo de: l l colum, e lug de. El úmeo de opecoe p l educcó e etoce 6 O, pomdmete l mtd que p el co geel. mé lo equemeto de memo puede educe, lmcedo lo coecete de l mtz e u eglo moodmeol. P el co de u mtz métc de lt dedd el guete equem de umecó de lo coecete e popdo: M M M M M M M M M M M M E evdete que tecmo de l colum detue l metí, meo que e tome empe como pvote u elemeto de l dgol pcpl. le tecmo o o eceo l mtz e ded potv > p t, o ul, que e tl co: >,,. < Et codcoe gtz que o e peet pvote pequeño. P el co de mtce métc ded potv puede tmé utlze el método de Cole. Éte método eectú l decompocó R R, dode R e u mtz tgul upeo cuo elemeto puede oteee po l de:

22 p.5 p p,,l p p.5 P el eemplo teo e otee: e dec:.99.6 R El tem puede etoce ece como R R o e R ; R Reolvedo el pme tem tgul: lmete: Puede ote que R etá elcod co l L U de Gu medte R LD; u u L u. R D U; dode D dg H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 7

23 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 8 Mtce Bd. Lo tem de ecucoe e que lo coecete om mtce d o ecuete. le tem e euelve ecetemete po el método de Gu oto mle, que éto coev l etuctu de d de l mtce: LU: Nótee que U L o e u mtz d: 5 po lo tto o covee ll e om eplíct. Ptculmete mple de tt o lo tem co mtce d métc ded potv o e equee tecmo de l /o colum. Do pole equem p lmce lo coecete e u eglo moodmeol o e ete co: L pocoe tle como, o e u, peo e equee p tee u úmeo o de coecete e cd codgol, lo que clt l pogmcó. Sedo el co de l emd, m, muco meo que el úmeo de ecucoe,, l pocoe de memo pedd o depecle. Ete equem de lmcemeto u vte po l e popdo cudo el co de d e pomdmete cotte. Ot poldd e:

24 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 9 Et om de lmcemeto e má ecete cudo el co de d e vle como ocue e l mo pte de lo polem ele. Se gud lo coecete po colum, dede el pel upeo l dgol pcpl. Se equee u eglo de putdoe o ídce que dc l pocoe ocupd po lo coecete de l dgol pcpl que o lo má eedo dute el poceo de olucó. Nótee que l plc el método de Gu o culque vte de ee pocedmeto o e poduce vloe gctvo po ecm del pel ogl po lo tto o e equee má memo que quell e l tucó cl. Se ecet m pocoe de memo dode e el ode de l mtz m << el co de emd, muco meo que l pocoe p l mtz complet o l p u mtz métc de lt dedd. Po oto ldo, l educcó de l mtz de coecete demd ólo m O opecoe, que: l ecepto p m < u ecepto p m < Eto dee compe co 6 O opecoe p educ u mtz métc de lt dedd. L educcó del egudo memo l uttucó ve equee m O, e lug de O opecoe. E l páctc, vez e tee u co de d cotte, peo ú í eto etmdoe o útle, e code m como l med cudátc de lo co de emd e l ecucoe. U co epecl e quel e que l mtz de coecete e tdgol : c c c c c M M O.6 Lo úco coecete gctvo o quello de l dgol pcpl de do codgole, e dec, do líe plel l eed dgol. Se oev que l decompoe l mtz de coecete,, e u ctoe tgule LU lo ctoe mtee l etuctu d: q q q q O O O O O L detemcó de lo q e mu mple:

25 q / q, codedo L c: c,, L.7 c q,, L de dode e otee eolvedo U : / /,, L.7 P eolve u tem de ecucoe lele co mtz de coecete tdgol e equee ólo 5 opecoe. Como e dcó teomete, e cuet como u opecó l comcó de u multplccó o dvó co u um, et o lmcemeto del eultdo. Gde tem de ecucoe lele co mtce de coecete d, métc ded potv. Cudo l memo de l computdo e ucete p lmce todo lo coecete del tem de ecucoe, e ecue l dco. El cceo ete medo e e témo eltvo mu leto e lo pole dee tt de mmze u uo. E ecuete udvd l omcó de tem de ecucoe ecevmete gde e loque de u o má ecucoe o colum. Lo dto de cd loque e lmce e dco. Éto o leído l memo pcpl coome v edo utlzdo egdo e l memo ul u vez opedo. L olucó del tem de ecucoe po el método de Gu u oto ml equee mtee e memo pcpl l omcó de po lo meo do loque e om multáe. í po eemplo, dute el poceo de educcó, l ecucoe del loque dee e utlzd p educ ecucoe del mmo loque de lo loque ucevo,,..., e geel e pequeñ, lo que mplc que, etdo el loque e memo, lo loque ucevo dee e leído, pclmete educdo, egdo e ecuec. lgo ml ocue co el poceo de uttucó ve..6. Eoe e l Solucó de Stem de Ecucoe Lele E l olucó páctc de gde tem de ecucoe lele e elz mlloe de opecoe e cd u ocue eoe de edodeo, Cómo ect eto eoe lo eultdo? Cómo puede etme l mgtud del eo e l olucó? Podí pee que, edo euelto el tem, l mgtud del eduo e u ue medd del eo toducdo e.!eto e lo! Codéee po eemplo: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

26 Y upóge que e euelto oteedo Qué t ue e et olucó? -6 Po oto ldo e m que l olucó e e otee el eduo E meo olucó que? No. L olucó ect e -. uque l mgtud del vecto eduo o d u dccó dect del eo e, e pole utlz eduo p etm el eo e cluo p coeg l olucó. Eto e dcute má delte..6. Nom de Vectoe Mtce Co el popóto de dcut lo eoe l eolve tem de ecucoe lele, e dee como om o medd de u vecto: p p K / p p.8 p Do co ptcule o de teé: / K om Eucld.8 má mámo vlo oluto.8c E eltvmete ácl po que: ólo guldd.9 Et popedde o mle e elcó l om Eucld o logtud de u vecto. L om de u mtz cudd,, puede e ded e om cotete co l decó de om de u vecto: p má p p /. L om e λ má, dode λ má e el mámo vlo ccteítco de ve cpítulo. Po oto ldo: má. Et om tce codcoe mle l om de vectoe. demá: B B. H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

27 .6. Codcometo de u mtz: E et ecucó e lz lo eecto de u pequeñ petucó, o de u petucó δ e. δ e l mtz S e l olucó ect de, cudo e code l mtz de coecete δ l olucó eult δ : de dode: δ δ. δ tomdo om: δ δ δ δ δ dvdedo ete δ : δ δ Κ δ. dode K. e el úmeo de codcometo de l mtz. Ddo que λ m e el meo vlo ccteítco de l mtz, puede ece: K λ má λ / mí / / λ mí.5 Po oto ldo: p u petucó δ e : de dode:, dode δ δ.6 δ δ δ δ ddo que, lo que mplc e otee: δ δ K.7 L ecucoe..7 dc que, K e gde, pequeño cmo e o e puede og cmo mpotte e l olucó. S e tee eoe eltvo de ode tto e como e,..7 puede come, p ec: δ K.8 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

28 Lo eoe de edodeo toducdo e el poceo de olucó puede e K codedo como equvlete petucoe e l mtce cle. e tmé u ue dcdo de lo eecto de lo eoe de edodeo e l olucó. L epeó mplc que etá dd co t c gctv, el úmeo de c que puede epee e coect e l olucó,, puede etme medte: [ K ] t log.9 P el eemplo pecedete: demá: de dode K ltetvmete, tdo co om Eucld: cuo vloe ccteítco o de dode / K. 6 λ má / λ mí λ má.9, λ mí.56 - mo eultdo dc u ml codcometo de l mtz. Note que e el eemplo teo l mtz o e métc, po lo que ue eceo evlu lo vloe ccteítco de. S ue métc, lo vloe ccteítco de eí ectmete lo cuddo de lo vloe ccteítco de..6. Eoe de edodeo e l olucó de tem de ecucoe lele po el método de Gu oto método de elmcó mle L elcoe teóc utlzd e l educcó o: l / l. l S emgo, como eultdo de lo eoe de edodeo, lo vloe clculdo quí dcdo e tce: l / δ dode l δ δ. ece: l δ δ5 δ, edo el mámo eo eltvo de edodeo. ltetvmete puede H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

29 l e / l e. l e puede poe que: e e. má,. c. má, Po oto ldo, codedo que. pecedete p ec mtce L U. Se otee í:, l, puede utlze l epeoe e ucó de lo l,. e dec lo elemeto de l e l dode m -,, m,. Po oto ldo, teedo e cuet que otee: c l.., e Eto demuet que l mtce clculd: L l U No o ctoe ecto de o de : L U L Lo elemeto de o umto de lo e ; lo elemeto de o umto de lo c. L epeoe d u medd de et petucoe. Oévee que l epeoe..7 o plcle tmé e ete co, u vlo de K lto dc que lo eoe de edodeo tedá eecto mpotte e l olucó. Po oto ldo, l epeoe.. dc que e coveete lmt el cecmeto de lo,. Ete e el popóto l elz tecmo de l /o colum. Flmete, dee mecoe que e el poceo de uttucó ve, p otee eolvedo U, lo eoe cumuldo o depecle e témo eltvo lo que eult de l educcó. H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

30 L ecucoe pecedete pemte u etmcó -poteo de l mgtud del eo. -po puede etlecee : teedo que: má,, g.5 má, g p tecmo pcl l.5l g.8 p tecmo totl. Eto límte o teóco. Nótee po eemplo que p u tem de ode e 9 tedí g 6. p tecmo pcl g 8 p tecmo completo, lo que utcí el to dcol eceo p l egud ltetv. S emgo, e l páctc vez e oev u g mo que, ú co tecmo pcl. P mtce métc ded potv e tee que g..6. lgu codecoe eltv udde. Equlo de l ecucoe. E u tem de ecucoe... lo,, puede epee e dveo tem de udde. U cmo de udde equvle code D ; D po lo tto D D D. E et epeoe l mtce D D o dgole. Puede demote que, e utlz lo mmo pvote l D D olo cotee potec ete de l e del tem de umecó utlzdo, lo eultdo o lo mmo d cuet de lo cmo de udde. S emgo l udde utlzd puede ect l eleccó de pvote, epeclmete ólo e ce tecmo pcl. E tl co, e ecomedle equl l ecucoe. eleccoe ecl que elee u mpotc eltv. multplce po ctoe D tle que: má,,, Método tetvo p meo l olucó P l cógt dee L ecucoe dee Codéee el tem de ecucoe p el que e tee l olucó pomd. S e l olucó ect, e tee que: etoce: dode: l detem.. e otee lo ctoe tgule pomdo L U tle que L U, edo pequeño. Et decompocó equee pomdmete O opecoe. pt de puede deteme e O opecoe eolvee: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 5

31 L z U z tmé e O opecoe. Ddo que L U o o lo ctoe ecto de, demá e toduce uevo eoe de edodeo, e eceo te: L z.6 U z Peo d e gí l opecoe e ce empe co el mmo úmeo de c gctv empled e lo cómputo ogle. S lo etá ddo co t dígto, el cómputo de lo eduo: dee cee co t dígto p mmz eoe de ccelcó. S emgo, el lmcemeto de lo eultdo puede cee e pecó mple, e dec, co t dígto. Lo vectoe pemte tmé etm el úmeo de codcometo: κ ε.7 dode e el ode del tem e el mámo eo eltvo de edodeo l ope e pecó mple. S o e muco meo que, o lo que e lo mmo, κ ε o e muco meo que, el poceo tetvo o e decudo. E tl co, l úc ltetv eí ope co mo pecó e tod l olucó. Codéee, po eemplo, el tem de ecucoe: upóge que l computdo ope e e co c gctv. L ctozcó de l mtz de coecete, L U, eult e: De l educcó del egudo memo, e dec l olucó de...8 L e otee: Flmete po uttucó ve, e dec eolvedo U, e detem H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 6

32 P et olucó pomd e tee el eduo: El cómputo de lo... dee cee e dole pecó, lmceádoe lo eultdo e pecó mple. Reolvedo lo do tem tgule: Y etoce: L z U z e otee: 6... edodedo c gctv. Ete eultdo e meo que eultdo e ecto, uque deeí dece que po ccdete. e ete co el Puede vece áclmete que l mtz del eemplo teo e e codcod. Po oto ldo, codéee uevmete el tem: p el cul e otuvo teomete e e co 6 c gctv: κ de ode 6. Supóge que e ope e pede c gctv e el elemeto de et últm mtz l et do úmeo que olo dee e l últm c lmced. De quí eult: No otte e ete eduo pequeño, e otee l coeccó: que l te oted. P eolve ete tem de ecucoe e e ovo que ete eultdo dee má de l olucó ect pomcó equee t co u mímo de 8 c gctv!.7.método Itetvo p l Solucó de Stem de Ecucoe Lele E lo cápte guete e tt do tpo dtto de método tetvo. Eto poceo puede e mu ecete cudo l mtz de coecete,, e de dedd, má ú l evlucó de poducto de l om v o equee l pev detemcó el lmcemeto de e om eplíct. H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 7

33 .7. Método de Relcó Eto pocedmeto o decudo ólo cudo l dgol pcpl de l mtz de coecete e domte. E geel, e code u pomcó cl, tl como, ét e ucevmete meod t otee u olucó ucetemete pec. Codéee el tem de ode :, co p todo. E el método de Jco e clcul l pomcoe,, L medte:.8 L pomcó e t; co ecuec. S lo e detem e el ode tul, l detem e pevmete otedo l uev pomcoe L. S emgo, e el método de Jco o e ce, uo de et uev pomcoe t l tecó guete, dedo e eto del método de Gu - Sedel:.9 Nótee que ólo e equee lmce l últm pomcoe lo. E el eemplo guete e u l do ltetv: L olucó ect e Co el método de Jco e otee l ucev pomcoe: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 8

34 L covegec e meo co el método de Gu Sedel: E lguo co l covegec puede celee co oeelcó: β.. El vlo óptmo de β depede de e cluo de l pomcó. Cuto moe e lo vloe oluto de lo témo de l dgol pcpl, epecto l um de lo vloe oluto de lo ette coecete de l mm l, má e pom β. P el eemplo pecedete, utlzdo β. 5 e otee: Eto método o o ecemete má peco que lo poceo de elmcó. El eemplo l co de l eccó.6 muet que el tem e ml codcodo puede cepte como coect u olucó totlmete equvocd, peo co l que e tee u eduo pequeño. H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 9

35 .7. Covegec E et eccó e lz l covegec de lo método de elcó. U po típco e l olucó de puede ece como: G. Eto puede vee má áclmete e code l decompocó: I D. dode D e u mtz dgol, co elemeto ; o mtce tgule, eo upeo epectvmete, co ceo e l dgol pcpl, cuo coecete o lo. Po eemplo: Co et otcó, p el método de Jco e tee: D e dec: G.. met que p el método de Gu-Sedel puede ece: D. G I. po lo tto: De modo ml, p el método de oe elcó e tee: G I β [ β I β ].5 Po oto ldo, ddo, que l olucó ect,, dee cumpl l ecucó., e tee que: G.6 etdo.6 de.: G.7 de dode: G G G L.7 demá, φ, φ, φ Lφ o lo vectoe ccteítco de l mtz G, lo que coepode lo vloe ccteítco λ, λ λ Lλ, puede ece:, α φ α φ α φ L α φ que lo vectoe ccteítco cottue u e complet. E eltvmete ácl po que: G α λ φ α λ φ α λ φ L α λ φ.7c P tee covegec: Lm.8 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

36 po tto e equee λ < p todo, o lo que e lo mmo: má λ ρ G.8 ρ G e deom el do epectl de l mtz G. P ucetemete gde el eo e multplc po G tee pomdmete [ ρ G ] po. ρ e cd po, e dec e log c decmle ect dcole e cd No e páctco detem co g pecó lo vloe ccteítco de G eto gcí má to que eolve el tem de ecucoe, peo ceto límte puede e áclmete etlecdo. P el método de Jco: g.9 g utlzdo el teoem de Gecgo vée el cpítulo eltvo l evlucó de vloe vectoe ccteítco: má λ má ρ G g o e má g.9 co lo que l codcó de covegec ρ G puede ece: > >.9c Et o codcoe ucete peo o ece. L covegec e má ápd cuto má uete o l deguldde. P el método de Gu Sedel ρ má[ ] dode: > G.5 >.5 lmete e coclue que l codcoe p l covegec o l mm que p el método de Jco uque e geel el método de Gu -Sedel covege má ápdmete. U ál ml del método de oe elcó pemte etlece l codcó dcol: < β.7. Método de Mám Gdete de Gdete Cougd E l pme pte de et eccó e code método p l olucó de tem de ecucoe co mtz métc ded potv, e dec, v v > p todo vecto v o ulo. Codéee l ucó:.5 S e l olucó ect de e tee que: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

37 Peo, edo ded potv: Y po lo tto, e dec,.5 L guldd olo e d mmzcó de.. L olucó de e etoce equvlete u Dd l pomcó cl, l que coepode el eduo el vlo, dee deteme u uev pomcó,, tl que <. P educ el vlo de lo má ápdmete pole, l coeccó dee cee e l deccó de mám gdete. Dee etoce deteme et deccó, z, tl que: d dα α z α e mám e vlo oluto. Sedo, puede ece: de dode: d d α z α α α z α z z α z α z z α z α z.5 Eto gc que dee tome l deccó z.5 o puede deteme α de modo que α e u mímo. Recedo.5 co z devdo co epecto α : de dode: d dα α α α ddo que e ded potv, uc e peet el co Flmete: α El poceo puede epete e ucevo cclo:.5 α.5 α.5c H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

38 Ete método e empe covegete, peo o puede coocee po e cuto cclo e tedá l pecó equed. E lo páo guete e etud u modccó de ete poceo, el método de Gdete Cougd, p el que l meo e teoí - puede gtze l covegec e u úmeo de po gul o eo l ode del tem de ecucoe. Codéee el tem de ecucoe de ode, pomd,, l olucó ect,, puede ece como:. Dd u olucó puede epee como comcó lel de vectoe lelmete depedete. E ptcul, e code vectoe,, L,, que tce l elcoe de otogoldd: c δ puede ece: LL LL ltetvmete: α α α α α.55 Supoedo que lo vectoe o coocdo, lo coecete α puede oteee utlzdo l elcoe de otogoldd mecod. Ddo que: α.56 pemultplcdo po e otee: α <.57 de dode puede ece: α α.58 ltetvmete, puede utlze α.58 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

39 L epeó ltetv α o e coveete, po l cumulcó de eoe de edodeo. Ddo que lo,, L, o vectoe lelmete depedete e u epco -dmeol, el eo empe puede e epedo como u comcó lel de eto vectoe, e dec el poceo deeí lleg l olucó ect lvo eoe de edodeo e po. El vecto e otee elmdo de l compoete egú : β.59 dode: β.6 E el poceo de detemcó de puede teee eoe de ccelcó mpotte o pomdmete plelo. E eltvmete ácl po que,, L o -otogole, etoce clculdo co.59 eult tmé -otogol todo lo vectoe pevmete lldo. P empez, co : β Po oto ldo, de.57 e coclue que: α po lo tto, p < : α α El método de gdete cougd puede eume e lo po guete: Ddo, detem Y luego p,, L : q o e equee e om eplíct α β q α α q q q.6 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel -

40 β Como eemplo, codéee l olucó del tem de ecucoe Co l pomcó cl e otee : q α q / 8 dedo po: α α q β q q / β q α q / α 8 α q β q q / 9 β q α q / 6 9 α El método de gdete cougd puede e geelzdo p eolve culque tem de ecucoe co o gul: Co to, e otee Y luego p,, L : q o e equee e om eplíct α q q α q.6 H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 5

41 β α β q.8 Stem Soe-Detemdo de Ecucoe Lele El polem de detemcó de lo pámeto de u modelo lel p pom u couto de dto e ecuete. de educ l luec de eoe de medcó, e tul ce má medcoe que l etctmete ece, de dode eult má ecucoe que cógt. Dd u mtz de ode m m > u vecto de ode m, e equee detem de modo tl que e l meo pomcó pole. U poceo mple mu decudo lo eoe e lo o etdítcmete depedete e el método de mímo cuddo, que cote e mmz l mgtud del eduo o mmz co epecto l. Ddo que: po lo tto:.6 el método de mímo cuddo puede omule como l olucó del tem de ecucoe omle: S L.6, l mtz métc C tee elemeto c. L mtz C e o gul ólo tod l colum lelmete depedete. P om l ecucoe omle e equee eolve el tem ecucoe omle. Codéee po eemplo de l mtz o m opecoe. P O opecoe. L mo pte del to etá e om l 6 l ecucoe omle o e ete co: H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 6

42 de dode: U método ltetvo umécmete meo codcodo e e l decompocó de l mtz de coecete,, e el poducto de u mtz otogol, Q, u mtz tgul upeo, R e el cpítulo eltvo vloe vectoe ccteítco e dece pocedmeto que puede e empledo p eto. l teee Q R.65 puede ece: l ecucoe omle R Q Q R ddo que Q Q I e otee: R Q R L mtz R o e gul po tto: R.66 Q L mtz R e l mm que e otedí l decompoe tgule po el método de Cole. P el eemplo pecedete: e do ctoe.577 QR de dode: R lmete: Q H. Sclett - Método Numéco: Álge Lel - 7

43 . Vloe Vectoe Ccteítco.. Itoduccó El poducto de u mtz cudd,, po u vecto mtz colum,, e oto vecto, cu compoete o tulmete o popocole. et u vecto φ o ulo tl que: φ λ φ S emgo, puede. Se dce etoce que φ e u vecto ccteítco tmé llmdo vecto popo, egevecto o modo de l mtz. El coepodete ecl λ e u vlo ccteítco tmé llmdo vlo popo, utovlo o egevlo. Nótee que u vecto tce l ecucoe. tmé u múltplo to u vecto "plelo" e olucó. S emgo, e tt eeclmete de l mm olucó; lo vectoe ccteítco ólo e clc como dtto u compoete o o popocole. Po eemplo, e ete co φ φ o vectoe ccteítco, lo que coepode lo vloe popo, epectvmete. Oto vectoe, o plelo lo do te mecodo, o cumple l codcó.: El vecto o puede epee como u múltplo de. El polem cláco de vloe vectoe ccteítco cote e l detemcó de lo vectoe φ lo coepodete ecle λ p lo que e cumple.. Co ecuec e peet el polem geel: φ λ B φ. E muc plccoe l mtce B o métc ded potv. E lguo co e ce póte mplcdo que eult e B dgol. El polem cláco, dedo e., coepode l co ptcul B I... Coveó del Polem Geel l Fom Clác U polem de l om geel. puede covete oto equvlete de l om clác.. í po eemplo, B e o gul puede deteme: B - φ λ φ. H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

44 S emgo, B o métc como e, po eemplo, el co e polem de vcó, e lo que e mtce o epectvmete gdece m covee má ce l decompocó Cole: B R R eectu etoce el cmo de vle. φ R - z. co lo que e otee: R - R - z λ z.c Eto e ptculmete ácl B e dgol. B B ½ B ½ Dode φ B -½ z. B -½ B -½ z H z λ z. Nótee que lo vloe ccteítco o lo mmo que lo del polem ogl; lo coepodete vectoe ccteítco e elco medte.... Polomo Ccteítco Vloe Popo L ecucoe φ λ B φ puede tmé ece como: - λ B φ.5 que tee olucoe o tvle ólo l mtz - λ B e gul, e dec, : λ, λ λ det λb p.5 p e deom polomo ccteítco. Sedo B mtce cudd de ode p e u polomo de gdo, cu íce o λ, λ, ٠٠٠ λ. E lo que gue e upoe, pede geeldd, que: λ λ λ.. Idepedec Lel de lo Vectoe Ccteítco ocdo cd uo de lo vloe ccteítco λ e tee u vecto φ. S λ e u íz de multplcdd m, el coepodete vecto φ puede oteee eolvedo el tem de ecucoe omogée: - λ B φ upoedo m compoete t e φ. Lo vectoe ccteítco coepodete vloe ccteítco dtto o lelmete depedete. Supóge que éte o ue el co, pudédoe otee uo de lo vectoe como comcó lel de oto que í o lelmete depedete: Y etoce: φ φ.6 c λ H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

45 Αφ c Α φ c λ Βφ.6 Po oto ldo, po l decó del polem,.: Αφ λ ι Β φ c λ Βφ.6c Retdo.6 de.6c e otee: λ Βφ c λ Βφ S λ λ deeí etoce teee c p todo, lo que e opoe l póte. Ecepcolmete puede peete vloe ccteítco epetdo. ú e ete co e ctle otee vectoe ccteítco lelmete depedete. emgo, el couto de vectoe ocdo lo vloe ccteítco epetdo dee u uepco, tl que culque vecto del uepco e dec u comcó lel de quello tomdo como e e tmé u vecto ccteítco: φ λ B φ φ λ B φ.7 c φ c φ c φ λ B c φ c φ c φ eédoe vectoe ccteítco lelmete depedete de dmeó, eto cottue u e complet. S Culque oto vecto de tl dmeó puede epee como comcó lel de lo vectoe ccteítco: v α φ α φ α φ α φ.8 Po eemplo, co lo vectoe ccteítco te otedo:.. Otogoldd de lo Vectoe Ccteítco S l mtce B o Hemt o mplemete métc ded potv, lo vloe ccteítco de φ λ B φ o todo ele potvo. P po eto t code: φ Αφ * * φ Αφ φ φ * λ B.9 φ φ * λ B.9 El upeídce * deot quí cougd tpuet. L cougd tpuet de l egud de et epeoe e ecuédee que * φ Αφ * * λ e u ecl: λ φ Bφ.9c l e B Hemt e dec * B* B, etdo.9c de.9 e otee: * * λ λ φ Bφ.9d S, l e B u mtz ded potv e tedí φ * B >. Po lo tto, edo * λ λ, e tedí λ λ lo que mplc que todo lo λ o úmeo ele. S φ H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

46 demá e ded potv, e dec φ * >, e coclue que lo vloe ccteítco o todo potvo. Po oto ldo, * φ λ λ e tee que λ λ e coecuec.9d mplc que: φ * B φ δ e dec, ceo. demá, oevdo l epeoe pecedete: * φ φ δ. L popedde de otogoldd eped e. o l e p l decompocó modl utlzd l eolve tem de ecucoe deecle e plccoe tle como el ál ímco lel. Reédoe uevmete l eemplo cl: 6..5 Nomlzcó de lo Vectoe Ccteítco Como e mecoó teomete lo vectoe ccteítco e dee po l popocó de u elemeto, pudédoe ecl o "omlz" e om t. E ecuete ecllo de modo que: * φ B φ δ. Se dce etoce que lo vectoe etá omlzdo epecto l mtz B. E tl co e tee tmé: * φ φ λ δ...6 Cocete de Rleg S e cooce u vecto ccteítco φ, el coepodete vlo λ puede deteme co el cocete de Rleg: φ Αφ ρ φ. φ Bφ Et epeó puede plce tmé co pomcoe lo vectoe popo. S e u pomcó u vecto ccteítco co u eo de ode ε, el cocete de Rleg, ρ, pom el coepodete vlo ccteítco co u eo de ode ε...7 eoem de Gego Supóge que λ e u vlo ccteítco de l mtz que coepodete vecto, co compoete v v L: v φ e el H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

47 φ λ φ. L compoete de mo vlo oluto e φ e v. Dvdedo l ecucó e. ete v e tecmdo mo memo: λ po lo tto: λ v v v v L L. L L v v.c E coecuec, cd vlo ccteítco λ etá deto de po lo meo uo de lo cículo co ceto e do gul l um de lo vloe oluto de l coepodete l. Po eemplo, codedo l mtz: que e ded potv, puede egue que u vloe ccteítco que o úmeo ele etá deto de lo tevlo,,5. Eectvmete, e ete co λ ±...8 Fom polómc Supóge que e cooce lo vloe vectoe ccteítco de u mtz, : φ λ φ. Cuále o lo vloe ccteítco de l mtz? φ φ λ φ λ φ λ φ Ete eultdo puede etedee p l mtz edo u epoete. Lo vectoe ccteítco o lo mmo que lo de l mtz, met que lo coepodete vloe ccteítco o λ : φ λ φ. Eto e cluo váldo p epoete egtvo. Po eemplo, multplcdo mo memo de.5 po λ - - e otee: - φ λ - φ.c Po oto ldo, comdo lelmete epeoe de l om. teedo e cuet que I í como λ : c I c c c... φ c c λ c λ c λ... φ.d Po eemplo, : tee vloe ccteítco, l mtz: 5 5 H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 5

48 tee vloe ccteítco 9 e dec, lo cuddo de. Lo vectoe ccteítco o lo mmo p m mtce.. Método de Itecó co Vectoe Lo método que e peet e et eccó o lo má ecete cudo ólo e equee u vlo ccteítco u vecto ocdo, o e todo co cudo el úmeo de vloe vectoe ccteítco po detem e pequeño... Itecó Dect E l tecó "dect" e code u vecto cl e otee u ecuec de vectoe coegdo,, medte: B.5.5 dode e u ecl que omlz el vecto utlzdo e l tecó. Lo tul e tom como el elemeto de mámo vlo oluto e, lo que gc ecl el vecto de pomcó de modo que l mo compoete e gul.. Ete poceo covege l vecto ccteítco φ, ocdo l vlo ccteítco de mo módulo, λ. E eecto, l pomcó cl puede ece como: α φ α φ α φ α - φ - α φ.6 Recuédee que lo vectoe ccteítco o lelmete depedete cottue u e complet e el epco de dmeó. Etoce upoedo que B o e gul: α φ α λ Bφ.6 B α λ φ α λ φ α λ φ.6c po lo tto: α λ φ.6d Se oev que, l compoete de e α, quell de eult popocole α λ. Reptedo po álogo lo dcdo e.8, puede compoe que l pomcó puede epee como comcó lel de lo vectoe ccteítco co coecete popocole α λ e ete co e u epoete. E coecuec, λ λ λ L λ, l compoete egú φ cece má ápdmete que l ot e tee que: Lm φ.7 Lm λ.7 Eto e váldo ú cudo α pueto que, po lo meo l tt co gde mtce, lo eoe de edodeo dedo l tmétc mpeect del computdo toduce empe u compoete egú φ. L covegec e mu ápd H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 6

49 λ >> λ o e pomdmete plelo φ e dec, l compoete α e mpotte e elcó l demá. E cmo, lo últmo vloe ccteítco o mle l covegec e e geel mu let. Po oto ldo, o e tee dcultde p el co má cdémco que páctco e que λ λ : e tl co el poceo covege u vecto ccteítco que eult e l poeccó de e el uepco dedo po lo vectoe φ φ -. Codéee po eemplo el polem φ λ B φ co l mtce: 5 B ú cudo e ete co e tee mtce métc, el pocedmeto decto e plc mtce cudd culeque. E ete co e otee: ρ El pocedmeto covege l vlo ccteítco: φ.58.6 que coepode l vlo ccteítco de mo módulo, λ H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 7

50 El vlo de e pomdmete λ, peo el cocete de Rleg, ρ" popoco empe u pomcó meo... Itecó Ive El poceo de tecó dect te decto covege l vecto ccteítco ocdo l vlo ccteítco de mo módulo. Éte puede e útl l code el codcometo de l mtce de coecete e gde tem de ecucoe, o l lz l etldd uméc de ceto método p teg tem de ecucoe deecle, peo po lo geel tee poc mpotc e l epuet del tem etuddo. P detem l epuet de u tem e equee má e lo vloe ccteítco de meo módulo u vectoe ocdo. P detem el vecto ccteítco ocdo l vlo popo de meo módulo el modo udmetl puede ue u "tecó ve": B E ete co :.8.8 α φ α φ α φ α - φ - α φ.9 l pomcó puede epee como comcó lel de lo vectoe ccteítco co coecete popocole α uevmete, e quí u epoete: α φ λ E coecuec, que: α φ λ α φ λ α λ λ φ - α φ.9 λ λ λ λ λ l emple l tecó ve e tee Lm φ. λ Lm. Lo cometo teoe eltvo l covegec de l tecó dect o tmé váldo. E ete co l velocdd de covegec depede de l zó λ / λ. P l mtce del co teo codedo, po eemplo, el vecto cl: e otee el vecto ocdo l vlo ccteítco de meo módulo, e dec, λ. Nótee que e o u pomcó de / λ, met que e l tecó dect lo e de λ. mé e ete co e oev que el cocete de Rleg e empe u meo pomcó l vlo ccteítco. H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 8

51 B ρ E muc plccoe B e dgol o lo e, po lo que l tecó dect e má mple. S emgo, u po típco de l tecó ve equee pomdmete el mmo úmeo de opecoe que u po de tecó dect. Supóge que e tee mtce de ode que e u mtz de lt dedd e dec, co poco coecete o gctvo. El úmeo de opecoe equed p eectu el poducto e de ode. quí e cuet como u "opecó" l comcó de u multplccó o dvó co u um o et. mé e upueto que e gde, po lo que e muco mo que. L dvó de ete lo coecete de l dgol pcpl de B equee u úmeo de opecoe de ode, que puede depece. E teete oev que pevmete e elzó u ol vez l ctozcó LU, l olucó del tem de ecucoe equee tmé u úmeo de opecoe de ode, met que el poducto B demd ólo opecoe. Po oto ldo, l mtz e de dedd tee u co de emd pomedo m, tto u poducto de l om como l olucó de l ecucoe equee pomdmete m opecoe... lcó L velocdd de covegec de l tecó ve depede de l zoe / λ. S λ λ l covegec e let; edo e cmo mu ápd λ << λ. L covegec puede celee medte u "tlcó" µ λ : H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 9

52 φ λ B φ. - µb φ λµ B φ. Nótee que el uevo tem. tee lo mmo vectoe ccteítco que el tem ogl. vloe ccteítco λ - µ. Dede el puto de vt del polomo ccteítco, e tlddo el oge: 5 pµ µ S µ λ puede loge que: λ µ >> λ µ po tto: co lo que l covegec meo e om pecle. << λ µ λ µ, P el eemplo teo, eectudo u tlcó µ.5 e tee:.86.5 B po tecó ve: B ρ Se otee: λ φ El guete lgotmo u el cocete de Rleg p eectu l tlcó. Icdo el poceo co B µ : µ B H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

53 B µ µ. E elcó co l epeoe pecedete: Lm B φ. µ λ Lm. L covegec e cúc... Detemcó de Oto Vectoe Ccteítco E lo páo pecedete e vto cómo medte tecó dect o ve puede oteee φ o φ epectvmete. Podí deteme u vlo ccteítco temedo u vecto ocdo po tecó ve co u tlcó decud; emgo, eto equeí u pocedmeto pevo p de l tlcó. E lo que gue e dece l detemcó de ucevo vectoe ccteítco povecdo l codcoe de otogoldd p el co e que l mtce B o métc. L de ác cote e te co vectoe otogole lo pevmete otedo. Deotudmete, el poceo cumul lo eoe de lo vectoe pevo cd uevo vecto e detem empe co meo pecó que el teo. E l páctc e oev que e pede u c gctv po cd uevo vecto; po tto, o e ctle detem po ete método má de uo vectoe ccteítco. E lgu plccoe eto puede o e ucete. pt de u vecto to: v α φ α φ α φ... α φ. puede oteee u vecto otogol lo vectoe ccteítco coocdo cedo uo de l elcoe de otogoldd: φ B v α φ B φ α φ B φ... α φ B φ φ B v α φ B φ. e dec: α φ B v / φ B φ.c Luego e ucete et de v lo α φ p otee u vecto que lvo po l mpecó e l tmétc o tee compoete egú lo vectoe ccteítco pevmete lldo. P el eemplo te ttdo, upoedo que e otedo el pme vecto ccteítco:.959 φ H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

54 codedo v e otee α , de dode:.658 v - α φ e u vecto otogol φ. S e ce u tecó ve co e otee upoedo que e ope co u tmétc tmete pec el vecto ccteítco φ : B ρ E mpotte ce ot que, como coecuec de lo eoe de edodeo e toduce e l pomcoe compoete egú lo vectoe ccteítco oglmete elmdo.. compoete egú φ : E lo eultdo pecedete e tee l guete α Como et compoete tede cece má ápdmete que l pop olucó, e eceo elml cd ó 5 po, utlzdo el mmo poceo cl: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

55 v - α P el co del eemplo: luego de ecl ete vecto: φ B ρ e otee: λ. 75 φ Delcó Ot ltetv e ce u delcó, oteedo u uevo tem ~ ~ φ λ B φ, de ode meo, co lo mmo vloe ccteítco del polem ogl, ecepto lo pevmete detemdo. E lo que gue e plc et de u polem de l om clác H φ λ φ. Codéee u mtz otogol, P, cu últm colum e gul l vecto ccteítco φ pevmete detemdo: p p P L.6 p φ l ce el cmo de vle φ P z e otee H P z λ P z pemultplcdo po P : P H P z λ z. S emgo, l e l últm colum de P gul φ upoedo que ee vecto do omlzdo de modo que φ φ e tee: ~ H P H P.7 λ Et mtz tee lo mmo vloe ccteítco que l mtz ogl, H. Lo mmo e puede dec de H ~, ecepto po λ. H múltple poldde p om P. E el poceo popueto po Rutue e ce l opecoe equvlete t co P J JL J, dode: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

56 J O c colum c O colum l l.8 P H P J L J J H J J LJ Nótee que, pudédoe evlu áclmete lo ucevo poducto, que e cd co ólo e lte do l do colum. Lo coecete c e detem pt de l compoete vecto ccteítco pevmete lldo, φ. Deedo: L del q L.8 e tee: c q q q.8c P el eemplo codedo teomete, eí eceo pmeo covet el polem l om clác. l e B dgol: Y p P Luego: H B B H φ λ φ puede oteee po tecó ve: H φ λ φ puede oteee po tecó ve: φ q q q c c Co el popóto de oev que, eectvmete, l últm colum de P e gul φ e etá evludo quí l eed mtz:.9599 P.89 e dec: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

57 de dode:.9599 P.89 P H P Nótee el λ e l equ eo deec. Lo vloe ccteítco de ~ H o λ. 75 λ 5. 56, e dec, gule lo ette vloe ccteítco del polem ogl. Lo coepodete vectoe eult: de dode:.68 z.998 φ z B P z El cto B e equee p otee lo vectoe del polem geel e u om ogl.. Método de omcó Lo método de ete gupo o ecete ólo e equee todo o u lt popocó de lo vloe vectoe ccteítco. L de ác de eto poceo cote e ce u cmo de vle: φ P z.9 p tom φ λ B φ e: P - P z λ P - B P z.9 Ete tem tee lo mmo vloe ccteítco que el tem ogl vectoe popo elcodo po.9. S l tomcoe o tle que l uev mtce tee vloe vectoe ccteítco ácle de detem, e euelto dectmete el polem ogl... Método de Jco El método de Jco 86 puede codee como pototpo de lo método de tomcó. E ete pocedmeto e tom el polem ogl uo de l om: O z z λ M z O z z M z. H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 5

58 que tee como vectoe ccteítco l colum de l mtz detdd como vloe ccteítco lo λ. Lo vloe ccteítco del tem ogl o lo mmo. P e e ete co u mtz otogol: P - P. cu colum o l pop olucó ucd. poceo tetvo que e dece cotucó. Ét e detem medte u E l om que quí e peet, ete método e plc polem de l om clác, φ λ φ, edo u mtz métc el. Má delte e code l modccoe equed p polem de l om geel. Empezdo co llmdo φ lo vectoe ccteítco del polem ogl, el po del poceo e dee como: φ P φ. P φ λ P φ P e u mtz otogol, pemultplcdo po P e otee: P P φ λ φ Lo que equvle code u polem ml l ogl: φ λ φ. Sedo: P P.c Nótee que e mtee l metí de l mtz. Lo vloe ccteítco de et uev mtz o lo mmo de l mtz ogl; lo coepodete vectoe e elco po epeoe de l om.. E el método de Jco l mtce P coepode u otcó pl: col col P l. l O coθ e θ e θ co θ O El oetvo de u po e ce ceo u coecete. áclmete que: po tto: tg θ co θ e θ co θ e θ θ π Puede vece.. Sólo lo elemeto de do l de do colum, e lte e cd po. demá, como e mtee l metí de l mtz ólo dee clcule lo H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 6

59 coecete de l umtz tgul upeo o eo de. Co l otcó c co θ ; e θ : c - c c c c c c c.5.5 E u ceto po e ce ceo lo elemeto. S emgo, l ucev otcoe etoduce vloe gctvo e et pocoe, po lo que e eceo epet el poceo e vo "cclo" p todo lo elemeto de ue de l dgol pcpl. El poceo e covegete. S e u cclo ddo lo cocete [ ] γ.6 o de ode ε, éto e educe ode ε e el guete cclo. El úmeo de cclo completo eceo p que l mtz e ucetemete pomd u mtz dgol depede del ode de l mtz. P mtce de ode 5 ó 6 puede e eceo 8 cclo. Cd cclo demd O opecoe. Dede u puto de vt teóco eí má ecete ce ceo lo elemeto e ode dececete de lo γ, dedo po.6, peo l compcoe ece o eltvmete let. Po eo e peee egu u ode o e l eleccó de lo elemeto eectu l otcoe ólo γ e mo que u tolec, vle e ucó del úmeo de cclo, m po eemplo -m. L covegec del poceo e puede vec co u medd ml. P detem lo vectoe ccteítco e ucete eectu el poducto de l mtce P que: φ P φ po lo tto: φ φ P P P... P m.7.7 P lut el método de Jco codéee el polem φ λ φ co: E el pme po e ce ceo lo coecete. pecedete: E l epeoe 6 H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 7

60 tg θ.5 co θ e θ P P. 99 P Luego e ce ceo lo coecete : co θ e θ P P P Nótee que e tee uevmete vloe gctvo e l pocoe. Po oto ldo: P P Pocededo e om ml: co θ.7887 e θ.6596 P P H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 8

61 P PP co θ e θ.5758 P P PP P P co θ.995 P 5 P 5 PP PP5 5 P 5 e θ co θ.767 e θ P 6 5 P Φ P P P P P 6 5P co lo que tem u pme cclo. álogmete, l tem el egudo cclo: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 9

62 Φ P P L P l lz el tece cclo: No e muet lo coecete co vlo oluto meo que -6. Lo coecete de l dgol de 8 o pomcoe lo vloe ccteítco de l mtz. Nótee que o e otee e ode cedete o decedete. L colum del poducto PP L P8 o lo coepodete vectoe, que e otee omlzdo: Φ Φ I. Eto e compue áclmete, que l mtce P o tod otogole. Φ P P LP Co de Mtce Hemt. El método de Jco puede tmé emplee p ll lo vloe vectoe ccteítco de u mtz Hemt, H, cuo coecete e geel compleo tee metí cougd. E ete co e ce poducto de l om: H U * H U.8 * U e lo que U e u mtz ut, e dec, tl que U el upeídce * deot e ete co l cougd tpuet. P ce ceo el coecete e utlz: col col θ U l co φ e e φ.9 θ e e φ co φ l O Supoedo que: O H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

63 c c d L pte el e mg de lo uevo coecete, eult:. d co φ e φ co θ co φ e φ co θ c e φ e θ d co φ e φ e θ co φ c e φ e θ c e φ co θ de dode: t θ c t φ co θ c e θ d... Método de Jco Geelzdo. E pole modc el método de Jco "cláco" te decto p eolve dectmete el polem geel φ λ B φ. E lo que gue e upoe que B o métc que et últm e ded potv polemete o dgol. Dee ote que B ue dgol eí má ecete tom el polem l om clác. U po del poceo geel e dee po: P P. B P B P dode P e u mtz ml l utlzd p el poceo cláco: O col col P α l. γ l O α γ e detem de: α γ γ α α γ γ α. Et do ecucoe o depedete, ecepto e el co e que. e el que puede codee, po eemplo: Deedo: α γ. H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

64 H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - c c c.5 c c c go c c d e otee: d c d c α γ.5 El dcl e l epeó de d e empe potvo B e u mtz ded potv. Puede oeve que B ue l mtz detdd e otedí: θ γ α tg. Lo cometo pecedete eltvo l covegec o tmé quí plcle. El úmeo de opecoe e cd cclo e de O. El guete eemplo lut lo pecto uevo toducdo e et eccó. Se petede detem lo vloe vectoe ccteítco del tem: φ λ B φ, dode: B P et pequeñ mtce co u po e ucete:, - c c c d α -γ P P B P B P 6 de dode: λ / λ /6 Φ P dg -½ L pot multplccó de P ólo e ece p ecl lo vectoe de modo que δ φ φ B. l gul que e el pocedmeto cláco lo vloe ccteítco lo coepodete vectoe o qued ecemete odedo... El Método QR Ete poceo e plc l polem cláco φ λ φ, dode o equee e métc, pudedo tee vloe ccteítco ceo o cluo egtvo. E el co

65 má geel, p u mtz culque, el método QR e poco ecete, que equee O opecoe po po. S emgo, ólo e equee O opecoe po po e de l om Heemeg: 5 K L O e dec e c tgul upeo, ecepto po u codgol eo. P el co ptcul e que l mtz e demá métc po lo tto tdgol:.7 O O O el método QR e ú má ecete, equedo t olo O po po. E todo co e empe pole eectu l tomcó l om Heemeg tdgol B o métc, equédoe u totl de O 5 opecoe u ol vez. Dee ote demá que, deec del método de Jco, el método QR mtee l pole cogucó d de l mtz pemte eectu tlcoe álog l de u tecó ve, tto p cele l covegec como p meo l pecó e lo vloe ccteítco de teé. El oetvo del poceo coocdo como QR e l detemcó de lo vloe ccteítco; coocdo eto, lo coepodete vectoe puede oteee po tecó ve co tlcó. Codedo, el po áco del método QR cote e ce l decompocó: Q R.8 dode Q e u mtz otogol e dec, Q Q I R e u mtz tgul upeo. Luego e eectú el poducto e ode cmdo: R Q Oévee que pemultplcdo.8 po Q R Q e otee:.8.8c po lo tto: R Q Q Q.8d H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

66 Nótee que e métc tmé eult métc. L epeó.8d dc demá que e "ml" : u vloe ccteítco o lo mmo, lo coepodete vectoe e elco po u tomcó lel: φ λ φ.9 l eectu el cmo de vle: e otee: φ φ Q.9 Q φ λ Q φ.9c Q φ λ φ Q.9d m mtce tee lo mmo vloe ccteítco que e coecuec o lo de l mtz ogl vectoe ccteítco elcodo po.9. medd que cece covege u mtz tgul upeo cuo vloe ccteítco o lo elemeto de l dgol pcpl; p el co métco covege u mtz dgol. Lo vloe ccteítco e otee e ode decedete; í l pomcó l vlo ccteítco de meo módulo e otee e l pocó de l mtz. L covegec del poceo e álog l de l tecó ve. Cudo e po ucevo e otee vloe mle e el etemo eo de l dgol pcpl, puede me que e tee u pomcó l pme vlo ccteítco. covegec puede celee eectudo tlcoe: µ.5 R Q µ I.5 Nótee que lo vloe ccteítco de et uev mtz o gule lo de l mtz ogl meo l tlcó. Cudo e log que puede cee u tlcó:, µ.5c p meo l covegec l egudo vlo ccteítco álogmete e pocede p lo oto vloe equedo. Po egl geel e equee ólo po po cd vlo ccteítco dcol. l lz el poceo dee gege lo vloe λ otedo l um de l tlcoe µ eectud. Lo vectoe ccteítco podí oteee co el poducto: φ Q Q Q L.5 peo ete poceo e poco ecete, edo má coveete otee eto vectoe po tecoe ve co tlcoe gule lo vloe ccteítco detemdo. Eto pemte tmé meo l pecó e lo λ. L detemcó de Q R e u po puede cee e dve om. El poceo má ecete cote e tom e u mtz tgul upeo utlzdo mtce de otcó pl como e el método de Jco: L H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

67 po lo tto: L mtz P P P R, L.5 Q L.5 PP P, P, que pemte ce ceo el coecete : O col col P coθ e θ l.5 e θ l co θ O e otee medte: co θ d e θ.5 d d Sólo e equee u cclo de et tomcoe p otee R. No e eceo te. P u eemplo del poceo codéee l mtz: Et e u mtz métc lo cul o e u equto p emple el método QR, edo tdgol, tee l om Heemeg. P tom e u mtz tgul upeo R e ce pmeo ceo el coecete : d.668 co θ.897 e θ.7 P P Luego e ce ceo, co lo que e otee u mtz tgul upeo: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 5

68 9. coθ e θ d P R P P Y e complet el pme po eectudo el poducto: R Q R P P álogmete, e el egudo po: P P R P P R Q Y e el tece po: R P P L P P R PP H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 6

69 R Q R P P Supoedo que el coecete. 9 e u ue pomcó l pme vlo ccteítco, e eectú u tlcó:.79.9i.595 oteédoe e el cuto po: Se ce etoce u uev tlcó: oteédoe: µ µ µ uevmete: oteédoe: µ 5 -. µ µ Se oev o que el coecete e meo que -6, lo que mplc que λ e pomdmete gul l um de l tlcoe pevmete elzd. Covee luego ce u tlcó gul l eultdo otedo p de meo l pecó p el egudo vlo ccteítco: µ 6.75 µ µ I Y puede te co l umtz de u ode meo: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 7

70 d.75 coθ e θ.7 P Q R 7 P Lo coecete dcdo como o meoe que -6. Lo vloe ccteítco de et mtz o.75. P otee quello de l mtz ogl dee ume l tlcoe: λ λ λ omcó l Fom Heemeg S el método QR e plc u mtz culque eí e geel poco ecete, pueto que equee O opecoe po po. P educ el úmeo de O po po dee pevmete tome l mtz l om opecoe "Heemeg" e dec, u mtz que e c tgul upeo, teedo demá coecete gctvo e l pme codgol eo: M, H.5 L M M M L L L O S l mtz ogl ue métc, l tomcó l om Heemeg, que puede cee coevdo l metí, poduce u mtz tdgol. E tl co el QR equee pe opecoe po po. Ce ot que l om Heemeg tdgol p el co métco o e pede e lo ucevo po del método QR. L tomcó l om Heemeg ólo equee cee u vez. Po lo tto 5 O que e gt e l tomcó etá plemete utcd. l Ete lo pocedmeto que e ecuet e l ltetu p eectu l tomcó, e popoe el cmo de vle φ Bφ, co lo que el polem ogl Α φ λ φ e eecí como B Α B φ λ φ o e H φ λ φ. E ete co B Α B H o, lo que e lo mmo, Α B B H. E el poceo ogl de Heemeg e u u mtz B de l om: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 8

71 M L L L B.55 L L co coecete to e l pme colum que po mplcdd e ecto como l pme colum de l mtz detdd. Lo coecete de l ucev l de H colum de B puede etoce oteee co l epeoe:,, L.55,,, L.55c Ete pocedmeto podí ll e lgú po. El poceo podí, ecomeze co u pme colum de B deete, lo que e geel evtí el eo, uque eto o puede gtze. epueto o mtee l pole metí de l mtz. Po oto ldo, el pocedmeto te mé puede cee l tomcó l om Heemeg po otcoe pl método de Gve o eleoe Houeolde. El método de Houeolde utlz mtce otogole métc, de l om:.56 P I w w dode w e u vecto uto: w w. E ácl po que P P P L mtz P ele l epco e el "plo" que p po el oíge e otogol w. Codéee u vecto culque v α w αu dode u w. Etoce, v I w w α w α u α w α. Nótee que l compoete egú w u P cmdo de go, e dec, el vecto v do eledo e el plo otogol w. L tomcó de e H medte el método de Houeolde equee po e quí el ode del tem de l om:. P P.57 dode: P I θ w w θ w w w v go v e,.57 edo: H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 9

72 H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -,, M M v u mtz que cotee lo coecete de l colum de que etá po deo de l dgol pcpl, M M e l colum de l mtz detdd de ode. P que el poceo e má ecete, dee oeve que l pemultplc, cu colum o L, po l mtz P, cd colum e modc e om depedete. L colum de P eult: w w w w I θ θ.58 Igulmete, l potmultplc po P l l e modc e om depedete. Llmdo o l l de l mtz P, l coepodete l de P eult: w w w w I θ θ.58 Po eemplo, codéee l mtz: omcó de l pme colum l om Heemeg: v 766. v e v v w 96. θ θ w

73 P θ P w P P omcó de l egud colum l om Heemeg: v. v w v v e θ θ w P θ P w H P P H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

74 . Método Mto Lo do poceo que e dece e lo que gue o decudo p tem de ode gde e el co e que e eque muco vectoe ccteítco... Itecó co l Detemte de - µ B Lo vloe popo de φ λ B φ o lo ceo del polomo ccteítco p λ det λ B. Po eemplo, : 8 B 8 L íce del polomo: p λ λ 8 λ det λ 6 λ 6λ 8 λ λ 86λ 7 o lo vloe ccteítco. L detemcó de lo coecete del polomo ccteítco e ctle utlzdo, po eemplo, el método de Heemeg. U vez otedo lo coecete del polomo ccteítco, e equee detem lo vloe de λ p lo que p λ. S emgo, éte e ecuetemete u polem ml codcodo: pequeño eoe e lo coecete cu gde eoe e l íce. Po ello, lo método e lo que e ce u detemcó eplíct del polomo ccteítco ólo o decudo p pequeñ mtce. P mtce de ode elevdo, peo co u co de d comptvmete pequeño, puede deteme lo vloe ccteítco po tecó, evludo l detemte de µ B p u ecuec de vloe µ que e coge co poceo tle como el método de l ecte. í, dd l pomcoe µ µ u íz édoe clculdo p µ µ B p µ µ B e otee u meo pomcó, µ, medte: µ µ µ µ η µ η p p µ p µ L evlucó de p µ o equee tee el polomo λ S p e om eplíct..59 µ B e decompoe e el poducto de u mtz tgul eo, L, co uo e l dgol pcpl, po u mtz tgul upeo, U, e tee que: µ det µ B det LU det L det U p.6 dode: det det L l l l ll U u u u u L.6 H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

75 p µ u Lu po lo tto: L decompocó de opecoe el co de d e pequeño. u u u µ B e ctoe tgule LU equee poc Ptculmete mpotte e el co e el que l mtce B o métc ded potv todo lo vloe ccteítco o ele potvo. E tl co puede plce l popedd de Stum: el úmeo de coecete egtvo e l dgol pcpl de U l ce l decompocó µ B LU e gul l úmeo de vloe ccteítco meoe que µ. Et popedd, comd co l tecó.59 u ot ml, pemte otee u pme pomcó u íz. S emgo, el poceo dee come co tecoe ve udo el cocete de Rleg p e lo vloe otedo. P l mtce B te dcd, co µ. 5 :.5.5B p álogmete e otee: µ p µ Númeo de coecete egtvo e l dgol pcpl de U λ λ λ λ Itecó e Suepco El método ttdo e l eccó pecedete e ecete cudo l mtce tee co de d eltvmete pequeño. Cudo el co de d e gde e má decudo u poceo de tecó e uepco, como e dece e ete cápte. Ete método tee po oeto detem e om multáe lo p vectoe ccteítco ocdo lo vloe ccteítco de meo módulo. L de ác e que e muco má ácl te p otee u uepco que coteg eto vectoe que te p otee cd uo de ello po epdo. Se t co u coleccó de q vectoe lelmete depedete q > p. Lo q vectoe cle dee u uepco que o ecemete cotee lo p H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

76 vectoe de teé. S eo p vectoe ccteítco etuve cotedo e el uepco, eí ucete poect φ λ B φ p otee el tem z λ B z, de ode q <<, que eí ácl de eolve po método de tomcó. Lo vloe ccteítco del polem poectdo eí lo mmo del polem ogl, met que u vectoe ccteítco, z, coepodeí l poeccoe de lo vectoe φ e el uepco. No edo éte el co, e ce tecoe ve p meo lo q vectoe co lo que e t, de modo que el uepco po ello dedo e má má plelo lo p vectoe popo de teé. E lo que gue, e upoe que B o mtce métc. Sedo X lo q vectoe de pomcó, e cd cclo del poceo e elz lo po guete:. Itecó ve: X BX L mtz dee ctoze te de c l tecoe. Lo vectoe X o má plelo lo pmeo p vectoe ccteítco.. Poeccó de B e el uepco dedo po lo vectoe X : B L mtce X X X B X B o cudd, métc, de ode q. c. Solucó del polem de vloe vectoe ccteítco poectdo: Q B Q Λ Λ e u mtz dgol, cuo coecete o lo vloe ccteítco del polem poectdo. S lo X dee u uepco que cotee lo p pmeo vectoe popo, lo p meoe vloe e Λ o pte de l olucó ucd. d. Detemcó de uevo vectoe: X X Q Como coecuec de lo po c d: X X X Q Q Λ q X B X Q Q B Q I q X Q Q B X Q X e dec, lo vectoe X tce l codcoe de otogoldd, lo que egu que l tecó ve o poduce q vectoe todo gule φ. S e l X compoete egú todo lo p vectoe ccteítco de teé: Lm Λ dg Lm X dg λ λ L λ L φ L φ L φ Hédoe otedo e do cclo ucevo lo etmdo λ p λ p p el mo de lo vloe ccteítco equedo, el cocete λ p λ p λ p d u p p H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco -

77 medd decud del eo eltvo e útl p vec l covegec. dcolmete, dee compoe que lo vloe vectoe otedo coepode lo p meoe vloe ccteítco. P ello puede ue l popedd de Stum, ctozdo µ B e LU co vloe de µ lgemete moe lo λ clculdo. S B o métc, de ode, co de emd m, e ded O m, potv, el úmeo de opecoe cle equed e de eeclmete p l ctozcó de. E cd cclo de l tecó, codedo q <<, dee cee O q m q opecoe. Eto puede educe O q m q cudo B e dgol. P el pocedmeto como e q m p, p 8. decto e lo páo pecedete, e t co Htulmete uo cclo de tecó o ucete p otee 6 c gctv coect e lo p vloe vectoe ccteítco. L opecoe O m p opecoe dcole. le equee pomcó Icl P c el poceo e equee q vectoe lelmete depedete, gupdo e X. S B ue dgole, lo vectoe ccteítco eí l colum e de l mtz detdd. ú cudo B o e dgole, éte puede e u ue cteo p cotu l pomcó cl X. E ptcul, deeí ecogee l colum cuo ídce coepode lo mámo. Co el popóto de toduc compoete egú todo lo vectoe ccteítco, e cotum demá code do colum co compoete to que podí e todo gule, o gule lo. E lgu plccoe e ácl otee u ue pomcó l pme vecto ccteítco, po eemplo, como olucó de u tem de ecucoe de l om. L ucev colum p u ecelete pomcó cl puede etoce oteee como vectoe de Rtz, medte u poceo ecuvo que com po de tecó ve co otogolzcó: B B B Detemcó de Gupo de Vectoe Ccteítco Hcedo lcoe S e equee muco vectoe ccteítco, el pocedmeto etád de tecó e uepco puede cee má ecete utlzdo ucev tlcoe e comcó co pocedmeto de elmcó de l compoete egú lo vectoe coocdo. E ete co e t co uepco de dmeó q, co el popóto de detem gupo de q q má, m, edo m el p vectoe. Htulmete co pomedo de emd. P cd gupo de vectoe, e elz cómputo cle que clue:. Detemcó de l tlcó el poceo e c co µ H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 5

78 ~ µ.λ.9 λ λ e el últmo vlo ccteítco p el que e logdo covegec; ~ λ e l pomcó l guete vlo ccteítco.. Fctozcó: µ B L U c. Detemcó de q vectoe de pomcó cl, X. L tecó clue lo po guete:. Elmcó de l compoete de X egú lo vectoe ccteítco pevmete detemdo ve cápte.... Itecó ve: Y L U Z B X Y c. Poeccó de µ B B e el uepco dedo po lo vectoe Y : B L mtce Z Y Z B Z B o cudd, métc, de ode q. d. Solucó del polem de vloe vectoe ccteítco poectdo: µ B Q B Q Λ e. Detemcó de uevo vectoe: X Z Q. Veccó de l covegec Como e el pocedmeto etád, dee vece que e tee lo vloe ccteítco coecto utlzdo l popedd de Stum. Eemplo mple Supóge que e equee do vectoe ccteítco de B φ λ B φ, edo: E ete co ptcul l tecó ve poduce e u olo po el uepco que clue lo do pmeo vectoe ccteítco, que do de lo vloe ccteítco o to. P ce má ecete el poceo dee ctoze pmeo l mtz : H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 6

79 .5.5 LU Co l pomcó cl: X Se otee po tecó ve: B X L U X B X X Poectdo l mtce B e el uepco dedo po lo vectoe X : X X B X B X e euelve el polem poectdo método de Jco geelzdo: c c c d.56 α -.5 γ. de dode: P γ P P α P B P.96 Λ Q lmete e epe lo vectoe e el tem de eeec ogl: X XQ φ φ H. Sclett - Método Numéco: Vloe Vectoe Ccteítco - 7

80 . Ecucoe No Lele. Itoduccó E geel o e pole otee l íce de u ecucó o lel e om eplíct, deédoe utlz método tetvo. Ptedo de u íz pomd,, e otee u ecuec,, Kque covege l íz deed. P lguo, e que e ll l íz; oto método e ucete cooce el tevlo [ ] pocedmeto, de covegec má ápd, equee u pomcó cl cec l íz. Puede e coveete empez lo cálculo co u método del pme tpo cm u método de covegec má ápd e l etp l. L pme pte de ete cpítulo code el co e que l íz,, e u íz mple, e dec,. L dcultde que e peet e el co de íce múltple e dcute e l eccó.6. L eccó.7 ev método epecíco p ete ceo" íce de polomo. L pte l d lgu de p l olucó de tem de ecucoe o lele, u polem que cetmete puede demd muco euezo de cómputo.. pomcoe Icle Puede oteee pomcoe cle l íce de tuldo l ucó. S < o o gcdo o, po lo meo u íz,, e el tevlo, método de Beccó e dee u ee de tevlo. E el K. o o,,, El puto medo de u tevlo, e /. Supoedo que ete o e el co, e lldo l íz e dee el u-tevlo, medte:,,, < < Itoducedo l otcó ε O ε. Como., e equee ó po p meo u dígto decml e l pomcó.. ε, e tee que L covegec e páctcmete depedete de Po eemplo, p l ucó: e puede ce l tecó co oteédoe: H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

81 c c < < > < Se udo l c coect. Puede oeve que l covegec e let.. Método de Newto Rpo S e ucetemete ceco l íz : L Y depecdo témo de ode upeo:. Puede etoce pee e te co: dode: epeó que dee el método de Newto Rpo o mplemete de Newto. L gu muet u tepetcó geométc: Po eemplo, puede emplee el método de Newto p ete l íz p de u úmeo c, lo que equvle eolve: c ' p p p Co el método de Newto: H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

82 po lo tto: p c p p p p c p P otee l íz cúc de e tedí: e cdo lo cálculo co : ε Puede oeve que l covegec e mu ápd. S emgo ete o empe e el co. Codéee, po eemplo, l ecucó: ctg p l que co ec Lo eultdo otedo co do dtt pomcoe cle,. 5, o: p. 5 p Dvege! L codcoe p l covegec del método de Newto e ev cotucó. De l epó de e ee de lo: Dvdedo ete que e upoe dtto de ceo: η η e tevlo, ε η ε η H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

83 cudo e tee que ε ε. Eto e váldo ólo, e dec l íz e mple. El co de íce múltple e ev má delte. El poceo covege cudo ε < ε, e dec : ε <. S l íz e mple l pomcó cl e decud, l covegec del método de Newto e cudátc. Co el método de Newto puede tmé oteee íce comple. Eto equee que l pomcó cl e u úmeo compleo. Po eemplo, : e tedí: e cdo lo cómputo co. : Método de l Secte Oto Poceo del Mmo po S e l devd e pom po deot, e tee el método de l Secte: Se upoe que, dode P cd puto,, olo dee evlue u ucó,, met que el método de Newto equee tmé l evlucó de. E mpotte ce ot que NO e coveete ec et epeoe e l om: que co et últm epeó puede toduce uete eoe uméco cudo >. E l tl guete e euelve e p po el método de l ecte: H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

84 ε < e l gác dut c o e pec l deec ete l ucó l ecte. L covegec de método de l ecte e e geel má let que l del método de Newto. S emgo, e utc u ete método l equee má del evlucó de % del to que e emple e, que el mo úmeo evlu de tecoe qued má que compedo po el meo úmeo de opecoe elzd e cd co. et cocluó e lleg compdo l covegec de mo método. P el método de l ecte: edo: ε ε ε ε ε ε K e otee depecdo témo de ode upeo: ε ε ε ε ε K ε ε ε ε ε ε L ε ε ε ε ε Supoedo etoce: ε ε ε K K C ε β ε β β β C ε C ε ε po lo tto dode e otee: 5.68K, de β β β E dec, l covegec del método de l ecte e ete lel cudátc. H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 5

85 E el método de Fl Pocó l ecte e tom ete lo puto, dode < e el mo ídce p el cul <. S,, e cotuo, ete método e empe covegete. S emgo, l covegec e de pme ode. Ot ltetv e el método de Steee: dode: g cu covegec e de egudo ode: g ε ε.5. Oto Método Itetvo puede ece como g. Dd etoce, l ecuec,,, L ded po: g e l egó de teé. El U ecucó de l om u pomcó u íz de g covege empe que < pocedmeto puede e má mple que oto e lguo co puede cluo covege má ápdmete. Po eemplo, l ecucó: tg e equvlete ctg. E ete co podí tee co ctg o, lo que e lo mmo, c ctg. S emgo, l tecó ect l evé, e dec ctg, o uco. E eecto, tomdo e tedo co ctg e otee: ctg U tepetcó gác del poceo e muet e l gu. E lo que gue e lz cómo e educe lo eoe e ete co. S e code ε ε e tee que ε ε ctg H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 6

86 Supoedo que ctg ε << puede cee u epó de l cotgete e ee: ε O e ε ε edo l olucó ect, ét tce détcmete l ecucó: ctg ; de dode e coclue que: e dec ε ε e ε ε < ε po lo tto el poceo e covegete. S e cmo e code l tecó ctg e tee que ε ε el poceo o covege, ú cudo e mu ceco l íz : Codcometo de l Ríce: Ríce Múltple S e u pomcó u íz de, e tee: K P puede ece: S el eo e l evlucó de e de δ O δ depede de l pecó de l computdo e depedete de el eo e l pomcó de l íz e de δ O. Etoce, que l íz etá ml codcod. e mu pequeño e tee que δ >> δ e dce El mmo gumeto puede epete cudo e tt de u íz de multplcdd m, co e el que:: m K. E tl co: δ m! O m m El epoete m mplc que l íce múltple o e geel ml codcod. H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 7

87 Codéee po eemplo:, que tee u íz dole. Supóge que e t co tmétc de puto lotte 8 decmle e l mt. 8 Etoce δ, edo e otee: O 8.77 K e dec, culque vlo e el go:,999999,77 eí ceptdo como 5 ecto, pudédoe tee u eo eltvo de ode. p.5 Ríz e codcod Ríz ml codcod Sedo l íce múltple ml codcod, e de epee que l epcó eltv de l íce ecte el codcometo. Ptculmete cítco e el co e que l íce etá má o meo uomemete epcd, po eemplo e: ρ 9 8 L 65 L! S e lug del coecete e tuve u coecete ε, e otedí l íce: ε ε ± ± 6.57 ± 8.67 ± Ete eemplo e ptculmete ml codcodo, peo o ecuete l dcultde álog l evlu lo ceo e dec, l íce de polomo. L evlucó de l íce de u polomo e u polem uméco que dee evte, meo que lo dto cle do lo coecete del polomo e om eplíct. H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 8

88 pte de u ml codcometo, l íce múltple educe el ode de l covegec. í, po eemplo, el método de Newto, cu covegec e cudátc cudo e pomdmete u íz mple: ε ε tee covegec lel cudo l íz e múltple. P u íz de multplcdd m : ε O ε ε m El método de Newto modcdo: m tee todví covegec cudátc, peo e geel o e pole cooce m po. ltetvmete, puede pee e poceo del tpo: u u u u u Peo ótee que eto e poco eectvo cudo l íz e mple, pueto que e equee evlu u ucó dcol,..7. Método p Clcul Ríce de Polomo E et eccó e ev lguo de lo muco método epecíco p evlu l ρ K íce ceo de polomo: α α α K α E ecuete uetm l dcultde que e peet e polem de ete tpo. Lo método mecodo e lo cápte teoe Newto, ecte oto o tmé quí plcle, uque puede e poco ecete..7. Método de Beoull Ete e u poceo "cláco", que e geel eult poco popdo, poque e otee pmeo l íz de mo módulo. Se tom vloe to t ecuó: t p t p, t t Lt co t e clcul uevo vloe po, Et e u ecucó de deec, cu olucó puede ece como: H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 9

89 p p p t c c K c p L o íce dtt de ceo de: e dec, l o l íce del polomo: α. Po tto: t p p p c α c α K c α p α > α K α e tee que: Lm ρ t t ρ α ρ. Eto e álogo u tecó dect p detem u vlo popo de u mtz. mé quí l covegec e let cudo α α. El poceo covege α, ú cudo c gc lo eoe de edodeo. El coveete pcpl de ete método e que ete pmeo l íz de mo módulo l "delcó" co et íz que o e ect puede toduc eoe mpotte e l ot íce. Supóge, po eemplo, que: Co t t t t e otee: t t α t Nótee que l covegec e let. Eto e ecuete. Depué de poco po e meo cm oto método v.g. Newto - Rpo.. H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

90 .7.. Método de Gee método de lo cuddo de l íce Ete e u poceo que puede e empledo p meo el codcometo de l íce, peo e decudo p complet l etccó de l mm. Ddo: p K p O e: α α α Puede ome u uevo polomo φ α K. p p α α α α L. Como φ olo cotee potec pe de, e puede de: p φ α α α K α α E dec, p tee íce l íce de p. Del mmo modo puede oteee p p8 L pm íce de, o l α dode m. p m S e tee coecete m m, L α Lα, L tle que: p K lo coecete, L de p m eult:, m,, que o utmete lo cuddo de Y p m o ucetemete gde, puede ece: α m α m K α m. L Et epeoe pemte, e teoí, detem lo vloe oluto de l íce. Lo go dee oteee po uttucó e el polomo ogl p. 6 Po eemplo, codéee el polomo 6 p cu íce,, etá uomemete epcd po tto etá ml codcod: m de dode 6 α α H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

91 α e dec α. α α. L íce de p p L p 8 etá meo codcod e cd po. S emgo, e oev u cecmeto mu ápdo de lo coecete pole "ovelow" po lo que o puede elze muco po..7.. Método de Lguee U mu ue método p ete íce de polomo e el de Lguee. E ete método, l ucev pomcoe u íz e clcul medte: p p ± H dode e el gdo del polomo : p [ p p ] H Como e oto co, dee codee el go que evt l ccelcó, e dec, quel p el que eult lo má pequeño pole. El método de Lguee equee evlu p, p p e cd po, peo l covegec p íce mple e cúc. S l íce o ele, ete método covege empe. Supoedo que l pomcó cl eté e el tevlo ete α α, covege u de e do íce. S e cmo < α o > α el poceo covege α o α, epectvmete. Po eemplo, codéee el polomo: p Co l pomcó cl e otee: p p p H E E E9. E om ml, co l pomcó cl. 5 : p p p H E E E6. uque ete método puede e udo tmé p ete íce comple, e ee co o puede gtze l covegec. S e tuve pe de íce comple, H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

92 peo lo coecete del polomo ue todo ele, eí coele ete ctoe cudátco co el pocedmeto decto e l eccó Método de Btow ctozcó tetv de polomo. p K puede epee como: U polomo ρ q,, F, G, Se equee detem, p que p, e dec, p que e teg F, G,. Sedo éte el co, do de l íce o u p de íce comple puede oteee de ; el eto de l íce o lo ceo de q. Ddo vloe pomdo de, tle como, e otee vloe meodo,, codedo: F G df d. e u cto ecto de, F,, df d,, G, de dode, co l otcó d, d, G F F dg df dg L G, e tee: d d F G F G F G, G F F G F G F G, Ddo que el polomo ogl p e depedete de, l dev el polomo p q F co elcó e otee: G q q F G q q F G e dec, lo F q ete met lo F G e otee como coecete del eduo l dvd q tmé ete. dg G o lo coecete del eduo l dvd L covegec de ete poceo depede de u ue pomcó cl. El guete eemplo lut u po del poceo. Supóge que e tee el polomo: p u cto pomdo e dec, o. Dvdedo ete cto utlzdo el pocedmeto de Ru e otee: p ete p q - 6 H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

93 Y álogmete: -q q de eto eultdo: F G F G,, F G,, w F G F G e dec: E el guete po e otee: F.57 G. 65 F.. 79 G F G de dode. 97,. 97. El cto ecto e 5. El método te decto e decudo olo l pomcó cl e cec l cto ecto eto e álogo lo que ocue co el método de Newto. Puede tmé utlze l mm de p ep ctoe de gdo mo que Método de Je u Ete poceo tee lgu mltude co el método de tecó ve p ll vectoe ccteítco. Covege l íz de meo módulo lo que e eecoo p u "delcó" decud; vée l eccó.7.6 pemte eectu tlcoe p cele l covegec. E polemete el meo de lo método p ete íce de polomo peo e lguo co o e el má ecete. El lgotmo tee etp:. Ddo el polomo p co o,, e detem: p H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

94 po ecuó: p p,, L medd que cece, l zoe ete lo coecete de quello de tede cee cotte e gule l íz de meo módulo: α. E u egud etp, co u tlcó, e detem: p p c. Y lmete e e l pomcó co tlcoe vle e cd po: p p Cd po de ete método equee O opecoe. E lo que gue e lz cómo el poceo covege. El polomo cu íce e uc puede epee e l om: dode p m m m α α α K m, m m L o l multplcdde de l íce., El método e c co polomo puede ece e l om: dode c c α m L Etoce: p, que e u polomo de gdo. Ete p. Puede poe po duccó que lo ucevo polomo o tmé polomo de gdo. Supóge que: p c α p p e dec, c c α p p p p c α α p c p α e u polomo de gdo, tmé lo e α. H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 5

95 H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 6 demá: m c c α α α α α K e code tlcoe tle que: K α < α < α e tee que codedo multplcdde m gule: K c c c > > po lo tto: Lm α Et epeó puede tmé ue p detem l tlcoe má decud: w w dode: p w L últm epeó puede poe codedo que: p p utlzdo l egl de L' Hoptl. Po oto ldo, ddo que α p, e tee que α w po lo tto: w w Et epeó e álog l utlzd e el método de Newto. Codedo c α puede ece: w w ε α α ε peo e ete co l ucó w e vle e cd po: p w p g p c α P α e tee: g >> α po lo tto: α α g c p w puede pome po: [ ] K α α c g c w de dode:

96 peo ε c etoce: ε ε g α ε c c α ε ε ε K c β ε ε ε L β ε ε K c de dode ε ε ε codedo ε C ε e otee lmete γ. 6. El ode de covegec e upeo l del método de Newto. Codéee, po eemplo, el polomo: p cu íce o gule α α. E ete co: p p p e evdete que, e cotu co el poceo, e tee covegec. multplcdd. α γ E dec, e u po Eto e dee que e eldd e tee u ol íz co P el guete eemplo: p cu íce o α, α : p p. -.. p p / p / p / p / L pme íz H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 7

97 .7.6 Delcó El polomo p, de gdo, puede ece como: p q, dode q e u polomo de gdo p. S α e u íz ect de p, e tee. L íce ette o l íce de q. P el cómputo de et ot íce puede etoce te co el cocete q e lug de p. Eto e u "delcó". L delcó puede epete medd que e otee ot íce. E evdete que eto o opecoe. S emgo, medd que e clcul l íce ét o puede oteee e om ect l delcó co u íz que e olo pomd poduce u polomo q que etá ectdo po eo eoe. Codéee, po eemplo,, cu íce ect o α, α. S e otee pmeo l íz α quell de mo módulo co u,% de eo: α., l delcó poduce: p -.. α q E dec, e otee q.9, cedo q eult α. 9. Nótee que α. S e cmo e detem u eo de,% e α poduce u eo de % e pmeo l íz meo, tmé co u eo de,%, α.: p -.. α q de q : e otee α :, co ólo u,% de eo. E cocluó, lo eoe toducdo po l delcó o meoe l íce e detem e ode cedete de vloe oluto..8. SISEMS DE ECUCIONES NO LINELES E lguo polem cdémco l olucó de tem de ecucoe o lele puede e ec po mple elmcó. Po eemplo, p detem lo puto e lo que e teect el cículo l péol, t et um m epeoe oteédoe ±, ±. S emgo, e l mo pte de lo co páctco eá eceo te. Muco de lo método te decto p eolve u ecucó o lel puede geelze p eolve tem de ecucoe o lele:,,, K,,, K Itecó dect U poceo mple puede e otedo ecedo et ecucoe como: H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 8

98 ,, K g,,, K g, lo que pemte te co o e co g,, K, g,k, K, Eto o lo equvlete o lele de lo método de Jco Gu Sedel. mé quí puede etlecee u cteo de covegec ml g <. Deedo l mtz D, co coecete: d δ g δ e tee que lo vloe ccteítco de l mtz D dee e tle que: λ <. Co ecuec e peet tem o lele de l om: g dode l δ g δ o t. Etoce, p ucetemete pequeño, el poceo tetvo g tce l codcoe de covegec. Po eemplo, e el tem de ecucoe o lele: e co Puede tee co: e co Oteédoe co l pomcó cl : Método de Newto mé el método de Newto - Rpo puede e geelzdo p tem de ecucoe o lele: D E l eccó.7. e peetó u plccó de et de. El poceo covege e ucetemete ceco l olucó ect, lo que e eltvmete ácl H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - 9

99 H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele - cudo l o leldde o o mu uete e com el método de Newto - Rpo co u poceo cemetl. P el co ptcul de do ecucoe o lele:,, puede ece: epeó e l que, u devd e clcul co l pomcó,. Luego e otee: d edo d det D. Codéee, po eemplo:.5,, Et ecucoe tee do olucoe: , , Co l pomcó cl, e otee: Co ot pomcoe cle, como po eemplo, ó,, e otee Método de Mám Gdete El método de Newto tee covegec cudátc, peo equee u ue pomcó cl. Co tl, puede emplee el método de mám gdete, cu covegec e let peo etá gtzd empe que D e o gul.

100 L olucó del tem de ecucoe o lele e quell que ce mím l ucó: [ ] F,, L Ptedo de u pomcó e ce coeccoe de l om: α F α D α dee e tl que F < F. pomcoe L evlucó de lo coecete de l mtz D, e dec: d puede eque demd opecoe, po lo que e comú volve evlu D olo cd ceto úmeo, m, de po o e cd po. Se tee í el método de Newto - Rpo modcdo: p D p, p, K p m. Eto tmé o muc opecoe l eolve el tem de ecucoe lele p detem l, pueto que l mtz D olo dee educe cd m po. mé puede utlze método álogo l método de l ecte. pomcó ecuete e: d δ δ e U dode e e l colum de l mtz detdd de ode, lo o to, po eemplo: eto e el método de l ecte, que d u ode de covegec de pomdmete.6. S e cmo e tom e otee u geelzcó del método de Steee. Ot poldd cote e dev co epecto u pámeto, α : δ δ δ δ δα δα lo que pemte utlz muco de lo poceo p eolve tem de ecucoe deecle od decto e el cpítulo 6. Po eemplo, puede codee δ δ δ D α α δ δα δ α etoce: D Ete e el método de Eule, u poceo mple peo o empe decudo. H. Sclett - Método Numéco: Ecucoe No Lele -

101 5. Itepolcó, Deeccó e Itegcó Numéc 5.. Deec Ft Dd l c coepode vloe delte como:., uomemete epcd:, l que, e dee l pme deec t c álogmete puede dee l egud deec: e geel l deec t c delte de ode : dode:!!! U tl de deec e u eglo de l om: Puede pece como u pequeño eo e l puede mplce e l deec t lt, lo que puede e útl p detc pole eoe e u tl de. L deec t tee cet popedde álog l devd. í po eemplo: c u cv c u c v u v u v v u u v v u v u v u v v u v u v u v H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5 -

102 H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5 - E om ml, puede dee deec t c tá: deec cetle: δ δ δ δ... δ δ δ Et deec etá elcod: δ Y e geel: δ P puto co epcmeto o uome puede clcule deec dvdd: ], [ ], [ ], [ ], [ ],, [... ],, [ ],, [ ],,, [ L L L Po eemplo: [ ] L, P el co de puto co epcmeto uome,, l deec dvdd puede elcoe co deec t c delte:! ],,, [ L e om ml co deec t cetle o c tá. S e u polomo de gdo, l deec t de culque tpo de ode o upeo oted co lo o ceo. E el eemplo teo e u polomo de tece gdo.

103 5.. Itepolcó Supóge que e tee u tl de vloe tle como: Y e equee clcul.5. P ello, puede pome loclmete po u ucó má mple, g, tl que g. El co má comú e quel e que g e u polomo, peo tmé o ecuete l pomcoe co ucoe tgoométc, po eemplo: g co co L e e L E lo que gue e ce é e tepolcoe polómc. Ddo puto,, ólo u polomo de gdo, p, tce l codcoe p p todo. Su coecete,, podí oteee eolvedo: K K K K K M M peo eto o e páctco. Oto método má ecete e ev cotucó. 5.. Fómul de Itepolcó de Newto Ot Epeoe álog. P puto uomemete epcdo: α α α α L α! Et epeó e ácl de otee codedo u opedo E tl que E, e α α dec E. Como E, puede ece: α E. Geelmete e code olo lguo témo de et ee. Po eemplo, depecdo l deec de ode o upeo: α α α α α α Codedo lo vloe uméco: α α α α H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5 -

104 p lo que., el vlo de.5 podí oteee co α. 5 : de dode el vlo ecto e.9689 L epeó teo e l ómul de tepolcó de Newto co deec t c delte. Smlmete puede ece l ómul de Newto co deec c tá: α α α α L α! o l ómul de Newto co deec dvdd: [, ] [,, ] [,,, ] L Et últm epeó e váld tmé p puto co epcmeto o uome. Codéee po eemplo l tl de deec dvdd:.5 [ ] [ L ] [ L ] [ L ],,,, L.9689 Ete e el eultdo co 5 témo, co témo e otee Ot ltetv e tepol co deec cetle: α α δ α α δ α α α δ 6 L α α δ α α δ α α α δ 6 L Et o l ómul de Gu. ómul de Stlg: Pomeddo l do epeoe e otee l α α α α δ δ δ δ δ L α 5... Fómul de Itepolcó de Lgge Et ómul e má decud p ál teóco que p el cómputo páctco. El polomo de tepolcó e otee como: p m g H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5 -

105 Lo polomo g e otee multplcdo omo: Nótee que g δ. El guete eemplo e luttvo: g g g 6 m g. p g Itepolcó de Hemte. E lguo co e coveete t co lo vloe de l ucó, u ceto m úmeo de u devd,,, K. Ddo lo vloe m,,, K e puto de c, e pole detem u polomo p de gdo m que tg: p,, Km,, K L tepolcó de u ucó cudo u o má de u devd o coocd e cd puto e llm tepolcó de Hemte. p puede oteee utlzdo l ómul de Newto co deec dvdd codedo que:, Lm [ ] [,, ] [, ] mé podí ue l epeoe de Lgge, codedo pmeo puto u dtc pequeñ, ε, luego detcdo l devd co lo límte de dve epeoe p ε. El guete eemplo e luttvo. Se tt de detem u polomo p de gdo, tl que: p p p p v L vb θ L θ B H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5-5

106 v v L v B L v B [ ] [ ] [, ] θ v θ B, v L,, vb v θ L L θ B v v L L B B,, v v Se tomdo dto de et tl guedo u tecto ozotl. p v v θ L B v θ L v v B B θ θ B L L L θ θ B L L ξ ξ v ξ ξ v ξ ξ θ L ξ ξ θ L p B B dode ξ. L 5... Itepolcó Ive. E l olucó de puede oteee pomcoe u íz,, po tepolcó de u ucó ve co oded o uome,. Codéee, po eemplo: Udo l ómul de Lgge co puto: p c de epcmeto Geelzcó V Dmeoe. L epeoe teoe puede áclmete geelze p "mll" de má dmeoe. í, e tee puto co cooded,, z L; Lm; Ll l ómul de Lgge eult: dode p,, z g m l g g g z z epeoe mle e l deccoe, z. Fecuetemete lo puto etá uomemete epcdo: z z z H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5-6

107 L gu muet u zo de u mll dmeol co epcmeto uome. L cooded de u puto e l pomdd de puede dee po do pámeto α, β cooded eltv medd e udde,. D C B P β E O α F G H Udo l ómul de Stlg, e cluedo deec cetle t de ode cluve, e otee: α, β dode: α α β β α β α α β β e gulmete ácl deoll epeoe álog codedo u úmeo mo o meo de puto e cd deccó. L peec de ode cuvo toduce lgu dcultde o e pole egu teedo u epcmeto uome. S emgo, e muco co e eceo t co mll o egule, como l motd e l gu guete. L deec t o o etoce l emet má decud. El cocepto de elemeto to e útl pemte u ttmeto má mple. L egó e etudo e dvde e uegoe o elemeto, coectdo e u úmeo to de udo co lo elemeto dcete. El vlo de u ucó,, e u puto e el teo de u elemeto e otee tepoldo lo vloe de l ucó e lo udo del elemeto:,, z N N,, z H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5-7

108 H. Sclett - Método Numéco: Itepolcó, Deeccó e Itegcó 5-8 L ucoe de tepolcó dee tce: z N δ,, z,, o l cooded del udo,, N z N Eto últmo e evdete e upoe c p todo etoce c z,,. dcolmete, l N dee e tle que e mteg l cotudd de e lguo co l cotudd de u o má devd e lo ode ete elemeto. E eltvmete ácl cotu et ucoe p elemeto dmeole ectgule. Po eemplo, p u elemeto co udo co eeec l cetode:,,,, N X Y Y X Y p u elemeto co 8 udo co eeec l cetode: N,,,