TEMA 13. Polinomios. Operaciones. Fórmulas de

Transcripción

1 TEMA 3. Poloos. TEMA 3. Poloos. Operoes. Fóruls de Newto. Dvsldd poloos. Froes Algers. Itroduó. He uos 4. ños, los loos ooí l er de eotrr l soluó postv de ertos tpos de euoes udráts. E los sglos VIII y XIX teátos áres desrroll el álger y perte que el legue de ls teáts se uho ás práto. De etre todos los teátos áres e destr l lldo pdre del álger l- Jurs, l ul etre otrs oss le deeos l plr lgorto y álger. E su trtdo de álger se pretede eseñr u álger pld l resoluó de proles de l vd otd del pero sláo de etoes y ord ls soluoes de ls euoes leles y udráts. U vez superds l resoluó de ls euoes de º grdo l resoluó de ls euoes de terer grdo llego de l o de Spoe del Ferro y de Trtgl e el sglo XVI. L geerlzó de los poloos y l utlzó de l terologí tul se gest e los sglos XVII y XVIII. Desrtes dopto l letr pr desgr l ógt y oezó usr los úeros eteros, oo hoy, pr esrr los epoetes. Newto geerlzo l forul que llev su ore pr desrrollr u oo pr otros epoetes o turles. No t ood pero ás geerl es l fórul de Letz oteporáeo y rvl de Newto que geerlz l fórul teror pr l pote de ulquer poloo, y o sólo los oos. H el sglo XVIII, el álger trsedó de l soluó de euoes l estudo de estruturs oo grupos, llos y pos. Es e este sglo y oezos del sguete udo se osgue deostrr el teore fudetl del álger, que relo el úero de ríes o el grdo del poloo. Prtpes de l deostró de este teore e destr Guss y Cuhy etre otros, que de o de los úeros opleos deuestr el teore que tto querdero de ez durte ás de dos sglos.. Poloos.. Defó y terologí Ates de defr los poloos teeos que fr el uerpo K e el que tr, y que os f el tpo de oefetes. Así podeos teer poloos froros Q, opleos KC o poloos reles KR etre otros. E este te vos osderr los poloos reles, uque podrí defrse sore u uerpo K rtrro. Teeos que her dstó etre dos oeptos que uque plete relodos o so el so: poloo y fuó poló. U fuó poló es u pló de R e R, e dode ls us operoes que tervee e dh pló so l su, produto, o pote turl de los eleetos de R p: R R p o R El poloo es l epresó teát de l fuó poló, se suele tor l letr pr represetr los eleeto del outo orge vrle depedete. De est for el Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr

2 TEMA 3. Poloos. poloo de l fuó poló epresd terorete será: p. De est for el vlor de l fuó poló e u puto osste el vlor que oteeos de susttur e del poloo equvlete vlor uéro del poloo e Terologí: veos lguos de los téros relodos o los poloos que utlzreos lo lrgo del desrrollo del te: Coefete del poloo: d uo de los vlores que ultpl ls potes turles de. Perteee l uerpo e dode tr el poloo. Grdo del poloo: es el vlor del epoete turl ás elevdo del poloo o oefete o ulo. Poloo ulo, quel que tee todos sus oefetes ulos, de for que el vlor de l fuó poló del so es sepre. Se represet oo o spleete poloo. Poloo opleto de grdo : es u poloo de grdo, dode todos los oefetes,. Mooo: poloo o sólo u oefete o ulo. El ooo de grdo es quel uyo úo oefete o ulo es. Al outo de todos los poloos reles se deot oo PR PK s el uerpo es K.. Operoes o poloos. Estruturs lgers. Veos ls operoes ás porttes de los poloosreles sí oo ls propeddes de ls ss, de for que vereos que PR,, R espo vetorl, PR,, es llo outtvo o eleeto udd. Ates de ver ls operoes áss defos guldd de poloos. Dos poloos y gules,, s todos los oefetes so gules dos dos, es der N. Por tto el grdo de os será el so so todos los oefetes o serí gules. Su de Poloos. Grupo dtvo PR, L su de poloos es u pló ter que os relo dos poloos y o otro poloo deodo su y represetdo oo y defdo oo: :PRPR PR, Co..,e dode los oefetes gul l su rel de los oefetes de los poloos y. Corolro: el poloo su tee grdo eor o gul que el grdo yor de los otros dos poloos. De: osdereos dos sos:. grd grd, supodreos que grd>grd s o ourre sí se reor los poloos. Etoes s llos el vlor del oefete. El resto de oefetes yores so ulos. E este so grdsup,supgrd,grd Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr

3 TEMA 3. Poloos.. grdgrd. Teeos que de gul for que e el so teror >. Por otro ldo puede ser ero s y opuestos o dstto de ero. Por lo tto por l defó de grdo teeos que grd grdgrd. Propeddes de l su:,, PIR y o. Be defd: ter y udd. Asotv: 3. Couttv: 4. Eleeto eutro: 5. Eleeto sétro: - o , o opuesto e l su de R 6. Celtv: Deostroes: so trvles prtr de ls propeddes de l su de IR y de ls propeddes de ést. Se uple etoes que PR o l su es grupo outtvo o Aelo PR,. Multpló por eslr. Espo vetorl de PR. Cudo hlos de eslr oepto dervdo de los espos vetorles que oo vereos es PR os referos u eleeto del uerpo, u úero, que deotreos por letrs gregs úsuls. El produto eslr de u poloo es u ley eter de PR o el uerpo R que os relo u eleeto λ de R eslr y de PR o otro de PR, y se ll oo produto eslr de os y se esre λ, defdo de l sguete for: R : R PR λ, PR λ λ λ λ, o λ produto e R Corolro: Teeos que el grdo del produto eslr de u poloo es el so que el del poloo s el eslr o es ero, e tl so el grdo es ero poloo ulo. De: Por propeddes del produto de R, el produto de dos reles o es ero o ser que lguo de los dos o los dos se ero. Coo λ, λ sólo será ero udo se ero, de for que el grdo del produto eslr es el so l del poloo. Propeddes produto eslr:, PR y λ,µ R. Dstrutv o su de eslres: λµ λ µ. Dstrutv o su de poloos: λ λλ 3. Pseudosotv: λ µ λ µ 4. Eleeto eutro: se el eleeto utro de R, Deostroes: se deuestr de for trvl prtr propeddes del produto y su de R. Colusó: PR o operó ter de l su y eter el produto eslr es espo vetorl. PR,, R. Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr 3

4 TEMA 3. Poloos. U se de PR, es todo outo de poloos que upl que se lelete depedete y que geere PR. Proposó: el outo de poloos B,,,..,.. fordo por tods ls potes de epoete N es se de PR: De: teeos que ver que so lelete depedetes y que geer:. Lelete depedetes: λ λ λ por defó de poloo y de guldd de poloos se uple s λ N.. Geer: Se.. PR, se uple que este poloo λ λ λ todo λ. Por el teore de l desó l de PR es ft, y que e l se hy ftos vetores poloos. Se P R el outo de poloos de grdo eor o gul, se uple que es suespo de PR y de desó, dode l se ás sell es B,,..3. Multpló de poloos. Allo outtvo PR,, L ultpló es u pló ter que os relo los poloos y o otro poloo lldo produto de os y deotdo oo, defdo oo: :PRPR PR, Co Corolro: el grdo del poloo produto es gul l su de los grdos de los poloos produto: grdgrdgrd. Deostró: Se : grd y grd, se uple que, por ser, def grdo. Por otro ldo l o l>, pues l será su de dos turles, uo o os h de ser yor que y/o. Etoes oo o > y r o r>, se uple que uo o los dos téros del produto será ero, y por ede el produto. Propeddes del produto de poloos:,, PR. Be defd. Asotv: 3. Couttv: 4. Dstrutv o l su: 5. Eleeto eutro: y PR. 6. Eleeto sorvete: o PR 7. Celtv: o. Deostroes: se deuestr prtr de ls propeddes de l su y produto de R y de ls propeddes de los sutors. Veos lgu de ells: Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr 4

5 Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr 5 TEMA 3. Poloos. 3. Couttv: 4. Dstrutv: e e 5. Eleeto eutro: δ Co ests propeddes del produto se uple que PR, es u segrupo outtvo o eleeto udd. El outo de todos los poloos o ls operoes de l su y el produto uple que tee estrutur lger de llo outtvo o eleeto udd, y que uple: - PR, grupo outtvo - PR, segrupo outtvo o eleeto udd - Se uple l propedd dstrutv:.4. Epoete. Fóruls de Newto y Letz. U poloo p elevdo u pote turl, se epres p es el resultdo de ultplr vees el so poloo. pp p p. Y por defó p. Corolro: el grdo de p es vees yor que el de p, y que result de plr vees el orolro vsto pr el produto e el prtdo teror. Veos deostró: grdp grdp - grdpgrdp - grdpgrdp.grdp S teeos que p es u oo sólo dos oefetes o ulos, p o y de l for y, y elevos u pote turl, el resultdo se puede epresr prtr del oo de Newto: Boo de Newto: s elevos u oo u pote turl,, el resultdo puede represetrse por l sguete su:. Deostró: se puede her por duó o por otor. Hreos el er étodo. - Pr se uple - Hpótess de duó pr : vees

6 Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr 6 TEMA 3. Poloos. - Pr : Dode heos usdo que y. Fórul de Letz: este teáto oteporáeo de Newto y redores os del álulo ftesl geerlzó l fórul de de Newto pr todo tpo de poloos:.!!.!! Deostró. s plos de for reterd l propedd dstrutv oteeos que ulquer sudo del desrrollo es de l for:. dode l su tee que dr pues el úero de vees que ultplos, es der. Pr oteer los oefetes teeos que plr otor, vedo ls vees que pree repetdo, es u perutó de eleetos dode repetdo vees,, sí hst que está repetdo. Es der los oefetes so!!.!!,,, P 3. Dvsldd de Poloos 3.. Defó de dvsldd.poloos equvletes.propeddes Se dos poloos, R ls sguetes defoes so equvletes y lo deotreos sólete oo : dvsor de, últplo de, dvde s se uple que este otro poloo PRtl que Proposó: l dvsldd es u reló r de preorde l uplr ls reflev y trstv. Deostró: - Reflev: pues - Trstv:, etoes. R P Dos poloos y se de equvletes desde el puto de vst de l ultpldd s so proporoles, es der λ o λ R. S dos poloos equvletes, deás de uplr l reflev y trstv uple té l sétr, por lo que l dvsldd es pr ellos u reló de equvle, de quí que les lleos equvletes. S plos el

7 TEMA 3. Poloos. outo oete de est reló de equvlelléosl R el outo oete PR/R este outo fordo por ls lses de equvle []{ p PR : pλ, λ R }. Así l hor de estudr ls propeddes de dvsldd todos los poloos de est lse de equvle se oport de gul for. Por sellez ogereos el poloo óo de l lse de equvle o oefete de yor grdo gul l udd: - - Propeddes de l dvsldd:. S y λ λ. S PR 3. S 4. S grd grd, sedo l guldd pr poloos equvletes. Ls deostroes so uy sells por l defó de dvsldd. 3.. Poloos Irredules. Teore fudetl del álger. U poloo se de rredule udo sólo tee de poloo dvsor los poloos de su lse de equvle, λp y los poloos de grdo ero, λ. U poloo se de opuesto o redule udo o es rredule y por tto este otro poloo dvsor, de este dstto los equvletes y de grdo ero:. Teore : Los poloos de oefetes reles rredules so sólo de dos tpos: lo poloos de prer grdo, los poloos de segudo grdo o soluoes oplesougds. Deostró: L deostró requere de pló de tés oplds y etess del álss opleo por lo que su eloró o os pertrí ordr otrs uestoes fudetles del te. Teore fudetl del álger: todo poloo opuesto toreos represette óo se puede epresr oo produto de poloos rredules óos de for ú. Est for de epresr el poloo opuesto se ll desoposó ftorl. Deostró: osderreos todos los poloos o oefete yor grdo uo. Este: por defó de poloo opuesto, p se puede epresr oo produto de dos poloos, de dstto grdo l suyo y l udd y por el orolro del grdo del produto de eor grdo: ph h. S estos poloos so rredules el teore estrá deostrdo, s lguo de ellos o los dos so opuestos etoes se podrá poer oo produto de otros dos poloos de eor grdo que los terores. S los uevos poloos so rredules se hrá terdo el teore, y s lguo es redule repetos el proedeto. Este proedeto se repte hst que todos los poloos se rredules, os que sepre v ourrr pues l dsur el grdo llegreos u oeto que se de grdo uo o grdo dos o soluoes oples que so rredules. Udd: por reduó lo surdo supodreos dos ftorzoes dferetes reordeos que todos o oefete yor grdo gul l udd p Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr 7

8 TEMA 3. Poloos. Se uple que es dvsor de p por lo que l dvsó es et, pero todos los so rredules luego l dvsó sólo puede ser et s lgú es gul. S repetos el proedeto o todos los tedreos que todos los poloos estrá e. Adeás o puede her guo ás que estos pues etoes el grdo de serí dstto l de y o podrí ser gules por tto. Así s so gules Corolro: S u poloo p es de grdo pr, este l eos u poloo de grdo uo e l ftorzó. Deostró: s p o rredule de segudo o de prer grdo. Supogos que es de segudo grdo pr todos los poloos y llegreos u otrdó. E el produto el grdo es gul l su de los grdos de los dos poloos ultpldos y por tto el grdo de p será pr l ser su de grdos de vlor Ríz y ftor de u poloo. Teore del resto y del ftor. Ddo u poloo rel p PR, deos que IR es ríz de p s se uple que p, es der soluó de l euó p, es der su vlor uéro p. Teore del resto: El resto de dvdr u poloo p por u poloo óo de grdo uo de l for - es gul p. Deostró: Se Q el oete de dvdr p etre -, y R el resto de l dvsó, etoes: pq-r. Todo prr Rp. Teore del ftor: p PR dvsle por - s y sólo s s es ríz de p. Deostró: S es dvsle se uple que p- Q, etoes p Q p etoes - es dvsor de p teore teror. p-q. Luego se uple que el úero de ríes es gul l úero de poloos de prer grdo que hy e l ftorzó del poloo. Se de que p tee u ríz de ultpldd s se uple p; f p/-, y se uple f ; f p/- y se uple f ;.; f - p/- - y se uple que f - y f p/- y se uple f. Proposó: p tee ríz de ultpldd s y solo sí etoes p es dvsle por y o por -. Deostró: S p dvsle por - p -, etoes p, f - -, f, f - -, f - ; f y f, pues serí dvsle por -. Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr 8

9 TEMA 3. Poloos. P tee ríz de grdo. Al ser ríz ultpldd f -, luego f -, oo f - p/- - p-. Por otro ldo o es dvsle por -, pues so f y l ser ríz de grdo se uple que es dstto de ero Máo oú dvsor y ío oú últplo Defoes Máo oú dvsor de u outo de poloos,,.., R/R l poloo de yor grdo que es dvsor de todos. Se deot oo d,.., d y uple d,.. y s d grdd <grdd Mío oú últplo de u outo de poloos,,.., R/R l poloo de eor grdo que es últplo de todos. Se deot oo,.., y uple d,.. y s grd >grd. Dos poloos, PIR se de rredules etre s se uple que el d, es de grdo uo Cálulo de d y Teore de Euldes: Se, R/R, y r el resto de dvdr etre grd grd, se uple que d,d,r. Deostró: r-, el oete. Por propeddes de dvsldd se uple que los dvsores de y té so de r y por ede el ío dvsor té. Corolro: álulo del d de dos poloos: prtr del teore de Euldes podeos lulr el ío oú últplo de for tertv, oteedo los restos: r d,d,r r r d,r dr,r. r - r r { dr -,r dr,r Eeplo: , 3.5 d 3, d,--d-.5, -.5 R. Cálulo del ío oú últplo pr dos poloos. El ío oú últplo es fl de oer s ooeos el d. Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr 9

10 TEMA 3. Poloos. Proposó: Se d,d, d ' ' d d d Deostró:. Múltplo ''d ''.. Mío: Coo ' y ' so rredules etre s, todo últplo de y h de ser de l for M'', que h de uplr: - d d ' - 'd d ' Coo y so rredules etres s, se uple que d, luego grd grdd. Cálulo del áo oú dvsor y ío oú últplos de uhos poloos. Teore: El áo oú dvsor de p, p,,p es otro poloo uy desoposó es poloos rredules está fordo por los poloos rredules de p oues todos y o eor epoete. Deostró: Se uple que el poloo geerdo es dvsor l estr fordo por poloos rredules que té está e d poloo p, deás es el yor pues s ultplos este por otro poloo este o preerá e lgu desoposó de lgú p y o será dvsor de este. Teore: El ío oú últplo de p, p,,p es otro poloo uy desoposó es poloos rredules está fordo por los poloos rredules de p oues y o oues o yor epoete. Deostró: el poloo luldo es lrete últplo de ulquer p pues su desoposó ftorl fordo l eos por los so poloos rredules que estos. Adeás es el ío pues s qutos lgú poloo rredule etoes hrá l eos u poloo p que e su desoposó ftorl teg est poloo que qutos y por tto o será últplo de este. 4. Froes lgers. 4..Defoes y propeddes Se ll fró lger l pr ordedo de dos poloos, PR o poloo ulo y que se represet oo PR PR. Se deo uerdor de l fró lger, y deodor de l fró lger. Defos u reló R e PR PR., de for que F / R F /, s se uple que. Proposó:Res u reló r de equvle e PR PR. Deostró:. Reflev /R/:. Sétr:/R/d /dr/: d,d 3. Trstv /R/d,/dRe/f /Re/f: d e dee fe fe fed Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr

11 Jose Lus Lorete preprdor oposoes seudr TEMA 3. Poloos. Defó: se deot outo de froes lgers l outo oete de PR PR * respeto l reló de equvle tes defd: PR PR * / R. Los eleetos de so ls lses de equvle R ' ' : ' ` ' R P R P El eleeto que represetrá l lse de equvle es l que llreos fró rredule ford por l fró / sedo estos poloos rredules etre s. Propedd: Se uple que R, de for que tod fró de l lse equvle / fró rredule es de l for. Deostró: por l propedd eltv del produto de poloos. L operó que os perte oteer l fó rredule se deo splfr. 4.. Operoes. Su y produto L su es u operó ter PR PR * / R que os relo dos froes polós F y F o otr fró poló deod su de s y deotd oo F F, defd de l for: d d d Propeddes:. Be defd e depedete represette elegdo de lse de equvle. Asotv 3. Couttv 4. Eleeto eutro [/] 5. Eleeto sétro [-/] El produto es u operó ter e que os relo dos froes polós F y F o otr fró poló deod produto o ultpló de s y deotd oo F F, defd de l for: d d Propeddes:. Be defd e depedete represette elegdo de lse de equvle. Asotv 3. Couttv 4. Eleeto eutro [/] 5. Eleeto opuesto [/] 5. Coteto o seudr y Bhllerto. El álger se oez trdo e º y º de l ESO dode los luos epez detfr el sgfdo de ls letrs y ls operoes áss. E el urso de 3º de l ESO se tr o los poloos, operoes, ráes, dvsó y se trodue l ftorzó. Es e el urso de 4º ESO udo se ter de estudr l ftorzó y ls froes lgers.