La parábola y la hipérbola

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola La parábola y la hipérbola Por: Sandra Elvia Pérez Parábola Figura 1. Paraboliv trajectory (Aleandrov, 007). Figura. Hulme Arch & Beetham Tower (Hunt, La parábola es una cónica que aparece con mucha frecuencia en la vida cotidiana. Algunas veces de forma natural, como al lanzar un objeto de manera horizontal o una cuerda que cuelga, ya que ambos fenómenos describen una parábola. Otras en cambio, se aprovechan sus propiedades para llevar a cabo cierta actividad. Figura 3. Antenna 03 (Wkimedia Commons, s.f.). Por ejemplo, los faros de un automóvil o una antena parabólica que también toman la forma de una parábola. Figura 4. 66marlinFastback white hood nameplate and headlights (Ziemnowicz, 011.). 1

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Observa la figura 5: La curva en color verde es una parábola. En la imagen se aprecia una de las propiedades de un cuerpo parabólico, la propiedad de refleión. Esta propiedad se utiliza en las antenas parabólicas en donde una señal de radiofrecuencia proveniente de un satélite (flechas en color azul) es reflejada por la superficie parabólica (superficie verde) y redirigidas hacia el punto rojo. El punto rojo, se conoce como foco de la parábola y justo en ese punto es donde se coloca un dispositivo que recibe la señal. Figura 5. Propiedad de una parábola. Cómo funciona un faro de automóvil? La misma propiedad que se utiliza en una antena parabólica se aplica en un faro de automóvil, sólo que en sentido inverso, esto es, la fuente de luz del faro se dirige hacia el reflector parabólico y éste refleja la luz en forma paralela, con esto se consigue darle al haz de luz una dirección preferencial. La intensidad de luz obtenida con un sistema que utiliza un reflector parabólico también depende del tipo de superficie reflectora que se use. Definición De acuerdo a Ruiz (008), parábola tiene la siguiente definición: Una parábola es una curva constituida por puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz (p. 66).

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola La figura 6 muestra una parábola e incluye sus elementos. La directriz se muestra en color azul y el foco es el punto rojo. A partir de la definición, los segmentos de rectas (líneas rojas punteadas) tienen la misma longitud, sin importar la posición del punto P(, y); siempre y cuando éste pertenezca a la parábola. Figura 6. Elementos de la parábola. Parábolas horizontales y verticales Una parábola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal. Si una parábola es horizontal su ecuación es: Si una parábola es vertical su ecuación es: Este par de ecuaciones corresponden con parábolas con vértice en el origen. Cuál es el significado de p?, p es la distancia del foco al vértice de la parábola (o la distancia que hay del vértice a la directriz) y su valor define hacia donde abre la parábola. En la tabla 1 se muestran la dirección hacia donde abren las parábolas dependiendo del valor de p. 3

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Parábola Horizontal y = 4 p Parábola vertical = 4 py p positivo (p>0) p negativo (p>0) Tabla 1. Dirección de la apertura de las parábolas, dependiendo del valor de p. A continuación se presentan algunos ejemplos: Ejemplo 1 Qué tipo de parábola representa la ecuación y = 1 y hacia dónde abre? Debido a que y está al cuadrado, es una parábola horizontal. Luego, al comparar esta ecuación con y = 4p tienes que: 4 p = 1 1 p = 4 p = 3 4

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Por lo tanto, abre hacia la izquierda. Ejemplo Determina las coordenadas del foco de la parábola y = 1. Como 4 p = 1 1 p = 4 p = 3 Y se trata de una parábola horizontal que abre hacia la izquierda, las coordenadas del foco son F(-3, 0). La figura 7 muestra la gráfica de esta parábola. Figura 7. Gráfica de la parábola del ejemplo. Ejemplo 3 Qué tipo de parábola representa la ecuación gráfica. = 8y, y hacia dónde abre? Además bosqueja su Debido a que está al cuadrado, es una parábola vertical. Luego, al comparar esta ecuación con = 4py tienes que: 4 p = 8 p = p = 8 4 5

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Como p es positivo, la parábola abre hacia arriba. Figura 8. Parábola del ejemplo 3. Las gráficas que se mostraron en las figuras anteriores sólo son bosquejos, pero si se pretende construir una gráfica más eacta, puede recurrirse a un software especializado como Winplot o Graphmatica, ambos de uso libre en Internet. Parábolas con vértice fuera del origen Las ecuaciones de una parábola, horizontal o vertical, con vértice fuera en el punto V(h, k) son: Si una parábola es horizontal su ecuación es: Si una parábola es vertical su ecuación es: Este par de ecuaciones es muy parecido a las ecuaciones de las parábolas con vértice en el origen y el significado de p es eactamente el mismo. A continuación se presentan algunos ejemplos: Ejemplo 1 Qué tipo de parábola representa la ecuación ( 3) = 8( y 4) bosqueja su gráfica., y hacia dónde abre? Además 6

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Debido a que está al cuadrado, es una parábola vertical. Luego, al comparar esta ecuación con h = 4 p y k tienes que: ( ) ( ) 4 p = 8 p = p = 8 4 h = 3 k = 4 Como p es positivo, la parábola abre hacia arriba. Su vértice es el punto V(3,s4). La figura 9 muestra el bosquejo de la gráfica. Figura 9. Parábola que abra hacia arriba y con vértice en el p V(3,s4). Para determinar las coordenadas del foco, debes considerar que se encuentra situado a una distancia p= del vértice. Ejemplo A partir de la siguiente gráfica, determina la ecuación de la parábola. Como se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen, su ecuación es de la forma y = 4 p. Al observar la gráfica que abre hacia la izquierda y las coordenadas de foco, se puede apreciar que p es -3, por lo que: 7

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola y y y = 4 p = 4( 3) = 1 Ejemplo 3 A partir de la siguiente gráfica, determina la ecuación de la parábola. Como se trata de una parábola vertical con vértice en V(-, 1), su ecuación es de la forma ( h) = 4 p( y k). Al observar la gráfica que abre hacia abajo y que el foco se encuentra localizado en F(-, -3), se puede apreciar que p es -4, por lo que: ( h) = 4 p( y k) ( ( ) ) = 4( 4) ( y 1) ( + ) = 16( y 1) Esta ecuación está en forma ordinaria y en forma general queda: ( + ) = 16( y 1) + 4 + 4 = 16 y + 16 + 4 + 16 y + 4 16 = 0 + 4 + 16 y 1 = 0 8

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Por último, el término 4p que aparece en la ecuación de las parábolas, se conoce como lado recto y es la línea recta que pasa por el foco, que es perpendicular al eje focal. En la figura 10 se muestra en color azul. Figura 10. Gráfica donde se muestra el lado recto. Ecuación ordinaria y ecuación general A las ecuaciones estudiadas en esta lectura y que se muestran en la tabla, se les conoce como ecuaciones en forma ordinaria o simplemente ecuaciones ordinarias. Horizontal Vertical Con vértice en el origen Con vértice en V(h, k) y 4 p y k = 4 p h = ( ) ( ) = ( ) h = 4 p ( y k ) 4 py Tabla. Ecuaciones ordinarias. La ecuación general de segundo grado estudiada anteriormente tiene la siguiente forma: En los siguientes ejemplos se muestra la forma de pasar de la forma ordinaria a la forma general: Ejemplo 1 Transforma la ecuación ordinaria = 8y a la forma general. En este caso, basta con igualar con cero la ecuación y tienes: 9

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola 8y = 0 Al comparar esta epresión con la ecuación general de las cuadráticas se observa que A=1 y que E=-8; el resto de las constantes es igual a cero. Ejemplo Transforma la ecuación ordinaria ( 3) = 8( y 4) a la forma general. En este caso, es necesario desarrollar el binomio y hacer operaciones algebraicas y luego igualar a cero la ecuación: 3 = 8 y 4 ( ) ( ) 6 + 9 = 8y 3 6 8y + 9 + 3 = 0 6 8y + 41 = 0 Al comparar esta última ecuación con la ecuación general de las cuadráticas, se puede observar que A=1, B=0, C=0, D=-6, E=-8, F=41. La ecuación en forma general de las parábolas horizontales y verticales, sólo incluye un término al cuadrado y el coeficiente B=0. Si está elevado al cuadrado, es una parábola vertical; si está elevado al cuadrado y, es una parábola horizontal. Por ejemplo, la ecuación + 3 4y + 5 = 0, es una parábola (porque sólo está elevado al cuadrado) y es vertical. El término y de la ecuación general de segundo grado, implica que la gráfica ni es vertical ni es horizontal, sino inclinada; en este caso sí es posible que aparezca tanto como y al cuadrado. Las aplicaciones de la hipérbola en Astronomía, son específicamente en la construcción de espejos hiperbólicos que se utilizan en la construcción de telescopios, donde aprovechan la propiedad refleiva de la hipérbola. Esta propiedad se puede resumir como sigue: Figura 11. Telescope (Styles, 006). 10

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola (a) (b) (a) Si un haz de luz se dirige hacia el foco de un espejo hiperbólico, se refleja en dirección al otro foco de la hipérbola. (b) Si un haz de luz se aleja del foco y se refleja en la superficie hiperbólica, la dirección del haz reflejado hace parecer que proviene del otro foco. Otra aplicación es en aeronáutica, en donde se utiliza un sistema de navegación llamado LORAN, que está basado en la hipérbola. De acuerdo con Ruiz (008): Una hipérbola es una curva formada por puntos del plano para los cuales es constante la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos (p. 34). Hipérbola con centro en el origen Una hipérbola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal. Si una hipérbola es horizontal su ecuación es: 11

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Si una hipérbola es vertical su ecuación es: Este par de ecuaciones corresponden con hipérbolas con centro en el origen y se les conoce como ecuaciones en forma ordinaria de la hipérbola. En la figura 1 se muestran los elementos de la hipérbola, así como el significado y la relación que eiste entre las constantes a, b y c. Figura 1. Elementos, significado y relación entre las constantes a, b y c. 1

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Observa que las constantes a y b forman un rectángulo característico de la hipérbola y aunque más adelante retomarás este rectángulo, por lo pronto, éste ayuda a definir la relación entre a y b. En la parte derecha de la anterior figura se aprecian los elementos de la hipérbola y las constantes a, b, y c. a es la distancia entre el centro y el vértice. a es la distancia de vértice a vértice; a este segmento VV a de recta se le llama eje transverso, esto es, 1 =. b es la longitud del eje conjugado. c es la distancia del centro de la hipérbola a los focos y también corresponde con la hipotenusa del triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b (ver figura 1). Para que comprendas un poco más las relaciones que eisten entre a, b y c, analiza los siguientes ejemplos: Ejemplo 1 Encuentra las coordenadas del vértice y del foco para la hipérbola cuya ecuación es y = 1 9 5, determina de qué tipo es, y la longitud de sus ejes transverso y conjugado. y Al comparar la ecuación con = 1, se puede determinar que se trata de una hipérbola horizontal b a con centro en el origen. 13

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Continuando con el análisis, a = 9 b = 5 a = 3 b = 5 A partir de estos valores se puede calcular c. c = a + b c = 9 + 5 c = 34 c = 34 5.83 Su gráfica es: La longitud del eje transverso es: a=6 La longitud del eje conjugado es: b=10 Por último, para darle más sentido al rectángulo de lados a y b, la figura que está debajo muestra que las diagonales de este rectángulo, son en realidad las asíntotas de la hipérbola. Analizando la gráfica se pueden determinar las coordenadas de los vértices (puntos en azul) y los focos (puntos en rojo). V 1 (-3, 0), V (3, 0) F 1 (-5.83, 0), F (5.83, 0) Ejemplo Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es y = 1, y bosqueja la gráfica. 9 16 14

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Al eaminar la ecuación y compararla y con la ecuación = 1, se b a puede observar que se trata de una hipérbola vertical con centro en el origen. Su gráfica es: Continuando con el análisis, a = 9 b = 16 a = 3 b = 4 A partir de estos valores se puede calcular c: c = a + b c = 9 + 16 c = 5 c = 5 = 5 Analizando la gráfica se pueden determinar las coordenadas de los vértices (puntos en azul) y los focos (puntos en rojo). V 1 (0, -3), V (0, 3) F 1 (0, -5), F (0, 5) La longitud del eje transverso es a=6 La longitud del eje conjugado es b=8 Hipérbola con centro en C(h,k) Una hipérbola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal. Si una hipérbola es horizontal y su centro se encuentra en el punto C(h, k), su ecuación es: Si una hipérbola es vertical y su centro se encuentra en el punto C(h, k), su ecuación es: 15

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Este par de ecuaciones corresponden con hipérbolas con centro en el punto C(h, k) y se les conoce como ecuaciones en forma ordinaria de la hipérbola. A continuación se presentan algunos ejemplos: Ejemplo 1 y 3 16 5 5 ( ) ( ) Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es = 1 gráfica., y bosqueja la Al eaminar la ecuación y compararla con ( ) ( ) y k h la ecuación = 1, se a b puede observar que se trata de una hipérbola vertical con centro en C(h, k), en donde h=5 y k=3, es decir, las coordenadas del centro son: Su gráfica es: C(5, 3) Continuando con el análisis, a = 16 b = 5 a = 4 b = 5 A partir de estos valores se puede calcular c: c = a + b c = 16 + 5 c = 41 c = 41 6.4 Analizando la gráfica se pueden determinar las coordenadas de los vértices (puntos en azul) y los focos (puntos en rojo). V 1 (5, -1), V (5, 7) F 1 (5, -3.4), F (5, 9.4) La longitud del eje transverso es: a=8 La longitud del eje conjugado es: b=10 16

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Cómo se determinaron las ordenadas de los focos? Una forma es tomar de referencia las coordenadas del centro y de ahí partir, por ejemplo, si la ordenada del centro es 3 y la distancia al F 1 es 6.4 (hacia abajo), haces 3 6.4 = 3.4 Ejemplo Determina la forma general de la ecuación de la hipérbola cuya ecuación en forma ordinaria es ( y 3) ( 5) = 1. 16 5 Lo primero que debes que hacer es desaparecer los denominadores, esto se logra multiplicando toda la ecuación por (16)(5)=400, tienes: ( y 3) ( 5) 5 16 Desarrollando los binomios al cuadrado, queda: 5 5 = 1 400 ( y 3) 16( 5) = 400 ( y 3) 16( 5) 5( y Multiplicando y reduciendo términos, obtienes: 5( y 5y 6y + 9) 16( 6y + 9) 16( 150y + 5 16 = 400 10 + 5) = 400 10 + 5) = 400 + 160 400 400 = 0 Reacomodando términos: 16 + 5y + 160 150y 575 = 0 En donde se aprecia que A=-16, B=0, C=5, D=160, E=-150, F=-575. Al igual que en la parábola o la elipse, el coeficiente B=0, a menos que la cónica esté girada, es decir, que su eje focal no sea paralelo a ninguno de los ejes coordenados. 17

GAE-05_M1AAL3_parabolaehiperbola Bibliografía Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, Trads.). Méico: Pearson Educación. Kindle, J. H. (1999). Geometría Analítica (L. Gutiérrez y A. Gutiérrez, Trads.). Méico: Mc Graw Hill. Martínez, M. A. (1996). Geometría Analítica. Méico: Mc Graw Hill. Referencia Ruiz, J. (008). Geometría Analítica. Méico: Grupo Editorial Patria. Referencias de las imágenes Aleandrov, O. (007). Paraboliv trajectory. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/file:parabolic_trajectory.svg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/public_domain). Hunt, G. (011). Hulme Arch & Beetham Tower. Recuperada de http://www.flickr.com/photos/raver_mikey/8466911776/ (Imagen publicada bajo licencia Creative Commons Atribución.0 Genérica, de acuerdo a: http://creativecommons.org/licenses/by/.0/deed.es). Ziemnowicz, C. (011). 66marlinFastback white hood nameplate and headlights. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/file:golden_gate_from_battery_east.jpg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/public_domain). Styles, R. (006). Telescope. Recuperada de http://www.sc.hu/photo/506683 (Imagen Royalty free, de acuerdo a: http://www.sc.hu/help/7_). Wikimedia Commons. (s.f.). Antenna 03. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/file:antenna_03.jpg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/public_domain). 18