INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Transcripción

1 Csejerí de Eduó Cultur y Deprtes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Sez C/ Frs Grí Pvó 6 Tells 700 (C. Rel) Teléf Fx: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.- HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Ls juegs de zr tee u tgüedd de ás de ñs; sí pr ejepl ls dds se utlzr tt e el jueg e eres relgss. Ls vlzes tgus expl el zr edte l vlutd dv. E el Reet el d prgresv de exples telógs due u resderó de ls experets letrs. Y e el sgl XVI ls teáts tls ezr terpretr ls resultds de experets letrs sples y fles del sgl XVI exstí u álss epír de ls resultds letrs. El desrrll del álss teát de ls juegs de zr se prdue letete durte ls sgls XVI y XVII. El álul de prlddes se sld dspl depedete e el períd que trsurre desde l segud td del sgl XVII hst ezs del sgl XVIII. L hstr de l prldd ez e el sgl XVII ud Fert y Psl trt de reslver lgus prles relds ls juegs de zr. Auque lgus r sus s ud Crd (jugdr dde ls hy) esró sre 50 El Lr de ls Juegs de Azr (uque fue puld hst ás de u sgl después sre 660) es hst dh feh que ez elrrse u terí eptle sre ls juegs. L terí de l prldd fue pld ues resultds ls ess de jueg y el tep trs prles seós. Durte el sgl XVIII el álul de prlddes se extede prles físs y turles (segurs ríts). El ftr prpl pulsr es el jut de prles de strí y fís que surge lgds l trstó epír de l terí de Newt. Ests vestges v ser de prt fudetl e el desrrll de l Estdíst. L dustr de ls segurs que ó e el sgl XIX requerí u et ext del resg de perder pues de l trr se pdí lulr ls pólzs.

2 Psterrete se estud l prldd u struet que pertrí eteder ls feóes sles. L eesdd de prr exttud ls dts servds l terí requerí u trtet rgurs del s que v dr lugr l terí de errres. Durte el sgl XVIII ded uy prtulrete l ppulrdd de ls juegs de zr se pulr vrs duets de este tp. Jk Berull ( ) Ars Cjetd (puld e 7 uque esrt sre 690) y Auguste De Mvre ( ) truyer de fr prtte este desrrll. J Berull prpr l prer sluó l prle de estr u tdd desd prtr de u jut de edes de su vlr que pr el errr experetl preset vrldd. Fue per e l pló del álul ftesl l álul de prlddes. Té deás de Arh de Mvre el revered Ths Byes y Jseph Lgrge vetr fóruls y tés de prldd. El puls fudetl prvee de l r de Perre S Mrqués de Lple puló Thére lytque des prltés e el que expe u álss teát sre ls juegs de zr y fue que duj l prer defó explít de prldd. Té desrrlló l ley rl del pr desrr l vrldd de ls errres de edd fruló y estó el prer del expltv estdíst. Pr su prte Guss hz su prtó e l estó de dels estdísts. Brvs geólg y stró es el prer e sderr l reló etre errres de edd depedetes etre sí; Bejí Pere prpe el prer rter pr rehzr serves hetergées el rest y S. New el ás fs stró er del sgl XIX trdue ls prers étds de estó ud hy errres fuertes e lgus dts (Estó Rust). Desde ls rígees l prpl dfultd pr pder sderr l prldd u r de l teát fue l elró de u terí sufeteete pres pr que fuese eptd u fr de teát. A prps del sgl XX el teát rus A. Klgrv l defó de fr xát y estleó u terí ás pl es l terí de l edd. E l tuldd l terí teát de l prldd sttuye el fudet de ls ples estdísts tt e l vestgó sl e l t de deses. L eesdd de srter l ertdure s llev estudr y plr l terí de l prldd. Pr teer éxt e l t de deses se eest l pdd de trtr ssteátete l ertdure s edte uddss evlues y ples de étds estdísts eretes ls tvddes de ls egs. Ls ples de étds estdísts e ls dferetes áres s uerss.

3 .- INTRODUCCIÓN E l vd td pree uhs stues e ls que ls resultds servds s dferetes uque ls des les e ls que se prdue l expere se ls ss. Pr ejepl l lzr u ed us vees resultrá r y trs ruz. Ests feóes deds letrs se ve fetds pr l ertdure. E el leguje htul frses "prleete..." "es p prle que..." "hy uhs pslddes de que..." he refere est ertdure. L terí de l prldd pretede ser u herret pr delzr y trtr stues de este tp. Pr tr prte ud pls ls tés estdísts l regd álss e terpretó de ls dts l terí de l prldd prpr u se pr evlur l fldd de ls luses lzds y ls feres relzds. El jetv del Cálul de Prlddes es el estud de étds de álss del prtet de feóes letrs. Auque desde sus rígees sepre h estd lgds es ert que exste u ert prlels etre l estdíst desrptv y el álul de prlddes se puede prer e l sguete tl: ESTADÍSTICA f F Vrle Udesl Vrle Bdesl Dstruó de freues Meds Mets Idepede Estdíst Seres Teprles PROBABILIDAD Prldd Vrle letr Vetres letrs Dstruó de Prldd (Fuó de dstruó) Esperz Mets Idepede Estást Press Estásts E l tvdd dr s etrs erts tps de feóes que se puede reprdur u gr úer de vees e des slres dd lugr u jut de ds ás psles resultds. Ests feóes puede ser de ds tps: deterísts y letrs.

4 ..- Cepts áss 4 C ells vs dr u sere de epts pr pder desrrllr este te y ls suesvs. Feóe deteríst.- Cud l repetrl j déts des les se tee sepre ls ss resultds. Feóe letr.- Cud l repetrl j déts des les se tee sepre ls ss resultds. Ejepl: ud lzs u ed l re servd l suesó de rs y rues que preset. Experet letr.- Operó que repets j déts des les y se tee sepre ls ss resultds. Ejepl: lzet de u dd servd l suesó de úers que se preset { 4 56}. Sues eleetl.- Cd u de ls resultds psles del experet letr; lueg u sues eleetl st de u sl eleet del esp uestrl (E). E el ejepl del dd: {}. 4 Sues A ( 4) Sues eleetl B Esp uestrl.- Cjut de tds ls suess eleetles del experet letr y l desgres (E). Ejepl del dd: {456} Sues.- Cjut frd pr u ás suess eleetles es der u sujut de resultds eleetles del experet letr. Ejepl del dd: s teres ser s el resultd sd u úer pr A{ 5}. Sues segur.- Cde el sues eleetl y que l relzr el experet letr se tedrá segurdd u de ls psles resultds suess eleetles y pr tt urrrá (E). Ds suess se de que s gules ud td sues eleetl de u está e el tr y vevers. Sues psle.- Es el que tee gú eleet del esp uestrl (E) y pr tt urrrá u y se represet. Ejepl: E el lzet del dd puede drse el 7.

5 5 Sues pleetr u sues A: Es el sues que se verf s resultd del experet letr se verf A. Se stur detr el síl Ā. Suess ptles: Ls suess A y B s ptles utuete exluyetes s puede urrr sultáeete. A { } B {d e} E A B d e S tees ds suess ulesquer A B: A está ted e B etes B está ted e A A B B A S tees ds suess ulesquer A B: dde A está ted e B y B está ted e A etes A B. A B / A B B A A B..- Operes suess Al ser ls suess letrs d ás que sujuts de u jut E (esp uestrl) pdes plrles ls ds peres juts s l uó terseó y dfere: Sues ted e tr.- U sues A se de que está ted dud e tr B s sepre que se verf A se verf B. Se represet A B.

6 6 Ejepl: Csderd el experet letr del lzet de u dd s desgs pr: A que prez el ó el 4 { 4} B que prez u úer pr: { 46} El sues A B pues ls resultds suess eleetles y 4 de A perteee B. Dres té que A pl B y l detres A B. Iguldd de suess.- Dds ds suess A y B dres que s gules s sepre que urre el sues A té urre el sues B y sepre que urre el sues B urre el sues A y l dres pr A B. Es der s se verf: A B A B B A Ejepl: Se ls suess: A teer u úer pr l lzr u dd { 46} B teer u últpl de { } Aquí se verf que: Lueg A B. A B pues sepre que urre A urre B B A pues sepre que urre B urre A Dfere de suess.- Dds ds suess letrs A B E se ll sues dfere de A y B y se represet edte A/B e A-B l sues letr frd pr tds ls suess eleetles que perteee A per B. Uó de suess.- Dds ds suess A y B se ll uó de A y B y se represet pr A B l sues que se relz ud se relz lgu de ells A B es der tds ls eleets que está e A ó está e B.

7 7 Ejepl: Se ls suess: A teer el lzet de u dd u úer pr { 5 } B teer u úer yr que 4 { 56} El sues uó será: A B { 5 } { 5 6} { 5 6} O se teer u u u 5 ó u 6 e el lzet del dd. Iterseó de suess.- Dds ds suess A y B se ll sues terseó de A y B y se represet pr A B l sues que se relz s y sól s se relz sultáeete A y B. Ejepl: Utlzd el ejepl de l uó l terseó vee dd pr: Suess Iptles.- Ds suess A y B uy terseó es el sues psle se ll suess ptles. Osérvese que u sues y su trr s sepre ptles. A B φ. Suess Cpleetrs.- Dd u sues A se ll sues trr pleetr de A y se represet pr Ā l sues que se relz ud se relz A y reíprete.

8 8 El sues trr de E es φ y reíprete. Ā E A. Ejepl: E A B C { 456 } { } A { 456} { 46} B { 5 } { 5} C { 46}..- Prpeddes de l uó e terseó de suess Segudete se preset u sere de prpeddes que verf tt l uó l terseó de ds ás suess. Tles prpeddes s ues s se uestr e l sguete tl: UNION INTERSECCION. Astv (AUUCAU(BUC) (A CA (B C). Cuttv AUBBUA A BB A. Ideptete AUAA A AA 4. Splftv AU(B A)A A (BUA)A 5. Dstrutv AU(B C)(AU (AUC) A (BUC)(A U(A C) _ Td sues A del esp de suess tee tr lld trr A tl que: AUAE A Aφ De ests prpeddes surge ls sguetes seues edts: ) AUφA A φφ ) A EA AUEE ) Leyes de Mrg: A B A U B A U B A B. Ejepl: Se u experet letr de lzr u dd y defs:

9 9 A {pr} B {pr} C {últpl de } Clulr: ) ) ) d) AU B AUC B UC AU B { 456 } { 46 } { 56 } { 456 } E E e) A B 0/ f ) g) ) A C B C {} 6 {} h) B C B C ( AU C { 6} { 5}.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD Pr defr l prldd vs dr vrs defes epts de prldd. C ests defes se pretede expresr de er jetv y pres el grd de urre de erts resultds de u feóe letr. Cept Freuetst.- Dd u sues A que se repte u úer de vees s servs l freue que se repte ese sues tedres ls prlddes sds sgd l freue reltv d sues. Se ll freue slut de u sues A l úer de vees que se verf A l relzr el experet u úer deterd de vees. Se ll freue reltv de u sues A l ete etre su freue slut y el úer de vees que se relz el experet que vee dd pr: f (A) r f (A) dde el úer de vees que se repte el experet. Defó de Lple.- L prldd de ulquer sues A es gul l ete etre el úer de resultds fvrles resultds que tegr el sues A y el úer ttl de eleets psles resultds del esp uestrl E.

10 A) º de ss fvrles º de ss psles 0 C hes ved servd ls suess ls sderes juts sed váld pr ls suess td l estudd e l terí de juts. Pr llegr l struó xát del Cálul de Prlddes eests dr us estruturs lgers áss struds sre ls suess de l s er que struí sre ls juts. Td feóe letr llev sd u esp uestrl. Pr edr el grd de urre de ls suess defs el Álger de Ble álger de suess sg álger que verf sguetes des:.- El pleetr de u sues A que perteee l Alger té perteee l lger: A Є Ą Ā Є Ą.- S tees u sere de suess fts (A A..A ) fts uerles que perteee l Ą l uó de tds ells tee que perteeer Ą. A A... A Є Ą A.- El sues psle té perteee l Ą φ Є Ą A.. A Є Ą. Bsádse e dh álger klgrv d l defó xát de prldd que vee dd tuó. Se ll prldd sd l álger de Ble u pló Ą R tl que d vlr de A le he rrespder u prldd que verf ls sguetes xs: Ax : Sepre es pstv. Ax : Sepre estrá etre 0 y. P[ E]. Ax : Se A... A suess tles que s dsjuts ds ds (es der l terseó es Ø) A Aj φ l prldd es l su de tds ls prlddes de suess. A ) A ).

11 A A A Del terer x se desprede que s que s A φ A P A + P A + + P[ A es der Ρ U Α j A etes P [ ] [ ] [ ] ] ( ) ΣΡ( ). Α Ejepl: Clul A. L sluó es: A) {5} {46} 5) + 46) ) Sl ud A 0 es der que s dsjuts. Ejepl: Se u experet letr que sste e lzr l re ls dds que está rgds y se sder esp uestrl el resultd de l su de ls vlres teds lulr: { }.- Esp uestrl: E eleets.- L prldd del sues A { } A).- L prldd del sues B { pr} 4.- L prldd del sues C { 0} C) 5.- L prldd del sues D { 4567} D) 6.- AU {4680} 6 / 6 4

12 7.- AUC) {0} 4 / 8.- D UC) {890} 7 / 9.- B U D) {45679} 7 / 0.- A AU { } 0 /.- B UC) { } 0 /.- B D) {46} /...- Esp Prlíst Lls esp prlíst l ter frd pr u esp uestrl E; el álger de suess Ą y u prldd P es der ( E Ą P ). Sus prpeddes s: ) L prldd del pleetr de A es es l prldd de A: Pr [Ā] - Pr [A]. ) L prldd de l uó de A y B es gul l prldd de A ás l prldd de B es l prldd de l terseó de A y B: Pr [A U B] Pr [A] + Pr [B] - Pr [A B]. ) L prldd del sues ví es 0: Pr [O] 0 4) S A tee B etes l prldd de A es er gul que l prldd de B: A B Pr [A] Pr [B] 5) L prldd de A es er gul : Pr [A]. 4.- PROBABILIDAD CONDICIONADA Hst hr hes vst el ept de prldd prted de que l ú fró que tees sre el experet es el esp uestrl. S erg e ses se e que u deterd sues h urrd. Mdfrá est fró dl l prldd de que urr tr sues?. Veres que

13 geerlete sí. A prtr de est de surge l de de prldd dd que se defe: Se u esp prlíst y u sues B perteeete l Alger de Ble tl que 0 etes se defe l prldd de que urr A s tes h urrd B : A B/A) A) s O. Aálgete pdes defr A/ A A/ s A) O. De ls defes terres se dedue lrete ls reles sguetes: A A) B/A) A A/ A/. B/A). A) A/ B / A) A) P ( A / A). S A B s depedetes A 0 P ( A / B / A) 0. etes: A est expresó se le e regl de l ultpló que e geerl pr u úer k de suess vee dd pr: P (A A... Ak) P (A)P (A/A)...P (Ak/A A... Ak ) Ejepl: De u ur que tee 9 ls rjs y 5 egrs se extre suesvete ls. Clulr l prldd de ls sguetes suess: ) Que ls ds se egrs ) Que ls ds se rjs ) Que l prer se rj y l segud egr d) Que l segud se rj sed que l prer fue egr L sluó e d prtd es l sguete. ) Se N : Sr l ª Negr N : Sr l ª Negr

14 4 N N ) N ) N /N ) 5/4 4/ ) Se R: Sr l ª Rj R : Sr l ª Rj R R ) R) R /R ) 9/4 8/ ) Se R : Sr l ª Rj N : Sr l ª Negr R N ) R ) N /R ) 9/4 5/ d) Se N : L ª es Negr R : L ª es Rj R /N ) 9/ (qued ls de ls ules 9 s rjs). Ejepl: Sed que l lzr u dd h sld u úer pr hllr l prldd que este úer hy sd u ds: A 6 ( A 6 P P ( A) { } { 46} INDEPENDENCIA DE SUCESOS Se A y B ds suess del esp uestrl. El sues A se de depedete del sues B s el et de l urre de B df l prldd de pró de A es der s P (A/ P (A) A) A/. Prpedd: S ds suess A B s depedetes etes sepre se verf: De l defó y de est prpedd se dedue que s ls suess A y B s depedetes se verf: Ls suess A y B s depedetes. Ls suess A y B s depedetes. Ls suess A y B s depedetes. Des que suess s depedetes s se verf: P A A... A ) A ) A )... A ). (

15 5 Ejepl: Se sder ds suess A y B sds u experet letr A)0.7; 0.6; )0.58. S depedetes A y B? Pr ver s s depedetes prres s A B ) A ) B ) ) P[(A ] - A Pr tt A - ) Pr tr ld A ) B ) Lueg A y B s depedetes pues A B ) A ) B ) 0.4 Ejepl: Se u experet letr que sste e lzr u tetredr regulr uys rs está uerds del l 4 y se defe ls suess: A { ó } B { ó } C { ó 4} Clulr: ) P A 4 ( ) ( 4 ( ) 4 ) P ) P C d) Prldd de teer u P ( ) A A C) B C) / 4 S depedetes ls suess A B y C? P ( A A) / / / 4 A C) A) C) / / / 4 B C) C) / / / 4 Sgf que A es depedete de B que A es depedete de C que B es depedete de C. A B C) A) C) A B C) ) / 4 A) C) / / / / 8 Lueg / 4 / / 8

16 N se uple l terr dó pr l que A B y C s depedetes etre sí s depedetes ds ds. Ejepl: E u rj de rts hes suprd vrs de ells etre ls que qued se verf ls sguetes prlddes: - Prldd de teer u rey: 05 - Prldd de teer u rt que se sts: 00 - Prldd de teer u rt que se rey sts: 06 Clulr: - Está etre ells el rey de sts? s frtv dr su prldd.- - Cuáts rts hy e l rj? 6 P ( Rey Bsts) Re y Bsts) 0 6 Re y U Bsts) Re y U Bsts) Re y) + Bsts) Re y I Bsts) Re y Bsts) Re y Bsts) Pr l que l ser yr que er d que está el rey de sts u prldd de Se ps 005 e fr de fró: L que d que s l prldd de sr u rt (el rey de sts) es de etre 0 quere der que el úer ttl de rts e l rj es de 0 (pr l defó de Lple). 6.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL E prer lugr tes de defr el tere es eesr defr que es u jut plet. Se de que u jut de suess A A... A E fr u sste plet s verf: S ptles ds ds es der A A j 0 j Que l uó de tds ells es el esp uestrl es der A... A E. A C td est se defe el tere de l Prldd Ttl : Se A A...A u sste plet de suess tles que l prldd de d u de ells es dstt de er y se B u sues pr el que se e ls prlddes B/A ) etes l prldd del sues B vee dd pr:

17 7 PB ( ) PA ( ) PB ( / A). Fgur: S A A A A4 A5 fr u sste plet pdes lulr l prldd de B prtr de ls tddes [ B A ] P l que es l s [ B / A ] P[ A ] P L destró del tere es fál de her destrs. S A A A A 4 y A 5 fr u sste exhustv y exluyete de suess pdes lulr l prldd de B prtr de ls prlddes de ests suess es der prtr del sues B se puede desper : B B E B ( A A A... A ) que pld ls prpeddes de ls suess es fál ver que td est es gul ( B A ) ( B A ) ( B A ) ( B ) B... A. Clulr l prldd de B es l s que lulr l prldd de l expresó terr es der P ( B A ) + B A ) B ) A y que l ser u sste plet ls tersees s vís. Adeás ses que P ( A ( A P / P etes l prldd de se puede desper P ( A A / ( B / A ) A ) + B / A ) A ) B / A ) A ) A ) B / A ).

18 Ejepl : Se tee ds urs l º tee ls ls y egrs l º tee ls ls y egrs. Se elge u ur l zr y de ell se extre u l. Clulr l prldd de que se l. Se A : elegr l ur º A : elegr l ur º B: extrer l l A ) B/A ) + A ) B/A ) / /5 + / /5 /. 8 Ejer : U pñí dedd l trsprte púl explt tres líes de u udd de fr que el 60% de ls utuses ure el serv de l prer líe el 0% ure l segud y el 0% ure el serv de l terer líe. Se se que l prldd de que drete u utús se veríe es del % 4% y % respetvete pr d líe. Deter l prldd de que e u dí u utús sufr u verí. Sluó: Pr teer l sluó defs el sues "sufrr u verí" (Av) puede prdurse e ls tres líes (L L L ). Segú el tere de l prldd ttl y teed e uet ls prlddes del dgr de árl djut tees: Av) L ) Av/L ) + L ) Av/L ) + L ) Av/L ) Ejer : U epres del r de l letó elr sus prduts e utr ftrís: F F F y F 4. El pretje de prduó ttl que se fr e d ftrí es del 40% 0% 0% y 0% respetvete y deás el pretje de evsd rret e d ftrí es del % % 7% y 4%. Ts u prdut de l epres l zr. Cuál es l prldd de que se euetre defetusete evsd? Sluó: Lld M "el prdut está defetusete evsd" se tee que este prdut puede preder de d u de ls utr ftrís y pr tt segú el tere de l prldd ttl y teed e uet ls prlddes del dgr de árl djut tees:

19 9 M) F ) M/F ) + F ) M/F ) + F ) M/F ) + F 4 ) M/F 4 ) Ejer 4: Pr relzr u experet letr dspes de u uestr de esrs de hes de ls ules ds esrs tee hes ls y 5 zules trs ds esrs tees hes ls y zules y el últ esr tee hes ls y zul. Cuál es l prldd de elegr u he zul? Sues A: ls y 5 zules C exste suess A etes A)/5 Prldd de esger zul e ests ds esrs zul/a)5/8 Sues B: ls y zules C exste suess B etes /5 Prldd de esger zul e ests ds esrs zul//5 Sues C: ls y zul C exste sues C etes C)/5 Prldd de esger zul e este esr zul/c)/ zul)a)*zul/a)+ *zul/+ C)*zul/C) P ( zul) S huéses ptd pr herls 5 suess dvdules: zul) A)*zul/A)+A)*zul/A)+*zul/+*zul/+C)*zul/C)

20 zul) TEOREMA DE BAYES Se A A... A u sste plet de suess tl que l prldd de d u de ells es dstt de er y se B u sues ulquer pr el que se e ls prlddes B/A ) etes: A ) B / A ) A ) B / A ) A /... A ) B / A ) Destró : A A ) B/A ) A /... despejd A / s qued: A ) B / A ) A /... PB ( ) y pr el tere de l prldd ttl : A / A ) B / A ) A ) B / A )... Ejepl: Bsáds e el ejer terr supgs que relzd l extró l l extríd es l. Clulr l prldd de que se de l ur º. Pr reslverl t sól plr l fórul A / A ) B / A ) A ) B / A ) + A ) B / A ) Ejer: Tees tres urs: A ls rjs y 5 egrs B ls rjs y egr y C ls rjs y egrs. Esges u ur l zr y extres u l. S l l h sd rj uál es l prldd de her sd extríd de l ur A? Sluó:

21 Pr teer l sluó lls R "sr l rj" y N "sr l egr". E el dgr de árl djut puede verse ls dstts prlddes de urre de ls suess R N pr d u de ls tres urs. L prldd pedd es A/R). Utlzd el tere de Byes tees: Del ejepl 4 terr de ls esrs uál es l prldd de que el he zul elegd se del esr dde hy sól hes ls y zul? Sís que 0 6 zul) etes C) zul C) C zul) 5 00 A) zul A) + zul + C) zul C) COMBINATORIA El álss tr se up de l rdeó de ls jets detr de u jut. E este setd s fltrá étds que será útles pr deterr el

22 úer de resultds psles de u experet. Ves tuó de u fr reve ls fruls trs: Vres s repetó: Se ll Vres s repetó de eleets tds e grups de d u de ls sujuts de eleets que se puede frr ls eleets teed e uet el rde. (Iprt el rde y se puede repetr). V (-)... (-+). Ejepl: Se u jut frd pr ls letrs. Cuáts grups de letrs se puede teer s repetr ls eleets teed e uet el rde? V ( + ) 6 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Vres repetó: Se ll Vres repetó de eleets tds e grups de d u de ls sujuts de eleets que se puede frr ls eleets teed e uet el rde. Es l s defó terr per puded repetr ls eleets que tervee e el grup. VR Sgued el ejepl terr Cuáts grups de letrs se puede teer repted ls eleets teed e uet el rde? V 9 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Perutes s repetó: Se ll Perutes de eleets ls vres s repetó per el úer de eleets de el úer de grup. (prt el rde y se puede repetr). P V! Sgued el ejepl Cuáts grups de letrs se puede teer s repetr ls eleets teed e uet el rde? P! 6

23 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Ces s repetó: Se ll Ces s repetó de eleets tds e grups de d u de ls sujuts de eleets que se puede frr ls eleets s teer e uet el rde. (N prt el rde se puede repetr). C )! (!! Sgued el prer ejepl: ( ) 6!!! C { } ( ) ( ) ( ). Ces repetó: Se ll Ces repetó de eleets tds e grups de d u de ls sujuts de eleets que se puede frr ls eleets s teer e uet el rde. (N prt el rde per se puede repetr). CR + )! (! )! ( + Y pr últ terd el ejepl ( ) ( ) !! 4!!!! + + C { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6