ESTADÍSTICA UNIDAD 8. Página 198. Página 199

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1 UNIDAD 8 ESTADÍSTICA Págia 198 Si duda cooces el ceso muicipal que se realiza, periódicamete, cada pocos años. E él, se recaba datos de cada vivieda relativos a la casa, a la uidad familiar que la habita y a cada uo de los miembros que la compoe. Iteta recordar (o averiguar) alguos de los datos que se preguta e el ceso de tu localidad. Imagia qué otras cosas pregutarías si fueras tú el ecargado de realizar el ceso. Por ejemplo: domicilio, estudios realizados, año de acimieto Págia 199 Imagiemos que e u muicipio desea estudiar el tamaño de las uidades familiares que lo compoe. Para ello, recurre al último ceso y extrae los datos, co los que forma ua tabla como la siguiete: Completa la tabla ivetado los datos como te parezca razoable, para u total de familias. Haz, después, el correspodiete diagrama de sectores. Por ejemplo: N-º DE MIEMBROS EN LA FAMILIA 1 ó 3 ó 4 ó 6 7 u 8 9 ó más de N-º DE FAMILIAS TABLA DE FRECUENCIAS N-º DE MIEMBROS N-º DE FAMILIAS EN LA FAMILIA 1 ó ó 4 8 ó u ó 4 más de Total ó 3 ó 4 ó 6 7 u 8 9 ó más de 1

2 Págia 3 1. Reparte los cuareta datos del ejercicio resuelto aterior e 8 itervalos. Para ello, coviee que tomes u tramo de logitud r' = 3 cuyo extremo iferior sea 147,. INTERVALOS FRECUENCIAS 147,-11, 11,-1, 1 1,-19, 4 19,-163, 163,-167, 1 167,-171, 6 171,-17, 4 17,-179, 1 Págia 6 1. Compara las desviacioes típicas de las distribucioes 1,, 3 y Al comparar dos de ellas, e caso de duda, pregútate: qué he de hacerle a ésta para que se parezca a la otra? Por ejemplo, para que la 1 se parezca a la, hemos de achicar las columas extremas y aumetar la columa cetral. Por tato, la 1 es más dispersa que la. De meor a mayor desviació típica, se ordearía así:, 3, 1, 4. Págia 9 1. E la siguiete distribució de otas, halla Me, Q 1, Q 3, p 80, p 90 y p 99. x i f i F i e % 1,94 6,11 17, 31,94 60, , 90,83 96,11 0 Me = p 0 = ; Q 1 = p = 4; Q 3 = p 7 = 6; p 80 = 6,; p 90 = 8; p 99 =

3 Págias y Obté la distribució de frecuecias acumuladas y represeta el correspodiete polígoo, relativos a los datos de la tabla siguiete: INTERVALOS FRECUENCIAS EXTREMOS F i e % , , , , % Q 1 Me Q 3 p Halla gráfica y uméricamete Q 1, Me, Q 3 y p 90 e la distribució del ejercicio propuesto e la págia aterior. Q 1 = 43,66%; Me = 7,1 Q 3 = 309,86; p 90 = 346,06 Págia 16 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER 1 Deseamos hacer ua tabla co datos agrupados a partir de 384 datos, cuyos valores extremos so 19 y 187. a) Si queremos que sea itervalos de amplitud 17, cuáles será esos itervalos? b) Haz otra distribució e 1 itervalos de la amplitud que creas coveiete. a) [18, 3); [3, ); [, 69); [69, 86); [86, 3); [3, 1); [1, 137); [137, 14); [14, 171); [171, 188]. b) Amplitud = 14: [19, 33); [33, 47); [47, 61); [61, 7); [7, 89); [89, 3); [3, 117); [117, 131); [131, 14); [14, 19); [19, 73); [ ]. 3

4 La altura, e cetímetros, de u grupo de alumos y alumas de ua misma clase es: 10, 169, 171, 17, 17, 17, 181, 18, 183, 177, 179, 176, 184, 18 Calcula la mediaa y los cuartiles y explica el sigificado de estos parámetros. Me = 17,. Es el valor que deja por debajo de él al 0% de la població; y, por ecima, al otro 0%. Q 1 = 171. Es el valor que deja por debajo de él al % de la població; y, por ecima, al 7%. Q 3 = 181. Es el valor que deja por debajo al 7% de la població; y, por ecima, al %. 3 Los gastos mesuales de ua empresa A tiee ua media de euros y ua desviació típica de 1 00 euros. E otra empresa B la media es euros y la desviació típica 00 euros. Calcula el coeficiete de variació y di cuál de las dos tiee mayor variació relativa. σ A C.V. (A) = 0 = 1,% x A σ B C.V. (B) = 0 = 16,67% x B Tiee mayor variació relativa la B. 4 El peso medio de los alumos de ua clase es 8, kg y su desviació típica 3,1 kg. El de las alumas de esa clase es,4 kg y su desviació típica es,1 kg. Calcula el coeficiete de variació y compara la dispersió de ambos grupos. 3,1 C.V. (chicos) = 0 =,33% 8,,1 C.V. (chicas) = 0 = 9,73%,4 Hay mayor dispersió e el peso de las alumas. U detista observa el úmero de caries e cada uo de los 0 iños de u colegio y obtiee los resultados resumidos e esta tabla: NÚMERO DE CARIES FRECUENCIA ABSOLUTA y 1 x FRECUENCIA RELATIVA 0, 0, z 0,1 0,0 a) Completa la tabla obteiedo x, y, z. b) Calcula el úmero medio de caries. 4

5 a) Como la suma de las frecuecias relativas es igual a 1, teemos que: 0, + 0, + z + 0,1 + 0,0 = 1 z = 0,3 Por otra parte, sabemos que = 0 y que: frecuecia absoluta frecuecia relativa = y y x de dode: z = 0,3 = y = 3 0,0 = x = Por tato: x =, y = 3, z = 0,3. b) x = 1, caries por térmio medio. 6 E ua població de familias se ha observado la variable X = úmero de coches que tiee la familia y se ha obteido los siguietes datos: 0, 1,, 3, 1 0, 1, 1, 1, 4 3,,, 1, 1,, 1, 1, 1, 1, 3,, 1 a) Costruye la tabla de frecuecias de la distribució X. b) Haz el diagrama de barras. c) Calcula la media y la desviació típica. d) Halla la mediaa y los cuartiles. a) x i f i b) f i x i c) x = 1,6 d) Me = 1 σ = 0,94 Q 1 = 1; Q 3 =

6 Éste es el polígoo de frecuecias acumuladas correspodiete a ua distribució de datos agrupados e itervalos. a) Escribe la tabla de frecuecias absolutas. b) Calcula la media y la desviació típica de la distribució. a) INTERVALO f i [0, ) 3 [, 40) 6 [40, 60) [60, 80) 0 [80, 0) 6 b) x = 0; σ = 8,98 8 Completa la siguiete tabla estadística, dode f, F y fr represeta, respectivamete, la frecuecia absoluta, la frecuecia absoluta acumulada y la frecuecia relativa. Recuerda que fr = f/ y calcula. x f F fr 0,08 0,08 0,16 0,14 0, 0, 0,14 0, = 0 9 Observa esta tabla sobre la edad de alguos iños y iñas e el mometo de adar: TIEMPO (meses) N-º DE NIÑOS

7 a) Dibuja el polígoo de frecuecias. b) Calcula la media y la desviació típica. c) Cuál es el itervalo mediao? 9 meses es el itervalo que va desde que se cumple 9 meses hasta el día ates de cumplir meses. a) NÚMERO DE NIÑOS 1 Polígoo de frecuecias TIEMPO (meses) b) x = 1,; σ = 1,30 c) [1, 13) Págia 17 E ua materidad se ha tomado los pesos (e kg) de 0 recié acidos:,8 3, 3,8,,7 3,7 1,9,6 3,,3 3,0,6 1,8 3,3,9,1 3,4,8 3,1 3,9,9 3, 3,0 3,1, 3,4, 1,9 3,0,9,4 3,4,0,6 3,1,3 3,,9 3,0,7,9,8,7 3,1 3,0 3,1,8,6,9 3,3 a) Costruye ua tabla co los datos agrupados e 6 itervalos de amplitud 0,4 kg. b) Represeta gráficamete esta distribució. c) Calcula la media y la desviació típica. a) INTERVALOS FRECUENCIAS [1,6; ) 3 [;,4) [,4;,8) [,8; 3,) [3,; 3,6) 9 [3,6; 4) 3 0 7

8 b) f i 1 1,6,4,8 3, 3,6 4 PESO (kg) c) x =,89; σ = 0,49 11 E ua fábrica se ha medido la logitud de piezas de las mismas características y se ha obteido estos datos: a) Represeta el histograma correspodiete. b) Se cosidera aceptables las piezas cuya logitud está e el itervalo [7, 86]. Cuál es el porcetaje de piezas defectuosas? LONGITUD (e mm) NÚMERO DE PIEZAS 67,-7, 7,-77, 9 77,-8, 790 8,-87, 0 87,-9, Del segudo itervalo habrá que rechazar las que mida etre 7, y 7. Calcula qué tato por cieto de la amplitud represeta la diferecia 7-7, y halla el porcetaje de la frecuecia correspodiete. Procede aálogamete e el cuarto itervalo. a) NÚMERO DE PIEZAS , 7, 77, 8, 87, 9, LONGITUD (mm) b) E el itervalo 7,-77,: 7 7, =, 9, = 47, piezas defectuosas E el itervalo 8,-87,: 87, 86 = 1, 0 1, = 30 piezas defectuosas E total, el úmero de piezas defectuosas será: + 47, = 9,, que represeta el 9,% del total. 8

9 1 Se ha pasado u test de 80 pregutas a 600 persoas. El úmero de respuestas correctas se refleja e la siguiete tabla: a) Calcula la mediaa, los cuartiles y los percetiles y 8. b) Cuál es el percetil de ua persoa que tiee 6 respuestas correctas? a) Hacemos las tablas de frecuecias: RESPUESTAS NÚMERO CORRECTAS DE PERSONAS [0, ) 40 [, ) 60 [, 30) 7 [30, 40) 90 [40, 0) [0, 60) 8 [60, 70) 80 [70, 80) 6 INTERVALO f i e % [0, ) 40 6,67 [, ) 60 [, 30) 7 1, [30, 40) 90 1 [40, 0) 17, [0, 60) 8 14,17 [60, 70) 80 13,33 [70, 80) 6, EXTREMOS f aci % ac i , , , , , , , ,17 Me = , (0 40) = 43,33 16,67 Q 1 = + 1, (30 ) = 6, ,67 Q 3 = ,17 (60 0) = 9,41 16,67 P = + 1, (30 ) =,66 8 7,83 P 8 = ,33 (70 60) = 66,88 k 7,83 b) 6 = ,33 (70 60) k = 8, 13 Al pregutar a u grupo de persoas cuáto tiempo dedicaro a ver televisió durate u fi de semaa, se obtuviero estos resultados: Dibuja el histograma correspodiete y halla la media y la desviació típica. TIEMPO NÚMERO (e horas) DE PERSONAS [0; 0,) [0,; 1,) [1,;,) 18 [,; 4) 1 [4, 8) 1 9

10 HORAS x =,7; σ = 1,93 14 De ua muestra de 7 pilas eléctricas, se ha obteido estos datos sobre su duració: a) Represeta los datos gráficamete. b) Calcula la media y la desviació típica. c) Qué porcetaje de pilas hay e el itervalo ( x σ, x + σ)? TIEMPO (e horas) NÚMERO DE PILAS [, 30) 3 [30, 3) [3, 40) 1 [40, 4) 8 [4, ) 1 [, 70) 6 a) HORAS b) x = 4,63; σ = 7,98 c) x σ = 34,6 ; x + σ = 0,61 E el itervalo [30, 3): 3 34,6 = 0,3 0,3 = 0,3 E el itervalo [4, ): 0,61 4 =,61,61 1 = 6,73 E total: 0, ,73 = 6,08 Por tato, e el itervalo ( x σ, x + σ) hay u de pilas. 6, = 74,77% del total

11 1 E el proceso de fabricació de u vio, se le CONCENT. NÚMERO añade u compuesto químico. (mg/l) DE BOTELLAS Se ha comprobado la cocetració de este [;,) 1 compuesto e ua partida de 0 botellas y se [,;,4) 38 ha obteido los datos de la tabla. [,4;,6) 76 a) Calcula la media y la desviació típica. [,6;,8) 7 b) Se estima que el vio o se debe cosumir si la cocetració de ese compuesto es superior a,9 mg/l. [,8; 1) 14 Segú esto, qué porcetaje de botellas o es adecuado para el cosumo? a) x =,17; σ = 0,4 7 b) = 0,03 El 3,% o es adecuado para el cosumo. 0 Págia Estas tablas recoge la frecuecia de cada sigo e las quiielas durate las primeras joradas: a) Calcula el úmero medio de uos, el de equis y el de doses. b) Calcula la desviació típica para cada caso del apartado aterior. c) Calcula los itervalos ( x σ, x + σ) y ( x σ, x + σ) y obté la proporció de datos que hay e ellos para cada sigo. 1 X X a) El úmero medio de uos es 7,4; el de equis es de 4,3; el de doses es,. b) La desviació típica de uos es σ 1 = 1,96; la de equis es σ x = 1,70 y la de doses es σ = 1,44. c) Itervalos para: Los uos (,49; 9,41); (3,3; 11,37) Las equis (,6; 6); (0,9; 7,7) Los doses (0,81; 3,69); ( 0,63;,13) La proporció de uos que hay: 13 E (,49; 9,41) es = 0,6 y e (3,3; 11,37) es = 1. 11

12 La proporció de equis que hay: E (,6; 6) es = 0,6 y e (0,9; 7,7) es = 0,9. La proporció de doses que hay: E (0,81; 3,69) es = 0,7 y e ( 0,63;,13) es = 0,9. 17 Este diagrama de barras muestra las calificacioes obteidas por u grupo de 0 estudiates: a) Costruye el histograma correspodiete a las calificacioes uméricas teiedo e cueta las siguietes equivalecias: Suspeso, [0, ); Aprobado, [, 7); Notable, [7, 9); Sobresaliete, [9, ). b) Calcula la calificació media Suspeso Aprobado Notable Sobresaliete Te e cueta que los itervalos o tiee la misma amplitud y que las áreas de los rectágulos debe ser proporcioales a las frecuecias. a) CALIFICACIÓN b) x =,36 18 La ota media de los aprobados e u exame de Matemáticas ha sido 6,8 y la de los suspesos 3,. Calcula la ota media de la clase sabiedo que hubo 3 aprobados y 1 suspesos. 6,8 3 = 38 3, 1 =, 38 +, = 90, 90, : (3 + 1) = 90, : 0 =,81 19 La estatura media de los 38 alumos y alumas de ua clase es de 168 cm. Las chicas, que so 17, mide 16 cm de media. Calcula la estatura media de los chicos = = = : (38 17) = : 1 = 17,8 cm 1

13 Se ha medido el ivel de colesterol e cuatro grupos de persoas sometidas a diferetes dietas. Las medias y las desviacioes típicas so las que figura e esta tabla: DIETA A B C D x 11,3 188,6, 18 σ 37,4,6 39,1 43,6 Las gráficas so, o respectivamete: Asocia a cada dieta la gráfica que le correspode. A 4; B 3; C ; D 1 CUESTIONES TEÓRICAS 1 Justifica que la suma de las frecuecias relativas es siempre igual a 1. f i 1 1 Σ fr i = Σ = Σ f i = = 1 E la distribució de las otas de u exame el primer cuartil fue 4. Qué sigifica esto? Por debajo de 4 quedaro u %. 3 Completa la tabla de esta distribució e la que sabemos que su media es, f f =,7 x i f i f 1 + f =, f = 40, +,7 f 3, = 0,7 f f = Luego la tabla queda: x i f i

14 Págia 19 4 A cada sala de ua cadea de cies, e cierto día, asistiero 0, 00, 300 y persoas. a) Calcula la desviació típica del úmero de asistetes. b) Si el día del espectador acude 0 persoas más a cada sala, qué efecto tedrá sobre la desviació típica? c) Calcula el coeficiete de variació e los dos casos y compara los resultados. a) σ = 308, b) La dispersió es la misma (auque la media aumeta e 0 uidades). 308, c) C.V. 1 = 0 = 61,64% , C.V. = 0 = 6,04% 0 La variació relativa es meor e el segudo caso. Si a todos los datos de ua distribució le sumamos u mismo úmero, qué le ocurre a la media? Y a la desviació típica? Y si multiplicamos todos los datos por u mismo úmero? Si sumamos a todos los datos u mismo úmero, la media queda sumada co ese mismo úmero y la desviació típica o varía. Si multiplicamos todos los datos por u mismo úmero, la media queda multiplicada por ese mismo úmero y la desviació típica tambié. 6 Dos distribucioes estadísticas, A y B, tiee la misma desviació típica. a) Si la media de A es mayor que la de B, cuál tiee mayor coeficiete de variació? b) Si la media de A es doble que la de B, cómo será sus coeficietes de variació? a) B. b) El coeficiete de variació de A es la mitad que el de B. 7 Demuestra que Σ (ax i + b) = a x + b. Para ello, haz: Σ (ax i + b) Σ ax i Σb ax ax = + = + b + + b Σ (a x i + b) Σ a x i Σ b a Σx i b = + = + = a x + b 14

15 8 Para demostrar que Σ(x Σ x i x) i = x, hacemos: Σ(x Σ(x = 1 Σ x = x Σ x i x i x + x i x) ) i + = Σ x = x + x Σ x i i = x Justifica las igualdades 1 y. 1) Descompoemos e sumados, sacamos x factor comú e el segudo sumado y teemos e cueta que Σ x i = x. ) Σ x = x PARA PENSAR UN POCO MÁS 9 A Eva la ivita a la fiesta que se va a celebrar e el Club de los Pijos el próximo sábado. Todavía o sabe si irá o o, pero hace idagacioes y averigua que, etre los pijos, la probabilidad de que uo de ellos sea DIVERTIDO es mayor si tiee melea que si está pelado. (1) PIJOS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO] (*) Decide que, si va a la fiesta, ligará co u meleudo. Estado e esas le llama del Club de los Macarras para ivitarle a ua fiesta a la misma hora. Hace idagacioes y llega a coclusioes similares: () MACARRAS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO] Todavía o sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiee claro que, vaya a la que vaya, ligará co u meleudo. Ua hora ates de empezar las fiestas recibe ua ueva llamada advirtiédole de que Pijos y Macarras se ha puesto de acuerdo y hace ua úica fiesta. Revisado sus otas, Eva descubre co asombro que e el cojuto de todos ellos las cosas cambia radicalmete. (3) PIJOS + MACARRAS: P [DIVERTIDO/MELENA] < P [DIVERTIDO/PELADO] Por tato, deberá cambiar su estrategia y ligar co u pelado. Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, iveta uos úmeros para dos tablas como esta, ua para PIJOS y otra para MACARRAS, de modo que e la primera se cumpla (1), e la seguda () y e la que resulta de sumar ambas se cumpla (3): MELENA PELADO DIVERTIDO ABURRIDO 1

16 (*) P [DIVER./MELENA] es ua probabilidad codicioada. Si o recuerdas su sigificado, iterprétalo así: es la proporció de divertidos que hay e el cojuto de los que tiee melea. La desigualdad, por tato, sigifica que la proporció de divertidos es mayor etre los que lleva melea que etre los pelados. Empecemos poiedo u ejemplo umérico para eteder mejor la situació. Supogamos que teemos lo siguiete: Pijos 1 meleudo 1 divertido (0%) 9 pelados 8 divertidos (88,9%) 1 o divertido Macarras 8 meleudos pelados divertidos (6,%) 3 o divertidos 1 divertido (0%) 1 o divertido Al jutarlos a todos, tedríamos que: 9 meleudos Persoas 11 pelados 6 divertidos (66,7%) 3 o divertidos 9 divertidos (81,8%) o divertidos Si observamos estos resultados, vemos que la clave está e que hay más divertidos etre este grupo de pijos que etre este grupo de macarras; y que hay muy pocos pijos meleudos. Si hay u pijo meleudo que sea divertido, ya supoe u porcetaje alto del total de pijos meleudos. 16