Teoría de la materia: Solo ondas. Theory of matter: Just waves.

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1 Teoía de la mateia: Solo ondas. by Enesto López González Ingenieo Agónomo, / Pablo Neuda 78, Potal 9 4º A 89 Aloón Madid España. enesto_lopez@olegiosansatuio.om Eneo 07 Resumen Se popone una nueva teoía de la mateia y la enegía. El postulado pinipal es que toda la mateia y la enegía están ompuestas po vibaiones del espaio-tiempo, que está fomado po una únia 5-bana extendida en las tes dimensiones espaiales y ompatada en dos dimensiones adiionales hasta un oden de 0-6 m. Se postula también la existenia de un agujeo ental en el plano de las dimensiones ompatadas. Se onsidea que la sustania que foma esta 5-bana pesenta popiedades similaes a las de un istal liquido. Se postula también que todas las inteaiones povienen de la modifiaión del espaio-tiempo ausada po po las vibaiones que onfoman la mateia y la enegía. En oneto se analizan tes meanismos: el aaste, la defomaión y la modifiaión del índie de efaión del espaio-tiempo. Con estos postulados y planteando la euaión de onda se puede dedui la longitud de onda de D'Boglie, el pinipio de inetidumbe, la aga y la masa del eletón úniamente a pati de su masa, el oigen de la ineia, la fueza entífuga, las fuezas elétias, las fuezas gavitatoias, los obitales del átomo de hidógeno y la existenia de un sistema de patíulas elementales fomadas po los tes neutinos onoidos, el eletón y uato patones fomados po la ombinaión de los uato anteioes on ondas de supefiie en el hipotétio agujeo ental del plano de las dimensiones ompatadas. Se estiman las masas de esas patíulas así omo la fueza de sus inteaiones. Es posible de esta manea plantea un sistema paa los hadones que pemite estima sus masas, momentos magnétios, distibuión intena de agas y el potenial de Reid paa la fueza nulea esidual. Finalmente se popoiona una expliaión intuitiva del espín de las patíulas. Theoy of matte: Just waves. by Enesto López González Ingenieo Agónomo / Pablo Neuda 78, Potal 9 4º A 89 Aloón Madid España. enesto_lopez@olegiosansatuio.om Januay 07 Abstat A new theoy of matte and enegy is poposed. The main postulate is this, all matte and enegy ae omposed of vibations of spae-time, whih is fomed by a single 5-bane extended in the thee spatial dimensions and ompated in two additional dimensions up to an ode of 0-6 m. It also postulates the existene of a ental hole in the plane of ompated dimensions. The substane foming this 5-bane is onsideed to have popeties simila to a liquid ystal. It is also postulated that all inteations ae oiginated fom the modifiation of spae-time aused by the vibations that foming matte and enegy. In patiula we analyze thee mehanisms: the dag, defomation and the modifiation of the index of efation of the spae-time. With these postulates and by esolving the wave equation we an dedue the D'Boglie wavelength, the unetainty piniple, the hage and mass of the eleton only fom its mass, the oigin of inetia, the entifugal foe, the eleti foes, the gavitational foes, hydogen atom obitals and the existene of a system of elementay patiles fomed by the thee known neutinos, the eleton and fou patons fomed by the ombination of the pevious fou with sufae waves in the hypothetial ental hole in the plane of the ompated dimensions. The masses and the stength of thei inteations of these patiles ae estimated. Then it is possible to popose a system fo hadons that allows to estimate thei masses, magneti moments, intenal distibution of hages and the Reid potential fo the esidual nulea foe. Finally an intuitive explanation of the spin of the patiles is povided.

2 Teoía de la mateia Solo ondas. A. Indiios..Intoduión. La teoía de Kaluza-Klein. La teoía de Kaluza-Klein petende unifia las fuezas fundamentales de la gavedad y el eletomagnetismo mediante la intoduión de una uata dimensión espaial. Fue enuniada po pimea vez po el matemátio polao Kaluza, el ual extendió la elatividad geneal a un espaio-tiempo de 5 dimensiones. Las euaiones esultantes pueden dividise en vaios gupos de euaiones, uno de ellos se oesponde on las euaiones de ampo de Einstein gavedad, oto on las euaiones de Maxwell eletomagnetismo y finalmente un ampo esala de signifiado físio poo lao. Es dei, el meo heho de que ada patíula tenga libetad paa movese a tavés de una dimensión adiional pemite la unifiaión de la gavedad on el eletomagnetismo. A pesa de este esultado espetaula la teoía adoleía de un gave poblema, y es que, donde se enuenta esta 4º dimensión?.si el mundo poseyese 4 dimensiones espaiales la gavedad disminuiía on el ubo de la distania, iunstania que ontadie la expeienia diaia, ya que disminuye on el uadado de la distania. Con el fin de intenta explia poque la dimensión exta no afeta a las leyes físias Osa Klein en 96 popuso que la 4 dimensión espaial se enuenta uvada sobe sí misma en un iulo de adio extemadamente pequeño po debajo de 0-8 m de tal manea que una patíula que se mueva una pequeña distania en la dieión de esta dimensión debeía etona al punto de iniio. La distania que una patíula debe viaja antes de etona a su punto de iniio se define omo el tamaño de esa dimensión y esta dimensión exta se die que esta ompatada. Figua. Poeso de ompataión de una dimensión y ejemplo de omo un ilindo tidimensional apaenta un hilo unidimensional uando el adio de ompataión es sufiientemente pequeño.

3 Po tanto a pati de ahoa debeíamos epesentamos el espaio-tiempo omo si en ada punto existiese un pequeño iulo en el ual las patíulas se pueden move libemente. En la teoía de Kaluza-Klein la pua geometía de un espaio-tiempo de 5 dimensiones vaío sin masa ondue a las euaiones de un mundo tetadimensional on masa. Lamentablemente la apliaión de diha teoía al estudio del eletón popoiona una elaión masa-aga que difiee de la expeimental unos 0 odenes de magnitud, azón po la ual fue abandonada en gan pate duante vaias déadas..consideaiones a la teoía de Kaluza-Klein La uvatua de una dimensión exige la existenia de ota sobe la que uvase, omo puede ompobase simplemente dibujando un iulo. Si nos entamos en la hipotétia 4ª dimensión espaial de topología iula de la teoía de Kaluza-Klein tenemos opiones:. La 4ª dimensión espaial se uva sobe alguna de las dimensiones espaiales onoidas, lo que povoaía que el espaio no fuese isótopolas leyes de la Físia ambiaían según las dieiones espaiales, iunstania que ontadie la expeienia.. La 4ª dimensión espaial se uva sobe ota dimensión espaial exta también ompatada, omo po ejemplo en el aso de un tooide. Es fáil ve que, independientemente de su numeo, podemos sepaa las dimensiones en gandes gupos, las extendidas y las ompatadas. Figua. Repesentaión de una hipotétia uata dimensión espaial aollada sobe una dimensión extendida o sobe ota dimensión ompatada. 3.Signifiado físio de las dimensiones espaiales adiionales 3. La fómula elativista de la enegía. La fómula elativista de la enegía de un uepo en movimiento es: E m 0 p donde: E Enegía de un uepo en movimiento mo masa en eposo del uepo 3

4 veloidad de la luz p momento lineal del uepo, igual al poduto de la masa po la veloidad. Si esibimos la enegía en funión de las omponentes de la veloidad Vx,Vy y Vz tendemos: E m0 m 0 V x m 0 V y m 0 V z euaión que sugiee que todos los uepos se mueven a la veloidad de la luz en una dieión pependiula a Vx, Vy y Vz. Po supuesto que la fomula elativista de la enegía es una euaión esala y po tanto esta intepetaión no es únia, se tata solamente de un indiio. Desde este punto de vista el témino mo se puede identifia on la enegía debida a un movimiento en el plano de las dimensiones adiionales. Fig. 3 Sistema de oodenadas ompatadas. Este movimiento a la veloidad de la luz de las patíulas elementales seía en la dieión R v. Ahoa bien, debido a la topología iula de la dimensión adiional diho movimiento visto pependiulamente desde las otas dimensiones expandidas debeía peibise omo una vibaión. Consideando la modifiaión popuesta en 93 po Albet Einstein y Otto Sten de la fomula deduida en 900 po Max Plank paa un adiado de enegía aislada tenemos: h υ E e h υ K T + h υ donde: h onstante de Plank, K onstante de Boltzman, υ feuenia T tempeatua absoluta se puede obseva que inluso a la tempeatua del eo absoluto ualquie patíula posee una enegía 4

5 esidual de vibaión igual a: E h υ Podemos iguala las enegías m0 Em0 y E h υ. Resultando entones: m0 h υ y po tanto υ. Ligando la masa de las patíulas elementales a una feuenia. h Si la tayetoia fuese iula y suponiendo que todas las patíulas viajan a la veloidad de la luz se puede dedui el adio de diho movimiento iula: υ π 0 ξ 0 m 0 y υ h, po tanto: h h 4πm 0 m 0 Paa el aso del eletón tendíamos ξ e h 3, m me donde h epesenta la onstante eduida de Plank y ξ el adio de la tayetoia iula a tavés de las dos dimensiones ompatadas. El peímeto seía: p e h m0 lo que epesenta una semilongitud de onda de D'Boglie paa una patíula que se desplae a la veloidad de la luz. 3. Intepetaión de la masa omo la invesa de una longitud. La elaión anteio popoionaía una intepetaión físia de la masa en eposo omo la invesa de una longitud h, m0 m0 en unidades del S.I. Esta intepetaión pemite un nuevo punto de vista de fenómenos ya onoidos, po ejemplo si analizamos dimensionalmente la enegía tendemos: Enegía Fueza * desplazamiento [M LT - * L][L -*LT-] [LT-] es dei, popoiona paa la enegía gavitatoia unidades de aeleaión, que oinide on el fenómeno que se manifiesta físiamente. Si analizamos dimensionalmente la densidad tenemos: 5

6 Densidad Masa/Volumen [L -4 ] es dei, unidades de uvatua, oinidiendo on la teoía de la elatividad geneal que elaionaba dietamente la densidad de mateia-enegía on la uvatua del espaio-tiempo. Po oto lado si onsideamos la euaión que elaiona la uvatua esala R on el tenso de mateia8πg 8πG, es del mismo oden de impulso T tenemos: R 4 T donde el fato 4 h, magnitud que el fato 3.4 La longitud de onda de D'Boglie. La omposiión del movimiento iula en el plano de las dimensiones ompatadas on ualquie desplazamiento en el esto de dimensiones onfomaía tayetoias helioidales Fig 4. Tayetoias eales de las patíulas en el espaio. La onda tansvesal asoiada a una patíula mateial que se moviese hipotétiamente a la veloidad de la h luz tendía una longitud de onda igual a λ 0 : m 0 Fig 5. Tiangulo de veloidades. 6

7 Sin embago, paa un obsevado tetadimensional que estudiase este fenómeno le paeeía que a la patíula mateial tiene asoiada una onda de longitud de onda λ apaente igual a la poyeión sobe las dimensiones no ompatadas. De la figua 5: os α v y λ apa h λ m, luego os α 0 0 λ apa λ apa h v m0 y finalmente: λ apa h m0 v Como la longitud de onda apaente es una dimensión en la dieión del movimiento apaeeá ontaído h v po el efeto elativista λ apa, que oinide on la longitud de onda de D'Boglie m0 v paa las patíulas mateiales. 3.4 Intepetaión del pinipio de inetidumbe. El pinipio de inetidumbe paa la posiión y el momento afima que x p ℏ po tanto la ℏ, si usamos la euaión elativista que liga la x enegía on el momento p m0 v uando la inetidumbe del momento supea el valo de m0 entones la inetidumbe de la enegía supeaía el valo de m0, sufiiente paa genea ota patíula del mismo tipo. Po tanto debe existi una limitaión fundamental en la inetidumbe de la posiión inetidumbe del momento debe satisfae ℏ x m0 o lo que es lo mismo p x 0. Se infiee po tanto que el pinipio de inetidumbe deiva del heho de estudia fenómenos que sueden en 5 dimensiones espaiales omo si se tatase de fenómenos on 3 dimensiones espaiales. No es de extaña po tanto que la longitud de onda Compton epesente la longitud que define el limite ente el ompotamiento omo patíula o omo onda. 3.5 Influenia ualitativa de la uvatua del espaio en fenómenos que sueden a esalas muy supeioes a la de las dimensiones ompatadas. En el análisis tadiional de la teoías del tipo Kaluza-Klein las onstantes de las leyes físias, μ 0, G,ε 0... deben vaia según el númeo de dimensiones en los que se expesen. Este onvenimiento se ha basado en onsideaiones similaes a las que se exponen a ontinuaión. Si tomamos el equivalente a la ley de Gauss paa el ampo gavitatoio en su foma integal tenemos: s E g ds 4 G m "El flujo gavitatoio a tavés de una supefiie eada es igual a la masa eneada en diha supefiie multipliada po 4πG". Si suponemos una masa puntual y onsideamos una esfea que la ontiene tendemos: 7

8 4π E g5d4πg m0 Notese que la euaión esultante es una euaión tetadimensional, ya que m0 h, y po tanto ξ0 EE L x, L y, Lz, ξ 0 Realizando un ejeiio de imaginaión podemos supone un mundo de 5D en el ual una de las dimensiones espaiales extendidas se ompatase linealmente hasta una extensión a tal y omo se muesta en la figua 6. Veamos que ouiía uando los físios de ese mundo analizasen la ley de Gauss en 4 D. Fig 6. Efeto sobe la ley de Gauss al ompata linealmente una dimensión espaial. 8

9 Los ientífios de este mundo plano de 4D mediían un ampo Eg y le intentaían aplia la ley de Gauss obteniendo el siguiente esultado: π E g4d4π m0 4D Igualando las euaiones en 5 y 4 dimensiones tendemos: π E g4dπa E g5d luego E g4da E g5d Como E g4d tiene que se igual a E g5d había que añadi una onstante paa que la fomula en 4D popoionase un esultado oeto: π E g4d4π a m0, es dei apaee una onstante de gavitaión G a. Como a es muy pequeño el ampo medido al ompata una dimensión es muho meno. En el aso de dos dimensiones que se ompatan en un iulo de adio a tendíamos: 4πa E g3d m0 y E gd m0 E gd πa E gd Nota: La supefiie 0D de una esfea unidimensional es igual a. Es dei al ompata iulamente una dimensión el ampo quedaía alteado en un fato igual a πa, lo que nos pemitiía estima el adio de las dimensiones ompatadas de la elaión: G π Ru Ru G m π Resulta evidente que dado que se ha utilizado la apoximaión paa espaio plano del ampo gavitatoio la estimaión del adio de las dimensiones ompatadas no puede se muy exata, peo pemitiía onoe el oden de magnitud de éstas. Po oto lado, los fenómenos que sueden a esalas infeioes siguen la ley de la invesa del ubo, po lo que apaentan tene mayo intensidad. En definitiva, la uvatua atuaía omo una lente onvegente, disminuyendo la intensidad de los fenómenos lejanos e inementando la intensidad apaente de los que sueden a esalas muy pequeñas, lo que al menos de manea ualitativa podía justifia la difeenia de esalas ente las 4 fuezas fundamentales de la Natualeza. Si tenemos en uenta que según los postulados de este tabajo las dimensiones de la masa son los de la invesa de una longitud nos quedaía [G ] L 3 M T L 4 T e intepetando el tiempo omo una longitud: [G ]L. En onseuenia la uvatua del espaio-tiempo hexadimensional justifia la elaión ente la masa ineial y la masa gavitatoia uando hablamos de fenómenos que sueden a esalas muy supeioes al tamaño de las dimensiones espaiales ompatadas. Po tanto la mayo pate de las onstantes debeían desapaee uando efetuamos los álulos en 6D. μ 0g, G,.... 9

10 4.Oigen del ampo elétio. Nota: Aunque el vedadeo oigen del ampo elétio no es este, los oneptos aquí mostados son fundamentales paa la ompensión de la hipótesis en su onjunto, po lo que se desaollan aquí. 4. Sobe el gavitomagnetismo. Si esibimos las euaiones del gavitomagnetismo ompaándolas on las euaiones de Maxwell. GRAVITOMAGNETISMO ELECTROMAGNETISMO E 4πGρ g ρ E ε0 B 0 g B0 E Bg g t B E t B g 4πG E g jm+ t E B μ0 j μ 0 ε 0 t A pesa de las evidentes similitudes las euaiones del gavitomagnetismo se difeenian en dos signos de las euaiones de Maxwell, el pimeo india que solo pueden existi fuezas atativas ente las masas, la segunda india que dos oientes de masa que iulan en el mismo sentido se epelen al ontaio de lo que suede en el eletomagnetismo en el que se ataen. 4. Campo gavitomagnétio poduido po las patíulas elementales. Las patíulas elementales giando en tayetoias muy pequeñas a la veloidad de la luz deben podui un ampo de induión Bg onsideable povoando un ampo de fuezas que ualitativamente es simila al ampo elétio, tal omo se muesta en la figua n 7. 0

11 Distinto sentido Ataión Mismo sentido Repulsión Fig 7. Ejemplo en 3 dimensiones de omo un movimiento iula de una masa puede povoa la ilusión de la existenia de una aga elétia. Como habíamos visto en el apítulo anteio las leyes del gavitomagnetismo expesados en seis dimensiones no deben neesita de ninguna onstante, o, lo que es lo mismo la onstante gavitatoia en 6D debe se Ĝ. Paa alula el ampo de induión geneado po las patíulas elementales se puede asimila al ampo geneado po una espia iula. B μ0 i R Bg ig 4π G R ELECTROMAGNETISMO 5D BB L x, L y, L z, M, T * GRAVITOMAGNETISMO 6D BBL x, L y, L z, ξ, η,t * Nota: Si onsideamos la masa omo la invesa de una longitud ualquie euaión que ontenga la dimensión masa ó aga elétia, ya que la elaión aga/masa es onstante paa ada tipo de patíulas elementales se debe onsidea omo una euaión en 5 dimensiones, 4 espaiales más una tempoal. Si el ampo elétio es la expesión en 5D del ampo gavitomagnétio en 6D entones BBg μ R i B 0 B g 4π G R ig la elaión ente la intensidad elétia y la intensidad gavitatoia es la misma que la elaión ente la aga y la masa de una patíula elemental. Po tanto se puede esibi: μ 0 R q m0 4π G

12 Teniendo en uenta que hemos postulado que Ĝ y que Rξe h, me μ0 ξe qe 4π me qe, en unidades del S.I. me Si ompobamos la elaión expeimental aga-masa del eletón tendemos: 9 q e,6076 0, m0 me0 9, que difiee en un,8% del valo estimado. Po tanto, al onsidea la masa omo la invesa de una longitud es posible salva la pinipal difiultad que pesentaba la teoía de Kaluza-Klein. Es de obseva que simplemente onsideando un valo de Ĝ, se puede obtene un valo de la elaión aga-masa del eletón oeta. 4.3 Topología elíptia de las dimensiones ompatadas. La foma más senilla de inementa la induión magnétia manteniendo el peímeto eoido onsiste en defoma la tayetoia iula a una elipse. En efeto, si obsevamos la expesión que pemite alula la induión magnétia en el ento de una espia de oiente elíptia tendemos: B z μ 0 I l 4S donde l peímeto, S supefiie, I Intensidad elétia. Paa estima la longitud se ha utilizado la siguiente fomula apoximada: L π 3a+ b 3a+ ba+ 3b Si elegimos una espia iula de adio unidad y la defomamos manteniendo el peímeto onstante basta on elegi una espia de semiejes a,0576 y b0,8883 paa inementa la elaión longitudsupefiie y po tanto el ampo de induión magnétia B po un fato de,08068, lo que popoionaía el valo oeto de elaión masa-aga paa el eletón.

13 Se ha estimado la longitud de la elipse obtenida anteiomente mediante la elaión: π / L4 a 0 e sin θ d θ donde e epesenta la exentiidad de la la elipse. Se ha enontado que el eo ometido al utiliza la fomula apoximada es de 3,4 0-6 po uno. No obstante es posible segui utilizando la hipótesis iula en muhos asos simplemente manteniendo la onstante Ĝ,080776, que ahoa se onsidea un fato de foma. 4.4 Ejemplo de apliaión. Momento magnétio intínseo del eletón. Veamos omo se pueden onveti las fomulas eletomagnétias 5D a gavitomagnetias 6D. La expesión del momento gavitomagnétio debeía se análogamente el poduto de la intensidad másia po la supefiie abazada po la espia. Sin embago omo las distanias involuadas son infeioes a G debemos utiliza fomulas efeidas a 6 dimensiones. Paa onveti la fomula a 6D patimos de la definiión de momento magnétio. x idl Los pasos a segui son los siguientes:. Elimina onstantes salvo aquellas que povengan de las leyes de Maxwell. x idl. Dividi po paa pasa de 5D a 6D. x idli dli R 3. Utiliza la intensidad másia en vez de la intensidad elétia. i m R 4. Elimina la onstante eletomagnétia y sustituila po la gavitomagnétia, es dei, multiplia / 4π G po el fato. μ0 μ g 4π G / i m πr μ0 3

14 nº vueltas ya que habíamos postulado que el segundo πr eletón viaja a la veloidad de la luz en las dimensiones ompatadas. El flujo másio seá i m m0 υ donde υ Luego μg m0 m0 4π G 4π G πr μ 0 πr μ0 sustituyendo paa el aso del eletón y omo Ĝ, tendemos 3 μ g 4π 9,09 0, , en unidades del SI. 7 4π 0 La estimaión podue un valo muy simila al magnetón de Boh, que es de 9, en el mismo sistema de unidades. Nota: La fomula anteio puede también obtenese fáilmente a pati de la expesión tadiional del m q 4π G q q q h S momento magnétio en funión del espín μ y sustituyendo h m μ0 m m m Sin embago, de momento no puede expliase el valo anómalo del momento magnétio del eletón, lo que se haá más adelante en este tabajo. 5. Intepetaión de los indiios. Aunque es ieto que las intepetaiones de los indiios anteioes son disutibles, en onjunto paeen apunta a un espaio-tiempo on tes dimensiones espaiales expandidas, dos dimensiones espaiales ompatadas de topología elíptia elaionadas una de ellas on la invesa de las patíulas ealmente elementales ξ y la ota, a la que hemos llamado η, íntimamente elaionada on la oodenada imaginaia del espaio-tiempo de Minkowsky. Dihas dimensiones ompatadas tienen un tamaño del oden del miometo. Las onstantes G, μ, ε, et son debidas a la fomulaión en 3 dimensiones espaiales planas de un espaio de 5 dimensiones espaiales y po tanto, desapaeen o se simplifian enomemente uando se efetúan los álulos en 6 dimensiones 5 espaiales + tiempo. En este espaio las patíulas elementales se mueven a la veloidad de la luz en tayetoias elíptias en el plano de las dimensiones ompatadas on un peímeto igual al de media longitud de onda ompton, lo que oigina un ampo gavitomagnétio que es intepetado po nosotos omo el ampo eletomagnétio. Además, este gio en dimensiones extas pemite explia adeuadamente la longitud de onda de D'Boglie y el pinipio de inetidumbe. Finalmente el heho de que las patíulas se desplaen a la veloidad de la luz nos llama a postula que lo que a nosotos nos paeen patíulas en 3 dimensiones, no son sino ondas en un espaio de ino dimensiones on una topología muy espeial. Dihas ondas no pueden se de ota natualeza más que gavitatoias, ya que las oientes de masa oiginan un ampo de fuezas simila al eletomagnétio.. Esta intepetaión ha sido onoida omo Matte as gavitational waves. 4

15 B. Matte as gavitational waves. 6.Las patíulas omo pulsaiones gavitomagnétias. 6. Euaión de ondas gavitomagnetias. La euaiones del gavitomagnetismo son: E 4πGρ g B 0 g E Bg g t B g 4πG E g jm + t Si tenemos en uenta que hemos postulado que μ 0g tiene que se igual a la unidad paa 6D y po tanto BH podemos plantea las euaiones del gavitomagnetismo en ausenia de masas. E 0 a g H 0 b g E Hg g t H g E g d t Opeando en tenemos E Hg g t Hg E Hg po tanto g t y sustituyendo H g E g y t E E g g 5

16 nos queda E Eg g t v p w La veloidad de fase viene dada po v p lo que signifia que k E Eg 0 g v p t y po tanto: Análogamente podemos obtene: H Hg 0 g vp t Si suponemos que el ampo tiene dependenia amónia on el tiempo de la foma 0 e wt se llega a la onlusión: E w Eg0 si llamamos númeo de onda k al oiente g v p E k Eg0 g senoidales. w nos quedaía: vp totalmente análoga a las euaiones de Helmholtz. y las soluiones son ondas 5. Euaión esala de onda gavitomagnetia en 6D. Debido a la topología del espaio las ondas gavitomagnétias no pueden desplazase libemente, sino que deben ajustase a unas ondiiones de fontea muy estitas. El fenómeno físio más paeido se enuenta en la tansmisión de las ondas eletomagnétias a tavés de ondas guía iulaes o elíptias, aunque en este aso el onfinamiento se debe a la uvatua del espaio y no a unas paedes metálias. Se va a utiliza un sistema de oodenadas ilíndio elíptio en 5D espaiales: Dimensiones espaiales expandidas: Coodenadas atesianas x,y,z. Dimensiones espaiales ompatadas: Coodenadas elíptias, las uvas on ξ te epesentan elipses onfoales, mientas que las uvas ηte epesentan hipébolas pependiulaes a las elipses anteioes. En el aso límite en que la distania foal f se anula, es dei f0,se eduen a oodenadas iulaes, donde adio ξ, angulo η Fig 0. Coodenadas elíptias. 6

17 La elaión ente oodenadas atesianas y elíptias es la siguiente: x f osh ξ os η, y f senh ξ sen η La euaión de onda hexadimensional seía: 6D k H 0 El laplaiano en oodenadas ilindio elíptias es sepaable,po lo que podemos asumi que: H ξ, η, x, y, z Dξ, η F x, y, z Y omo es habitual en los álulos de ondas guía podemos desompone el númeo de onda en : k k donde β se denomina onstante de popagaión y k es el númeo de ondas de ote y epesenta la feuenia mínima paa que una onda pueda popagase po la guía. De tal foma que podemos obtene euaiones: ξ, η D ξ, η + k 0 3 D ξ, η 3D F x, y, z + β 0 F x, y, z La pimea euaión epesenta el poblema en las dimensiones ompatadas, mientas que la segunda epesenta el poblema en las dimensiones extendidas. 5.3 Soluión paa las dimensiones ompatadas. Neutinos, eletón y hadones. En el sistema de oodenadas elíptias 3 puede eesibise de la siguiente manea: + D+ k D0 ξ η f osh ξ os η Y suponiendo que D puede esibise omo D ξ, ηg ξ N η nos quedaía: G k N k + f osh ξ + f os η G ξ N η que puede se sepaada mediante una onstante que llamaemos a No onfundi on el semieje mayo de la elipse 7

18 G ' ' a q osh ξg0 N ' ' a q os η N 0 donde se ha definido: k f y la onstante de sepaaión a solo depende del paameto q, es dei a aq. q 4 Es notable obseva que paa el aso límite en que q0 todas las soluiones se eduen a las ya onoidas omo funiones de Bessel. La segunda euaión epesenta la dependenia angula de la euaión anteio y es onoida omo euaión de Mathieu, mientas que la pimea euaión epesenta la dependenia adial y es onoida omo euaión modifiada de Mathieu. Si suponemos que los eletones son ondas gavitatoias paa el aso de un eletón en eposo tendíamos que la onstante de popagaión β0, en ese aso: k 0 k k Si asoiamos esta feuenia de ote a la vibaión que pesentan todos los eletones entones tendíamos: π donde la longitud de onda debe se igual al peímeto del movimiento iula de los λ h eletones, es dei: lo que onlleva que: m 0 k k k π 4 π m0 m0 λ ℏ h El onfinamiento de las ondas no se podue po el hoque onta unas paedes metálias, sino que es debida a la uvatua de las dimensiones ompatadas. En estas ondiiones se postula que k sea imaginaio. k m 0 i ℏ Po tanto la soluión de la euaión de onda en el plano de las dimensiones ompatadas es una onda estaionaia que se puede expesa mediante ombinaiones de funiones evanesentes de Mathieu de k f oden semienteo y paámeto q negativo. Estas funiones pueden se paes o impaes, y de 4 pimea o segunda espeie.en la siguientes páginas se han epesentado las posibles fomas de estas soluiones. 8

19 SOLUCIONES TIPO I funión impa de pimea espeie de oden / I o / k ξ, q funión pa de pimea espeie de oden / I e / k ξ, q Nótese que Ie 0,-q no es nulo. SOLUCIONES TIPO II funión impa de segunda espeie y oden/ K o / k ξ, q funión pa de segunda espeie y oden / K e / k ξ, q h Apate de las soluiones anteioes es posible ombina ambas en la oodenada ξ0 m0 on el fin de obtene : 9

20 SOLUCIONES TIPO III G ξ I o / k ξ, q I o / Si 0 < ξ < ξ 0 ξξ, q 0 funión evanesente de Mathieu de pimea espeie, oden ½ Si ξ > ξ 0 G ξ K o/ k ξ, q K o/ ξξ, q 0 funión evanesente de Mathieu de segunda espeie,oden ½ SOLUCIÓN IMPAR If 0 < ξ < ξ 0 G ξ I e/ k ξ, q I e / ξξ, q 0 funión evanesente de Mathieu de pimea espeie, oden ½ If ξ > ξ 0 ξξ, q G ξ K e / k ξ, q K e / 0 funión evanesente de Mathieu de segunda espeie,oden ½ SOLUCIÓN PAR Dado que no existen paedes, sino que el onfinamiento de la onda es poduido po la uvatua de las dimensiones ompatadas, la ondiión de ontono es que el ento de gavedad de el uadado de la h onda se enuente en la oodenada ξ 0 m0 on el fin de ajustase a uno de los postulados fundamentales de la hipótesis. Esto implia que el poduto k ξ 0 debe se igual a la unidad. Las soluiones a la euaión angula de Mathieu son las funión angula pa e impa de Mathieu de oden ½ también onoidas omo seno y oseno elíptios. En la figua siguiente se ha epesentado una soluión impa IoKo y ota pa IeKe on el fin de tene una visión intuitiva. 0

21 Soluión IoKo Soluión IeKe Nótese que dadas las ondiiones de ontono existe la posibilidad de tene una únia onda desplazándose en una dieión, omo las epesentadas anteiomente, o tene dos ondas desplazándose en dieiones opuestas. Más adelante se veá que el pime aso oesponde a los femiones y el segundo a los bosones. Podemos utiliza la topología iula paa alula el momento angula de las patíulas elementales atibuible a su gio en las dimensiones ompatadas: Lm vm e me ℏ ℏ me En base al esultado anteio es pátiamente inevitable asigna la popiedad uántia de espín a la onda estaionaia de las patíulas elementales en las dimensiones ompatadas, identifiándolo on la onstante ms, el signo de esta onstante epesenta la difeenia de fase y el difeente sentido de gio expliaía la difeenia ente eletones y positones. Eletón espín +/ Eletón espín -/

22 Positón espín -/ Positón espín +/ Fig 7. Repesentaión intuitiva del espín del eletón. Es fáil ve que se puede extapola el esultado paa estima el momento angula de gio a patíulas on difeente espín, esultando: L sm s ℏ Sin embago esta definiión del espín no puede explia los expeimentos de vaiaión del espín mediante gios en las dimensiones extendidas. Más adelante se popoionaá una soluión satisfatoia a este poblema. Las funiones Io y Ko de oden semienteo no se enuentan esueltas en la liteatua, sin embago uando q entones a ½ a y po tanto se puede apoxima: I O I O K O KO La omputaión de las funiones de Mathieu se ha ealizado numéiamente mediante la suma de podutos de funiones de Bessel MLahlan. Theoy and appliations of Mathieu funtions Los algoitmos se han implementado en Javasipt y a ausa de los elevados valoes del paámeto q se ha tenido que implementa un sistema numéio logaítmio on el fin de pode maneja númeos más gandes que los que pemite el sistema de oma flotante de 3 bits. El ódigo fuente esta disponible bajo petiión en el mail de la pimea página. Los valoes de q que umplen on las ondiiones de ontono dento de las apaidades del pogama infomátio 0 < q < e9 han sido los siguientes: Tipo q Io -0,0586 Ie -0,0785 IoKo -5,5 IoKo -435 Ejemplo de soluión tipo IoKo paa las dimensiones ompatadas. Paa pode intepeta estos esultados vamos a estima el valo del paámeto q del eletón.

23 k m 0 9, i i5, i 34 ℏ, omo el adio de las dimensiones ompatadas se había estimado en: u G 3, m π y supuesta una topología elíptia de paámetos a,0576 u b0,8883 u Se puede alula el foo de la elipse mediante la expesión: f a b u,0576 0,8883, m y po tanto el paámeto q valdá: 6 k f,46 0 5, q 3, Diha soluión queda po tanto fuea de las apaidades del pogama desaollado al efeto, peo a la vez nos pemite identifia las anteioes soluiones omo neutinos y estima sus masas. Patíula Tipo q m/me m estimada e Io -0,0586 4, ,06 ev u*e Ie -0,0785 5, ,057 ev u u μ IoKo -5,5,85 0-6,46 ev u t IoKo ,75 0-6,9 ev e+,- IoKo -3, , MeV * La segunda soluión puede, o bien no existi poque no tiene un valo nulo paa ξ 0, o bien habe sido onfundida ambas patíulas on una sola debido a sus masas similaes. De ualquie foma la existenia de los hadones no puede se justifiada mediante estas soluiones. Con el fin de pemiti la existenia de los hadones se postula que el univeso pesenta un agujeo ental, de tal foma que las soluiones tipo II pueden existi omo ondas de supefiie en el límite inteno del Univeso. 3

24 Apaienia de las dimensiones ompatadas. Nótese que no son tayetoias eales, sino la apoximaión de ayo de las vibaiones. Po si solas, la soluiones tipo II no pueden satisfae las ondiiones de ontono impuestas el ento de h masas del uadado de la funión de onda debe enontase en la oodenada ξ 0 m0 y po tanto deben apaee en ombinaión lineal on alguna de la soluiones estables anteioes. 4

25 SOLUCIONES TIPO IV. PARTONES q qa qb q qd Se ha asignado la leta del alfabeto íbeo q a las ondas de supefiie tipo II, ponuniada omo ko, y omo nombe patones. Dado que la masa de una ombinaión lineal debeía enontase ente la masa de las ondas onstituyentes y debido a la gan difeenia de masa existente ente los eletones y los neutinos paee evidente que los patones debeían lasifiase en patones pesados qa y patones ligeos. qb d. Además la masa de los patones dependeá fundamentalmente del valo del adio inteio del Univeso. Po tanto, todas las patíulas debeían se obtenidas mediante ombinaiones lineales de alguna de estas soluiones. Más adelante se justifiaá el poque no pueden existi los patones po sepaado, sino que deben existi en ombinaiones que asimilaemos a los hadones. 5

26 Finalmente, el fenómeno de el aoplamiento de ondas pemitiía explia las osilaiones ente los difeentes tipos de neutinos y aún ente los difeentes tipos de patones Soluión paa las dimensiones extendidas. Seguimos soluionando el esto de vaiables, si eodamos 3D F + β0 entones podemos onsidea asos: F CASO A. PARTICULA-PULSACIÓN INMOVIL. β0 Tenemos entones: 3D F 0 8 de soluiones: F F onstante C 9 F C x y z 0 Es notable obseva que 0 es totalmente análogo a los poteniales gavitatoio y elétio. Sin embago la soluión no es valida si xyz0, ya que popoiona valoes infinitos. Po oto lado, al afima que las patíulas son las vibaiones del espaio-tiempo la soluión de 0 no puede extendese hasta el infinito, ya que su integal nos popoionaía valoes infinitos. Se popone po tanto la siguiente foma paa la soluión: Si λ F C Si λ > < f F C x + y+ z +C 3 Si > f F 0 6

27 donde λ es la longitud de onda Compton del eletón y f el tamaño máximo de la pulsaión. Mas adelante veemos que f epesenta la distania máxima en las uales la patíula puede influi en las demás. Si, ota heejía. Esta distania es muy gande, peo no infinita. La soluión puede se epesentada de la siguiente manea: Fig 4. Soluión en funión de paa una patíula-pulsaión inmóvil. Es de obseva que una pulsaión gavitomagnétia hexadimensional debido a las estiiones que impone la topología del espaio apaee omo una fuente huea de ampo gavitatoio y elétio en un espaio tetadimensional. Una vez onoida la soluión paa las dimensiones extendidas del potenial gavitatoio o elétio de una patíula en eposo podemos alula la enegía del ampo elétio del eletón. La enegía seá igual al poduto del potenial po la aga elétia, teniendo en uenta que paa distanias infeioes a la longitud de Compton el potenial es onstante y po tanto no apota nada a la integal y suponiendo que el potenial es eo en el infinito la enegía total seá: e e 4 π ε0 h omo λ entones m E E m e e 4 π ε0 h Este esultado se puede expesa en funión de la onstante de estutua fina a. Si multipliamos y dividimos po π nos queda: E a me π E a me π Luego la masa asignable al ampo elétio seá igual a a m π e Como esta masa no apota nada a la aga elétia debeemos modifia la onstante G ' a Llamando m' a la masa del eletón una vez desontada la que petenee a su ampo elétio y G la nueva estimaión de la onstante gavitatoia en 6 D podemos esibi análogamente a lo que habíamos popuesto en el punto 4.: q 4π G y teniendo en uenta que m ' a m tendemos que: π h m '0 μ 0 m 0 ' 7

28 G a π ' Podemos ahoa estima el momento magnétio on la nueva masa y el nuevo valo de G ' G ' m '0 4π G μg μ0 G μ g 4π m a π a π μ0 0 μg m0 4π G μ0 a π a π lo que oinide on la oeión del loop del pime oden que se obtiene en la eletodinámia uántia. es dei μ g μb Sin embago, los expeimentos de satteing ontadien esta soluión, pues onfiman que los eletones se ompotan omo agas puntuales, omo es posible esto?. Si se tatase de patíulas en el sentido lásio de la palaba, la teoía debeía se desatada, peo al onsidea a los eletones omo vibaiones es posible soluiona el enigma. Si onsideamos un eletón sometido a hoque, la aeleaión no puede se instantánea, la enegía debe po tanto se almaenada, peo donde?. No existe más posibilidad que en la misma vibaión que onfoma la patíula, inementando su masa, o lo que es lo mismo, eduiendo la distania en la que se pesenta un potenial onstante. Los difeentes tonos de azul epesentan la vaiaión en la pulsaión onfome es exitada. Dado que paa inementa la esoluión del satteing es neesaio inementa la enegía de las patíulas el agujeo ental seá más pequeño uanto más enegétios sean los fotones inidentes, impidiendo po tanto su deteión po este método. CASO B. PARTICULA-PULSACIÓN EN MOVIMIENTO UNIFORME 3D F + β0 F 8

29 Si onsideamos un movimiento unifome a lo lago del eje Z se popone la siguiente soluión: Si x + y + z λ F C 4 Senβ z Si x + y + z >λ F C 5 Sen β z log C 6 x + y Es dei, el poduto de una onda plana po un potenial bidimensional en el plano pependiula al movimiento. Fig 5 Soluión fontal paa una patíula-pulsaión libe on movimiento unifome. Si obsevamos un eletón de fente nos vuelve a apaee omo una fuente de ampo gavitatoio y elétio. Peo visto tansvesalmente al movimiento apaee omo una onda. Fig 6. Soluión tansvesal paa una patíula-pulsaión libe on movimiento unifome. Como podemos ve, las patíulas se ompimen po efeto del movimiento en el eje Z. 9

30 6. Meanismos de inteaión ente ondas. Aunque nomalmente se onsidea que las ondas no inteaionan ente sí en el mismo sentido en el que inteaionan patíulas, po ejemplo, la ealidad es que la existenia de efetos no lineales puede modifia el medio en el que se tansmiten las ondas, espeialmente en el aso de ondas estaionaias. Paa pode pofundiza más en estos oneptos audiemos a analogías meánias. Obsevemos las ondas estaionaias que se poduen en una ueda tensa. La expesión de la Enegía inétia es: y E / μ /μ ω A sen kx osω t t mientas que la enegía potenial es: E p/ T y / T K Aos kx senω t x Es fáil ve que se enuentan desfasados π/. En los antinodos la enegía inétia es máxima, peo su enegía potenial es eo, es dei la ueda no se defoma, sin embago en los nodos la enegía inétia se anula, mientas que la enegía potenial se hae máxima. Esto poduiá en la ueda dos efetos: Vaiaión de la longitud media Se estia Cuvatua del espaio. Vaiaión de la tensión media Aumenta Vaiaión veloidad de tansmisión de las ondas. Ota analogía que puede onsidease es el sonido onda longitudinal donde también es posible obseva dos ondas desfasadas ente sí π/, la de pesión y la de veloidad. En los nodos de la onda de veloidad la pesión media es máxima, mientas que en los antinodos de la onda de veloidad la pesión media es mínima. Este efeto pemite la levitaión aústia. En la figua están epesentados la onda de veloidad, la onda de pesión y las zonas de estabilidad paa la levitaión de pequeños objetos. 30

31 Al existi un gadiente de pesión existe un gadiente de índie de efaión la veloidad del sonido aumenta en los nodos de veloidad y una uvatua del espaio dilataión en los nodos de veloidad. Esto supone que ualquie onda viajea que ataviese la onda estaionaia quedaá desviada ligeamente. En el aso de las ondas gavitatoias y debido a que la soluión pesenta enegía negativa los efetos seán ontaios, es dei: Disminuión de la veloidad de popagaión de las ondas. Contaión del espaio. La soluión de Shwazshild paa las euaiones de ampo de Einstein nos popoiona los efetos: Contaión del espaio: ' 0 Ralentizaión del tiempo t ' 0 t donde 0 Gm La alentizaión del tiempo supone de heho la eaión de un gadiente de índie de efaión, ya que uanto más lento avanza el tiempo menos veloidad efetiva pesenta la luz en elaión a un punto situado en el infinito. En ealidad si se aepta que todo está fomado po ondas no podemos distingui ente una alentizaión del tiempo o una disminuión de la veloidad de popagaión de las petubaiones. Si, ota heejía más Es de obseva que este efeto no impliaía una vaiaión de la veloidad de luz en el vaío absoluto, sino una disminuión de la veloidad de la luz al atavesa una patíula-pulsaión, al igual que la veloidad de la luz disminuye al atavesa difeentes medios. Supongamos una patíula-pulsaión inmóvil en un ampo gavitatoio. Si utilizamos la apoximaión de ayo podemos alula su tayetoia on elativa failidad;si onsideamos que debido a su inmovilidad la uvatua del espaio no debe se tenida en uenta podemos estima ahoa el índie de efaión apaente debido a la dilataión gavitatoia del tiempo, que seá igual al oiente ente la veloidad del tiempo en el infinito y la veloidad del tiempo en el punto a estudia: 3

32 t n v t' 0 t 0 t / Una vez onoida la ley que ige n en funión de esulta senillo alula el adio de uvatua que pesentaá ualquie tipo de adiaión al tansmitise en diho medio. d dn ρ dr ln n n dn n n N donde ρ adio de uvatua, N Nomal al ayo. Debido a la simetía esféia del poblema el gadiente de n seá: d n 0 d Sustituyendo nos queda: ρ 0 [ ] N simplifiando y teniendo en uenta que po definiión 0 d 0 ds d ρ ds podemos esibi: N Paa el aso de una patíula inmóvil en la supefiie de la Tiea se pueden hae las siguientes simplifiaiones: 3

33 0 N, Luego nos queda: d 0 ds Si tenemos en uenta que el ayo avanza a la veloidad de la luz es posible esibi: st ; ds ds ; 0 dt dt y apliando la egla de la adena paa onveti la deivada on espeto al ao en deivada on espeto al tiempo d d ds d d s d + ds dt ds dt ds dt Sustituyendo: d GM g obteniéndose la euaión de Newton. dt d GM dt Es destaable que en el aso de patíulas no estátias seía neesaio tene en uenta la ontaión del espaio. Veamos en esta oasión un aso en el que el gadiente de veloidad del tiempo se podue po veloidad. Si suponemos un diso que gia on veloidad angula ω tendemos que la veloidad del tiempo sea distinta según la distania a su ento. En efeto: v Δ t ω n Δ t, y eodando que vω El gadiente de n seá entones: n Como [ d ω d ] ω ω 3 d dn tendemos que: n N ρ dr ln n n dn n ω ω ρ Paa el aso no elativista ω ω ρ ω 33

34 y po tanto: ω ρ d ω ds Si tenemos en uenta que la patíula a la veloidad de la luz en las dimensiones ompatadas es posible esibi: st ; ds ds ; 0 dt dt y apliando la egla de la adena paa onveti la deivada on espeto al ao en deivada on espeto al tiempo d d d s d d s d + ds dt ds dt ds dt Sustituyendo: d ω a ω dt Es dei, la fomula tadiional de la aeleaión entípeta. Paa el aso elativista tendíamos que: d ω ω dt ω a ω, Esta aeleaión se obsevaía loalmente, desde nuesta posiión estátia y debido a la dilataión tempoal lo que mediíamos seía: ω a ω De foma más geneal: u x, y, z,t n x, y, z u u n u x [ 3 u n u u u y u u u n u + + x y z ] u 3 u u u z 3 y po tanto 34 3

35 [ n u u u u + + n x y z ] u Paa el aso no elativista [ ] n u u u u + + u u n x y z d u u dt a x, y, z u u Este témino apaee en meánia de fluidos asoiado a la onsevaión del momento lineal Po tanto la dilataión tempoal y la ontaión del espaio povoadas po las ondas estaionaias en las dimensiones ompatadas son el oigen de la gavedad y de otos fenómenos, omo la fueza entífuga o la onsevaión del momento lineal en fluidos. En Matte as gavitational waves. Dak Enegy. E. López 04. se muesta que la expansión del Univeso que se efleja en la ley de Hubble povoa un gadiente de veloidad del tiempo, lo que oigina una fueza de epulsión ente las patíulas independiente de la masa. La existenia de esta fueza popoiona un valo paa la onstante osmológia de m- ompatible on los ultimos datos expeimentales. Oto posible efeto no lineal onsiste en el aaste del fluido en la dieión de popagaión de la onda p.e. steaming aústio. Este aaste popoiona una expliaión intuitiva de las fuezas que apaeen ente oientes de masa paalelas. Ilustaión : Fueza apaente de epulsión Ilustaión : Fueza apaente de ataión 35

36 La soluión de Ke a las euaiones de ampo de Einstein popoiona una expesión analítia paa este efeto, el ual es onoido en elatividad omo fame-dagging o aaste de mao. La veloidad angula de aaste del espaio-tiempo en el plano euatoial de una masa en otaión es: ma J ω Φ t +a donde m masa, adio, a m Si estudiamos el aso en que >>>a podemos esibi la veloidad lineal de aaste omo vω m a +a Constante, es dei la fueza de ataión-epulsión disminuye on el uadado de la distania..de heho en la métia de Ke viene implíito uno de los postulados de esta tesis, en efeto si onsideamos la soluión de luz estaionaia paa un eletón nos quedaía: e Gm + Gm a Como a>>>gm entones podemos esibi: e a i h / h J i i iξ0 i m m m Es de obseva que el aáte imaginaio del adio puede intepetase omo una dieión pependiula a todas las demás. Luego el aaste del fluido justifia fuezas de ataión-epulsión que disminuyen on el uadado de la distania, y en el que el sentido de desplazamiento de la onda povoa la apaiión de dos agas que se ataen si son de difeente signo y que se epelen si son del mismo signo. Po tanto, el aaste de fluido povoa fuezas análogas a la elétia. Reodemos la foma de las soluiones a la euaión de onda gavitomagnétia paa las dimensiones ompatadas. 36

37 El aaste se poduiá a difeentes valoes de la oodenada ξ, es fáil ve que el muón eletónio inteaionaá muy débilmente on el esto de patíulas, mientas que los eletones y los otos neutinos inteaionaan úniamente onsigo mismos o on los patones que los ontengan. La intensidad elativa de estas inteaiones también puede se obsevada. Es impotante eala que los patones solo existen omo ombinaiones lineales on el esto de patíulas, po lo que las difeentes ombinaiones tendán difeentes inteaiones. Po ejemplo el patón qa se veá afetado po la gavedad ambios en el índie de efaión y defomaiones del medio de popagaión, po fuezas eletomagnétias y po aaste de la onda de supefiie fuezas eletofuetes. Po la misma azón esta patíula no inteaionaá on los demás neutinos, exepto mediante la gavedad. Análogamente el patón q debeía se afetado po la gavedad y po fuezas eletodébiles y eletofuetes, peo no po fuezas eletomagnétias. Este patón inteaionaa débilmente on los neutinos muónios y muy débilmente on los neutinos eletónios, peo no on los neutinos tauonios. Anteiomente habíamos deteminado la elaión ente la masa y la aga de las patíulas elementales basándonos en onsideaiones gavitomagnétias. q patón m patón qν e q ν qν me mν mν m ν e μ t t e μ Sin embago, si suponemos que las fuezas elétias povienen del aaste del espaio-tiempo esta elaión no puede se ieta. Debido al meanismo de inteaión la longitud del movimiento eado de las patíulas no debe influi, sino úniamente debe influi la veloidad de aaste. En el análogo del steaming austio la veloidad de aaste es dietamente popoional a la intensidad de la onda en el aso de un pedominio de los téminos visosos o dietamente popoional a la aiz uadada de la intensidad de la onda en aso de un pedominio de los téminos ineiales. Saling and dimensional analysis of aousti steaming jets. Valey Botton, Bahim Moudjed, Daniel Heny, Hamda Ben-Hadid, Jean-Paul Gaandet04. Si suponemos que la intensidad de la onda es dietamente popoional a la masa de la patíula tendemos un ango de agas posibles paa las difeentes patíulas en funión de su masa. Si pedominan las fuezas ineiales q patón m 0,5 patón qν qν qν e 0,5 0,5 0,5 0,5 me m ν mν mν t μ e t μ e si pedominan las fuezas visosas 37

38 qν q patón e q ν q ν m patón me mν mν mν e μ t t μ e o si existe un equilibio ente fuezas visosas e ineiales, que es quizás el más pobable poque popoiona paa los patones un aga muy simila a la aga de Plank. Nota: El ompotase omo si existiese visosidad no implia la existenia de pedidas de enegía po ozamientos en el espaio-tiempo q patón m 0,75 patón qν qν qν e 0,75 0,75 0,75 0,75 me mν mν mν t t μ μ e e Debeíamos habla de ulombios eletodébiles, ulombios elétios o ulombios eletofuetes, según el aso. A ausa de onsideaiones que se desaollaan más adelante en este atíulo se asignando una masa de,87 MeV/ a los patones ligeos y de,9 MeV/ a los patones pesados. Patiulapulsaión masa Tipo de inteaión Rango de aga En ulombios equivalentes Caga más pobable u e 0,06 ev ELECTRODÉBIL 7, 0-7 3, ,9 0-5 u μ,46 ev ELECTRODÉBIL 4,59 0-5,7 0 -, 0-3 u t,9 ev ELECTRODÉBIL 6, , 0 -, e+,- 0,5MeV ELECTROMAGNETICA,60 0-9, q0 ligeo,87 MeV ELECTROFUERTE 7, ,73 0-8, q +,- pesado,9 MeV ELECTROFUERTE 8, ,06 0-8,

39 7.Disusión. Signifiado físio de la meánia uántia 7. Conepto de patíula. Oigen de la ineia. Es notable obseva que la soluión de la euaión de onda gavitomagnétia paa una pulsaión libe apaenta se una patíula fontalmente, ya que apaee omo una fuente de ampo gavitatoio y elétio, peo visto tansvesalmente justifia plenamente su ompotamiento ondulatoio. hipótesis de D'Boglie. De esta foma, si onsideamos a las patíulas elementales omo pulsaiones gavitomagnétias podemos explia: El expeimento de la doble endija, en el que ada eletón efetivamente intefiee onsigo mismo. El efeto Ahaonov-Bohm, en el ual un eletón se ve influido po un ampo magnétio onfinado en un solenoide tiene expliaión simplemente onsideando que pate de la pulsaión que epesenta el eletón ataviesa el solenoide, quedando po tanto afetado. El que se onsidee al eletón omo un objeto sin dimensión puntual, sin ninguna estutua intena. Po oto lado, esto onlleva a la ausenia de la aión a distania. El ampo de fueza de las patíulas se peibe poque efetivamente estamos atavesando las pulsaiones que onfoman las patíulas. Paa detemina el oigen de la ineia esulta muy inteesante obseva la popagaión de las ondas eletomagnétias en una guía de ondas omo las que se utilizan paa tansmiti señales eletomagnétias. Las ondas uya feuenia es infeio a una feuenia mínima, denominada de ote, no se tansmiten, mientas que las de feuenia supeio se tansmiten a una veloidad mayo uanto más alta es su feuenia, es dei, las pulsaiones más enegétias pesentan una veloidad de gupo mayo. El modo de popagaión de una onda uya feuenia sea ω en una guía de onda on una feuenia de ote ω0 viene dada po la siguiente elaión: 0 La veloidad on la que efetivamente se tansmiten la infomaión y la enegía dento de una guía de onda viene epesentada po la veloidad de gupo, que se define omo la deivada de la feuenia on espeto al modo de popagaión dω/dk. Deivando la expesión anteio on espeto a ω tenemos: d d 0 así que la veloidad de gupo de una onda de feuenia ω en una guía de onda on una feuenia de 39

40 ote ω0 es: v g d 0 0 d y eodenando tenemos: vg 0 0 v g 0 v g y po tanto: 0 vg Si multipliamos po la onstante de Plank h tenemos: h 0 h v g nos queda: E y eodando que la enegía de una onda viene dada po la expesión Eh E0 vg Es dei, de una manea bastante sopendente una onda eletomagnétia adquiee las mismas popiedades que una patíula mateial uando es guiada po una estutua metália o po otas ondiiones de ontono, omo es el aso de la fiba de vidio. Este es el oigen de la ineia. Como además las ondas estaionaias pueden inteaiona ente ellas mediante tes meanismos, la alteaión del índie de efaión apaente dilataión del tiempo, la ontaión del espaio uvatua del espaio y el aaste del medio de popagaión aaste de mao se va a aepta que las patíulas elementales están onfomadas uniamente po ondas, que apaentan se patíulas uniamente uando se las obseva a gan distania en elaión al tamaño de las dimensiones ompatadas, debe abandonase po tanto la onepión dual de la mateia. 7. Euaión de Klein-Godon. Longitud de onda de D'Boglie. Si patimos de la euaión de onda gavitomagnétia en 6D tenemos: 6D k H 0 m0 Como k i + β podemos esibi: ℏ La veloidad de gupo se define omo: v g [ ] m0 + i + β H 0 a ℏ 6D v g f 0 f 0 Si tenemos en uenta que f 0 podemos esibi: 40

41 v g vg Consideando que k y sustituyendo en a ω m 0 i + v g ω ℏ ω m [ ε ] 0 i ℏ ω [ ] v g m 0 i ℏ, omo vg tenemos y eodando que hemos postulado que k ea imaginaio tenemos : k m0 m0 m i, si tenemos en uenta que ℏ y sustituimos en la euaión de onda tendíamos entones: m i H 0 simila a la euaión de Klein-Godon independiente del tiempo. ℏ 6D Esta euaión debe esolvese paa seis dimensiones, no paa uato, po eso esta euaión faasó uando se aplió al átomo de hidógeno. Si multipliamos y dividimos po nos queda: Enegía onda m k 0 i i ℏ ε ℏ Esta ultima elaión nos va a pemiti esolve la euaión de onda de los eletones uando están sometidos a un ampo de fuezas. Po oto lado si volvemos a la euaión: k m0 m0 i y teniendo en uenta que k i +β ℏ ℏ Podemos esibi m0 m i 0 i ℏ ℏ [ ] [ ] [ ] m0 m m0 i Po tanto 0 i i ℏ ℏ ℏ Luego: 4

42 m0 i y omo ℏ m0 v g i ℏ [ ] [ vg nos queda finalmente: ] La longitud de onda asoiada al modo de popagaión seá: ℏ h i i m0 v g m0 v g Finalmente tendemos: h i lo que epesenta una semilongitud de onda de D'Boglie. m0 v g 4

43 8. Apliaión de la euaión de onda gavitomagnétia al átomo de hidógeno. 8. Euaión de onda paa el átomo de hidógeno. Si utilizamos un sistema de oodenadas esféias paa las dimensiones extendidas y iula paa las ompatadas y onsideamos un potenial elétio tidimensional la euaión de onda seía: 6D k H 0 donde k E onda i ℏ La enegía total de la pulsaión tendá los siguientes téminos: Enegía de la pulsaión en eposo: E 0m E Enegía inétia: Como la enegía inétia no es onoida a pioi y el eletón se va a move en un ampo potenial elétio podemos expesala omo la difeenia ente: Em Enegía meánia: Enegía potenial elétia. Si onsideamos que debido a su gan masa on espeto al eletón el potón se mantiene inmóvil podemos expesa la enegía debida al ampo elétio omo E ELEC Q q e Po tanto tendemos que: E k onda i ℏ e 4 πε 0 m+ E m ℏ e m + E m e y si llamamos a i i ℏ 4 0 ℏ ℏ 4 π ε0 podemos esibi: m + E m a H H 0 ℏ 6D Desaollando tenemos: H m 4 E m E m m a m a E m a H 0 ℏ ℏ ℏ ℏ ℏ agupando nos queda: E m m E a a Em a H H m H H H 0 ℏ ℏ ℏ ℏ ℏ 43

44 Se puede soluiona mediante sepaaión de vaiables H ξ, η, x, y, z Φ ξ, η Ψ,θ, φ que pemite sepaa los laplaianos utilizando el mismo postulado que en el punto 5.. ξ,η Φ m Φ0 De soluión análoga a la de la patíula libe. ℏ [ ] I E m Em a m E m a a Ψ Ψ Ψ0 ℏ ℏ ℏ ℏ, θ, φ Ψ II Saando fato omún en II Ψ [ ] E m Em a m E m a a Ψ Ψ Ψ0 ℏ ℏ ℏ ℏ En el aso no elativista m > > > E m y el témino m E m a Ψ y po tanto podemos esibi: ℏ ℏ Ψ m 0 E m a a Ψ Ψ0 ℏ ℏ 44 [ ] E m E m a Ψ es despeiable fente a ℏ ℏ

45 8. Euaión de Shodinge. Si esibimos la euaión de Shodinge tenemos: i ℏ t m0 Si tenemos en uenta que i E Ψ Ψ nos queda: t ℏ E ℏ y despejando y eodenando tendíamos: ℏ m0 m 0 E 0 ℏ ℏ que pesenta evidentes analogías on la euaión anteio. 8.3 Resoluión de la euaión paa las dimensiones extendidas. Caso no elativista. Si patimos de la euaión: Ψ m 0 E m a a Ψ Ψ0, apliando el laplaiano en esféias tenemos: ℏ ℏ Ψ Ψ Ψ m 0 E m a a + Sen θ + Ψ Ψ0 θ ℏ ℏ Senθ θ Sen θ φ Si desomponemos Ψ,θ, φ R P θ T φ tenemos entones: m 0 E m a a R ' PT + Sen θ RP ' T + RPT ' ' RPT RPT 0 ℏ ℏ Sen θ θ Sen θ Si multipliamos po Sen θ RPT m 0 E m a Sen θ d Sen θ d T'' a R' + Sen θ P ' + Sen θ Sen θ 0 R d P dθ T ℏ ℏ 45

46 Como tenemos un témino que solo depende de φ y la suma debe se onstante po fueza tenemos que: T'' te ml T i m l φ y uya soluión es: T φ C 4 e on ml semienteo. Sustituyendo entones y dividiendo po Sen θ ml m 0 E m a d d R' + Senθ P ' a 0 R d P Senθ d θ ℏ ℏ Sen θ Ya tenemos sepaadas las vaiables. d m 0 E m a R ' a l l+ R d ℏ ℏ ml d Sen θ P ' l l+ P Sen θ d θ Sen θ Como l l podemos esibi: d m 0 E m a R ' l l+ a R d ℏ ℏ m d Sen P ' l l l b P Sen d Sen T'' m l T La euaión b se tata de la funión asoiada de Legende, que junto on la euaión popoiona la soluión de los amónios esféios. Las ondiiones de ontono estingen la soluión a l0,,,... junto on la ondiión 0 ml l En pinipio ml puede adopta valoes semienteos, peo los polinomios de Legende de oden semienteo pesentan valoes infinitos paa θ, po lo que no pueden tene signifiado físio. Vamos a analiza la euaión a paa detemina los niveles de enegía: Si apliamos la egla de la adena y eagupamos R ' + R ' ' m 0 E m ℏ m a 0 Rll+ R ℏ Definimos la funión u R u ' R ' + R 46

47 u ' ' R' + R ' ' + R ' R ' + R ' ' lo que nos pemite esibi los dos pimeos téminos de foma simplifiada: R ' + R ' ' R ' + R ' ' u ' ' y po tanto: u ' ' m 0 E m ℏ m 0 a l l + + u0 ℏ Si ealizamos un estudio asintótio de la funión anteio uando se puede esibi: u ' ' m 0 E m ℏ u0 si llamamos β m E ℏ podemos esibi: u ' ' β m 0 a l l+ + u0 ℏ Dividiendo po β: m a l l+ u' ' 0 + u0 β β ℏ β Como apaee siempe multipliado po β podemos ealiza el siguiente ambio de vaiable ρ β definiendo la funión Uρ: U ' ' m 0 a l l+ + U 0 βℏρ ρ Si llamamos ρ0 m0 a βℏ tenemos U ' ' ρ0 l l+ + U 0 d ρ ρ La euaión d apaee en foma muy simila en la esoluión de la euaión de Shodinge adial del átomo de hidógeno y puede enontase su esoluión en la liteatua mediante su estudio asintótio y posteio desaollo en seie. La ondiión paa que la seie de téminos no sea infinita es que paa algún valo de j se umpla la igualdad siguiente: 47

48 j+ l+ ρ0 donde j es un númeo enteo. si llamamos n j+ l+ nos queda: nρ0 Si eodamos las definiiones: m a m E m β y ρ 0 0 βℏ ℏ podemos obtene la elaión que uantifia los niveles enegétios del eletón en el átomo de hidógeno: m a n me m ℏ ℏ m a n me m Elevando al uadado m a n Y eligiendo la soluión negativa Em Em m a n que popoiona los mismos niveles enegétios que la euaión de Shodinge. En ealidad la euaión a se tata de una vaiaión de la funión asoiada de Lagee y po tanto popoiona las mismas soluiones. Finalmente eala que la soluión final vendá dada po el poduto de las 3 soluiones, es dei: H,, x, y, z, t,,, e t i, y que de dihas soluiones se pueden obtene los momentos angulaes, que seían: Momento angula obital L l l ℏ Poyeión sobe el eje z del momento angula obital L sms ℏ Momento angula de espín L z ml ℏ ± ℏ 8.4 Resoluión de la euaión paa las dimensiones extendidas. Caso elativista. Si patimos de la euaión de onda paa las dimensiones extendidas: Ψ [ ] E m Em a m E m a a Ψ Ψ Ψ0 ℏ ℏ ℏ ℏ saando fato omún y eodenando tenemos: 48

49 Ψ [ E m+ m E m ℏ ] E m+ m a a Ψ Ψ0 ℏ apliando el laplaiano en esféias tenemos: [ ] E m+ m E m E m+ m a Ψ Ψ Ψ a + Sen θ + Ψ Ψ0 θ ℏ Senθ θ Sen θ φ ℏ Si desomponemos,, R P T tenemos entones: [ ] E m + m E m E m + m a a R ' PT + Sen θ RP ' T + RPT ' ' RPT RPT 0 ℏ Senθ θ Sen θ ℏ Si multipliamos po Sen RPT [ ] E m + m E m E m+ m a Sen θ d Sen θ d T'' a R ' + Sen θ P ' + Sen θ Sen θ 0 R d P dθ T ℏ ℏ Como tenemos un témino que solo depende de φ y la suma debe se onstante po fueza tenemos que: T'' te m l T y uya soluión es: T C 4 e i m on ml semienteo. l Sustituyendo entones y dividiendo po Sen [ ] ml E + m E m E m + m a d d R ' + Senθ P ' m a 0 R d P Senθ d θ ℏ Sen θ ℏ Ya tenemos sepaadas las vaiables. [ ] E m+ m a d E m+ m E m R ' l ' l ' + R d ℏ ℏ ml d Sen θ P ' a l ' l ' + P Sen θ d θ Sen θ Si llamamos a l ' l '+ l l+ nos quedaía: 49

50 [ ] E + m E m E m+ m a d R ' m l ' l ' + a' R d ℏ ℏ ml d Sen θ P ' l l+ b' P Sen θ d θ Sen θ T'' te m l ' T La segunda euaión solo tiene soluión paa l enteo positivo, po tanto podemos obtene los valoes de l' en funión de los posibles valoes de l. a l ' l ' ll+ l ' + l ' a l l+ 0 Euaión de segundo gado uyas soluiones paa los pimeos valoes de l son: l l' -5, x , , , , , , ,99... Paee evidente que la soluión on signifiado físio es la pimea, po tanto podemos esibi: 50

51 l l' dl-l' 0-5, x0-5 5,354905x0-5 0, , x0-5, , x0-5 3, , x , ,968056x , ,84x , , x , ,550094x0-6 Ya estamos en ondiiones po tanto de esolve la euaión a': [ ] E m+ m a d E m+ m E m R ' l ' l ' + R d ℏ ℏ apliando la egla de la adena y multipliando po R tenemos: R ' + R ' ' [ E m+ m E m ℏ ] E m+ m a Rl ' l ' + R ℏ Realizamos la siguiente sustituión: u R u ' R ' + R u ' ' R' + R ' ' + R ' R ' + R ' ' lo que nos pemite esibi los dos pimeos téminos de foma simplifiada: R ' + R ' ' R ' + R ' 'u ' ' y po tanto: 5

52 u ' ' [ E m + m E m ℏ ] E m+ m a u u l ' l '+ ℏ opeando tenemos: u ' ' [ E m+ m E m ℏ ] E m+ m a u ul ' l ' + ℏ Dividiendo po y eodenando: u ' ' [ ] E m+ m E m E m+ m a l ' l ' + + u0 ℏ ℏ Si ealizamos un estudio asintótio de la funión anteio uando se puede esibi: u ' ' [ E m+ m E m ℏ ] u0 si llamamos E m + m E m β ℏ podemos esibi: [ u ' ' β ] E m + m a l ' l ' + + u0 ℏ Dividiendo po β : [ ] E m+ m a l ' l '+ u'' + u0 β β ℏ β Como apaee siempe multipliado po β podemos ealiza el siguiente ambio de vaiable ρ β definiendo la funión Uρ: [ ] E m+ m a l ' l '+ U ' ' + U 0 βℏρ ρ Si llamamos ρ0 E m+ m a podemos esibi: βℏ [ U ' ' ] ρ0 l ' l '+ + U 0 d' ρ ρ 5

53 La euaión d' apaee en la esoluión de la euaión de Shodinge adial del átomo de hidógeno y puede enontase su esoluión en la liteatua mediante su estudio asintótio y posteio desaollo en seie. La ondiión paa que la seie de téminos no sea infinita es que paa algún valo de j se umpla la igualdad siguiente: j+ l ' + ρ0 donde j es un númeo enteo. Si esibimos l' en funión de l tendemos: j+ l dl+ ρ0 si llamamos n j+ l+ nos queda: n dl ρ0 y llamando n ' ln d l la ondiión esulta en : n' l ρ0 Si eodamos las definiiones: β E m+ m E m ℏ y ρ 0 E m+ ma βℏ podemos obtene la elaión que uantifia los niveles enegétios del eletón en el átomo de hidógeno si onsideamos que la enegía meánia es negativa y po tanto su aiz uadada imaginaia: n ' l E m+ m a i E m+ m E m Si elevamos al uadado apaeiendo po supuesto soluiones extas tenemos: n ' E m+ m a E m+ m E m opeando n ' E m + n ' m E m E m a+ a m desaollando el uadado del binomio y opeando: n ' E m + n ' m E m+ E m a + a m + E m a m 0 eodenando nos quedaía: n ' + a E m + m n ' + a E m + a m 0 euaión de segundo gado en Em del tipo a x + b x+ 0 donde an ' + a b m n ' + a a m 53

54 Y la soluión seá: [ E m m ± a n ' + a ] La segunda soluión oinide numéiamente on la oeión elativista de pime oden a la euaión de Shodinge que apaee en la liteatua. E a 3 n 4n l+ Los esultados numéios se muestan en la página siguiente: La soluiones anteioes no epoduen uantitativamente la estutua fina ni ualitativamente la estutua hipefina poque en la expesión de la enegía no se han intoduido los téminos magnétios ni el momento magnétio nulea, peo basta paa demosta que las dos fomulaiones son equivalentes. n l 0 l' n'l E n' ev En,l ev -5,38E-005 0, , , ,38E-005, , , ,999984, , , ,38E-005, , , ,999984, , ,50930, , , , ,38E-005 0,999984, , , , , , , , , , , , , , ,38E-005 0,999984, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

55 La soluión adial a la euaión de onda es muy simila a la tadiional en Meánia Cuántia, peo on las siguientes difeenias: - Ψ epesenta es popoional a el potenial de las fuezas eletofuetes, eletomagnétias o eletodébiles, y piede su intepetaión pobabilista. - La longitud aateístia a debe se igual a la mitad del adio de Boh. a0/. - Las longitudes deben se esaladas po la longitud aateístia usaemos /a en vez de - La nomalizaión de Ψ debeía se: Ψ s Con estas ondiiones las funiones adiales seían: Ψ s/ /a e y a a0/, así que a ax a e Ψ s/ / Ψ p / 3 / a ax e / a /a Ψ s /a e a0 0 x y aa0, así que Ψ s/ 4 a 0 y aa0, así que Ψ p / 6 x /a e a 0 / a e a0 0 0 Ψ 3d Apliaión de la euaión de onda gavitomagnétia a los patones. Hadones. Dado que los patones poseen agas eletofuetes muy gandes debeían se apaes de foma estutuas similaes a los átomos, peo unidas po las agas eletofuetes en vez de po las agas elétias, y po tanto on enegías de enlae muho mayoes. La euaión de onda gavitomagnétia paa un potenial que deee on la invesa del adio nos popoiona los siguientes niveles enegétios: [ a ' E m ± n ' +a ' ] q q, m masa eduida, n 'n dl, dl l l ', y l enteo positivo, y h 4 π ε0 l' la soluión a la siguiente euaión l ' +l ' a ' l l +0. on a' Si l0 obitales esféios entones l' ± + 4 a '

56 Como en el aso de los hadones a '>> podemos hae la siguiente apoximaión: l ', lo que nos popoiona los siguientes posibles valoes de la enegía: ±a ' a ' [ ] [ ] a' E m ± m ± a ' +a ' E ENLACE 0,98 m, y po tanto: o E ENLACE,707 m La pimea soluión se oesponde on la expeimental de los obitales eletónios, veamos pues alguna eaión nulea, po ejemplo, el deaimiento de un neutón libe según la siguiente eaión: n0 p+ + e + νe La pimea soluión nos popoionaía una enegía de enlae igual a: E ENLACE0,98 me0, 5MeV Y la segunda soluión nos popoionaía una enegía de enlae igual a: E ENLACE,707 me0,87 MeV omo la máxima enegía inétia del eletón medida ha sido de 0,78 ± 0,3 MeV se esoge la segunda soluión. La fomula anteio justifia un sistema de masas lineal paa los hadones. Ya en 95 Nambu había popuesto que las masa de los hadones estaban uantizadas on un quantum de apoximadamente 70 MeV, en ealidad 35 MeV oespondiendo los múltiplos impaes on los baiones, mientas que los mesones seían los múltiplos paes. Analiemos entones las difeentes ombinaiones que pueden dase. Tipo POSITRONIO Mesones Fomados po dos ondas iguales, po tanto espín total eo. Nótese que + y se efieen a agas eletofuetes.

57 La masa eduida seá entones m ' m m y po tanto la enegía de enlae seá igual a m m E ENLACE,707 m',707 0,8536 m La masa total seá entones M m +0,8536 m,8536 m. De donde podemos obtene apoximadamente la masa del patón m patón 35,7 MeV /,8536 Tipo HELIO Baiones 3 ondas. Espín total ½ A. Númeo de patones divisible po 4. La masa eduida seá entones m ' m m m y po tanto la enegía de ataión seá m +m 3 E Attation,7073 m. 3 esta enegía de enlae se ve eduida debido a la epulsión ente los dos patones más ligeos, ya que tienen la misma aga eletofuete. Esta epulsión se puede estima omo el poduto de los dos patones más ligeos multipliados po,707, peo onsideando que ambos ya están fijados po el patón de mayo masa se utilizaan omo masas de patida las masas peviamente eduidas, es dei /3m. REPULSION [,7073 ] /3m /3m m,7073 /3m +/3m 3 Po tanto, la enegía de enlae seá: E enlae ATRACCIÓN REPULSION, m m,7073 m 3 3 Esto es, la misma que en el tipo positonio. Dado que el tipo positonio es más simétio y simple dos ondas fente a tes el tipo helio debe esta gavemente penalizado. Esto explia poqué los

58 múltiplos paes de 35 MeV son pefeiblemente mesones. A. Númeo de patones pa, peo no divisible po 4. Siguiendo el mismo método de álulo: m ' 3m m 6 3m m 3 m ; m ' m ; Repulsión 3m +m 5 3m +m 4 Po tanto, la masa total seá: m ' 3 6/5m 3/ 4m 0,4653 m 6/5m +3 / 4m M 3m+ m+m+,707[6/ 5m+3/ 4m 0,46453m]8,54 m Si fuese un mesón M 3m+3m +,707 m/ 8,5608 m La soluión baiónia es ahoa más ligea, y po tanto pevalee. Esto explia poqué los múltiplos impaes de 35 MeV son pefeiblemente baiones. El baión más ligeo posible debeía tene una masa igual a mμ8,54,704,79 MeV Esta estimaión es un 0,8% más ligea que la masa expeimental del muón mμ05,65 MeV

59 Peviamente habíamos postulado la existenia de patones ligeos y pesados, peo no existía peviamente ninguna efeenia a la existenia de un sistema multilinea de masas paa las patíulas subatómias. Gaias al gan tabajo del D Palazzi ha sido posible supea esta difiultad. Sus tabajos no han eibido la atenión que meeen, peo afotunadamente se enuentan disponibles en su página web Palazzi, apliando apopiadas ténias estadístias, es apaz de sistematiza las masas de vitualmente todos los mesones y baiones mediante un sistema linea basado en dos patíulas, una ligea sin aga MeV/ que podemos identifia on los patones ligeos y ota ligeamente más pesada y on aga elétia MeV/ que podemos asimila on el patón pesado. Ahoa podemos onoe las masas de los patones: m patón ligeo 33,88,87 MeV /,8536 m patón pesado 36,84,9 MeV /,8536 Intentaemos aplia lo anteio a las patíulas más simples. En los baiones la meno enegía de epulsión se obtiene uando la distania ente ellos es maximizada, po lo que las dos ondas más pequeñas deben se lo más desiguales posible. La aga elétia debe aumulase en las dos ondas más inteioes, ya que las agas de difeente signo tienden a esta lo más ea posible. PROPUESTA PARA EL MUÓN,87+*,937,69 MeV,87 +,94,78 MeV,87 MeV

60 m ' 37,69 4,78 4,95 MeV 37,69+ 4,78 m ' 37,69,87 9,07 MeV 37,69+,87 m ' ep 4,95 9,07 5,685 MeV 4,95+9,07 Po tanto: mμ37,69+4,78+,87+,707 4,95+9,07 5,68505,664 MeV Como la masa expeimental del muón es mμ05,6583 MeV el eo disminuye hasta el 0,006%. PROPUESTA PARA EL π0 4*,8747,48 MeV 4*,8747,48 MeV m ' 47,48 47,48 3,74 MeV 47,48+47,48 mπ 47,48+ 47,48+,7078 3,7435,49 MeV 0 Como la masa expeimental es: mπ 35,0 MeV el eo es igual a 0,35%. 0 PROPUESTA PARA π+ *,87+*,949,56 MeV 3*,87+,9 48,5 MeV m ' 49,56 48,5 4,57 MeV mπ 49,56+48,5+,7078 4,5739,93 MeV 49,56+48,5 0 Como la masa expeimental es mπ 39,57 MeV el eo es igual a 0,6%.

61 PROPUESTA PARA EL PROTÓN 39,85 MeV 39,0 MeV,87 MeV 39,85 39,0 39,85,87 6,7 MeV m ',46 MeV 39,85+39,0 39,85+,87 6,7,46 m ' ep 0,70 MeV 6,7+,46 m ' Po tanto: m PROTON 39,85+39,0+,87,707 6,7+,46 0,70938,88 MeV Como la masa expeimental del potón es: m PROTON 938,7 MeV el eo es igual a 0,07%. PROPUESTA PARA EL NEUTRON 330,89 MeV 39,0 MeV,87 MeV

62 m ' 330,89 39,0 6,4 MeV 330,89+39,0 m ' ep m ' 330,89,87,46 MeV 330,89 +,87 6,4,46 0,70 MeV 6,4+,46 Po tanto: m NEUTRÓN 330,89+39,0+,87+,707 6,4+,46 0,70940,35 MeV Como la masa expeimental del neutón es: m NEUTRÓN 939,56 MeV el eo es igual a 0,08%. Po supuesto, existen otas posibilidades paa el potón, po ejemplo 7,+0;6,-9 ;,0 en vez de 7,-9;6,+0;,0 on una masa de 938,84 MeV y paa el neutón, po ejemplo 7,-0; 6,+0;,0 en vez de 7,+0 ;6,-0 ;,0 on igual masa. De heho, omo las masas de los dos tipos de patones son de apoximadamente - MeV siempe podemos enonta una ombinaión que se ajuste a las masas expeimentales, espeialmente en las patíulas pesadas. Además, omo hemos usado una apoximaión lásia paa detemina la enegía de epulsión existe un eo sistemátio. Po tanto, neesitamos otas popiedades de la patíula on el fin de obtene la estutua de patones de los mesones y baiones. A lo lago de este tabajo se utilizaá el momento magnétio intínseo y la distibuión intena de agas elétias y eletofuetes. 0. Estutua de los Hadones. Obitales y distibuión intena de aga. Como vimos en la esoluión de la euaión de onda gavitomagnétia paa un potenial ental que deee on la invesa del adio la euaión angula quedaba inalteada en el aso elativista, es dei, la foma de los obitales no vaia. Po tanto, podemos onsidea que los hadones están ompuestos po apas esféias, al menos uando no están exitados. Paa el aso no elativista el adio de Boh a0 es alulado mediante la siguiente expesión: a0 h m a si opeamos E0 m a a0 a0 h h a y teniendo en uenta que la enegía de los obitales es m a m a a podemos expesa el adio de Boh en funión de la enegía del pime obital h a h E 0 E 0/ a

63 Si extapolamos esta elaión al aso elativista podemos esibi: [ E 0 m a a ± ] [ ] a' m a± n' +a ' n' + a' Paa el aso en que el potenial ental povenga de fuezas eletofuetes a'>>>> y n' a' y po tanto: E0 a m y opeando: a0 h h m m En esta expesión debemos tene en uenta dos ondiiones: - Debemos usa las masas eduidas - La masa de las patíula-pulsaion se ha inementado po la enegía de enlae mm0 +,707 m0,707 m0 Y po tanto: a0 h 3,885 m' MeV, J / MeV Paa el aso del potón seía: a0 h fm a h fm / a h fm /,600 3

64 Si asumimos que las patíulas se enuentan en el estado s la funión adial los obitales debeían / a se de foma esféia, on una funión adial del tipo Ψ s K e, donde a es una longitud aateístia. Debemos puntualiza sin embago, las difeenias on la intepetaión habitual de la meánia uántia: - Ya hemos intepetado que la funión de onda epesenta es popoional a el potenial eletofuete, eletomagnétio o eletodébil y en ningún aso a una funión de pobabilidad. Esta longitud aateístia debe se igual a a0/ paa el obital más senillo. - Las longitudes debeían esalase on espeto a la longitud aateístia. /a en vez de. - Se ha esogido nomaliza de dos maneas, de auedo a la funión epesentada, es dei:: 0 Ψ o 0 Ψ. Con la pimea nomalizaión las funiones adiales seían: Ψ s /a e, a0 0 Ψ s a0 / a / a e y Ψ p e... a0 a0 0 0 Con la segunda nomalizaión seía: Ψ s4 3 3 /a / a e y Ψ p / e a0 a0 e / a, Ψ s / 0 a0 a 0 0 Ahoa, podemos dibuja la suma de las tes ondas que onfoman el potón pondeadas de auedo a las masas de los patones que las onfoman.. [ ρ mass 7 e / e / e / ]

65 Más intuitiva esulta la epesentaión de la funión [ ρ mass Ψ a 3 s, que en este aso seía 3 e / e / e / ] Distibuión ualitativa de masa esfea huea Distibuión adial de masa Si sumamos las tes ondas pondeadas de auedo a sus agas elétias podemos obtene el potenial dento del potón. [ ρ mass 9 e / e / ]

66 Más intuitiva esulta la epesentaión de la funión [ ρhage Ψ ] a s, que en este aso seía: e / e / En el segundo gáfio se ha supepuesto a los esultados expeimentales obtenidos po JLAB [The Fonties of Nulea Siene A Long Range Plan 007, p.6]. Si eodamos que hemos obtenido la enegía de enlae on una apoximaión semilásia el ajuste es muy bueno. No obstante se puede supone que al ealiza los expeimentos de satteing los potones pasan a un estado exitado, on mezlas de los difeentes estados s,p,d, et.. La simple ombinaión de 84% s on 6% p se ajusta bastante bien a los datos expeimentales.

67 [ ρhage 0, [ +0,6 3 3 e / e / e / e / ] ] La modifiaión de la soluión de onda gavitomagnétia povoada po el impato de las patíulas utilizadas paa el expeimento fotones, eletones,..es un onepto fundamental paa la ompensión del mundo subatómio. Confome aumentamos la enegía de impato la modifiaión es mayo, hasta que todas las ondas apaentan se puntuales. La enegía a la que esto suede es dependiente de la enegía de enlae, po eso los muones apaentan se patíulas puntuales, mientas que en los nuleones tenemos aeso a un ango de enegías que nos pemiten onoe su estutua intena, una vez sobepasado este ango, se ompotan omo onfomados po tes patíulas puntuales. Paa el aso del neutón seá muy simila: a0 h 3, ,347 fm 3 3,885 6,4+, ,600 a h ,369 fm 3 3,8856,4,46/,600 a h 8, fm 3 3,885,46 0,70 /,60 0 Si sumamos las tes ondas pondeadas según sus agas podemos obtene la densidad adial de aga del neutón.

68 [ ρ aga e / e / ] o nomalizado a una aga +e / -e on el fin de ompaa on otos tabajos. [ ρ aga e / e / Densidad de aga del potón y el neutón ] Densidad de aga del potón y del neutón nomalizado a una aga de +e,-e. En el segundo gáfio se ha supepuesto a los esultados expeimentales obtenidos po JLAB [The Fonties of Nulea Siene A Long Range Plan 007, p.6]. No obstante, es onveniente eala que la F del neutón es deduida a pati del satteing de deuteio, ya que no existen blanos de neutones libes, al evés que la F del potón, que puede se

69 medida dietamente y es po tanto más fiable.. Momento magnétio intínseo. Es posible apoxima el momento magnétio de un hadón simplemente sumando los momentos magnétios de todas y ada una de las ondas que omponen los hadones. Intentaemos pimeo el aso de los mesones poque son más simples que los baiones.. Mesón π. π0 Ambas ondas son iguales, po lo que el momento magnétio es nulo. π+ *,87+*,949,56 MeV 3*,87+,9 48,5 MeV m ' 49,56 48,5 4,57 MeV mπ 49,56+ 48,5+,7078 4,5739,93 MeV 49,56+48,5 0 Podemos asigna la enegía de enlae de manea popoional, así que tendemos dos ondas on las siguientes popiedades. Onda : Masa 70,7090 MeV Caga e+ Onda : Masa 69,5 MeV Caga e- El momento magnétio sea: μ 9 34 e h , m 70,7090, μμ+μ, , ,57 0 μ 9 34 e h , m 69, en unidades del SI.

70 Dado que en el modelo estánda una patíula on espín eo no puede tene momento magnétio intínseo no nulo, esta podía se una buena pueba paa la hipótesis aquí desaollada.. Mesón ρ + De auedo al sistema multilinea de Palazzi los mesones ho están ompuestos de igual númeo de patones agados y neutos, luego debeía tene esta omposiión: *,87+*,97,58 MeV *,87+0*,9 7,54 MeV m ' 7,58 7,54 36,03 MeV mρ7,58+7,54+, ,03776,34 MeV 7,58+ 7,54 La masa expeimental es de 775,4 MeV, lo que supone un eo de 0, %. Podemos asigna la enegía de enlae de una manea popoional a su masa, luego tendemos dos ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 388,99 MeV Caga eonda : Masa 387,48 MeV Caga 0e+ El momento magnétio seá: e h μ m 388, e h μ, m 387, μρμ +μ,3440 5,50 5,70 6 en unidades del SI. En Detemination of the magneti dipole moment of the ho meson using 4 pion eletopodution data Gaia Gudiño y Toledo Sanhez obtuvieon un valo expeimental de -,9 0-6 en unidades del SI, lo que supone un eo del 8%. Ahoa, intentemos el aso de los baiones.

71 .3 MUÓN μ - 37,69 MeV 4,78 MeV,87 MeV m ' 37,69 4,78 4,95 MeV 37,69+ 4,78 m ' 37,69,87 9,07 MeV 37,69+,87 m ' ep 4,95 9,07 5,685 MeV 4,95+9,07 Po tanto: mμ37,69+4,78+,87+,707 4,95+9,07 5,68505,664 MeV Podemos asigna la enegía de enlae de una manea popoional a su masa, luego tendemos tes ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 33,345 MeV Caga e+ Onda : Masa 50,775 MeV Caga eonda 3: Masa 5,8096 MeV Caga 0 El momento magnétio seá: 9 34 e h , m 50, e h μ, m 33, μ μρμ +μ, , ,480 6 en unidades del SI.

72 Como el valo expeimental es de -4, en unidades del SI el eo es del 0,6%..4 PROTÓN 39,85 MeV 39,0 MeV,87 MeV 39,85 39,0 39,85,87 6,7 MeV m ',46 MeV 39,85+39,0 39,85+,87 6,7,46 m ' ep 0,70 MeV 6,7+,46 m ' Po tanto: m PROTON 39,85+39,0+,87,707 6,7+,46 0,70938,88 MeV Si asignamos la enegía de enlae popoionalmente a la masa, tendemos tes ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 463,3587 MeV Caga 9eOnda : Masa 448,45 MeV Caga 0e+ Onda 3: Masa 5,784 MeV Caga 0 e. El momento magnétio seá: μ 9 e h m 463, μ 0 e h m 448, μρμ +μ en unidades del SI. El valo expeimental es,4 0-6, lo que supone un eo del,69%

73 .5 NEUTRÓN. 330,89 MeV 39,0 MeV,87 MeV m ' 330,89 39,0 6,4 MeV 330,89+39,0 m ' ep m ' 330,89,87,46 MeV 330,89 +,87 6,4,46 0,70 MeV 6,4+,46 Po tanto: m NEUTRÓN 330,89+39,0+,87+,707 6,4+,46 0,70940,35 MeV Si asignamos la enegía de enlae popoionalmente a las masa, tendemos tes ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 464,85 MeV Caga 0e+ Onda : Masa 448,470 MeV Caga 0eOnda 3: Masa 5,784 MeV Caga 0 e. El momento magnétio seá: μ 0 e h , m 464,85.780

74 e h μ m 448, μρμ +μ,00 5, ,800 7 en unidades del SI. El valo expeimental es de , lo que supone un eo del 60,4%. Paa ompende que suede on el neutón vamos a pesenta oto método paa la estimaión del momento magnétio. El momento magnétio intínseo de un patón agado seá: q h, , μh, m,780, al que llamaemos magnetón hadónio. Analiemos la expesión del momento magnétio intínseo. μ q L Como m L,m entones μ,q. Entones podemos popone omo expesión del momento magnétio de un hadón μμh Ψ d Veamos algunos ejemplos, Muón. μμh Ψ d, e,799 + e 4,38 d, ,345 4, ,799 4,38 Potón μμ h Ψ d, e 0,35 +0 e 0,375 d,88 0 0,0954, ,35 3, e 0,35 0 e 0,375 d,88 0 0,0307 3,9560 0,35 0,375 0 Neutón μμ h Ψ d, Como vemos, el eo todavía es muy gande, sin embago, al obseva la fomula es fáil ve que simplemente inementando el adio de Boh de la segunda onda un 5% hasta 0,345 fm nos pemite obtene un esultado oeto.

75 μμ h Ψ d, e 0,35 0 e 0,345 d, ,0745 9, ,35 0,345 Es inteesante esalta que se ha usado una apoximaión bastante buda paa obtene los adios de Boh. De heho, al epesenta el neutón on estos nuevos paámetos se apoxima todavía más a los datos expeimentales de JLAB..Fueza nulea esidual. Podemos epesenta el potenial eletofuete de un potón o de un neutón ambos son pátiamente iguales. Ψ 7 0,35 e / 0,35 6 0,375 e /0,375 8,4 e /8.4

76 O bien, epesentando ²Ψ: Sopendentemente simila al potenial de Reid. Paa ompaalos debemos expesa el potenial eletofuete en MeV. Reodemos que la aga eletofuete del patón ligeo es de,7 0-8 Culombios equivalentes. Ψ 4 5 [ C e / 0,35 6 e / 0,375 e / π ε0 0,35 0,375 8, ]

77 Que podemos ompaa on el potenial de Reid93. Paa ompende totalmente la inteaión fuete esidual podemos epesenta los poteniales eletofuetes de dos nuleones sepaados, fm, que es la distania más habitual.

78 Puede obsevase omo los nuleones se situan de manea que se omplementen las agas eletofuetes opuestas. De heho, la enegía de inteaión ente dos nuleones se puede estima multipliando ambas funiones e integando. Los esultados se muestan en el siguiente gafio. El mínimo de enegía se enuenta paa una distania ente nuleones igual a,7 fm.

79 C. HIPÓTESIS DE ÉTER DE CRISTAL LIQUIDO. 3. Sobe la uvatua de las dimensiones ompatadas. En el punto 6 hemos visto omo la modifiaión del medio de popagaión povoada po las ondas estaionaias que onfoman la mateia poduía la impesión de la existenia de un espaio uvado. Ya que hemos postulado que el plano de las dimensiones ompatadas ea uvo y de topología elíptia, podemos exploa la hipótesis de esta de uvatua se debe a la existenia de un gadiente de la veloidad de popagaión de las ondas a lo lago de las dimensiones ompatadas. La uvatua de las ondas vendá deteminada po la siguiente elaión: n k ρ n Una vez onoida la uvatua se puede detemina la tayetoia de las ondas mediante la siguiente expesión en oodenadas atesianas. k y' ' 3 + y ' Se ha enontado que una vaiaión del índie de efaión igual a: n popoiona una uvatua igual a k n n 4 3 que expesada en oodenadas atesianas seá: k n n os atan y ' atan x / y 4 3 x + y La euaión difeenial seá entones: 3 y ' ' + y ' 4 3 x + y os [ atan y ' atan x / y ]

80 Dado que no se ha enontado una soluión analítia a esta euaión se ha esuelto numéiamente mediante el pogama wzgaphe. Intoduiendo las ondiiones iniiales adeuadas se ha enontado omo soluiones la familia de las elipses on ento 0,0 y paámetos a.09 y b Ejemplo de soluión on ondiiones iniiales y00 e y 00. Es fáil ve al epesenta las soluiones que se intodue un nuevo gado de libetad que pemite explia muho más satisfatoiamente el fenómeno del espín.

81 Un gio en las dimensiones extendidas puede povoa gios en la oientaión de la tayetoia elíptia en las dimensiones ompatadas, ya sea po un efeto giosópio o una autoinduión, lo que basta paa explia de foma intuitiva el ompotamiento de las patíulas. En uanto a las débiles fuezas ente las patíulas debidas al espín, puede expliase po una iulaión seundaia povoada po la asimetía de la soluión. Po oto lado, solo se pemiten elipses de un únio tamaño. Esto nos obliga a postula que la veloidad de las ondas vaía linealmente on la feuenia. Esta vaiaión debe se tal que el adio h medio sea igual a ξ 0 y la veloidad de la tayetoia eada sea igual a. El espaio m0 tiempo se ompota po tanto omo un éte de istal liquido. Desde este punto de vista el agujeo ental puede se intepetado omo un ambio de estado del éte, hipótesis que puede se extendida a los agujeos negos. 4. Conlusiones A pesa de los gandes éxitos alanzados po la Físia en el último siglo, lo ieto es que disponemos de dos gandes teoías paa desibi la ealidad que son inompatibles ente si Teoía de la Relatividad Geneal y Meánia uántia.estas inompatibilidades se han aeentado on el paso del tiempo y han onduido al desaollo de teoías e hipótesis que o bien se basan en la aumulaión de paámetos libes sin fundamentaión teóia masas, agas, espines,.. del modelo estánda o bien pesentan postulados imposibles de ompoba atualmente Teoías de uedas,... Todas estos intentos de onilia lo más pequeño on lo más gande ompaten la inapaidad de efetua pediiones básias. Resulta po tanto impeativo efetua una evisión pofunda de los pinipios en los que basamos la Físia a día de hoy. Busando intepetaiones altenativas a la teoía de la Relatividad Espeial y más onetamente a la euaión que liga la enegía de un uepo en movimiento on su veloidad se enontó que tal vez esta teoía onlleva implíitamente el desplazamiento a la veloidad de la luz en al menos una dimensión adiional. Desde este punto de vista la geometizaión del tiempo postulada po Minkonswki seía un eo de intepetaión y podía se sustituida on ventaja po la asunión del desplazamiento a la veloidad de la luz de todas las patíulas en una nueva dimensión al estilo de

82 la postulada po Kaluza. La adopión posteio de los postulados de Klein aea del tamaño y topología de la dimensión de Kaluza junto on la isotopía expeimental del Univeso obligaían a postula la existenia de al menos ota dimensión adiional, lo que nos llevaía a la existenia de un plano de dimensiones ompatadas en el que las patíulas en apaente eposo se moveían en tayetoias eadas a la veloidad de la luz. Cualquie patíula en eposo absoluto es poseedoa de ieta enegía, y las dos teoías nos popoionan difeentes fomulaiones. Po un lado la TRG nos die que ésta toma el valo Em², mientas que la expesión de la enegía esidual de vibaión de un osilado uántio es h υ E. Dado que ambas teoías han tenido un gan éxito en su espetivo ampo de apliaión, po qué no asumi que ambas son oetas? Si onsideamos que ambas enegías deben se la misma y suponiendo movimientos iulaes es posible estima el adio de las tayetoias en el plano de las dimensiones adiionales. Esto pemite intepeta la masa de las patíulas ealmente elementales omo la invesa de la dimensión ompatada adial y de valo h ξ 0, que paa el aso del eletón seía de, ¹³ m. m0 La ombinaión de este movimiento iula en las dimensiones ompatadas on un movimiento en las dimensiones extendidas poduiía tayetoias helioidales y lo que ahoa se intepeta omo veloidad del tiempo debeía onsidease omo la veloidad de las patíulas en el plano de las dimensiones ompatadas. Un estudio más detallado de estos movimientos helioidales popoiona una expliaión oheente a la longitud de onda de D'Boglie y pemite infei que el pinipio de inetidumbe poviene del heho de intenta analiza fenómenos que sueden en 5 dimensiones espaiales omo si tuviesen solo 3 dimensiones espaiales. Las euaiones de Einstein en su apoximaión de ampo débil se pueden lineaiza, lo que pemite esibilas de una manea muy simila al eletomagnetismo. Esta fomulaión es onoida omo gavitomagnetismo. Dado que en el gavitomagnetismo dos oientes de masa paalelas que iulan en el mismo sentido se epelen es posible enonta una expliaión intuitiva a la aga elétia omo fuezas ente oientes de masa paalelas. Al analiza ualitativamente el efeto que la uvatua del espaio tiene sobe las leyes físias se obsevó que ésta atuaba de un modo simila a omo atúa una lente onvegente sobe una imagen, es dei, inementa los efetos a distanias otas, mientas que los disminuye a lagas distanias. Po tanto muhas onstantes físias μ 0, G,ε 0... deben apoximase a la unidad uando expesemos las leyes de la natualeza en las 6 dimensiones postuladas. Es dei, las onstantes son onseuenia de intenta analiza fenómenos que sueden en 5 dimensiones espaiales omo si tuviesen solo 3 dimensiones espaiales. Po oto lado este análisis pemite intepeta la onstante gavitatoia G omo la supefiie de las dimensiones ompatadas, y se puede estima el adio de las dimensiones ompatadas en G ξu m. π Siguiendo estas dieties e intepetando el veto induión elétio omo la fomulaión en 5 dimensiones del veto induión gavitomagnetia en 6 dimensiones se obtiene que la elaión masa-aga del eletón debeía se igual a

83 q 8π G, μ h m0 0 El valo expeimental difiee ligeamente, ya que es de e, me Paa obtene un valo oeto basta toma un valo de Ĝ, Paa explia este valo de postula una foma elíptia en vez de iula paa las dimensiones ompatadas. Se obtiene que el momento magnétio debeía se 4π G m0, uyo valo oinide on el magnetón de Boh. Es dei, es posible estima la μ0 aga y el momento magnétio del eletón úniamente a pati de su masa. μg Una vez expliado el oigen del ampo elétio el magnetismo se puede obtene del potenial elétio a tavés de los postulados de la eletodinámia elativista. Si se aplian las euaiones de Einstein en su apoximaión de ampo débil a un espaio omo el postulado en este tabajo se obtienen soluiones en foma de ondas. Dihas ondas se desplazan en tayetoias helioidales debido al onfinamiento poduido po la uvatua de las dos dimensiones ompatadas. Al utiliza un sistema de oodenadas ilindio-elíptio el laplaiano es sepaable, po lo que la soluión estaá ompuesta po el poduto de dos funiones, una dependiente de las dimensiones ompatadas y ota de las dimensiones extendidas H ξ, η, x, y, z Φ ξ, η Ψ,θ, φ. La soluión paa las dimensiones ompatadas es una onda estaionaia expesada omo funiones de Mathieu de oden semienteo y paámeto q negativo. Se intepeta el oden de la soluión omo el espín de las patíulas- pulsaiones Estas ondas estaionaias son asimétias en su sentido de gio, lo que povoa la apaiión del ampo eletomagnétio po fuezas ente oientes de masa paalelas y es el sentido de gio el que maa el signo de la aga y difeenia las patíulas de laas antipatíulas. Las patíulaspulsaión on espín impa pesentan además asimetía geométia femiones, mientas que las patíulas on espín pa son simétias geométiamente bosones on masa. La asoiaion de eletones on espines opuestos pa de Coope y su ompotamiento simila al de los bosones demuesta gáfiamente esta idea. Pa patíula-antipatiula Bosón on masa Femión