Trabajo de Verano. Matemáticas B (4 o ESO)

Transcripción

1 Trabajo de Verano. Matemáticas B (4 o ESO) Departamento de Matemáticas. IES La Flota. Junio Número Real 1. Completa con «Sí» o «No» según la pertenencia de cada número al conjunto numérico: 1 N Z Q R 8/ Clasifica los siguientes números según el conjunto numérico al que pertenecen: ; ; 6; ; 4; 1 ; π 16; 11; 64; 4.. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): Todo número decimal es un número racional. Si una raíz no es exacta, entonces se trata de un número irracional. Todo número con infinitas cifras decimales es irracional. Todos los números enteros son negativos. Todo número que se puede expresar como fracción es racional. 4. Representa los siguientes números sobre la recta: c) 1. Expresa en forma de fracción los decimales: c) Realiza la siguiente operación, calculando previamente las fracciones generatrices y dando el resultado en forma de fracción: Considera el conjunto de números reales menores o iguales que y mayores que. Exprésalo como intervalo, indica su nombre, haz su representación gráfica y escribe la correspondiente desigualdad. 8. Dos biólogos cuentan el número de aves migratorias de dos especies diferentes. El primero cuenta 10 aves de la especie A cuando en realidad hay 1. El segundo cuenta 80 aves de la especie B cuando en realidad hay 80. Encuentra el error absoluto y el error relativo en cada caso. Da el valor del error relativo redondeando a la centésima. Cuál de los dos biólogos ha sido más preciso al contar? Justifícalo. 9. Extrae fuera del radical todos los factores que sea posible: 19 x y 8 c) 11664a 9 b 7 d) 184x 4 y 9 z Racionaliza: c) 6 4 d) + e) 7 7

2 11. Realiza las siguientes operaciones con radicales y simplifica al máximo el resultado: 9 a7 a ( 6 ) c) a d) 4 6 e) f) 4 x x 1. Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado en notación científica: ( 10 7 ) (7 10 ) ( 10 ) : ( ) 1. A partir de la definición de logaritmo, calcula el valor de las siguientes expresiones: ( ) ( ) ( ) 1 1 log 1 (1) log (16) c)log 6 d)log1 e)log 6 (7) 9 f)log 14. Halla x en cada caso: log x = log x 9 = c) log 0 = x 1. Teniendo en cuenta que log() = y log(11) = , calcula el valor de las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos: ( ) 8 log log() c) log() d) log(0 16) d) log 11 (11) x 16. Toma logaritmos en la expresión A = y desarróllala al máximo. y z 17. Toma logaritmos en 170 = 68 t para despejar y calcular t aproximando a la centésima. 18. La fórmula P = 0 ( 4) t nos da el número de individuos de una población, donde t es el tiempo en años. Cuántos individuos había en el instante inicial? Y al cabo de años? Cuánto tiempo ha de pasar para que se alcancen 1000 individuos? Da el resultado en años, meses y días.. Polinomios y Fracciones Algebraicas 19. Realiza las siguientes divisiones de polinomios e indica el cociente y el resto. Escribe en cada caso la fórmula de la división. (4x 4 6x +x 1) : (x 1) (6x 4 7x +9x x+4) : (x x 1) c) (6x 4 7x +9x x+4) : (x x 1) d) ( x +x x+1) : (x+) 0. Dado el polinomio P(x) = x 4 + x, calcula el valor de P( ) utilizando la regla de Ruffini. Halla el resto de la división ( x x x+) : (x+1) pero sin efectuarla. 1. Dado el polinomio P(x) = x x + 4x +, calcula directamente P( ) (sin utilizar la regla de Ruffini). Es divisible por (x+1) el polinomio (x 4 x +4)? Justifícalo.. Halla el valor dek que hace que el resto de la división del polinomiop(x) = x +x +kx 9 entre (x ) sea 11.. Halla k para que el polinomio P(x) = x +4x +kx sea divisible entre (x+).

3 4. Di cuáles de los siguientes polinomios son primos (irreducibles), y en caso de que no lo sean has de factorizarlos. x +x+ x x+1 c) x +10x +x. Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces: x 6x x x+ c) x +x x d) x 4 x x +6x e) x 4 x +4 f) x 4 x 11x +9x+18 g) 8x 4 18x +9x +4x 6. Indica el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a1) P(x) = x (x ) y Q(x) = x(x )(x+) p(x) = x (x ) y q(x) = x(x+1)(x ) Es primo el polinomio ( x +x )? En caso negativo, lo factorizas. 7. Simplifica la fracción algebraica: 8. Opera y simplifica: d) x x + x+ x e) x x 1 x x+1 x 9 x x 6 x x+ x x 1 x 1 x+1 + x x 1 x x x 4x +4x x 9 x x 9. Realiza las siguientes operaciones y simplifica al máximo el resultado: ( ) x x 1 x x+ x+4 x 1 x 4x + 6 x 4 x 8x+16 x+8.1. Ecuaciones y Sistemas 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: c) x+ : x x +x x+1 x+1 = 0 x 4 x x +x = 0 c) 4 x 4 x x = 0 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: x x x+ = 0 x x 1 = 1 c) 1 x + x 1 x+1 = x4 11 x +x. Resuelve las siguientes ecuaciones: (x 1)(x+)(x 1) = 0 x x x+ = 6x x 9 d) 1 x+ x+ = 8 e) x +(x+) = 8x+9 c) x 4 8x 9 = 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: (x )(x+)(x 1) = 0 x = + x 1 c) x 4 17x x +16 = 0 d) x+ 1 x = 4 e) x +(x+)(x ) = 1x 9 x +x 4. Resuelve los sistemas: x y 1 = x x+y = x +y =10 x y= } c) x +y = xy = } d) x y =4 x +y =40. Dos kilos de albaricoques y tres kilos de fresas cuestan 1e. Tres kilos de albaricoques y dos kilos de fresas cuestan 1e. A cuánto está el kilo de cada una de estas frutas? }

4 6. Los lados de un campo rectangular difieren en 10 m. Calcula las dimensiones de este campo sabiendo que su diagonal es de 0 m. 7. Una madre tiene dos hijos gemelos. Entre los tres suman 48 años. Sabemos también que dentro de cuatro años la edad de la madre cuadruplicará la edad de sus hijos. Cuál es la edad de cada uno de ellos en la actualidad? 8. Una finca rectangular de 100 m de área está cerrada por un muro que tiene en total 140 m de longitud. Cuáles son el largo y el ancho de esta finca? 9. Silvia ha comprado esta mañana chicles y caramelos, en total 18. Por la tarde se ha comido 1 chicle y caramelos, de manera que ahora le quedan el doble de chicles que de caramelos, cuántos chicles y cuántos caramelos ha comprado? 40. Averigua cuál es el número de dos cifras que cumple las siguientes dos condiciones: La cifra de las unidades es el triple de la de las decenas. Al invertir el orden de las cifras, el número aumenta en 4 unidades. 41. He ido dos veces a una heladería con mi familia. La primera vez pedimos cuatro granizados y un batido y nos costó 11e. La segunda vez tomamos dos granizados y tres batidos y la cuenta fue de 1e. Cuál es el precio de un granizado? y el de un batido? 4. Averigua cuáles son las dimensiones (el largo y el ancho) de un rectángulo del que sabemos que tiene 4 cm de perímetro y que su diagonal mide 1 cm... Inecuaciones 4. Resuelve las inecuaciones y el sistema de inecuaciones: { x x x 7(x 1) < 4x 10 x x+8 c) 6x 4 8(x+1) 44. Resuelve las inecuaciones y el sistema de inecuaciones: { x 10 x+ x 7x+ 10x 7+x 7x+6 < 0 c) 6(x 1) < 4(x+) 4. Resuelve las inecuaciones dando la solución mediante intervalos y gráficamente: 1+x x 4 > 4 (4 x) x x+1 4 > x 8 x 6 c) x x 0 d) x +x 6x 0 e) x 1 x 9 0 f) x x Resuelve los sistemas de inecuaciones con una incógnita dando la solución tanto gráficamente como mediante intervalos: x 1 x+1 9 x (x 1) < 8 (1 x) x 1 > x+1 7 x (1 x) 8 6( x) 47. Una empresa A te ofrece 70e al mes de fijo más 1 7e por artículo vendido; otra empresa B te ofrece sólo 600e al mes de fijo pero te paga el artículo vendido a e. Con cuántos artículos vendidos al mes te sería más beneficioso aceptar el contrato de la empresa B? Cuál sería tu sueldo mínimo en ese caso?

5 48. Un padre y un hijo se llevan 8 años. Durante qué edades del hijo los años del padre sobrepasarán al triple de los del hijo? Qué edades podrá tener el padre en este intervalo de tiempo? 4. Funciones 49. Indica las características gráficas de la siguiente función. Y4 Y X X De las siguientes funciones, di su nombre y encuentra su ecuación. p 4 Y r X Y Halla el dominio de las siguientes funciones: y = x x +1 y = x 1 x +4x. Ídem: y = x x +9 y = u s x+1 x 6x +x. Dada la función f(x) = x +4x+, se pide: t X c) y = x +6x d) y = c) y = x x Di el nombre de la función. Cómo se llama la curva que representa? Da una tabla de valores conveniente y haz su representación gráfica. c) Si tuviera raíces, las calculas y las indicas en la gráfica. d) Indica sus características. 4. Dada la función definida a trozos f(x) = Haz su representación gráfica. { 1 x si x < 1 x 1 si x > 1 Indica su dominio e imagen, su continuidad y sus máximos y mínimos. { 1 x si x 1. Dada la función definida a trozos f(x) = si x > 1 x 1 x 1 1+x

6 Cuál es el nombre de la función en cada uno de sus trozos? Haz su representación gráfica. c) Indica su dominio e imagen, su continuidad y sus asíntotas. si x 1 6. Dada la función definida a trozos f(x) = x x si 1 < x < x+6 si x > Haz su representación gráfica. Indica su dominio e imagen así como sus extremos (máximos y mínimos). c) Es continua? Qué vale lím x f(x)? 7. Dada la función y = x, di su nombre, encuentra sus asíntotas, haz su representación x 1 gráfica e indica sus características. 8. Ídem para y = x x Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales e indica sus características principales: y = ( ) 7 x y = ( ) x A partir de las funciones del ejercicio anterior, representa gráficamente e indica sus características principales: y = log 7 x y = log x 4. Semejanza y Trigonometría 61. Halla los tres lados de un triángulo rectángulo del que se sabe que es semejante a otro cuyos catetos valen 6 cm y 8 cm respectivamente, y cuya razón de semejanza es r = Halla las longitudes de los catetos b y c de un triángulo rectángulo del que se sabe que las proyecciones de estos catetos sobre la hipotenusa son, respectivamente, 6 cm y 1 cm. 6. Si Pau Gasol está dentro de una carpa semicircular de 6 m de diámetro, podrá situarse a 1 m de la orilla de la carpa sin agacharse? Cuánto le sobrará o le faltará hasta el techo? Has de saber que Pau mide 1 m de estatura. 64. Contesta la siguientes cuestiones. Si tgα = 0 474, qué vale α en grados, minutos y segundos? En un triángulo rectángulo un ángulo es de 7 1, qué vale el otro? c) Qué ángulo de la 1 a vuelta representa el ángulo de 0? Cuántas vueltas da? d) A qué cuadrantes puede pertenecer un ángulo α cuyo coseno es negativo? 6. Resuelve el triángulo rectángulo del que se sabe que uno de sus ángulos es de o 6 47 y que el cateto opuesto a este ángulo mide 1 cm. Calcula también su área. 66. Dibuja y resuelve los triángulos rectángulos cuyos datos son: Cateto menor, 1 cm; hipotenusa, 0 cm Cateto mayor, 17 cm; ángulo contiguo a este cateto, 6 o. c) Catetos, 1 cm y 18 cm. d) Hipotenusa, 6 cm; el mayor de los ángulos agudos, 6 o.

7 67. Dibuja con la mayor exactitud que puedas los siguientes ángulos y encuentra el valor de su seno, coseno y tangente haciendo la reducción al primer cuadrante: o ; 10 o ; c) 60 o ; d) 70 o 68. Sin usar calculadora, averigua el valor de las razones trigonométricas de: 40 1 c) 40 d) 60 e) α es un ángulo agudo con sen(α) = Calcula cos(α) y tan(α). β es un ángulo del tercer cuadrante con tan(β) =. Calcula sen(β) y cos(β). 70. Sabiendo que cosα = 0 6 y que 70 o < α < 60 o, calcula el resto de las razones trigonométricas de este ángulo α (sin hacer uso de la calculador. 71. Sabiendo que cosecα = 4 y que 90o < α < 180 o, calcula el resto de las razones trigonométricas de este ángulo α (sin hacer uso de la calculador. 7. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada contra la fachada de un edificio. Si la base de la escalera se encuentra a m del edificio, qué ángulo forma la escalera con el suelo? A qué altura de la fachada del edificio apoya la escalera? 7. Se observa el punto más alto de una montaña bajo un ángulo de con la horizontal. Si nos acercamos 1 km el ángulo es ahora de. Cuál es la altura de la montaña? 74. Una antena está sujeta en su punto más alto por dos cables bien tensos y clavados al suelo. Los ángulos que estos cables forman con el suelo son de y 40 respectivamente. Se sabe, además, que el cable más largo mide m. Calcula la altura de la antena así como la longitud del cable más corto. 7. Antonio y Rafael, que están de turismo por Madrid, tienen curiosidad por saber qué altura tiene la torre Picasso. Antonio observa la parte alta de la torre con un ángulo de elevación de 40 y Rafael, situado m detrás, con un ángulo de 8. Cuánto mide la torre Picasso?, a qué distancia está Antonio de la torre? 76. Estamos en una playa; sobre un acantilado totalmente vertical que hay a un lado de la misma se levanta un faro. Desde un punto de la playa tomamos dos ángulos de elevación respecto de la horizontal: el primero a la base del faro, que es de o ; y el segundo al punto más alto del faro, que es de 47 o. Además sabemos que la visual desde este punto a la base del faro mide m. Calcula la altura del acantilado, la distancia a la que estamos de la base del acantilado y, por último, la altura del faro. 77. Tenemos un compás cuyos brazos miden 14 cm. Calcula el ángulo de abertura (ángulo que forman los dos brazos) necesario para poder trazar con él una circunferencia de 8 cm de radio. 78. Marta y Sofía son gemelas, y tienen exactamente la misma altura, 1,60 m. En un momento dado, se sitúan separadas 00 m, de modo que una torre queda situada entre ellas. Las dos observan la parte superior de la torre con ángulos de elevación de y respectivamente. Calcula la altura de la torre.

8 6. Geometría Analítica 79. Dados los puntos A(,7), B(,1) y C( 9,), responde a las siguientes cuestiones: Halla las componentes del vector AB. Calcula la distancia entre A y B. c) Determina si A, B y C están o no alineados. d) Encuentra el punto D que hace que los vectores AB y CD sean iguales. e) Calcula el punto medio del segmento BC. 80. A partir de los vectores u = (4, 1) y v = (,), representa gráficamente estas operaciones: u+ v u v c) v d) u v Escribe también las coordenadas de los vectores solución de cada apartado. 81. Dibuja los vectores u = (4, 1), v = (0,) y w = (,4) sobre el punto A = (, 1) e indica las coordenadas del punto extremo en cada caso. 8. Encuentra razonadamente las coordenadas que dividen al segmento AB en tres partes iguales, siendo A = ( 4,0) y B = (,) (no puedes representar gráficamente, has de usar vectores y coordenadas). 8. Indica un punto, un vector de dirección y la pendiente de las siguientes rectas, y di el nombre que tiene cada ecuación: { x = t x+ = y c) x+y 1 = 0 d) y = x+ y = 1+6t 84. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (,) y cuyo vector de dirección es v = (, ). Exprésala en todas las formas posibles. Represéntala gráficamente. 8. Escribe en todas las formas que conoces la ecuación de la recta que pasa por los puntos P( 1,) y Q(, 4). 86. Dada la recta r : x+y 6 = 0, se pide: Represéntala gráficamente. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (,1) y es perpendicular a la recta r. c) Expresa el resultado en forma general y en forma explícita. 87. Dada la recta de ecuación r : x+y = 0: Pertenece el punto P(,) a la recta r? y el punto Q(4,-1)? Obtén la ecuación general de la recta s que es paralela a r y que pasa por el punto R(,0). c) Obtén la ecuación general de la recta t que es perpendicular a r y que pasa por el punto S(,4) 88. Encuentra el punto de intersección de las rectasr : x y+1 = 0 y s : x+y = 0. Represéntalas gráficamente y comprueba el resultado.

9 89. Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas. Cuando las rectas sean secantes, encuentra las coordenadas del punto de corte. r : x 9y 6 = 0 s : 4x+1y +8 = 0 r : x+y = 0 s : x+6y 8 = 0 c) r : x y 4 = 0 s : x y 9 = Escribe la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(1, ) y cuyo radio vale r = 6. Dibújala Indica el centro y el radio de la circunferencia x +(y 4) =. 91. Consideramos la circunferencia dada por la ecuación (x+) +y = 100. Indica cuáles son el centro y el radio de esta circunferencia y la dibujas. Cuánto tiene que valer k para que el punto P(4,k) pertenezca a la circunferencia? 9. Representa gráficamente las dos circunferencias e indica su posición relativa: C 1 : (x ) +(y +1) = 9 C : x +(y ) = Encuentra la ecuación de una circunferencia de la que se sabe que el segmento AB es un diámetro de ella, siendo A = (, 1) y B = (9, ). 94. Dibuja las circunferencias de centros C 1 = (0,) y C = (4, 1) y radios respectivos r 1 = y r =, y escribe sus ecuaciones (no hace falta desarrollarlas). Cuál es la posición relativa que parece que hay entre ellas? Encuentra la distancia que hay entre los centros de estas circunferencias y explica el porqué de la posición relativa que hay entre ellas. 7. Probabilidad 9. Lanzamos un dado de 6 caras y una moneda a la vez: Completa el espacio muestral E = {1C,1X,...} con todos sus sucesos elementales. Expresa en función de los sucesos elementales del espacio muestral E los sucesos: A =«sale par con cara», B =«sale con cara o con cruz». c) Expresa el suceso A B en función de sus sucesos elementales de E. d) Lo mismo para el suceso A B. e) Lo mismo para el suceso A B. f ) Calcula las probabilidades de A, B, A B, A B, A B. 96. De una bolsa que tiene 6 bolas blancas y 4 negras sacamos dos bolas sin devolución: Forma el diagrama de árbol con sus probabilidades. Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? c) Cuál es la probabilidad de que las dos bolas no sean blancas? d) Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? 97. En una clase de 4 o hay 0 alumnos, de los cuales 18 son chicas. Hay 9 chicas y chicos que hacen matemáticas B (y el resto matemáticas A). De entre los 0, se elige un alumno al azar:

10 Forma una tabla de contingencia que exprese esta situación. Y la probabilidad de que sea un chico? c) Cuál es la probabilidad de que el elegido sea una chica que estudia matemáticas A? d) Y la probabilidad de que sea un chica sabiendo que estudia matemáticas A? 98. Lanzamos un dado dos veces: Cuántas sumas pueden obtenerse? Son todas equiprobables? Por qué? Cuál es la probabilidad de obtener suma 1? c) Cuál es la probabilidad de obtener suma? 99. En un grupo de 100 personas hay 40 que fuman. Se sabe que las posibilidades de que una persona que fuma acabe padeciendo cáncer es del 10%; sin embargo, si la persona no fuma, sus posibilidades de padecer cáncer son sólo del 1%. Se elige una persona al azar. Organiza estos datos de forma conveniente. Probabilidad de que la persona elegida acabe padeciendo cáncer En un encuentro internancional reúne a 9 jóvenes europeos y resulta que hay 64 que hablan inglés y que hablan francés. Se sabe además que hay 0 que hablan las dos lenguas. Si se elige un joven al azar: Organiza estos datos de forma conveniente. Probabilidad de que el joven no hable ni francés ni inglés. c) Probabilidad de que hable sólo francés. d) Probabilidad de que hable inglés sabiendo que habla francés En una bolsa tenemos tres bolas blancas numeradas del 1 al, cuatro bolas negras numeradas del 1 al 4 y cinco bolas rojas numeradas del 1 al. Realizamos un experimento que consiste en extraer al azar una de las bolas de la bolsa. Consideramos los siguientes sucesos: A = la bola extraída es blanca B = la bola extraída lleva el número 4 C = la bola extraída lleva un número impar Describe con palabras los sucesos A c, A B y A C Calcula P(A), P(B), P(C), P(A c ), P(A B) y P(A C). 10. Tenemos una baraja española (de 40 cartas, es decir, sin incluir los ochos ni los nueves) de la que extraemos tres cartas con reemplazamiento. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: Las tres cartas son de copas. Las tres cartas son reyes. c) Ninguna de las cartas es un rey. d) Alguna de las cartas es un rey. 10. Responde de nuevo a las cuestiones del ejercicio anterior, suponiendo ahora que la extracción de las cartas se realiza sin reemplazamiento.

11 104. Se ha pasado una encuesta a 100 personas cuya composición es la siguiente: Menores de edad Mayores de edad Hombres 1 40 Mujeres 0 Si elegimos al azar una de las encuestas, calcula las siguientes probabilidades: Que sea de una mujer. Que sea de alguien menor de edad. c) Que sea de un hombre mayor de edad. d) Que sea de alguien mayor de edad, sabiendo que es de una mujer. e) Que sea de un hombre, sabiendo que es de alguien menor de edad. 10. Un edificio tiene seis plantas y en cada una de ellos hay cinco viviendas, marcadas con las letras A, B, C, D y E. Nos referiremos a estas viviendas de la forma habitual, es decir, 1 o A, 1 o B... etc. Realizamos un experimento aleatorio que consiste en seleccionar al azar una de las viviendas del edificio. Cuántos sucesos elementales forman el espacio muestral de este experimento? Consideramos ahora los sucesos: Q = la letra de la vivienda seleccionada es una vocal R = la letra de la vivienda seleccionada es la D S = la vivienda seleccionada está en uno de los tres primeros pisos T = la vivienda seleccionada está en el último piso Describe con palabras los sucesos S T y S c = S. c) Indica cuáles son los elementos que forman los sucesos R T, Q S y Q c T.