CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Página 9

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1 CAPÍTULO SISTEMAS DE NUMERACIÓN Págia 9 ) a) i) ii) 6 iii) 70 iv) v) vi) 7 vii) viii) 7 b) i) ii) 000 iii) 00 iv) 0000 v) vi) 0 vii) 00 viii) 0 ) ) i) 0000 ii) ) E biario x = 0 y = 00 E decimal x = 6 y = ) i) 0.0 ii) iii) iv) ) i) ii) Termie e 0 7) i) ii) 98 iii) 7 iv) v) 67 vi) 70 vii) 6 viii) ) i) 78 ii) EB iii) 6 iv) E8 v) E7 vi) C6 vii) 6E viii) 09 9) i) decimal ii) decimal iii) biario iv) biario v) decimal vi) hexadecimal CAPÍTULO CONJUNTOS NUMÉRICOS Págia Págia ) Será cierto? ) Verdadero. ) Verdadero. ) Falso, ej. o es racioal. ) Falso, ej. o es racioal. ) Verdadero. 6) Verdadero, es racioal, se puede escribir: ) Falso, es real, tiee ifiitas cifras decimales. 8) Falso, es racioal, se puede escribir: ) Verdadero. 0) Falso, ( ) + ( ) = 0 Págia ) Jugado co úmeros i) 0 7 ii) 9 iii) 9 ) i) racioal ii) 0.7 racioal iii) + irracioal iv) ( + ) irracioal v) ( ) ( ) racioal vi) irracioal MATEMÁTICA DE QUINTO 69

2 ) No, pues si fuera o periódica sería u úmero irracioal. ) i) Falso. ii) Falso, existe ifiitos. iii) Falso. iv) Falso. v) Verdadero, vale 0 cm. vi) Verdadero. vii) Verdadero. viii) Falso, = 0 ix) Verdadero. ) A tres racioales:,, ) X X X 0 X X X X.000 X X X X X X X X CAPÍTULO CONJUNTOS Álgebra de Boole Págia 9 Págia ) Será cierto? ) Verdadero, el 0 es u elemeto de A. ) Verdadero, o es u elemeto de A. ) Falso, María o es u elemeto de A. ) Verdadero, de eero es u elemeto de A. ) Falso, φ o es u elemeto de A. 6) Falso, { o es u elemeto de A. 7) Verdadero, José María es u elemeto de A. 8) Verdadero, el que perteece a A es el 0. Págia ) Jugado co círculos A = B = C = D = 7 E = F = G = 9 H = 8 I = 6 Págia 0) Será cierto? ) ) Falso, el o es u elemeto de A. ) Verdadero. ) Verdadero. ) Falso, {0, o es u elemeto de C. ) Verdadero. 6) Falso, C = {0, A = {,, 0, 7) Falso, debería decir C B 8) Verdadero. 9) Verdadero. ) La iii) es verdadera. Págia ) Será cierto? a) Verdadero. b) Falso, { { φ = {, φ c) Falso, {0 φ = {0 el vacío o tiee elemetos. d) Falso, {φ φ = { el vacío o tiee elemetos. e) Falso, { φ = { el vacío o tiee elemetos. f) Verdadero. Págia 7) Desafío olímpico % Págia 0) Desafío olímpico d f = 0 70 GUSTAVO A. DUFFOUR

3 Págia ) Será cierto? ) Verdadero, {,, es u elemeto de P(A). ) Falso, {,, es u elemeto de P(A) o de A. ) Falso, es u elemeto de A o de P(A). ) Falso, {,, es u elemeto de P(A). ) Verdadero. 6) Verdadero, pues φ es u elemeto de P (A). 7) Verdadero, pues φ es u elemeto de P (A). 8) Falso, {φ es u subcojuto de P (A). 6) A = {,,,,, 6, 7, 8 B = {,, 0, C = {,, 0,,,,,, 6 D = {,, 6, 7 E = { F = {,,,, 6 G = { H = { 7) C = E = φ B = D = {0 8) A = φ B = φ C o lo es, C = {0 9) ) Falso, u elemeto perteece al cojuto. ) Verdadero, a es u elemeto de M. ) Falso, a es u elemeto de M. ) Falso, el subcojuto {a esta icluido e M. ) Verdadero, el subcojuto {a esta icluido e M. 6) Verdadero, todo elemeto de u cojuto esta e el otro. C 0) ) Falso, el 0, o está e el cojuto B. A ) Falso, el o está e el cojuto A. 0 ) Verdadero, todos los elemetos de A está e C. B ) Verdadero, el subcojuto {0, está icluido e A. ) Verdadero, el subcojuto {,, está icluido e C. ) A = {,,,, 6, 7, 8 B = {,, 6, 8 C = {{,,,, 6, 7, 8 ) Falso, B es u subcojuto de A o u elemeto. ) Falso, A es u elemeto de C. ) Verdadero, {, es u subcojuto de A. ) Falso, C tiee diferetes elemetos que B. ) Falso, A es u elemeto de C. 6) Verdadero, A es u elemeto de C. 7) Verdadero, co el, 6 y 8 se formo u subcojuto. 8) Falso, {,,,, 6, 7, 8 es u elemeto de C. 9) Verdadero, es u elemeto de B. ) ) {b ) {a, b, c, d,, ) {b, c, d,, ) {, c, d ) {b,, 6) {b, ) A = { B = {,, C = {0 D = { E = {0, a) ) A B = {,, ) (A C) B = { ) D (C E) = {0, b) ) Falso, el 0 es u elemeto de E, o lo es el cojuto {0. ) Verdadero, C D = {0 el cual es u subcojuto de E. ) Falso, C E = {0 o es lo mismo que A = {. ) a) A = {, 8,, 6, 0, B = {, 8 C = {,,, 0,,,,,, 6, 7, 8 b) ) {,,, 0,,,,, 6, 7 ) { ) { ) ) Falso, tiee diferetes elemetos $ {. ) Falso, el subcojuto {, o se puede formar a partir del cojuto A. ) Falso, {, es u elemeto de C. ) Falso, {, es u elemeto de D. ) Verdadero, co los elemetos { y { se forma u subcojuto. 6) Verdadero, los elemetos so { { {,. 7) Falso, e D o está los elemetos,. 6) H = {a, b, f, p, q K= {c, d, g, p, q L = {b, c, d, h, q 7) ) (A B) (B C) ) A B C ) A (B C) ) (C (A B)) (A B C) MATEMÁTICA DE QUINTO 7

4 8) a) b) c) 9) a) 90 b) 0 c) 9 0) a) 00 b) 00 c) 00 d)00 ) i) 6 ii) 6 iii) 0 ) a) % b) 6% c) 8% ) a) b) c) d) 8 ) a) b) 8 c) 7 ) a) 9 b) c) 7 d) 6) ) ) 9 ) ) ) 7) a) 9 b) 6 c) 8) ) ) 9 ) ) 9) ) 7 ) ) ) 8 ) 7 0) i) #(A B C) = ii) #(B (A C)) = iii) #((A C) B) = ) #(A) = 7 #(B) = #(C) = 79 ) #(A) #(B) 7 #(C) 9 ) 7 0 ) P (A) = {φ, { a) Falsa, el doble corchete o tiee setido. b) Verdadera, co el elemeto { se forma el subcojuto {{. c) Verdadera, co el elemeto φ se forma el subcojuto {φ. d) Falsa, {φ o es u elemeto de P(A). e) Verdadera, φ es u elemeto de P(A). f) Verdadera, es u elemeto de A. ) P (φ) = {φ Si #(φ) = 0 #(P( φ)) = 0 = P ({φ) = {φ, {φ Si #({φ) = #(P({φ)) = = P ({0) = {φ, {0 Si #({0) = #(P({0)) = = CAPÍTULO RELACIONES Y FUNCIONES Págia 9 Págia 60) Págia 66) Págia 67) Los de ates sí que era exámees a) (potro,cuero,balmoral,egro), (sitético,goma,mocasí,blaco) (potro,goma,derby,egro) b) 7 c) 7 Será cierto? ) Verdadero, todos los eteros tiee ua sola image. ) Falso, es y ) Falso, por ejemplo: (, 9) f (, 9) f ) Falso, o todos los aturales tiee preimage. ) Falso, debería ser: ± pero o es etero. 6) Verdadero, por ejemplo {,, 6, 7, 8, 0,... 7) Verdadero, pues o es iyectiva i sobreyectiva. Los de ates sí que era exámees a) A = [, ] B = [, ] A = [, ] b) ) A B C = [, ] ) A B = { c) f : A? o es iyectiva, por ejemplo (, ) f (, ) f f : B? es iyectiva f : C? es iyectiva d) f: 0 +? f: 0? Págia 69) 7 Será cierto? a) Verdadero, pues so simétricas respecto a f(x) = x b) Falso, por ejemplo: f: *? / f(x) = c) Falso, por ejemplo: las rectas verticales. x GUSTAVO A. DUFFOUR

5 Págia 69) Desafío olímpico k = 76 6) A * B = {(, m), (, p), (, m), (, p), (8, m), (8, p) B * A = {(m, ), (m, ), (m, 8), (p, ), (p, ), (p, 8) 7) R Es fució, o sobreyectiva, si iyectiva, o biyectiva. R No es fució. R Es fució, o sobreyectiva, o iyectiva, o biyectiva. R Es fució, o sobreyectiva, o iyectiva, o biyectiva. R No es fució. R Es fució, o sobreyectiva, o iyectiva, o biyectiva. 6 8) B = {,,, 6, 9 9) R Es fució, si sobreyectiva, si iyectiva, si biyectiva. R No es fució. R No es fució. R No es fució. 0) i) Domiio(f) = {,, 0,, ii) Recorrido(f) = {,,,, 7 iii) f() = 7 f() = f(0) = ) a) Si es fució, biyectiva. b) No, el 0 o tiee image g: {0 {0 fució biyectiva. c) Si es fució, ajea a la clasificació. d) No, el o tiee image j: { { fució biyectiva. ) f Es fució biyectiva D(f ) = R(f ) = f Es fució D(f ) = R(f ) = (, + 8) f No es fució, hay valores de x que tiee imágees. f No es fució, hay valores de x que tiee imágees. f Es fució iyectiva D(f ) = R(f ) = + f 6 Es fució D(f 6 ) = R(f 6 ) ={ ) i) f(g(x)) = 6x + x + g(f(x)) = 8x + x + g(g(x)) = 8x + 8x + x + x + f(f(x)) = 9x + ii) f(g(x)) = x g(f(x)) = 8x 6x + x 7 g(g(x)) = x 9 f(f(x)) = x 9 ) a) f(f(x)) = x b) f (x) = x + 6 x ) i) a = b = ii) f ( x) = x+ ( ) x g ( x) = x+ x iii) g( f( x) ) = x f g( x) = + g(g(x)) = x x x 6) E el primer dato se completa cuadrados restado y sumado f(g(x))= (x +) g(f(x)) = x + g(x) = x+ f(x) = x (f()) = 9 CAPÍTULO DIVISIBILIDAD Págia 7 Págia 8) Será cierto? sí, tiee 9 soldaditos por lo meos. Págia 86) PLANTANDO ÁRBOLES MCD(8,) = 7 total árboles = 6* = DE ENGRANAJES SE TRATA mcm(6,6) = 8 Egraaje de 6 dietes 8/6 = 8 vueltas. Egraaje de 6 dietes 8/6 = vueltas. MATEMÁTICA DE QUINTO 7

6 Págia 88) Factores o divisores ) {, ) {,, 9,, 9,7 ) {,, 9,, 9,7 ) {,, 9,, 9,7 ) No 6) 7) No Págia 90) Desafío olímpico largo del terreo = 60 cm. 7) a) r< (r = 0 a = ) (r = a = ) (r = a = ) b) r<0 (r = 0 a = 70)... (r = 9 a = 79) c) r<7 (r = 0 a = )... (r = 6 a = 67) d) 8 = dq d q 6 8 d ) i) a = 09 b = 0 c = 9 ii) q iii) q = a = b = r = iv) a = 6 b = q = 9) ) múltiplos de 8 etre 00 y 00 6) a = b = 9 r = 8 6) (r = b = 8 a = 8) (r = b = 8 a = 8) 6) a) b) c) 8 d) 6) a) b) ) a = b = 7 66) a = 99 b = 7 67) a = 78 b = 6 68) a = 66 b = 0 69) x y ) x 8 6 y 7 7) s 0 0 q 0 0 7) a b ) a 0 0 b ) q 9 7 a 9 0 b 70 7) = m = 76) a = 87 b = 8 q = 0 q' = 6 77) a b x ) y ) a b ) a = b = 8 c = 9 8) D = 0 a 0 0 b 0 0 8) a = 80 b = c = 0 8) a = b = 8) a b D 9 7 8) a = 60 b = 86) a = 900 b = 60 87) a 9 9 b GUSTAVO A. DUFFOUR

7 a 88) b ) D a ) = c b ) = 9) a = 76 b=6 9) = 7 7 = 7 9) a=98 b=0 9) N = ) a = 0 b = 600 CAPÍTULO 6 SUCESIONES Págia 0 Págia 0) El medigo sucesió aritmética de: a = 000 a 0 = 000 d = 000 S = 6000 Págia 07) Relojes El avaro sucesió geométrica de: a = q = = 0 S = 0778 U úmero muy importate f(00) = f(000) = f(0000) = Número e = campaadas (+ ) Págia 09) Sumado úmeros ii) Págia ) Uiedo temas a) ) 6 ) + + ) b) ) ) 6 6) Págia 6) Desafío olímpico El mayor es a. Págia 7) Cuadrados y cuadraditos Se aplica teorema de Pitágoras, para hallar el lado de cada cuadrado. El área de cada cuadrado forma ua sucesió geométrica de: a = 0 razó = La suma de todas las área, S = (0) = 00 Págia 7) Rectágulos y triágulos 0 cm. 97) { a : a = creciete { { c : c = ( ) oscilate { d { ( ) e : e b : b = creciete : d = decreciete 0 = decreciete { f : f ( ) = oscilate { ( ) + g : g = oscilate 98) { a : {,,, 7, 0,... { b : {,, 7,,,... { { c :,, 6, 6, 6,... { d : {,,,,,... 99) a = 78 00) a = 8 0) = 9 0) d = sucesió = { 7,, 8, 7, 9 0) i) S 0 = ii) S 0 = 00 iii) S 0 = iv) S 0 = 00 0) = 0 a 0 = 0 0) = 06) = 8 a = 07),, 8 08) = 7 09) q = MATEMÁTICA DE QUINTO 7

8 0) a = 6 ) q = ) aritmética a = geométrica b = a = ), 6, ) Dos resultados: (a = 0 q = ) (a = 90 q = ) sucesió: 0, 0, 90 ) ) Sucesió geométrica coverge, S = ) Sucesió geométrica coverge S= 6 ) Sucesió geométrica coverge, S= ) Sucesió geométrica coverge, S = ) Sucesió geométrica coverge, S= 6) Sucesió geométrica diverge 7) Sucesió geométrica coverge, S = 7 8) Sucesió geométrica coverge, S = 6) ) i) { a {,,,,,,,,,,... iii) { = ii) a :a = a iv) Es decreciete v) lim a 0 = + ) i) { b {,,,,,,,,,,... iii) { = ii) b :b = iv) Es decreciete v) lim b 0 = + ) i) { c {,,,,,,,,,,... iii) { = ii) c :c = iv) Es decreciete v) lim c 0 = + ) i) { d {,,,,,,,,,,... = ii) iii) { d : d = iv) Es costate v) lim d = + 0 b 0 c 0 d 0 ) i) { e { 0,,, 7,,, 6, 7,,,... iii) { = ii) e :e = iv) Es creciete v) lim e = + + e 0 76 GUSTAVO A. DUFFOUR

9 f = ii) ) i) { f {,,,,,,,,,,... iii) { f : f = iv) Es decreciete v) lim f 0 = + 0 7) 6 8) i) a = 0 d = a = m 8 ii) S = 6 m 8 9) 6 días 8 gotas 0) 68 metros ) 6900 bacterias ).78 litros ) $ 098. ) área = πr ) E el último segudo recorre. metros y ha caído de ua altura de 0. metros 6) (a = 0 d = ) (a = 8 d = ) (a = 6 d = ) CAPÍTULO 7 INDUCCIÓN COMPLETA Págia 9 Págia 0) Será cierto? a) Verdadero. b) Verdadero. c) Falso. d) Verdadero. e) Falso. f) Falso. Págia ) Desafío olímpico + Págia ) Será úmeros primos? Falso, f() o es primo. i = Págia 8) Uiedo temas. g() = i = i = Págia 9) Desafío olímpico. Suma =, i = Págia 0) Descubra la propiedad () i = i = 7) a) b) 60 c) 0 d) i=0 8) a) ( i ) i=00 b) (7i ) i = (+ ) ( + ) usar que: () i = i = e) f) 9 g) 0 h) 9 8 i=0 c) ( i ) MATEMÁTICA DE QUINTO 77 i=00 d) (i ) i= i=00 i=6 i= i=6 e) i i=70 f) ( i ) i=0 i=69 i= i = 8 i = i i i 9) a) = + i= i= i=9 i=0 i= =0 c) = i + i i i i= i= i=6 i=8 i=0 i= 8 i= i= i= b) ( i+ ) = ( i+ ) + ( i+) i= i=8 i= i i d) ( ) = ( ) + i ( ) i=6 i=6 i= 9

10 0) a) falsa b) verdadera c) verdadera d) falsa ) a) x = b) x = c) x = ) iii) a) 960 b) 700 iv) 88 v) 00 vi) 00 ) i) a = ) i) a = b = iii) = iv) 6) i) a = b = 0 iii) 676 iv) = 7) i) a = 0 b = iii) 000 iv) = 8) i) a = b = c = 0 iii) 0 iv) 6 9) i) a = b = 6 c = iii) = 0 0) i) a = iii) 0 ) i) a = b = iii) 0070 iv) = 7 ) ii) 8 iii) = 0 ) i) a = 6 b = 6 iii) 0 iv) = 6) i) a = b = CAPÍTULO 8 ANÁLISIS COMBINATORIO Págia 7 Págia 6) Será cierto? a) Falso. b) Falso. c) Verdadero. d) Falso. e) Verdadero. Págia 6) Será cierto? ) Verdadero, pues ambos vale ) Verdadero, pues ambos so el mismo cojuto. ) Falso, debe ser P y ) Verdadero. ) Falso, la relació debe ser de mayor. 6) Falso, es u úmero o u cojuto. 7) Falso, sobra el (x ) Págia 68) Los de ates sí que era exámees i) a = b = iii) Solució = {,, Págia 7) Los de ates sí que era exámees ii) a = b = Págia 7) Será cierto? Falso, hay letras repetidas. Págia 76) Se hace camio al adar 9 refugios pues iii) P(x) = x + x + 0x + 0x + 9 C 6 = 0) = ) = 9 ) = 8 ) p = ) = 7 ) x = 6) a) 896 b) 0 c) 9 d) e) 8 m m f) g) h) h 8h 7) = 8) = 9) x = 60) m = 7 6) p = 0 6) k = 8 p = 6) m = 7 p = 6) x = 8 6) = 8 66) a = 6 67) x = x = 68) p = 69) p = 70) x = y = 7) x = y = 7) m = m = 6 7) x = 8 7) p = 0 7) x = 7 76) a = b = 77) m = 7 h = 78) (m = 0 p = ) (m = p = ) 79) (p = 9 b = ) (p = b = 6) 80) a = = 6 8) a = 7 b = 8) b = a = 8) k = m = 8) = 8) p = 86) m = 6 = 8 87) p = 8 b = 88) a = 80 b = 00 89) x = y = 9 90) a = b = 6 9) (x = t = 6) (x = t = 6) (x = t = 7 ) (x = t = 7 ) 78 GUSTAVO A. DUFFOUR

11 9) a) 0 b) 8 y 7 c) 8 d) 0 9) a) 670 b) 0 c) 60 9) a) 60 b) 699 c) 9) a) 70 b) 0 c) 0 d) 0 96) 97) a) 96 b) 8 98) 99) a) 0 b) 0 c) 0 00) 9 0) 0) 6 0) a) b) 6 0) a) 0 b) 0 0) a) pares ; impares 0 b) positivos 9 egativos 6 06) a) 0 b) 00 c) 07) 60 08) a) 0 b) 096 c) 70 CAPÍTULO 9 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Págia 8 Págia 90) Será cierto? ) Falso, pues p(a) + p(b) =.0 > ) Falso. ) Verdadero, A B = B p(b) = p(a B) ) Falso, p(a) < p(a B) 09) a) b) 0) a) b) 7 0 ) a) b) c) d) ) a) b) ) 0 ) 6 ) ) cara = C úmero = N a) Espacio Muestral = {CCC,CCN,CNC,NCC,CNN,NCN,NNC,NNN b) 8 c) 7 8 d) 8 ) a) b) 7 8 c) ) a) b) c) 6) a) 9 b) 9 c) ) 9 0 8) 9) 0) i) ii) iii) 0 ) 66 ) a) 7 b) 7 ) a) b) ) a) 80 b) c) d) 7 e) 80 ) a) 9 b) 9 c) 7 9 d) 7 9 6) 9 0 7) a) 7 b) 7 c) 0 d) e) f) g) 80 h) 6 i) 0 8) a) 9 b) c) 0 9 9) 0 0) ) a) 6 b) 6 c) 8 d) 6 e) 6 f) 9 ) a) b) ) a) b) ) Que sea irreducible. ) i) p(d) = = 0.07 ii) p( D ) A = 0.07 CAPÍTULO 0 POLINOMIOS Págia 0 Págia 0) Será cierto? a) Verdadero. b) Falso. c) Falso, es la suma de los grados. d) Falso, o ecesariamete. MATEMÁTICA DE QUINTO 79

12 Págia 0) Hablemos de grado ) meor que, o si grado. ) grado o 0 ) grado o 0, o si grado. Págia 9) Haciedo Ruffii ) a =, b =, α = ) Dividedo = x x x + 6 Divisor = x Cociete = x + x Resto = 0 Págia 0) Los de ates sí que era exámees a = 6 m = 7 Págia ) Los de ates sí que era exámees f(x) = (x ) (x + ) g(x) = (x 9)(x + x ) Págia 8) Resolver Si A(x) tiee raíz α, B(x) tiee raíz, α Se puede demostrar, haciedo valor umérico. Págia ) Completar ) Es de grado. ) Es 8. ) Es 6. ) Es divisible etre: (x + ), (x + ), (x ), (x ), y otros. ) Es cero. 6) So: {,,. Págia 8) So primos o o? E los úmeros reales, depede del discrimiate. Si Δ > 0, so compuestos, si Δ < 0, so primos. E los úmeros complejos, siempre so compuestos. Págia 9) Hablemos de divisores ) (x + ) ) (x ) Págia 0) Será cierto? ) Falso. ) Falso. ) Verdadero, primer teorema de raíces comues. ) Falso. ) Verdadero. 6) Verdadero. Págia ) Los de ates sí que era exámees ) {x / x, x + = 0 ) x = 7 ) m = 0 0 ) Sigo de P ( x) Págia ) Desafío Olímpico b = c = a Raíces comues = {, 80 a+ a + a a + Raíces de P( x) =,,, a+ a + a a + Raíces de Q( x) =,,, Págia 6) Los de ates sí que era exámees i) a = b = c = 0 d = ii) P(x) = 0 o tiee grado. 6) i) coeficiete de x = ii) coeficiete de x = coeficiete de x = 0 coeficiete de x = 0 coeficiete de x = b coeficiete de x = a coeficiete de x 0 = + b coeficiete de x = 0 coeficiete de x 0 = a + 7) i) a = b = c = ii) m = = p = 8) a = b = 0 c = d = 6 9) a = 0) a = GUSTAVO A. DUFFOUR

13 ) a = b = ) a = ) a = ) a = b = 6 ) a = 6 b = c = 6) m = 7) i) m = 0 ii) Raíces de P(x) = { 8) i) a = 9 b = 0 ii) Raíces de P(x) = {,,, 9) i) a = b = ii) Raíces de P(x) = { 0) i) a = b = c = ii) Raíces de P(x) = { ) i) a = 7 b = ii) Raíces de f(x) = {,, ) i) a = 8 b = 9 c = 9 ii) Raíces de P(x) = {, ) i) a = b = 6 c = 0 ii) Raíces de A(x) = {, 0, ) i) a = b = ii) Raíces de P(x) = {,, ) i) m = P(x) = x + x x + 6 ii) Raíces de P(x) = {,, 6) i) T(x) = x + x x + 6 ii) Raíces de T(x) = { 7) i) S(x) = x + x x + ii) Raíces de S(x) = { 8) i) P(x) = x x + 7x 6 ii) Raíces de P(x) = {,, 9) i) P(x) = x + 9x + x + 6x 0 ii) Raíces de P(x) = {, 60) i) R(x) = x 6 ii) P(x) = x 7x + 9x 8 iii) Raíces de (P(x) R(x)) = {,, 6) i) R(x) = x x + ii) P(x) = x x x + 0x iii) Raíces de P(x) = {, 0,, 6) i) R(x) = x x 8 ii) P(x) = x 7x 9x 0x 8 iii) Raíces de (P(x) R(x)) = {,,, 0 6) a) A(x) = x + x B(x) = x + x + x + b) Raíces de A(x) = { Raíces de B(x) = { 6) a) A(x) = 6x + 9x + x 6 B(x) = x + 9x + 7x 6 b) Raíces de A(x) = {,,,, Raíces de B(x) = { 6) a) f(x) = x x 7x + 9 g(x) = x + x 7 b) Raíces de f(x) = { 7,, 7 Raíces de g(x) = { 9, 8 66) a) m = = P(x) = x + x 6x 8 Q(x) = x + 0x b) Raíces de P(x) = {, Raíces de Q(x) = { 0, 0, 0 67) R(x) = x + 68) = 0 m = 69) i) m = p = ii) P(x) = 7x + x x 78x + 8x + 80 Raíces de P(x) = {,,,, 70) i) A(x) = x 7x x + 7 B(x) = x + x x ii) Raíces de A(x) = {,, Raíces de B(x) = {,, ± 7) i) m = 0 = ii) Raíces de f = {, 7) i) f(x) = 0 para x = x = x = x = ii) f() = f(0) = sigo de f( ) = sigo de f(+ ) = + MATEMÁTICA DE QUINTO 8

14 7) f: f(x) = x x x 7) i) f: f(x) = x x + ii) Solució = { 7, 0, 7 7) f: f(x) = x + 6x + 6x x 76) a = α = f: f(x) = x 0x 8x ) i) a = β = f: f(x) = x + x + ii) Solució = {x /x, x < 78) i) a = β = f: f(x) = x + 6x + 8 ii) Solució = {x /x, x < 79) f: f(x) = (x + )(x + )(x ) f: f(x) = x 6x + x ) i) a = β = h: h(x) = x x x + x + ii) Solució = {x / x,.08 < x < 0, < x <.9 8) f: f(x) = (x + ) (x ) f: f(x) = x 8x x + 0x + 0 8) Raíces de P(x) = {,, 8) Raíces de P(x) = {,, 7 8) Raíces de P(x) = {,, 8) Raíces de P(x) = {,, 6 86) k = 6 Raíces de P(x) = {,, 87) k = Raíces de P(x) = {,, 88) h = k = Raíces de P(x) = {,,, 89) Raíces de P(x) = {,,, 90) Raíces de P(x) = {,, 6 7 9) k = 6 Raíces de P(x) = {,, 8 9) h = 6 Raíces de P(x) = {,, 9) h = 7 k = 8 Raíces de P(x) = {,,, 9) a) P(x) = x x x + b) ( ) P( x) ( x+ ) x ( x ) 9) a) P(x) = x x 7x + x + 6 b) Raíces de P(x) = {,,, 96) i) Raíces de A(x) = {,, Raíces de B(x) = {,, ii) Raíces de A(x) = {,, Raíces de B(x) = {,, iii) Raíces de A(x) = {,, Raíces de B(x) = {,, iv) Raíces de A(x) = {,,, Raíces de B(x) = {,, v) Raíces de A(x) = {, Raíces de B(x) = {,, 7 97) i) Raíces de A(x) = {,,, k 98) i) RIP = { Raíces de B(x) = {,, k ii) k =, ii) m = 99) i) R.I.P. = { ii) m = 00) i) RIP = {, ii) m = m = 0) i) RIP = { iii) Raíces de P(x) = {,,, Raíces depedietes = {(m ), (m ) ii) m = m = ) i) RIP = {, ii) m = Raíces de P(x) = {,,, 0) i) RIP = {x / x x = 0 ii) m = iii) Raíces de P(x) = {, 8 GUSTAVO A. DUFFOUR

15 0) Raíces de A(x) = {,, Raíces de C(x) = {,, 6 Raíces de B(x) = { 7, Raíces de D(x) = { 0, 0, 7 CAPÍTULO ECUACIONES, BICUADRADA, SIMÉTRICA Págia 6 Págia 6) Descubra el error Págia 6) Será cierto? Al multiplicar por x, se itroduce la raíz cero. Al simplificar etre (x ) se elimia la solució correcta x =. E defiitiva la ecuació origial y la fial o so equivaletes. a) Falso, la elevació al cuadrado o matiee la equivalecia. b) Falso, o so equivaletes. Págia 6) Será cierto? a) Verdadero, se altera la fució. b) Falso, las raíces o cambia. c) Falso, las raíces o cambia. Págia 67) Los de ates sí que era exámees i) x = úmero de herederos Ecuació: a + b = a x x b ± (b) + ab x = b ii) ) 8x x 0 = 0 Solució x = ) 9x 79x 60 = 0 No tiee solució atural. ) 7x 7x = 0 No tiee solució atural. 0) ) Solució = { ) Solució = {, 06) 08) ) Solució = {, ) Solució = {9 ) Solució = { 6) Solució = { x = x +0 toros a 80 dólares. 07) 00 = 00 00km/h horas. x x = x x0 09) ) Solució = {,,, ) Solució = {,,, (bx bx a = 0) ) Solució = {, ) Solució = {,,, ) Solució = {,,, 6) Solució = {, 0) ) Solució = {, ) Solució = {, ) ) Solució = {,, ) Solució = {,,,, ) Solució = {,,, ) Solució = {,,, ) ) Solució = {,,,, ) Solució = {,,,, 60 Km/h 0 Km./h MATEMÁTICA DE QUINTO 8

16 ) i) a = b = P(x) = 0x + 9x 78x + 9x + 0 ii) Raíces P(x) = {,,, ) i) a = b = c = P(x) = x + x x + x + ii) Raíces P(x) = {,,, ) ) Solució = {,,,, ) Solució = {,,,, ) Solució = {,, 0,,,, CAPÍTULO INECUACIONES, VALOR ABSOLUTO Págia 7 Págia 76) Rectágulos lado > 0 Págia 87) Será cierto? ) Verdadero. ) Verdadero. ) Verdadero. Págia 88) Será cierto? a) Falso, = + b) Verdadero. x 0 x = x c) Falso, x< 0 x =x 6) Solució = {x/ x, x < x = x x, x d) Falso, x = x + < x< e) Verdadero. f) Verdadero. g) Verdadero. h) Falso, Solució = {0, i) Verdadero. j) Falso, solo los x + {0 k) Falso, o tiee solució. l) Verdadero. m) Falso, por ejemplo = pero $ 7) Solució = {x/ x, x > 8) Solució = {x/ x, < x < 7 9) Solució = {x/ x, x <, x > 7 0) Solució = {x/ x, < x < 0, 0 < x < ) Solució = {x/ x, x = 0, x > ) Solució = {x/ x, 8 < x ) Solució = {x/ x, x < 0, x > ) Solució = {x/ x, x <, x > 0 ) Solució = {x/ x, < x <, x > 6) Solució = {x/ x, 0 < x < 7) Solució = {x/ x, 0 < x <, x > 7 8) Solució = {x/ x, x < 0, < x < 9) Solució = {x/ x, x <, < x < 0) Solució = {x/ x, x $, x $ 0, x < ) Solució = φ ) Solució = {x/ x, x < 7, < x < ) Solució = {x/ x, 0< x < 8, x > ) Solució = {x/ x, x <, < x < ) Solució = {x/ x, < x < 0, x > 8 GUSTAVO A. DUFFOUR

17 6) Solució = {x/ x, x<, < x <, < x < 7) Solució = {x/ x, x, x < 0, < x < 8) Solució = {x/ x, x <, < x < 0, x = 9) Solució = {x/ x, x > 0) a) m >, m < 0 dos raíces reales diferetes. m =, m = 0 dos raíces reales iguales. 0 < m < raíces imagiarias. b) Si m =, ecuació de primer grado co ua solució. m>, m< dos raíces reales diferetes. Si m $, m =, m = dos raíces reales iguales. < m < raíces imagiarias. c) Si m =, ecuació de primer grado co ua solució. Si m $, m = m > dos raíces reales diferetes. dos raíces reales iguales. m < raíces imagiarias. d) Si m =, ecuació icompatible si solució. < m < dos raíces reales diferetes. Si m $ m = dos raíces reales iguales. m <, m > raíces imagiarias. ) a) m = 0, poliomio de primer grado co ua raíz, positiva. m > 0 dos raíces reales de diferetes sigo. Si m $ 0 m < 0 dos raíces reales positivas. b) m >, < m < dos raíces reales egativas. < m < m < dos raíces reales diferetes sigo. ) b, e, g, j, c, 6h, 7i, 8d, 9f, 0a ) ) Solució = {x/ x, x < 8, x > ) Solució = {x/ x, < x < 6 ) Solució = {x/ x, x < ) Solució = { ) Solució = {x/ x, x 7 6) Solució = {x/ x, < x < 7) Solució = {x/ x, < x < 8) Solució = {x/ x, x =, < x < 9) Solució = {x/ x, < x < MATEMÁTICA DE QUINTO 8

18 CAPÍTULO LOGARITMOS Págia 9 Págia 00) Será cierto? ) Falso, debe decir: log A + log B j j C C ) Verdadero. Págia 0) Desafío Olímpico Págia 08) Coociedo las gráficas ) Falso, debe decir: log j C ) Falso, debe decir: log A + log B log C log D j j j j C C C C ) Verdadero. 6) Falso, debe decir: log j C 7) El producto = 8) x = y i) la bisectriz de los águlos correspodietes a los cuadrates I y III. ) ) ) ) 6 ) ) 0 6) 7) 0 8) 9) 0 0) ) ) 6 ) ) ) 6) ) ) 00 ) 6807 ) 6 ) 9) 0) 7 ) 8 7 ) ) 6) 7) 8) 6) ) 9 ) 6 ) ) ) 6) 7) 8) 9) 0) 6 ) ) 8 ) ) ) 0 7) ) 8 ) ) ) ) 9 6) 8 7) 8) 9) 6 0) 0 ) ) 8) ) ) ) 9, 9) ) x = ) x = 00 0) ) Existecia = {x / x, x > 0 Solució = {0 ) Existecia = {x / x, x > x $ Solució = { ) Existecia = {x / x, x >, x < 0 Solució = {, 0 ) Existecia = {x / x, x > Solució = 97 { ) Si solució 6) Existecia = {x / x, x > Solució = { 7) Existecia = {x / x, x > 0, x $ Solució = {6 8) Existecia = {x / x, x > Solució = {6 9) Existecia = {x / x, x > Solució = { 0) Existecia = {x / x, x > Solució = { 86 GUSTAVO A. DUFFOUR

19 ) Existecia = {x / x, x > Solució = { ) Existecia = {x / x, x > 0 Solució = { 9 ) Existecia = {x / x, x > 0 Solució = {7 ) Existecia = {x / x, x >, x Solució = { ) Existecia = {x / x, x >, x $ Solució = { 6) Existecia = {x / x, < x < Solució = { 7) Existecia = {x / x, x > Solució = { 8) Existecia = {x / x, x > Solució = { 9) Existecia = {x / x, x > 0 Solució = {8 0) Existecia = {x / x, x > 0 Solució = {6 ) Existecia = {x / x, x > 0 Solució = {0, 00 ) Existecia = {x / x, x > Solució = {, ) Existecia = {x / x, x > 6 Solució = {6 ) Existecia = {x / x, x > 0 Solució = {,, ) ) Existecia = {x,y / x, y, x > 0, y > 0 Solució x = y = ) Existecia = {x,y / x, y, x > 0, y > 0 Solució (x = y = ) (x = y = ) ) Existecia = {x,y / x, y, x > 0, y > 0 Solució x = y = CAPÍTULO TRIGONOMETRÍA Págia Págia 7) Sabremos medir? ) iii) No tiee uidad. ) ii) Ua razó. Págia 0) Seo, coseo, tagete ) a) y c) se º = se º ) a) y c) cos 0º = cos 0º ) a) y c) tg º = tg º ) c) No existe Págia ) Será cierto? a) Falso, cos (x + y) = cos x. cos y se x. se y b) Falso, o se ha desarrollado ua fórmula. c) Verdadero. d) Verdadero. e) Verdadero. π π π π 7π ) ) Solució = {, 6 ) Solució = { ) Solució = 6 {, 6 6 π π π π π ) Solució = {, ) Solució = { 6) Solució = {, π π 7π π 7) Solució = {,,, π π π π π 7π 9) Solució = {,,,,, 8) π Solució = {, π π 7π,, 0) π Solució = {, 6 π π π,, 6 MATEMÁTICA DE QUINTO 87

20 π π ) Solució = {, π π ) Solució = {, π π π π 7π π π π ) Solució = {,,,,,,, π π ) Solució = {0,, π, ) Solució = {0, π π π 7π π π π π 7π 6) Solució = {0,,, π,, 7) Solució = {,,, π π π 7π π π π π π π 8) Solució = {,,, 9) Solució = {,,,,, 0) Solució = { π π, ) Solució = { π π ) Solució = {, 6 ) Solució = {0, 6π ) Solució = { π 7, π, π, π π π 6) Solució = {0,, π, π π π π,, π,, π π π π ) Solució = {,,, 6) i) se (α+β) = 6 6 ii) cos (α+β) = iii) tg (α+β) = 6 6 iv) se (αβ) = 6 v) cos (αβ) = vi) tg (αβ) = 6 6 7) i) cos ( π +α) = (cos α se α ) ii) tg (α+ π tg α+ ) = 6 tg α iii) cotg ( π tg α +α) = + tg α iv) cos (α π ) = (cos α + se α ) 8) se π 6 + = cos π 6 = tg π + = 9) i) se(0º).cos(0º) = π ii) cos.cos π 6 se (80º ) se (0º ) π π = cos + cos 6 se (0º ) se (0º ) iii) cos(70º).se(0º) = iv) se(70º).se(0º) = cos (0º) cos (90º) 60) i) se π 9 + se π π π =.se.c os iii) cos 7 π 9 + cos π 9 = π π.cos.cos 8 α α ii) cos(α) cos(α) =.se.se π iv) se se π = 9π π.cos.se GUSTAVO A. DUFFOUR

21 CAPÍTULO NOCIONES DE MATEMÁTICA FINANCIERA Págia 9 6) a) $ 700 b) 60% aual 6) a) $ b) 6 meses 6) a) $ b) % 6) a) % b) 6% trimestral % aual 66) 0 meses 67) 8 meses 68) 0 meses 69) se toma 7 días: $ 608, 70) 6 meses, 0% aual 7) El primero.% 7) $ 700 7) $ ) año, meses, 9 días 7) 6% aual 76) $ ) $ ) $ 797,98 79) $ 00 80),% 8) 0 messes 8) C = $80000 C = $0000 8) $ 689,06 8) $ 86,7 8) $ 7,6 86) $ 980, 87) $ 0700,7 88) I = $ ,7 89) I = $ 08770, 90) I = $,7 9) $ 899,9 9) 6 años 9) $ 9, 9) $ 06,9 9) 0 días $ 7,6 96) días $ 7, 97) % mesual 98) $,98X0 8 99) $ 97,6 00) $ 789,9 CAPÍTULO 6 NÚMEROS REALES Págia 6 Págia 68) Desafío Olímpico Al elevar al cuadrado se obtiee x =, que es u cuadrado perfecto. Págia 7) Será cierto? ) Verdadero, propiedad cacelativa. ) Falso, debe poerse c 0 ) Verdadero, todo úmero real tiee opuesto. ) Falso, el cero o tiee iverso. ) Falso, < 9 > 6) Falso, ( ) + ( ) = 0 7) Falso, es irracioal. 8) Verdadero. 9) Falso, por ejemplo a = a = 0) Falso, o dice ada de b ( + ( 7)) + ) Falso, el iverso es el úmero 000. ) Falso, el iverso es el úmero ) Verdadero. Págia 7) Será cierto? ) Verdadero. ) Falso, > < 9 ) Verdadero. ) Verdadero. ) Verdadero. 6) Verdadero. 7) Verdadero. = > 9) Falso, < > = 8) Falso, ( ) a 0) Verdadero, pues ( ) +. ( ) ) Verdadero, ) Falso, el úmero, su iverso es el. ) Verdadero. Págia 7) Será cierto? ) Verdadero, por defiició de extremo iferior. ) Falso, el cojuto pordría ser A = [, 0) ) Falso, o lo dice la letra, solo dice que A ) Verdadero, e = es meor que. MATEMÁTICA DE QUINTO 89

22 CAPÍTULO 7 NÚMEROS COMPLEJOS Págia 79 Págia 8) FALACIA No so aplicables las propiedades de las raíces, ver pág. 8 Págia 98) Los de ates sí que era exámees. ) W = 7π W = π Z = 9π Z = π ) Los otros elemetos so los cojugados. ) Térmio idepediete =, (multiplique los módulos * 8 ) ) Es primo e los reales, (o tiee divisores). ) Es compuesto e los complejos, (tiee divisores, por ejemplo: (z z ) 0) ) ( + 8i) ) ( + i) ) ) (6 + 7i) 0) ) i ) ( + i) ) ( + i) ) ( + i) ) ( i) 6) i 7) 8) i 9) i 0) ( + i) ) ( i) 0) ) Solució = {( + i), ( i) ) Solució = { i, i ) Solució = {, i, i ) Solució = {, i, i ) Solució = i { 6) Solució = { + i 7) Solució = {( + i) 0) (, ) 0) ) x = + i y = i ) x = + i y = i ) x = ( i) z = ( i) ) x = + i z = i 06) (+ + 0i) (0 + i) 07) z = i w = i 08) w = + i z = i 09) a) + i b) ( i ) c) ( + i ) d) 7 7 i e) ( i ) f)( + i ) g) (0 + i) h) (módulo > 0) i) ( + 0i) j) (0 9i) 0) a) π b) 7 π c) π d) π e) π f) π g) π h) 7 i) 7 j) 0 π π ) a) ii) π iii) π b) ii) π iii) π c) ii) π iii) π ) a) z =9 = i z =9 = i z = = 0 π π 7 π 7 i 6 b) i) (, ) ii) (, ) iii) (, ) ) i) ( + i) ( i) ii) Solució = {( i), ( + i) iii) Solució = {i, ) P( + i) = ( i) P(i) = ( i) ) z z + 0 = 0 90 GUSTAVO A. DUFFOUR

23 { 6) Raíces de P(z) = ( + i), ( i ), ( + ), ( ) 7) i) a = 0i b = 8 + 8i ii) P(z) = (z + i)(z + + i)(z )(z ) 8) a) α = i β = ( + i) b) c = 8 d = 6 Raíces de P(z) = { i, ( + i), ( i) CAPÍTULO 8 PUNTOS Y SEGMENTOS Págia 0 Págia ) Será cierto? ) Verdadero. ) Verdadero. ) Falso, < ) Falso, (, ) equidista de los ejes coordeados. 9) C (, ) 0) A'(, ) B'(, ) C'(0, ) D'(, ) D"(, ) M(0, 0) ) i) M(, ) ii) C(, ) D( 9, ) ) A'(, ) B'(, 9) C'(8, ) ) M(, ) N (, 0) d(m,n) = d(a,c)= ) C(, ) D(, ) ) (, ) (7, ) (, 0) Se ombra los vértices co letras y se aplica puto medio. Se obtiee e las x y e las y, dos sistemas de tres ecuacioes co tres icógitas. 6) i) d(a,b) = ii) d(a,b) x = d(a,b) y = 7) d(a,b) = 6 d(c,d) = 7 d(e,f) = 7 d(b,e) = 6 8) Perímetro = 9) d(a,b) = 7 d(a,c) = 7 d(b,c) = 6 área = 7 0) d(a,b) = d(a,c) = d(b,c) = 0 área = ) d(a,b) = 0 d(a,c) = 0 d(b,c) = 60 ) M(, ) d(a,m) = ) lado = 9 área = 9 ) Existe dos putos (9, ) ( 7, ) ) Existe dos putos (6, ) ( 0, ) 6) Existe dos putos (0, ) (0, ) 7) B 7 ( 0, ) 8) Existe dos putos (, ) ( 7, ) 9) (, 0) 0) Se toma sobre x C(λ, 0) y se aplica el teorema de Pitágoras e el triágulo ABC. Existe dos solucioes: C(6, 0) C'(, 0). ) área = (diagoal) área = 7 ) C(, 0, ) ) d(a,b) = d(a,c) = d(b,c) = 86 ) d(a,b) = d(a,c) = d(b,c) = 6) d(a,b) = d(a,c) = 0 CAPÍTULO 9 ESTUDIO DE LA RECTA Págia Págia 8) Será cierto? i) Falso, debe idicarse: a y/o b o puede ser ulos. ii) Falso, debe idicarse: a 0 iii) Falso, debe idicarse: b 0 iv) Falso, las rectas verticales o respode a ua ecuació y = f(x) Págia 9) Completar ) y = x ) y = x + ) y = x ) y = x 7) (r) x = (p) y = 8) (AB) y = 9) (DE) x = 0) ) p = ) c = 0 ) b = 8 ) (r) (p) = (, ) (p) (s) = (, ), ) (r) (p) = (, )) (p) (s) = (, ) (r) (s) = (, ) Logitud de los lados: 0, 0, 0 (r) (s) = ( ) MATEMÁTICA DE QUINTO 9

24 ) ) x y 7 = 0 ) x + y = 0 ) x + y + 6 = 0 ) x y + = 0 ) x + y = 0 6) y = 0 7) x y = 0 ) ) x + y = 0 ) x + y + = 0 ) x + y 9 = 0 ) ) x + y = 0 ) x + y = 0 ) x + y 6 = 0 ) x + 7y = 0 6) (BC) x y = 0 A verifica (BC) 7) (AB) x y + 7 = 0 (AB) x = (-7,0) (AB) y = ( 0, 7 ) 8) (r) (s') = (, ) (p) x + y 7 = 0 9) ) x y = 0 ) x y = 0 ) x + y = 0 ) x y + 9 = 0 ) x y + = 0 60) (AB) x+6y 8=0 Coordeadas del puto medio (, ) Ecuació de la perpedicular: x 0y 7=0 6) Ecuació de la recta que cotiee a la altura por A: x + y = 0 Coordeadas del puto medio etre A y C: (, ). Ecuació de la recta que cotiee a la mediaa por B: y + x - 7 = 0 Itersecció: (, ) 6) i) Ecuació de las rectas que cotiee a los lados: (AB) x y + 6 = 0 (AC) x + y 0 = 0 (BC) x + y + = 0 ii) Ecuació de las rectas que cotiee a las alturas: por C, x + y = 0 por B, x y + = 0 por A, x y = 0 iii) iv) 7 (, ) Ecuació de las rectas que cotiee a las mediaa: por A, 7x y 8 = 0 por B, x + 0y 6 = 0 por C, x + y = 0 v) 8 (, ) 6) a) La ecuació de la recta paralela a: x y + = 0 por A es: y x + = 0 La ecuació de la recta que cotiee a la mediatriz (AC) es: y x 6 = 0 b) D( 6, 0) ABCD es u rombo de área = 6 u.d.a. 6) a) B(, 0) C(, ) b) Escaleo 6) La ecuació de recta a la cual perteece los tres putos es: x + y 8 = 0 66) R 8 (, 7 7 ) S 8 (, 7 7) 67) C (, ) E (, ) ( ) B(0,6) D, (AB) x + y = 0 68) B(, ) C(, ) 69) x + y = 0 x + y = 0 70) (, ) 7) (6, ) 7) i) (, ) (, ) ii) x + y = 0 x + y + 0 = 0 x y = 0 x y + 0 = 0 iii) x + y = 0 x y + 0 = 0 7) A(, ) B(, ) (AC) 7y x + = 0 (BC) x + y = 0 C(6, ) Ecuació de la recta que cotiee a la altura por C: x + y = 0 7) a b c d e f g h 9 GUSTAVO A. DUFFOUR

25 CAPÍTULO 0 ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA Págia Págia ) Será cierto? ) Verdadero. ) Verdadero. ) Falso, debe poerse D, E, o F o simultáeamete ulos y r>0. 7) ) x + y 9 = 0 ) x + y + x y = 0 ) x + y 0x 6y + 9 = 0 ) x + y x + 6y = 0 ) x + y x 8y + 9 = 0 6) x + y 0x + y + = 0 7) x + y 6x 8y = 0 76) i) Si, C(, ) r = ii) No, circuferecia imagiaria iii) No, circuferecia imagiaria 77) ) x + y 0x 0y + = 0 x + y x y + = 0 ) x + y 6x y + 9 = 0 ) x + y x = 0 ) x + y x 8y + = 0 ) x + y 0x 0y + 00 = 0 x + y x y + = 0 6) x + y 8x y + 6= 0 x + y x 0y + = 0 78) x + y + 6x + 0y + 9 = 0 79) a) x + y x y = 0 b) i) (, 0) (, 0) ii) ( 0, ± 6 ) 80) x + y x y + 60 = 0 8) x + y + = 0 8) (, ) (, ) 8) (C) x + y x = 0 (C') x + y 0x = 0 (, ) (, ) CAPÍTULO EXÁMENES Págia 7 8) ) a = b = 7 ) Raíces de f(x) = {,, f(x) = 9(x )(x )(x ) ) Solució = (, ] [, ) (, + 8) 8) a) x =, y = x =, y = c) 9 86) a) A = {0,,, B = {, b) f = {(, ), (, ) c) No es fució, el cero y el dos, o tiee image. d) C = {,, 0, 87) i) #[(B C) A] = #(B C) = ii) a) V b) F c) F d) F #(A) 8 #(B) 6 #(C) 88) a) m = b) Raíces de P(x) = {,, P(x) = (x + )(x + )(x ) c) Solució = [, ) (, ) (, ] (, + 8) 89) ) a = b = c = ) 9778 #(freos) #(luces) 90) a) b) 80 c) 0 MATEMÁTICA DE QUINTO #( batería)

26 9) a) $000 b) $68.06 c) $780 9) x = 9) a) f(x) = x x + 9x + 7 b) f(x) = (x + ) (x ) 9) a) m = p = 8 b) Raíces de h(x) = {,, 9) Solució = ( 8, ] (, ) (, + 8) 96) i) a = 9 ii) Raíces de P(x) = {,, iii) Solució = [, ] 97) ii) 98) i) m = Raíces de P(x) = {,,, ii) a = 0 iii) Solució = [,] [,] 99) i) 66 ii) 00) a) P(x) = x + 7 p = q = 0 b) i) m = 6 = 6 ii) f(x) = 6x 8x + Raíces de f = {,,, f f(x) = 6(x ) (x + ) 0) Existecia = {x/ x, x < Solució = { 0) a) i) Solució = [, ) (, ] ii) [, ) (, + 8) b) A B = [, ] (,] A B = (, ) B A = [, ) (, + 8) (A B) = ( 8, ) [, ] 0) i) R = {(, ),(, ),(, ) No es fució. R = {(, ),(, 0),(, 0),(, ),(, ) ii) NO, si fuese fució sobreyectiva debería ser iyectiva pues ambos cojutos tiee igual cardial. 0) Solució = {, 0) a = 6 b = 7 c = 06) i) RIP = {, ii) m = 0 m = iii) Solució = ( 8, ) (, ) (, + 8) 07) i) m = p = q = 8 P(x) = x + x 6x x 8 ii) Raíces de P(x) = {,, 09) i) a = b = iii) =, 08) Existecia = {x/ x, x > x $ Solució = { 0) π Existecia = {x/ x, x$ + k π, k π Solució = { + k π, π + ) a) b) 0.90 k π, k ) a) P(x) = x x + x + b) Raíces de P(x) = { 0.8,, sigo de P(x) ) x = ) Existecia = {x/ x, x > 0 Solució = { ) f(x) = 6x 9x + 9x + 6 6) f(x) = x x x + a = α = 9 GUSTAVO A. DUFFOUR

27 7) ) i) Solució = (, + 8) { 8) Existecia = (0, ) Solució = { ii) Solució = {, 0, 0) h(x) = x + x x 8x ) a = ) S P = { 9) B = {0,, 6 C = {0,, ) a) x = y =. b) u = π π ) Solució = { + k π, k 6 ) a) P(x) = x x x b) Solució = (, 0) (, ) ) a) RIP = { m =, m = b) Solució = ( 8, ) [, 0] [, + 8) 6) i) a = Raíces de P(x) = {,, ii) Solució = (, ) (, + 8) 7) Existecia = (, + 8) Solució = { 8) Solució = {, 9) a) P(x) = (x + x)( x + 6x 8) + x + 8 P(x) = x + x + x + 8x + 8 b) Raíces de P(x) = {, c) Solució = {x/ x, < x <, x =, x > 0) Existecia = {x/ x, x > ( + 8 ) Solució = {x/ x, x > ) Solució = {x/ x, x < ) a) A 6 A 00 = b) A 60 ( ) = c) A 6 A ( ) = d) A = ) a) RIP = {, b) m = ) P(x) = (x + )(x x + 6) + x 6 P(x) = x x + 8x 7x + 6 ) Solució = {x/ x, x < 0, x > 6) Solució = {x/ x, x >, x < Saca rojas. PRIMERA 7) URNA Saca roja y egra. Saca egras. C C 8 C C 8 C C 8 C Seguda ura. Seguda ura. Seguda ura. C C C C C C C C C Resultado C C C C C C C C C C = 0. MATEMÁTICA DE QUINTO 9

28 8) Solució = {x/ x, x < 9) Solució = {x/ x, 0. < x <, x $ 0 0) i) 707 d C h ii) 0000 ) Se demuestra por el absurdo, supoiedo que es u racioal y despejado. ) = 6) a = 60 b = 00 0) i) a = 6 b = ii) Raíces de f = {,, Sigo f(x) +++ ii) ) (,, y x ) x + y + x 8y + = 0 ) (D) cetro (, ) r = (r) (D) = {(, ), (, ) ) y x ) i) 0 {, ii) [0, ] iii) (, ) (, + ) 96 GUSTAVO A. DUFFOUR