Teoría de la materia: Solo ondas. Theory of matter: Just waves.

Transcripción

1 Teoía de la mateia: Solo ondas. by Enesto López González Ingenieo Agónomo, / Pablo Neuda 78, Potal 9 4º A 89 Aloón Madid España. enesto_lopez@olegiosansatuio.om Eneo 07, Revisado Agosto 08 Resumen Se popone una nueva teoía de la mateia y la enegía. El postulado pinipal es que toda la mateia y la enegía están ompuestas po vibaiones del espaio-tiempo, que está fomado po una únia 5-bana extendida en las tes dimensiones espaiales y ompatada en dos dimensiones adiionales hasta un oden de 0-6 m. Se postula también la existenia de un agujeo ental en el plano de las dimensiones ompatadas. Se onsidea que la sustania que foma esta 5-bana pesenta popiedades similaes a las de un istal liquido. Se postula también que todas las inteaiones povienen de la modifiaión del espaio-tiempo ausada po po las vibaiones que onfoman la mateia y la enegía. En oneto se analizan tes meanismos: el aaste, la defomaión y la modifiaión del índie de efaión del espaio-tiempo. Con estos postulados y planteando la euaión de onda se puede dedui la longitud de onda de D'Boglie, el pinipio de inetidumbe, la aga y la masa del eletón úniamente a pati de su masa, el oigen de la masa ineial y gavitatoia, la fueza entífuga, las fuezas elétias, los obitales del átomo de hidógeno y la existenia de un sistema de patíulas elementales fomadas po los tes neutinos onoidos, el eletón y uato patones fomados po la ombinaión de los uato anteioes on ondas de supefiie en el hipotétio agujeo ental del plano de las dimensiones ompatadas. Se estiman las masas de esas patíulas así omo la fueza de sus inteaiones. Es posible de esta manea plantea un sistema paa los hadones que pemite estima sus masas, momentos magnétios, distibuión intena de agas y el potenial de Reid paa la fueza nulea esidual. Se estima que todos los mesones deben se inestables y que el baión mas estable debe esta fomado po 54 patones potones y neutones. Finalmente se popoiona una expliaión intuitiva del espín de las patíulas. Theoy of matte: Just waves. by Enesto López González Ingenieo Agónomo / Pablo Neuda 78, Potal 9 4º A 89 Aloón Madid España. enesto_lopez@olegiosansatuio.om Januay 07, evised August 08 Abstat A new theoy of matte and enegy is poposed. The main postulate is this, all matte and enegy ae omposed of vibations of spae-time, whih is fomed by a single 5-bane extended in the thee spatial dimensions and ompated in two additional dimensions up to an ode of 0-6 m. It also postulates the existene of a ental hole in the plane of ompated dimensions. The substane foming this 5-bane is onsideed to have popeties simila to a liquid ystal. It is also postulated that all inteations ae oiginated fom the modifiation of spae-time aused by the vibations that foming matte and enegy. In patiula we analyze thee mehanisms: the dag, defomation and the modifiation of the index of efation of the spae-time. With these postulates and by esolving the wave equation we an dedue the D'Boglie wavelength, the unetainty piniple, the hage and mass of the eleton only fom its mass, the oigin of inetial and gavitational mass, the entifugal foe, the eleti foes, hydogen atom obitals and the existene of a system of elementay patiles fomed by the thee known neutinos, the eleton and fou patons fomed by the ombination of the pevious fou with sufae waves in the hypothetial ental hole in the plane of the ompated dimensions. The masses and the stength of the inteations of these patiles ae estimated. Then it is possible to popose a system fo hadons that allows to estimate thei masses, magneti moments, intenal distibution of hages and the Reid potential fo the esidual nulea foe. It was estimated that all mesons must be unstable and that the most stable bayon must be omposed of 54 patons poton and neuton.finally an intuitive explanation of the spin of the patiles is povided.

2 Teoía de la mateia Solo ondas. 0. Como lee este tabajo. A pesa de los gandes éxitos alanzados po la Físia en el último siglo, lo ieto es que disponemos de dos gandes teoías paa desibi la ealidad que son inompatibles ente si Teoía de la Relatividad Geneal y Meánia uántia.estas inompatibilidades se han aeentado on el paso del tiempo y han onduido al desaollo de teoías e hipótesis que o bien se basan en la aumulaión de paámetos libes sin fundamentaión teóia masas, agas, espines,.. del modelo estánda o bien pesentan postulados imposibles de ompoba atualmente Teoías de uedas,... Todas estos intentos de onilia lo más pequeño on lo más gande ompaten la inapaidad de efetua pediiones básias. El heho de que muhísimos pofesionales muy inteligentes y muy fomados no hayan onseguido avanes signifiativos en la ompensión pofunda de la mateia y enegía desde los años 30 obliga a efetua una evisión pofunda de los pinipios en los que basamos la Físia a día de hoy. Solo eintepetando pofundamente algunos de estos pinipios seá posible avanza en nuesto onoimiento de la Ceaión. Esto signifia que el leto enontaá afimaiones que tendeá inmediatamente a ehaza. Yo le ogaía que tuviese la paienia neesaia paa visualiza la hipótesis aquí expuesta en su onjunto, la ual posee una oheenia intena muy elevada, peo que ha sido expuesta onológiamente siguiendo los azonamientos que pemitieon su desaollo. Po oto lado esta eintepetaión pofunda es muho más fáil que sea desaollada po un no expeto. Esto va a podui que el lenguaje utilizado puede esulta un poo hoante, po ejemplo uando se afima que la mateia esta ompuesta de ondas gavitaionales, ualquie pesona on un mínimo onoimiento de las ienia físias tendeá inmediatamente a deja de lee. Lo que petendo destaa utilizando este lenguaje es que las patíulas están onfomadas po vibaiones del espaio-tiempo, ya que al plantea las euaiones en un númeo distinto de dimensiones las onstantes vaían. En la hipótesis aquí expuesta po ejemplo la onstante G se edue a un númeo muy simila a la unidad. O bien uando se afima que el espaio-tiempo se ompota omo un fluido simila a un istal liquido no se está diiendo que el espaio-tiempo sea un istal liquido, se está popoionando al leto una visión intuitiva En ealidad intento explia que el espaio-tiempo se ompota de manea anisotópia en las dimensiones ompatadas y que la veloidad de las ondas es linealmente dependiente de su feuenia, y así on todo lo que pueda esulta extaño. Dento de esta eintepetaión las inteaiones se han efomulado totalmente, po ejemplo el signifiado de fueza eletodébil es muy difeente al utilizado nomalmente. Las apliaiones patiulaes de la teoía pueden esta equivoadas, po ejemplo, se postula que el muón está fomado po tes ondas, inluyéndolo así ente los hadones. Esto puede no se ieto, peo no debeía influi en los pinipios geneales de la hipótesis. Finalmente india que los álulos ealizados son elativamente simples y se basan en apoximaiones lineales, que no obstante onsiguen esultados muy eanos a los eales. Po tanto, este tabajo debe leese omo una exposiión de ideas que pemiten alanza los pinipios básios de la teoía uántia que debe se eintepetada a pati de azonamientos que tienen omo base la elatividad geneal que también debe se eintepetada, espeialmente el oigen de la uvatua del espaio-tiempo.

3 A. Indiios..Intoduión. La teoía de Kaluza-Klein. La teoía de Kaluza-Klein petende unifia las fuezas fundamentales de la gavedad y el eletomagnetismo mediante la intoduión de una uata dimensión espaial. Fue enuniada po pimea vez po el matemátio polao Kaluza, el ual extendió la elatividad geneal a un espaio-tiempo de 5 dimensiones. Las euaiones esultantes pueden dividise en vaios gupos de euaiones, uno de ellos se oesponde on las euaiones de ampo de Einstein gavedad, oto on las euaiones de Maxwell eletomagnetismo y finalmente un ampo esala de signifiado físio poo lao. Es dei, el meo heho de que ada patíula tenga libetad paa movese a tavés de una dimensión adiional pemite la unifiaión de la gavedad on el eletomagnetismo. A pesa de este esultado espetaula la teoía adoleía de un gave poblema, y es que, donde se enuenta esta 4º dimensión?.si el mundo poseyese 4 dimensiones espaiales la gavedad disminuiía on el ubo de la distania, iunstania que ontadie la expeienia diaia, ya que disminuye on el uadado de la distania. Con el fin de intenta explia poque la dimensión exta no afeta a las leyes físias Osa Klein en 96 popuso que la 4 dimensión espaial se enuenta uvada sobe sí misma en un iulo de adio extemadamente pequeño po debajo de 0-8 m de tal manea que una patíula que se mueva una pequeña distania en la dieión de esta dimensión debeía etona al punto de iniio. La distania que una patíula debe viaja antes de etona a su punto de iniio se define omo el tamaño de esa dimensión y esta dimensión exta se die que esta ompatada. Figua. Poeso de ompataión de una dimensión y ejemplo de omo un ilindo tidimensional apaenta un hilo unidimensional uando el adio de ompataión es sufiientemente pequeño. Po tanto a pati de ahoa debeíamos epesentamos el espaio-tiempo omo si en ada punto existiese un pequeño iulo en el ual las patíulas se pueden move libemente. En la teoía de Kaluza-Klein la pua geometía de un espaio-tiempo de 5 dimensiones vaío sin masa ondue a las euaiones de un mundo tetadimensional on masa. Lamentablemente la apliaión de diha teoía al estudio del eletón popoiona una elaión masa-aga que difiee de la expeimental unos 0 odenes de magnitud, azón po la ual fue abandonada en gan pate duante vaias déadas.

4 .Consideaiones a la teoía de Kaluza-Klein La uvatua de una dimensión exige la existenia de ota sobe la que uvase, omo puede ompobase simplemente dibujando un iulo. Si nos entamos en la hipotétia 4ª dimensión espaial de topología iula de la teoía de Kaluza-Klein tenemos opiones:. La 4ª dimensión espaial se uva sobe alguna de las dimensiones espaiales onoidas, lo que povoaía que el espaio no fuese isótopolas leyes de la Físia ambiaían según las dieiones espaiales, iunstania que ontadie la expeienia.. La 4ª dimensión espaial se uva sobe ota dimensión espaial exta también ompatada, omo po ejemplo en el aso de un tooide. Es fáil ve que, independientemente de su numeo, podemos sepaa las dimensiones en gandes gupos, las extendidas y las ompatadas. Figua. Repesentaión de una hipotétia uata dimensión espaial aollada sobe una dimensión extendida o sobe ota dimensión ompatada. 3.Signifiado físio de las dimensiones espaiales adiionales 3. La fómula elativista de la enegía. La fómula elativista de la enegía de un uepo en movimiento es: E m 0 p donde: E Enegía de un uepo en movimiento mo masa en eposo del uepo veloidad de la luz p momento lineal del uepo, igual al poduto de la masa po la veloidad. Si esibimos la enegía en funión de las omponentes de la veloidad Vx,Vy y Vz tendemos: E m0 m 0 V x m 0 V y m 0 V z euaión que sugiee que todos los uepos se mueven a la veloidad de la luz en una dieión pependiula a Vx, Vy y Vz. Po supuesto que la fomula elativista de la enegía es una euaión esala

5 y po tanto esta intepetaión no es únia, ni siquiea la más pobable, se tata solamente de un indiio. Po favo, siga leyendo, los meanismos de adquisiión de la masa ineial y gavitatoia se desaollan muho más adelante. Desde este punto de vista el témino mo se puede identifia on la enegía debida a un movimiento en el plano de las dimensiones adiionales. Fig. 3 Sistema de oodenadas ompatadas. Este movimiento a la veloidad de la luz de las patíulas elementales seía en la dieión R v. Ahoa bien, debido a la topología iula de la dimensión adiional diho movimiento visto pependiulamente desde las otas dimensiones expandidas debeía peibise omo una vibaión. Consideando la modifiaión popuesta en 93 po Albet Einstein y Otto Sten de la fomula deduida en 900 po Max Plank paa un adiado de enegía aislada tenemos: h υ E e h υ K T + h υ donde: h onstante de Plank, K onstante de Boltzman, υ feuenia T tempeatua absoluta se puede obseva que inluso a la tempeatua del eo absoluto ualquie patíula posee una enegía esidual de vibaión igual a: E h υ Podemos iguala las enegías h υ m0 Em0 y E h υ. Resultando entones: m0 y po tanto υ. Ligando la masa de las patíulas elementales a una feuenia. h

6 Si la tayetoia fuese iula y suponiendo que todas las patíulas viajan a la veloidad de la luz se puede dedui el adio de diho movimiento iula: υ π 0 ξ 0 y υ m 0 h, po tanto: h h 4πm 0 m 0 Paa el aso del eletón tendíamos ξ e h, m me donde h epesenta la onstante eduida de Plank y ξ el adio de la tayetoia iula a tavés de las dos dimensiones ompatadas. El peímeto seía: p e h m0 lo que epesenta una semilongitud de onda de D'Boglie paa una patíula que se desplae a la veloidad de la luz. 3. Intepetaión de la masa omo la invesa de una longitud. La elaión anteio popoionaía una intepetaión físia de la masa en eposo omo la invesa de una longitud. 0 h, m0 m0 en unidades del S.I. Esta intepetaión pemite un nuevo punto de vista de fenómenos ya onoidos, po ejemplo si analizamos dimensionalmente la enegía tendemos: Enegía Fueza * desplazamiento [M LT - * L][L -*LT-] [LT-] es dei, popoiona paa la enegía gavitatoia unidades de aeleaión, que oinide on el fenómeno que se manifiesta físiamente. Si analizamos dimensionalmente la densidad tenemos: Densidad Masa/Volumen [L -4 ] es dei, unidades de uvatua, oinidiendo on la teoía de la elatividad geneal que elaionaba dietamente la densidad de mateia-enegía on la uvatua del espaio-tiempo. Po oto lado si onsideamos la euaión que elaiona la uvatua esala R on el tenso de mateia8πg 8πG, es del mismo oden de impulso T tenemos: R 4 T donde el fato 4 h 43, magnitud que el fato.

7 3.4 La longitud de onda de D'Boglie. La omposiión del movimiento iula en el plano de las dimensiones ompatadas on ualquie desplazamiento en el esto de dimensiones onfomaía tayetoias helioidales Fig 4. Tayetoias eales de las patíulas en el espaio. La onda tansvesal asoiada a una patíula mateial que se moviese hipotétiamente a la veloidad de la h luz tendía una longitud de onda igual a λ 0 : m 0 Fig 5. Tiangulo de veloidades. Sin embago, paa un obsevado tetadimensional que estudiase este fenómeno le paeeía que a la patíula mateial tiene asoiada una onda de longitud de onda λ apaente igual a la poyeión sobe las dimensiones no ompatadas. De la figua 5: os α v y h λ m, luego os α 0 0 λ apa λ apa h v m0 y finalmente: λ apa

8 λ apa h m0 v Como la longitud de onda apaente es una dimensión en la dieión del movimiento apaeeá ontaído h v po el efeto elativista λ apa, que oinide on la longitud de onda de D'Boglie m0 v paa las patíulas mateiales. 3.4 Intepetaión del pinipio de inetidumbe. El pinipio de inetidumbe paa la posiión y el momento afima que x p ℏ po tanto la ℏ, si usamos la euaión elativista que liga la x enegía on el momento p m0 v uando la inetidumbe del momento supea el valo de m0 entones la inetidumbe de la enegía supeaía el valo de m0, sufiiente paa genea ota patíula del mismo tipo. Po tanto debe existi una limitaión fundamental en la inetidumbe de la posiión inetidumbe del momento debe satisfae ℏ x m0 o lo que es lo mismo p x 0. Se infiee po tanto que el pinipio de inetidumbe deiva del heho de estudia fenómenos que sueden en 5 dimensiones espaiales omo si se tatase de fenómenos on 3 dimensiones espaiales. No es de extaña po tanto que la longitud de onda Compton epesente la longitud que define el limite ente el ompotamiento omo patíula o omo onda. 3.5 Influenia ualitativa de la uvatua del espaio en fenómenos que sueden a esalas muy supeioes a la de las dimensiones ompatadas. En el análisis tadiional de la teoías del tipo Kaluza-Klein las onstantes de las leyes físias, μ 0, G,ε 0... deben vaia según el númeo de dimensiones en los que se expesen. Este onvenimiento se ha basado en onsideaiones similaes a las que se exponen a ontinuaión. Si tomamos el equivalente a la ley de Gauss paa el ampo gavitatoio en su foma integal tenemos: s E g ds 4 G m "El flujo gavitatoio a tavés de una supefiie eada es igual a la masa eneada en diha supefiie multipliada po 4πG". Si suponemos una masa puntual y onsideamos una esfea que la ontiene tendemos: 4π E g5d4πg m0 Notese que la euaión esultante es una euaión tetadimensional, ya que m0 h, y po tanto ξ0 EE L x, L y, Lz, ξ 0 Realizando un ejeiio de imaginaión podemos supone un mundo de 5D en el ual una de las dimensiones espaiales extendidas se ompatase linealmente hasta una extensión a tal y omo se muesta en la figua 6. Veamos que ouiía uando los físios de ese mundo analizasen la ley de Gauss en 4 D.

9 Fig 6. Efeto sobe la ley de Gauss al ompata linealmente una dimensión espaial. Los ientífios de este mundo plano de 4D mediían un ampo Eg y le intentaían aplia la ley de Gauss obteniendo el siguiente esultado: π E g4d4π m0 4D Igualando las euaiones en 5 y 4 dimensiones tendemos: π E g4dπa E g5d luego E g4da E g5d Como E g4d tiene que se igual a E g5d había que añadi una onstante paa que la fomula en 4D popoionase un esultado oeto: π E g4d 4π a m0, es dei apaee una onstante de gavitaión G a.

10 Como a es muy pequeño el ampo medido al ompata una dimensión es muho meno. En el aso de dos dimensiones que se ompatan en un iulo de adio a tendíamos: 4πa E g3d m0 y E gd m0 E gd πa E gd Nota: La supefiie 0D de una esfea unidimensional es igual a. Es dei al ompata iulamente una dimensión el ampo quedaía alteado en un fato igual a πa, lo que nos pemitiía estima el adio de las dimensiones ompatadas de la elaión: G π Ru Ru G m π Resulta evidente que dado que se ha utilizado la apoximaión paa espaio plano del ampo gavitatoio la estimaión del adio de las dimensiones ompatadas no puede se muy exata, peo pemitiía onoe el oden de magnitud de éstas. Po oto lado, los fenómenos que sueden a esalas infeioes siguen la ley de la invesa del ubo, po lo que apaentan tene mayo intensidad. En definitiva, la uvatua atuaía omo una lente onvegente, disminuyendo la intensidad de los fenómenos lejanos e inementando la intensidad apaente de los que sueden a esalas muy pequeñas, lo que al menos de manea ualitativa podía justifia la difeenia de esalas ente las 4 fuezas fundamentales de la Natualeza. Si tenemos en uenta que según los postulados de este tabajo las dimensiones de la masa son los de la invesa de una longitud nos quedaía [G ] L 3 M T L 4 T e intepetando el tiempo omo una longitud: [G ]L. En onseuenia la uvatua del espaio-tiempo hexadimensional justifia la elaión ente la masa ineial y la masa gavitatoia uando hablamos de fenómenos que sueden a esalas muy supeioes al tamaño de las dimensiones espaiales ompatadas. Po tanto la mayo pate de las onstantes debeían desapaee uando efetuamos los álulos en 6D. μ 0g, G, Oigen del ampo elétio. Nota: Aunque el vedadeo oigen del ampo elétio no es este, los oneptos aquí mostados son fundamentales paa la ompensión de la hipótesis en su onjunto, po lo que se desaollan aquí.

11 4. Sobe el gavitomagnetismo. Si esibimos las euaiones del gavitomagnetismo ompaándolas on las euaiones de Maxwell. GRAVITOMAGNETISMO ELECTROMAGNETISMO E 4πGρ g ρ E ε0 B 0 g B0 E Bg g t B E t B g 4πG E g jm+ t E B μ0 j μ 0 ε 0 t A pesa de las evidentes similitudes las euaiones del gavitomagnetismo se difeenian en dos signos de las euaiones de Maxwell, el pimeo india que solo pueden existi fuezas atativas ente las masas, la segunda india que dos oientes de masa que iulan en el mismo sentido se epelen al ontaio de lo que suede en el eletomagnetismo en el que se ataen. 4. Campo gavitomagnétio poduido po las patíulas elementales. Las patíulas elementales giando en tayetoias muy pequeñas a la veloidad de la luz deben podui un ampo de induión Bg onsideable povoando un ampo de fuezas que ualitativamente es simila al ampo elétio, tal omo se muesta en la figua n 7. Distinto sentido Ataión Mismo sentido Repulsión Fig 7. Ejemplo en 3 dimensiones de omo un movimiento iula de una masa puede povoa la ilusión de la existenia de una aga elétia.

12 Como habíamos visto en el apítulo anteio las leyes del gavitomagnetismo expesados en seis dimensiones no deben neesita de ninguna onstante, o, lo que es lo mismo la onstante gavitatoia en 6D debe se Ĝ. Paa alula el ampo de induión geneado po las patíulas elementales se puede asimila al ampo geneado po una espia iula. B μ0 i R Bg ig 4π G R ELECTROMAGNETISMO 5D BBL x, L y, L z, M, T * GRAVITOMAGNETISMO 6D BBL x, L y, L z, ξ, η,t * Nota: Si onsideamos la masa omo la invesa de una longitud ualquie euaión que ontenga la dimensión masa ó aga elétia, ya que la elaión aga/masa es onstante paa ada tipo de patíulas elementales se debe onsidea omo una euaión en 5 dimensiones, 4 espaiales más una tempoal. Si el ampo elétio es la expesión en 5D del ampo gavitomagnétio en 6D entones BBg μ0 R i B B g 4π G R ig la elaión ente la intensidad elétia y la intensidad gavitatoia es la misma que la elaión ente la aga y la masa de una patíula elemental. Po tanto se puede esibi: μ 0 R q m0 4π G Teniendo en uenta que hemos postulado que Ĝ y que Rξe h, me μ0 ξe qe 4π me qe, en unidades del S.I. me Si ompobamos la elaión expeimental aga-masa del eletón tendemos: 9 q e,6076 0, m0 me0 9, que difiee en un,8% del valo estimado. Po tanto, al onsidea la masa omo la invesa de una longitud es posible salva la pinipal difiultad que pesentaba la teoía de Kaluza-Klein. Es de obseva que simplemente onsideando un valo de Ĝ, se puede obtene un valo de la elaión aga-masa del eletón oeta.

13 4.3 Topología elíptia de las dimensiones ompatadas. La foma más senilla de inementa la induión magnétia manteniendo el peímeto eoido onsiste en defoma la tayetoia iula a una elipse. En efeto, si obsevamos la expesión que pemite alula la induión magnétia en el ento de una espia de oiente elíptia tendemos: B z μ 0 I l 4S donde l peímeto, S supefiie, I Intensidad elétia. Paa estima la longitud se ha utilizado la siguiente fomula apoximada: L π 3a+ b 3a+ ba+ 3b Si elegimos una espia iula de adio unidad y la defomamos manteniendo el peímeto onstante basta on elegi una espia de semiejes a,0576 y b0,8883 paa inementa la elaión longitudsupefiie y po tanto el ampo de induión magnétia B po un fato de,08068, lo que popoionaía el valo oeto de elaión masa-aga paa el eletón. Se ha estimado la longitud de la elipse obtenida anteiomente mediante la elaión: π / L4 a 0 e sin θ d θ donde e epesenta la exentiidad de la la elipse. Se ha enontado que el eo ometido al utiliza la fomula apoximada es de 3,4 0-6 po uno. No obstante es posible segui utilizando la hipótesis iula en muhos asos simplemente manteniendo la onstante Ĝ,080776, que ahoa se onsidea un fato de foma. 4.4 Ejemplo de apliaión. Momento magnétio intínseo del eletón. Veamos omo se pueden onveti las fomulas eletomagnétias 5D a gavitomagnetias 6D. La expesión del momento gavitomagnétio debeía se análogamente el poduto de la intensidad másia po la supefiie abazada po la espia. Sin embago omo las distanias involuadas son infeioes a G debemos utiliza fomulas efeidas a 6 dimensiones.

14 Paa onveti la fomula a 6D patimos de la definiión de momento magnétio. x idl Los pasos a segui son los siguientes:. Elimina onstantes salvo aquellas que povengan de las leyes de Maxwell. x idl. Dividi po paa pasa de 5D a 6D. x idli dli R 3. Utiliza la intensidad másia en vez de la intensidad elétia. i m R 4. Elimina la onstante eletomagnétia y sustituila po la gavitomagnétia, es dei, multiplia / 4π G po el fato. μ0 μ g 4π G / i m πr μ0 nº vueltas ya que habíamos postulado que el segundo πr eletón viaja a la veloidad de la luz en las dimensiones ompatadas. El flujo másio seá i m m0 υ donde υ Luego μg m0 m0 4π G 4π G πr μ 0 πr μ0 sustituyendo paa el aso del eletón y omo Ĝ, tendemos μ g 3 4π 9,09 0, , en unidades del SI. 7 4π 0 La estimaión podue un valo muy simila al magnetón de Boh, que es de 9, en el mismo sistema de unidades. Nota: La fomula anteio puede también obtenese fáilmente a pati de la expesión tadiional del m q 4π G q q q h S momento magnétio en funión del espín μ y sustituyendo h m μ0 m m m Sin embago, de momento no puede expliase el valo anómalo del momento magnétio del eletón, lo que se haá más adelante en este tabajo.

15 5. Intepetaión de los indiios. Aunque es ieto que las intepetaiones de los indiios anteioes son disutibles, en onjunto paeen apunta a un espaio-tiempo on tes dimensiones espaiales expandidas, dos dimensiones espaiales ompatadas de topología elíptia elaionadas una de ellas on la invesa de las patíulas ealmente elementales ξ y la ota, a la que hemos llamado η, íntimamente elaionada on la oodenada imaginaia del espaio-tiempo de Minkowsky. Dihas dimensiones ompatadas se enuentan en el oden de magnitud de miometos. Las onstantes G, μ, ε, et son debidas a la fomulaión en 3 dimensiones espaiales planas de un espaio de 5 dimensiones espaiales y po tanto, desapaeen o se simplifian enomemente uando se efetúan los álulos en 6 dimensiones 5 espaiales + tiempo. En este espaio las patíulas elementales se mueven a la veloidad de la luz en tayetoias elíptias en el plano de las dimensiones ompatadas on un peímeto igual al de media longitud de onda ompton, lo que oigina un ampo gavitomagnétio que es intepetado po nosotos omo el ampo eletomagnétio. Además, este gio en dimensiones extas pemite explia adeuadamente la longitud de onda de D'Boglie y el pinipio de inetidumbe. Finalmente el heho de que las patíulas se desplaen a la veloidad de la luz nos llama a postula que lo que a nosotos nos paeen patíulas en 3 dimensiones, no son sino ondas en un espaio de ino dimensiones on una topología muy espeial. Dihas ondas no pueden se de ota natualeza más que gavitatoias, ya que las oientes de masa oiginan un ampo de fuezas simila al eletomagnétio.. Esta intepetaión ha sido onoida omo Matte as gavitational waves. B. Matte as gavitational waves. 6.Las patíulas omo pulsaiones gavitomagnétias. 6. Euaión de ondas gavitomagnetias. La euaiones del gavitomagnetismo son: E 4πGρ g B 0 g E Bg g t B g 4πG E g jm + t

16 Si tenemos en uenta que hemos postulado que μ 0g tiene que se igual a la unidad paa 6D y po tanto BH podemos plantea las euaiones del gavitomagnetismo en ausenia de masas. E 0 a g H 0 b g E Hg g t H g E g d t Opeando en tenemos E Hg g t Hg E Hg po tanto g t y sustituyendo nos queda H g E g y t E E g g Eg E g t v p w La veloidad de fase viene dada po v p lo que signifia que k E Eg 0 g v p t y po tanto: Análogamente podemos obtene: H Hg 0 g vp t Si suponemos que el ampo tiene dependenia amónia on el tiempo de la foma 0 e wt se llega a la onlusión: E w Eg0 si llamamos númeo de onda k al oiente g v p E k Eg0 g senoidales. w nos quedaía: vp totalmente análoga a las euaiones de Helmholtz. y las soluiones son ondas

17 5. Euaión esala de onda gavitomagnetia en 6D. Debido a la topología del espaio las ondas gavitomagnétias no pueden desplazase libemente, sino que deben ajustase a unas ondiiones de fontea muy estitas. El fenómeno físio más paeido se enuenta en la tansmisión de las ondas eletomagnétias a tavés de ondas guía iulaes o elíptias, aunque en este aso el onfinamiento se debe a la uvatua del espaio y no a unas paedes metálias. Se va a utiliza un sistema de oodenadas ilíndio elíptio en 5D espaiales: Dimensiones espaiales expandidas: Coodenadas atesianas x,y,z. Dimensiones espaiales ompatadas: Coodenadas elíptias, las uvas on ξ te epesentan elipses onfoales, mientas que las uvas ηte epesentan hipébolas pependiulaes a las elipses anteioes. En el aso límite en que la distania foal f se anula, es dei f0,se eduen a oodenadas iulaes, donde adio ξ, angulo η Fig 0. Coodenadas elíptias. La elaión ente oodenadas atesianas y elíptias es la siguiente: x f osh ξ os η, y f senh ξ sen η La euaión de onda hexadimensional seía: 6D k H 0 El laplaiano en oodenadas ilindio elíptias es sepaable,po lo que podemos asumi que: H ξ, η, x, y, z Dξ, η F x, y, z Y omo es habitual en los álulos de ondas guía podemos desompone el númeo de onda en : k k donde β se denomina onstante de popagaión y k es el númeo de ondas de ote y epesenta la feuenia mínima paa que una onda pueda popagase po la guía. De tal foma que podemos obtene euaiones: ξ, η D ξ, η + k 0 3 D ξ, η 3D F x, y, z + β 0 F x, y, z La pimea euaión epesenta el poblema en las dimensiones ompatadas, mientas que la segunda

18 epesenta el poblema en las dimensiones extendidas. 5.3 Soluión paa las dimensiones ompatadas. Neutinos, eletón y hadones. En el sistema de oodenadas elíptias 3 puede eesibise de la siguiente manea: + D+ k D0 f osh ξ os η ξ η Y suponiendo que D puede esibise omo D ξ, ηg ξ N η nos quedaía: G k N k + f osh ξ + f os η G ξ N η que puede se sepaada mediante una onstante que llamaemos a No onfundi on el semieje mayo de la elipse G ' ' a q osh ξg0 N ' ' a q os η N 0 donde se ha definido: k f y la onstante de sepaaión a solo depende del paameto q, es dei a aq. q 4 Es notable obseva que paa el aso límite en que q0 todas las soluiones se eduen a las ya onoidas omo funiones de Bessel. La segunda euaión epesenta la dependenia angula de la euaión anteio y es onoida omo euaión de Mathieu, mientas que la pimea euaión epesenta la dependenia adial y es onoida omo euaión modifiada de Mathieu. Si suponemos que los eletones son ondas gavitatoias paa el aso de un eletón en eposo tendíamos que la onstante de popagaión β0, en ese aso: k 0 k k Si asoiamos esta feuenia de ote a la vibaión que pesentan todos los eletones entones tendíamos: π donde la longitud de onda debe se igual al peímeto del movimiento iula de los λ h eletones, es dei: lo que onlleva que: m 0 k

19 k k π 4 π m0 m0 λ ℏ h El onfinamiento de las ondas no se podue po el hoque onta unas paedes metálias, sino que es debida a la uvatua de las dimensiones ompatadas. En estas ondiiones se postula que k sea imaginaio. k m 0 i ℏ Po tanto la soluión de la euaión de onda en el plano de las dimensiones ompatadas es una onda estaionaia que se puede expesa mediante ombinaiones de funiones evanesentes de Mathieu de k f oden semienteo y paámeto q negativo. Estas funiones pueden se paes o impaes, y de 4 pimea o segunda espeie.en la siguientes páginas se han epesentado las posibles fomas de estas soluiones. SOLUCIONES TIPO I funión impa de pimea espeie de oden / I o / k ξ, q Nótese que Ie 0,-q no es nulo. funión pa de pimea espeie de oden / I e / k ξ, q

20 SOLUCIONES TIPO II funión impa de segunda espeie y oden/ K o / k ξ, q funión pa de segunda espeie y oden / K e / k ξ, q h Apate de las soluiones anteioes es posible ombina ambas en la oodenada ξ0 m0 on el fin de obtene : SOLUCIONES TIPO III G ξ I o / k ξ, q I o / Si 0 < ξ < ξ 0 ξξ, q 0 funión evanesente de Mathieu de pimea espeie, oden ½ Si ξ > ξ 0 G ξ K o/ k ξ, q K o/ ξξ, q 0 funión evanesente de Mathieu de segunda espeie,oden ½ SOLUCIÓN IMPAR If 0 < ξ < ξ 0 G ξ I e/ k ξ, q I e / ξξ, q 0 funión evanesente de Mathieu de pimea espeie, oden ½ If ξ > ξ 0 ξξ, q G ξ K e / k ξ, q K e / 0 funión evanesente de Mathieu de segunda espeie,oden ½ SOLUCIÓN PAR

21 Dado que no existen paedes, sino que el onfinamiento de la onda es poduido po la uvatua de las dimensiones ompatadas, la ondiión de ontono es que el ento de gavedad de el uadado de la h onda se enuente en la oodenada ξ 0 m0 on el fin de ajustase a uno de los postulados fundamentales de la hipótesis. Esto implia que el poduto k ξ 0 debe se igual a la unidad. Las soluiones a la euaión angula de Mathieu son las funión angula pa e impa de Mathieu de oden ½ también onoidas omo seno y oseno elíptios. En la figua siguiente se ha epesentado una soluión impa IoKo y ota pa IeKe on el fin de tene una visión intuitiva. Soluión IeKe Soluión IoKo Nótese que dadas las ondiiones de ontono existe la posibilidad de tene una únia onda desplazándose en una dieión, omo las epesentadas anteiomente, o tene dos ondas desplazándose en dieiones opuestas. Más adelante se veá que el pime aso oesponde a los femiones y el segundo a los bosones. Podemos utiliza la topología iula paa alula el momento angula de las patíulas elementales atibuible a su gio en las dimensiones ompatadas: Lm vme me ℏ ℏ me En base al esultado anteio es pátiamente inevitable asigna la popiedad uántia de espín a la onda estaionaia de las patíulas elementales en las dimensiones ompatadas, identifiándolo on la onstante ms, el signo de esta onstante epesenta la difeenia de fase y el difeente sentido de gio expliaía la difeenia ente eletones y positones. Eletón espín +/ Eletón espín -/

22 Positón espín -/ Positón espín +/ Fig 7. Repesentaión intuitiva del espín del eletón en el aso de funiones impaes. Es fáil ve que se puede extapola el esultado paa estima el momento angula de gio a patíulas on difeente espín, esultando: L sm s ℏ Sin embago esta definiión del espín no puede explia los expeimentos de vaiaión del espín mediante gios en las dimensiones extendidas. Más adelante Punto 4se popoionaá una soluión satisfatoia a este poblema. Las funiones I y K de oden semienteo no se enuentan esueltas en la liteatua, po tanto no nos queda más emedio que apoxima: I O I O K O K O I I e e K K e e Cuando q entones a ½ a y po tanto la apoximaión anteio está plenamente justifiada, en el esto de asos debe onsidease una apoximaión ualitativa: La omputaión de las funiones de Mathieu se ha ealizado numéiamente mediante la suma de podutos de funiones de Bessel MLahlan. Theoy and appliations of Mathieu funtions. Paa valoes de q infeioes a 000 se ha podido efetua los alulos en otave apovehando las failidades de la libeía Mathuwave, disponible paa su desaga gatuita en Intenet. Paa valoes supeioes de q los algoitmos de la libeía Mathuwave se han implementado en Javasipt utilizando un sistema numéio logaítmio on el fin de pode maneja númeos más gandes que los que pemite el sistema de oma flotante de 3 bits. El ódigo fuente esta disponible bajo petiión en el mail de la pimea página. La epesentaión de los valoes del ento de masas de las difeentes soluiones paa valoes de q infeioes a 000 es:

23 ,, 0,9 I-K odd I-K even I even I odd 0,8 0,7 0,6 0,5 0,0 0, Podemos epesenta on más detalle,0 0,99 0,98 Columna B 0,97 0,96 0,95 0,

24 Los valoes de q que umplen on las ondiiones de ontono dento de las apaidades del pogama infomátio 0 < q < e9 han sido los siguientes: Tipo q Io -0,0586 Ie -0,0785 IoKo -5,5 IoKo -435 Ejemplo de soluión tipo IoKo paa las dimensiones ompatadas. Es destaable que uando q tiende a menos infinito el ento de masas de las soluiones IoKo e IeKe tienden asintótiamente al valo de uno po debajo. Paa pode intepeta estos esultados vamos a estima el valo del paámeto q del eletón. k m 0 9, i i5, i 34 ℏ, omo el adio de las dimensiones ompatadas se había estimado en: u G 3, m y supuesta una topología elíptia de paámetos π a,0576 u b0,8883 u Se puede alula el foo de la elipse mediante la expesión: f a b u,0576 0,8883, m y po tanto el paámeto q valdá: q 6 k f,46 0 5, , Diha soluión quedaía po tanto fuea de las apaidades del pogama desaollado al efeto, peo a la vez nos pemite identifia las anteioes soluiones omo neutinos y estima sus masas.

25 Patíula Tipo q m/me m estimada e Io -0,0586 4, ,06 ev u*e Ie -0,0785 5, ,057 ev u u μ IoKo -5,5,85 0-6,46 ev u t IoKo ,75 0-6,9 ev e+,- IoKo -3, , MeV * La dos pimeas soluiones pueden se asignadas al neutino eletónio. Dado que las soluiones tipo III uando q - tienden asintotiamente a la unidad po debajo, es dei, su valo es de 0,9999 es posible postula que puedan existi soluiones omo ombinaión lineal de una soluión tipo III on q muy elevados on alguno de los neutinos anteiomente identifiados, lo que pemitiía que el ento de masas de la ombinaión lineal se sitúe en la oodenada ξ 0 h. Dihas m0 soluiones tendían una masa muy simila, aunque pedominaía la más ligea. El onjunto de estas tes soluiones daía omo esultado al eletón. Figua. Las ombinaiones lineales de las soluiones tipo III onfomaían al eletón. De ualquie foma la existenia de los hadones no puede se justifiada mediante estas soluiones. Con el fin de pemiti la existenia de los hadones se postula que el univeso pesenta un agujeo ental, de tal foma que las soluiones tipo II pueden existi omo ondas de supefiie en el límite inteno del Univeso.

26 Apaienia de las dimensiones ompatadas. Nótese que no son tayetoias eales, sino la apoximaión de ayo de las vibaiones. Po si solas, la soluiones tipo II no pueden satisfae las ondiiones de ontono impuestas el ento de h masas del uadado de la funión de onda debe enontase en la oodenada ξ 0 m0 y po tanto deben apaee en ombinaión lineal on alguna de la soluiones estables anteioes.

27 SOLUCIONES TIPO IV. PARTONES q qa qb q qd Se ha asignado la leta del alfabeto íbeo q a las ondas de supefiie tipo II, ponuniada omo ko, y omo nombe patones. Dado que la masa de una ombinaión lineal debeía enontase ente la masa de las ondas onstituyentes y debido a la gan difeenia de masa existente ente los eletones y los neutinos paee evidente que los patones debeían lasifiase en patones pesados qa y patones ligeos. qb d. Además la masa de los patones dependeá fundamentalmente del valo del adio inteio del Univeso. Po tanto, todas las patíulas debeían se obtenidas mediante ombinaiones lineales de alguna de estas soluiones. Más adelante se justifiaá el poque no pueden existi los patones po sepaado, sino que deben existi en ombinaiones que asimilaemos a los hadones.

28 Finalmente, el fenómeno de el aoplamiento de ondas pemitiía explia las osilaiones ente los difeentes tipos de neutinos y aún ente los difeentes tipos de patones Soluión paa las dimensiones extendidas. Seguimos soluionando el esto de vaiables, si eodamos 3D F + β0 entones podemos onsidea asos: F CASO A. PARTICULA-PULSACIÓN INMOVIL. β0 Tenemos entones: 3D F 0 8 de soluiones: F F onstante C 9 F C x y z 0 Es notable obseva que 0 es totalmente análogo a los poteniales gavitatoio y elétio. Sin embago la soluión no es valida si xyz0, ya que popoiona valoes infinitos. Po oto lado, al afima que las patíulas son las vibaiones del espaio-tiempo la soluión de 0 no puede extendese hasta el infinito, ya que su integal nos popoionaía valoes infinitos. Se popone po tanto la siguiente foma paa la soluión: Si λ F C Si λ > < f F C x + y+ z +C 3 Si > f F 0 donde λ es la longitud de onda Compton del eletón y f el tamaño máximo de la pulsaión. Mas adelante veemos que f epesenta la distania máxima en las uales la patíula puede influi en las

29 demás. Si, ota heejía. Esta distania es muy gande, peo no infinita. La soluión puede se epesentada de la siguiente manea: Fig 4. Soluión en funión de paa una patíula-pulsaión inmóvil. Es de obseva que una pulsaión gavitomagnétia hexadimensional debido a las estiiones que impone la topología del espaio apaee omo una fuente huea de ampo gavitatoio y elétio en un espaio tetadimensional. Una vez onoida la soluión paa las dimensiones extendidas del potenial gavitatoio o elétio de una patíula en eposo podemos alula la enegía del ampo elétio del eletón. La enegía seá igual al poduto del potenial po la aga elétia, teniendo en uenta que paa distanias infeioes a la longitud de Compton el potenial es onstante y po tanto no apota nada a la integal y suponiendo que el potenial es eo en el infinito la enegía total seá: e e 4 π ε0 h omo λ entones m E E m e e 4 π ε0 h Este esultado se puede expesa en funión de la onstante de estutua fina a. Si multipliamos y dividimos po π nos queda: E a m e π E a me π Luego la masa asignable al ampo elétio seá igual a a m π e Como esta masa no apota nada a la aga elétia debeemos modifia la onstante G ' a Llamando m' a la masa del eletón una vez desontada la que petenee a su ampo elétio y G la nueva estimaión de la onstante gavitatoia en 6 D podemos esibi análogamente a lo que habíamos popuesto en el punto 4.: q 4π G y teniendo en uenta que m ' a m tendemos que: π h m '0 μ 0 m 0 ' G a π ' Podemos ahoa estima el momento magnétio on la nueva masa y el nuevo valo de G ' G

30 ' m '0 4π G μg μ0 G μ g 4π m a π a π μ0 0 μg m0 4π G μ0 a π a π lo que oinide on la oeión del loop del pime oden que se obtiene en la eletodinámia uántia. es dei μ g μb Sin embago, los expeimentos de satteing ontadien esta soluión, pues onfiman que los eletones se ompotan omo agas puntuales, omo es posible esto?. Si se tatase de patíulas en el sentido lásio de la palaba, la teoía debeía se desatada, peo al onsidea a los eletones omo vibaiones es posible soluiona el enigma. Si onsideamos un eletón sometido a hoque, la aeleaión no puede se instantánea, la enegía debe po tanto se almaenada, peo donde?. No existe más posibilidad que en la misma vibaión que onfoma la patíula, inementando su masa, o lo que es lo mismo, eduiendo la distania en la que se pesenta un potenial onstante. Los difeentes tonos de azul epesentan la vaiaión en la pulsaión onfome es exitada. Dado que paa inementa la esoluión del satteing es neesaio inementa la enegía de las patíulas el agujeo ental seá más pequeño uanto más enegétios sean los fotones inidentes, impidiendo po tanto su deteión po este método. CASO B. PARTICULA-PULSACIÓN EN MOVIMIENTO UNIFORME 3D F + β0 F Si onsideamos un movimiento unifome a lo lago del eje Z se popone la siguiente soluión: Si x + y + z λ F C 4 Senβ z

31 Si x + y + z >λ F C 5 Sen β z log C 6 x + y Es dei, el poduto de una onda plana po un potenial bidimensional en el plano pependiula al movimiento. Fig 5 Soluión fontal paa una patíula-pulsaión libe on movimiento unifome. Si obsevamos un eletón de fente nos vuelve a apaee omo una fuente de ampo gavitatoio y elétio. Peo visto tansvesalmente al movimiento apaee omo una onda. Fig 6. Soluión tansvesal paa una patíula-pulsaión libe on movimiento unifome. Como podemos ve, las patíulas se ompimen po efeto del movimiento en el eje Z. 6. Meanismos de inteaión ente ondas. Aunque nomalmente se onsidea que las ondas no inteaionan ente sí en el mismo sentido en el que inteaionan patíulas, po ejemplo, la ealidad es que la existenia de efetos no lineales puede modifia el medio en el que se tansmiten las ondas, espeialmente en el aso de ondas estaionaias. Paa pode pofundiza más en estos oneptos audiemos a analogías meánias. Obsevemos las ondas estaionaias que se poduen en una ueda tensa.

32 La expesión de la Enegía inétia es: E / μ y /μ ω A sen kx osω t t mientas que la enegía potenial es: y E p/ T / T K Aos kx senω t x Es fáil ve que se enuentan desfasados π/. En los antinodos la enegía inétia es máxima, peo su enegía potenial es eo, es dei la ueda no se defoma, sin embago en los nodos la enegía inétia se anula, mientas que la enegía potenial se hae máxima. Esto poduiá en la ueda dos efetos: Vaiaión de la longitud media Se estia Cuvatua del espaio. Vaiaión de la tensión media Aumenta Vaiaión veloidad de tansmisión de las ondas. Ota analogía que puede onsidease es el sonido onda longitudinal donde también es posible obseva dos ondas desfasadas ente sí π/, la de pesión y la de veloidad. En los nodos de la onda de veloidad la pesión media es máxima, mientas que en los antinodos de la onda de veloidad la pesión media es mínima. Este efeto pemite la levitaión aústia. En la figua están epesentados la onda de veloidad, la onda de pesión y las zonas de estabilidad paa la levitaión de pequeños objetos.

33 Al existi un gadiente de pesión existe un gadiente de índie de efaión la veloidad del sonido aumenta en los nodos de veloidad y una uvatua del espaio dilataión en los nodos de veloidad. Esto supone que ualquie onda viajea que ataviese la onda estaionaia quedaá desviada ligeamente. En el aso de las ondas gavitatoias y debido a que la soluión pesenta enegía negativa los efetos seán ontaios, es dei: Disminuión de la veloidad de popagaión de las ondas. Contaión del espaio. La soluión de Shwazshild paa las euaiones de ampo de Einstein nos popoiona los efetos: Contaión del espaio: ' 0 t Ralentizaión del tiempo t ' 0 donde 0 Gm La alentizaión del tiempo supone de heho la eaión de un gadiente de índie de efaión, ya que uanto más lento avanza el tiempo menos veloidad efetiva pesenta la luz en elaión a un punto situado en el infinito. En ealidad si se aepta que todo está fomado po ondas no podemos distingui ente una alentizaión del tiempo o una disminuión de la veloidad de popagaión de las petubaiones. Si, ota heejía más Es de obseva que este efeto no impliaía una vaiaión de la veloidad de luz en el vaío absoluto, sino una disminuión de la veloidad de la luz al atavesa una patíula-pulsaión, al igual que la veloidad de la luz disminuye al atavesa difeentes medios. Supongamos una patíula-pulsaión inmóvil en un ampo gavitatoio. Si utilizamos la apoximaión de ayo podemos alula su tayetoia on elativa failidad;si onsideamos que debido a su inmovilidad la uvatua del espaio no debe se tenida en uenta podemos estima ahoa el índie de efaión apaente debido a la dilataión gavitatoia del tiempo, que seá igual al oiente ente la veloidad del tiempo en el infinito y la veloidad del tiempo en el punto a estudia:

34 t n v t' 0 t 0 t / Una vez onoida la ley que ige n en funión de esulta senillo alula el adio de uvatua que pesentaá ualquie tipo de adiaión al tansmitise en diho medio. d dn ρ dr ln n n dn n n N donde ρ adio de uvatua, N Nomal al ayo. Debido a la simetía esféia del poblema el gadiente de n seá: d n 0 d Sustituyendo nos queda: ρ 0 [ ] N simplifiando y teniendo en uenta que po definiión 0 d 0 ds d ρ ds podemos esibi: N Paa el aso de una patíula inmóvil en la supefiie de la Tiea se pueden hae las siguientes simplifiaiones: 0, N

35 Luego nos queda: d 0 ds Si tenemos en uenta que el ayo avanza a la veloidad de la luz es posible esibi: st ; ds d s ; 0 dt dt y apliando la egla de la adena paa onveti la deivada on espeto al ao en deivada on espeto al tiempo d d d s d d s d + ds dt ds dt ds dt Sustituyendo: d GM dt d GM g obteniéndose la euaión de Newton. dt Es destaable que en el aso de patíulas no estátias seía neesaio tene en uenta la ontaión del espaio. Veamos en esta oasión un aso en el que el gadiente de veloidad del tiempo se podue po veloidad. Si suponemos un diso que gia on veloidad angula ω tendemos que la veloidad del tiempo sea distinta según la distania a su ento. En efeto: v Δ t ω n Δ t, y eodando que vω El gadiente de n seá entones: n Como [ d ω d ] ω ω 3 d dn tendemos que: n N ρ dr ln n n dn n ω ω ρ Paa el aso no elativista d ω ds ω y po tanto: ω ρ ω ω ρ

36 Si tenemos en uenta que la patíula a la veloidad de la luz en las dimensiones ompatadas es posible esibi: st ; ds ds ; 0 dt dt y apliando la egla de la adena paa onveti la deivada on espeto al ao en deivada on espeto al tiempo d d d s d d s d + ds dt ds dt ds dt Sustituyendo: d ω a ω dt Es dei, la fomula tadiional de la aeleaión entípeta. Paa el aso elativista tendíamos que: d ω ω dt ω a ω, Esta aeleaión se obsevaía loalmente, desde nuesta posiión estátia y debido a la dilataión tempoal lo que mediíamos seía: ω a ω Po tanto la dilataión tempoal y la ontaión del espaio povoadas po las ondas estaionaias en las dimensiones ompatadas son el oigen de la gavedad y de otos fenómenos, omo la fueza entífuga. En Matte as gavitational waves. Dak Enegy. E. López 04. se muesta que la expansión del Univeso que se efleja en la ley de Hubble povoa un gadiente de veloidad del tiempo, lo que oigina una fueza de epulsión ente las patíulas independiente de la masa. La existenia de esta fueza popoiona un valo paa la onstante osmológia de m- ompatible on los ultimos datos expeimentales. Oto posible efeto no lineal onsiste en el aaste del fluido en la dieión de popagaión de la onda p.e. steaming aústio. Este aaste popoiona una expliaión intuitiva de las fuezas que apaeen ente oientes de masa paalelas.

37 Ilustaión : Fueza apaente de epulsión Ilustaión : Fueza apaente de ataión La soluión de Ke a las euaiones de ampo de Einstein popoiona una expesión analítia paa este efeto, el ual es onoido en elatividad omo fame-dagging o aaste de mao.la veloidad angula de aaste del espaio-tiempo en el plano euatoial de una masa en otaión es: ma J ω Φ t +a donde m masa, adio, a m Si estudiamos el aso en que >>>a podemos esibi la veloidad lineal de aaste omo vω m a +a Constante, es dei la fueza de ataión-epulsión disminuye on el uadado de la distania..de heho en la métia de Ke viene implíito uno de los postulados de esta hipotesis, en efeto si onsideamos la soluión de luz estaionaia paa un eletón nos quedaía: e Gm + Gm a Como a>>>gm entones podemos esibi: e a i h / h J i i iξ0 i m m m Es de obseva que el aáte imaginaio del adio puede intepetase omo una dieión pependiula a todas las demás.

38 Luego el aaste del fluido justifia fuezas de ataión-epulsión que disminuyen on el uadado de la distania, y en el que el sentido de desplazamiento de la onda povoa la apaiión de dos agas que se ataen si son de difeente signo y que se epelen si son del mismo signo. Po tanto, el aaste de fluido povoa fuezas análogas a la elétia. Reodemos la foma de las soluiones a la euaión de onda gavitomagnétia paa las dimensiones ompatadas. El aaste se poduiá a difeentes valoes de la oodenada ξ, es fáil ve que el neutino eletónio inteaionaá muy débilmente on el esto de patíulas, mientas que los eletones y los otos neutinos inteaionaan úniamente onsigo mismos o on los patones que los ontengan. La intensidad elativa de estas inteaiones también puede se obsevada. Es impotante eala que los patones solo existen omo ombinaiones lineales on el esto de patíulas, po lo que las difeentes ombinaiones tendán difeentes inteaiones. Po ejemplo el patón qa se veá afetado po la gavedad ambios en el índie de efaión y defomaiones del medio de popagaión, po fuezas eletomagnétias y po aaste de la onda de supefiie fuezas eletofuetes. Po la misma azón esta patíula no inteaionaá on los demás neutinos, exepto mediante la gavedad. Análogamente el patón q debeía se afetado po la gavedad y po fuezas eletodébiles y eletofuetes, peo no po fuezas eletomagnétias. Este patón inteaionaa débilmente on los neutinos muónios y muy débilmente on los neutinos eletónios, peo no on los neutinos tauonios. Anteiomente habíamos deteminado la elaión ente la masa y la aga de las patíulas elementales basándonos en onsideaiones gavitomagnétias. q patón m patón qν e q ν qν me mν mν m ν t t μ μ e e Sin embago, si suponemos que las fuezas elétias povienen del aaste del espaio-tiempo esta elaión no puede se ieta. Debido al meanismo de inteaión la longitud del movimiento eado de las patíulas no debe influi, sino úniamente debe influi la veloidad de aaste. En el análogo del steaming austio la veloidad de aaste es dietamente popoional a la intensidad de la onda en el aso de un pedominio de los téminos visosos o dietamente popoional a la aiz uadada de la intensidad de la onda en aso de un pedominio de los téminos ineiales. Saling and dimensional analysis of aousti steaming jets. Valey Botton, Bahim Moudjed, Daniel Heny, Hamda Ben-Hadid, Jean-Paul Gaandet04. Si suponemos que la intensidad de la onda es dietamente popoional a la masa de la patíula tendemos un ango de agas posibles paa las difeentes patíulas en funión de su masa.

39 Si pedominan las fuezas ineiales q patón m 0,5 patón qν qν qν e 0,5 0,5 0,5 0,5 me m ν mν mν t μ e t μ e si pedominan las fuezas visosas qν q patón e q ν q ν m patón me mν mν mν μ t t e μ e o si existe un equilibio ente fuezas visosas e ineiales, que es quizás el más pobable poque popoiona paa los patones un aga muy simila a la aga de Plank. Nota: El ompotase omo si existiese visosidad no implia la existenia de pedidas de enegía po ozamientos en el espaiotiempo q patón m 0,75 patón qν qν qν e 0,75 0,75 0,75 0,75 me mν mν mν t t μ μ e e Debeíamos habla de ulombios eletodébiles, ulombios elétios o ulombios eletofuetes, según el aso. A ausa de onsideaiones que se desaollaan más adelante en este atíulo se asignando una masa de,87 MeV/ a los patones ligeos y de,9 MeV/ a los patones pesados. Patiulapulsaión masa Tipo de inteaión Rango de aga En Caga más pobable En ulombios equivalentes ulombios equivalentes u e 0,06 ev ELECTRODÉBIL 7, 0-7 3, ,9 0-5 u μ,46 ev ELECTRODÉBIL 4,59 0-5,7 0 -, 0-3 u t,9 ev ELECTRODÉBIL 6, , 0 -, e+,- 0,5MeV ELECTROMAGNETICA,60 0-9, q0 ligeo,87 MeV ELECTROFUERTE 7, ,73 0-8, q +,- pesado,9 MeV ELECTROFUERTE 8, ,06 0-8,8 0-8

40 7.Disusión. Signifiado físio de la meánia uántia 7. Conepto de patíula. Oigen de la ineia. Es notable obseva que la soluión de la euaión de onda gavitomagnétia paa una pulsaión libe apaenta se una patíula fontalmente, ya que apaee omo una fuente de ampo gavitatoio y elétio, peo visto tansvesalmente justifia plenamente su ompotamiento ondulatoio. hipótesis de D'Boglie. De esta foma, si onsideamos a las patíulas elementales omo pulsaiones gavitomagnétias podemos explia: El expeimento de la doble endija, en el que ada eletón efetivamente intefiee onsigo mismo. El efeto Ahaonov-Bohm, en el ual un eletón se ve influido po un ampo magnétio onfinado en un solenoide tiene expliaión simplemente onsideando que pate de la pulsaión que epesenta el eletón ataviesa el solenoide, quedando po tanto afetado. El que se onsidee al eletón omo un objeto sin dimensión puntual, sin ninguna estutua intena. Po oto lado, esto onlleva a la ausenia de la aión a distania. El ampo de fueza de las patíulas se peibe poque efetivamente estamos atavesando las pulsaiones que onfoman las patíulas. Paa detemina el oigen de la ineia esulta muy inteesante obseva la popagaión de las ondas eletomagnétias en una guía de ondas omo las que se utilizan paa tansmiti señales eletomagnétias. Las ondas uya feuenia es infeio a una feuenia mínima, denominada de ote, no se tansmiten, mientas que las de feuenia supeio se tansmiten a una veloidad mayo uanto más alta es su feuenia, es dei, las pulsaiones más enegétias pesentan una veloidad de gupo mayo. El modo de popagaión de una onda uya feuenia sea ω en una guía de onda on una feuenia de ote ω0 viene dada po la siguiente elaión: 0 La veloidad on la que efetivamente se tansmiten la infomaión y la enegía dento de una guía de onda viene epesentada po la veloidad de gupo, que se define omo la deivada de la feuenia on espeto al modo de popagaión dω/dk. Deivando la expesión anteio on espeto a ω tenemos: d d 0 así que la veloidad de gupo de una onda de feuenia ω en una guía de onda on una feuenia de ote ω0 es: v g d 0 0 d

41 y eodenando tenemos: vg 0 0 v g 0 v g y po tanto: 0 vg Si multipliamos po la onstante de Plank h tenemos: h 0 h v g E nos queda: y eodando que la enegía de una onda viene dada po la expesión Eh E0 vg Es dei, de una manea bastante sopendente una onda eletomagnétia adquiee las mismas popiedades que una patíula mateial uando es guiada po una estutua metália o po otas ondiiones de ontono, omo es el aso de la fiba de vidio. Este es el oigen de la masa ineial. Como además las ondas estaionaias pueden inteaiona ente ellas mediante tes meanismos, la alteaión del índie de efaión apaente dilataión del tiempo, la ontaión del espaio uvatua del espaio y el aaste del medio de popagaión aaste de mao se va a aepta que las patíulas elementales están onfomadas uniamente po ondas, que apaentan se patíulas uniamente uando se las obseva a gan distania en elaión al tamaño de las dimensiones ompatadas, debe abandonase po tanto la onepión dual de la mateia. 7. Euaión de Klein-Godon. Longitud de onda de D'Boglie. Si patimos de la euaión de onda gavitomagnétia en 6D tenemos: 6D k H 0 m0 Como k i + β podemos esibi: ℏ La veloidad de gupo se define omo: v g [ ] m0 + i + β H 0 a ℏ 6D v g f 0 f 0 Si tenemos en uenta que f 0 podemos esibi: v g vg

42 Consideando que k y sustituyendo en a ω m 0 i + v g ω ℏ ω ω [ ] vg m0 i ℏ, omo vg tenemos m [ ε ] 0 i ℏ y eodando que hemos postulado que k ea imaginaio tenemos : k m0 m0 m i, si tenemos en uenta que ℏ y sustituimos en la euaión de onda tendíamos entones: m i H 0 simila a la euaión de Klein-Godon independiente del tiempo. ℏ 6D Esta euaión debe esolvese paa seis dimensiones, no paa uato, po eso esta euaión faasó uando se aplió al átomo de hidógeno. Si multipliamos y dividimos po nos queda: Enegía onda m0 k i i ℏ ε ℏ Esta ultima elaión nos va a pemiti esolve la euaión de onda de los eletones uando están sometidos a un ampo de fuezas. Po oto lado si volvemos a la euaión: k m0 m0 i y teniendo en uenta que k i +β ℏ ℏ Podemos esibi m0 m i 0 i ℏ ℏ [ ] [ ] [ ] m0 m0 m0 i i i Po tanto ℏ ℏ ℏ Luego: [ ] m0 i y omo ℏ vg nos queda finalmente:

43 [ ] m0 v g i ℏ La longitud de onda asoiada al modo de popagaión seá: ℏ h i i m0 v g m0 v g Finalmente tendemos: h i lo que epesenta una semilongitud de onda de D'Boglie. m0 v g

44 8. Apliaión de la euaión de onda gavitomagnétia al átomo de hidógeno. 8. Euaión de onda paa el átomo de hidógeno. Si utilizamos un sistema de oodenadas esféias paa las dimensiones extendidas y iula paa las ompatadas y onsideamos un potenial elétio tidimensional la euaión de onda seía: 6D k H 0 donde k E onda i ℏ La enegía total de la pulsaión tendá los siguientes téminos: Enegía de la pulsaión en eposo: E 0m E Enegía inétia: Como la enegía inétia no es onoida a pioi y el eletón se va a move en un ampo potenial elétio podemos expesala omo la difeenia ente: Em Enegía meánia: Enegía potenial elétia. Si onsideamos que debido a su gan masa on espeto al eletón el potón se mantiene inmóvil podemos expesa la enegía debida al ampo elétio omo E ELEC Q q e Po tanto tendemos que: E k onda i ℏ e 4 πε 0 m+ E m ℏ e m + E m e y si llamamos a i i ℏ 4 0 ℏ ℏ 4 π ε0 podemos esibi: m + E m a H H 0 ℏ 6D Desaollando tenemos: H m 4 E m E m m a m a E m a H 0 ℏ ℏ ℏ ℏ ℏ agupando nos queda: E m m E a a Em a H H m H H H 0 ℏ ℏ ℏ ℏ ℏ Se puede soluiona mediante sepaaión de vaiables

45 H ξ, η, x, y, z Φ ξ, η Ψ,θ, φ que pemite sepaa los laplaianos utilizando el mismo postulado que en el punto 5.. ξ,η Φ m Φ0 De soluión análoga a la de la patíula libe. ℏ [ ] E m Em a m E m a a Ψ Ψ Ψ0 ℏ ℏ ℏ ℏ, θ, φ Ψ I II Saando fato omún en II Ψ [ ] E m Em a m E m a a Ψ Ψ Ψ0 ℏ ℏ ℏ ℏ En el aso no elativista m > > > E m y el témino m E m a Ψ y po tanto podemos esibi: ℏ ℏ Ψ m 0 E m a a Ψ Ψ0 ℏ ℏ [ ] E m E m a Ψ es despeiable fente a ℏ ℏ

46 8. Euaión de Shodinge. Si esibimos la euaión de Shodinge tenemos: i ℏ t m0 Si tenemos en uenta que i E Ψ Ψ nos queda: t ℏ E ℏ y despejando y eodenando tendíamos: ℏ m0 m 0 E 0 ℏ ℏ que pesenta evidentes analogías on la euaión anteio. 8.3 Resoluión de la euaión paa las dimensiones extendidas. Caso no elativista. Si patimos de la euaión: Ψ m 0 E m a a Ψ Ψ0, apliando el laplaiano en esféias tenemos: ℏ ℏ Ψ Ψ Ψ m 0 E m a a + Sen θ + Ψ Ψ0 θ ℏ ℏ Senθ θ Sen θ φ Si desomponemos Ψ,θ, φ R P θ T φ tenemos entones: m 0 E m a a R ' PT + Sen θ RP ' T + RPT ' ' RPT RPT 0 ℏ ℏ Sen θ θ Sen θ Si multipliamos po Sen θ RPT m 0 E m a Sen θ d Sen θ d T'' a R' + Sen θ P ' + Sen θ Sen θ 0 R d P dθ T ℏ ℏ Como tenemos un témino que solo depende de φ y la suma debe se onstante po fueza tenemos que:

47 T'' te m l T y uya soluión es: T φ C 4 e i m φ on ml semienteo. l Sustituyendo entones y dividiendo po Sen θ ml m 0 E m a d d R' + Senθ P ' a 0 R d P Senθ d θ ℏ ℏ Sen θ Ya tenemos sepaadas las vaiables. d m 0 E m a R ' a l l+ R d ℏ ℏ ml d Sen θ P ' l l+ P Sen θ d θ Sen θ Como l l podemos esibi: d m 0 E m a R ' l l+ a R d ℏ ℏ m d Sen P ' l l l b P Sen d Sen T'' m l T La euaión b se tata de la funión asoiada de Legende, que junto on la euaión popoiona la soluión de los amónios esféios. Las ondiiones de ontono estingen la soluión a l0,,,... junto on la ondiión 0 ml l En pinipio ml puede adopta valoes semienteos, peo los polinomios de Legende de oden semienteo pesentan valoes infinitos paa θ, po lo que no pueden tene signifiado físio. Vamos a analiza la euaión a paa detemina los niveles de enegía: Si apliamos la egla de la adena y eagupamos R ' + R ' ' m 0 E m ℏ m 0 a Rll+ R ℏ Definimos la funión u R u ' R ' + R u ' ' R' + R ' ' + R ' R ' + R ' ' lo que nos pemite esibi los dos pimeos téminos de foma simplifiada:

48 R ' + R ' ' R ' + R ' ' u ' ' y po tanto: u ' ' m 0 E m ℏ m 0 a l l + + u0 ℏ Si ealizamos un estudio asintótio de la funión anteio uando se puede esibi: u ' ' m 0 E m ℏ u0 si llamamos β m E ℏ podemos esibi: u ' ' β m 0 a l l+ + u0 ℏ Dividiendo po β: m a l l+ u' ' 0 + u0 β β ℏ β Como apaee siempe multipliado po β podemos ealiza el siguiente ambio de vaiable ρ β definiendo la funión Uρ: U ' ' m 0 a l l+ + U 0 βℏρ ρ Si llamamos ρ0 m0 a βℏ tenemos U ' ' ρ0 l l+ + U 0 d ρ ρ La euaión d apaee en foma muy simila en la esoluión de la euaión de Shodinge adial del átomo de hidógeno y puede enontase su esoluión en la liteatua mediante su estudio asintótio y posteio desaollo en seie. La ondiión paa que la seie de téminos no sea infinita es que paa algún valo de j se umpla la igualdad siguiente: j+ l+ ρ0 donde j es un númeo enteo. si llamamos n j+ l+ nos queda: nρ0

49 Si eodamos las definiiones: m 0 a m E m β y ρ 0 βℏ ℏ podemos obtene la elaión que uantifia los niveles enegétios del eletón en el átomo de hidógeno: m a n me m ℏ ℏ m a n me m Elevando al uadado m a n Y eligiendo la soluión negativa Em Em m a n que popoiona los mismos niveles enegétios que la euaión de Shodinge. En ealidad la euaión a se tata de una vaiaión de la funión asoiada de Lagee y po tanto popoiona las mismas soluiones. Finalmente eala que la soluión final vendá dada po el poduto de las 3 soluiones, es dei: t i H,, x, y, z, t,,, e momentos angulaes, que seían: Momento angula obital, y que de dihas soluiones se pueden obtene los L l l ℏ Poyeión sobe el eje z del momento angula obital L sms ℏ Momento angula de espín L z ml ℏ ± ℏ 8.4 Resoluión de la euaión paa las dimensiones extendidas. Caso elativista. Si patimos de la euaión de onda paa las dimensiones extendidas: Ψ [ ] E m Em a m E m a a Ψ Ψ Ψ0 ℏ ℏ ℏ ℏ saando fato omún y eodenando tenemos: Ψ [ E m+ m E m ℏ ] E m+ m a a Ψ Ψ0 ℏ apliando el laplaiano en esféias tenemos: [ ] E m+ m E m E m+ m a Ψ Ψ Ψ a + Sen θ + Ψ Ψ0 θ ℏ Senθ θ Sen θ φ ℏ

50 Si desomponemos,, R P T tenemos entones: [ ] E m + m E m E m + m a a R ' PT + Sen θ RP ' T + RPT ' ' RPT RPT 0 ℏ Senθ θ Sen θ ℏ Sen RPT Si multipliamos po [ ] E + m E m E m+ m a Sen θ d a R ' + Sen θ d Sen θ P ' + T ' ' Sen θ m Sen θ 0 R d P dθ T ℏ ℏ Como tenemos un témino que solo depende de φ y la suma debe se onstante po fueza tenemos que: T'' te ml T y uya soluión es: T C 4 e i m on ml semienteo. l Sustituyendo entones y dividiendo po Sen [ ] ml E m + m a d d E m+ m E m R ' + Senθ P ' a 0 R d P Senθ d θ ℏ Sen θ ℏ Ya tenemos sepaadas las vaiables. [ ] E + m E m E m+ m a d R ' m l ' l ' + R d ℏ ℏ ml d Sen θ P ' a l ' l ' + P Sen θ d θ Sen θ Si llamamos a l ' l '+ l l+ nos quedaía: [ ] E + m E m E m+ m a d R ' m l ' l ' + a' R d ℏ ℏ ml d Sen θ P ' l l+ b' P Sen θ d θ Sen θ T'' te m l ' T La segunda euaión solo tiene soluión paa l enteo positivo, po tanto podemos obtene los valoes de l' en funión de los posibles valoes de l. a l ' l ' ll+ l ' + l ' a l l+ 0

51 Euaión de segundo gado uyas soluiones paa los pimeos valoes de l son: l l' -5, x , , , , , , ,99... Paee evidente que la soluión on signifiado físio es la pimea, po tanto podemos esibi: l l' dl-l' 0-5, x0-5 5,354905x0-5 0, , x0-5, , x0-5 3, , x , ,968056x , ,84x , , x , ,550094x0-6

52 Ya estamos en ondiiones po tanto de esolve la euaión a': [ ] E + m E m E m+ m a d R ' m l ' l ' + R d ℏ ℏ apliando la egla de la adena y multipliando po R tenemos: R ' + R ' ' [ E m+ m E m ℏ ] E m+ m a Rl ' l ' + R ℏ Realizamos la siguiente sustituión: u R u ' R ' + R u ' ' R' + R ' ' + R ' R ' + R ' ' lo que nos pemite esibi los dos pimeos téminos de foma simplifiada: R ' + R ' ' R ' + R ' 'u ' ' y po tanto: u ' ' [ E m + m E m ℏ ] E m+ m a u u l ' l '+ ℏ opeando tenemos: u ' ' [ E m+ m E m ℏ ] E m+ m a u ul ' l ' + ℏ Dividiendo po y eodenando: [ ] E m+ m E m E m+ m a l ' l ' + u ' ' + u0 ℏ ℏ Si ealizamos un estudio asintótio de la funión anteio uando se puede esibi: u ' ' [ E m+ m E m ℏ si llamamos E m + m E m β ℏ podemos esibi: ] u0

53 [ u ' ' β ] E m + m a l ' l ' + + u0 ℏ Dividiendo po β : [ ] E m+ m a l ' l '+ u'' + u0 β β ℏ β Como apaee siempe multipliado po β podemos ealiza el siguiente ambio de vaiable ρ β definiendo la funión Uρ: [ ] E m+ m a l ' l '+ U ' ' + U 0 βℏρ ρ Si llamamos ρ0 E m+ m a podemos esibi: βℏ [ U ' ' ] ρ0 l ' l '+ + U 0 d' ρ ρ La euaión d' apaee en la esoluión de la euaión de Shodinge adial del átomo de hidógeno y puede enontase su esoluión en la liteatua mediante su estudio asintótio y posteio desaollo en seie. La ondiión paa que la seie de téminos no sea infinita es que paa algún valo de j se umpla la igualdad siguiente: j+ l ' + ρ0 donde j es un númeo enteo. Si esibimos l' en funión de l tendemos: j+ l dl+ ρ0 si llamamos n j+ l+ nos queda: n dl ρ0 y llamando n ' ln d l la ondiión esulta en : n' l ρ0 Si eodamos las definiiones: β E m+ m E m ℏ y ρ 0 E m+ ma βℏ podemos obtene la elaión que uantifia los niveles enegétios del eletón en el átomo de hidógeno si onsideamos que la enegía meánia es negativa y po tanto su aiz uadada imaginaia: n ' l E m+ m a i E m+ m E m Si elevamos al uadado apaeiendo po supuesto soluiones extas tenemos: n ' E m+ m a E m+ m E m

54 opeando n ' E m + n ' m E m E m a+ a m desaollando el uadado del binomio y opeando: n ' E m + n ' m E m+ E m a + a m + E m a m 0 eodenando nos quedaía: n ' + a E m + m n ' + a E m + a m 0 euaión de segundo gado en Em del tipo a x + b x+ 0 donde an ' + a b m n ' + a a m Y la soluión seá: [ E m m ± a n ' + a ] La segunda soluión oinide numéiamente on la oeión elativista de pime oden a la euaión de Shodinge que apaee en la liteatua. E a 3 n 4n l+ Los esultados numéios se muestan en la página siguiente: La soluiones anteioes no epoduen uantitativamente la estutua fina ni ualitativamente la estutua hipefina poque en la expesión de la enegía no se han intoduido los téminos magnétios ni el momento magnétio nulea, peo basta paa demosta que las dos fomulaiones son equivalentes.

55 n l 0 l' n'l E n' ev En,l ev -5,38E-005 0, , , ,38E-005, , , ,999984, , , ,38E-005, , , ,999984, , ,50930, , , , ,38E-005 0,999984, , , , , , , , , , , , , , ,38E-005 0,999984, , , , , , , , , , , , , , , , , , La soluión adial a la euaión de onda es muy simila a la tadiional en Meánia Cuántia, peo on las siguientes difeenias: - Ψ epesenta es popoional a el potenial de las fuezas eletofuetes, eletomagnétias o eletodébiles, y piede su intepetaión pobabilista. - La longitud aateístia a debe se igual a la mitad del adio de Boh. a0/. - Las longitudes deben se esaladas po la longitud aateístia usaemos /a en vez de - La nomalizaión de Ψ debeía se: Ψ s Con estas ondiiones las funiones adiales seían: Ψ s/ a e /a y a a0/, así que ax a e Ψ s/ / Ψ p / 3 / Ψ 3d a ax e / a /a Ψ s /a e a0 0 x y aa0, así que Ψ s/ 4 a 0 y aa0, así que Ψ p / 6 x /a e a 0 0 / a e a0 0

56 9. Apliaión de la euaión de onda gavitomagnétia a los patones. Hadones. Dado que los patones poseen agas eletofuetes muy gandes debeían se apaes de foma estutuas similaes a los átomos, peo unidas po las agas eletofuetes en vez de po las agas elétias, y po tanto on enegías de enlae muho mayoes. La euaión de onda gavitomagnétia paa un potenial que deee on la invesa del adio nos popoiona los siguientes niveles enegétios: [ a' E m ± n ' +a ' ] q q, m masa eduida, n 'n dl, dl l l ', y l enteo positivo, y l' la h 4 π ε0 soluión a la siguiente euaión l ' +l ' a ' l l +0. on a' Si l0 obitales esféios entones l' ± + 4a ' Como en el aso de los hadones a '>> podemos hae la siguiente apoximaión:, lo que nos popoiona los siguientes posibles valoes de la enegía: ±a ' l ' a ' [ ] [ ] a' E m ± m ± a ' +a ', y po tanto: E ENLACE 0,98 m o E ENLACE,707 m La pimea soluión se oesponde on la expeimental de los obitales eletónios, veamos pues alguna eaión nulea, po ejemplo, el deaimiento de un neutón libe según la siguiente eaión: n0 p+ + e + νe La pimea soluión nos popoionaía una enegía de enlae igual a: E ENLACE0,98 me0, 5MeV Y la segunda soluión nos popoionaía una enegía de enlae igual a: E ENLACE,707 me0,87 MeV omo la máxima enegía inétia del eletón medida ha sido de 0,78 ± 0,3 MeV se esoge la segunda soluión. La fomula anteio justifia un sistema de masas lineal paa los hadones. Ya en 95 Nambu había popuesto que las masa de los hadones estaban uantizadas on un quantum de apoximadamente 70 MeV, en ealidad 35 MeV oespondiendo los múltiplos impaes on los baiones, mientas que los mesones seían los múltiplos paes. Analiemos entones las difeentes ombinaiones que pueden dase.

57 Tipo POSITRONIO Mesones Fomados po dos ondas iguales, po tanto espín total eo. Nótese que + y se efieen a agas eletofuetes. La masa eduida seá entones m ' m m y po tanto la enegía de enlae seá igual a m m E ENLACE,707 m',707 0,8536 m La masa total seá entones M m +0,8536 m,8536 m. De donde podemos obtene apoximadamente la masa del patón m patón 35,7 MeV /,8536 Tipo HELIO Baiones 3 ondas. Espín total ½ A. Númeo de patones divisible po 4. La masa eduida seá entones m ' m m m y po tanto la enegía de ataión seá m +m 3 E Attation,7073 m. 3 esta enegía de enlae se ve eduida debido a la epulsión ente los dos patones más ligeos, ya que tienen la misma aga eletofuete. Esta epulsión se puede estima omo el poduto de los dos patones

58 más ligeos multipliados po,707, peo onsideando que ambos ya están fijados po el patón de mayo masa se utilizaan omo masas de patida las masas peviamente eduidas, es dei /3m. REPULSION [,7073 ] /3m /3m m,7073 /3m +/3m 3 Po tanto, la enegía de enlae seá: E enlae ATRACCIÓN REPULSION, m m,7073 m 3 3 Esto es, la misma que en el tipo positonio. Dado que el tipo positonio es más simétio y simple dos ondas fente a tes el tipo helio debe esta gavemente penalizado. Esto explia poqué los múltiplos paes de 35 MeV son pefeiblemente mesones. A. Númeo de patones pa, peo no divisible po 4. Siguiendo el mismo método de álulo: m ' 3m m 6 3m m 3 m ; m ' m ; Repulsión 3m +m 5 3m +m 4 Po tanto, la masa total seá: m ' 3 6/5m 3/ 4m 0,4653 m 6/5m +3 / 4m M 3m+ m+m+,707[6/ 5m+3/ 4m 0,46453m]8,54 m Si fuese un mesón M 3m+3m +,707 m/ 8,5608 m La soluión baiónia es ahoa más ligea, y po tanto pevalee. Esto explia poqué los múltiplos impaes de 35 MeV son pefeiblemente baiones.

59 El baión más ligeo posible debeía tene una masa igual a mμ8,54,704,79 MeV Esta estimaión es un 0,8% más ligea que la masa expeimental del muón mμ05,65 MeV Peviamente habíamos postulado la existenia de patones ligeos y pesados, peo no existía peviamente ninguna efeenia a la existenia de un sistema multilinea de masas paa las patíulas subatómias. Gaias al gan tabajo del D Palazzi ha sido posible supea esta difiultad. Sus tabajos no han eibido la atenión que meeen, peo afotunadamente se enuentan disponibles en su página web Palazzi, apliando apopiadas ténias estadístias, es apaz de sistematiza las masas de vitualmente todos los mesones y baiones mediante un sistema linea basado en dos patíulas, una ligea sin aga MeV/ que podemos identifia on los patones ligeos y ota ligeamente más pesada y on aga elétia MeV/ que podemos asimila on el patón pesado. Ahoa podemos onoe las masas de los patones: m patón ligeo 33,88,87 MeV /,8536 m patón pesado 36,84,9 MeV /,8536 Intentaemos aplia lo anteio a las patíulas más simples. En los baiones la meno enegía de epulsión se obtiene uando la distania ente ellos es maximizada, po lo que las dos ondas más pequeñas deben se lo más desiguales posible. La aga elétia debe aumulase en las dos ondas más inteioes, ya que las agas de difeente signo tienden a esta lo más ea posible. Esto no signifia que el esto de ombinaiones no puedan existi, al menos tempoalmente omo estados exitados. PROPUESTA PARA EL MUÓN,87+*,937,69 MeV,87 +,94,78 MeV,87 MeV m ' 37,69 4,78 4,95 MeV 37,69+ 4,78 Po tanto: m ' 37,69,87 9,07 MeV 37,69+,87 m ' ep 4,95 9,07 5,685 MeV 4,95+9,07

60 mμ37,69+4,78+,87+,707 4,95+9,07 5,68505,664 MeV Como la masa expeimental del muón es mμ05,6583 MeV el eo disminuye hasta el 0,006%. PROPUESTA PARA EL π0 4*,8747,48 MeV 4*,8747,48 MeV m ' 47,48 47,48 3,74 MeV 47,48+47,48 mπ 47,48+ 47,48+,7078 3,7435,49 MeV 0 Como la masa expeimental es: mπ 35,0 MeV el eo es igual a 0,35%. 0 PROPUESTA PARA π+ *,87+*,949,56 MeV 3*,87+,9 48,5 MeV m ' 49,56 48,5 4,57 MeV mπ 49,56+48,5+,7078 4,5739,93 MeV 49,56+48,5 0 Como la masa expeimental es mπ 39,57 MeV el eo es igual a 0,6%. PROPUESTA PARA EL PROTÓN

61 39,85 MeV 39,0 MeV,87 MeV 39,85 39,0 39,85,87 6,7 MeV m ',46 MeV 39,85+39,0 39,85+,87 6,7,46 m ' ep 0,70 MeV 6,7+,46 m ' Po tanto: m PROTON 39,85+39,0+,87,707 6,7+,46 0,70938,88 MeV Como la masa expeimental del potón es: m PROTON 938,7 MeV el eo es igual a 0,07%. PROPUESTA PARA EL NEUTRON 330,89 MeV 39,0 MeV,87 MeV m ' 330,89 39,0 6,4 MeV 330,89+39,0 m ' ep m ' 330,89,87,46 MeV 330,89 +,87 6,4,46 0,70 MeV 6,4+,46 Po tanto: m NEUTRÓN 330,89+39,0+,87+,707 6,4+,46 0,70940,35 MeV

62 Como la masa expeimental del neutón es: m NEUTRÓN 939,56 MeV el eo es igual a 0,08%. Po supuesto, existen otas posibilidades paa el potón, po ejemplo 7,+0;6,-9 ;,0 en vez de 7,9;6,+0;,0 on una masa de 938,84 MeV y paa el neutón, po ejemplo 7,-0; 6,+0;,0 en vez de 7,+0 ;6,-0 ;,0 on igual masa. De heho, omo las masas de los dos tipos de patones son de apoximadamente - MeV siempe podemos enonta una ombinaión que se ajuste a las masas expeimentales, espeialmente en las patíulas pesadas. Es impotante destaa que existen múltiples ombinaiones de ondas posibles, algunas de las uales seán más estables que otas y posiblemente muhas de ellas oexistan en difeentes poentajes y en difeentes estados de exitaión, patiulamente uando las golpeamos paa estudialas. Es dei, no solo vaía el númeo total de patones, sino la popoión de patones neutos fente a patones agados y la distibuión de estos patones ente las difeentes ondas, apate de los posibles estados obitales s,p,d, esto oasiona que muhas de estas ombinaiones tengan masas muy similaes, espeialmente si estas son elevadas. No es de extaña po tanto las gaves difiultades que enuentan los físios de patíulas al intenta analiza las olisiones y extae onlusiones, espeialmente a altas enegías, ya que se multiplian asi exponenialmente el númeo de patíulas posibles y los hoques modifian aún más las patíulas estudiadas. Además, omo hemos usado una apoximaión lásia paa detemina la enegía de epulsión existe un eo sistemátio. Po tanto, neesitamos otas popiedades de las patíulas on el fin de obtene la estutua de patones de los mesones y baiones. A lo lago de este tabajo se utilizaá el momento magnétio intínseo y la distibuión intena de agas elétias y eletofuetes. 0. Estutua de los Hadones. Obitales y distibuión intena de aga. Como vimos en la esoluión de la euaión de onda gavitomagnétia paa un potenial ental que deee on la invesa del adio la euaión angula quedaba inalteada en el aso elativista, es dei, la foma de los obitales no vaia. Po tanto, podemos onsidea que los hadones están ompuestos po apas esféias, al menos uando no están exitados. Paa el aso no elativista el adio de Boh a0 es alulado mediante la siguiente expesión: a0 h m a si opeamos E0 m a a0 a0 h h a y teniendo en uenta que la enegía de los obitales es m a m a a podemos expesa el adio de Boh en funión de la enegía del pime obital h a h E 0 E 0/ a Si extapolamos esta elaión al aso elativista podemos esibi:

63 [ E 0 m a a ± ] [ ] a' m a± n' +a ' n' + a' Paa el aso en que el potenial ental povenga de fuezas eletofuetes a'>>>> y n' a' y po tanto: E0 a m y opeando: a0 h h m m En esta expesión debemos tene en uenta dos ondiiones: - Debemos usa las masas eduidas - La masa de las patíula-pulsaion se ha inementado po la enegía de enlae mm0 +,707 m0,707 m0 Y po tanto: a0 h 3,885 m' MeV, J / MeV Paa el aso del potón seía: a0 h fm a h fm /.600 a h fm /,600 3 Si asumimos que las patíulas se enuentan en el estado s la funión adial los obitales debeían se de / a foma esféia, on una funión adial del tipo Ψ s K e, donde a es una longitud aateístia. Debemos puntualiza sin embago, las difeenias on la intepetaión habitual de la meánia uántia: - Ya hemos intepetado que la funión de onda epesenta es popoional a el potenial eletofuete, eletomagnétio o eletodébil y en ningún aso a una funión de pobabilidad. Esta longitud aateístia debe se igual a a0/ paa el obital más senillo.

64 - Las longitudes debeían esalase on espeto a la longitud aateístia. /a en vez de. - Se ha esogido nomaliza de dos maneas, de auedo a la funión epesentada, es dei:: o 0 Ψ 0 Ψ. Con la pimea nomalizaión las funiones adiales seían: Ψ s /a e, a0 0 Ψ s a0 / a / a e y Ψ p e... a0 a0 0 0 Con la segunda nomalizaión seía: Ψ s4 3 e / a, Ψ s / 0 a0 a 3 /a / a e y Ψ p / e a0 a0 0 0 Ahoa, podemos dibuja la suma de las tes ondas que onfoman el potón pondeadas de auedo a las masas de los patones que las onfoman.. [ ρ mass 7 e / e / e / ] Más intuitiva esulta la Ψ a epesentaión de la funión [ ρ mass s, que en este aso seía 3 3 e / e / e / ]

65 Distibuión ualitativa de masa esfea huea Distibuión adial de masa Si sumamos las tes ondas pondeadas de auedo a sus agas elétias podemos obtene el potenial dento del potón. [ ρ mass 9 e / e / Más intuitiva esulta la epesentaión de la funión [ ρhage ] Ψ ] a e / e / s, que en este aso seía:

66 En el segundo gáfio se ha supepuesto a los esultados expeimentales obtenidos po JLAB [The Fonties of Nulea Siene A Long Range Plan 007, p.6]. Si eodamos que hemos obtenido la enegía de enlae on una apoximaión semilásia el ajuste es muy bueno. No obstante se puede supone que al ealiza los expeimentos de satteing los potones pasan a un estado exitado, on mezlas de los difeentes estados s,p,d, et.. La simple ombinaión de 84% s on 6% p se ajusta bastante bien a los datos expeimentales. [ ρhage 0, [ +0,6 3 3 e / e / e / e / ] ] La modifiaión de la soluión de onda gavitomagnétia povoada po el impato de las patíulas utilizadas paa el expeimento fotones, eletones,..es un onepto fundamental paa la ompensión del mundo subatómio. Confome aumentamos la enegía de impato la modifiaión es mayo, hasta que todas las ondas apaentan se objetos puntuales. La enegía a la que esto suede es dependiente de la enegía de enlae, po eso los muones apaentan se patíulas puntuales, mientas que en los nuleones tenemos aeso a un ango de enegías que nos pemiten onoe su estutua intena, una vez sobepasado este ango, se ompotan omo onfomados po tes patíulas puntuales. los famosos e inexistentes quaks Paa el aso del neutón seá muy simila:

67 a0 h 3, ,347 fm 3 3,885 6,4+, ,600 a h ,369 fm 3 3,8856,4,46/,600 a h 8, fm 3 3,885,46 0,70 /,60 0 Si sumamos las tes ondas pondeadas según sus agas podemos obtene la densidad adial de aga del neutón. [ ρ aga e / e / ] o nomalizado a una aga +e / -e on el fin de ompaa on otos tabajos. [ ρ aga e / e / Densidad de aga del potón y el neutón ] Densidad de aga del potón y del neutón nomalizado a una aga de +e,-e. En el segundo gáfio se ha supepuesto a los esultados expeimentales obtenidos po JLAB [The Fonties of Nulea Siene A Long Range Plan 007, p.6].

68 No obstante, es onveniente eala que la F del neutón es deduida a pati del satteing de deuteio, ya que no existen blanos de neutones libes, al evés que la F del potón, que puede se medida dietamente y es po tanto más fiable.. Estabilidad de las soluiones hadónias. Es de destaa que en los puntos anteioes impliitamente se ha obviado el pinipio de exlusión de Pauli, al menos paa las ondas de supefiie que omponen los patones. La multipliidad de las posibles soluiones hadonias se enfenta a la ealidad de las esasas soluiones estables potón y uasiestables neutón. Resumiendo ningún mesón es estable, y de todos los baiones solo uno lo es ompletamente. Veamos las posibles azones: Hemos visto que todas las soluiones de la euaión de onda que hemos asignado a la mateia son fundamentalmente asimétias, espeialmente el sentido de la onda, aunque también geométiamente. Si exponemos estas ideas gáfiamente vemos omo la estabilidad está dietamente elaionada on la asimetía de la soluión. Espeialmente el pa patíula antipatíula que se onviete ápidamente en fotones. Femión Bosón on masa Pa patíula-antipatiula Dada la simetía de los mesones ondas iguales, al menos en aga eletofuete se puede dedui su inestabilidad, siendo esta mayo uanto más iguales sean las ondas, es dei, se supone a los mesones agados una mayo estabilidad. Po tanto, omo ya habíamos visto que en el aso de un númeo total de patones pa, peo divisible ente uato, pevaleía po se de meno masa la soluión mesónia podemos desata omo estables la mitad de todas las patíulas posibles. Hay que busa en la asimetía de la soluión baiónia las patíulas estables.

69 De ente los baiones la mayo asimetía en la soluión se podue uando la difeenia ente las dos ondas menoes es máxima, iunstania que se ve favoeida enegétiamente poque la enegía de epulsión ente ellas se hae mínima, ya que al se el adio de Boh invesamente popoional a la masa de la onda se maximiza de esta manea la distania ente las dos ondas on la misma aga eletofuete. Po tanto y paa fija ideas si suponemos que la onda mayo está fomada po 5 patones númeo impa, si no, la soluión mesónia pevaleeía se supone que la soluión más estable estaá fomada po una segunda onda de 4 patones y una teea de solo patón. Se popone también que de existi patones agados estos se onenten úniamente en las dos ondas inteioes, lo que maximizaía la ataión eletomagnétia. Paa segui avanzando debemos onsidea la natualeza de las tes ondas que onfoman los baiones. Si po ejemplo deimos que la onda más intena está fomada po 7 patones, que queemos dei, que tenemos una sola onda on la amplitud de 7 patones, o que tenemos 7 patones vibando simultaneamente, peo on una difeenia de fase ente ellos? Es onsideando la natualeza ondulatoia de los hadones la que nos puede ayuda. Si tenemos una únia onda vibando signifia que en algunos momentos la onda desapaee. Es fáil ve la inestabilidad que esto povoa. No sabemos si existe o no la onda únia, lo que si podemos ve es que seá más estable la suma de ondas desfasadas ente sí egulamente. Po oto lado, al tatase de ondas on la misma aga eletofuete, elétia o eletodébil, se minimiza la epulsión ente ellas si pesentan una difeenia de fase. Veamos el ejemplo del muón. Consideemos solo las agas eletofuetes. La onda mayo estaá fomada po 3 ondas desfasadas egulamente, mientas que la onda intemedia estaá fomadas po ondas.

70 Ahoa bien, omo medi la fueza elativa de su inteaión en base al desfase elativo? Se popone intega en un ilo el valo del poduto de las amplitudes de la onda mayo on la intemedia nomalizadas on el númeo de patones que las onfoman. Po si mismo el poduto de esta integal no signifia nada, peo pemite ompaa ente las distintas ombinaiones posibles. A este númeo se le ha llamado fato tempoal y uanto mayo es su valo, mayo estabilidad se le supone a la patíula. Se ha alulado numeiamente esta integal mediante el método de ombeg en el pogama wxmaxima. En el aso del muón seía: ombegabssinx+abssinx+3.459/3+abssinx+*3.459/3/3* abssinx+abssinx+3.459//, x, 0, Paa una estutua on una onda más intena fomada po 33 patones seía: ombegabs sinx+abssinx+3.459/33+abssinx+*3.459/33+abssinx+3*3.459/33 +abssinx+4*3.459/33+abssinx+5*3.459/33+abssinx+6*3.459/33 +abssinx+7*3.459/33+. +abssinx+3*3.459/33 +abssinx+3*3.459/33 /33* abs

71 sinx+abssinx+3.459/3+abssinx+*3.459/3+abssinx+3*3.459/3 +abssinx+4*3.459/3+.+abssinx+30*3.459/3 +abssinx+3*3.459/3 /3, x, 0, Los esultados son: Ondas fato tempoal, , , , , , , , , , , , , , , , , que epesentado gáfiamente,8,7,7,6 fato tempoal,6,5, Vemos que de auedo a este paámeto las patíulas uya onda más inteio está fomada po 9,3,7, y 5 patones son más inestables, esultando que las patíulas más ligeas y aquellas on 7 o más patones son todas igualmente estables. Peo no hay que onsidea solo la oinidenia tempoal, sino la oinidenia en el espaio. Si epesentamos la onda inteio y la intemedia paa un numeo de ondas de 3 y de 7 po ejemplo se puede obseva laamente.

72 Paa estudia su influenia se ha utilizado la aiz uadada de la integal del poduto de las amplitudes nomalizadas al númeo de patones. Reodemos que el adio de Boh es invesamente popoional a la masa,o sea al númeo de patones. La he llamado fato de foma y se ha alulado numéiamente po el método de Rombeg en wxmaxima. Se pone omo ejemplo paa un baión on 5 patones en su onda más pesada ombeg 0.5*5^3*x^*exp-5*x* 0.5*4^3*x^*exp-4*x/5+4, x, 0, 5^0.5 Se muestan los esultados junto al fato tempoal y el poduto de ambas: Ondas fato tempoal, , , , , , , , , , , , , , , , , que epesentado gáfiamente: fato foma poduto 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

73 0,4 0,39 0,39 0,38 0,38 Columna D 0,37 0,37 0,36 0, Vemos que existe una estabilidad eiente hasta un númeo de patones en la onda más pesada igual a 7 a pati del ual es indifeente. Luego el baión de meno masa estable seá el de 7 patones en la onda infeio. O sea potones y neutones. En uanto al poentaje de patones agados y neutos no he enontado ninguna azón paa que la elaión más estable sea ⅓ agados, ⅔ neutos. La asimetía elativa del potón fente al neutón le benefiia en uanto a estabilidad.

74 . Momento magnétio intínseo. Es posible apoxima el momento magnétio de un hadón simplemente sumando los momentos magnétios de todas y ada una de las ondas que omponen los hadones. Intentaemos pimeo el aso de los mesones poque son más simples que los baiones.. Mesón π. π0 Ambas ondas son iguales, po lo que el momento magnétio es nulo. π+ *,87+*,949,56 MeV 3*,87+,9 48,5 MeV m ' 49,56 48,5 4,57 MeV mπ 49,56+ 48,5+,7078 4,5739,93 MeV 49,56+48,5 0 Podemos asigna la enegía de enlae de manea popoional, así que tendemos dos ondas on las siguientes popiedades. Onda : Masa 70,7090 MeV Caga e+ Onda : Masa 69,5 MeV Caga e- El momento magnétio sea: μ 9 34 e h , m 70,7090, μμ+μ, , ,57 0 μ 9 34 e h , m 69,5.780 en unidades del SI. Dado que en el modelo estánda una patíula on espín eo no puede tene momento magnétio intínseo no nulo, esta podía se una buena pueba paa la hipótesis aquí desaollada.

75 . Mesón ρ + De auedo al sistema multilinea de Palazzi los mesones ho están ompuestos de igual númeo de patones agados y neutos, luego debeía tene esta omposiión: *,87+*,97,58 MeV *,87+0*,9 7,54 MeV m ' 7,58 7,54 36,03 MeV mρ7,58+7,54+, ,03776,34 MeV 7,58+ 7,54 La masa expeimental es de 775,4 MeV, lo que supone un eo de 0, %. Podemos asigna la enegía de enlae de una manea popoional a su masa, luego tendemos dos ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 388,99 MeV Caga eonda : Masa 387,48 MeV Caga 0e+ El momento magnétio seá: e h m 388, e h μ, m 387, μ μρμ +μ,3440 5,50 5,70 6 en unidades del SI. En Detemination of the magneti dipole moment of the ho meson using 4 pion eletopodution data Gaia Gudiño y Toledo Sanhez obtuvieon un valo expeimental de -,9 0-6 en unidades del SI, lo que supone un eo del 8%. Ahoa, intentemos el aso de los baiones..3 MUÓN μ -

76 37,69 MeV 4,78 MeV,87 MeV m ' 37,69 4,78 4,95 MeV 37,69+ 4,78 m ' 37,69,87 9,07 MeV 37,69+,87 m ' ep 4,95 9,07 5,685 MeV 4,95+9,07 Po tanto: mμ37,69+4,78+,87+,707 4,95+9,07 5,68505,664 MeV Podemos asigna la enegía de enlae de una manea popoional a su masa, luego tendemos tes ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 33,345 MeV Caga e+ Onda : Masa 50,775 MeV Caga eonda 3: Masa 5,8096 MeV Caga 0 El momento magnétio seá: 9 34 e h μ, m 50, e h μ, m 33, μρμ +μ, , ,480 6 en unidades del SI. Como el valo expeimental es de -4, en unidades del SI el eo es del 0,6%..4 PROTÓN

77 39,85 MeV 39,0 MeV,87 MeV 39,85 39,0 39,85,87 6,7 MeV m ',46 MeV 39,85+39,0 39,85+,87 6,7,46 m ' ep 0,70 MeV 6,7+,46 m ' Po tanto: m PROTON 39,85+39,0+,87,707 6,7+,46 0,70938,88 MeV Si asignamos la enegía de enlae popoionalmente a la masa, tendemos tes ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 463,3587 MeV Caga 9eOnda : Masa 448,45 MeV Caga 0e+ Onda 3: Masa 5,784 MeV Caga 0 e. El momento magnétio seá: 9 e h μ m 463, μ 0 e h m 448, μρμ +μ en unidades del SI. El valo expeimental es,4 0-6, lo que supone un eo del,69%.5 NEUTRÓN.

78 330,89 MeV 39,0 MeV,87 MeV m ' 330,89 39,0 6,4 MeV 330,89+39,0 m ' ep m ' 330,89,87,46 MeV 330,89 +,87 6,4,46 0,70 MeV 6,4+,46 Po tanto: m NEUTRÓN 330,89+39,0+,87+,707 6,4+,46 0,70940,35 MeV Si asignamos la enegía de enlae popoionalmente a las masa, tendemos tes ondas on las siguientes popiedades: Onda : Masa 464,85 MeV Caga 0e+ Onda : Masa 448,470 MeV Caga 0eOnda 3: Masa 5,784 MeV Caga 0 e. El momento magnétio seá: μ 0 e h , m 464, e h μ m 448, μρμ +μ,00 5, ,800 7 en unidades del SI. El valo expeimental es de , lo que supone un eo del 60,4%. Paa ompende que suede on el neutón vamos a pesenta oto método paa la estimaión del momento magnétio. El momento magnétio intínseo de un patón agado seá:

79 q h, , μh, m,780, al que llamaemos magnetón hadónio. Analiemos la expesión del momento magnétio intínseo. μ q L Como m L,m entones μ,q. Entones podemos popone omo expesión del momento magnétio de un hadón μμh Ψ d Veamos algunos ejemplos, Muón. μμh Ψ d, e,799 + e 4,38 d, ,345 4, ,799 4,38 Potón e 0,35 +0 e 0,375 d, ,0954, ,35 3,75 e 0,35 0 e 0,375 d, ,0307 3, ,35 0,375 μμ h Ψ d, Neutón μμ h Ψ d, Como vemos, el eo todavía es muy gande, sin embago, al obseva la fomula es fáil ve que simplemente inementando el adio de Boh de la segunda onda un 5% hasta 0,345 fm nos pemite obtene un esultado oeto. μμ h Ψ d, e 0,35 0 e 0,345 d, ,0745 9, ,35 0,345 Es inteesante esalta que se ha usado una apoximaión bastante buda paa obtene los adios de Boh. De heho, al epesenta el neutón on estos nuevos paámetos se apoxima todavía más a los datos expeimentales de JLAB.

80 3.Fueza nulea esidual. Podemos epesenta el potenial eletofuete de un potón o de un neutón ambos son pátiamente iguales. Ψ 7 0,35 e / 0,35 6 0,375 e /0,375 8,4 e /8.4

81 O bien, epesentando ²Ψ: Sopendentemente simila al potenial de Reid. Ψ 4 [ / a / a /a Q 7 e 6 e e 4 π ε0 a0 a a 0 ] Paa ompaalos debemos expesa el potenial eletofuete en MeV y paa pode dibujalo utilizaemos fm en vez de m. Reodemos que la aga eletofuete Q del patón ligeo es de,7 0-8 Culombios equivalentes. Ψ C 5 [ e /0,35 6 e / 0,375 e / ,35 0,375 8, Que podemos ompaa on el potenial de Reid93. ]

82 Paa ompende totalmente la inteaión fuete esidual podemos epesenta los poteniales eletofuetes de dos nuleones sepaados, fm, que es la distania más habitual. Puede obsevase omo los nuleones se sitúan de manea que se omplementen las agas eletofuetes opuestas. De heho, la enegía de inteaión ente dos nuleones se puede estima multipliando ambas funiones e integando. Los esultados se muestan en el siguiente gáfio.

83 El mínimo de enegía se enuenta paa una distania ente nuleones igual a,7 fm. C. Popiedades del espaio-tiempo. 4. Sobe la natualeza del espaio-tiempo. Anteiomente se ha mostado que las ondas estaionaias que onfoman las patíulas pueden inteatua ente sí úniamente mediante tes meanismos. º Mediante aaste del espaio-tiempo:apaentemente las petubaiones al desplazase aastan el espaio-tiempo en las dimensiones ompatadas. Este aaste del medio de popagaión también debeía suede en las dimensiones extendidas, omo onfima la soluión de Ke de la euaiones de la elatividad geneal. º Mediante modifiaión del índie efativo uvatua del tiempo, lo que equivale a dei que la veloidad del tiempo no es onstante, o es la veloidad de las petubaiones la que no es onstante?. Como distingui ente ambas opiones si tanto la luz omo la mateia son vibaiones del éte?. y 3º defomando el espaio-tiempo Esta es la famosa uvatua del espaio de la elatividad geneal. Peo si el espaio-tiempo es algo que puede viba, se defomado, aastado, se puede expandi et.. No debeíamos llamalo fluido? Sin embago tenemos el gan expeimento de Mihelson- Moley que pueba la inexistenia del éte, vedad?. En ealidad, no. Lo únio que pueba el expeimento de Mihelson- Moley es que al medi la veloidad de la luz desde un objeto mateial se obtiene un esultado onstante e independiente del estado de movimiento del objeto. Siempe y uando no existan aeleaiones. Esto pátiamente elimina la posibilidad de un éte independiente de la mateia, peo en el aso de matte as gavitational waves, en el que todo mateia y enegía se edue a vibaiones del espaio-tiempo, el expeimento no puede ontadei la existenia de un éte. Lo únio que pueba, es que la veloidad a la que pueden tansmitise las petubaiones dento del éte es onstante e igual a. Nada más. El poblema es intenta asimila este espaio-tiempo, éte o simplemente medio de popagaión a algún tipo de sustania onoida e intenta apliale las leyes de la Natualeza tal y omo las podemos medi nosotos, que seíamos ondas onfinadas. Si todas las sustanias que onoemos están fomadas po agupaiones de vibaiones de ota sustaniaéte, espaio-tiempo,..., po qué habían de mantene una similitud absoluta on la sustania pimitiva? No podemos pensa en el éte omo un solido muy ígido, ni omo un liquido o un gas,... tendá popiedades que le haán simila a un liquido, o a un gas, o a un istal, et..., peo on asi total pobabilidad tendá otas popiedades que le haán difeente de ualquie ota sustania onoida, o popiedades que en unos aspetos sean similaes y en otos no, po

84 ejemplo, puede tene una popiedad muy simila a la visosidad, peo que no povoque pedidas enegétias en las vibaiones que así pueden mantenese indefinidamente. Nos hemos entado en la natualeza de la mateia y la enegía debido a que es más fáil diseña expeimentos sobe ellas, peo es que el univeso es espaio vaío en asi su totalidad. De heho Ruthefod demostó que la mateia odinaia estaba asi ompletamente vaía. No, es la natualeza del vaío la vedadeamente impotante. 5. Sobe la uvatua de las dimensiones ompatadas y el espín. En el punto 6 hemos visto omo la modifiaión del medio de popagaión povoada po las ondas estaionaias que onfoman la mateia poduía la impesión de la existenia de un espaio uvado. Ya que hemos postulado que el plano de las dimensiones ompatadas ea uvo y de topología elíptia, podemos exploa la hipótesis de que esta de uvatua se debe a la existenia de un gadiente de la veloidad de popagaión de las ondas a lo lago de las dimensiones ompatadas. La uvatua de las ondas vendá deteminada po la siguiente elaión: n k ρ n donde n índie de efaión ρ adio de uvatua y k uvatua Una vez onoida la uvatua se puede detemina la tayetoia de las ondas mediante la siguiente expesión en oodenadas atesianas. k y' ' 3 + y ' Po simple tanteo se ha enontado una ley de vaiaión del indie de efaión en funión del adio que popoiona elipses de paámetos a.09 y b En efeto, si: n la uvatua seá igual a k n n 4 3 que expesada en oodenadas atesianas seá: k n n os atan y ' atan x / y 4 3 x + y La euaión difeenial seá entones: 3 y ' ' + y ' 4 3 x + y os [ atan y ' atan x / y ] Dado que no se ha enontado una soluión analítia a esta euaión se ha esuelto numéiamente

85 mediante el pogama wzgaphe. Intoduiendo las ondiiones iniiales adeuadas se ha enontado omo soluiones la familia de las elipses on ento 0,0 y paámetos a.09 y b Ejemplo de soluión on ondiiones iniiales y00,883 e y 00. Es destaable que la soluión son todas las elipses on ento en el punto 0,0 y paámetos a.09 y b Es dei, hemos intoduido un nuevo gado de libetad que pemite explia muho más satisfatoiamente el fenómeno del espín. el gio del eje de las tayetoias elíptias. Un gio en las dimensiones extendidas puede povoa gios en la oientaión de la tayetoia elíptia en las dimensiones ompatadas, ya sea po un efeto giosópio o una autoinduión, lo que basta paa explia de foma intuitiva los expeimentos del tipo Sten-Gelah. En uanto a las débiles fuezas ente las patíulas debidas al espín, puede expliase po una iulaión

86 seundaia povoada po la asimetía de la soluión. Po oto lado, solo se pemiten elipses de un únio tamaño. Esto nos obliga a postula que la veloidad de las ondas vaía linealmente on la feuenia. Esta vaiaión debe se tal que el adio medio sea igual a h ξ 0 y la veloidad de la tayetoia eada sea igual a. m0 Es dei, sopendentemente un espaio anisotopo en el que la veloidad de las vibaiones es dependiente de su feuenia y de su distania a una posiión ental, solo pemite soluiones uya veloidad sea igual a. Busando una visión intuitiva podemos dei que el espaio-tiempo se ompota omo un istal liquido en algunos aspetos. Desde este punto de vista el agujeo ental puede se intepetado omo un ambio de estado del espaio-tiempo,éte, fluido pimodial, o omo queamos llamalo. Los agujeos negos se explian de manea muy intuitiva suponiendo que la enegía de las pulsaiones povoa un ambio de estado en el espaio-tiempo. Esta hipótesis de que el espaio-tiempo tiene popiedades similaes en algunos aspetos al istal liquido paa explia la uvatua de las dimensiones ompatadas puede se falsa, peo no afeta al núleo de la ideas expuestas, es dei que las dimensiones ompatadas están uvadas elíptiamente, que el eje de esta elipse puede gia y que el espín y las fuezas elétias se deben a las tayetoia eadas de las patíulas en las dimensiones adiionales. 6. Resumen y Conlusiones Busando intepetaiones altenativas a la teoía de la Relatividad Espeial y más onetamente a la euaión que liga la enegía de un uepo en movimiento on su veloidad se enontó que tal vez esta teoía onlleva implíitamente el desplazamiento a la veloidad de la luz en al menos una dimensión adiional. Desde este punto de vista la geometizaión del tiempo postulada po Minkonswki seía un eo de intepetaión y podía se sustituida on ventaja po la asunión del desplazamiento a la veloidad de la luz de todas las patíulas en una nueva dimensión al estilo de la postulada po Kaluza. Los meanismos de adquisiión de la masa ineial y gavitatoia se exponen más adelante. La adopión posteio de los postulados de Klein aea del tamaño y topología de la dimensión de Kaluza junto on la isotopía expeimental del Univeso obligaían a postula la existenia de al menos ota dimensión adiional, lo que nos llevaía a la existenia de un plano de dimensiones ompatadas en el que las patíulas en apaente eposo se moveían en tayetoias eadas a la veloidad de la luz. Cualquie patíula en eposo absoluto es poseedoa de ieta enegía, y las dos teoías nos popoionan difeentes fomulaiones. Po un lado la TRG nos die que ésta toma el valo Em², mientas que la h υ expesión de la enegía esidual de vibaión de un osilado uántio es E. Dado que ambas teoías han tenido un gan éxito en su espetivo ampo de apliaión, po qué no asumi que ambas son oetas? Si onsideamos que ambas enegías deben se la misma y suponiendo movimientos iulaes es posible estima el adio de las tayetoias en el plano de las dimensiones adiionales. Esto pemite

87 intepeta la masa de las patíulas ealmente elementales omo la invesa de la dimensión ompatada h adial y de valo ξ 0, que paa el aso del eletón seía de, ¹³ m. m0 La ombinaión de este movimiento iula en las dimensiones ompatadas on un movimiento en las dimensiones extendidas poduiía tayetoias helioidales y lo que ahoa se intepeta omo veloidad del tiempo debeía onsidease omo la veloidad de las patíulas en el plano de las dimensiones ompatadas. Un estudio más detallado de estos movimientos helioidales popoiona una expliaión oheente a la longitud de onda de D'Boglie y pemite infei que el pinipio de inetidumbe poviene del heho de intenta analiza fenómenos que sueden en 5 dimensiones espaiales omo si tuviesen solo 3 dimensiones espaiales. Las euaiones de Einstein en su apoximaión de ampo débil se pueden lineaiza, lo que pemite esibilas de una manea muy simila al eletomagnetismo. Esta fomulaión es onoida omo gavitomagnetismo. Dado que en el gavitomagnetismo dos oientes de masa paalelas que iulan en el mismo sentido se epelen es posible enonta una expliaión intuitiva a la aga elétia omo fuezas ente oientes de masa paalelas. Al analiza ualitativamente el efeto que la uvatua del espaio tiene sobe las leyes físias se obsevó que ésta atuaba de un modo simila a omo atúa una lente onvegente sobe una imagen, es dei, inementa los efetos a distanias otas, mientas que los disminuye a lagas distanias. Po tanto muhas onstantes físias μ 0, G,ε 0... deben apoximase a la unidad uando expesemos las leyes de la natualeza en las 6 dimensiones postuladas. Es dei, las onstantes son onseuenia de intenta analiza fenómenos que sueden en 5 dimensiones espaiales omo si tuviesen solo 3 dimensiones espaiales. Po oto lado este análisis pemite intepeta la onstante gavitatoia G omo la supefiie de las dimensiones ompatadas, y se puede estima el adio de las dimensiones ompatadas en G ξu m. π Siguiendo estas dieties e intepetando el veto induión elétio omo la fomulaión en 5 dimensiones del veto induión gavitomagnetia en 6 dimensiones se obtiene que la elaión masaaga del eletón debeía se igual a q 8π G, μ 0 h m0 El valo expeimental difiee ligeamente, ya que es de e, me Paa obtene un valo oeto basta toma un valo de Ĝ, Paa explia este valo de postula una foma elíptia en vez de iula paa las dimensiones ompatadas. Se obtiene que el momento magnétio debeía se 4π G m0, uyo valo oinide on el magnetón de Boh. Es dei, es posible estima la aga y el μ0 momento magnétio del eletón úniamente a pati de su masa. μg Una vez expliado el oigen del ampo elétio el magnetismo se puede obtene del potenial elétio a tavés de los postulados de la eletodinámia elativista. Si se aplian las euaiones de Einstein en su apoximaión de ampo débil a un espaio omo el postulado en este tabajo se obtienen soluiones en foma de ondas. Dihas ondas se desplazan en tayetoias helioidales debido al onfinamiento poduido po la uvatua de las dos dimensiones

88 ompatadas. Al utiliza un sistema de oodenadas ilindio-elíptio el laplaiano es sepaable, po lo que la soluión estaá ompuesta po el poduto de dos funiones, una dependiente de las dimensiones ompatadas y ota de las dimensiones extendidas H ξ, η, x, y, z Φ ξ, η Ψ,θ, φ. La soluión paa las dimensiones ompatadas es una onda estaionaia expesada omo funiones de Mathieu de oden semienteo y paámeto q negativo. Se intepeta el oden de la soluión omo el espín de las patíulas- pulsaiones Estas ondas estaionaias son asimétias en su sentido de gio, lo que povoa la apaiión del ampo eletomagnétio po fuezas ente oientes de masa paalelas y es el sentido de gio el que maa el signo de la aga y difeenia las patíulas de las antipatíulas. Las patíulas-pulsaión on espín impa pesentan además asimetía geométia femiones, mientas que las patíulas on espín pa son simétias geométiamente bosones on masa. La asoiaion de eletones on espines opuestos pa de Coope y su ompotamiento simila al de los bosones demuesta gáfiamente esta idea. Pa patíula-antipatiula Bosón on masa Femión La apliaión de los postulados de la hipótesis iniial lleva a que el númeo de ondas iula de ote sea k m0 /ℏ i. Se ha mostado que esto pemite elaiona la veloidad de gupo de la onda on su feuenia, de tal foma que se obtiene la euaión elativista de la enegía de un uepo. Es dei, el onfinamiento de la onda gavitatoia povoa la apaiión de la masa ineial. También se ha mostado que se debeía utiliza la euaión de Klein-Godon en 6 dimensiones paa modeliza el ompotamiento de la patíula-pulsaión. Paa el aso de las dimensiones extendidas se ha estudiado los siguientes asos: Patíula en eposo: La onda apaenta se una fuente puntual de ampo gavitatoio y elétio. Patíula en estado de movimiento unifome: La onda vista fontalmente apaenta se una fuente puntual de ampo gavitatoio y elétio, peo vista tansvesalmente apaenta se una onda plana on una longitud de onda equivalente a la que postuló D'Boglie. Esta soluión justifia la onepión dual onda-patíula. Átomo de hidógeno. Se obtienen las mismas soluiones que la euaión de Shodinge, tanto paa el aso elativista, omo el no elativista. Todo lo anteio lleva a postula que los eletones y posiblemente el esto de patíulas elementales están onstituidos po pulsaiones gavitatoias solitones guiadas po la uvatua de las dimensiones ompatadas. Po tanto no pueden onsidease omo patíulas puntuales y se debe intepeta el uadado de la funión de onda omo el flujo de enegía de la onda gavitatoia, ehazando la intepetaión de Copenhague de la Meánia uántia. Esto soluiona la mayo pate de los expeimentos paadójios, omo el de la doble endija, po ejemplo. Al esolve la euaión de onda paa las

89 dimensiones ompatadas se han enontado ino soluiones, dos de ellas on una masa tan simila que se pueden identifia on una sola patíula. Como se ha asignado la soluión de mayo masa al eletón, las ota soluiones de muha meno masa deben asignase a los neutinos. Po oto lado, omo no se ha enontado una soluión de mayo masa que pudiese explia la existenia de los hadones se ha postulado la existenia de un agujeo ental en el plano de las dimensiones ompatadas. Este postulado pemite nuevas soluiones en foma de ondas de supefiie ombinadas on alguna de las otas ino anteiomente enontadas. Estas ombinaiones se han asimilado a los patones y se ha esogido omo su símbolo la leta ibea q. Po tanto se ha estableido un nuevo sistema de patíulas onsistente en los siguientes omponentes y sus ombinaiones lineales. Patíulapulsaión masa Tipo de inteaión Caga En ulombios equivalentes u e 0,06 ev ELECTRODÉBIL 4,9 0-5 u μ,46 ev ELECTRODÉBIL, 0-3 u t,9 ev ELECTRODÉBIL, e+,- 0,5MeV ELECTROMAGNETIC A, q0 ligeo,87 MeV ELECTROFUERTE, q +,- pesado,9 MeV ELECTROFUERTE,8 0-8 Patón pesado Soluiones posibles Patón ligeo Es impotante destaa que las ombinaiones lineales de estas ondas son pátiamente infinitas y se amplían enomemente al inementa la enegía utilizada. Se eomienda po tanto un nuevo análisis de los datos de los aeleadoes en base a los pinipios anteioes, dando pioidad a los expeimentos a bajas enegías, fente a los ostosísimos expeimentos a enegías enomes, que poa infomaión pueden popoiona, exepto omo demostaión tenológia. Se ha mostado que las ondas estaionaias que onfoman las patíulas pueden inteatua ente sí úniamente mediante tes meanismos. º Mediante aaste del espaio-tiempo: Apaentemente las petubaiones al desplazase aastan el medio de popagaión. Se poduen fuezas ente flujos paalelos de masa epulsivas si tienen el mismo sentido y atativas si iulan en sentidos ontaios y son el oigen de las fuezas tipo eletomagnétias, difiiendo de estas po el oden de magnitud. Estas son las inteaiones eletofuetes, eletomagnétias y eletodébiles. Estas

90 inteaiones son independientes unas de otas poque sueden a difeentes niveles de las dimensiones ompatadas. Úniamente las dos soluiones que se asimilan al neutino νe pueden inteatua on todas las demás poque sus ondas oupan ompletamente las dimensiones ompatadas. Además este aaste del medio de popagaión también debe suede en las dimensiones extendidas, lo que popoiona una posible expliaión de la ley de omposiión de veloidades. º y 3º Mediante modifiaión del índie efativo y defomando el medio de popagaión: Se podue así la adquisiión de la masa gavitatoia. Estas inteaiones se expesan omo fuezas gavitatoia, eletofuetes, eletomagnétias o eletodébiles, que no signifian exatamente lo mismo que el onepto atual. Po el heho de posee aga eletofuete los patones pueden foma estutuas similaes a los obitales eletónios, peo on muha más enegía de enlae. De heho, al esolve la euaión de Klein-Godon en seis dimensiones se obtienen enegías de enlae supeioes a la masa de los patones, lo que explia que no se hayan detetado los patones po sepaado hasta ahoa. Se ha postulado que los mesones están fomados po soluiones de dos ondas espín enteo, mientas que los baiones estaían fomados po soluiones de tes ondas espín semienteo Las soluiones de la euaión de onda en estas ondiiones justifian un sistema multilineal de masas omo el postulado po Palazzi en Linea Mass Rules an hadoni shells: The Bayons. Espeífiamente se poponen soluiones paa los piones, el muón, el potón y el neutón. En todos los asos es posible estima sus masas on un eo máximo de un 0.3%. La hipótesis también es apaz de detemina el momento magnétio intínseo, el tamaño de los hadones y la distibuión intena de agas. Estas popiedades se han ompaado on éxito on los datos expeimentales del muón, el potón y el neutón. La hipótesis es apaz de explia en base a la asimetía de las soluiones poqué todos los mesones son inestables y establee que los baiones solo son estables uando están ompuestos de 54 patones o más, oespondiendo los más ligeos estables a potones y neutones. Al dibuja el potenial eletofuete del potón y el neutón se desube que oinide ualitativa y uantitativamente on el potenial de Reid paa la fueza nulea esidual. Se estima también que la distania ente nuleones debeía se de,7 fm. Finalmente se postula que la uvatua del plano de las dimensiones ompatadas se oigina debido a un gadiente de índie de efaión en el plano de las dimensiones ompatadas. Esto pemite el gio de los ejes de las tayetoias elíptias de las ondas estaionaias que onfoman la mateia, lo que pemite un nuevo gado de libetad que explia todos los expeimentos sobe gios en el espaio y modifiaión del espín, peo obliga a que el espaio-tiempo se ompote de manea anisotopia y a que la veloidad de las ondas sea linealmente dependiente de su feuenia. Es dei, que el espaio-tiempo se ompota de foma simila a un istal liquido. Paa establee una analogía on la teoía de uedas la hipótesis aquí expuesta popone que el Univeso está fomado po una únia 5-bana, uyas múltiples vibaiones onfoman toda la mateia y la enegía. Los paámetos libes del modelo se eduen a las popiedades del fluido que onfoma el espaio-tiempo y a la geometía de este. En el año de nuesto Seño Jesuisto de 07.

91 Apéndie I : Postulados. Todo lo que existe en el univeso está fomado po vibaiones del espaio-tiempo. Existen ino dimensiones espaiales y una tempoal. 3 El espaio-tiempo es una 5-bana expandida en nuestas tes dimensiones espaiales onoidas y de un tamaño muho meno en las dos dimensiones espaiales adiionales del oden del miómeto. 4 Una de las dimensiones adiionales es la misma que postulaba Kaluza en 99 y está elaionada on la invesa de la masa de las patíulas ealmente elementales. Que no son las que onsideamos habitualmente, sino los tes neutinos, el eletón y los patones. A esta dimensión la llamaemos ξ ξ 0 h m0 5 La 5ª dimensión espaial, a la que llamaemos η está íntimamente elaionada on la oodenada imaginaia del espaio-tiempo de Minkowsky. 6 El espaio-tiempo se ompota omo si estuviese onfomado po una sustania on las siguientes popiedades. La veloidad de las vibaiones en las tes dimensiones espaiales ya onoidas es onstante e igual a la veloidad de la luz. la veloidad de las vibaiones en las dos dimensiones espaiales adiionales es vaiable y dependiente de dos fatoes. Vaía de foma lineal on la feuenia de las vibaiones. Vaía dento de las dimensiones adiionales. La vaiaión de la veloidad de las vibaiones en el plano de las dimensiones adiionales es tal que povoa que dihas vibaiones viajen siempe a la veloidad de la luz en tayetoias elíptias muy pequeñas. Esto hae que el espaio-tiempo se ompote en algunos aspetos omo un istal liquido. 7 En el ento del plano de las dimensiones ompatadas existe una zona donde no pueden tansmitise estas vibaiones Seguamente po un ambio de estado del medio de popagaión. 8 Las onstantes G, μ, ε, et son debidas a la fomulaión en 3 dimensiones espaiales de un espaio de 5 dimensiones espaiales y po tanto, desapaeen o se simplifian enomemente uando se efetúan los álulos en 6 dimensiones 5 espaiales + tiempo. 9 Las vibaiones foman ondas estaionaias en el plano de las dimensiones adiionales, lo que modifia el medio de popagaión, pemitiendo todas las inteaiones onoidas.

92 Apéndie II. Modifiaión de la euaión de Navie-Stokes Las fuezas povoadas po el gadiente apaente del índie de efaión debeían modifia las euaiones de Navie-Stokes. Veamos: u x, y, z,t n x, y, z u u n u x 3 u n u u u y [ ] [ ] u u u n u + + x y z u 3 u u u z 3 3 y po tanto n u u u u + + n x y z u Paa el aso no elativista [ ] n u u u u + + u u n x y z d u u dt a x, y, z u u Esta elaión es muy simila al témino independiente del tiempo de la deivada mateial, peo no debe se onfundido on el. Matemátiamente se efiee al modulo de la veloidad, no al veto veloidad. Se tata de una fueza eal debida al gadiente de veloidad del tiempo y debeía se añadida a la euaión de Navie Stokes, que po ejemplo en su foma onvetiva quedaía: u + u u ν u ω + g +u u t Paa ompoba la elaión anteio se ha utilizado el pogama de softwae Nastd, del Institut fü Numeishe Simulation de la univesidad de Bohn, ya que su desaga está disponible junto on el ódigo fuente, y además está diseñado paa la doenia, lo que pemite una fáil modifiaión. Apate de algunos ambios en el ahivo visual. paa modifia el fomato de salida de los datos y así pode utiliza el pogama de visualizaión Paaview la únia modifiaión elevante se ha poduido en el ahivo uvp. y han sido las siguientes: - Se ha definido y alulado las deivadas paiales de las dos omponentes de la veloidad, u,v: DUDX U[i+][j]-U[i-][j]/delx/; DVDX V[i+][j]-V[i-][j]/delx/; DUDY U[i][j+]-U[i][j-]/dely/;

93 DVDY V[i][j+]-V[i][j-]/dely/; y se han modifiado los fatoes F y G añadiendo los nuevos téminos F[i][j] U[i][j]+delt*LAPLU/Re-U[i][j]*DUDX-V[i][j]*DVDX-DUDX-DUVDY+GX -delt*beta*gx*temp[i][j]+temp[i+][j]/; G[i][j] V[i][j]+delt*LAPLV/Re-U[i][j]*DUDY-V[i][j]*DVDY-DUVDX-DVDY+GY -delt*beta*gy*temp[i][j]+temp[i][j+]/; Se ha apliado a algunos asos senillos, po ejemplo un obstáulo on foma iula a difeentes númeos de Reynolds. En las páginas siguientes se epesentan los esultados obtenidos on la fomula tadiional y la ampliada a Reynolds 30 de un obstáulo iula, ondiión de ontono de las paedes Note y Su no-slip, ondiión de ontono IN/OUT en las paedes Este y Oeste y esoluión de 0 x 40 eldas.

94 Soluión on euaión Navie Stokes sin modifia. R30.

95 Soluión on la euaión de Navie-Stokes modifiada. R30. Obsévese la elaión invesa ente veloidad y pesión, soluión muho más paeida a la que se despende del estudio unidimensional de las lineas de oiente. En geneal a égimen lamina funiona pefetamente,de heho inluso podue sin poblemas los tobellinos de Von Kaman, peo en uanto existe ieta tubulenia, los esultados difieen bastante de los expeimentales. Existe una azón de peso paa esto, y que no es que la visosidad pevalee sobe las fuezas ineiales y oulta los eoes de la expesión. Puebe el leto a intodui ualquie ota ombinaión y ompuebe los esultados. Sin embago, la pesenia de tubulenia no implia que estas fuezas desapaezan, sino que impide que